2013 中學高級卷 中文試題

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2013 澳洲 AMC 數學能力檢定

高級卷

（11 — 12 年級）

考試時間：75 分鐘

姓 名：

年 級：

監考老師：

注意事項

一般規定

1. 未獲監考老師許可之前不可翻開此測驗題本。 2. 各種通訊器材一律不得攜入考場，不准使用電子計算器、計算尺、對數表、數學公 式等計算器具。作答時可使用直尺與圓規，以及兩面全空白的草稿紙。 3. 題目所提供之圖形只是示意圖，不一定精準。 4. 最前 25 題為選擇題，每題有五個選項。最後 5 題要求填入的答案為 000 至 999 的 正整數。題目一般而言是依照越來越難的順序安排，對於錯誤的答案不會倒扣分數。 5. 本活動是數學競賽而不同於學校測驗，別期望每道題目都會作。考生只與同地區同 年級的其他考生評比，因此不同年級的考生作答相同的試卷將不作評比。 6. 請依照監考老師指示，謹慎地在答案卡上填寫您的基本資料。若因填寫錯誤或不詳 所造成之後果由學生自行負責。 7. 進入試場後，須等待監考老師宣佈開始作答後，才可以打開題本進行答題。

作答須知

1. 限用 B 或 2B 鉛筆填寫答案。 2. 請用 B 或 2B 鉛筆在答案卡上（不是在題本上）將您認為正確選項的圓圈塗滿。 3. 您的答案卡將由電腦閱卷，為避免電腦誤判，請不要在答案卡上其他任何地方塗劃 任何記號。填寫答案卡時，若需要修改，可使用軟性橡皮小心擦拭，並確定答案卡 上無殘留痕跡。

特別約定

為確保競賽之公平性及認證成績優異學生，AMC 主辦單位保留要求考生重測之權利。

高級卷

1-10 題，每題 3 分

1. 算式0.6 12 等於 （A）5 （B）0.5 （C）0.05 （D）0.005 （E）0.0005 2. 請問以下哪一項是直角三角形？ （A） （B） （C） （D） （E） 3. 一塊農地本季的產量增加 20% 而達到 114 公噸。請問上一季的產量是多少 公噸？ （A）90 （B）91 （C）93 （D）94 （E）95 4. 請問 201320132013 的立方根接近於下列哪一個數？ （A）600 （B）5000 （C）6000 （D）50000 （E）60000 5. 若 p=4b+26 且 b 為正整數，則 p 不可能被下列哪一個數整除？ （A）2 （B）4 （C）5 （D）6 （E）7 6. 一個數列的前五項依序為： 1、2、1、 1− 、 2− 、… 已知從第二項之後，每一項都是由前面一項減去再前面一項而得到的。請問 這個數列的前 42 項之總和是多少？ （A）0 （B）4 （C）12 （D）24 （E）30 3 4 5.2 1 4 5 ₆ 8 10 1 2.1 3 3 7 2

7. 在座標平面上，有一條直線與 y 軸交於 1、與 x 軸交於 2 和 3 之間，如下圖 所示。請問下列哪一項可能是這條直線的方程？ （A）5x+12y−12= 0 （B） 4x+ + = y 1 0 （C）3x−7y+ = 7 0 （D）3x−2y+ = 2 0 （E） 2x+3y− = 3 0 8. 小孔與小克進行 100 m 的賽跑，小孔贏了 5 m(即當小孔抵達終點時，小克距 離終點還有 5 m)；小克與小杰進行 100 m 的賽跑，小克贏了 10 m。請問若 是小孔與小杰進行 100 m 的賽跑，小孔應會贏多少 m？ （A）15.5 （B）15 （C）14.5 （D）14 （E）13.5 9. 在牧場中共有兩種動物：駱駝與羊駝，而牧場也有許多位管理員。已知駱駝 與羊駝的數量比為 2：3 及羊駝與管理員的數量比為 8：1，請問所有的動物 與管理員的數量比是什麼？ （A）16：3 （B）13：1 （C）12：1 （D）40：3 （E）20：3 10. 從計算機上顯示的數為 0 開始，我進行五個步驟的計算，每一個步驟都是加 1 或是乘以 2。請問不可能是計算結果之最小的數是什麼？ （A）11 （B）10 （C）9 （D）8 （E）7

11-20 題，每題 4 分

11. 在一個箱子中共有三個袋子。一個袋子內有一顆白石子及三顆黑石子，另一 個袋子內也是有一顆白石子及三顆黑石子，而第三個袋子內則有一顆白石子 及四顆黑石子。現從箱子中任選一個袋子後，再從袋子裡任取一顆石子，請 問取出白石子的機率是多少？ （A） 7 30 （B） 3 13 （C） 1 9 （D） 1 4 （E） 11 36 S 2 x y 1 2 3 2 1 0 ₄ 1 − 2 −

12. 在座標平面上，有一個由 x 軸、y 軸、直線 x=2 與方程y= f x( )所圍成的區 域，其中 2 1 0 1 ( ) 1 1 ( 2) 1 2 x f x x x ≤ ≤ ⎧⎪ = ⎨ + − − < ≤ ⎪⎩ 當 當 請問此區域的面積為多少平方單位？ （A）5 2 （B）1 4

π

+ （C）1 2

π

+ （D） 2+

π

（E） 2 4

π

+ 13. 將三個邊長分別為 3 cm、5 cm 及 8 cm 的正方形如下圖所示的方式排列： 請問陰影部分的梯形面積為多少 cm2_？ （A）12 （B）73 6 （C） 55 4 （D）14 （E） 25 2 14. 一個周長為 20 cm 的正方形內接於一個周長為 28 cm 的正方形。請問一個在 內部正方形的頂點與一個在外部正方形的頂點之最大距離是多少 cm？ （A） 58 （B）7 5 2 （C）8 （D） 65 （E）5 3 15. 用三個非零且互不同的數碼可以組成六個不同的二位數。已知這六個數中的 五個數之和為 100，請問第六個數是什麼？ （A）23 （B）32 （C）45 （D）54 （E）67 S 3 3 5 8

16. 擲三支飛鏢進入一個 3×3 的方格靶內，每支飛鏢都射入不同的小方格內。經 過每次投擲後，飛鏢射入剩餘的小方格之機率都相等。 請問最後三支飛鏢所在的方格形成水平線、鉛垂線或對角線的機率是什麼？ （A） 1 63 （B） 2 21 （C） 1 9 （D） 1 42 （E） 8 81 17. 一個箱子的每個面都是矩形且邊長都是整數，若主對角線 XY = 9，請問這個 箱子的體積最大可能值是什麼？ （A）32 （B）81 （C）90 （D）108 （E）112 18. 已知 x、y 都是整數且x≥ ，請問滿足方程0 2x2 −2xy+y2 =169的不同數對 (x, y)共有多少組？ （A）2 （B）4 （C）5 （D）7 （E）8 19. 一個跑道所圍成的區域是由一個矩形連接二個半圓所形成的，如下圖所示。 若跑道全長必須恰好為 400 m，請問此矩形的最大面積為多少 m2_？ （A）160000₂ (

π

+2) （B） 20000

π

（C） 30000

π

（D）10000 （E） 40000

π

S 4 X Y

20. 請問將 2013 寫成二個或二個以上的連續正整數之和的方式共有多少種？ （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）9

21-25 題，每題 5 分

21. 若x2 = + ，則x 3 x 等於 5 （A） 7x+12 （B）12x+ 7 （C）17x+17 （D）19x+21 （E） 21x+19 22. 下圖矩形PQRS 的中心為點 C，已知 PQ = 4、PS = 12。二個塗上陰影且半徑 都是 1 的圓分別與 PS 相切於點 U 與點 V，其中 PU = 1、PV = 4。若直線 CW 將非陰影區域切為面積相等的二塊區域，請問 PW 的長度是什麼？ （A）2 7 （B） 2 5 （C） 1 4 （D） 1 3 （E） 1 2 23. 若三個非零的實數x、y、z 滿足 x+ +y y+ =z z+ ， x 則1 1 1 x + + 之值一定等於 y z

（A）0 （B）1 （C） 1− （D）xyz （E）x+y+z

24. 黑板上寫了一個二位數，對於這個數有五位學生分別做了以下敘述： A：此數是質數。 B：此數可以寫成二個完全平方數之和。 C：此數至少有一個數碼是 7。 D：將此數的數碼順序顛倒後所得的數是奇數且是個合數。 E：此數數與某個質數之差為 2。 若恰有一個學生是錯的，請問是哪一位？ （A）A （B）B （C）C （D）D （E）E S 5 P W V U C S R Q

25. 半徑分別為 1 與 2 的二個球互相外切於點 P。一個經過點 P 的平面將這二個 球所圍成的區域分割為體積比為 1：2(圖中無陰影部份：陰影部份)的二塊。 請問此平面將小球分割成二塊的體積比(圖中陰影部份：無陰影部份)是什 麼？ （A）1：2 （B）4：9 （C）1：3 （D）4：11 （E）2：5

問題 26～30 的答案為 000～999 之間的整數，

請將答案填在答案卡上對應的位置。

第 26 題佔 6 分，第 27 題佔 7 分，第 28 題佔 8 分，

第 29 題佔 9 分，第 30 題佔 10 分。

26. 在一場曲棍球比賽中，如果在比賽中兩支交手球隊的進球數之差從未超過 2 時，則稱這兩支球隊「實力相當」。若兩支球隊共進 12 球且兩支球隊一直處 於「實力相當」的情況，請問整個球賽共有多少種不同可能的賽況？ 27. 已知點 X 在正方形 PQRS 內部使得點 X 與點 R 的距離為 25 m、與點 S 的距 離為 51 m、與點 P 的距離為 53 m。若點 X 與各條邊之距離都是整數 m，請 問△PQX 的面積為多少 m2_？ S 6 P 25 53 51 X S R Q P

28. 正整數 N 的數碼都是 0 或 1，將 N 除以 37 時所得的餘數為 18。請問 N 的所 有數碼中，最少有多少個 1？ 29. 如圖所示，點 X、Y 及 Z 位於△PQR 的邊上使得 QZ：ZY：YR = 1：2：3 且 PX：XR = 4：5 若 QS = 11 cm，請問 ST 的長度是多少 cm？ 30. 在座標平面上，一個銳角三角形的三個頂點的座標都是不同的整數且沒有任 何一條邊與座標軸平行。若此三角形的面積為 348 且其中一條邊的邊長為 29，請問另二條邊的邊長之乘積是多少？ ＊＊＊ S 7 P T Z X Y S Q _R