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(1)

中文摘要

本研究探討頂面驅動而底面具波形熱壁面之正方形孔穴內混合對流現象。採用高 階等向性元素微分法求解可壓縮 Navier-Stokes 統御方程式,流通量之計算上分解成 流速項、擴散項以及壓力項,各項之微分皆採用中央差分方式計算,而壓力項於近壁 面以非中央之外插方式完成。加總之各點流通量利用預置矩陣以二階 Runge-Kutta 時 間積分方式疊代。研究首先利用文獻結果驗證數值程式之開發,並針對不同網格數分 析對熱傳結果之影響。文章透過流線、等溫線、局部紐塞數以及平均紐塞數方式探討 不同馬赫數、理查森數、雷諾數以及波形壁之深淺對混合對流之影響,透過浮力、擴 散與對流作用其波形壁有一最佳之深度其熱傳量最大,過深之波形壁雖然有更高之局 部紐塞數但其波谷之迴流現象加劇造成局部近似絕熱之效果反而抑制整體熱量之傳 遞。

關鍵字:理查森數、雷諾數、葛拉斯赫夫數、馬赫數、波形壁、高階等向性元素微分 法。

(2)

Abstract

A numerical study of mixed convection inside a lid-driven cavity with a hot wavy wall was carried out. This problem is solved by using a high order isoparametric element differential scheme for the steady compressible Navier-Stokes equations. The pointwise numerical fluxes are separated into convective/viscous fluxes and acoustic fluxes. All the fluxes are calculated by the central sceheme except the acoustic flux where non-central scheme is employed near the wall. The overall residual is integrated using the second-order Runge-Kutta scheme with a preconditioning matrix. The validation of the numerical code used is ascertained by comparing our results with previously published results. Effect of grid density on the heat transfer rate was investigated. Results are shown in the form of streamlines, isotherms, local and average Nusselt number distribution. The results are analyzed for a range of Mach numbers, Reynolds numbers and Richardson numbers for different undulations with different wave amplitude ratio. The results obtained show that there is an optimal amplitude ratio gives the highest heat transfer rate. With further increase of amplitude ratio, raises the local Nusselt number but decreases the average Nusselt number due to the recirculation region is magnified.

Keywords: Richardson number、Reynolds number、Grashof number、Mach number、

(3)

致謝

承蒙恩師 楊副教授一龍諄諄教誨與不斷指導指正,使得本文得以順利完成,在 兩年半的論文指導期間不辭辛苦的用心教導,給予我學習與磨練的機會,對於學術研 究及待人處事方面均獲益良多,此外承蒙口試委員鄭藏勝博士,洪哲文博士及傅武雄 博士的指導,並提出許多寶貴的建議,使得本論文內容更加充實完備,在此致上最誠 摯的敬意與感謝。

在學的過程中,感謝噴射引擎實驗室同學怡君、宏澧及學弟經勝、冠儒、富地...

等人給我的勉勵與肯定,且讓我在學習途中,大家的詼諧風趣與做起事來的幹勁,更 是為這小小的空間裡增添了不少色彩與樂趣。

最要感謝我摯愛的父母親及我的家人,感謝你們所給予的陪伴提攜及支持照顧,

讓我能專心於課業上的研究,使我可以順利完成學業,願將本文獻給在這段求學的過 程中予我支持與幫助我更上層樓的每位好友。

(4)

目錄

中文摘要... 1

Abstract ... 2

致謝... 3

目錄... 4

表目錄... 6

圖目錄... 7

符號定義... 9

第一章 緒論 ...12

1.1 前言 ...12

1.2 文獻回顧...12

1.3 採用方法...17

1.4 章節安排...17

第二章 物理問題描述...18

2.1 混合對流問題與邊界條件...18

2.2 基本假設...18

2.3 無因次參數...18

第三章 數值方法 ...20

3-1 Navier-Stokes 方程式 ...20

3-2 時間積分 ...21

3-3 流通量計算 ...21

(5)

4.1 剪切流場驗證...23

4.2 自然對流驗證...23

4.3 混合對流比較...24

4.4 波數影響...24

4.5 馬赫數之效應...25

4.6 葛拉斯赫夫數效應 ...25

4.7 雷諾數之影響...26

4.8 正弦波振幅之影響 ...27

第五章 結論及未來工作 ...29

5.1 結論 ...29

5.2 未來工作...30

參考文獻...31

(6)

表目錄

表一、中央最大速度、半腰最大垂直速度、左側壁最大與最小局部紐塞數與文獻[24]

比較表。 ...34

表二、平均紐塞數與文獻[7]及二階有限體積法比較表(波數 N=0,1,2,3)。 ...34

表三、平均紐塞數比較表。 ...34

表四、不同振輻與葛拉斯赫夫數下平均紐塞數比較。...34

表五、不同振輻與雷諾數下平均紐塞數比較。 ...34

(7)

圖目錄

圖 2-1 正方形孔穴式意圖。 ...35

圖 4-1 剪切流計算網格圖(41×41)。 ...36

圖 4-2 剪切流場流線分佈圖。 ...37

圖 4-3 剪切流場速度斷面分佈圖。 ...38

圖 4-4 剪切流場渦度分佈圖。 ...39

圖 4-5 自然對流計算網格圖(61×61)。...40

圖 4-6 自然對流溫度分佈圖。 ...41

圖 4-7 自然對流流線分佈圖。 ...42

圖 4-8 自然對流渦度分佈圖。 ...43

圖 4-9 混合對流計算網格圖(上:41×41,中:81×81,下:161×161)。 ...44

圖 4-10 不同網格數之頂面局部紐塞數與文獻[7]比較圖。 ...45

圖 4-11 不同網格數之局部紐塞數分佈圖。 ...46

圖 4-12 混合對流溫度分佈圖與文獻[7]比較圖。...47

圖 4-13 混合對流流線分佈圖。 ...48

圖 4-14 波數影響之溫度分佈圖。 ...49

4-15 波數影響之流線分佈圖。 ...50

圖 4-16 不同波數之局部紐塞數相較文獻[7]之比較圖。 ...51

圖 4-17 不同波數之局部紐塞數相較二階有限體積法之比較圖。 ...52

圖 4-18 不同馬赫數中央斷面溫度分佈圖。...53

圖 4-19 不同馬赫數速度斷面分佈圖。 ...54

圖 4-20 不同馬赫數之局部紐塞數分佈圖。...55

圖 4-21 不同葛拉斯赫夫數之溫度分佈圖(上:Gr=103,中:Gr=104,下:Gr=105)。 ...56

圖 4-22 不同葛拉斯赫夫數下中央斷面溫度分佈圖。 ...57

(8)

圖 4-23 不同葛拉斯赫夫數流線分佈圖(上:Gr=103,中:Gr=104,下:Gr=105) ...58

圖 4-24 不同葛拉斯赫夫數速度斷面分佈圖。...59

圖 4-25 不同葛拉斯赫夫數之局部紐塞數分佈圖。 ...60

圖 4-26 不同雷諾數之溫度分佈圖(上:Re=250,中:Re=500,下:Re=1000)。 ...61

圖 4-27 不同雷諾數中央斷面溫度分佈圖。...62

圖 4-28 不同雷諾數流線分佈圖(上:Re = 250,中:Re =500,下:Re =1000)。 ...63

圖 4-29 不同雷諾數速度斷面分佈圖。...64

圖 4-30 不同雷諾數局部紐塞數分佈圖。...65

圖 4-31 不同振幅下溫度分佈圖(Gr=104,Re=1000)。 ...66

圖 4-32 不同振幅下流線分佈圖(Gr=104,Re=1000)。 ...67

圖 4-33 不同葛拉斯赫夫數(上:Gr=103,中:Gr=104,下:Gr=105)與不同振輻之局部 紐塞數分佈圖。...68

圖 4-34 不同葛拉斯赫夫數與不同振輻(A=0、0.05、0.1、0.15、0.2、0.25)之平均紐塞 數分佈圖。...69

圖 4-35 不同振幅與不同雷諾數(上:Re=250,中:Re=500,下:Re=1000)之局部紐塞 數分佈圖。...70

圖 4-36 不同雷諾數與不同振幅(A=0、0.05、0.1、0.15、0.2、0.25)之平均紐塞數關係 分佈圖。 ...71

(9)

符號定義

A : 波型壁縱深

c : 局部音速 AR : 高寬比,LH1

c

c F

E , : 流速流通量

a

a F

E , : 壓力流通量

v

v

F

E ,

: 擴散流通量

Gr : 葛拉斯赫夫數,

 

2 3

v T T H

g Hc

HD : 深寬比 Hi : 內插函數 H : 總焓

g : 重力加速度 k : 熱傳導係數

K0 : 孔穴內平均溫度之熱傳導係數 L : 加熱長度 H

Ma : 馬赫數,

v a Nu : 平均紐塞數 Nu : 局部紐塞數,

0

HK . T

Nu   TK   x

Nbu : 浮力比,

t sGr Gr

N : 耦合之點數 Pe : Peclet number

P : 壓力 Pr : 普朗特數,

v

: 密度

Ri : 理查森數, 2 Re Gr

(10)

Re : 雷諾數,

v H U0

Ra : 瑞理數,

 

v T T H

g H c

3

S : 重力項 T : 溫度 Ti : 初始溫度 T0 : 平均溫度 Ttop : 頂面溫度 Tbot : 底面溫度

left

Tw, : 左壁溫度

right

Tw, : 右壁溫度 T

 : 上下壁面之溫差 Utop : 上壁速度

U : 流場變數

u : 為

x

方向之速度 v : 為

y

方向之速度 Vmax : 正方形孔穴內最大流速

: 相位角

n : 壁面之法線方向

: 預置矩陣 t

 : 物理時間

希臘符號

 : 熱擴散係數 0

: 加熱位置

: 黏滯係數

(11)

ij : 流體層間的剪應力

下標符號

0 : 平均溫度

top : 頂面溫度

bot : 底面溫度

,

w left : 左壁溫度

,

w right : 右壁溫度

max : 正方形孔穴內最大流速

(12)

第一章 緒論

1.1 前言

在熱量傳遞之探討上,常利用不規則表面、壁面上的溫度分佈設定、在腔內加入 熱源、熱源的擺放位置及滲入奈米流體..等等,皆可有效將熱量的傳遞達到不錯的效 果,而在這方面已有相當的研究,工程方面的應用也極為普遍,如電子設備冷卻、散 熱片組、熱轉換器及太陽能集熱器、催化作用反應器等等。本論文探討因溫度差大小 與驅動腔上壁面之馬赫數大小之混合對流結果,透過可壓縮流場之求解,分析正弦波 之振輻參數對熱傳增益之影響。

1.2 文獻回顧

文獻探討流體在封閉驅動腔中,如何加強及運用參數控制來研究熱量傳遞及其變 化已有相當的研究,本文採用上方驅動之正方形孔穴內空氣之熱對流現象,進行程式 開發之驗證,並透過底面熱壁正弦波之深淺探討最佳熱傳增益之設計,依發表之先後 整理如下:

1995 年 Mohamad 與 Viskanta [1]研究上方驅動的三維孔穴,其長深比為 10,寬 深比為 5,所設定之流場參數有 Ri = 0.1、1 和 10,以及Ra1104和1106,流體假 設為水,其 Pr = 6,頂部為熱面,底部為冷面,當Ra1104時,最高熱傳率發生在 腔體左上角,亦即迴流衝擊處,而在底部右下方因其渦流衝擊的影響,在底面右下角 也有紐塞數(Local Nusselt number)尖峰值產生,而當Ra1106Ri1,其對流 效應最強烈,流場中央形成近似均溫區域,因此熱邊界變得很薄,但由於受到浮力效 應與剪力方向相反的影響,孔穴左下角有明顯反轉低速渦流阻礙熱傳。

1996 年 Prasad 與 Koseff [2]利用銅質皮帶驅動四種不同寬深比之水槽內流體,並 將上下面維持三種不同溫差,透過九種不同之驅動速度,可探討雷諾數 0~12000 以及

(13)

森數以及寬深比之關係式,由於不同理查森數之流場結構皆雷同,因此 Ri 之影響較 弱,另外浮力效應之影響其邊界層之流速分佈以及角落迴流之干擾,因此 Re 之影響 並非如 Blasius 流場之 0.5 次方關係,而是較小之 0.18 次方關係。

2002 年 Wang 與 Chen[3]探討以波型壁之波數與振輻對熱傳增益之影響。其中流 體為不可壓縮,波型壁之上游採用 3 倍高度之絕熱光滑管並假設為完全發展之層流,

進行水 (Pr = 6.93)及空氣(Pr = 0.71)在不同雷諾數(Re = 100~700)與波型振輻(  = 0~0.5)之流場與熱傳分析,其結果採用微小振輻 = 0.1,於雷諾數 500 以下其熱傳效 果比光滑壁還差,若波型之振輻達 = 0.2 以上則皆比光滑壁要來的好。

2003 年 Manca 等人[4]採用上方為開放之長方形孔穴,利用左、右、底三側為加 熱面,探討理查森數 Ri = 0.1 與 100,雷諾數 Re = 100 與 1000 以及深寬比 H/D = 0.1~1.5 等範圍之混合對流分析,發現當加熱面置於右側,能充分將熱量傳遞至上方開放的區 域,當加熱面置於左側時,則僅有少部份流體被加熱,其熱傳量最少,另外對於雷諾 數 Re = 100 下之最大熱傳量發生在 H/D = 0.3~0.4 之間。

2003 年 Zhang[5]利用四階 Compact 有限差分法結合多重網格技術求解流線函數 與渦度函數,探討穩態不可壓縮二維驅動腔體之流線與渦度分佈,發現當採用四階解 答在 Re = 5000 與 Re = 7500 之模擬下,透過格點之加密以及文獻中傳統二階分析之 數值結果比較,四階算法確實能較少之格點處理剪力驅動之流場。

2004 年 Oztop 與 Dagtekin[6]利用有限控制體積法研究三種情形, 其分別為左壁 面向上右壁面向下移動、左壁面為向下右壁面向上移動和兩垂直壁面皆向上移動,上 下 壁 面 絕 熱 , 左 壁 面 為 冷 卻 面 , 右 壁 面 為高 溫 面 , 其 參 數 為0.01 Ri100和

7 0.

Pr  ,研究發現,當 Ri > 1 時,平均紐塞數(Average Nusselt number)相對較低 在這三種情況下,當 Ri < 1,是以強制對流為主,熱傳量是相對較高的,但若在兩壁 面同時向上的情況下,其熱傳量是三種條件中最小,內部產生兩個正反轉的迴流,左 右熱量無法順利對流。

2006 年 Al-Amiri 與 Khanafer[7]利用 Galerkin 有限元素法探討能量與質量雙擴散

(14)

於旋轉外圓靜止內圓之間不可壓縮流動,分析顯示旋轉雷諾數高時重力效應相對小 時,流場呈現同心圓結構,而當高的路易斯數( Lewis number ) 會增加質量擴散但對 熱傳影響很小,但是浮力比( buoyancy ratio number

t sGr

N Gr )加大則會同時增強質

量與熱量的傳遞,至於 Prandtl 數由 0.7 增加至 10,其溫度邊界層明顯由薄轉至厚,

而同心圓之間隔( gap )在分析之範圍下越大越好,而內圓偏心時置於下側可以充分利 用浮力與對流,其熱傳量可增大。

2007 年Shah 等人[8]研究二維次音速可壓縮流體,在長方形腔體中,左右壁面有 兩相反方向的速度移動且在不同的溫度下,雷諾數( Re )為 700,馬赫數(Ma)為 0.4,

高寬比( Aspect ratio ) AR 為 1.995,發現當上下水平面溫度為Ti左右垂直壁面溫度分別

Tw,right 1.2TiTw,left 0.8Ti,熱傳量達到最高,若更高之溫差下其內部流動將產生雙

漩渦之結構,反而熱傳量減少,所以以 20 %的溫差為造型之最佳組合。

2007 年 Al-Amiri 等人[9]利用有限元素法探討上方驅動之正方形孔穴,下壁面為 正弦波形狀且為高溫,上壁面則維持低溫且由左向右移動,左右壁面為絕熱,其控制 參數為 Ri、正弦波之數目及波的高度來探討對熱傳量的影響,發現當理查森數 Ri 越 小、雷諾數 Re 越大時,造成上壁面驅動速度增強,其平均紐塞數會增加,而正弦波 的數目採用兩個波,其熱傳量最佳,最後並歸納出平均紐塞數與波數、振幅以及理查 森數之間的關聯式。

2008 年 Chiu 與 Yan 等人[10]利用三維納維葉-斯托克斯方程和能量方程探討有輻 射的傾斜長方腔體內與熱傳的影響,發現輻射的確會影響熱傳量也降低了浮力大小,

並且流場溫度也隨著輻射增加,對同雷諾數而言,長寬比越接近時,熱量傳遞越佳。

至於低雷諾數高浮力效應之熱傳量變化上,2009 年 Basak 等人[11]利用有限元素 法研究兩垂直壁面為線性的加熱面,底部壁面有維持高溫,上壁面絕熱且等速向右移 動的正方型腔體,探討參數在Gr103 ~105,Re = 1 ~ 100 且 Pr = 0.015 ~ 10 之範圍,

發現當 Gr 增加,因浮力影響,其孔穴內迴流的數目也隨之增加但其漩渦強度增加其

(15)

之增加,左右壁面的局部紐塞數( Nu )在較高的 Pr 和 Gr 時,受到迴流的影響會有振 盪的現象,而當 Re 增加,驅動力增強,迴流的數目會減少其熱傳係數會明顯加大。

2009 年 Ouertatani 等人[12] 採用有限體積法與多重網格加速收斂方法,研究三 維且層流在雙驅動立方腔體(頂面與底面皆固定速度 U 向右) ,流體採用空氣,頂面 維持高溫,而底面為低溫面,弦接四個側面採用絕熱條件,探討 Re 和 Ri 參數對熱傳 遞之影響,當雷諾數固定在 400 時,越低的理查森數 Ri( 0.001 ),其腔內維持上下兩 正反轉漩渦結構,其熱傳量會遠大於高理查森數 Ri(10)時孔穴中產生兩組兩正反轉漩 渦之情形,另外,在雷諾數為 400 理查森數 Ri 為 1 時,單邊驅動腔的熱傳效應比雙 驅動腔要來的高 76%。

2009 年 Zhao 等人[13]研究二維穩態不可壓縮牛頓流體的左側驅動正方形腔體,

其中孔穴中央有一垂直分隔板,左側驅動面維持高溫,右側面維持低溫,而上下壁面 為絕熱條件,因此孔穴內形成左半側混合對流與右半側自然對流之兩組流場,透過中

央隔板之熱傳導聯結左右側能量之守恆,因此研究內容針對中央隔板材料之熱傳導係

數與左側混合對流之理查森數進行分析,其探討之參數為0.1 < Ri < 10 以及流體與格 板之熱傳導係數比值 界於 0.001~10,分析結果顯示左側移動方向需朝上以配合浮力 效應產生加值之效果,反之左半側之渦流將分解出兩組造成對流減低之現象,若是理 查森數很小其對流效應遠超過浮力效應時,則朝上或朝下驅動不影響熱傳遞之大小,

至於熱傳導係數比值 增加至 1 左右,其平均紐塞數衰減變得非常明顯。

2010 年 Castelloes 等人[14]採用文獻[3]熱傳問題以數學近似解去探討低雷諾數在 正弦波型壁的流場與熱傳分析,由於近似解的處理無法描述高振輻下波谷之迴流與絕 熱情況,因此無法探討波型壁於高振輻下之熱傳結果,但是在光滑壁與低振幅下對於 低 Peclet(Pe = 1)數之流場,其熱傳主要發生在上游處,因此分析時需採用較長之上游 做入口,而有效之熱傳長度可以較短,至於較高 Peclet(Pe = 30)數之流場,其熱擴散 至上游段很短,因此分析時可採用較短之上游做入口,但是需要更長之加熱段進行熱 傳遞。

(16)

2010 年 Sivasankaran 等人[15]提出正弦溫度分布在兩垂直壁面的驅動腔中,當溫 度振幅比從 0 到 1 時,其流場速度之變異會隨之增加,因此平均紐塞數會比均溫下來 得高一些,另外兩垂直壁面採取不均勻加熱的熱傳率也比單一垂直壁面要來的高,至

於左右壁面溫度變化採用相位角/2,其熱傳增益最大,最後固定雷諾數下,越大之

Ri 其浮力效應增加因此流場速度與熱傳也會隨之增加。

2010 年 Sivakumar 等人[16]採用有限體積法搭配 Simple 技術結合速度與壓力場,

探討上方驅動之正方形孔穴左側壁加熱長度與位置對熱傳量之影響,其右壁面低溫,

上下壁面為絕熱,採用三種不同加熱長度(

13

H

L ,

2 和 1)以及其三種不同位置3

( ,

16

2

3 和6

5 )來探討熱量傳遞及流場的變化,分析之雷諾數為 Re6 10 和2 103理查森數為 Ri103 ~102,發現當加熱長度愈短(

13

H

L )且其位置分布在左壁面的

中間( 36

2

)或上側(

16

2

)時,將有效增加熱傳量,當加熱段位於下側,因流場運

動之對流作用與傳導之方向互相抵消而造成散熱不良。

2010 年 Yang 與 Lin[17]採用不同階數之等向性元素微分法,處理正方形孔穴內 空氣因左右垂直壁面具有溫差下之自然對流現象。其中高階在低瑞里數時有較佳之精 度,在較高瑞里數時高階雖然有改善,但仍需增加網格數來解析流速之方向,因對流 效應遠大於壁面熱擴散之影響,需透過內部漩渦之左右對流量之差與壁面傳導平衡方 能收斂。另外也透過不同溫差大小,分析自然對流下孔穴內空氣之流速快慢變化。另 外以溫差 1℃之分析結果近似傳統之不可壓縮流解答,採用 41x41 網格其壁面最大紐 塞數、孔穴內中央最大水平速度以及半腰最大垂直速度其差異皆小於 1%,說明此一 方法能提供高精度之解答。

2010 年 Yang 與 Lin [18]處理不同傾斜角度、不同波數以及不同深度之波型壁之 自然對流影響,其分析之結果與實驗結果吻合,亦即在1200傾斜角度下熱傳最佳,至 於波型壁之波數在傾斜角度小時越多越好,其熱傳以傳導為主,但在900傾斜角度下

(17)

過1200採用 2 個正弦波之造型其對流效果最佳,其左右兩個角落之迴流效應很弱,浮 力與對流作用能加成傳遞至上壁,雖然振輻越大越好,但只熱傳增益僅幾個百分比,

反觀1800傾斜角度其浮力效應與渦流對衝,造成孔穴內有三個角落之明顯反轉漩渦,

形成局部絕熱之現象,因此雖然浮力效應最大但無法配合對流則熱傳遞仍是較少。

1.3 採用方法

本論文採取高階等向性元素進行大振幅之波型壁之混合對流現象,此一高解析流 場之解答能協助處理波谷內複雜之迴流場,能提供較高精度之熱傳結果,並可透過可 壓縮效應,探討高低溫下密度隨溫度與壓力變化之不同浮力效應,但由於分析之流場 其馬赫數較低,會造成數值收斂困難,其對流項矩陣之最大最小特徵值差異值將過 大,必須透過預置矩陣以加速流場數值收斂。

1.4 章節安排

本論文第一章-前言及文獻回顧,第二章-物理問題描述,主要為處理剪力和浮 力現象與邊界條件,並定義雷諾數( Re )及( Gr )。在第三章-數值方法,內容包括差 分、積分及統御方程式。在第四章-為結果與討論。第五章-結論及未來工作,為歸 納總結研究中所得之發現及成果並說明未來發展之方向。

(18)

第二章 物理問題描述

2.1 混合對流問題與邊界條件

本論文探討的問題是上下壁具有溫度差,而左右垂直壁面為絕熱,且上壁面向右 等速移動之正方形腔體,由於浮力與剪力之作用,對腔內空氣產生之二維混合對流現 象。底面為加熱之波型壁其幾何形狀如圖 2-1 所示,其中熱壁面將進行不同正弦波之 大小,以探討加熱面之長度對熱傳之影響,其壁面之幾何造型以函數表示為

xA  1  cos  2 n y  

(2.1) 其中

A

為波型壁之縱深,由於程式採用結構性網格計算,文章只進行 A = 0.0~0.25 等 範圍之分析。

2.2 基本假設

在本論文中,我們採用二維 Navier-Stokes 方程式描述孔穴內空氣之流動與熱傳,

並做了以下之假設 1.流場為層流。

2.空氣為理想氣體

PRT

3.黏滯係數

 

、熱傳導係數

 

k 隨溫度變化之關係可透過 Sutherland’s Law 近似。

2.3 無因次參數

由於傳統不可壓縮流之流體膨脹係數為一定值,但在可壓縮流下,氣體於孔穴中

每一點溫度皆不一致,因此採用冷熱壁面之平均溫度

 

2

0

bot

top T

T T

 定義流場之

平均膨脹係數,同理流體黏滯係數與熱傳導係數於葛拉斯赫夫數計算時採用平均溫度 (T0)處理,其葛拉斯赫夫數(Grashof number)定義如下:

(19)

2 0 0

3

T

TH Gr g

(2.2)

其中,

g

為重力加速度,

TT

bot

T

top在左右垂直壁面之溫差,H正方形孔穴之

深度,

T

0壁面為左右平均溫度,

0為空氣在平均溫度下之動黏滯係數。而上蓋驅動 速度之大小以無因次之馬赫數表示如下:

top top

RT M U

(2.3) 而孔穴內流動之雷諾數( Reynolds number ) 亦採用平均溫度( T0 )處理,其定義如下:

Re

0

H U

top

(2.4)

至於分析壁面熱傳導量之多寡上,皆採用無因次之紐塞數( Nusselt number)表示,其定 義如下:

n T TK Nu HK

 

0

(2.5)

其中

n

為壁面之法線方向。至於平均紐塞數可由曲線積分計算之

ds L Nu

Nu 1

L

0

(2.6)

(20)

第三章 數值方法

3-1 Navier-Stokes 方程式

本研究之數值方法求解二維 Navier-Stokes 方程式,其守恆方程式可表示如下:

S

y x y x y x t

v v a a c

c      

U E F E F E F

(3-1) 其中

U為流場變數

p,u,v,T

TE ,c Fc為流速流通量,E ,a Fa為壓力流通量,

E ,

v

F

v

為黏性流通量,

S

為重力項。符號定義為

 

T

c u u uv uH

E

,

2,

,

 

T

c v uv v vH

F , , 2,

 

T

a p

E  0, ,0,0

 

T

a p

F  0,0, ,0

xx xy xx xy

T

v u v k T x

E  0, , ,   

xy yy xy yy

T

v u v k T y

F  0, , ,   

g gv

T

S  0 , 0 ,  , 

其中

為密度,ux方向之速度,v

y

方向之速度,P為壓力,T為溫度,H為 總焓,

ij流體層間的剪應力,

g

為重力加速度與為預置矩陣(Preconditioned)。其 中流速流通量與黏性流通量無論高階與低階微分皆採用中央差分進行計算,至於壓力 流通量在近壁面採用外差方式計算。Choi 與 Merkle [19] 最早提出使用此矩陣以修 改對流項之特徵值以改善收斂狀況。後續 Weiss 與 Smith [20]之研究。建議

(21)

 

 

   

1 0 0

1 0

1 0

1 p

RT T

u RT u T

v RT v T

H RT u v C H T

  

 

    

 

     

 

 

  

  

 

(3-2)

其中  1Vref2 1c2 C為聲速

且參考 Edwards and Liou [21]所提出的參考速度Vref,其定義如下

V

ref2

min c

2

, maxV

2

, KV

max2

(3-3) 其中

Vmax為正方形孔穴內之最大流速

K

為一常數項

3-2 時間積分

在本研究中所使用之時間積分法為 2 階 Runge-Kutta 來進行守恆通量形式之時 間積分。

  ( )

2 1 2

1

) (

1 1 1

1

1 1

U R t U

U U

U R t U U

n n

n n

(3-4)

其中 t 為物理時間,而

S

y F x E y

F x E y

F x

R E

c c a a v v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-5)

為統御方程式之殘值,程式之收斂與否是透過殘值量來做判斷的。

3-3 流通量計算

Irons [22] 首先以等向性元素來進行任意網格之微分與積分。此任意四邊形之元 素,由於方便描述任意曲線之邊緣或是網格的疏密控制,因此廣泛應用於固體力學之

(22)

結構分析上,其等向性元素座標之處理在於物理座標(x,y),與數值計算之自然座標 (

,

)以多項式方式進行耦合(mapping),以二維幾何可表示為

N

i i i

N

i i i

y H

y

x H

x

1 1

) , ( )

, (

) , ( )

, (

(3-6)

其中Hi為內插函數(interpolation function),N為耦合之點數,本研究進行不同點數之 處理以探討數值精度與數值收斂之狀況。至於流場變數與通量計算也採用相同之方式 處理,以

x, y

做一代表,其流場之物理量分佈與計算網格

之耦合,亦可表 示為

   

N

i H i i

1

,

,

(3-7) 而此一物理量之計算網格二維微分可透過下式計算之

 

 





 

 

 

 

y

J x

y y x x

y y x x

or (3-8)

其中

 

J 為 Jacobin 矩陣方法,透過反矩陣可將(3-8)之結果轉換成物理座標下之微分 值,亦即

 

 

1

J

y x

(3-9)

而方程式(3-9)中

  J

1矩陣數值會隨幾何造型之大小、方向與採用之耦合之點數而變 化。

(23)

第四章 結果與討論

本論文探討因溫度差、孔穴尺寸、驅動腔上壁面之馬赫數與正弦波之振輻等大小 對混合對流之影響,首先由文獻之結果來驗證程式之開發,並透過網格數之多寡來確 認分析之精度,最後再透過參數之分析探討熱傳增益之效果,並利用流線及溫度分佈 來了解流場的熱傳機制。

4.1 剪切流場驗證

本研究利用文獻[23]中上方驅動之正方形孔穴內之剪切流場之數值解做為本研 究之程式開發驗證,採用雷諾數 1000 之結果進行比較,由於採用可壓縮流分析,溫度取 300K 作為初始條件,而四個壁面以絕熱條件方式處理。疊代後皆將頂面中點 之溫度歸零成 300K,孔穴正中央之壓力皆歸零為 105Pa。

本研究以 41×41 網格處理 Re =1000 下之流場分析,其計算過網格如圖 4-1 所示,

其疏密度在四個壁面角落較密。流線之分佈繪製在圖 4-2,與文獻[23]網格數為 129x129 比較,其圖形很相似且在角落部分的迴流區域大小也吻合。另外利用文獻整 理之中央水平速度以及半腰垂直速度分佈之比較繪製在圖 4-3,其結果非常吻合,顯 示以目前高階等向性元素計算之流場能擁有較高精度之表現,另外渦度之分佈繪製在 圖 4-4,與文獻[23]之比較不論在數值與分佈上也非常接近。

4.2 自然對流驗證

對於熱傳分析之能力則利用文獻[24]之自然對流結果進行驗證,採用之瑞里數為 106(Ra=GrPr)的條件,左右垂直璧面之溫差取 1℃,圖 4-5 為計算之網格分佈(6161),

也是在近牆處較密,圖 4-6 為溫度分佈圖與文獻[24]之圖形很類似,至於流線分佈圖 4-7 也與文獻非常吻合,中央、左右兩側等三個迴流區域大小也符合文獻之結果,另 外渦度之分佈繪製在圖 4-8,與文獻[24]之比較其分佈也非常相似,另外利用文獻之

(24)

中央最大平速度、半腰最大垂直速度、左側壁最大與最小局部紐塞數整理於表 4-1,

由此表右側之誤差分析可知,皆落在 2%以內,但對於半腰最大垂直速度發生之位置 有 9%之誤差,仍需透過增加網格數或是改變網格分佈來做一改善。

4.3 混合對流比較

對於本研究之混合對流現象,則利用文獻[7]在正方形孔穴雷諾數 Re = 500,理查 森數 Ri = 0.4 的情況下,所採用的網格數分別為 4141、8181 及 161161 來進行分 析並探討網格疏密對分析結果之影響,其網格之分佈如圖 4-9 所示,其分析之頂面局 部紐塞數於圖 4-10 並與文獻[7]之結果做一對照,其中最大之差異在於左半側,但在 角落處最大局部紐塞數仍相當接近,至於不同網格數之結果則差異非常微小,以圖 4-11 底面局部紐塞數之分佈比較此三個網格之分析差異,可以發現以 161x161 做基 準,網格 8181 最大誤差僅有 0.13%,而網格 4141 最大誤差有 0.72%,因此在混 合對上目前分析採用 8181 的格點數應可提供有效之判斷。至於圖 4-12 為溫度分佈 圖與文獻[7]之圖形也很類似,而流線分佈圖 4-13 也與文獻非常吻合,於右下角處有 一個反轉渦流其大小也符合文獻之結果。

4.4 波數影響

本研究首先針對波數對混合對流之影響,利用文獻[7]在正方形孔穴雷諾數 Re = 1000、理查森數 Ri = 0.01 及馬赫數 M = 0.001 的情況下,所採用的網格數為 12181 來進行分析探討,其底部加熱壁面之波數以 N = 0,1,2,3 等四種造型分別進行討 論,其溫度分佈如圖 4-14 所示與文獻公佈之結果很接近,而圖 4-15 則為底部加熱壁 面之波數以 N = 0,1,2,3 等四種造型之流線分佈圖,也是與文獻公佈之結果很類 似,唯在迴流區域之流場有較佳之解析能力,至於底面局部紐塞數與文獻[7]之結果 同時繪於圖 4-16,在此圖中雖然趨勢接近,但峰值有 10%(Pr=1)左右之差異,因此也

(25)

僅有 2%(Pr=0.71),最後將文獻[7]與二階有限體積法之結果將底部加熱壁面之波數以 N = 0,1,2,3 之平均紐塞數整理於表 4-2,由此表可知最佳之熱傳發生於兩個波,

雖然波谷對傳熱有所阻礙,但中央之波谷確符合目前剪切流所產生之渦流,因此透過 波峰之增益,整體有最好之傳遞,另外在表中數據之比較可知與文獻[7]最大差異有 10%與二階有限體積法計算之結果只有 1.4%之差異,因此針對此一結果,目前分析 程式仍能提供後續參數探討之依據。

4.5 馬赫數之效應

對於本研究馬赫數之影響,則利用文獻[7]在正方形孔穴雷諾數 Re = 1000,理查 森數 Ri = 0.01 的情況下,所採用的網格數為 12181 來進行可壓縮流之影響,其分析 馬赫數為 M = 0.001、0.005 及 0.008,圖 4-18 繪製孔穴中央無單位溫度分佈圖,由此 圖可知,頂面熱邊界層以馬赫數 0.008 較薄,但在底面以馬赫數 0.001 較薄,另外在 孔穴中央水平速度以及半腰之垂直速度分佈繪製在圖 4-19,由此圖可知當馬赫數 0.008 之流場在左、右與頂面之邊界層皆較薄,但在底面仍是以馬赫數 0.001 較較貼 近壁面,因此,雖然馬赫數 0.008 有較高之動量,但流經中央波谷處,其較大之溫差 所產生之浮力作用,使底面中央區之邊界層與熱邊界層皆較厚。其底面局部紐塞數之 分佈於圖 4-20 所示,雖然高馬赫數於底面中央處熱邊界層增厚,但是底面熱傳導係 數則以馬赫數 0.008 要來得高,因此隨馬赫數增大其最大局部紐塞數之增加仍有 1.5%(M=0.005)與 3.7%(M=0.008),以表 4-3 歸納統計出馬赫數 M = 0.001、0.005 及 0.008 之平均紐塞數,則隨馬赫數增大其平均紐塞數之增加有 1.2%(M=0.005)與 2.6%(M=0.008)。

4.6 葛拉斯赫夫數效應

對於驅動馬赫數固定 M=0.001 與雷諾數固定在 Re = 1000,但頂面底面溫差不同 之葛拉斯赫夫數之影響,則利用振幅大小 A = 0.05 的情況下,所採用的網格數為

(26)

12181 來進行分析結果之影響,所分析之葛拉斯赫夫數有 Gr =103、104、105,溫度 分佈圖於圖 4-21 所示並與文獻[7]之結果做一對照,其結果仍相當接近(Gr =104),但 不同葛拉斯赫夫數之溫度分佈差異很小,透過圖 4-22 孔穴中央無單位溫度分佈圖,

可知高溫差之頂面與底面熱邊界層以 105較薄,主要是高溫差下密度梯度增加浮力效 應增強,熱傳遞會增強。至於流線分佈繪於圖 4-23 與文獻比較也極為吻合(Gr=104),

但不同葛拉斯赫夫數之流線分佈差異很小,透過圖 4-24 其孔穴中央水平速度以及半 腰之垂直速度分佈,由此圖可知當葛拉斯赫夫數 105之流場在左、右與底面之邊界層 皆較薄,但在頂面是以葛拉斯赫夫數 103之流場較較貼近壁面,主要是因浮力作用所 產生之渦流旋轉與頂面驅動方向一致,當熱對流與頂面移動之相對速度差越大則邊界 層會越薄,因此葛拉斯赫夫數 103所產生之熱對流旋渦較弱之情況下其速度邊界層在 頂面會較薄。其底面局部紐塞數之分佈於圖 4-25 所示,隨葛拉斯赫夫數增大相較 Gr=103其最大局部紐塞數之增加有 1%( Gr=104)與 5.8%( Gr=105)。

4.7 雷諾數之影響

對於驅動馬赫數固定 M=0.001 與葛拉斯赫夫數固定在 Gr =104,但孔穴尺寸不同 之雷諾數之影響,也是利用振幅大小 A = 0.05 的情況下,所採用的網格數為 12181 來進行分析,所探討之雷諾數有 Re = 250、500 及 1000,溫度分佈圖於圖 4-26 所示 並與文獻[7]之結果做一對照,其結果仍相當接近(Re =1000),但不同雷諾數之溫度分 佈差異很大,透過圖 4-27 孔穴中央無單位溫度分佈圖,可知高雷諾數下頂面與底面 熱邊界層皆變薄,主要是剪切流帶動下摩擦效應減小造成主旋渦增強所致。至於流線 分佈繪於圖 4-28 與文獻比較也極為吻合(Re =1000),但不同雷諾數之流線分佈也差異 很大,透過圖 4-29 其孔穴中央水平速度以及半腰之垂直速度分佈,由此圖可知當雷 諾數 1000 之流場其四個壁面之邊界層皆較薄。其底面局部紐塞數之分佈於圖 4-30 所 示 , 隨 雷 諾 數 增 大 相 較 Re=259 其 最 大 局部 紐 塞 數 之 增 加 有 46%( Re=500) 與

(27)

4.8 正弦波振幅之影響

對於正弦波振幅之影響,目前採用波數 N=2、不同雷諾數(250、500、1000)與不 同葛拉斯赫夫數(103、104、105)、針對振幅 A = 0、0.05、0.1、0.15、0.2 及 0.25 等六 個造型進行分析比較,至於所採用的格點數當振幅 A 小於 0.1 以下皆以 121x81 進行,

而振幅較大之 0.15、0.2 與 0.25 則分別以 18181、24181 與 481121 來處理。首先 以雷諾數 Re=1000,葛拉斯赫夫數 Gr=104的溫度分佈(圖 4-31)與流線分佈(圖 4-32) 來做振幅大小之說明,當振幅越高右側第一個接觸渦流之波峰也越高,其溫度邊界層 也越薄,但左側第二個波峰則會受摩擦與浮力效應之影響對溫度分佈會有所變化,以 振幅 0.15 之造型會有較薄之溫度邊界層,至於三個波谷處,皆是振幅越高其溫度邊 界層也越厚。至於流線分佈說明當光滑與振幅為 0.05 時有相同之流場結構,中央有 一主漩渦,而左右角落各有一個反轉漩渦,至於振幅為 0.1 與 0.15 時也有相同之流場 結構,中央有一主漩渦,中央波谷有一反轉漩渦,而左右角落各有兩層之反正轉漩渦,

當振幅加大至 0.2 與 0.25 時也有類似之流場結構,中央有一主漩渦,中央波谷有兩層 反正轉漩渦,而右側角落有三層之反正反轉漩渦,左側角落則形成一個大型之反轉漩 渦擠壓孔穴中央主漩渦使其右移。

採用不同葛拉斯赫夫數(103、104、105)、與不同振幅( 0、0.05、0.1、0.15、0.2、.25) 之分析結果可透過圖 4-33 底面局部紐塞數做一說明,如同前述之溫度分佈現象,越 大振幅時第一個波峰處所產生之最大局部紐塞數也會隨之升高,但三個波谷也隨之下 降明顯,形成近似絕熱之區域,至於左側第二個波峰處最大之局部紐塞數則發生在振 幅 0.15 之造型,至於不同葛拉斯赫夫數亦即不同溫差下,以葛拉斯赫夫數 105會有較 高之局部紐塞數,將波型壁積分之平均紐塞數與振幅之關係繪於圖 4-34,很明顯不同 葛拉斯赫夫數以目前之參數其最佳傳熱量發生在振幅 0.15 時,表 4-4 並詳列出圖 4-34 各點之數值。

採用不同雷諾數(250、500、1000)、與不同振幅( 0、0.05、0.1、0.15、0.2、.25) 之分析結果可透過圖 4-35 底面之局部紐塞數做一說明,如同前述之溫度分佈現象,

(28)

越大振幅時第一個波峰處所產生之最大局部紐塞數也會隨之升高,但三個波谷也隨之 下降明顯,當振幅超過 0.15 則形成近似絕熱之區域,至於左側第二個波峰處最大之 局部紐塞數當雷諾數為 250 發生在振幅 0.2 之造型,當雷諾數為 500 與 1000 則發生 在振幅 0.15 之造型,至於不同雷諾數亦即不同慣性力與剪力比值下,以雷諾數 1000 會有較高之局部紐塞數,將波型壁積分之平均紐塞數與振幅之關係繪於圖 4-36,很明 顯當雷諾數 500 與 1000 之最佳傳熱量發生在振幅 0.15 時,而雷諾數 250 之最佳傳熱 量發生在振幅 0.2,表 4-5 並詳列出圖 4-36 各點之數值。

(29)

第五章 結論及未來工作

5.1 結論

本研究採用高階等向元素微分法,求解 Navier-Stokes 統御方程式,針對上下壁 面具有溫差、左右垂直壁面為絕熱而上壁有驅動之混合對流問題,探討不同馬赫數、

理查森數、雷諾數以及波形壁之深淺對混合對流之影響,可得以下之結論:

(1)透過文獻比對目前高階方法處理剪切流於 Re=1000 下,只需採用 41x41 網格,

其速度與流線分佈已相當一致。

(2)透過文獻比對目前高階方法處理自然熱對流於 Ra=106,只需採用 61x61 網格,

其壁面最大最小紐塞數以及其位置也相當一致,至於孔穴內最大水平與垂直之 大小以及其位置也相當吻合。

(3)當理查森數為 0.4 而雷諾數為 500,採用 41x41,81x81,161x161 等三組格點其 分析之溫度、流線與局部紐塞數等之分佈皆與文獻非常接近,自於採用 41x41 與 161x161 之計算結果其局部紐塞數最大差異僅 0.72%。

(4)針對波型壁不同波數之分析,其平均紐塞數最大值發生於兩個波,與文獻結論 一致,但局部紐塞數等之分佈有些許差異,但若與二階有限體積法之分析結果 則相當吻合,最大差異只有 2%。

(5)至於驅動腔上壁之馬赫數越高則熱傳量越多,但增加量有限,如採用馬赫數 0.008 相較 0.001,可以增加 2.6%之平均紐塞數。

(6)針對不同葛拉斯赫夫數其值越高則熱傳量也越多,但增加量也有限,如採用葛 拉斯赫夫數 105相較 103,可以增加 5.7%之平均紐塞數。

(7)針對不同雷諾數對熱傳之影響則相當明顯,因流線分佈隨雷諾數之改變差異很 大,如採用雷諾數 1000 相較 250,可以增加 93%之平均紐塞數。

(8)至於波型壁振輻對熱傳也是有影響,在雷諾數 1000 固定下,不同葛拉斯赫夫數 其最大熱傳發生之振輻皆在 0.15,皆可以增加光滑壁 16%之熱傳量,但是在葛

拉斯赫夫數固定 104時,不同雷諾數其最大熱傳發生之振輻會改變,如採用雷

(30)

諾數 250 振輻皆在 0.20,可以增加光滑壁 23%之平均紐塞數,對雷諾數 500 則 最佳振輻需在 0.15,可以增加光滑壁 21%之平均紐塞數。

5.2 未來工作

本論文完成初步混合對流之探討,未來發展建議如下:

(1)高雷諾數與高葛拉斯赫夫數下可以嘗試以人工黏滯方式處理。

(2)配合紊流模式進行混合對流之分析。

(3)其他幾何造型之參數對熱傳之影響。

(31)

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[24] de Vahl Davis, G., “Natural Convection of Air in a Square Cavity a Bench Mark Numerical Solution,” International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 3, 1983, pp. 249-164.

(34)

表一、中央最大速度、半腰最大垂直速度、左側壁最大與最小局部紐塞數與文獻[24]

比較表。

Ref. [24] present solution Difference (%)

Ra=106 61×61

umax 64.63 64.848 0.34

y@Umax 0.850 0.8495 -0.059

vmax 219.36 220.199 0.38

x@Vmax 0.0379 0.04141 9.3

Numax 17.925 17.5961 -1.8

y@NUmax 0.0378 0.03824 1.2

Numin 0.989 0.9855 -0.35

y@NUmin 1.000 1.0000 0

表二、平均紐塞數與文獻[7]及二階有限體積法比較表(波數 N=0,1,2,3)。

Nu

N=0 N=1 N=2 N=3

Al-Amiri[7] 7.353 7.353 8.080 7.219 2nd order FV 6.6308 6.7905 7.4604 6.6725 Present results 6.6563 6.7962 7.4449 6.5770

表三、平均紐塞數比較表。

M=0.001 M=0.005 M=0.008

Nu

7.4449 7.5326 7.6400

表四、不同振輻與葛拉斯赫夫數下平均紐塞數比較。

A=0.0 A=0.05 A=0.1 A=0.15 A=0.2 A=0.25 Gr=103 6.5808 7.3720 7.6299 7.6652 6.8316 6.2956 Gr=104 6.6563 7.4449 7.6963 7.7390 6.9290 6.3271 Gr=105 6.9091 7.7896. 7.9887 8.0649 7.6427 6.6186

表五、不同振輻與雷諾數下平均紐塞數比較。

A=0.0 A=0.05 A=0.1 A=0.15 A=0.2 A=0.25 Re=250 3.5646 3.8667 4.1164 4.2772 4.3675 4.1250 Re=500 4.7491 5.2619 5.5762 5.7443 5.6952 5.1851

(35)

圖 2-1 正方形孔穴式意圖。

=v=0 adiabatic x-mon.

u=v=0 adiabatic x-mon. u=U

top,v=0,T=T

top,y-mom.

u=v=0, T=T

bot,y-mom.

x y

(36)

圖 4-1 剪切流計算網格圖(41×41)。

(37)

圖 4-2 剪切流場流線分佈圖。

(38)

X U

V Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 4-3 剪切流場速度斷面分佈圖。

(39)

2.0 1.0 0.0 -1.0 -1.0

-2.0

-3.0

3.0 4.0

-2.0

-3.0 -2.0

-1.0 0.0 0.0

-4.0

圖 4-4 剪切流場渦度分佈圖。

(40)

圖 4-5 自然對流計算網格圖(61×61) 。

(41)

圖 4-6 自然對流溫度分佈圖。

(42)

圖 4-7 自然對流流線分佈圖。

(43)

0

-0.001

-0.003

0 0.001

0.002

-0.004

圖 4-8 自然對流渦度分佈圖。

(44)

(45)

X

L o c a l N u s s e lt N u m b e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15 20 25 30

mesh 41x41 mesh 81x81 mesh 161x161 Al-Amiri et al.

圖 4-10 不同網格數之頂面局部紐塞數與文獻[7]比較圖。

(46)

X

L o c a l N u s s e lt N u m b e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 mesh 41x41

mesh 81x81 mesh 161x161

圖 4-11 不同網格數之局部紐塞數分佈圖。

(47)

圖 4-12 混合對流溫度分佈圖與文獻[7]比較圖。

(48)

圖 4-13 混合對流流線分佈圖。

(49)

(a) N=0 (b) N=1

(c) N=2 (d) N=3

圖 4-14 波數影響之溫度分佈圖。

(50)

(a) N=0 (b) N=1

(c) N=2 (d) N=3

4-15 波數影響之流線分佈圖。

(51)

X

L o c a l N u s s e lt N u m b e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 4 8 12 16 20 24

present results Al-Amiri et al.

n=2

n=3 n=1

n=0

圖 4-16 不同波數之局部紐塞數相較文獻[7]之比較圖。

(52)

X

L o c a l N u s s e lt n u m b e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 4 8 12 16 20

24 present results

2nd order finite volume scheme

n=3 n=2

n=1 n=0

圖 4-17 不同波數之局部紐塞數相較二階有限體積法之比較圖。

(53)

(T-T

top

)/(T

bot

-T

top

)

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M=0.001 M=0.005 M=0.008

圖 4-18 不同馬赫數中央斷面溫度分佈圖。

(54)

X U

V Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 M=0.001

M=0.005 M=0.008

圖 4-19 不同馬赫數速度斷面分佈圖。

(55)

X

L o c a l N u s s e lt N u m b e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 4 8 12 16 20 24

M=0.001 M=0.005 M=0.008

圖 4-20 不同馬赫數之局部紐塞數分佈圖。

(56)

3 4 5

(57)

(T-T

top

)/(T

bot

-T

top

)

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Gr=103 Gr=104 Gr=105

圖 4-22 不同葛拉斯赫夫數下中央斷面溫度分佈圖。

(58)

圖 4-23 不同葛拉斯赫夫數流線分佈圖(上:Gr=103,中:Gr=104,下:Gr=105)。

(59)

X U

V Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Gr=103

Gr=104 Gr=105

圖 4-24 不同葛拉斯赫夫數速度斷面分佈圖。

(60)

Arc Length

L o c a l N u s s e lt N u m b e r

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 5 10 15 20 25

Gr=103 Gr=104 Gr=105

圖 4-25 不同葛拉斯赫夫數之局部紐塞數分佈圖。

(61)

圖 4-26 不同雷諾數之溫度分佈圖(上:Re=250,中:Re=500,下:Re=1000)。

(62)

(T-T

top

)/(T

bot

-T

top

)

Y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Re=250 Re=500 Re=1000

圖 4-27 不同雷諾數中央斷面溫度分佈圖。

(63)

圖 4-28 不同雷諾數流線分佈圖(上:Re=250,中:Re=500,下:Re=1000)。

參考文獻

相關文件

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