• 沒有找到結果。

範例在五年級學生學習分數除法的應用

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "範例在五年級學生學習分數除法的應用"

Copied!
137
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系 碩士論文. 指導教授:吳昭容 博士. 範例在五年級學生學習分數除法的應用. 研究生:劉禎芸 撰. 中華民國一○一年八月.

(2)

(3)

(4) 誌謝辭 在經歷了整整三年的碩士生涯後,終於進入論文口試階段,以及論文定稿暨 送印的時刻了。感謝指導教授吳昭容老師在碩士論文撰寫的過程中,給予我研究 方向的指引,以及許多枝微末節的提醒,使我有機會統整碩班所學,並慢慢精鍊 自己邏輯思考能力。此外,昭容老師和藹而嚴謹的學術態度,亦讓我學習許多處 事的道理,對自己而言,這是難能可貴的經驗。在此,我亦非常感謝呂玉琴老師 及涂金堂老師撥冗擔任口試委員指導我的碩士論文,讓我獲益良多。 謝謝師大心輔系所有的師長們,我於碩士班的課程中,不僅學習許多專業知 能,並予以應用於碩士論文中,亦因老師們溫暖的關懷,讓我在撰寫碩士論文的 過程中,得到許多支持感,進而完成論文的撰寫。 謝謝系圖瑱霖,對我而言,妳不僅給予我課業上的幫助,亦賦予我許多生活 中的精彩,碩士生涯有妳的相伴真好。還有 98 級同學們:莉惠、魏頡、幸雅、欣 儀、詠芝、鈺茜、琇雅、乃連、韋逸、怡婷、孟峰、雅靜等等,除了感謝你們在 碩士論文給我的幫助與鼓勵外,想對你們說: 「能在師大認識你們,一起度過碩班 的酸甜苦辣,讓我覺得自己好幸福!」也很感謝舒方學姊、健豪學長、寀雯學姊、 郁芩學姊、維光學長、祐瑄學姊、雨霖學長等等心輔系的學長姊給予我許多寶貴 的建議與指導;以及忠璇、品銓等學弟妹的協助。當然,還要感謝教學實習伙伴 們:靖怡、雅雯、堂瑋、魏頡的相互支持與鼓勵。 感謝我的家人及子舜,在各方面給予我最大的支援與支持,不僅幫我打理好 生活中大大小小的瑣事,每當我遇到挫折時,你們即成為我背後最堅強的支柱, 不僅鼓勵與安慰我,亦包容我的負面情緒,讓我渡過壓力最龐大的時刻。 感謝靜怡學姊以及其他協助我完成教學實驗的教師及同學們,感謝你們騰出 自己寶貴的時間,擔任我的主試者及受試者,有你們的協助,我的實驗以及論文 才得以如期完成。 感謝碩士生涯中,有眾多貴人的陪伴與協助,讓我在龐大的壓力中,得以化 i.

(5) 阻力為助力,如期完成論文,在此,對於你們除了感謝之外,也希望將此篇論文 獻給你們。 禎芸 謹誌 2012.08 台灣師大心輔系(所). ii.

(6) 中文摘要 本研究以「通分」、「顛倒相乘」及「整合通分與顛倒相乘」等三種不同類 型的範例教學,探討學生於分數除法之概念性知識與程序知識的學習成效,尤其 關注低先備知識學生的學習。前導研究以 115 名五年級學生和 108 名六年級學生 分別預試先備知識試題及概念性知識評量試題,結果顯示大部分的試題呈現難度 較低,但鑑別度優良的情況,進一步進行信效度分析(效度指標為學生 100 學年 度第二學期數學期中考成績),亦顯示試題內部一致性良好,也與數學成就有適 當的相關,故本研究僅修訂少部份試題,其他試題在正式實驗則予以沿用。正式 實驗的研究參與者為台北市與桃園縣各一所國小、各三個五年級班級的學生,有 效樣本為 148 名學生。受試者以班級為單位分派至三種不同的範例教學。教學實 驗前施測先備知識;隨後進行二節(整合組)或三節(另外兩組)的範例教學, 課堂讓學生兩兩異質分組,透過討論範例與各自練習解題進行學習;教學後施以 分數除法的程序性知識及概念性知識試卷。結果顯示學生透過範例教學學習分數 除法的概念性知識及程序性知識,其正確率達八成與九成,達到一般教學所欲達 成的教學效果,然由於三組學生的表現都很好,透過共變數分析控制先備知識的 影響後三種範例組別未達顯著差異。低先備知識的學生則有組別效果,以整合組 學習概念性知識的成效優於顛倒相乘組,且整合或顛倒相乘組學習程序性知識的 效果優於通分組,顯示對於低先備知識學生而言,整合組的範例不僅最有效率, 也最有效益。本文最後對課堂中的學生行為進行描述,也討論研究限制與教學上 的建議。. 關鍵字:分數除法、先備知識、程序性知識、概念性知識、範例. iii.

(7) iv.

(8) Application of Worked-out Examples in the Fraction Division Classroom for 5th Graders Chen Yun Liu Abstract In this study, three different prototypes of “common denominator”, “reciprocal multiplication” , and “integration” as the worked-out examples were applied to explore the learning effect on conceptual knowledge and procedural knowledge of fraction division, especially that on the students with low prior knowledge. The pilot study pre-examined 115 5th graders and 108 6th graders via the examination of prior knowledge and conceptual knowledge. The pilot study result shows lower difficulties in accordance with better discrimination in most of the items. The analysis of internal consistency reliability fitted the goodness; criterion-related validity was qualified for the significant correlation with the mathematics-achievement scores. Therefore, the study only revised minor part of the items. Other items were expected to be adopted in the formal examination. The valid samples in the formal examination were 148, including 5th graders sampling from elementary schools in Taipei and Taoyuan. The participants divided by classes as a unit were designed to three conditions with different. worked-out-example teaching instruction. The examination of prior knowledge was proceeded before the instruction. The worked-out-example instruction was then proceeded in the second (integrated group) or third (the other groups). The students were divided into heterogeneous group and they could learn via discussing the examples as well as solving the questions. The examination of fraction division with procedural knowledge and conceptual knowledge were provided after the worked-out examples. v.

(9) The results exhibited the anticipated learning effects on the students with 80% and 90% correct rate via learning conceptual knowledge and procedural knowledge of fraction division respectively. The difference between three groups was not significant according to ANCOVA analysis since the performance of three groups were fine simultaneously. The effect resulting from different groups occurred in the students with low prior knowledge. The effects of learning conceptual knowledge in integrated group were better than those in the reciprocal multiplication group. The effects of learning procedural knowledge in integrate group or reciprocal multiplication group were better than those in the common denominator group. In conclusion, the prototype of. worked-out examples in integrated group demonstrated the best efficiency and benefit for the students with low prior knowledge. Additionally, the acts of the students in class, the restriction of the research, and the advice of instruction were all described and discussed in this article.. Keywords: fraction division, prior knowledge, conceptual knowledge, procedural knowledge, worked-out examples. vi.

(10) 目次 誌謝辭.............................................................................................................................. i 中文摘要........................................................................................................................ iii 英文摘要.......................................................................................................................... v 目次........................................................................................................................ vii 表次......................................................................................................................... ix 圖次......................................................................................................................... xi 第一章 緒論………………………………………………………………………1 第一節 研究動機…….................………………………………………………1 第二節 研究問題與研究假設….................……………………………………4 第二章 文獻探討…………………………………………………………….……..5 第一節 範例教學………………………..…..…………........………………….5 第二節 分數除法……………………….…..……..........…......………………10 第三節 分數除法的教學型態………….....…........................………………..13 第四節 本研究的教學設計理念………….....…………............……………..16 第三章 前導研究…………………………………………………………………..19 第一節 方法……………………….....…………………...........……………..19 第二節 結果與分析……………...……………………….............…………23 第三節 討論……………………...………………………...........……………27 第四章 正式實驗…………………………………..……………………………29 第一節 研究方法……..………………………………….............……………29 第二節 結果與分析……..………………………………................………….40 第三節 討論………......……………………………………...................……..52 第五章 結論與建議………………………………….......………………………55 第一節 結論……...…………………………………….....……..........……….55 第二節 研究限制與未來研究方向……………………………..................…58 第三節 教學建議………………………………………...........………………59 參考文獻……………………………………………………...........………...…..61 中文部分………………........……………………………………............………61 西文部分…………......……………………………………………...............……62 附錄………………………………………………………………………………67 附錄一…….....................…………........…………………………………………67 附錄二……….................…………………………………………………………68 附錄三………….………………………....…...............…………...…………….70 附錄四……………………………………....…………............…....……………71 附錄五………………………………………....……………....................………89 附錄六………………………………………………………………..........……107 vii.

(11) 附錄七……………………………………………………….................………119 附錄八…………………………………………………………….......….......…120 附錄九……..…………………………………………………………........……122. viii.

(12) 表次 表1. 範例教學的應用與解說……………………….…………………..…...........… 5. 表2. 教學內容及對應之概念性試題各小題題數…….………...…....….…........…20. 表3. 先備知識試題之難度、鑑別度、Cronbach α 值及效標關聯效度……..........…24. 表4. 概念性知識評量試題之難度值、Cronbach α 值及效標關聯效度.….......… 26. 表5. 概念性知識評量試題選項 14、27 及 30 試題…………………....…..…..… 26. 表6. 刪題後概念性知識評量試題於教學內容及概念性知識題數….................…36. 表7. 範例教學課程時間表…...……....…………………………..............…........…38. 表8. 概念性知識評量試題及程序性知識評量試題描述統計分析摘要表….....…41. 表9. 概念性知識評量試題二因子變異數分析摘要表…………………....….........42. 表 10. 概念性知識評量試題單純主要效果變異數分析摘要表………..…...............43. 表 11. 詹森─內曼法分析摘要表……………....…………………………...………...45. 表 12. 三組低先備知識描述統計分析摘要表……………..………………...............48. ix.

(13) x.

(14) 圖次 圖 1. 教科書中同分母分數除法範例教學………………………………........… 14. 圖 2. 概念性知識評量試題範例題………………………………………........… 21. 圖 3. 圖像表徵概念第一小題前導性研究試題…………………………........….25. 圖 4. 圖像表徵概念第一小題修正後試題…………….....................................…25. 圖 5. 通分範例教學材料…………………………………………………........… 31. 圖 6. 顛倒相乘範例教學材料……………………………………………........… 33. 圖 7. 整合範例教學教材範例……………………………………………........… 34. 圖 8. 依據整數除以分數及異分母分數除法原則所設計之整合範例…...........…35. 圖 9. 正式實驗學生分組方式………………...………………………………….…36. 圖 10. 正式實驗空間配置式………..……...……..……………………………….…37. 圖 11. 通分組與顛倒相乘組迴歸線相交點及差異顯著點……...……………….…45. 圖 12. 通分組與整合組迴歸線相交點及差異顯著點…….…...…...…………….…46. xi.

(15) xii.

(16) 第一章 緒論 第一節 研究動機 九年一貫數學學習領域提出觀念、演算及數學經驗為學生學習數學所應重視 的三大面向,在數學的教與學中,將觀念及演算合而為一,期許學生理解數學概 念及演算規則後,進而熟練數學運算且完整學習數學(教育部,2008) 。學生學習 數學時,需先理解數學的原理原則及概念性知識,方能在解題過程中以概念性知 識表徵數學問題,繼而思考解題歷程,並以程序性知識完成解題(岳修平,2001), 可以見得倘若學生能兼顧概念性知識與程序性知識,較容易將數學概念遷移至新 的數學問題情境中,提升學習數學的成效。 然而教師在教學現場中,卻常引導學生側重程序性知識的學習,因此出現未 能熟習概念性知識的情形(岳修平,2001)。學生依循數與量、幾何、代數、統計 與機率及連結等五大主題所強調之能力指標學習數學時(教育部,2008) ,常透過 背誦公式,忽略數學概念性知識的重要性,將概念性知識及程序性知識劃分為二。 國民教育階段所強調的數學基本能力中,分數概念的學習廣泛涵蓋於各個年 級,然而教師於分數概念的教學上,卻出現了教導學生無發展性的解題技巧以及 過於重視解題偏方,導致忽略概念性知識的兩大問題(林福來、黃敏晃、呂玉琴, 1996) ,這使得學生在學習分數概念時出現極大的問題,其中又以分數除法的學習 困難最為明顯。例如:教師教導學生除數顛倒─相乘的演算規則,學生也熟記此一 算則,卻完全不了解其中的原理原則(李源順、胡蕙芳,2005)。 範例教學(worked examples)提供完整的解題步驟,使學生在解題遇到困難 時,得以將範例視為鷹架的角色,進而提升數學解題能力(Carroll, 1994) ,然而目 前教科書的編排方式,卻僅在非完整範例或少許範例下,重視練習的機會,導致 一般教師以教科書教導學生學習數學時,易受到教材不詳盡或範例題與練習題配 置不一影響,無法以統一的教材教導學生概念性知識與程序性知識,對學生產生 負面的學習效果,故本研究擬定提供詳細且適量的範例教學,改善現行教科書的 1.

(17) 問題,亦即以範例為教材進行教學,循序漸進且完整傳達數學的概念性知識及程 序性知識,提升學生學習效果。 範例教學涵蓋問題情境、解題步驟及註解三部分,強調在完整的範例下,學 生不僅可以學習如何解題,亦可以理解解題的原則(涂金堂,2011;Atkinson, Derry, Renkl, & Wortham, 2000; Mayer, 2008),許多國內外研究均指出範例教學對學生學 習數學有正向學習效果(涂金堂,2011;Carroll, 1994; Clarke, Ayres, & Sweller, 2005; Reed, Alexandra, & Ettinger, 1985; Renkl, Stark, Gruber, & Mandl, 1998; Rittle-Johnson & Star, 2009; Sweller & Cooper, 1985; Zhu & Simon, 1987) 。Sweller於 1999年提出,學生於從做中學的歷程中,耗盡許多心思尋求問題解決的方法,導 致沒有機會達到自動化的學習效果;反之,範例教學將提供詳盡的解題程序,並 讓學生透過練習達自動化效果,進而降低學生的認知負荷,達到更有效的學習 (Mayer, 2008)。Rittle-Johnson與Star(2009)以11個班級的七年級及八年級中學 生為受試者,進行前測-教學-後測的實驗,在五天的實驗中,將11個班級的學 生依照以下三種範例教學類型進行分組教學:(一)學習解決相同問題但不同解 決方法的數學題型(二)學習比較具有相同解決方法但不同問題型態的數學題型 (三)持續地學習範例教學,研究結果顯示三種類型的範例教學對於學生學習代 數都有影響。 根據以上文獻探討,本研究欲將範例教學應用於國小分數除法的教材,所以 進一步分析國小數學教科書第11冊中分數除法單元(南一,2011;康軒,2008;國 編,2011) ,發現各版本所呈現的教學結構相似,但所傳遞的概念與重點不盡相同, 故參照Rittle-Johnson與Star(2009)研究三種範例教學的方式,欲以分數除法中不 同的概念與算則為依據,探討三種不同範例之學習成效及其中的差異。 本研究以分數除法單元中同分母分數除法、整數除以分數及異分母分數除法 為研究題材,參照南一版、康軒版及國編版(國家教育研究院)等三個版本數學 教科書中的解題方法,發現教師教導分數除法時,會先以通分的概念引導學生學 習分數除法,接著則是將通分的概念融入顛倒相乘的解題過程中,幫助學生學習 2.

(18) 分數除法的通用算則-顛倒相乘。本研究係依照此一大架構,將分數除法的解題 區分為「通分」、「顛倒相乘」與「整合」三種不同類型的算則(南一,2011;康 軒,2008;國編,2011),以完整學習五年級之前數學的學生為受試者,在五年級 下學期期末考後進行分數除法的範例教學,並依照五年級第一次月考數學成績將 受試者異質性分組後,於教學實驗時進行兩兩分組討論,欲探討五年級學生透過 不同類型範例教學學習分數除法之成效。 三種不同類型的範例係依據範例教學的課程設計理念及教材編擬原則所設計 而成,並應用圖示表徵的優點,協助學生整合分數除法的概念性知識與程序性知 識,於各組課程及教材設計嚴謹控制的情況下,探討依照不同內涵所設計而成的 範例教學,對於五年級學生學習分數除法的成效是否有顯著的差異,進而歸納適 合學生學習分數除法的範例教學類型。 除了分析與討論三組學生於範例教學的成效外,透過教學現場及文獻探討, 瞭解學生學習分數前的先備知識將對其學習成效產生重要的影響(游政雄、呂玉 琴、吳宏毅與劉世能,2003),且相較於高成就的學生較適合以傳統教學進行學 習,低成就的學生適合以範例教學學習(涂金堂,2011;Kalyuga & Sweller, 2004)。 本研究編擬先備知識試題檢核學生是否具備學習分數除法的概念,並進一步就先 備知識的表現,將其區分為高、中及低先備知識組,欲探討低先備知識學生的學 習效果是否達顯著差異,進而提出適合低先備知識學生學習分數除法的範例教學 類型。 為評估學生以範例教學學習分數除法之成效,本研究根據教學教材,編擬概 念性知識評量試題及程序性知識評量試題兩份試題,其中概念性知識評量試題又 依據三種不同範例的教材設計理念,劃分為通分、顛倒相乘、整合及答案四個概 念性分量表,除了預期三種教學法的學生在對應的概念性分量表會有較佳的表現, 亦希望可以進一步探討三組學生於四個分量表的表現。. 3.

(19) 第二節 研究問題與研究假設 根據上述研究動機,本研究欲了解高年級學童在「通分」、「顛倒相乘」及 「整合」等三種不同類型的範例教學下,學習分數除法之程序性知識與概念性知 識的差異,尤其關注低先備知識(低成就)學生的學習差異,進而提出三個研究 問題: 一、學生以三種不同類型的範例教學學習分數除法,在與之對應的「概念性知識」 類型是否具有比較好的表現? 二、在控制先備知識的情況下,學生在三種不同類型的範例教學中,學習分數除 法的概念性知識與程序性知識有無不同效果? 三、在控制先備知識的情況下,低先備知識學生在三種不同類型的範例教學中, 學習分數除法的概念性知識與程序性知識有無不同效果? 根據以上三個研究問題,本研究提出以下研究假設: 1-1:通分組在通分分量表的表現優於其他兩組。 1-2:顛倒相乘組在顛倒相乘分量表的表現優於其他兩組。 1-3:整合組在整合分量表的表現優於其他兩組。 2-1:以先備知識為共變量,學生在三種不同類型的範例教學中,學習分數除法的 概念性知識有不同效果。 2-2:以先備知識為共變量,學生在三種不同類型的範例教學中,學習分數除法的 程序性知識有不同效果。 3-1:低先備知識學生在三種不同類型的範例教學中,學習分數除法的概念性知識 有不同效果。 3-2:低先備知識學生在三種不同類型的範例教學中,學習分數除法的程序性知識 有不同效果。. 4.

(20) 第二章 文獻探討 第一節 範例教學 一、範例教學之內涵及其理論依據 範例教學指稱於學習者學習前,呈現問題情境,運用符號、文字及圖片等方 式詳盡地介紹解題步驟,讓學習者學習與仿效專家的問題解決模式,並輔以註解 詳加解釋採用各個步驟的原因,期許學生透過範例教學的學習歷程,達提升解決 問題的目的,其包含問題(problem)、解答(solution)及註解(commentary)三 部分(涂金堂,2011;Atkinson, et al., 2000; Mayer, 2008; Renkl, et al., 1998; Sweller & Cooper, 1985; Ward & Sweller, 1990; Zhu & Simon, 1987)。. 表 1 範例教學的應用與解說 範例題. 解說. 箱子中有 3 個紅球和 2 個白球,隨機抽取其中兩個球。選 出的球不再放回箱子。請問第 1 個拿到紅球且第 2 個拿到 白球的機率為何? 步驟一: 球的總量: 5 紅球數量: 3 第一球拿到紅球的機率: 3/5 步驟二: 第一步驟後,所有球的數量有: 4 白球的數量: 2 第二球拿到白球的機率: 2/4 步驟三: 第一球拿到紅球以及第二球拿到白球的機率:. 問題(problem): 陳述問題。. 3/5*2/4=6/20=3/10 答案:第一球拿到紅球以及第二球拿到白球的機率為 3/10. 註解 (commentary): 進一步詳加解釋採 用各個步驟的原 因。. 解答(solution): 運用文字及符號 詳盡地介紹解題 步驟。. 資 料 來 源 : “Learning form examples: Instructional principles form the worked examples research”, by R. Atkinson, S. Derry, A. Renkl & D. Wortham, 2000, Review of Educational Research, 70, p.182. 5.

(21) 透過表1逐一解說範例教學如何應用於數學教學,其中左側為學生以範例教學 學習時會看到的教學教材,右側為本研究的解釋與說明。表1包含完整範例所應具 備的三個部分:以文字陳述問題情境、將註解整合於解題步驟,並循序漸進介紹 解答此一問題所應包含的三個步驟。 範例教學應該保有最大的彈性,整合圖表、文字及聽覺等訊息,以避免學習 者在面對眾多未經整合的訊息後,增加認知負荷量,妨礙學習,且面對複雜的範 例教學時,可以伴隨聽覺的解釋,給予學習者明確的指引方針,以降低學生的認 知負荷量,且註解通常擔任重要的概念與想法(Atkinson, et al., 2000);反之,在 降低學習者認知負荷(cognitive load)的前提下,提升學習效率及學習效果(Mayer, 2008)。Sweller(1994)以及Sweller, van Merrienboer(1998)提出,認知負荷係 指學習者從事某一特定工作時,對於認知系統產生的負擔,其受到教學內容的要 素及學習者的專業知能等內在認知負荷(intrinsic cognitive load),以及教材及教 學設計是否適宜所造成的外在認知負荷(extraneous cognitive load)或增深認知負 荷(germance cognitive load)影響。以上三種認知負荷的關聯,是隨著外在認知負 荷的驟減,將提升增生認知負荷;透過增生認知負荷建構基模的過程中,亦可以 降低內在認知負荷(Sweller & Chandler, 1994; Van Merriënboer & Sweller, 2005)。 Sweller等人(1998)提出範例效應(worked example effect)、完成問題效應 (completion problem effect)、形式效應(modality effect)、自由目的效應(goal-free effect)、分散注意力效應(split-attention effect)、重複效應(redundancy effect) 及變異效應(variability effect)等七項效應將影響學習者認知負荷的高低。以下以 認知負荷理論基礎、範例效應及分散注意力效應說明範例教學與教師講述相異處, 進而提出範例教學有助於學生學習的理論基礎。 範例教學與教師講述相同的部分,為兩者均會呈現問題情境,其差異處則可 從以下三點進行解說: 第一,範例教學於問題情境後會列出詳盡的解題步驟,以及與之相對應的文 字或圖示註解補充說明,學生閱讀的過程會將這些解題資訊以視覺呈現的方式予 6.

(22) 以保留;反之,教師講述的課程進行方式,是邊寫算式邊以口語陳述註解,學生 學習的過程中接收教師所傳遞的語音訊息,然此等語音訊息將會隨著時間而消失, 跟不上的學生也因此跟不上進度。 由以上分析得知,範例教學法與教師講述法均以視覺呈現的方式,寫下解題 之步驟,讓學生在學習時,得以透過閱讀的方式學習運算過程,其中兩者最大的 差異為,教師講述法具備Atkinson等人(2000)及Sweller等人(1998)所提出分散 注意力的優點,使學生透過視覺呈現的解題步驟,及語音解說的註解,降低認知 負荷,達到整合的作用,進而提升學習效果,然而教師講述法的教學與教材設計, 將導致學生無法同時或者反覆閱讀兩種資訊,而提升學生的外在認知負荷;反之, 學生以範例教學進行學習時,可以同時及反覆閱讀兩種資訊,在提升增深認知負 荷的情況下,達正向學習效果。 第二,教科書多以對話框之語言文字補充說明解題的原理原則。運用語言文 字表達概念時,容易出現線性且冗長的語句,且此一線性的概念性說明,易導致 某概念可能與前述概念相關,然在時間與空間的配置上,已經間隔久遠,使學生 在學習時,難以發現與理解兩者的關連;反之,以圖示法呈現註解,透過空間配 置的相互對應,學生較容易察覺及釐清其中隱含的原理原則。 範例教學提出以圖示為註解的可能性,使學生易察覺其中的關聯性,降低內 在認知負荷,此外,以圖示法為註解,於教材設計得宜的情況下,將提升增深認 知負荷;反之,教師講述法中的語言文字註解使學生難以察覺其中的關聯性,將 提升內在認知負荷與外在認知負荷。 第三,以一範例搭配一練習的範例教學進行數學學習時,學生透過配對 (matching)的過程,以參照範例題的方式完成練習題,掌握解題程序與基本概念; 反之,一般教師講述的例題與練習題可能並未一一對應,例如:教師會認為透過 講述法,已經清楚傳達解題的原理原則,練習題的編擬便延伸難度較深較複雜的 題型,足見雖然教師講述也是一例題搭配一練習題的方式呈現,但是兩者之間卻 無法直接對照。 7.

(23) 範例教學中範例題與練習題間的差距較小,為避免學生透過模仿的過程完成 練習題,並非真正理解解題的原則,許多學者進而提出一範例搭配兩練習題的範 例教學,其中第一題範例題較簡單(近遷移),第二題範例題較困難(遠遷移)。 Atkinson等人(2000)提出教學者須進一步考量如何安排範例教學,並逐一介紹課 程設計中安排範例教學的原則:首先,每一問題類型,至少提供兩個範例教學。 第二,在同一單元中,教導不同類型的問題,需採用範例教學或其他可以最大限 度降低學習者認知負荷的課程,進而協助學習者達有效學習。第三,當一個課程 當中涵蓋各式各樣的問題類型時,教學者應找出這些問題中相同的部分,並以同 一種模式呈現不同的問題類型。最後,課程設以範例教學題搭配練習題的方式呈 現,將會提升學習者的學習效率(Atkinson, et al., 2000)。由以上課程設計原則見 得,範例教學符合Sweller等人(1998)提出之範例效應,在學生學習時,提供與 之對應的範例,使之參照範例題,完成練習題的過程,將降低外在認知負荷。 二、範例教學的實徵研究 國內外許多實徵研究均證實範例教學可以提升學生學習效果(涂金堂,2011; Carroll, 1994; Renkl, et al., 1998; Rittle-Johnson & Star, 2009; Reed, et al., 1985; Zhu & Simon, 1987) 。透過實徵研究,本研究整理出許多範例教學呈現的方式(Atkinson, et al., 2000; Reed, et al., 1985)。Reed等人(1985)提出詳盡的範例教學(elaborated worked example)透過介紹每一個解題步驟及運算過程,將使學生得到較好的學習 效果;反之,當範例教學以較簡短的方式呈現(short worked example),並未提供 詳盡的解釋,則學生無法透過範例教學達有效學習。Cooper與Graham於1998提出, 並非每一種範例教學都可以達到有效的學習,唯有提供一範例教學搭配一練習的 範例教學,才可以達到有效的學習效果(Mayer, 2008)。 實徵研究指出範例教學比做中學(learning by doing)及教師講述等傳統教學 有效(Ayres, 2006; Carroll, 1994; Mwangi & Sweller, 1998; Scheiter, Gerjets, & Schuh, 2010; Sweller & Cooper, 1985)。其中做中學係指讓學習者以直接解題的方式,探 究問題情境中的解題過程,進而熟練解題方式,並計算正確答案(Mayer, 2008)。 8.

(24) Carroll(1994)以24位數學低成就的中學生為受試者,分析範例教學組與傳統教學 組的學生於數學解題的表現。研究者以教師講述的教學方式,教導24位學生如何 進行解題,再將他們分配至範例教學組與傳統教學組,兩組課程的差異,是範例 教學組的學生會先閱讀6道範題,然後進行6道練習題解題,而傳統教學組的學生 則直接進行12道題目的解題。研究結果顯示範例教學組的學習效果優於傳統教學 組。針對此一結果,Carroll(1994)提出,相較於範例教學法的設計原理與課程編 排方式,傳統教學法重視學生從練習的歷程中達學習的目的,然練習易導致學生 建構錯誤的解題原則;反之,範例教學藉由範例題中詳盡的解題步驟及註解,將 有助於學生在整合概念性知識與程序性知識的學習。 Sweller和Cooper(1985)以22位9年級學生為實驗的對象,將實驗者分派至範 例教學組與傳統教學組,以國中的代數運算為實驗材料,結果顯示範例教學組學 習效果優於傳統教學組。Sweller和Cooper(1987)進行從做中學和範例教學之比 較,結果證實相較於從做中學的學習,範例教學中所呈現的一個範例搭配一個練 習題,將有助於提升學生的學習成效,亦可以讓學生將所學遷移至新問題。為此, Cooper與Sweller(1987)以及Cooper與Sweller(1985)提出,新手以練習的方式 學習,將在嘗試錯誤的過程中找出解題策略,而範例教學將更使學習者學習更有 效的問題解策略。 透過實徵研究發現,學習者於範例教學前是否具備足夠的先備知識,將影響 學習效果,亦是值得探討的議題。Kalyuga 與 Sweller(2004)操弄先備知識高低 以及教學法,將42名國中三年級學生依照學習前是否具備先備知識,區分為高先 備知識者與低先備知識者,且操弄教學方式,將學生隨機分派至範例教學法或問 題解決教學法,並以此兩個向度,將學生分為四組(高先備知識/範例教學法、高 先備知識/問題解決教學法、低先備知識/範例教學法、低先備知識/問題解決教學法), 請問題解決教學法的受試者解決8道問題(與座標相關的問題),而範例教學法學 生則閱讀4題範例,解決4題問題,四組學生於教學實驗後,均施行後測。研究結 果顯示低先備知識學生於範例教學的學習成效顯著優於高先備知識者。涂金堂 9.

(25) (2011)操弄範例教學法與傳統教學法,將範例教學應用於國小數學問題的教學 實驗中,在實驗前進行前測,繼而將66位五年級學生隨機分派至兩種教學法中, 進行體積與表面積的數學教學實驗,並於教學結束後進行後測,結果顯示低成就 學生適合以範例教學進行學習,高成就的學生適合以傳統教學法學習。由以上文 獻回顧可以見得,「專家知能的反向效應」(expertise reversal effect)將使低成就 的學生較適合以範例教學進行學習。 綜合上述文獻探討,本研究以「範例教學在五年級學生學習分數除法的應用」 為研究主題。根據Carroll(1994)、Cooper與Sweller(1987)、Cooper與Sweller (1985)及Rittle-Johnson與Star(2009)的實徵研究,顯示範例教學可以提升學習 者學習效果,且不同類型的範例教學,將影響學習者的學習,故本研究擬定以範 例教學教導學生學習分數除法,使學生整合學習分數除法的概念性知識與程序性 知識,比較不同範例教學類型對於學生學習分數除法的影響。此外,根據Kalyuga 與 Sweller(2004),以及涂金堂(2011)的實徵研究,本研究將於教學實驗前施測 先備知識試題,區分低、中及高先備知識學生,探討低先備知識學生的學習成效。 最後,根據Cooper與Graham於1998年及Rittle-Johnson與Star(2007)所提出一範例 教學題題搭配一練習題及分組討論將提升學習者學習效果,本研究將在三組範例 教學的實驗中,採一範例教學搭配一練習的方式,讓學生以討論法進行分數除法 的學習。. 第二節 分數除法 一、分數除法的概念性知識與程序性知識 數學領域各個單元,均強調達整合學習概念性知識與程序性知識的目的(吳 昭容、徐千惠,2010)。Hiebert(1986)提出,程序性知識係指學生於完成解題 過程中,需具備「知道如何完成」(knowing how-to)的能力,亦即透過一系列的 解題步驟,計算出正確答案的能力;概念性知識表示需具備「知道為什麼」 (knowing 10.

(26) why)的能力,亦即除了知道如何完成外,亦需進一步理解各個解題步驟的意涵與 關連性。國內外許多學者均提出分數的概念性知識與程序性知識之研究,其中分 數概念包含部分-全體、單位量、等值分數等原理原則(林碧珍,1990;呂玉琴, 1996;Lamon, 1999; Suydam & Dessart, 1980),程序性知識指循序漸進完成一系列 分數之加減乘除等解題步驟,並計算出正確答案(Lamon, 1999; Suydam & Dessart, 1980)。根據以上文獻探討得知,分數除法的概念性知識包含一切與之有關的分 數概念,而程序性知識則包含知道且熟悉分數除法的運算過程。 一直以來分數除法的教學實驗研究,均是國內外學者所關切的議題(李源順, 胡蕙芳,2005;Huinker, 1998; Shart & Adams, 2002),且大部分的學者均進一步 指出,學生在學習分數時,會出現概念性理解與程序性運算等兩大問題(洪素敏、 楊 德 清 , 2002 ; Ashlock, 1990; Bergeron & Herscovics, 1987; Edward, 1983; Lankford,1972; Mack, 1993; Painter, 1989; Tatsuoka, 1984),例如:學生進行分數乘 法的運算時,會先將被除數與除數進行通分,而後進行分子相乘。此外,學生學 習分數除法的效果不彰(林福來等人,1996;陳明宏、呂玉琴,2005),深入探 究其原因,可以發現許多教師在教導學生分數除法所需具備的基本分數概念,甚 至進行分數除法的教學時,為了讓學生可以快速學習程序性知識,而教導學生僅 適用於小範圍的解題偏方,忽略了教導學生概念性知識,才可以讓學生根深蒂固 的學習分數,繼而遷移至較大範圍的學習(林福來等人,1996) ,也因此學生學習 分數除法時會出現許多問題,例如:學生在進行同分母分數除法的學習時,會保 留被除數與除數的分母,繼而進行分子相除(Lankford,1972; Painter, 1989) 游政雄等人(2003)提出學生學習分數遇到困境的原因,為分數本身具有多 重意義,且分數概念有別於整數的概念,故學生在學習分數除法時,會受到之前 所學整數概念的負面影響,導致無法有效學習分數的概念性知識,足見學生學習 分數除法出現問題的原因為基本概念出現問題或者單位量的問題,故本研究將以 先備知識試題,確認學生學習分數除法前是否具備應有的概念性知識,並探討不 同先備知識學生的學習成效有何差異,此外,亦於分數除法的範例教學教材中, 11.

(27) 輔以長條圖的註解,引導學生有效學習分數除法的概念性知識。 二、分數除法前的先備知識 透過分數概念學習與教學之的發展性研究(林福來等人,1996) ,以及教科書 分析後(南一,2011;康軒,2008;國編,2011),可以歸納出許多重要的分數概 念,本研究為探討學習分數除法前所需具備的分數概念,故進一步分析分數除法 單元中,教材結構說明所提出之學生學習分數除法所需具備的能力,進而列出五 大分數概念。 (一)整數除以整數 整數除以整數為最基本的除法概念,除法可以視為乘法的逆運算或重複的減 法。本研究分析分數除法的單元後,發現分數除法依循同分母分數除法、整數除 以分數、異分母分數除法進行教學。首先,在進行同分母分數除法的教學時,係 依照將單位分數抽出、整數除以整數等步驟進行解題(南一,2011;康軒,2008; 國編,2011) ,故對於學習分數除法的學習者而言,整數除以整數是重要的先備知 識。 (二)通分概念 通分為利用約分或擴分將兩個不同分母的分數化為同分母的分數。本研究透 過教材的分析發現,分數除法進行至整數除以分數及異分母分數除法兩內容時, 教師會請學生利用通分概念,將被除數與除數的的分母轉換為一樣的數字(南一, 2011;康軒,2008;國編,2011),可以見得對於學習分數除法的學習者而言,通 分概念是重要的先備知識,故本研究擬定以異分母的分數加減檢測學生是否具備 通分概念。 (三)分數乘法 分數乘法為將兩個分數進行相乘,其做法為分子乘分子以及分母乘分母即可 以得到答案。本研究透過教材的分析發現,分數除法進行至異分母分數除法此一 教學內容時,教師會以通分的解題原則引導學生學習顛倒相乘的算則(南一,2011; 康軒,2008;國編,2011),故對於學習分數除法的學習者而言,分數乘法是重要 12.

(28) 的先備知識。 (四)分數概念的圖示表徵 圖示表徵為學生學習時,透過圖示輔助改善解決問題的能力。透過文獻探討 可以歸納出許多圖示表徵有助於學習概念性知識的優點(李源順、胡蕙芳,2005; Lewis, 1989;. Moyer & Sowder, 1984; Willis & Fuson, 1988),且進一步歸納各版本. 的分數除法單元後,可以發現數學教科書均以圖示表徵引導學生學習分數除法(南 一,2011;康軒,2008;國編,2011),故對於學習分數除法的學習者而言,圖示 表徵分數概念是重要的先備知識。 (五)假分數與帶分數的轉換 假分數為商大於 1 的分數,而帶分數為一個整數加一個真分數,故假分數可 以轉換成帶分數。本研究考量現行教學現場中,教學生會教導學生在算出答案後, 須將其轉換成帶分數,故將此一分數概念涵蓋於學習分數除法前所需具備的先備 知識之一。. 第三節 分數除法的教學型態 一、課本的呈現方式與常見的教學流程 圖 1 為國編版(2011)第 11 冊數學教科書所呈現分數除法教學的引導模式, 本研究係依照此一大架構,將分數除法的解題區分為「通分」、「顛倒相乘方式」、 「整合」三種不同類型的算則(南一,2011;康軒,2008;國編,2011)。試題編 制理念及試題結構見後文正式實驗教學教學材料介紹。 透過圖 1 顯示,目前的教科書以問題情境模式引導學生學習分數除法,且會 以圖示法協助學生了解題意,在釐清問題情境後,繼而寫下詳細的解題步驟,輔 以文字註解,提升學生對於分數除法的概念姓了解。以下進一步將圖 1 分為上半 部與下半部,分析與討論課本的呈現方式與常見的教學流程。 圖 1 的上半部並未呈現詳盡的解題步驟,而僅有問題情境及註解。教師在講 13.

(29) 1 述此一例題時,會以對話框文字的補充說明及圖示註解,引導學生理解 5 個 是 1 3 1 個 的 5 倍,所以 5 ÷ 1 = 5 ;接著即進行下半部例題的講解。透過教師講述此一教 3. 科書內容,顯示此例題於教師講述前並未列出詳盡的解題步驟及註解,學生需憑 藉教師口述的語音訊息學習,這將導致學生在學習時,產生語音稍縱即逝,無法 反覆學習及跟不上教師講述內容的情形。此外,透過對話框的文字補充,顯示以 5 1 線性且冗長的文字語句呈現概念出現的限制,學生可以透過圖示法發現 是 的 5 3 3 1 1 倍,卻無法以同樣的方式對應 5 個 與 1 個 的關連性。最後,教師於講述此一例 3 3. 題後,並未編擬練習題供學生練習。. 資料來源:國家教育研究院籌備處(2011)。國小數學課本(頁 31)。台北市: 翰林。 圖 1 教科書中同分母分數除法範例教學. 圖 1 的下半部,雖有列出詳盡的解題步驟及文字解說,但是並未在每個解題 步驟後都列出與之對應之文字註解或圖示說明。教師在講解此一例題時,會以對. 14.

(30) 1 1 話框的文字解說引導學生思考 5 個 是 2 個 的幾倍,進而引導學生理解可以想成 3 3. 5 是 2 的幾倍,故於解題步驟中,即以整數除法的觀念將被除數與除數的分子相除, 並列出正確答案。與上半部的例題一樣,此一例題雖有列出詳盡的解題步驟,但 是卻未列出與之相對應的註解,故透過教師以語音的方式學習概念性知識,將產 生聽完後不懂,卻無法反覆閱讀的情形,且本例題亦出現以語言文字為註解,及 未提供與其配對之練習題的情形。 二、圖示法扮演說明題意角色 如圖1之兩個例題,現行教科書於分數除法的教學中,大多會於問題情境中以 圖示法引導學生了解題意,例如:上半部的例題即藉由右側的圖示法呈現問題中 紅繩與黃繩的長度,使學生透過文字說明瞭解題意後,進而以圖示瞭解題目的意 涵。 本研究參閱及分析各版本數學教科書,並整合有關圖示法的研究後發現,各 版本數學教科書均以圖示法引導學生學習分數除法,並輔以對話框形式的文字說 明讓學生了解解題原則(南一,2011;康軒,2008;國編,2011),達到圖示法有 助於學生學習分數除法概念性知識的理念(李源順、胡蕙芳,2005;Lewis, 1989; Moyer & Sowder, 1984; Willis & Fuson, 1988)。李源順、胡蕙芳(2005)於分數除 法的教學實驗研究中,以國小六年級學童為研究對象,操弄分數除法的教學方式, 其中實驗組為以單位量轉換、圖像表徵、問題對比與討論等方式進行分數除法的 教學,對照組為一般的傳統教學,希望透過兩種教學方式進一步比較學生學習分 數除法概念性知識的差異。研究結果顯示學生利用單位量轉換及圖像表徵的方式 進行分數除法的學習,輔以與同學討論,將有助於概念性知識的理解。故本研究 考量範例教學中以圖示表徵的方式,詳細解說範例教學的解題步驟, 然而,如圖1例題所示,現行教科書僅於問題情境中以圖示法引導學生了解題 意,在解題步驟中卻以對話框的語言文字補充說明解題的原理原則,並未充分運 用圖示法的優勢,故本研究考量圖示法的優點,設計實驗題材時,除了盡量呈現 15.

(31) 每一個解題步驟,亦於每一解題步驟後,設計予以對應之圖示註解,讓學生進行 異質性分組,透過與同組同學討論圖示註解中,瞭解每一解題步驟的原理原則, 學習分數除法的概念性知識。. 第四節 本研究的教學設計理念 本研究參閱各版本教科書於分數除單元的教材與教學設計,以其為編擬實驗 教材的依據。分數除法單元包含同分母分數除法、整數除以分數及異分母分數除 法三個教學內容(南一,2011;國編,2011;康軒,2008),且教科書多以同分母 分數除法為第一個教學內容,教導學生在同分母的情況下,將被除數與除數進行 整數除法,待學生熟悉此一運算過程,且瞭解其中的概念後,在整數除以整數及 異分母分數除法兩單元,即以通分概念引導學生察覺並瞭解顛倒相乘的原理原 則。 在分數除法的教材中,亦可以發現各版本的呈現方式差異極大,例如:南一 (2011)於整數除以分數以顛倒相乘教導學生分數除法的解題原則,於分數除以 分數則以通分概念讓學生認識分數除法的解題算則;康軒(2008)於同分母分數 除法及整數除以分數」的教材編制以通分得算則引導學生進行解題,於異分母分 數除法中以通分的概念帶領學生學習顛倒相乘的概念。 歸納三個版本的教科書設計原則後,發現雖然他們所呈現的教學結構相似,但是 他們所傳遞的概念與解說的重點不一樣,故本研究希望進一步探討各版本所重視 的不同的教學型態,歸納出適合學習概念性知識以及程序性知識的範例教學。 根據文獻探討範例教學之內涵及其理論依據所歸納整理,範例教學需涵蓋問 題、解答及註解三大部分,其中解答及註解兩大部分中,又可以以符號、文字及 圖片等方式呈現。透過圖示法的文獻回顧及各版本教科書的編排方式,檢核圖示 法的優勢,並確認圖示法的確為學生所熟悉的教材編制方式,故以範例教學設計 理念對圖1兩例題進行調整,作為本研究的範例教學教材。本研究將會於問題情境 16.

(32) 右側設計設計與之對應的圖示說明題意,並列出詳盡的解題步驟及相對應之圖示 註解,使學生在初次閱讀範例後,若有不懂之處,可透過反覆閱讀的方式保留視 覺呈現的資訊。此外,學生亦可透過圖示註解的空間配置,完整學習此一範例所 欲傳達的概念性知識。最後,範例教學將會呈現一題或兩題練習題,協助學生將 範例題的流程及概念遷移至不同的題目或情境。 本研究欲透過範例教學檢核學生於概念性知識及程序性知識的學習成效,故 於教材、先備知識試題、概念性知識試題及程序性知識試題的編擬中,特別關切 學生學習分數除法前所需具備的先備知識,以及學習分數除法後,所應具備的概 念性知識及程序性知識。三份試題所強調的程序性知識系指知道如何完成分數除 法的運算,並計算出答案。而概念性知識系指除了知道怎麼做外,亦需瞭解運算 過程的原理原則,而非指文字題所指涉之概念性知識。例如:在通分教材中,本 研究編擬一系列需透過通分概念方能完成的解題步驟,希望學生可以透過此一教 材學習通分的解題步驟,亦希望學生透過右側的圖示,瞭解其中的原理原則,且 於通分的概念性知識試題編擬中,亦強調其中的運算過程,及其中隱含的概念。. 17.

(33) 18.

(34) 第三章 前導研究 前導研究目的在於預試有關分數除法之先備知識試題與評量試題,透過試題 分析、信度與效度的分析檢核試題品質,並修正為正式實驗的評量工具。先備知 識試題係依據國小學童學習分數除法前所需具備之分數概念編擬而成,旨在作為 正式實驗效果的控制變項,以及進一步探討低先備知識的學生受益於不同範例教 學的程度有無差異,故預試對象與正式實驗之受試者相似,為尚未學習分數除法 概念的五年級學生。評量試題旨在檢驗學生學習分數除法的成效,故預試對象為 學過分數除法的六年級學生,其內容涵蓋分數除法的概念性知識與程序性知識, 後者為分數除法計算題的題型,較為單純,故前導研究僅針對概念性知識評量試 題進行預試。. 第一節 方法 一、研究對象 分數除法之先備知識試題的受試者為五年級學生,便利取樣自台北市萬華區 A 國小三個班級與桃園縣 B 國小一個班,分別為 95 與 20 名學生,共計 115 名。分 數除法的概念性知識評量試題的受試者為六年級學生,取樣自桃園縣 C 國小三個 班級及桃園縣 B 國小一個班,分別為 91 與 17 名學生,共計 108 名。 二、研究材料 先備知識試題參考國小數學教科書第 11 冊分數除法單元的教學建議,學習分 數除法前,學生應具備的能力包括分數的意義、假分數與帶分數的轉換、整數除 法、分數加減以及分數乘法(南一,2011;康軒,2008;國編,2011)。因此本研 究設計圖像表徵分數概念、將假分數轉換為帶分數、整數除以整數、分數加減及 分數乘法五類型試題,每一類試題各 3 題,共計 15 題,其試題及編排方式詳見附 錄 1,其中第一大題為整數除以整數與分數加減概念試題的整合,試題卷以學生平 常所熟悉之測驗卷 B4 大小印製。 19.

(35) 概念性知識評量試題依據正式實驗教學教材內容來設計,包含同分母分數除 法、整數除以分數及異分母分數除法三種內容,每種內容各設計三題,每題各包 含四小題。小題以是非題形式呈現,涵蓋通分、顛倒相乘、整合及答案等四個概 念性試題。表 2 呈現三種教學內容及其相對應之四種概念性試題各小題的題數。. 表 2 教學內容及對應之概念性試題各小題題數 教學內容. 通分. 顛倒相乘. 整合 答案 合計. 同分母分數除法. 4. 4. 0. 4. 12. 整數除以分數. 3. 3. 3. 3. 12. 異分母分數除法. 3. 3. 3. 3. 12. 合計. 10. 10. 6. 10. 36. 表 2 顯示概念性知識評量試題三個教學內容各包含 12 小題是非題,除了同分 母分數除法,其他兩個教學內容所涵蓋的概念性知識均平均分配為 3。同分母分數 除法各概念性知識的數量中,可以明顯發現整合分量表的數量為 0,進而使得其他 概念性知識的數量調整為 4。本研究設計分數除法的範例教學教材時,發現同分母 分數除法僅適合以通分及顛倒相乘進行教學,也就是說同分母分數除法無法設計 整合方式的教學內容與試題(詳見正式實驗的教學材料說明),本研究為維持各 題的小題數一致,於同分母分數除法 3 大題中,各平均多加 1 小題不同的概念性 知識,例如:同分母分數除法試題的第一題包含 2 小題答案、1 小題通分及 1 小題 顛倒相乘概念性知識,第二題包含 2 小題顛倒相乘概念性知識,第三題包含 2 小 題答案概念性知識。以下配合圖 2 解說試題設計理念。 (一)通分概念 如圖 2 第 2 小題,學生要判斷 7 ÷ 的概念,將 7 ÷. 2 與 21 ÷ 2 相等,必須運用分數除法中通分 3. 2 21 中的被除數 7 經過通分處理,轉換成與除數分母相等的 ,進而 3 3 20.

(36) 判斷 7 ÷. 2 等於 21 ÷ 2 ,故答案為○。 3. 7÷. 2 = 3. ( ). 2×1 7× 3. ( )21 ÷ 2. ( )7 × ( ). 2 3. 21 2. 圖 2 概念性知識評量試題範例題. 學生判斷 7 ÷. 2 與 21 ÷ 2 是否相等的過程,除了上述所言必須經過通分處理外, 3. 亦有可能直接將題目 7 ÷ 案. 2 3 21 進行顛倒相乘,得到 7 × ,並計算出答案為 ,再將答 3 2 2. 21 反推為 21 ÷ 2 ,亦即 21 ÷ 2 此一選項除了被分類為通分概念外,亦有可能被分 2. 類為顛倒相乘概念。 本研究比較 21 ÷ 2 兩種概念的解法後發現以下三點。第一,通分概念只需要進 行兩個步驟即可以得到答案,但顛倒相乘的概念則需要經過四個步驟才能得到答 案。第二,對於國小學童而言,以答案反推算式是較為困難的能力。第三,顛倒 2 相乘較直接的的思考脈絡是 7 × ,而非 21 ÷ 2 。針對以上三點,本研究推論 21 ÷ 2 3. 此一小題為顛倒相乘概念的可能性較低,因此將此一小題歸類為通分概念。 (二)顛倒相乘概念 學生要判斷 7 ÷. 2 2 與 7 × 與是否相等,必須依據顛倒相乘的計算原則,將被除 3 3. 數乘以分母與分子顛倒後的除數,進而做出 7 ÷ ╳。 21. 2 2 不等於 7 × 的判斷,因此答案為 3 3.

(37) (三)整合概念 學生要判斷 7 ÷ 與除數進行通分為. 2 ×1 2 2 與 是否相等,應先利用通分概念,將 7 ÷ 中的被除數 3 3 7× 3. 7 × 3 2 ×1 7×3 ,再將其整理為 ,所以答案為╳。 ÷ 1× 3 3 ×1 2 ×1. (四)答案概念 學生要判斷 7 ÷. 2 21 與 是否相等,必須透過分數除法的運算過程求得,因算出 3 2. 正確答案即為本小題所呈現的. 21 ,因此答案為○。 2. 概念性知識評量試題中各類小題的答案,在設計上會平衡對錯的比例,以使 三種內容或四種概念的對錯約各半,試題詳見附錄 2。計分時,各小題每題 1 分, 滿分 36 分。若依內容區分為同分母分數除法、整數除以分數及異分母分數除法三 個分量表時,每個分量表滿分為 12 分;若依概念類別區分為通分、顛倒相乘、整 合及答案等四個分量表,其滿分依序為 10 分、10 分、6 分、10 分。本試卷以學生 熟悉的 B4 印製,但由於試題編排方式不適合以一般考卷直向方式呈現,故改以橫 向方式排版。 三、施測程序 兩份試題的施測程序中,除了概念性知識評量試題有一特別提醒學生作答方 式的指導語之外,其他程序及指導語在概念性知識評量試題與先備知識試題兩份 試卷中皆相同。施測的主試者由各班級任教師擔任,為 25 分鐘進的團體施測。以 下依序說明團體施測指導語及研究程序。 主試者發放試題後,向學生說明:. 各位同學:請你們依照以前所學,自己完成試題。可以在考卷空白處計算, 但請同學務必注意測驗題型和作答方式。測驗時間總共 25 分鐘,請同學把握 時間做答,老師也會在時間剩下 5 分鐘時提醒大家。. 22.

(38) 主試者於學生作答期間會透過行間巡視,了解學生答題狀況,並確保學生了 解測驗的作答方式,如不清楚時,亦可利用測驗內容舉例用以講解作答方式,但 不能給予任何提示與指導,避免影響測驗結果。此外,本研究在施測之前即考量 學生在作答時,可能會出現的問題包含「是否需要化為最簡分數?」、「需要計算 過程嗎?」等兩個問題,故於施測之前即請主試者以「請依照之前學習分數概念 的方式作答」、「請依照之前學習分數除法的方式作答」等方式回應。收卷前 5 分 鐘務必提醒學生注意時間,如果全班同學皆作答完畢,即可進行收卷。 概念性知識評量試題雖為是非題,但是它的形式與一般的是非題呈現方式不 太一樣(見前文表 4),為避免學生錯誤答題,主試者發下考卷後,會特別朗讀題 幹,提醒學生這份試題的作答方式: 「算算看下列題目,若選項正確請打○,錯誤 請打╳。」 兩份試題均於 2012 年 5 月 14 日至 2012 年 5 月 21 日施測,由擔任主試者的 級任老師自行決定以早自習、午休或自習課等時間進行施測。 四、資料處理 先備知識試題以圖像表徵分數概念、將假分數轉換為帶分數、整數除以整數、 分數加減及分數乘法等五大概念劃分為 5 個分量表,每一分量表包含 3 題,共計 15 題,一題 1 分,滿分為 15 分。 概念性知識評量試題以通分、顛倒相乘、整合及答案為依據,區分為 4 個分 量表,其中通分及顛倒相乘分量表涵蓋 10 小題,整合分量表涵蓋 6 小題,答案分 量表涵蓋 10 小題,共計 36 小題,一題 1 分,滿分為 36 分。. 第二節 結果與分析 一、難度、鑑別度與信效度分析 先備知識試題各題難度與鑑別度資料詳見附錄 3 之表 1,各分量表與總量表的 難度值、Cronbach α 值與效標關聯效度(效標為學生本學期第一次月考數學成績) 23.

(39) 如表 3。. 表 3 先備知識試題之難度、鑑別度、Cronbach α 值及效標關聯效度 分量表. 難度 鑑別度. Cronbach α 值. 效標關聯效度. 整數除以整數. .91. .27. .90. .57**. 分數加減. .76. .61. .73. .59**. 將假分數轉換為帶分數. .82. .46. .87. .56**. 分數乘法. .83. .43. .90. .60**. 圖像表徵分數概念. .67. .69. .36. .63**. 總分. .80. .44. .67. .65**. **. p <.01. 註:圖像表徵分數概念第一小題的題目設計呈現方式出現問題,導致 Cronbach α 值過低。. 本研究以學生整體通過率計算難度值,以全體人數為分母,答對人數為分子。 透過難度分析先備知識試題,顯示圖像表徵分數概念的難度較其他分量表高,P = .67,進一步分析此分量表中的 3 題試題,發現圖像表徵分數概念第一小題(第 四大題第一小題)的難度 P = .42,明顯高於其他小題,其它 14 題的難度均介於.70 至.97 之間。鑑別度以高分組(前 33%)答對百分比扣除低分組(後 33%)答對百 分比計算而成。透過鑑別度分析顯示,各分量表的鑑別度介於.27 至.69,總量表 的鑑別度為.44。顯示除了圖像表徵分數概念第一小題之外,先備知識試題對於準 備學習分數除法的學生來說不會太難,也可以區辨學生學習分數前所需分數概念 的程度。 本研究進一步分析先備知識試題的 Cronbach α 值及效標關聯效度,發現除了 圖像表徵分數概念的 Cronbach α 值為.36,其他四個概念的 Cronbach α 值分別 為.90、.73、.87 與.90,顯示本試卷有良好之內部一致性,且透過信度分析後顯示, 24.

(40) 將圖像表徵分數概念第一小題刪除後,其 Cronbach α 將大幅提升為.81。先備知識 試題總量表與學生本學期第一次月考數學成績之效標關聯效度為.65,分量表的效 度亦介於.56 至.63,顯示本問卷可以有效測量學生學習分數除法前的分數概念。 本研究檢視圖像表徵分數概念第一小題的題目(見圖 3)與學生反應,推估學 生可能將問題右側中完整的圓當作參照,誤以為題目僅有 數的學生都以. 1 圓的部分,所以大多 4. 1 作答。故本研究修正題項,以外框框住問題部分,讓學生可以更 4. 清楚題目,修正後試題如圖 4。. 這是一個蛋餅. 塗色部分為(. )個蛋餅. 圖 3 圖像表徵概念第一小題前導性研究試題. 這是一個蛋餅. 塗色部分為(. )個蛋餅. 圖 4 圖像表徵概念第一小題修正後試題. 概念性知識評量試題各分量表與總量表的難度值、Cronbach α 值與效標關聯效 度等資料如表 4。依照順序將各小題編號為 1 到 36 號,各小題難度與鑑別度資料 詳見附錄 3 之表 2。 總量表的難度(通過率)P = .84,各分量表中,以整合分量表的難度值較低, P = .79,進一步分析整合分量表中 6 小題的難度,發現 14 小題、27 小題及 30 小 題較其他小題困難(P = .61、P = .69 以及 P = .68)。總量表的鑑別度為.39,各分 量表的鑑別度介於.26 至.43,表示概念性知識評量試題可以區辨學生於分數除法 25.

(41) 的學習成效。概念性知識評量試題總量表的 Cronbach α 值為.75,分量表的 Cronbach α 介於.74 至.82 間,顯示本試卷有良好的內部一致性。效標關聯效度 (效標為學生 本學期第一次月考數學成績)為.83,p <.01,顯示本問卷可以有效評量學生學習分 數除法的概念性知識的成效。. 表4. 概念性知識評量試題之難度值、Cronbach α 值及效標關聯效度 難度. 鑑別度. Cronbach α 值. 效標關聯效度. 通分. .81. .39. .79. .84**. 顛倒相乘. .89. .26. .79. .79**. 整合. .79. .43. .74. .74**. 答案. .89. .29. .82. .87**. 總分. .84. .30. .75. .83**. 分量表. **. p <.01 表 5 概念性知識評量試題選項 14、27 及 30 試題. 題項. 14 小題. 試題. 2 4. 7 ÷ = 3. ( )21 ÷ 2. 27 小題. 7.. 4 2 ÷ = 7 3. ( ). 4×3 2×7 ÷ 7 × 3 3× 7. 30 小題. 8.. 9 8 ÷ = 4 3. ( ). 9×3 8× 4. 以下針對較為困難的小題 14、27 及 30 進行討論,題目見表 5。本研究推估 14 小題的難度僅為.61 的原因,為此一選項與題目間的運算過程需轉換兩次;27 小題與 30 小題的難度為.69 與.68 的原因,為這兩個小題預測量通分與整合概念, 可是小學生在學習分數除法時,較少使用這樣的概念,只要概念較佳的學生能正 確回答,所以雖然難度高,但這三題的鑑別指數均達.40 以上(D = .75、D =.44 及 D =.53),並且此三題的題型就是本研究中範例教學所設計的變項,也是本研究希 26.

(42) 望學生學習的概念性知識,故不進行修正。 二、學生得分的分佈狀況與作答過程 本研究的正式實驗擬以先備知識試題的累積百分比將學生分成低、中及高先 備知識,原訂希望三群學生約為三等份,因測驗得分為 0 至 15 分等 16 個分數, 故實際預試的結果,低先備知識的學生為 4 至 10 分(共計 36 人,佔全體人數 33%), 中先備知識的學生為 11 至分 13 分(共計 29 人,佔全體人數 27%) ,高先備知識 的學生為 14 至分 15 分(共計 50 人,佔全體人數 46%)。顯示中高先備知識學生 的分數集中在 11 至 15 等 5 個分數,分數差距不大。 針對學生於概念性知識評量試題答題正確率(難度) 、鑑別度顯示,這份試題 卷對於已經學習分數除法的六年級學生而言,有過於簡單的趨勢,故本研究進一 步檢核學生試卷上的作答過程,發現有不少學生會運用分別計算題幹與各小題, 若兩個答案一致則打○,若答案不相符則打╳,例如:學生在撰寫表 5 的題目時, 會先計算 7 ÷ 2 的答案,再計算 7 × 3 × 2 的答案,如果兩個答案相等,學生則會打○, 3. 1× 3. 3. 答案不相符則打╳。此種利用演算的程序反推概念性知識的情況,使得概念性知 識評量試題無法有效評量熟習分數除法運算的六年級學生的概念性知識。. 第三節 討論 整體而言,先備知識試題及概念性知識評量試題都出現難度較低,但鑑別度 指標優良的情況,然考量兩份預試試卷都在評量學習過的能力,難度較低是合理 的情況。故僅修正極少數題目後,正式實驗即逕行沿用。 本研究考量前導研究僅施測概念性知識評量試題,而正式實驗欲於同一堂課 施測概念性知識評量試題及程序性知識評量試題兩份評量試題,對於剛學習分數 除法的學生而言負荷較重,也可能影響其作答動機,故決定刪減題目。為避免概 念性知識評量試題每一教學內容或概念性知識的題數過少,導致本研究無法判定 學生是否以猜測的方式作答,故刪除教學內容較為基礎的同分母分數除法試題一 27.

(43) 題,並謹守每一教學內容均涵蓋四概念的設計原則。刪題後的概念性知識評量試 題詳見附錄 8,試題結構見後文正式實驗試題介紹。 除了試題的分析外,本研究亦透過前導研究確認研究程序的品質。由於兩份 試題的形式大致與考卷類似,由學生作答且未有漏答,以及當學生有問題時,聽 得懂主試者的回應顯示,本前導研究的指導語清楚易懂,學生在主試者的引導下, 知道自己在這堂課要完成什麼任務。此外,本研究亦透過主試者於學生作答期間 行間巡視,及學生於試題上作答情形得知,由於主試者於學生作答概念性知識評 量試題前有朗讀一次題幹,讓學生清楚知道這是是非題而非選擇題,每一小題都 要判斷其正確或錯誤,並在括號中打○表示正確或打╳表示錯誤,故學生也都能 完成作答。 透過先備知識試題的前導性研究分析結果顯示,將近三分之一的學生得到滿 分 15 分,也有將近一半以上的學生得到 13 分,可以見得先備知識試題的確可以 客觀測量學生已經熟悉的分數概念。但也由於大部分的學生於此份試題有不錯的 表現,所以在區分學生先備知識低、中、高時,出現中高兩組不易區分的現象。 由於文獻回顧得知,範例教學適合低成就的學生,先備知識試題仍能適用,故正 式研究擬進一步探討低先備知識學生於三種不同範例進行學習是否達顯著差異。 概念性知識評量試題是否評量學生學習概念性知識的情形,本研究透過學生 的計算行為發現,對於學習分數除法長達一年的六年級學生而言,運算能力已相 當純熟,所以進行概念性知識評量試題時,出現以運算各小題的答案,再逐一核 對,亦即以程序性的演算反推概念性知識的情況,進而使得概念性知識評量試題 無法有效測量學生是否真的具備分數除法的概念性知識。針對此一現象,本研究 推估,正式實驗的受試者為五年級學生,才剛在實驗過程中學習分數除法,應該 不會出現因為過於熟習演算程序而反推概念性知識的現象,故概念性知識評量試 題應適合評量學生學習分數除法概念性知識。. 28.

(44) 第四章 正式實驗 本研究參閱南一(2011)、國編(2011)及康軒(2008)三個版本的教科書, 發現六年級分數除法教材包括同分母分數除法、整數除以分數及異分母分數除法 三個教學內容,而其中引導學生學習分數除法的範例不盡相同,本研究為了解各 種範例呈現的方式對於學生學習分數除法的影響,故設計「通分」、「顛倒相乘」 與「整合」等三種分數除法的範例教學教材,將受試者隨機分派至這三組,以比 較三組在分數除法的概念性知識與程序性知識上的學習成效。此外,依據文獻回 顧,範例教學特別有利於低成就學生的學習,本研究亦透過先備知識試題區分出 低先備知識的學生,以檢核三種不同類型的範例對低先備知識學生的效果有無差 異。. 第一節 研究方法 一、研究對象 本研究採用便利抽樣,選擇台北市文山區甲國小與桃園縣桃園市乙國小各三 個五年級班級,分別為 92 和 85 名學生。學生以班級為單位隨機分派至三個實驗 組,實驗結果刪除未完全參與實驗或資料不全(刪除的條件詳見資料處理)的學 生 29 名,有效樣本計 148 名,其中通分組 49 人、顛倒相乘組 45 人,以及整合組 54 人。 二、教學材料 本研究使用的教學材料為針對目前國小六年級分數除法單元所編製的教學範 例及練習題。由於各版本第 11 冊數學教科書分數除法單元均包含同分母分數除法、 整數除以分數與異分母分數除法三類內容,故本教學材料也包含這三類內容。每 一內容均包含數組的範例題、練習題及練習題解答。 (一)範例題:. 29.

參考文獻

相關文件

Optim. Humes, The symmetric eigenvalue complementarity problem, Math. Rohn, An algorithm for solving the absolute value equation, Eletron. Seeger and Torki, On eigenvalues induced by

Teachers can design short practice tasks to help students focus on one learning target at a time Inferencing task – to help students infer meaning while reading. Skimming task –

classroom management skills and the application of good teaching practices in both reading and

Shang-Yu Su, Chao-Wei Huang, and Yun-Nung Chen, “Dual Supervised Learning for Natural Language Understanding and Generation,” in Proceedings of The 57th Annual Meeting of

In this paper, the study area economic-base analysis and Location Quotient method of conducting description, followed by division of Changhua County, Nantou County,

Therefore, a study of the material (EPI) re-issued MO model for an insufficient output of the LED chip manufacturing plant is proposed in this paper.. Three material

For the next nitrogen delivery system, In this study, the high-tech industry, nitrogen supply, for example, to explore in depth the relationship between

This study discussed the pipelines of different materials, such as PVC pipes and steel pipes, with different water contents in different depths of standard sand (Ottawa sand), and