部分飽和土壤之精簡力學模式與應用
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(2) 部分飽和土壤之精簡力學模式與應用 Development and Application of a Concised Constitutive Model for Partially Saturated Soil 研究生：鄒鄭翰. Student：Cheng-Han Tsou. 指導教授：潘以文 博士. Advisor：Dr. Yii-Wen Pan. 國立交通大學 土木工程學系碩士班 碩士論文. A Thesis Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Civil Engineering. July 2007. Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十六年七月.
(3) 部分飽和土壤之精簡力學模式與應用 學生：鄒鄭翰. 指導教授：潘以文 博士 國立交通大學土木工程學系碩士班 中文摘要. 部分飽和土壤中的吸力能夠增加土壤顆粒間的接觸應力，並造成 屈服強度與勁度的上升。然而目前在部分飽和土壤相關地工問題的數 值模擬中往往忽略吸力的作用，或是吸力對於變形性的影響。欲正確 模擬部分飽和土壤的變形行為，必須以能夠考慮吸力效應的組合律進 行數值模擬。 雖然目前學術界已提出不少的部分飽和土壤組合律，然而其中複 雜的模式於實際應用上多有參數過多或參數不易率定等缺點，簡單的 模式又難以表現部分飽和土壤完整的基本特性。本研究整合前人組合 律理論中的各項優點，嘗試提出一套精簡的組合律理論，盡可能以最 少的參數描述部分飽和土壤的各項基本行為，以利實用上的需求。 本研究並將此精簡的組合律編寫為 FLAC 軟體中的副程式，令該 軟體在運算時能將部分飽和土壤的特性列入考量。為測試此組合律的 表現，本研究模擬前人的壓密與三軸試驗結果，證實此組合律可至少 定性地描述部分飽和土壤之行為。最後並以此模式應用於部分飽和土 壤邊坡與土壩在遭遇降雨時的穩定分析，做為工程問題的實際應用範 例。 關鍵詞：部分飽和土壤；組合律；數值模擬；吸力效應. i.
(4) Development and Application of a Concised Constitutive Model for Partially Saturated Soil Student：Cheng-Han Tsou. Advisor：Dr. Yii-Wen Pan. Department of Civil Engineering National Chiao Tung University. ABSTRACT Suction in partially saturated soils can increase the skeleton stress between soil particals and raise the yielding strength and stiffness of the soil. However, the additional stress or deformation resulted from suction was often ignored in numerical simulation. A proper constitutive model for partially saturated soils is required in numerical modeling to take the effect of suction into account. Although many models for partially saturated soils were proposed in the last two decades, some of them are too complicated in pratical application because too many parameters are required. Simple models, on the contrary, may not be able to capture the complete nature of partially saturated soils. In this thesis, a concised constitutive model that collects the merits of other models was proposed to describe major features of partially saturated soil with limited number of material parameters. The concised model was coded as a “FISH routine” in the numerical program FLAC to allow for the numerical modeling for geotechnical. ii.
(5) problem in partially saturated soil. For model verification, some triaxial tests carried out by other researchers are simulated. The comparison of the simulated and laboratory tested results confirmed that the proposed model is able to model the mechanical behavior of partially saturated soils. Finally, the stability of a slope and an earth dam with rainfall infiltration were analysed to demonstrate of applicability of this model.. Keywords:. Partially saturated soils; Constitutive model; Numerical. simulation; Suction effect. iii.
(6) 誌謝 首先感謝潘以文老師在這兩年內的指導，讓我對數值模擬、組合 律以及部分飽和土壤的知識都有很多增長。老師不只是學識淵博，同 時也很熱心的指導我們，才讓動作總是比較慢的我能夠順利完成論 文。平時除了潘老師的指導以外，也曾經接受過廖志中老師的一些建 議，而在其他同學接受廖老師指導的過程中，我也間接吸收了許多知 識，在此也感謝廖老師，使我的研究生活更加充實。 做事少一跟筋的我，在口試時忘記帶投影片，讓評審老師們多等 了十分鐘，感謝口試委員黃燦輝老師、田永銘老師、王承德老師還有 陳水龍老師，雖然枯等了一段時間，還是不吝指教，給予許多寶貴的 意見，使這份論文的許多缺點得以改進。 做研究時總是容易遇到難題，幸好平時有同學以及學弟們的關 心，16 位好同學們使我在研究以外的時間總是充滿歡樂。在這裡特 別感謝第一線的戰友阿諾，和我一起面對很難相處的 FLAC，還有經 常舉行活動的 candy 和小驤，身兼主持人與搞笑藝人的工作。貓伯學 長除了經常和我們同樂以外，也一起參與了我的研究，使我得到一些 數值模擬的經驗，在此也特別感謝。 最後，感謝我的家人們，在我研究的過程中總是不給我任何壓 力，讓我完全不需要顧慮家裡的任何事，只接受著家人所給予的關 心，這可能是別人所沒有的幸福。這份研究成果代表著很多人的支 持，我會永遠記得這一段過程。. iv.
(7) 目錄 中文摘要 ..........................................................................................i 英文摘要 .........................................................................................ii 誌謝 ................................................................................................iv 目錄 .................................................................................................v 表目錄 ............................................................................................ix 圖目錄 .............................................................................................x 第一章 前言 ...................................................................................1 1.1 研究動機...........................................................................1 1.2 研究目的...........................................................................1 1.3 論文架構...........................................................................2 第二章 文獻回顧............................................................................4 2.1 部分飽和土壤的特性 .......................................................4 2.1.1 吸力的成因 ............................................................4 2.1.2 典型的特徵曲線 ....................................................7 2.1.3 特徵曲線的阻滯現象 ............................................9 2.1.4 部分飽和土壤的有效應力................................... 11 2.1.5 部分飽和土壤的剪力強度...................................13 2.1.6 部分飽和土壤的體積變化特性 ...........................18 2.1.7 部分飽和土壤的地下水流動特性 .......................23 2.2 部分飽和土壤的組合律 .................................................24 2.2.1 Alonso, et al.(1990)的組合律................................25. v.
(8) 2.2.2 Loret 與 Khalili(2000)的組合律..........................29 2.2.3 Loret 與 Khalili(2002)的組合律..........................30 2.2.4 Blatz 與 Graham(2003)的組合律 ........................33 2.2.5 Chiu 與 Ng(2003)的組合律 ................................33 2.2.6 Gallipoli, et al.(2003)的組合律 .............................35 2.2.7 Sheng, et al.(2004)的組合律 .................................37 2.2.8 Pereira, et al.(2005) 及 Russell 與 Khalili(2006)的 組合律 ...................................................................................39 2.2.9 各組合律在實際應用上的比較 ...........................40 2.3 降雨對邊坡穩定的影響與分析......................................42 第三章 研究方法..........................................................................44 3.1 組合律的建立 .................................................................44 3.1.1 吸力考量 ..............................................................44 3.1.2 有效應力 ..............................................................45 3.1.3 吸力所造成之硬化 ..............................................46 3.2 組合律的測試 .................................................................48 3.2.1 Futai 與 Almeida (2005)的實驗數據...................49 3.2.2 Wheeler 與 Sivakumar (1995)的實驗數據 ............52 3.3 模擬降雨對邊坡穩定的影響..........................................55 第四章 建立部分飽和土壤組合律副程式...................................57 4.1 力學運算流程的調整 .....................................................57 4.2 副程式的運算流程 .........................................................60. vi.
(9) 4.2.1 計算應力猜測值 ..................................................62 4.2.2 輸出此時階之應力值 ..........................................63 4.2.3 各參數的更新 ......................................................65 4.3 組合律之實用性討論 .....................................................67 第五章 力學試驗模擬..................................................................68 5.1 自定參數之測試 .............................................................68 5.2 模擬 Futai 與 Almeida (2005)之試驗結果 ...................73 5.3 模擬 Wheeler 與 Sivakumar (1995)之試驗結果 ...........77 5.3.1 複雜應力路徑之壓密試驗...................................77 5.3.2 定吸力之排水、純剪與不排水三軸試驗 ...........83 5.4 模擬結果綜合討論 .........................................................85 5.5 參數敏感度測試 .............................................................86 第六章 應用範例..........................................................................92 6.1 部分飽和土壤邊坡 .........................................................92 6.2 均質土壩....................................................................... 101 6.2.1 土壩在一般水位時的穩定性............................. 103 6.2.2 土壩在一般水位且發生降雨入滲 ..................... 105 6.2.3 土壩在高水位且發生降雨入滲 ......................... 108 6.3 應用範例綜合討論 ....................................................... 111 第七章 結論與建議.................................................................... 113 7.1 結論 .............................................................................. 113 7.2 建議 .............................................................................. 114. vii.
(10) 參考文獻 ..................................................................................... 115. viii.
(11) 表目錄 表 2.1. 部分飽和土壤組合律相關文獻 ..............................................24. 表 2.2. 各組合律所需參數比較 ..........................................................40. 表 2.3. 降雨入滲時的邊坡穩定相關文獻 ..........................................42. 表 3.1. 本研究測試項目......................................................................49. 表 5.1. 測試所使用之參數..................................................................69. 表 5.2. 模擬 Futai 與 Almeida 三軸試驗之各項參數 .......................74. 表 6.1. 邊坡模型之參數設定 ..............................................................93. 表 6.2. 土壩模型之參數設定 ............................................................ 102. ix.
(12) 圖目錄 圖 1.1. 研究流程圖 ...............................................................................3. 圖 2.1. 毛細現象 (Fredlund 與 Rahardjo, 1993) .................................5. 圖 2.2. 典型的土壤水分特徵曲線 (Sillers, et al., 2001) ......................8. 圖 2.3. 水分在土壤孔隙中分布的狀態 (Kohgo, et al., 1993)..............9. 圖 2.4. 特徵曲線的阻滯現象 (van Genuchten, 1980) ........................10. 圖 2.5. χ 與吸力比的關係 (Khalili, et al., 2004) ................................13. 圖 2.6. 剪力強度與吸力、淨應力的關係 (Fredlund 與 Rahardjo, 1993). .......................................................................................................14 圖 2.7. 剪力強度對吸力的非線性變化 (Lu 與 Likos, 2004) ...........15. 圖 2.8. 以淨應力為橫座標時，破壞包絡線隨吸力上升 (Fredlund 與. Rahardjo, 1993) .............................................................................16 圖 2.9. 四種土壤在不同吸力下的臨界狀態線 (Lu 與 Likos, 2004). (數據取自 Khalili, et al.2004) .......................................................17 圖 2.10. 壓密曲線隨吸力變化的趨勢 (Futai 與 Almeida, 2005) .....19. 圖 2.11. 土壤在乾濕循環下的體積變化： (a) Jossigny laom (b) White. clay (Fleureau, et al., 1993)............................................................21 圖 2.12. 濕陷發生的原因 (Khalili, et al., 2004) .................................22. 圖 2.13. 土壤在反覆乾濕循環下的體積變化 (Sharma, 1998) ..........23. 圖 2.14. Alonso, et al.模型的屈服面，在 p-q-s 空間中的形式 (Alonso,. et al., 1990)....................................................................................26 圖 2.15. Alonso, et al.模型的屈服面，在 p-q 平面上的形式 (Alonso, et. x.
(13) al., 1990)........................................................................................27 圖 2.16. Alonso, et al.模型的屈服面，在 p-s 平面上的形式 (Alonso, et. al., 1990)........................................................................................27 圖 2.17. 偏斜橢圓屈服面 (Loret 與 Khalili, 2002)...........................30. 圖 2.18. pc 隨正常壓密線移動而變化.................................................32. 圖 2.19. Chiu 與 Ng 模型中的屈服面 (Chiu 與 Ng, 2003) ................34. 圖 2.20. 特徵曲線阻滯現象的模擬 (Sheng, et al., 2004)...................37. 圖 2.21. Sheng, et al.模型中的屈服面 (Sheng, et al., 2004)...............38. 圖 2.22. 模擬阻滯現象造成的塑性體積應變 (Sheng, et al., 2004)...38. 圖 3.1. pc 隨吸力的變化 ......................................................................47. 圖 3.2. Futai 與 Almeida 的三軸試驗結果 (Futai 與 Almeida, 2005). .......................................................................................................50 圖 3.3. Futai 與 Almeida 的特徵曲線 .................................................51. 圖 3.4. Futai 與 Almeida 的壓密試驗結果 (Futai 與 Almeida, 2005). .......................................................................................................51 圖 3.5. Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗之應力路徑 (Loret 與. Khalili, 2002) (數據取自 Wheeler 與 Sivakumar, 1995) .............52 圖 3.6. Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗結果 (Loret 與 Khalili, 2002). (數據取自 Wheeler 與 Sivakumar, 1995) ....................................53 圖 3.7. 高嶺土在不同圍壓下的特徵曲線 (Tarantino 與 Tombolato,. 2005)..............................................................................................54 圖 3.8. Wheeler 與 Sivakumar 三軸試驗結果 (Loret 與 Khalili, 2002). xi.
(14) (數據取自 Wheeler 與 Sivakumar, 1995) ....................................55 圖 3.9. FLAC 軟體對滲透係數的調整 (FLAC, 2000) .......................56. 圖 4.1. FLAC 運算流程(飽和時) ........................................................58. 圖 4.2. FLAC 運算流程(部分飽和時) ................................................58. 圖 4.3. 修改後的 FLAC 運算流程(部分飽和時) ................................60. 圖 4.4 部分飽和組合律的副程式運算流程圖.....................................61 圖 4.5. 飽和時的正常壓密線與解壓再壓曲線 (FLAC，2000).........66. 圖 5.1. 過壓密狀態下的壓密試驗 ( pc ( 0 ) = 200 kPa ).......................70. 圖 5.2. 過壓密狀態下的壓密試驗 ( pc ( 0 ) = 300 kPa ) .......................70. 圖 5.3. 正常壓密試驗..........................................................................71. 圖 5.4. 三軸試驗之剪力強度 (定吸力試驗) ......................................72. 圖 5.5. 三軸試驗之剪力強度 (吸力逐漸降低) ..................................72. 圖 5.6. Futai 與 Almeida 的試驗模擬結果，軸差應力對軸差應變 (吸. 力= 100 kPa)..................................................................................75 圖 5.7. Futai 與 Almeida 的試驗模擬結果，體積應變對軸差應變 (吸. 力= 100 kPa)..................................................................................75 圖 5.8. Futai 與 Almeida 的試驗模擬結果，軸差應力對軸差應變 (吸. 力= 300 kPa)..................................................................................76 圖 5.9. Futai 與 Almeida 的試驗模擬結果，體積應變對軸差應變 (吸. 力= 300 kPa)..................................................................................76 圖 5.10. Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗模擬結果 (應力路徑 A-D0). .......................................................................................................78. xii.
(15) 圖 5.11. Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗模擬結果 (應力路徑 A-D1). .......................................................................................................79 圖 5.12. Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗模擬結果 (應力路徑 A-D2). .......................................................................................................79 圖 5.13. Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗模擬結果 (應力路徑 A-D3). .......................................................................................................80 圖 5.14. 正常壓密線變化趨勢 (修改自 Loret 與 Khalili, 2002) .......81. 圖 5.15. 自定之應力路徑....................................................................82. 圖 5.16. 以自定之應力路徑模擬 Wheeler 與 Sivakumar 壓密試驗.83. 圖 5.17. Wheeler 與 Sivakumar 三軸試驗模擬結果 .........................84. 圖 5.18. 將個別參數乘以 0.2 倍所造成的誤差..................................87. 圖 5.19. 將個別參數乘以 0.5 倍所造成的誤差..................................88. 圖 5.20. 將個別參數乘以 2 倍所造成的誤差.....................................89. 圖 5.21. 將個別參數乘以 5 倍所造成的誤差.....................................90. 圖 6.1. 邊坡網格 .................................................................................92. 圖 6.2. 邊坡模型之初始飽和度設定 ..................................................94. 圖 6.3. 忽略吸力時，邊坡的剪應變分布圖.......................................95. 圖 6.4. 邊坡在一般情況下的飽和度分布圖.......................................95. 圖 6.5. 淺層存在吸力時，邊坡的剪應變分布...................................96. 圖 6.6. 雨水入滲至 1 m 深時的飽和度分布.......................................97. 圖 6.7. 雨水入滲至 1 m 深時的剪應變速率分布...............................97. 圖 6.8. 雨水入滲至 1 m 深時的累積剪應變分布...............................97. xiii.
(16) 圖 6.9. 雨水入滲至 2 m 深時的飽和度分布.......................................98. 圖 6.10. 雨水入滲至 2 m 深時的剪應變速率分布.............................98. 圖 6.11. 雨水入滲至 2 m 深時的累積剪應變分布 .............................98. 圖 6.12. 雨水入滲至 3 m 深時的飽和度分布.....................................99. 圖 6.13. 雨水入滲至 3 m 深時的剪應變速率分布.............................99. 圖 6.14. 雨水入滲至 3 m 深時的累積剪應變分布.............................99. 圖 6.15. 雨水入滲至 4 m 深時的飽和度分布................................... 100. 圖 6.16. 雨水入滲至 4 m 深時的剪應變速率分布........................... 100. 圖 6.17. 雨水入滲至 4 m 深時的累積剪應變分布........................... 100. 圖 6.18. 均質土壩網格...................................................................... 101. 圖 6.19. 土壩模型之初始飽和度設定 .............................................. 103. 圖 6.20. 土壩一般水位示意圖 .......................................................... 104. 圖 6.21. 壩體在一般水位時的飽和度分布圖................................... 104. 圖 6.22. 壩體在一般水位時的剪應變分布....................................... 104. 圖 6.23. 壩體在一般水位時的剪應變分布圖(以 Cam-clay 模式分析). ..................................................................................................... 105 圖 6.24. 雨水入滲深度 2 m 時的飽和度分布圖 (一般水位時)....... 106. 圖 6.25. 雨水入滲深度 2 m 時的累積剪應變分布圖 (一般水位時). ..................................................................................................... 106 圖 6.26. 雨水入滲深度 4 m 時的飽和度分布圖 (一般水位時)....... 106. 圖 6.27. 雨水入滲深度 4 m 時的累積剪應變分布圖 (一般水位時). ..................................................................................................... 106. xiv.
(17) 圖 6.28. 雨水入滲深度 6 m 時的飽和度分布圖 (一般水位時)....... 107. 圖 6.29. 雨水入滲深度 6 m 時的累積剪應變分布圖 (一般水位時). ..................................................................................................... 107 圖 6.30. 雨水入滲深度 8 m 時的飽和度分布圖 (一般水位時)....... 107. 圖 6.31. 雨水入滲深度 8 m 時的累積剪應變分布圖 (一般水位時). ..................................................................................................... 107 圖 6.32. 雨水入滲深度 10 m 時的飽和度分布圖 (一般水位時)..... 108. 圖 6.33. 雨水入滲深度 10 m 時的累積剪應變分布圖 (一般水位時). ..................................................................................................... 108 圖 6.34. 土壩高水位示意圖 .............................................................. 109. 圖 6.35. 壩體在高水位時的飽和度分布圖....................................... 109. 圖 6.36. 壩體在高水位時的剪應變分布圖....................................... 109. 圖 6.37. 雨水入滲深度 2 m 時的飽和度分布圖 (高水位時)........... 110. 圖 6.38. 雨水入滲深度 2 m 時的累積剪應變分布圖 (高水位時)... 110. 圖 6.39. 雨水入滲深度 4 m 時的飽和度分布圖 (高水位時)........... 110. 圖 6.40. 雨水入滲深度 4 m 時的累積剪應變分布圖 (高水位時)... 110. 圖 6.41. 雨水入滲深度 6 m 時的飽和度分布圖 (高水位時)........... 111. 圖 6.42. 雨水入滲深度 6 m 時的累積剪應變分布圖 (高水位時)... 111. xv.
(18) 第一章 前言 1.1 研究動機 部分飽和土壤中所具有的吸力(suciton)能夠增加土壤顆粒間的接觸應 力，並造成屈服強度的上升，在工程問題中具有一定的影響力。尤其在土 壤較疏鬆且多雨的地區，地層往往因為雨水入滲而喪失吸力，進而誘發工 程問題。土壤邊坡遭遇暴雨時發生的淺層滑動或流動即屬此類問題，若不 考慮部分飽和土壤內的吸力，則無法適當對此現象進行邊坡穩定分析。 目前相關的文獻大多以極限平衡法分析土壤邊坡遭遇降雨時的穩定 性，此方法雖可將吸力的影響納入考量，但無法討論與變形性相關的問題。 儘管也有些學者以有限元素法分析此類問題，但分析時往往忽略吸力對變 形性的影響。若須針對部分飽和土壤的變形行為進行探討，必須納入能夠 考慮吸力效應的組合律(constitutive model)，才能適當模擬其變形行為。 近二十年來，學術界已有許多適用於部分飽和土壤的組合律被提出。 其中，表現較接近真實現象的組合律往往需要率定很多的參數，因此實用 性低。參數用量較少的組合律則往往忽略一部分的土壤實際行為，使得模 擬結果不盡理想，因此在部分飽和土壤的組合律領域仍有許多值得討論的 空間。. 1.2 研究目的 本研究旨在提出一個精簡的部分飽和土壤組合律，並嘗試以 FLAC 軟 體為平台，撰寫此組合律的使用者自訂模式(User defined model, UDM)副程. 1.
(19) 式，使 FLAC 軟體能被應用於部分飽和土壤的相關地工模擬。 組合律的精簡是在能夠描述土壤基本特性的前提之下，盡可能減少參 數用量，以利實際工程上的應用。所考慮的基本特性應包括剪力強度隨吸 力的上升，以及部分飽和土壤的體積變化行為。此外，土壤的滲透係數有 隨飽和度變化的趨勢，但因 FLAC 軟體本身已考慮此現象，本研究不再做 額外的探討或修改。 為求能以精簡的模式掌握部分飽和土壤行為，本研究暫以定性的模擬 為目標，定量的準確度則有待後續研究對此模式進行進一步之調整。. 1.3 論文架構 本論文共分為七章。除本章介紹研究之動機與目的。第二章為文獻回 顧，整理前人對於部分飽和土壤行為之研究結果以及現有的組合律理論， 並介紹降雨入滲導致邊坡破壞之穩定分析相關文獻。第三章為研究方法， 介紹本研究精簡部分飽和組合律的建立方法、測試方法、及簡述此組合律 應用於邊坡遭遇降雨時的模擬方法。第四章敘述如何建立此組合律的數值 運算流程，並編寫為 FLAC 軟體中的 UDM 副程式。第五章展示以 FLAC 軟體配合 UDM 副程式模擬前人試驗的結果，並討論此組合律的實際表現， 以及組合律中的參數敏感度。第六章以邊坡與土壩在降雨入滲時的模擬分 析做為應用實例，討論此組合律應用在實際工程問題的適用性。第七章提 出結論與建議。本研究的流程如圖 1.1 所示：. 2.
(20) 收集相關文獻，探討部分飽和土壤 之特性以及現有的組合律理論. 提出精簡的部分飽和土壤組合律. 編寫此組合律之 UDM 副程 式，使 FLAC 軟體的分析模式 可以涵蓋部分飽和土壤特性. 模擬前人的壓密試驗與三軸試 驗結果，測試此組合律是否能 確實表現部分飽和土壤的行為. 建立虛擬的邊坡與土壩網格，以此 組合律模擬邊坡與土壩在遭遇降 雨時的變化，討論此組合律在工程 問題中的實用性. 圖 1.1. 研究流程圖. 3.
(21) 第二章 文獻回顧 本章討論本研究的相關文獻，內容主要分為三大部分：首先討論部分 飽和土壤的各項特性，接著回顧部分飽和土壤的組合律相關文獻，比較與 分析各學者之理論基礎，最後討論部分飽和之土壤邊坡因降雨誘發破壞的 現象與機制。. 2.1 部分飽和土壤的特性 部分飽和土壤的行為與飽和土壤或乾燥土壤有許多差異，這些差異反 應在工程特性上，可以歸類為體積變化、剪力強度與地下水流動三大類。 其中，體積變化和剪力強度的差異，皆起因於部分飽和的孔隙水在土壤內 部造成吸力(suction)，其產生原因敘述如下。. 2.1.1 吸力的成因 吸力可以產生原因的不同，分為兩個部分，一為基質吸力(matric suction)，一為滲透吸力(osmotic suction). (Fredlund 與 Rahardjo, 1993)。. 基質吸力的成因為毛細現象。土壤在部分飽和的情況下，水份會在孔 隙構成的通道內發生毛細現象，效果有如試管內的的液面。其物理模型可 簡化如圖 2.1 所示。. 4.
(22) 圖 2.1. 毛細現象 (Fredlund 與 Rahardjo, 1993). 在液面處，由力平衡的關係可得：. 2π rTs cos α = π r 2 hc ρw g ....................................................(2-1) 其中：. r 為試管半徑 Ts 為表面張力 α 為表面張力與試管之夾角. 5.
(23) hc 為試管高度. g 為重力加速度 由式(2-1)可得： hc =. 2Ts .......................................................................(2-2) ρ w gRs. 其中 Rs = r cos α ，為液面之曲率半徑 圖中 A 點與 B 點之水壓應等於大氣壓力 ua ，因此，由 C 點的壓力的平 衡關係可知：. ( ua − uw ) = ρ w ghc. ..............................................................(2-3). 綜合(2-2)與(2-3)兩式：. ( ua − uw ) =. 2Ts .................................................................(2-4) Rs. 由上式可知，液面處的表面張力將造成水壓低於氣壓，其差值與表面 張力成正比，與 Rs 成反比(包括管徑與表面張力作用角度的影響)。 若考慮非飽和土壤內的情況，則管徑相當於土壤內的孔隙大小，而大 氣壓力通常為零(相對於一大氣壓)。因此，在有表面張力作用時，孔隙水壓 將為負值，這種負孔隙水壓即為所謂的基質吸力。 滲透吸力的成因為孔隙水所含的離子降低了水的自由能量(Fredlund 與 Rahardjo, 1993)。在同樣的土壤孔隙中，若水中的離子濃度越高，則吸 力越大。這種受到離子濃度影響所產生的吸力，稱為滲透吸力。 基質吸力與滲透吸力的總和稱為總吸力(total suction)，如式(2-5)所示：. ψ = ( ua − uw ) + π ..............................................................(2-5) 6.
(24) 其中： ψ 為總吸力 ua 為氣壓 uw 為水壓. ( ua − uw ) 為基質吸力 π 為滲透吸力。 一般的工程問題中，滲透吸力的影響不大，大多可以忽略，但若土壤 中若有化學污染的問題，則必須考慮滲透吸力的影響(Fredlund 與 Rahardjo, 1993)。本論文中僅討論基質吸力對剪力強度造成的影響，因此後續內容中 所提及之吸力，事實上皆指基質吸力而言。. 2.1.2 典型的特徵曲線 吸力與土壤中含水量的關係，稱為土壤水分特徵曲線(soil water characteristic curve, SWCC)，或稱土壤水分保持曲線(soil water retention curve)。典型的特徵曲線如圖 2.2 所示。. 7.
(25) 圖 2.2. 典型的土壤水分特徵曲線 (Sillers, et al., 2001). 如圖 2.2，特徵曲線的變化趨勢可分為三階段，分別稱為「毛細飽和階 段(capillary saturation zone)」 、「減飽和階段(desaturation zone)」和「殘餘飽 和階段(zone of residual saturation)」(Sillers, et al., 2001)。 Sillers, et al.(2001)曾對於特徵曲線的變化提出解釋，Kohgo 與 Miyazaki(1993)則對不同的飽和程度下，水分在孔隙中的分布狀態提出說 明。綜合以上兩者後，特徵曲線的三階段變化可以解釋如下： 在毛細飽和階段，土壤的飽和度趨近於 1，空氣主要以分散的方式游離 在水中，如圖 2.3(a)所示。此時由於有表面張力的作用，即使施加些微的負 孔隙水壓，水分也不會立即被抽出，因此吸力隨著負孔隙水壓上升，但飽 和度仍接近。 當負孔隙水壓到達相當程度，表面張力已不再足以維持水面的力平衡 時，水分將開始被抽出，使空氣得以進入孔隙中。此時的吸力值稱為空氣. 8.
(26) 進氣值(air entry value)。吸力到達此值後，飽和度將開始下降，特徵曲線進 入減飽和階段，空氣的分布則逐漸從游離狀態轉變為連續，如圖 2.3(b)所示。 當飽和度下降到一定程度，孔隙水逐漸由連通的狀態轉變為不連續， 只殘存於土壤顆粒間，如圖 2.3(c)所示。由於孔隙水的分布不連續，即使繼 續增加負孔隙水壓，水分也難以排出，因此特徵曲線開始進入殘餘飽和階 段。此時所對應的含水量稱為殘餘含水量(residual water content)，而此時的 吸力值則稱為殘餘吸力值(residual suction value)。. 圖 2.3. 水分在土壤孔隙中分布的狀態 (Kohgo, et al., 1993). 2.1.3 特徵曲線的阻滯現象 在量測特徵曲線時，可以有兩種方式：若從飽和的狀態開始排水，使 得吸力逐漸上升，則吸力對含水量的關係稱為土壤主要排出曲線(main drainage curve, MDC)；反之，若從乾燥的狀態開始吸水，則吸力對含水量 的關係稱為土壤主要濕潤曲線(main wetting curve, MWC) (Iwata, et al., 1988)。. 9.
(27) 圖 2.4. 特徵曲線的阻滯現象 (van Genuchten, 1980). 即使在同一種土壤中，上述兩種曲線也不會相等，造成阻滯現象 (hysteresis)的主要原因有下列幾項(Klausner, 1991)： 土壤孔隙大小的分布不規則，或稱墨水瓶效應(ink-bottle effect)。 在排水的過程中，表面張力的接觸角(α )比吸水時大，連帶使得基質吸 力的大小有所不同。 非飽和土壤中含有許多被水分包圍的空氣(entrapped air)，這些空氣在排 水時和吸水時的體積並不相等。 土壤在吸水與排水的過程中所產生的復硬性(thixotropy)與時間效應 (aging)。 特徵曲線的阻滯現象在實驗上不易量測，在數學上也難用簡單的方式 表示，必須用較複雜的模型描述。Pham, et al.(2005)曾整理 29 種模擬特徵 10.
(28) 曲線並考慮遲滯效應的模型，做一詳細的文獻回顧。. 2.1.4 部分飽和土壤的有效應力 有效應力的觀念在土壤力學中應用廣泛，無論是描述剪力強度或體積 變化的關係式，都必須以有效應力作為基本的變數。然而部分飽和的土壤 是三相的混合體，總應力σ 和孔隙水壓 uw 並不足以描述部分飽和時的有效 應力(Fredlund 與 Rahardjo, 1993)。早期有許多學者提出適用於部分飽和土 壤的有效應力公式。其中最廣為引用的公式為 Bishop(1959)所提出：. σ ′′ = (σ − ua ) + χ ( ua − uw ) ................................................(2-6) 其中：. σ ′′ 為部分飽和土壤的有效應力，部分學者稱為構架應力(skeleton stress) σ 為總應力 χ 為有效應力參數 式(2-6)中的 ( ua − uw ) 即為基質吸力，而 (σ − ua ) 一般被稱為淨應力(net stress)。 Bishop 與 Donald(1961)曾進行部分飽和的三軸試驗。結果指出，即使 σ 3 (圍壓)、 ua 和 uw 三項數值改變，只要維持 (σ 3 − ua ) 和 ( ua − uw ) 的組合不 變，試驗的結果就能呈現一致。此結果驗證了式(2-6)的正確性。 然而 Aitchison(1967)的研究指出，只有在σ 和 ( ua − uw ) 的組合維持不變 時， χ 才有固定的值；反之，兩變數的組合不同時， χ 將隨之變化。因此， Aitchison 認為 χ 在運用上相當複雜，建議在分析時將兩變數分開討論，而 不適合結合為有效應力 σ ′′ 。 11.
(29) Fredlund 與 Rahardjo(1993)曾討論其他應力變數的組合，除了淨應力 與吸力以外，尚可用 (σ − uw ) 與 ( ua − uw ) ，或是 (σ − ua ) 和 (σ − uw ) 的組合， 代表部分飽和時的應力狀態。然而，使用淨應力與吸力為變數具有兩項優 點：一為淨應力與吸力可以分別代表總應力與孔隙水壓造成的影響；二為 工程問題中孔隙的氣壓往往等於大氣壓力，可以假設為 0，此時淨應力與吸 力可被簡化為總應力與孔隙水壓。 基於上述原因，後續的研究在描述應力時，大多使用淨應力 (σ − ua ) 和 基質吸力 ( ua − uw ) 兩項變數，比以往的有效應力 (σ − uw ) 更多一項。直到 1990 年代，Bishop 所提出的有效應力公式再度引起討論，關於式(2-6)中的 參數 χ 有許多公式被提出(Khogo, et al., 1993; Khalili 與 Khabbaz, 1998; Vanapalli 與 Fredlund, 2000)。其中後兩者曾進行實驗，驗證 χ 公式的適用 性，兩者皆得到良好的結果，其公式分別如下： Khalili 與 Khabbaz (1998): χ =1 s χ = se . , s ≤ se −0.55. , s > se. .......................................................(2-7). 其中 s 為吸力， se 為空氣進氣值。 Vanapalli 與 Fredlund (2000): χ = S κ ..............................................................................(2-8) 其中 S 為飽和度， κ 為待定係數。 若將吸力與空氣進氣值的比值定義為吸力比(suction ratio) (Khalili 與 Khabbaz, 1998)，則各種土壤中 χ 隨吸力比變化的趨勢如圖 2.5 所示。. 12.
(30) 圖 2.5. χ 與吸力比的關係 (Khalili, et al., 2004). 在部分飽和土壤的分析中，一旦使用 Bishop(1959)的有效應力公式，配 合 χ 的計算公式，剪力強度等問題就能和飽和土壤一樣，則能嘗試以單一 變數 σ ′′ 描述土壤應力。. 2.1.5 部分飽和土壤的剪力強度 實驗結果顯示，土壤的剪力強度將隨基質吸力上升(Fredlund 與 Rahardjo, 1993)。由於早期學者以淨應力和基質吸力兩項變數描述部分飽和 土壤的應力，因此 Fredlund, et al.(1978)對莫爾庫倫破壞準則進行修改，提 出了包含淨應力和基質吸力兩項變數的剪力強度公式：. τ ff = c′ + (σ f − ua ) f tan φ ′ + ( ua − uw ) f tan φ b .......................(2-9) 其中：. 13.
(31) τ ff 為破壞時，破壞面上的剪應力 c′ 為凝聚力 (σ f − ua ) f 為破壞時，破壞面上的淨應力 σ ff 為破壞時，破壞面上的總應力 uaf 為破壞時，破壞面上的氣壓 φ ′ 為相對於淨應力的摩擦角. (ua − uw ) f 為破壞時的基質吸力大小 φ b 為一角度，描述剪力強度隨基質吸力增加的趨勢 剪力強度、淨應力與基質吸力的關係，可用三維的曲面表示，如圖 2.6 所示. 圖 2.6. 剪力強度與吸力、淨應力的關係 (Fredlund 與 Rahardjo, 1993). 實驗結果顯示，對於相同種類的土壤，無論吸力值大小，摩擦角φ ′ 仍 為一特定值。 φ b 在吸力不超過空氣進氣值時，大小與φ ′ 相等，一旦吸力大 於空氣進氣值，則 φ b 隨著基質吸力的上升而逐漸降低，使得剪力強度對吸 14.
(32) 力的關係為非線性的變化，如圖 2.7 所示，其原因為吸力較高時，飽和度降 低，因此吸力的影響力也逐漸降低(Fredlund 與 Raharjo, 1993)。. 圖 2.7. 剪力強度對吸力的非線性變化 (Lu 與 Likos, 2004). 若直接以 Bishop(1959)的有效應力公式代入莫爾庫倫準則，可以得到與 式(2-9)相似的結果： τ ff = c′ + (σ f − ua ) + χ ( ua − u w ) f tan φ ′ .......................(2-10) f Fredlund 與 Raharjo(1993)曾比較式(2-9)與式(2-10)。得到 χ 與 φ b 的關 係如下： tan φ b χ= ........................................................................ (2-11) tan φ ′ 由式(2-11)可知， χ 與 φ b 隨吸力的遞減事實上為相同的觀念，皆反應出 吸力值增加後，影響力隨著飽和度降低的現象。 若以淨應力為橫座標，軸差應力為縱座標，則破壞包絡線的位置將隨 吸力增加而上升，如圖 2.8 所示，此結果同時也代表臨界狀態線將隨吸力上 升。然而 Khalili, et al.(2004)收集多項研究結果，並以有效應力為橫座標重. 15.
(33) 新繪圖，發現對於同一種土壤而言，臨界狀態線不隨吸力改變位置，如圖 2.9 所示。由此可知，在討論部分飽和的土壤剪力強度時，有效應力的觀念 應是適用的。. 圖 2.8. 以淨應力為橫座標時，破壞包絡線隨吸力上升 (Fredlund 與 Rahardjo, 1993). 16.
(34) . 圖 2.9. 四種土壤在不同吸力下的臨界狀態線 (Lu 與 Likos, 2004) (數據取 自 Khalili, et al.2004) 17.
(35) 2.1.6 部分飽和土壤的體積變化特性 部分飽和土壤在吸力不變的情況下，施加圍壓增加則體積縮小，解壓 則回脹，此現象與飽和時相似。若在淨應力固定的情況下，改變吸力的大 小，則體積變化的情況較為複雜。因此本節將體積變化之特性分為兩部分 討論。. 固定吸力下，土壤體積隨淨應力的變化： 在吸力不變的情況下，土壤體積隨淨應力改變的趨勢，可從壓密曲線 觀察之。實驗結果顯示，當土壤內部有吸力存在時，壓密曲線仍有兩種斜 率，分別反應過壓密與正常壓密兩種階段。然而和飽和時的壓密曲線相比， 部分飽和土壤的正常壓密線段有向右移動的現象，吸力越大則正常壓密曲 線的位置越向右移動(Alonso, et al., 1990; Wheeler 與 Sivakumar, 1995; Futai 與 Almeida, 2005)，如圖 2.10 所示。. 18.
(36) 圖 2.10. 壓密曲線隨吸力變化的趨勢 (Futai 與 Almeida, 2005). 欲使吸力上升，飽和度必須逐漸下降，然而飽和度最終的下限為 0，因 此正常壓密曲線向右移動的趨勢有一邊界存在。在移動的過程中，除了截 距的改變以外，正常壓密曲線的斜率亦有隨吸力改變的趨勢。 在土壤為過壓密的情況下，解壓再壓曲線的斜率也隨吸力有些微的改 變，但改變程度非常有限(Alonso, et al., 1990)。因此，在討論部分飽和土壤 的彈塑性行為時，許多文獻假設解壓再壓曲線的斜率不隨吸力改變(Loret 與 Khalili, 2002; Gallipoli, et al., 2003; Chiu 與 Ng, 2003)。. 固定淨應力下，土壤體積隨吸力的變化： 在固定的圍壓下，若降低飽和度使吸力上升，土壤體積將隨之收縮， 此現象被稱為吸力壓密(suction consolidation)或乾縮(shrinkage) (Kohgo, et. 19.
(37) al., 1993)。 Fleureau, et al. (1993) 曾對 11 種不同土壤，測試乾濕循環 (drying-wetting cycle)後的體積變化。在吸力從 0 逐漸上升至空氣進氣值的 階段，體積變化的斜率較大，超過空氣進氣值後，斜率則較小，若將吸力 逐漸降回 0，體積將以此斜率逐漸回脹，圖 2.11 為其中兩種土壤的實驗數 據。. 20.
(38) (a). (b) 圖 2.11. 土壤在乾濕循環下的體積變化： (a) Jossigny laom (b) White clay (Fleureau, et al., 1993). 上述的實驗結果，若以有效應力的觀念，可以得到合理的解釋：吸力 上升則有效應力上升，土壤體積收縮；反之則回脹。然而部分飽和土壤而 21.
(39) 在飽和度上升的過程中，也有可能發生體積突然收縮的現象，此現象被稱 為濕陷(wetting collapse)。在 1960 年代，濕陷被視為有效應力觀念無法解釋 的現象(Jennings 與 Burland, 1962)，成為早期有效應力觀念未被採用的原因 之一。 Khalili, et al. (2004)曾討論有效應力觀念對於部分飽和土壤的適用性， 並解釋濕陷發生的原因。假設土壤在初始時為部分飽和，其正常壓密線的 位置如圖 2.12 中的線段 B 所示，體積與有效應力的狀態如點 1 所示。此時 若吸力下降，則有效應力也隨之下降，體積因解壓而回脹，如點 2 所示。 然而在真實情況下，正常壓密線的位置也應隨吸力下降而左移，若其左移 的速度較快，到達線段 A 的位置，則此時對應的孔隙比應為圖中的點 3 所 示。換言之，在正常壓密線左移的速度較快時，土壤並非遵照彈性的行為 回脹(路徑 1-2)，而是維持在正常壓密的狀態，產生塑性的體積收縮(路徑 1-3)，此即濕陷發生的原因。. 圖 2.12. 濕陷發生的原因 (Khalili, et al., 2004) 22.
(40) 除了上述的體積變化特性外，Sharma (1998)曾以高度膨脹性的黏土進 行試驗，在反覆的乾濕循環之下，土壤產生了不可回復的體積應變，如圖 2.13 所示。. 圖 2.13. 土壤在反覆乾濕循環下的體積變化 (Sharma, 1998). 在反覆的乾濕循環中，阻滯現象的影響更為顯著，欲討論此時的體積 變化特性，必須考慮阻滯現象的影響。. 2.1.7 部分飽和土壤的地下水流動特性 在地下水流動的問題中，部分飽和土壤最主要的特性為滲透係數會隨 飽和度改變。原因為孔隙中若有一部分的通道被氣體佔據，將使孔隙水流 動的通道變窄，效果等同於土壤固體的部分增加，而孔隙水減少(Childs,. 23.
(41) 1969)。 關於滲透係數的非飽和土壤中的變化趨勢，過去已有許多學者進行研 究。然而本研究重點乃針對力學行為與特性進行探討，因此對滲透係數進 行不擬深入探討。事實上本研究所擬運用之地工分析軟體 FLAC 本身已能 考量滲透係數隨飽和度的變化，其近似方法將在後續章節中再加以討論與 說明。. 2.2 部分飽和土壤的組合律 本研究收集數篇部分飽和土壤組合律的相關文獻，並挑選較具有特色 與參考價值者做進一步介紹。欲討論的文獻與其簡介如表 2.1 所列 表 2.1. 部分飽和土壤組合律相關文獻. 作者. 模型主要特性簡介. Alonso, et al. (1990). 最早提出的部分飽和土壤組合律，以 Cam-clay model 進行延伸，使其適用於部分飽和土壤。可模 擬乾縮、吸水回脹或失陷等行為。. Loret 與 Khalili(2000). 完整考慮土壤固體、孔隙水與氣體三相的應力應 變，可模擬真實的應變行為。使用有效應力觀念。. Loret 與 Khalili(2002). 使用有效應力觀念，同樣以 Cam-clay model 為基 礎，但對屈服面進行調整。以定量的準確度為目標。. Blatz 與 Graham(2003). 引用 Alonso, et al.(1990)建立的模型，以實際試驗 結果討論其適用性，並提出修改的建議。. Chiu 與 Ng(2003). 可模擬土壤多方面的行為，且在定量上的準確度相 當高，但所需的參數亦相當繁多。. 24.
(42) Gallipoli, et al.(2003). 理論架構完全基於實際物理現象，所使用的參數具 物理意義，但模擬的行為僅針對等向壓密。. Sheng, et al.(2004). 以類似彈塑性的觀念模擬特徵曲線的阻滯現象，可 掌握乾濕循環下，體積應變的複雜行為。. Pereira, et al.(2005). 將前人所建立的架構套用於 CJS model，使模擬結 果更為精準。. Russell 與 Khalili(2006). 將前人所建立的架構套用於 bounding surface model，可模擬漸進的塑性變形。. 在彈塑性的模型中，吸力造成的影響主要有兩項：一為有效應力的變 化，二為屈服強度隨吸力上升，也就是所謂的硬化(hardening)。壓密試驗中， 正常壓密線隨吸力增加而右移的趨勢，事實上即為硬化的結果。本節將針 對各模型的特性進行討論，其中吸力造成的硬化為討論的重點之一。至於 有效應力的模擬，各模型的差異性在於參數 χ 採用不同的公式計算，但觀 念皆相似，因此不做介紹。 本研究將運用 FLAC 軟體可撰寫使用者自行發展力學模式之副程式 （User-defined model, UDM）的功能，目標在於希望本研究所發展之部分飽 和組合律能易於應用且參數易於標定，因此所需參數數量宜盡可能精簡， 並能由較單純之實驗數據來率定參數。為先掌握與比較各模式於實際應用 上之難易，本節也將針對各模式中參數使用量與實際運用的便利性加以討 論。. 2.2.1 Alonso, et al.(1990)的組合律 Alonso, et al.為最早嘗試建立部分飽和土壤組合律的學者。其作法為修 改 Cam-clay model，使其能夠模擬部分飽和土壤的行為。. 25.
(43) 原始的 Cam-clay model 以平均有效應力 p′ 與軸差應力 q 描述應力狀 態，Alonso, et al.則以淨平均應力 p 、軸差應力 q 與吸力 s 三項變數描述，屈 服面在 p - q - s 空間中的形狀如圖 2.14 所示。. 圖 2.14. Alonso, et al.模型的屈服面，在 p-q-s 空間中的形式 (Alonso, et al., 1990). 在 p - q 平面上，屈服面的形式仍為橢圓形，但半徑將隨吸力上升而擴 大，模擬土壤受吸力而硬化的行為，如圖 2.15 所示。除此之外，橢圓左端 與 p 軸的交點隨吸力上升而向左移動，模擬吸力存在時，土壤可承受負的 淨應力。 在 p - s 平面上，屈服面由 LC (loading collapse)與 SI (suction increase)兩 線段組成，如圖 2.16 所示。其中 LC 代表淨應力造成的屈服，吸力增加， 則淨應力的屈服強度隨之上升。Alonso, et al.假設吸力超越土壤曾受過的最 大吸力 s0 時，也會有屈服的現象發生，因此設定一吸力的屈服面 SI，一但. 26.
(44) 吸力大於 s0 ，則土壤發生塑性體積應變。. 圖 2.15. Alonso, et al.模型的屈服面，在 p-q 平面上的形式 (Alonso, et al., 1990). 圖 2.16. Alonso, et al.模型的屈服面，在 p-s 平面上的形式 (Alonso, et al., 1990). 吸力存在時，土壤可承受負的淨應力，因此圖 2.16 中有一左邊界，隨 著吸力增加逐漸向左移動。Alonso, et al.假設此邊界的變化趨勢為線性，以 參數 k 代表其變化的速率。 屈服面 LC 與 SI 雖然代表兩種不同的機制，但兩者卻並非獨立。若應. 27.
(45) 力狀態到達 SI，使 SI 的位置改變，則 LC 的位置也將隨之改變，使得此模 型在使用上較為複雜。 後續研究(Loret 與 Khalili, 2002; Blatz 與 Graham, 2003)發現吸力屈服 面 SI 的設定在某些情況下並不符合實際現象，許多實驗結果指出，土壤即 使受到大於 s0 的吸力，體積應變也仍為可回復(reversible)的彈性應變。但在 後續學者 Sheng, et al.(2004)的研究中，吸力屈服面的設定被加以修改，並 運用於模擬特徵曲線阻滯現象所造成的影響，得到了成功的模擬結果。 在屈服面內，吸力變化產生的彈性體積應變量，與淨應力造成的體積 應變量不同，必須新增一參數 κ s 描述，其關係式如下： dvse = −κ s. ds ..........................................................(2-12) ( s + pat ). 其中 dvse 為吸力造成的彈性體積應變 pat 為大氣壓力，避免 s = 0 時等式右邊的分母為 0 正常壓密線隨吸力變化的趨勢，可以反應出吸力造成的硬化，影響到 屈服面 LC 的形狀。Alonso, et al.建議以下列關係式模擬正常壓密線的斜率： λ ( s ) = λ ( 0 ) ⋅ (1 − r ) ⋅ e − β s + r .......................................(2-13) 其中：. λ ( s ) 代表吸力等於 s 時，正常壓密線的斜率 λ ( 0 ) 代表吸力為 0 時，正常壓密線的斜率 r 為吸力趨近無限大時， λ ( s ) 與 λ ( 0 ) 的比值 β 為一參數，控制 λ 隨 s 變化的速率 上式的特性在於 s 趨近無限大時， λ 有一極限值，且 s 越大， λ 變化的 28.
(46) 速率越慢。此特性符合土壤的實際行為。 此模型並未對 Cam-clay model 進行複雜的修改，但已可模擬乾縮、吸 水回脹、濕陷等特性，其中許多基本觀念皆為後續學者引用，對於部分飽 和組合律的發展有重要的影響。 在參數的使用方面，為了模擬部分飽和土壤的性質，此模型必須新增. k 、 κ s 、 β 與 r 四個參數，另外增加一參數調整塑性流法則，但此參數與部 分飽和土壤的行為無關。若使用有效應力的觀念，則 k 與 κ s 兩參數可以省 略，因此在參數的精簡上還有改善的空間。. 2.2.2 Loret 與 Khalili(2000)的組合律 此模型的特色為完整計算土壤固體、孔隙水與氣體三相的應力與應 變，可模擬定體積等情況下的試驗。其中土壤固體的彈塑性行為以 Cam-clay model 描述之，並使用 Bishop(1959)的有效應力觀念。由於考慮到液體與氣 體的變形，理論推導時必須引入連續方程式與理想氣體方程式等諸多公 式，在此不做贅述。 在 Cam-clay model 中，屈服面的大小由 pc 控制。由前人研究結果已知， 吸力增加時，土壤的屈服強度將上升，意即 pc 應隨吸力增加，因此 Loret 與 Khalili(2000) 設 pc 為吸力的函數，其關係式如式(2-14)所示。. (. pc = pc ,0 ⋅ exp (ξ X ) ⋅ pcm seff. ) + p ( s ) .....................(2-14) ca. eff. 其中： pc ,0 、ξ 為材料常數 X 為硬化參數，在此模型中為塑性體積應變. seff 為有效吸力，其定義為吸力除以空氣進氣值後減 1， seff 代表 29.
(47) seff < 0 時，取 seff = 0 pcm 、 pca 為 seff 的函數，描述 pc 隨吸力變化的趨勢 此模型雖完整考慮三相的應力應變，但並未對 Cam-clay model 進行任 何的細部修改，例如屈服面的形狀等。在定量上，此模型的準確度未必能 達到相當準確，但在定性上，此模型可以確實掌握三相混合體的行為。 此模型的參數可分為兩部分，一為 pc 的相關參數ξ 、 pcm 、 pca ，其餘 為模擬特徵曲線所需的參數 γ 1 、 γ 2 。其中特徵曲線的參數率定較為簡單， 而 pcm 、 pca 為吸力的非線性函數，且沒有明確的物理意義，不易由實驗數 據中求得，此為應用上的一大缺點。. 2.2.3 Loret 與 Khalili(2002)的組合律 相對於 Loret 與 Khalili 先前在 2000 年提出的三相模型，此模型著重於 定量上的準確性。土壤的彈塑性行為仍採用 Cam-clay model 為架構，但對 於屈服面的形狀有些微調整，如圖 2.17。. 圖 2.17. 偏斜橢圓屈服面 (Loret 與 Khalili, 2002) 30.
(48) Cam-clay model 中，屈服面的 pc 即為預壓密壓力，當正常壓密線隨吸 力上升而右移時， pc 也應隨之增大，反之則 pc 降低，如圖 2.18 中的 C 點與 D 點所示。Loret 與 Khalili(2002)藉此推導出 pc 隨吸力變化的關係式如下： 1 + ei pc ( s ) = ψ ( s ) exp ε vp pc 0 λ (s) − κ N ( s ) − N ( 0) λ ( s ) − λ ( 0) p ψ ( s ) = exp − ln c 0 .......(2-15) p λ (s) − κ λ ( s ) − κ ref 其中： p c 0 為吸力等於 0 時的 pc 值 ei 為初始時的孔隙比. N ( s ) 、 λ ( s ) 為正常壓密線的截距與斜率，皆為吸力的函數 κ 為解壓再壓曲線的斜率 ε vp 為塑性體積應變 pref 為橫座標之一參考值，由於 p 在對數座標中不可為 0，因此在 每一條正常壓密線上，皆以 pref 所對應的孔隙比為 N ( s )，圖 2.18 中設 pref 為 1. 31.
(49) 圖 2.18. pc 隨正常壓密線移動而變化. 上述關係式看似複雜，簡單來說，即為 N 、 λ 隨 s 變化，而 pc 又隨 N 與. λ 變化。許多組合律的相關文獻皆以類似的方式推導 pc 與吸力的關係式。 由於彈塑性行為主要仍由土壤固體的結構所控制，此模型忽略孔隙水 與氣體的應力應變關係，僅以定量的準確性為目標。即使如此，此研究所 建立的方法仍可與 Loret 與 Khalili 在 2000 年提出的三相模型結合，使得 原有的模型在定量上更為精確。 參數的使用上，描述橢圓屈服面的偏斜必須使用參數 r ，而吸力造成的 硬化則必須使用 N ( s ) 與 λ ( s ) 兩函數。Loret 與 Khalili 假設此兩函數為線 性，因此實際應用時需要四個參數表示其函數關係。然而 N ( s ) 與 λ ( s ) 的實 際值可直接由不同吸力下的壓密曲線中求得，因此參數的率定較為容易，. 32.
(50) 此為應用上的優點。缺點為 N ( s ) 與 λ ( s ) 在實際上並非線性的函數，當吸力 較大時，將產生較大的誤差。. 2.2.4 Blatz 與 Graham(2003)的組合律 Blatz 與 Graham(2003)的研究其實並未提出新的組合律理論，主要引 用 Alonso, et al.(1990)所建立的模型，應力的狀態仍以淨應力與吸力兩變數 描述，並以實驗結果探討 Alonso, et al.(1990)的模型是否符合實際現象。 Blatz 與 Graham(2003)以較新的三軸試驗設備，針對砂與蒙脫土的混 合物進行試驗，試體具有高塑性、高度膨脹性等性質。試驗時施加的圍壓 最大可達 7 Mpa，吸力最大可達 30 Mpa 以上，提供了範圍廣泛的數據。 研究結果發現，若土壤在正常壓密的情況下固定淨應力，先增加吸力 再降低，所有試體的體積應變皆可回復(reversible)，顯示出 Alonso, et al.(1990)所假設的吸力屈服面 SI 在某些情況下並不符合實際現象。 參數方面，由於 Blatz 與 Graham 乃引用 Alonso, et al. (1990)的模型， 所使用的參數與 Alonso, et al.相同。. 2.2.5 Chiu 與 Ng(2003)的組合律 Chiu 與 Ng(2003)的組合律模型的特色為土壤各方面的特性都能有良好 的模擬結果，不僅能定性掌握土壤行為，在定量上也相當準確。此模型的 屈服面在 p-q 平面上不採橢圓形，而是由兩直線段構成，分為代表剪力和圍 壓造成的屈服，如圖 2.19 (b)所示。而兩種方式的屈服各有其塑性應變的相 關參數，包括硬化參數、膨脹性等。除此之外，體積含水量(specific water content, vw )隨圍壓的變化，以及土壤到達臨界狀態時的特性，也都列入模 擬的項目中。. 33.
(51) 圖 2.19. Chiu 與 Ng 模型中的屈服面 (Chiu 與 Ng, 2003). 在不排水或固定含水量的狀況下，體積含水量將隨總體積或圍壓改 變，連帶影響吸力的大小。但此模型並未完整模擬土壤三相的應力應變關 係，因此體積含水量的變化必須以特定的關係式模擬。Chiu 與 Ng 引用 34.
(52) Wheeler(1996)提出的方法，先估計孔隙氣體的體積比 ea ，再以比體積 v 減去 ea ，即可得到體積含水量，其關係式如下： p ( 0) ea = A ( s ) − α ( s ) ln 0 ............................................(2-16) p at vw = v − va .......................................................................(2-17) 其中： A , α 為吸力 s 的函數，由實驗數據中率定. p0 ( 0 ) 為吸力為 0 時，等向壓密的屈服應力，參考圖 2.19(a) pat 為大氣壓力 為求能夠多方面的模擬土壤行為，且在定量上達到準確，此模型所使 用的參數相當繁多。而其中大部分的參數又被假設為吸力的函數，因此必 須引入更多參數描述之。在實際應用上，參數的數量可達 20 個以上。. 2.2.6 Gallipoli, et al.(2003)的組合律 Gallipoli, et al.(2003)模型的特色在於完全建基於物理，所設立的參數皆 有實際物理意義。 吸力的影響在此模型中被分為兩部分，分別是水壓的降低以及液面(孔 隙水與空氣的界面)的張力增加。其中，水壓只對有效應力有所影響。而液 面的張力提供土壤顆粒間額外的鍵結力，不但使有效應力上升，更增加了 土壤的勁度。由於上述原因，此模型特別建立一變數ξ ，估計表面張力造成 的影響，其公式如下：. ξ = f ( s )(1 − Sr ) .............................................................(2-18). 35.
(53) 其中：. f ( s ) 為表面張力在土壤顆粒間產生的鍵結力，為吸力 s 的函數， 可由物理上的公式求得解析解 S r 為飽和度 此公式的物理意義為單一液面造成的鍵結力，乘以土壤孔隙內液面的 數量，等於土壤整體所受到的鍵結力。由於飽和度越高，土壤內部的液面 數量就越少，因此上式以 (1 − Sr ) 估計液面數量造成的影響。當飽和度為 1 時，土壤內部不存在液面，此時ξ 將等於 0。 就物理意義而言，正常壓密線的移動代表土壤固體結構的硬化，此現 象應與ξ 相關，因此 Gallipoli, et al.以下式描述此現象： e = 1 − a 1 − exp ( b ⋅ ξ ) .................................................(2-19) es 其中： e 為土壤在吸力為 0 時的孔隙比 es 為土壤受到吸力時的孔隙比 a , b 為迴歸分析所得之參數 由上述關係式，當ξ 越大時， e 與 es 的比值越大，因此可以描述正常壓 密線的右移(上移)。 此模型的理論架構極具物理意義，但文獻中只針對等向壓密時的行為 進行理論推導和驗證，在產生剪應變的情況下未必能有良好的模擬結果。 參數的使用上，描述吸力造成的硬化需要 a 、 b 兩參數以及變數ξ 。其 中ξ 與吸力造成的鍵結力 f ( s ) 有關，且 f ( s ) 為非線性函數，其中至少需要. 36.
(54) 兩個以上的參數。. 2.2.7 Sheng, et al.(2004)的組合律 Sheng, et al.(2004)的模型，最重要的特性在於可模擬特徵曲線的阻滯現 象。吸力與飽和度之間的關係被假設為類似彈塑性的模式，如圖 2.20。圖 中的上邊界為主要排出曲線(main drainage curve)，下邊界為主要濕潤曲線 (main wetting curve)。當吸力的路徑沿上下兩邊界移動時，相當於塑性的關 係；當乾濕循環發生時，吸力與飽和度的關係則在上下兩邊界之間來回變 化，相當於彈性的關係(如圖中 C-H 與 B-E 兩路徑)。. 圖 2.20. 特徵曲線阻滯現象的模擬 (Sheng, et al., 2004). 土壤本身的彈塑性行為，Sheng, et al.主要引用 Alonso, et al.(1990)所建 立的模式，但採用有效應力的觀念，屈服面建立在 p′ - q - s 空間中，如圖 2.21 所示。 此外，為了模擬阻滯現象，Sheng, et al.在 s 軸方向上設立了 SI 與 SD 兩屈服面，分別對應主要排水曲線與主要吸水曲線。當乾濕循環發生時， 體積變化的模擬如圖 2.22 所示。 37.
(55) 圖 2.21. 圖 2.22. Sheng, et al.模型中的屈服面 (Sheng, et al., 2004). 模擬阻滯現象造成的塑性體積應變 (Sheng, et al., 2004). 38.
(56) 雖然真實的阻滯現象較 Sheng, et al.所提出的模擬方式更為複雜，但此 模型已可表現出體積變化的各種特性。對於部分飽和土壤的組合律而言為 一大改進。 參數方面，為了模擬阻滯現象，必須有主要排水曲線與主要濕潤曲線 的函數，以及兩曲線間掃描曲線的斜率。若以最簡單的公式模擬，兩特徵 曲線共需要四個參數描述。假設所有的掃描曲線斜率皆為定值，則須以一 參數 K s 代表此斜率。由於此研究的重點在於阻滯現象的模擬，關於吸力造 成的硬化，或是正常壓密線的變化趨勢，並未提出模擬的方法。. 2.2.8 Pereira, et al.(2005) 及 Russell 與 Khalili(2006)的組合律 非飽和土壤的組合律發展至近年，已經掌握了非飽和土壤大部分的定 性行為，但大部分的研究仍以 Cam-clay model 為基礎進行延伸，於定量的 準確度上可能仍難免會有些差距。Pereira, et al. (2005) 以及 Russell 與 Khalili (2006)兩項研究的目的皆為提升模擬的準確度：Pereira, et al. (2005)採用 CJS model (Cambou-Jaffari-Sidoroff model)，Russell 與 Khalili (2006) 則採用 Bounding surface model 進行延伸，使其適用於部分飽和土壤。 CJS model 的特性在於彈性應變可為非線性的變化，而塑性的剪應變除 了使用等向硬化(isotropic hardening)的法則外，還具有動態硬化(kinematic hardening)的性質。 Bounding surface model 的優點在於塑性應變為漸進式的變化，使得應 力狀態在接觸屈服面時，應變量不會有突然的轉折，此特性能夠更精確的 模擬應變量的變化趨勢。 CJS model 經由 Pereira, et al.(2005)修改後，可模擬部分飽和土壤的主要. 39.
(57) 特性。而 Russell 與 Khalili(2006)的模型除了阻滯現象以外，也可模擬所有 特性。兩模型在定量上的準確度都有相當良好的表現。. 2.2.9 各組合律在實際應用上的比較 將組合律實際應用於數值模擬時，必須能夠取得所有的參數，因此參 數的數量以及率定上的難易度為實際應用的重點之一。 各組合律對於土壤行為的掌握程度不同，大致上，可納入模擬的行為 越多樣化，則相對於原來之 Cam-clay model，所新增的參數必然越多。將各 組合律新增的參數數量，依其用途分類後再討論，結果如表 2.2 所示。 其中 Pereira, et al.(2005)與 Russell 與 Khalili(2006)的組合律以定量的 準確度為目標，重點在於基本彈塑性模型的變化，因此不列入比較。Blatz 與 Graham(2003)主要引用 Alonso, et al.(1990)的架構，參數相同，亦不列入比 較。 表 2.2 作者 Alonso, et al. (1990). 各組合律所需參數比較. 新增的參數數量與其用途. 應用上的優缺點. 屈服面形狀：1 參數 未考慮特徵曲 吸力造成的彈性變形：1 參數 線。若採用有效應 正常壓密線斜率：2 參數 力觀念，可省略其 調整塑性流法則：1 參數 中兩參數。. Loret 與 Khalili (2000). 特徵曲線：2 參數 吸力造成的硬化：3 參數. 參數的率定較困 難。. Loret 與 Khalili (2002). 屈服面形狀：1 參數 正常壓密線的變化：4 參數. 參數取得容易，但 在吸力較大時易 產生誤差。. 40.
(58) Chiu 與 Ng(2003) 含水量隨應力的變化：4 參數 以上 正常壓密線的變化：3 參數 臨界狀態：4 參數以上 塑性變形特性：10 參數以上 Gallipoli, et al.(2003). 須要率定的參數 繁多. 正常壓密線的變化：4 參數以 未考慮特徵曲 上 線。只模擬等向壓 密行為。. Sheng, et al.(2004) 特徵曲線阻滯現象：5 參數以 可模擬阻滯現 上 象，模型架構較為 複雜。 (仍未含基本特性的模擬所需 要之其他參數) 為了描述出吸力所造成的硬化，必要參數為正常壓密線或 pc ( s ) 的相關 參數。此外，欲建立飽和度與吸力間的關係，必須有特徵曲線的函數。在 不考慮定量準確度的情況下，其餘參數皆可視需要選用。 吸力造成的硬化，相關參數用量最少者為 Alonso, et al.，只使用兩參 數。但只有將吸力與淨應力視為獨立兩變數時，才能有此簡化的結果。若 使用有效應力觀念，至少須有三個以上的參數，才能描述吸力造成的硬化。 至於特徵曲線所需的參數量，則視選擇的公式而定，至少需要兩參數。 由表 2.2 可知，目前的組合律中使用參數之數量其範圍甚大，而在實際 應用上，各組合律均有其有優缺點。若綜合其中各項優點，應可建立更實 用的模型。. 41.
(59) 2.3 降雨對邊坡穩定的影響與分析 殘餘土覆蓋的邊坡，在暴雨發生時特別容易發生滑動，此現象在高溫 多雨的熱帶與亞熱帶地區特別明顯(Chen, et al., 2004; Collins, et al., 2004)。 而這種由暴雨觸發的滑動通常發生在邊坡的淺層，有時甚至會轉變為流動 的形式(Olivares 與 Picarelli, 2003)。 降雨入滲對邊坡的影響，除了使孔隙水壓上升外，同時也造成部分飽 和區域的吸力降低，連帶影響剪力強度。因此，吸力對於邊坡的穩定性相 當有影響(Fredlund 與 Rahardjo, 1993) 針對降雨造成的邊坡破壞，許多學者曾提出模擬的方法。本研究所收 集的相關文獻如表 2.3 所列。 表 2.3. 降雨入滲時的邊坡穩定相關文獻. 作者. 研究內容. Ng, et al. (2001). 使用有限元素法對一實際案例進行三維模擬，但僅 考慮降雨造成的滲流變化，並不考慮吸力。. Cho 與 Lee (2002). 修改極限平衡法中的切片法，使其能夠考慮吸力對 剪力強度的影響。. Tsaparas, et al. (2002). 使用有限元素法分析降雨時的邊坡穩定性，但吸力 僅被視為負孔隙水壓，並未影響彈塑性行為。. Collins, et al. (2004). 修改極限平衡法中的切片法，使其能夠考慮吸力對 剪力強度的影響。. Sharma 與 以無限邊坡分析，探討降雨時的邊坡穩定性，吸力 Nakagawa (2005) 的影響被考慮在內。 上述文獻可分為有限元素分析與極限平衡法兩類。其中極限平衡法雖 42.
(60) 能考慮吸力的影響，但無法討論淺層邊坡破壞時的變形性。 Tsaparas, et al.(2002)雖使用有限元素法，但並未修改組合律，吸力的影 響僅限於增加有效應力。由於吸力造成的硬化並未考慮在內，因此無法完 全模擬部分飽和土壤的變形行為。 由 2.2 節可知，目前已有許多部分飽和土壤的組合律可供參考，但於邊 坡穩定分析的運用有待進一步嘗試。. 43.
(61) 第三章 研究方法 本研究的工作大致分為三部分。首先由文獻回顧開始，嘗試提出一個 基於有效應力觀念之精簡化部分飽和土壤組合律以期描述部分飽和土壤主 要之力學行為，以利工程實際運用。所謂精簡化是指盡可能讓組合律所需 之材料參數不要太多，以免失去了實用價值。本研究再基於此模式，撰寫 組合律副程式以結合 FLAC 軟體平台模擬部分飽和土壤的相關大地工程行 為。此外為測試此力學模式之功能，也收集一批前人所完成之部分飽和土 壤三軸試驗實際數據，嘗試以本研究所提出之力學模式模擬其試驗結果， 藉以評估此組合律是否能至少能達到大致掌握部分飽和土壤的重要剪力強 度及基本體積變化之特性。最後還會將力學模式運用於部分飽和土壤邊坡 穩定分析，模擬邊坡在降雨入滲時的穩定性，以展示此組合律運用於實際 工程問題的適用性。. 3.1 組合律的建立 本研究乃以 Cam-clay model 為基礎進行修改，使其適用於部分飽和土 壤，並引用 FLAC 軟體為平台以執行後續之數值應力分析。 FLAC 軟體力 學模式庫中已提供 Cam-clay model 模式可供選擇，欲利 FLAC 軟體模擬涵 蓋部分飽和土壤地盤中的工程行為，必須進行的修改工作可分為三項，需 令 FLAC 軟體能納入：(1)吸力考量。 (2)部分飽和土壤力學模式中所採的修 正有效應力定義。(3)吸力所造成的硬化效應。. 3.1.1 吸力考量 為使 FLAC 可考量與計算吸力值，本研究將特徵曲線的方程式納入組. 44.
(62) 合律運算流程中，由 FLAC 本身計算飽和度，再對應至吸力值。特徵曲線 的形式以 van Genuchten(1980)所提出的公式模擬： θ − θr 1 ......................................................(3-1) = θ s − θ r 1 + (α s ) n m 其中：. θ 為體積含水量 θ s 為飽和時的體積含水量 θ r 為殘餘體積含水量 α , n , m 為參數，影響特徵曲線的形狀，其中 m 為 n 的倒數 van Genuchten(1980)建議一般情況下可將 θ r 設為 0，此時上式的等號左 邊即為飽和度 S r 。又因 m 為 n 的倒數，上式可改寫為： Sr =. 1 1 + (α s ) n. 1 n. .............................................................(3-2). 為了以飽和度推估吸力值，必須將上式改寫為 s ( Sr ) 的函數關係，改寫 後的公式如下：. s=. (S. −n r. ). −1. α. 1 n. ..................................................................(3-3). 3.1.2 有效應力 土壤的有效應力需改以 Bishop(1959)的公式計算，其中包括淨應力與吸 力兩部分。由於大部分的工程問題中，土壤孔隙的氣壓為 0 (Fredlund 與 Rahardjo, 1993)，因此在本研究中假設淨應力與總應力相等，而吸力被視為. 45.
(63) 負孔隙水壓。簡化後的有效應力公式如下： σ ′ = σ − χ ⋅ u w ...................................................................(3-4) 其中：. σ ′ 為有效應力 σ 為總應力 χ 為有效應力參數 uw 為孔隙水壓，當飽和度小於 1 時， uw = − s 有效應力參數 χ 的值，本研究選用 Khalili 與 Khabbaz(1998)的公式計 算： χ =1 s χ = se . , s ≤ se −0.55. , s > se. .......................................................(3-5). 其中 se 為空氣進氣值. 3.1.3 吸力所造成之硬化 吸力除了影響有效應力之外，最大的影響在於土壤的硬化。由前人研 究可知，欲求得 pc 與 s 的函數關係有許多不同的方法。本研究選擇以正常 壓密線(NCL)隨吸力的變化推估 pc 值，其觀念如圖 3.1 所示。圖中 URL 為 解壓再壓曲線。. 46.
(64) 圖 3.1. pc 隨吸力的變化. 由圖 3.1 所表示的關係，可列出下列方程式：. v1 = N ( 0 ) − λ ( 0 ) ⋅ ln pc ( 0 ) ................................................(3-6) v2 = N ( s ) − λ ( s ) ⋅ ln pc ( s ) ................................................(3-7) v1 − v2 = κ .......................................................(3-8) ln pc ( s ) pc ( 0 ) 其中：. N 為正常壓密線上，圍壓等於 1kPa 時所對應的比體積， N ( s ) 代 表吸力等於 s 時的 N 值. λ 為正常壓密線的斜率， λ ( s ) 代表吸力等於 s 時的 λ 值 κ 為解壓再壓曲線的斜率，不隨 s 變化 綜合上述方程式，可推得 pc 與 s 的關係式為： 47.
(65) κ −λ ( 0 ) N ( 0) − N ( s ) pc ( s ) = exp ⋅ p 0 c ( ) κ −λ ( s ) ..........................(3-9) κ − λ s ( ) . 由壓密試驗的結果，可得知 N 、 λ 與 κ ，採用此公式的好處為參數可由 壓密試驗的結果取得。 然而在數值模擬中， N 與 λ 隨 s 變化的關係也必須以數學式描述，本研 究引用 Alonso, et al.(1990)提出的公式描述 λ ( s )，並參考 Chiu 與 Ng(2003) 的方法，以相同的公式模擬 N ( s ) ： λ ( s ) = λ ( 0 ) ⋅ (1 − rλ ) ⋅ e − β s + rλ .....................................(3-10) N ( s ) = N ( 0 ) ⋅ (1 − rN ) ⋅ e − β s + rN .................................. (3-11) 其中： rλ 為土壤吸力趨近無限大時， λ ( s ) 與 λ ( 0 ) 的比值 rN 為土壤吸力趨近無限大時， N ( s ) 與 N ( 0 ) 的比值 β 為一參數，影響 N 與 λ 隨 s 變化的速率 在此部分飽和土壤組合律之架構下，一旦飽和度趨近於 100％，即等同 於飽和土壤之常引用之 Modified Cam-clay 模式。以上之介紹僅為理論架構 的建立，在 FLAC 軟體架構中建立此組合律的作法細節，則將在第四章中 介紹。. 3.2 組合律的測試 為驗證本研究之部分飽和力學模式後是否能確保數值運算上的正確性 以及是否能確實模擬部分飽和土壤的行為，本研究中進行了一系列測試， 項目如表 3.1 所列。. 48.
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