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1-10 3 1. ( 初級卷 5 ) cm2 (A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 7 (E) 6 12 cm 2 cm 1 2 × 12 × 2 = 12 cm 2 : (B) 2. ( 初級卷 7 ) 21 3 (A) 85 (B) 70 (C) 80 (D) 65 (E) 75 60× 21 3 = 60× 7 3 = 140 140÷ 2 = 70 : (B) 3. p = 11 q =−4 p2− q2 (A) 105 (B) 137 (C) 117 (D) 115 (E) 94 p2 − q2 = (p− q)(p + q) = 15 × 7 = 105 : (A) 4. 2015− 20.15 (A) 1984.85 (B) 1995.15 (C) 1994.85 (D) 1995.85 (E) 2035.15 2015− 20.15 = 1994.85 : (C)
5. 2015 (A) 2015 (B) 107.50 (C) 17.50 (D) 403 (E) 43 5 1 2015÷ 5 = 403 : (D) 6. ( 初級卷 10 ) A B C D E A 1 B 2 C 3 7 (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E A B C D E B 7 E 14 A 21 C 28 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A B C D E A B C D E A C D E 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 A C D A C D A C D C D C D C : (D) 7. 3 : 2 4 : 3 (A) 5 : 7 (B) 3 : 8 (C) 3 : 5 (D) 5 : 18 (E) 1 : 2 4 6 3 1 : 2 : (E)
8. 38 12 141 (A) 25 (B) 24 (C) 28 (D) 27 (E) 26 11× 12 = 132 11 27 9 141 27 : (D) 9. 5 15 中 (A) 1 3 (B) 5 6 (C) 1 2 (D) 1 6 (E) 2 3 20 1− 1 3 = 2 3 20÷ 2 3 = 30 15 15 30 = 1 2 : (C) 10. 1 cm 2 cm 7 cm 中 (A) 18 cm2 (B) 16 cm2 (C) 22 cm2 (D) 24 cm2 (E) 20 cm2 72 = 49 cm2 12+ 22 = 1 + 4 = 5 cm2 (49− 5) ÷ 2 = 22 cm2 : (C)
11-20 4 11. ( 初級卷 17 高級卷 6 ) 中 80 cm 中 88 cm (A) 112 cm (B) 132 cm (C) 96 cm (D) 168 cm (E) 156 cm 1 x y y y x x 2y +x = 88 2x+y = 80 y−x = 88−80 = 8 y = x+8 y 2x + y = 80 2x + x + 8 = 80 3x = 72 x = 24 y = 32 2x + 2y = 112cm : (A) 2 88− 80 = 8cm x cm (x + 8) cm 2x + x + 8 = 80 3x = 72 x = 24 2x + 2(x + 8) = 2× 24 + 2 × 32 = 112 cm : (A) 3 w h 2w + h 2h + w 3w + 3h = 80 + 88 = 168 w + h = 168÷ 3 = 56 2(w + h) = 112 cm : (A)
12. ( 高級卷 10 ) 8 11 500 km km (A) 120 (B) 6 (C) 1 (D) 24 (E) 60 8 8× 24 = 192 11500 192 ≈ 12000 200 = 60 km : (E) 13. ( 高 卷 20 初級卷 14 ) A C M T H S
C
M
A
A M
T
(A)M
H
T
(B)A
C
T
(C)T S
C
(D)H
T
A
(E)S
M
C
C T (B) (C) A M (D) C A (E) (A) 中 H A : (A)14. ( 初級卷 22 高級卷 7 ) 6 (A) 1 6 (B) 5 12 (C) 1 4 (D) 1 3 (E) 1 2 6 中 6 中 3 2 4 36 中 X X X X X XX X X X X X X X X 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 15 36 = 5 12 : (B) 15. 1 cm× 1 cm 3 cm× 3 cm XY (A) √346 cm (C) √369 cm (B) 19 cm (D) √377 cm (E) 20 cm X Y 3 4 5 7 10 12 1 X Y 16 12 1 cm 3 cm 4 cm 5 cm 7 cm 10 cm 12 cm XY 12 cm 7 + 4 + 5 = 16 cm √122+ 162 = 20 cm XY 20 cm : (E)
16. (A) 764 (B) 900 (C) 648 (D) 520 (E) 480 1 9 9 0 9 8 9× 9 × 8 = 648 : (C) 17. X kg Y kg Z kg (A) X < Y < Z (B) X < Z < Y (C) Y < X < Z (D) Y < Z < X (E) Z < X < Y Y kg Y kg Z kg X kg Y kg X kg Y − X > 0 ( ) (2X + Y )− (2Y + Z) = 2X − Y − Z > 0 ( ) (Y − X) + (2X − Y − Z) = X− Z > 0 ( ) Z < X < Y Z X Y Z = 1 X = 3 Y = 4 4 > 3 9 < 10 : (E)
18. 1 cm 4 cm (A) 8√2 (B) 8 (C) 4 + 4√2 (D) 16 (E) 16− 4√2 √ 2 cm √ 2 1 √ 2 1 中 √2 2 +√2 4 + 4√2cm : (C)
19. ( 初級卷 24 ) 1 c 2 c 4 c 10 c 20 c 40 c 1 c 200 c (A) 12 (B) 10 (C) 11 (D) 9 (E) 8 2c 1c 4c 10c 20c 40c 1 1 c 1 2 c 2 4 c 1 10 c 1 20 c 4 40 c 10 1 c 200 c 3 = 1 + 2 5 = 1 + 4 6 = 2 + 4 7 = 1 + 2 + 4 8 = 4 + 4 9 = 4 + 4 + 1 10 = 2 + 4 + 4 中 1 c 10 c 30 = 10 + 20 50 = 10 + 40 60 = 20 + 40 70 = 10 + 20 + 40 80 = 40 + 40 90 = 40 + 40 + 10 100 = 20 + 40 + 40 110 = 10 + 20 + 40 + 40 120 = 40 + 40 + 40 130 = 10 + 40 + 40 + 40 140 = 20 + 40 + 40 + 40 150 = 10 + 20 + 40 + 40 + 40 160 = 40 + 40 + 40 + 40 170 = 10 + 40 + 40 + 40 + 40 180 = 20 + 40 + 40 + 40 + 40 190 = 10 + 20 + 40 + 40 + 40 + 40 中 10 c 190 c 中 10 10 1 c 200 c 9 199 c 199 1 1 c 40× 4 = 160 < 199 − 1 = 198 < 40 × 5 = 200 4 40 c 20× 8 = 160 < 198 2 40 c 2 40 c 9 c 7 7 40 + 40 + 9 = 89 6 40 + 40 + 40 + 9 = 129 5 40 + 40 + 40 + 40 + 9 = 169 9 c 4 9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 2 + 2 + 4 1 1 c 1 2 c 1 4 c 4 5 中 2 40 c 3 110 c 1 10 c 3 10 + 40 + 40 = 90 c 1 1 c 2 4 c 3 6 中 2 40 c 4 110 c 1 10 c 110 = 10 + 20 + 40 + 40 199 = 40 + 40 + 40 + 40 + 20 + 10 + 4 + 4 + 1 1 1 c 2 4 c 1 10 c 1 20 c 4 40 c 9 199 c 9 2 c 10 : (B)
20. 中 (A) 1 6 (B) 1 3 (C) 4 9 (D) 1 2 (E) 2 5 1 2 1 2 1 2 1 高 h A = 1 2 × 3 × h = 3 2h 中 高 h 3 A1 = 1 2 × 2 × h 3 = h 3 A2 = A− 3A1 = 32h− h = 12h 1 3 : (B) 2 9 6× 1 2 = 3 3 9 = 1 3 : (B) 3 中 1× 2 3× 3 = 2 9 1− 3 × 2 9 = 1− 2 3 = 1 3 : (B)
21-25 5 21. 中 中 (A) 5 (B) 9 (C) 8 (D) 7 (E) 6 x− 1 中 x x + 1 a b x x + 1 x + 1 → 5x− 5 a + b = 5x− 5 − (3x + 2) = 2x − 7 b x− 1 a x− 6 中 (x + 1)− (x − 6) = 7 : (D)
22. P QRS 2 J P S 中 QJ P R L P L (A) √ 2 3 (B) √ 3 3 (C) √ 2 2 (D) 2 √ 3 3 (E) 2√2 3 S Q 2 2 1 1 P R J L 1 △P JL △RQL 中 ∠LP J = ∠LRQ = 45◦ ∠P LJ = ∠RQL △P JL △RQL RL P L = RQ P J = 2 RL = 2P L P L = 1 3P R = 1 3 √ 8 = 2 3 √ 2 : (E) 2 SQ 中 O S Q 2 2 1 1 P R J L O P O J Q △P QS 中 P O =√2 中 中 1:2 P L = 2 3P O = 2 3 √ 2 : (E)
23. 0 999 (A) 13.5 (B) 15 (C) 12 (D) 12.5 (E) 10.5 1 0 1000 中 0 9 1000÷ 10 = 100 0 999 3× 100 × (0 + 1 + 2 + · · · + 9) = 13500 1000 13500÷ 1000 = 13.5 : (A) 2 (0, 999) (1, 998) · · · (499, 500) 500 27 27÷ 2 = 13.5 : (A)
24. AB BC CD DA A B C D 中 ( ) (A) 256 (B) 252 (C) 64 (D) 248 (E) 76 A D C B 1 44 = 256 中 A B C D b 5− b 5− a a b 5− b 5− a a a b = 5− b 5− a a(5− a) = b(5 − b) a = 1 a = 4 b2− 5b + 4 = (b − 1)(b − 4) = 0 b = 1 b = 4 a = 2 a = 3 b2− 5b + 6 = (b − 2)(b − 3) = 0 b = 2 b = 3 8 中 4 4 中 256− 8 = 248 : (D) 2 1 44 = 256 中 ABCD 中 中 A B C D || || || || A B C D √ 26 √34
26 AB CD 2 AD BC 2 √26 2× 2 = 4 √ 34 2× 2 = 4 A B C D 中 256− 8 = 248 : (D) 25. (A) 72 (B) 60 (C) 83 (D) 75 (E) 76 2 1.5 1 2 3 1 3 1 3 ÷ (1 + 2 3) = 1 5 12 60 + 12 = 72 : (A)
26-30 000-999 26 6 27 7 28 8 29 9 30 10 26. 2015 n 2 + 3 + 4 + . . . + (n + 1) = n 2(n + 3) 1 + 2 + . . . + n + n = n 2(n + 1) + n = n 2(n + 3) n(n + 3) = n2+ 3n n2 + 3n < 2015 n 442 = 1936 452 = 2025 44× 47 44× 47 = 2068 43× 46 = 1978 n 43 1978 2015− 1978 = 37 : (37)
27. ( 高級卷 26 ) 2015 n 1 3 + 1 n n 1 1 3 + 1 n = n + 3 3n = a b 中 b < n gcd{a, b} = 1 k = gcd(n + 3, 3n) k = 3n b > 3b b = 3 k n + 3 3n + 9 k 3n k 9 k > 3 k = 9 9a = n + 3 9b = 3n n = 9a− 3 b = 3a− 1 < n n 6 15 24 33 . . . n 1 3+ 1 n = 1 3+ 1 9a− 3 = 3a− 1 9a− 3 + 1 9a− 3 = 3a 9a− 3 = a 3a− 1 = a b. n n ≤ 2014 中 n = 9a− 3 a 9a− 3 ≤ 2015 =⇒ 9a ≤ 2018 =⇒ a ≤ 2242 9 =⇒ a ≤ 224 224 : (224) 2 n 3 3n n + 3 n n 3 n 3 6 9 12 15 18 21 24 27 · · · 1 3 + 1 n 2 3 3 6 4 9 5 12 6 15 7 18 8 21 9 24 10 27 · · · 1 2 2 5 3 8 · · · n 3+1 3 n 6 15 24 33 . . . n 9 3 3 中 2015 2013 2016 = 224× 9 3 n 6 = 1× 9 − 3 2013 = 224× 9 − 3 224 : (224)
28. 高 3 2 x y (x + 3)(y + 2) = 3xy xy + 3y + 2x + 6 = 3xy y(2x− 3) = 2x + 6 y = 2x + 6 2x− 3 = 1 + 9 2x− 3 2x− 3 = 1 3 9 x = 2 3 6 2× 10 3 × 4 6 × 2 20 + 12 + 12 = 44 : (44) 29. ( 高級卷 28 ) 中 中 0 3 5 6 9 10 12 15 2 2 3 • 215× 1 30 • 215× 2 60 • 315× 3 90 2 15× 30 + 4 15× 60 + 9 15 × 90 = 4 + 16 + 54 = 74 : (74)
30. 14× 18 ABCD P Q R S AB BC CD DA AP P B BQ QC CR RD DS SA P QRS P QRS D C B A R Q S 1 P QRS D C B A R Q P S a 18− a 18− a a 14− b b 14− b b P QRS = 18× 14 − ab − (18 − a)(14 − b) = 18b + 14a− 2ab 1≤ a ≤ 9 △AP S △BQP a b = 14− b 18− a b2− 14b + a(18 − a) = 0 b = 14± √ 142− 4a(18 − a) 2 = 7±√49− a(18 − a) a = 1 . . . 9 b : a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 49− a(18 − a) 32 17 4 −7 −16 −23 −28 −31 −32 b × × 7 ± 2 × × × × × × (a, b) = (3, 5) (a, b) = (3, 9) 中 P QRS 102 P QRS 150 P QRS 150 : (150) 2 中 O P R = QS r = OP = OS ABCD 中 E F G H x y 4 中 2 2
D C B A R Q P S E G F H O x y r r b = 7 a = 9 D C B A R Q P S E G F H O x y r r 中 P QRS ABCD 中 ABCD 4ab
A1 = 4ab− (a − x)(b + y) − (a + x)(b − y) = 2ab + 2xy A2 = 4ab− (a − x)(b − y) − (a + x)(b + y) = 2ab − 2xy A1 ≥ A2 △EOP 中 x2+ b2 = r2 △HOS 中 y2+ a2 = r2 x2− y2 = a2− b2 = 81− 49 = 32 (x + y)(x− y) = 32 32 2 32× 1 16 × 2 8 × 4 x < 9 y < 7 x + y = 8 x− y = 4 x = 6 y = 2 P QRS A1 = 2ab + 2xy = 126 + 24 = 150 : (150)
