用拔靴法建構無母數剖面資料監控之信賴帶 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系碩士學位論文. 指導教授: 洪英超博士. 政治大. 學. ‧ 國. 立用拔靴法建構無母數剖面資料監控之信賴帶. ‧. Nonparametric Profile Monitoring via. Nat. n. al. er. io. sit. y. Bootstrap Percentile Confidence Bands. Ch. engchi. i n U. v. 研究生：謝至芬撰中華民國一百年六月.

(2) 謝辭. 時光荏苒，兩年的碩士生涯將在這本論文付梓之刻劃下尾聲，回首這一路走來，滿懷之感謝油然而生。這本論文的完成，得自太多人的幫助，謹以此篇論文獻給這一路來幫助、陪伴我的人。首先感謝我的指導教授，感謝. 洪英超老師一直以來耐心的指導，. 政治大. 對於老師付出的心力及平日的關心，即使忙碌仍撥冗協助自己，不只. 立. 在論文上、在待人處事上也教導我許多。也感謝口試委員. 蔡紋琦老. ‧ 國. 學. 師跟曾能芳老師對於本篇論文的指點與建議，使得論文更加完善。此. ‧. 外，也感謝. 楊素芬老師在品質管理這領域教導我許多事情。. y. Nat. er. io. sit. 論文的完成，仍要歸功與感謝協助我完成實驗的所有人：碩班學長政憲、學姊伊萱、亮妤、宜臻、同學鈞遠、雨築、家玲、學弟瑋倫、. n. al. i n U. C. v. hengchi 佳宏、學妹依潔、欣倫、似蓉以及在準備與籌畫間所有幫助過我的人。感謝我親愛的家人及所有關心我的朋友們，你們的陪伴與支持，是我努力的動力。. 謝至芬. 謹致. 中華民國一百年六月. i.

(3) 摘要. 近年來剖面資料的監控在統計製程控制中有很大範圍的應用。在這篇論文裡，我們針對監控無母數剖面資料提出一個實務上的操作方法。這個操作方法有下列這些重要的特色：(1)使用一個靈活且有計算效率的無母數模型 B-spline 來描述反應變數與解釋變數的關係；(2). 政治大. 一般迴歸模型中之殘差結構假設是不需要的；(3)允許剖面資料內之. 立. 觀測值間具有相關性之結構。最後，我們利用一個無線偵測器的實際. ‧ 國. 學. 資料來評估所提出方法的效率。. ‧. y. sit. n. al. er. io. 曲線深度. Nat. 關鍵字：無母數剖面資料監控、B-spline、區塊拔靴法、信賴帶、. Ch. engchi. ii. i n U. v.

(4) Abstract. Profile monitoring has received increasingly attention in a wide range of applications in statistical process control (SPC). In this work, we propose a practical proposed guide which has the following important features: (i) a flexible and computationally efficient smoothing technique, called the B-spline, is employed to describe the relationship between the response variable and the explanatory variable(s); (ii) the usual structural assumptions on the residuals are not require; and. 政治大. (iii) the dependence structure for the within-profile observations is appropriately. 立. accommodated. Finally, a real data set from a wireless sensor is used to evaluate the. ‧ 國. 學. efficiency of our proposed method.. ‧. Keywords: Nonparametric profile monitoring, B-spline, block bootstrap, confidence. n. al. er. io. sit. y. Nat. band, curve depth. Ch. engchi. iii. i n U. v.

(5) 目錄第一章. 導論 ...........................................................................................1. 第二章. 無母數剖面資料監控方法 .......................................................3. 第一節. 資料清潔 (Data Cleaning) ...............................................4. 第二節. 配適 B-spline 模型 ............................................................6. 第三節. 區塊拔靴法 (Block Bootstrap) ........................................9. 績效評估：無線感應器的實例 .............................................14 Babyfinder－無線感應器之介紹 ..................................14. sit. y. Nat. 第一節. ‧. 第三章. 演算法 ..............................................................................13. 學. 第五節. ‧ 國. 第四節. 政治大利用曲線深度建立信賴帶 .............................................. 11 立. 第三節. l C(Power) ....................................................... 測試檢定力 29 ni. er. 操作方法的套用 ..............................................................18. io. 第二節. n. a. 第四章. hengchi U. v. 結論與建議 .............................................................................32. 附錄...........................................................................................................33 參考文獻...................................................................................................51. iv.

(6) 表目錄 (表 1). 17 個穩定製程實驗選擇的干擾因子水準數 ...........................16. (表 2). 18 個失控製程實驗選擇的干擾因子水準數 ...........................29. 學. 圖目錄. ‧. ‧ 國. 立. 政治大. (圖 1) 飛機上的黑盒子所記錄有關飛機高度的資料 ..........................4. sit. y. Nat. (圖 2) 一個樣本大小為 450 之時間數列之自我相關函數 ................ 11. er. io. al Babyfinder; 左為發射器、右為接收器 ................................... 15 iv n. (圖 3) (圖 4). n U engchi 穩定製程實驗下的無線訊號強度值的時間數列圖 ................17. (圖 5). 穩定製程實驗下的無線訊號強度值經過資料清潔過後的時. Ch. 間數列圖...................................................................................................20 (圖 6) 穩定製程實驗在不同節點數下預測均方差的變化 ................21 (圖 7). 穩定製程實驗配適最佳 B-spline 模型 ...................................22. (圖 8) 穩定製程實驗在加上一個標準差的界限後預測均方差的變化 v.

(7) ...................................................................................................................23 (圖 9) 穩定製程實驗配適縮減過節點數的 B-spline 模型 .................24 (圖 10). 穩定製程實驗的自我相關函數...............................................25. (圖 11). 穩定製程實驗的 30 條模擬線 ...............................................26. (圖 12). 99% 聯合信賴帶 B0.99 ( x ) ；其中曲線深度上面使用方程式(10). 定義、下面使用方程式(11)定義 ............................................................27 (圖 13). 將方程式(10)跟(11)定義的曲線深度所建構出來的信賴帶做. (圖 14). 利用方程式(11)所定義的曲線深度所建立的 99% 信賴帶，18. 政治大比較，實線為方程式(10)所建構出來的信賴帶、虛線為方程式(11) .28 立. ‧ 國. 學. ‧. 個失控製程下的實驗配適 B-spline 模型的結果 ...................................31. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vi. i n U. v.

(8) 第一章導論在許多工業應用中，一個製程的品質好壞通常可表示為某個重要測量值跟解釋變數間的函數關係。在這種情況下，統計製程管制(statistical process control)的目的是監控資料的函數關係－也就是所謂的剖面資料(profile data)，而不是單純監控某一個品質測量值。在這篇論文裡，我們有興趣的是監控無法藉由有母數模型 (parametric model) 來描述此函數關係的剖面資料 ( 例如一個非穩定性 (non-stationary)的製程)。在實務上，此論文特別探討無線感應器(wireless sensor) 所收集的資料或訊號。關於這種類型的資料，剖面資料內的觀測值通常是有相關. 政治大監控剖面資料在最近十多年被許多專家學者所重視，相關的基本概述及討論立. 性(correlated)的。. ‧ 國. 學. 讀者可參考 Woodall, Spitzner, Montgomery 跟 Gupta (2004)[36]或 Woodall (2007)[37]。如[36]所述，統計製程管制通常分為兩個階段。在階段Ⅰ(phase Ⅰ). ‧. 裡，主要工作是收集穩定製程(in-control process)下的剖面資料，再經過資料清潔. sit. y. Nat. (data cleaning)等方法後用來估計製程中某些特定的參數。在階段Ⅱ(phase Ⅱ)中，. al. er. io. 主要工作是利用穩定製程下估計所得的參數來偵測剖面資料的變化。其他相關的. v. n. 文獻簡述如下。早期剖面資料的研究主要集中在簡單的線性模型[18, 20, 27,. Ch. engchi. i n U. 39]，後來則發展到多項式迴歸模型[19,40]。基於模型的彈性，最近監控非線性剖面資料(non-linear profile data)的方法在很多應用裡開始流行。其中如 Williams, Woodall 跟 Birch (2007)提出三種常見的監控非線性剖面資料的方法，並以劑量反應為例 [34, 35] ； Colosimo 跟 Pacella (2007) 將主成份分析 (principal component analysis)用於偵測製造物品的圓形剖面[8]；Lada, Lu 跟 Wilson (2002) 提出一個基於小波原理(wavelet)的步驟用來偵測製程錯誤[23]；Ding, Zeng 跟 Zhou (2006)使用維度縮減(dimension reduction)的方法來偵測非線性剖面資料 [11]；Zou, Tsung 跟 Wang (2008)提出無母數迴歸的方法[41]；其他例子讀者可參考相關文獻。 1.

(9) 傳統用來監控非線性剖面資料的方法常有一個不切實際的假設，那就是假設剖面資料內的觀察值是獨立的。另一方面，將資料相關結構合併進行分析的方法較為少見。文獻中有兩個值得注意的研究為 Jensen 跟 Birch (2009)[16]及 Qiu, Zou 跟 Wang (2010)[32]；前者是經由非線性混合模型(non-linear mixed model)來處理剖面資料內的相關性，後者是經由無母數混合效益模型(non-parametric mixed-effect model)。這兩個是算是新的理論觀點，但這兩個方法都需要相當數量的參數估計跟計算。本論文是想要提供一個實際又簡單的操作方法來監控無母數剖面資料。其目的是希望在不需要太多模型假設的情況下針對觀察到的穩定製. 治政大本論文所提之操作方法主要分成五個步驟。第一步，使用一個叫做“兩端中立. 程剖面資料建立適當的信賴帶。這個信賴帶可用來做階段Ⅱ的管制圖偵測。. 間值法”(two-sided median method)的方法，對每個剖面資料做清潔工作。第二步，. ‧ 國. 學. 對每個剖面資料建構適合的 B-spline 模型。第三步，對每個剖面資料使用移動區. ‧. 塊拔靴法(moving block bootstrap method)來模擬產生其他樣本。第四步，針對每. y. Nat. 個拔靴法模擬所得到的資料曲線計算其相對應的曲線深度(curve depth)。第五步，. 謂的聯合信賴帶(simultaneous confidence band)。. al. er. io. sit. 將較小曲線深度的曲線刪除，最後將每個剖面資料所得的信賴帶結合在一起得所. n. v i n 本文以下章節架構如下：第二章介紹我們提出關於監控無母數剖面資料的操 Ch engchi U. 作方法。第三章為將這個方法應用在一個無線感應器的實例。例子的結果顯示本論文提出的方法在判定所謂的“失控資料”有準確的結果。第四章為最後的結論與討論。. 2.

(10) 第二章無母數剖面資料監控方法為了簡化問題，本論文中我們只討論單一個變量的情形。假設有 M 個從穩定製程下得到的獨立剖面資料(in-control profile, IC profile)，其中第 i 個剖面資料有 ni 個觀測值、 i = 1,..., M 。令 yij 為第 i 個剖面資料中的第 j 個觀測值，而 xij 為相對應的解釋變數， i = 1,..., M , j = 1,..., ni 。在這些假設下，我們允許每個剖面資料可以有不同的觀測個數(或長度)。假設穩定製程下的模型為 yij = f ( xij ) + ε ij , i = 1,..., M , j = 1,..., ni. (1). 政治大. 其中 f ( ⋅) 為一個平滑的函數且 ε ij 為模型的誤差項。本論文中主要討論的是時間. 立. 數列的剖面資料；也就是說， xij 為一時間變量， yij 為其對應之測量值。此外，. ‧ 國. 學. 為了使模型有較大的彈性，我們不對誤差項 ε ij 作任何結構上假設(如常態分配. ‧. (normal distribution)或獨立且相同分配(independent and identical distribution)等)。. y. sit. al. er. io. 的特質。. Nat. 這個寬鬆的假設通常比較符合真實情況，因為真實資料常有非常態及資料間相關. v. n. 本文的目標是希望根據收集到的穩定製程下的剖面資料，提出一個建構. Ch. engchi. i n U. f ( x ) 信賴帶的方法。本文提出之方法大致分為以下步驟：(1)使用一個與模型選擇無關的方法清潔剖面資料；(2)選定適當的 B-spline 模型分別對每個剖面資料做配適；(3)對每個剖面資料做區塊拔靴法(block bootstrap method)用來重複抽樣；(4) 依據區塊拔靴法後求得之曲線深度(curve depth)來建立每個剖面資料的信賴帶； (5)將所有穩定製程下的剖面資料的信賴帶結合在一起以求得最後的聯合信賴帶。. 3.

(11) 第一節資料清潔 (Data Cleaning) 異常值(outlier)的偵測在時間數列資料裡是很重要的，因為這些不正常的觀測值可能會干擾後續的分析與模型的建構。例如，根據感應器收集到的訊號資料具有不同的時間類型，像是飛機的黑盒子(如(圖 1))。由於不正確的感應器讀取，訊號會有嘈雜的現象，也就是測量誤差(measurement error)。因此，為了提供使用者(如工程師或飛行員)有效的分析工具，從那些嘈雜的資料中抽取出高品質的資訊是必要的。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. (圖 1). Ch. engchi. i n U. v. 飛機上的黑盒子所記錄有關飛機高度的資料. 1. 傳統上用來偵測異常值的方法最大的缺點是：選出的異常值是視模型而定， 1. 圖形來自 S. Basu, M. Meckesheimer, Automatic outlier detection for time series: an application to. sensor data, Knowl. Inf. Syst. 11 (2007) 143. 4.

(12) 也就是與模型相關(model dependent)[6,30]。因為收集到的時間數列可能呈現高度的不穩定性，所以這些傳統方法需要極高的計算成本在模型選擇上面。因為現實生活中常常需要“即時監控”製程，這樣的方法通常較不切實際。為了解決這些問題，我們這裡使用的是由 Basu 和 Meckesheimer ( 2007 ) [1]提出的一個資料清潔方法叫做兩端中間值法(two-sided median method)。這個方法的優點是操作容易，且挑選出的異常值與模型無關。此方法的基本想法如下：給定一時間數列 y1 , y2 ,..., yn ，定義某一觀測值 y j 其鄰域(neighborhood)為. {y. j −k. ,..., y j −1 , y j +1 ,..., y j + k } ，其中 2k 為 y j 的鄰域的觀察值個數(也就是鄰域的大小)。. 政治大. 計算 y j 其鄰域的中位數(median)，令其為 m(j ) 。再計算 y j 跟 m(j ) 的距離跟之前設 k. 立. k. ‧ 國. 學. 定的門檻值(threshold value) τ 做比較。當 y j − m(jk ) < τ ，保留觀測值 y j ；反之則將 y j 視為一異常值並用 m(j ) 取代。用這一個判斷準則，一個觀測值當它距離它自 k. ‧. 己鄰域的中間值相當遠時，我們會將它標記為異常值。藉由辨別異常值並用合理. y. Nat. io. sit. 的數值去做取代，可得到一個清潔過後的數列 y1* , y2* ,..., yn* 。關於 k (鄰域的大小). er. 和 τ 值(門檻值)的選定文獻中並沒有一個最好的準則；在實際應用上，這兩個值. al. n. v i n 通常由操作者根據經驗來決定。為了讓使用者可以實際操作，本論文提供以下的 Ch engchi U 準則來選擇 k 和 τ ：. 首先選定一個適合的 k (如 k = 3 或 5 )，再選定一個相對較大的 τ 值，其中這個 τ 值必須讓偵測出來的異常值個數占總觀測值個數的 5~7%。. 在此準則下，具有雜訊的資料可以變得比較清潔，而且原始的資訊仍然可以完整的保留。. 5.

(13) 第二節配適 B-spline 模型為了簡化標識，在這一節我們將清潔過後的剖面資料記為 { y j , x j } ，其中 j = 0,1,..., n , x0 < x1 < ... < xn。接下來我們要對每一個剖面資料建構一個可以描述. y j 和 x j 關係的平滑函數 fˆ ( x ) ，此步驟的目的是為了讓真正的 f ( x ) 在後續的階. 段中獲得較好的估計。在無母數迴歸中，其中一個受歡迎且有效的工具就是 spline smoothing [15, 13, 33]。其一般式為選擇一函數 fˆ ( x ) 使得下列的平方和最小化. ∑( y n. ). (. ). − fˆˆ( x ) + λ ∫ f ′′ ( x ) dx 2. 2. (2). 治政大 parameter)，用來控制模其中 λ 為一個帶有懲罰性(penalty)的平滑參數(smoothing 立 j =1. j. 型“準確性”與“是否平滑”之間的平衡(trade-off)。. ‧ 國. 學. 方程式(2)的解 fˆ ( x ) 是一個具有多個控制點(又叫節點(knots))的片斷性多項. ‧. 式(piecewise polynomial)。假若 fˆ ( x ) 在每一個區間 ( x0 , x1 ) ,..., ( xn −1 , xn ) 裡都是一個. y. Nat. sit. 三次多項式(此為最常見的 spline)並且它的一階微分及二階微分皆連續(也就是. er. io. C 2 連續)，則此 fˆ ( x ) 稱為 smoothing spline。然而，所謂的 smoothing spline 並無. al. n. v i n Ch 法對 fˆ ( x ) 提供一個明確的模型。此外，它還有一個重大的缺點是，當其中一個 engchi U 節點變動時，整個曲線必須要重新做計算。這也代表了此方法的計算量相當龐大。為了克服這個問題，我們使用另一個叫做 B-spline 的方法，其想法是利用一組基底函數(basis function)來建構 fˆ ( x ) 。我們將節點設成一個向量 z = ( z0 , z1 ,..., zn ) 對應至相對應的 n + 1 個控制點. w0 ,..., wn 。所謂次數為 d 的 B-spline 是一個由基底函數線性組合而成的曲線，即 n. fˆ ( x ) = ∑ w j B j ,d ( x ) 。 j =0. 6. (3).

(14) 其中基底函數可利用以下的 Cox-de Boor 遞迴公式 (Cox-de Boor recursion formula)[2, 3]計算出來. 1 當x j ≤ x < x j +1 B j ,0 ( x ) =  0 其他 x − xj. = B j ,d ( x ). 其中我們定義. x j +d − x j. B j ,d −1 ( x ) +. x j + d +1 − x x j + d +1 − x j +1. B j +1,d −1 ( x ) ，. (4). 0 = 0 。 B j ,d ( x ) 為一次數 d − 1 的多項式，且在每一個區間 0. x j < x < x j +1 為 C d − 2 連續。除此之外，基底函數還有以下這些特質：對所有 j 皆有 n. 政治大. 0 ≤ B j ,d ( x ) ≤ 1 ，且 ∑ B j ,d ( x ) = 1 。由以上可發現，在任意給定一點 x 之下，只有. 立. j =0. d 個非零的基底函數需要考慮。B-spline 最大的優點是，對任一點 x ，模型估計. ‧ 國. 學. 是由 d 個距離 x 最近的控制點(control point)來決定的。因此，當其中一個控制點. ‧. 改變且我們想要重新計算整個 spline 曲線時，只要將與此控制點相關的觀測值移. y. Nat. 除再重新計算即可，如此可以減少許多的計算量。這一個重要的特性讓它在做即. er. io. sit. 時偵測(real-time monitoring)時特別有用，尤其是當觀測值越來越多時。基底函數的形狀是由節點的位置來做決定。假設所有相鄰的節點間的間距是. al. n. v i n C h B-spline 被稱為所謂的均勻 B-spline (uniform ≡ c )，這個 engchi U. 一個固定值(即 x j +1 − x j. B-spline)。均勻 B-spline 的基底函數可以很容易的計算出來，而且對每一段多項式來說這些基底都是一樣的。舉例來說，一個三次均勻 B-spline(也就是 d = 4 )第 j 段的多項式可寫成. S j ( x )  x3 =. x2.  −1 3 −3  1  3 −6 3 x 1 ⋅ 6  −3 0 3  1 4 1. 1   y j −1    0   y j  0   y j +1    0   y j + 2 . (5). 由於等間距的節點只能用於描述簡單的幾何圖形，故有人建議可以使用任意 7.

(15) 間距的節點，也就是非均勻 B-spline (non-uniform B-spline)。但是，如何決定節點的最佳個數及位置仍然是一個極具挑戰性的問題。一些相關的文獻探討如下： Friedman 跟 Silverman (1989)所提的 TURBO 法[12]、Breiman (1993)提出刪除節點/交叉驗證法(DKCV) [4]、Denisn、Mallick 跟 Smith (1998)討論可逆跳躍馬可夫鏈蒙地卡羅法(reversible jump Markov chain Monte Carlo method)[10]及 Lolive、 Barbot 跟 Boeffard (2006)利用 AIC 或 BIC 來做模型選擇演算法[26]等等。在這篇論文裡我們將採用棄一法交叉驗證(leave-one-out cross-validation)來選擇最佳的節點數。所謂的交叉驗證想法如下：. 政治大 k 個節點將均勻分散至資料 { x } 的 k 個分位數的地方。所謂的棄一法交叉驗證立. 首先，節點的位置可根據資料的分佈自行做選擇。舉例；給定一固定值 k ， n. j. j =0. ‧ 國. 學. 分數 (leave-one-out cross-validation score) 即定義為以下之預測均方差 (mean predictive square error)：. (. 1 n ∑ y j − fˆ( − j ) ( x j ) n + 1 j =0. ). ‧. = MPSE ( k ). 2. (6). Nat. er. io. sit. y. 其中 fˆ( − j ) 為去除第 j 個觀測值 ( y j , x j ) 後配適所得之三次 B-spline 模型。假設節點數的可能集合為 {k1 , k2 ,..., k R } ，其中 0 ≤ ki ≤ n + 1 且 i = 1,..., R 。針對每個 ki 計算預. n. al. Ch. engchi. 測均方差後，最佳的節點數如下：. i n U. k * = arg min MPSE ( k ) k∈( k1 ,..., k R ). v. (7). 根據最佳的節點數所建構出來的模型，可想而知是配適的非常完美。既然要將資料的上下起伏都精準的抓到代表它建構所使用的節點數不少。但是我們是使用收集到資料來建構模型、而非真正的 f ( x ) ，故只需要抓到資料大致的趨勢即可。故我們決定犧牲部分的“模型配適的精準性”來換取較多的自由度，也就是將建構模型的節點數做縮減。在此我們使用一個標準差為基準。在最佳的節點數 k * 下去計算這些預測方差(predictive square error)的標準差(standard deviation)，令 8.

(16) 求得之標準差為 s 。設最佳節點數的預測均方差加上一個標準差( MPSE ( k * ) + s ) 為其界限，在這個界限之下節點數由 k * 縮減至 k ** 。根據縮減過後的節點數來 k ** 配適每一個剖面資料 B-spline 模型即可得每個剖面資料的殘差 {eij } 。. 第三節區塊拔靴法 (Block Bootstrap) 利用上一節所得到之殘差，接下來要介紹如何建立每一個剖面資料的信賴帶。. 政治大，由於我們假設剖面資料內的殘差不獨立，所以在重複抽樣時資立. 這裡使用的方法叫做區塊拔靴法(block bootstrap)。首先，假設第 i 個剖面資料的殘差為 ei1 ,..., eini. ‧. ‧ 國. 本想法如下：. 學. 料的相關性結構能否完整的捕捉到是一個很重要的課題。所謂的區塊拔靴法其基. 在區塊拔靴法裡，首先資料被切成數個區塊，如此在每個區塊裡資料原本的. sit. y. Nat. 相關性結構可以被保留下來。接下來將擁有相同長度且重疊的資料區塊隨機抽出. al. er. io. (並再放回)，這種類型在重複抽樣中稱為移動區塊拔靴法，此觀念最早由 Hall. v. n. (1985)[42]提出、並於 Künsch (1989)[22]中有完整的討論。Mignani 跟 Rose (2001). Ch. engchi. i n U. [28]提到當小段小段的資料呈現高度相關時，移動區塊拔靴法的表現優於其他的抽樣方法。此外，這個方法在資料產生過程中並不需要特定的假設。在移動區塊拔靴法下，當區塊長度為 l 時，第 i 個剖面資料的殘差 ei1 ,..., eini 被分割成 ni − l + 1 個區塊。舉例來說，第一個區塊可寫成 {ei1 ,..., eil } 、第二個區塊為. {e. i2. }. {. }. ,..., ei(l +1) 、第三個區塊為 ei 3 ,..., ei(l + 2) ，以此類推。因此，對第 i 個剖面資料. 的拔靴法抽樣樣本產生如下所示： y , x } { fˆ ( x ) + e ( {= * ij. * ij. i. ij. 9. i t +k ). , xij. }. (8).

(17) 其中 j = 1, 2,..., n ，t 為一隨機從 {1, 2,..., ni − l + 1} 中抽取(並再放回)之值、一共抽取. n n n n 次(當 ∈  時)或   + 1 次(當 ∉  時)， k = 1, 2,..., l 。 l l l l  移動區塊拔靴法的準確度跟區塊長度 l 的選擇有密切的關係。通常來說，較小的區塊長度會比較接近真實的分配；但在另一方面，當區塊長度選擇不好時，它可能會破壞小範圍(或中範圍)的相關性結構。在文獻裡對於選擇最佳的區塊長度有許多不同的建議[5, 14, 22, 24, 25]。在所有方法中，兩個重要的方法是插空法(plug-in method)跟以經驗法則為基礎的方法。不過，這兩種類型的方法並不切合實際。其原因是，插空法需大量的計算來取得最佳區塊長度的理論表達方式，. 政治大. 而以經驗法則為基礎的方法通常需要大量的運算。在這篇論文裡，我們介紹一個. 立. 簡單的方法來選擇合適的區塊長度，其想法主要是根據樣本的自我相關函數. ‧ 國. 學. (autocorrelation function, ACF)。以(圖 2)來說，其為一個樣本大小 450 之時間數列的自我相關函數。由圖可知，自我相關函數的值在期差(lag)為 7 後開始急速衰退，. ‧. 並且從這以後的值都變的不顯著(顯著水準 0.05)。因為區塊長度通常會選擇大於. Nat. sit. y. 不獨立之值的長度，故這個例子的建議最小區塊長度為 l = 8 。這個例子也同時滿. n. al. er. io. 足 Lahiri (1999)所建議的準則[24]，也就是區塊長度應小於觀察值個數開根號後. Ch. 的值，即 l =< 8 n = 450 ≈ 21 。. engchi. i n U. v. 結合以上的想法，本文提出以下選取最佳區塊長度之準則：. 假設自我相關函數(ACF)在期差(lag) l 之後皆為不顯著且樣本數為 n ，則最佳區塊長度為：. (. = l * min l + 1, n. 10. ). (9).

(18) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.0. 0.2. ACF. 立 5. 10. 20. 25. Lag. 一個樣本大小為 450 之時間數列之自我相關函數. ‧. (圖 2). 15. 學. ‧ 國. 0. 政治大. sit. y. Nat. io. al. er. 第四節利用曲線深度建立信賴帶. v. n. 為了對真正的 f ( x ) 建立信賴帶，我們首先對每一個剖面資料建立自己的信. Ch. engchi. i n U. 賴帶，再將所有的信賴帶結合起來。假設第 i 個剖面資料的區塊拔靴法重複 N 次，. {. }. 將得到 N 條模擬出來的 B-spline 曲線記為 CiN ( x ) = fˆî1 ( x ) ,..., fi N ( x ) ，其中 xi1 ≤ x ≤ xini 。這裡信賴帶的建立是根據所謂的曲線深度(curve depth)來排序，其. 方法是 Yeh (1996) [38]所提出。以下為曲線深度計算方法之介紹：對 B-spline 曲線的集合 CiN ( x ) 中任一條模擬線 fî b ( x ) ，將這條線與基準線 ( fî ( x ) 在此為原始剖面資料配適 B-spline 模型所得之曲線)做比較可得到曲線距離(curve distance)，其定義如下： 11.

(19) (. ) ∫. (. ) ∫ (f. = dib d fˆˆˆˆ ) , fi b ( x ) i ( x=. xini. xi 1. f i b ( x ) − f i ( x ) dx. (10). 或. = dib d fˆˆˆˆ ) , fi b ( x ) i ( x=. xini. xi 1. b i. ( x ) − fi ( x ) ). 2. dx. (1 + dib ). 與其相對應的曲線深度(curve depth)則定義為 Dib=. −1. (11). 。由前面這個定義可. 發現：曲線深度越小代表這條線與基準線距離越遠。因此，為了得到 (1 − α ) % 的拔靴法信賴帶，我們將從 B-spline 曲線的集合 CiN ( x ) 中刪除 (100α ) % 曲線深度較小的模擬線。也就是說，將距離基準線較遠、我們視為不好的模擬樣本刪除。. 政治大. 接下來介紹如何利用所有的剖面資料對其真正的 f ( x ) 建立信賴帶。首先定. 立. ‧ 國. 學. 義 Di(1) ≤ Di( 2) ≤ ... ≤ Di( N ) 為 CiN ( x ) 這個集合中所有的曲線深度 Dib 經過排序後的結. { fˆ ( ) ( x ) : α N ≤ b ≤ N } 、其. 果。在給定一信賴水準 0 < α < 1 下，定義集合 = CiN,1−α. b. i. ‧. 中 xi1 ≤ x ≤ xini 。如此，第 i 個剖面資料的 100 (1 − α ) % 信賴帶為. y. Nat. sit. io. {( x, y ) : 對每一個固定的 x, min fˆˆ ( x ) ≤ y ≤ max f ( x )} b. b. al. i. b. b. i. (12). er. = BiN,1−α ( x ). v. n. 其中 fî b ( x ) ∈ CiN,1−α ( x ) 及 xi1 ≤ x ≤ xini 。因為我們假設剖面資料之間相互獨立，故. Ch. engchi. i n U. N N 將所有的信賴帶 B1,1N −α ( x ) , B2,1 −α ( x ) ,..., BM ,1−α ( x ) 結合在一起求得整個資料空間裡. 真實曲線 f ( x ) 的聯合信賴帶。也就是說， f ( x ) 的聯合信賴帶為 B1−α= ( x).  B= α {( x, y ) : 對每一個固定的 x, min fˆˆ ( x ) ≤ y ≤ max f ( x )} M. N i ,1−. b. i ,b. i =1. i. b. i ,b. i. (13). 備註：方程式(10)跟(11)都是曲線距離的定義，前者是取絕對值而後者是做平方運算。直觀上來講，平方運算(即方程式(11))會使異常值更明顯，也就是較容易偵測到異常值，所以它的信賴帶界限應該會比絕對值定義(即方程式(10))所建構 12.

(20) 出來的信賴帶窄。. 第五節演算法上一節最後得到的聯合信賴帶 B1−α ( x ) 可視為一管制圖(control chart)來監控無母數剖面資料。當第 i 個剖面資料配適 B-spline 模型所得的曲線完全落在信賴帶內時(也就是 fî ( x ) ⊂ B1−α ( x ) )，代表這個剖面資料是穩定的(in-control)。假若曲線超出信賴帶，我們視這個剖面資料為失控的(out-of-control)。為了方便起見，. 政治大步驟 1：利用兩端中間值法對每一個剖面資料做資料清潔。立本文所提之操作方法簡化描述如下：. 步驟 2：對每一個剖面資料利用第二節的方法找各自建構 B-spline 模型求得曲線. ‧. ‧ 國. 學. fî ( x ) 。. 步驟 3：對清潔過後的剖面資料利用區塊拔靴法產生 N 個樣本 { yij* , xij* } 。. y. Nat. io. sit. 步驟 4：將每一個剖面資料建構 B-spline 模型所得之曲線 fî ( x ) 與拔靴法所得的. n. al. er. 樣本做運算獲得曲線深度 Dib 。在給定一信賴水準 0 < α < 1 下，求得曲線之集合. CiN,1−α ( x ) 。. Ch. engchi. i n U. v. 步驟 5：每個剖面資料利用方程式(12)可建立各自的 100 ⋅ (1 − α ) % 拔靴法信賴帶。利用方程式(13)可得到整個資料空間裡其真正的 f ( x ) 的聯合信賴帶。. 13.

(21) 第三章績效評估：無線感應器的實例在這一章，我們提出的方法將利用一個無線感應器的實例來做衡量。首先我們先介紹這個例子，數據分析結果於第二節呈現。. 第一節 Babyfinder－無線感應器之介紹 Babyfinder 是一個用來偵測物理或環境條件的無線感應器。它可以廣泛的應用在工業製程監控及管制、機器狀況的監測、醫療保健的應用及車禍控制等。 Babyfinder 是由一個發射器(transceiver)及一個接收器(receiver)所組成(如(圖 3))。. 政治大. 當發射器與接收器存在一個距離時，無線信號就會產生(它的強度衡量單位為分. 立. 貝(dB))，稱為無線訊號強度值(Received Signal Strength Indicator, RSSI)。利用這. ‧ 國. 學. 個特性，我們可以透過觀察無線訊號強度值隨著時間的變化來監測某些突發事件的發生。舉例來講：假設 Babyfinder 是設計為用來偵測腳踏車是否被偷；很自然. ‧. 的會假設在平常的狀況(也就是腳踏車沒有被偷的情況下)觀測到的無線訊號強. y. Nat. sit. 度值跟相對應的時間點存在一個函數關係。一旦有事情發生(例如腳踏車被偷)，. n. al. er. io. 觀測到的無線訊號強度值應會與原本的函數關係產生不一致。. i n U. v. 為了實驗我們提出的方法，首先我們要先收集腳踏車沒有被偷(即視為一穩定. Ch. engchi. 製程)下的無線訊號強度值。由於有限的實驗經費，我們只進行 17 組實驗(也就是 17 組在穩定製程下的剖面資料)。在此我們考慮 7 個重要的影響因子，將重要因子與其設定的水準分別描述如下： (1) 腳踏車主人的身型，分為 3 個水準。水準 1 為瘦小身型，水準 2 為正常身型，水準 3 為高壯身型。 (2) 腳踏車主人的手機是否有響，分為 2 個水準。水準 1 為沒有，水準 2 為有。 (3) 腳踏車主人是否轉身，分為 2 個水準。水準 1 為沒有，水準 2 為有。 (4) 接收器是否在腳踏車主人的袋子，分為 2 個水準。水準 1 為沒有(如拿在手 14.

(22) 上)，水準 2 為有。 (5) 是否有行人經過，分為 2 個水準。水準 1 為沒有，水準 2 為有。 (6) 腳踏車周遭的干擾，分為 4 個水準。水準 1 為沒有噪音，水準 2 為一群人在附近，水準 3 為有個人坐在腳踏車上，水準 4 為行人將腳踏車稍做移動(如喬停車位)。 (7) 腳踏車的位置，分為 5 個水準。水準 1 為在一個空曠的地方，水準 2 為旁邊有高大的建築物，水準 3 為旁邊有三層樓的建築物，水準 4 為會有行人經過的門邊，水準 5 為有行人經過且旁邊有高大的建築物。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. aBabyfinder; iv 左為發射器、右為接收器 l C n hengchi U. n. (圖 3). 在進行一實驗時，會有以下這些步驟。首先，將發射器放置於腳踏車上，接收器放置於腳踏車主人的身上。再來隨機對這 7 個干擾因子選擇各自的水準，這稱為簡單隨機抽樣(simple random sampling)。17 個干擾因子選擇的水準數結果如 (表 1)所示。在這些選定的干擾因子水準決定後，腳踏車主人以一穩定的速度走離開腳踏車、走在預先設定的路徑上，停止於預先設定距離腳踏車 66.69 公尺的地方。在選定的等間隔時間點上利用電腦收集觀測到的無線訊號強度值；這樣做是為了建模方便。 15.

(23) (表 1). 17 個穩定製程實驗選擇的干擾因子水準數干擾因子實驗 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2. 1. 2. 2. 2. 1. 1. 1. 3. 3. 1. 2. 1. 2. 1. 1. 4. 3. 2. 1. 2. 2. 1. 1. 5. 1. 1. 1. 2. 2. 1. 2. 6. 1. 2. 2. 1. 2. 1. 2. 7. 3. 1. 2. 2. 1. 1. 2. 8. 3. 2. 1. 1. 1. 1. 2. 9. 2. 2. 1. 2. 1. 4. 10. 2. 1. 11 12. 立22. 2 2 3 政1 治大 1 1 2 1 2. 3. 2. 1. 2. 1. 3. 4. 13. 2. 1. 1. 2. 2. 2. 14. 2. 1. 1. 2. 1. 4. 學. 15. 2. 2. 1. 2. 1. 2. 5. 16. 2. 1. 1. 2. 2. 4. 5. 17. 2. 1. 1. 2. 1. 3. 5. 3 3 4 4. er. io. sit. Nat. y. ‧. ‧ 國. 1. 收集結果如下：17 個實驗收集到的時間長度分別為 567, 302, 248, 514, 633,. al. n. v i n C h469, 452, 428, 440U跟 404。無線訊號強度值個數 274, 272, 582, 469, 464, 459, 479, engchi. 分別為 524, 127, 231, 452, 618, 261, 271, 576, 462, 460, 440, 374, 418, 342, 415, 426 及 389，可發現所有的實驗長度都不同，並且實驗可能因機器問題而有些時間點沒有偵測到無線訊號強度值(即所謂的遺漏值(missing value))。由於考慮到實驗有不同長度，我們需要更好的捕捉觀測值的局部或是小範圍的相關結構，並且要提高後續拔靴法抽樣的信賴度。(圖 4)為前 6 個穩定製程實驗收集到的無線訊號強度值(其餘實驗詳見附錄一)。由圖型可發現所有的剖面資料都呈現非線型的型態，中間有一些可能是因為測量誤差所造成看起來較異常的觀測值。此外，如我們預期所有的剖面資料在相同的資料範圍裡都有大致相同的模樣。利用這 17 16.

(24) 個時間數列資料，我們希望建立在穩定製程下、也就是當腳踏車沒有被偷時，無. 90 50 100. 200. 300. 400. Time. 150. 200. 250. 0. Time. 200. 300. 200. 300. 400. 500. Time. y 400. 500. engchi 600. er. i n U 0. v. 50. 100. 150 Time. Time. (圖 4). 250. sit. 300. RSSI. 70 50. Ch. 65 75 85 95. 90. al. n. RSSI. io 100. 200. Time. 100. Nat 0. 150. 100 60. RSSI. 100. 100. ‧. ‧ 國. 80 60. 50. 學. 50. 0. 政治大. 立 0. 500. 80. 0. RSSI. 70. RSSI. 70 50. RSSI. 90. 線訊號強度值與時間的關係之信賴帶。. 穩定製程實驗下的無線訊號強度值的時間數列圖. 17. 200. 250.

(25) 第二節操作方法的套用首先，我們利用對每個剖面資料使用兩端中間值法來清潔雜訊。前 6 個穩定製程實驗經過清潔過後的結果如(圖 5)(其他實驗結果詳見附錄二)。其中這些實驗的鄰域的大小( k )設定為 3，門檻值( τ )分別為 3.5, 9.0, 5.5, 5.0, 7.0, 6.0, 8.5, 4.0, 4.5, 4.0, 4.0, 7.5, 6.5, 7.0, 5.5, 7.0 跟 7.0，資料刪除替換的比率分別為 5.3%, 6.3%, 6.5%, 6.0%, 5.0%, 5.4%, 5.5%, 5.0%, 5.6%, 6.5%, 6.6%, 5.1%, 5.0%, 6.1%, 5.3%, 5.2%跟 5.1%，皆落於 5%至 7%之間，其中挑選的準則於第二章第一節有做介紹。將(圖 5)和(圖 4)做比較，可發現經過刪除某些潛在的異常值後，(圖 5)的圖形看起來比. 政治大為了對 17 個經過資料清潔後的資料建構 B-spline 模型，我們考量節點數目立. 較乾淨。. ‧ 國. 學. 的可能集合為 {0,1,...,100}，並計算每一個節點數下利用棄一法交叉驗證所得的相對應預測均方差，(圖 6)為前 6 個穩定製程實驗的結果(其他實驗圖形詳細附錄三)。. ‧. 由圖形可尋找出 17 個實驗的最佳節點數為 95, 38, 41, 94, 64, 70, 25, 97, 87, 82, 99,. y. Nat. sit. 70, 49, 72, 100, 97 及 79。隨著節點數的增加，預測均方差隨之下降，代表模型配. n. al. er. io. 適越來越好；但有些實驗在超過一定的節點數後配適模型反而預測均方差開始上. i n U. v. 升，這可能是因為過度配適(over-fitting)的問題。在這些最佳節點數下，前 6 個. Ch. engchi. 穩定製程的實驗配適 B-spline 模型後的結果於(圖 7)呈現(其餘實驗詳見附錄四)。由(圖 7)發現模型適配的非常好，資料的上下起伏幾乎全部都有抓到；但是資料只是我們收集到的、而不是真實的曲線 f ( x ) 。故我們希望能抓到大概的趨勢就好，也就是犧牲部分的“模型配適的精確性”換取較大的自由度，故決定減少建構模型的節點數目。在使用一個標準差為界限所縮減過後的結果如(圖 8)及附錄五。(圖 8)為(圖 6)加上界限後的結果。可發現 17 個實驗縮減過後的節點數分別為 5, 0, 5, 0, 7, 1, 0, 9, 3, 0, 14, 0, 0, 4, 1, 9 及 1。(圖 9)是前 6 個穩定製程實驗使用縮減過後的節點數建構 B-spline 模型後的結果(其他實驗詳見附錄六)。(圖 9)跟(圖 18.

(26) 7)做相比，(圖 9)只能說大約抓到資料的趨勢，沒有像(圖 7)抓的那麼精準。接下來檢驗每個實驗的無線訊號強度值在經過縮減的節點數目建構 B-spline 模型下所得之殘差的自我相關函數圖形。這個步驟是為了尋找每個剖面資料合適的區塊大小來做後續的區塊拔靴法。以(圖 10)為例，此圖為前 6 個穩定製程實驗的自我相關函數(其他實驗的自我相關函數於附錄七)；這幾個實驗的殘差顯示要經過一段期差後，殘差的自我相關函數才會不顯著。事實上，所有的實驗都呈現這個現象。利用自我相關函數圖形判斷，17 個實驗開始分別自期差 17, 4, 8, 14, 24, 6, 15, 10, 15, 11, 20, 12, 10, 8, 9, 20 及 19 後開始不顯著。另外根據 n 的準則算出. 政治大 18, 20, 21 及 20。兩者互相比較取較小值，求得每個剖面資料在區塊拔靴法的區立. 每個剖面資料的觀察值開根號後為 23, 11, 15, 21, 25, 16, 16, 24, 21, 21, 21, 19, 20,. ‧ 國. 學. 塊大小為 17, 4, 8, 14, 24, 6, 15, 10, 15, 11, 20, 12, 10, 8, 9, 20 及 19。利用決定好的區塊大小，使用移動區塊拔靴法對每個剖面資料的殘差做重複. ‧. 抽樣 10000 次。每一個產生的拔靴法抽樣樣本可以獲得一條 B-spline 曲線，這條. sit. y. Nat. 曲線代表著無線訊號強度值和時間之關係。(圖 11)為前 6 個實驗利用拔靴法重複. al. er. io. 抽樣模擬 30 次的結果(其餘實驗詳見附錄八)。由此圖可發現，每個實驗都有一. v. n. 個大致均勻且窄的信賴帶，除了資料邊界處可能因為配適 B-spline 模型的特色而. Ch. engchi. i n U. 相較較寬。這個結果對於「每一個獲得的 B-spline 模型在相對應的資料範圍有不錯的函數關係」提供強烈的證據。為了建立每個實驗的信賴帶 BiN,1−α ( x ) ，重複移動區塊拔靴法 10000 次(也就是 N = 10000 )，故可獲得 10000 條模擬曲線。在此利用方程式(10)跟(11)來計算每個. 拔靴法樣本的曲線深度。在刪除每個實驗 1% (即 100 條)較小曲線深度的曲線後並將所有實驗結合起來，可得整個資料空間的 99% 聯合信賴帶 B0.99 ( x ) ，結果如 (圖 12)所示。. 19.

(27) 90 200. 300. 400. 60. RSSI. 100. 150. 200. 250. 0. Time. 200. 250. 300. 300. 400. 500. Time. sit. y. 200. engchi. er. 85 95. RSSI. i n U. v. 65. 70 50. Ch. 75. al. n. 90. io. RSSI. 150 Time. 100. Nat 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 0. 50. 100. 150. 200. 250. Time. Time. (圖 5). 100. ‧. ‧ 國. 80 60. 50. 學. 50. 0. 政治大. 立 0. 500. 80. 100. Time. RSSI. 70 50. RSSI. 60 70 80 90. RSSI. 0. 穩定製程實驗下的無線訊號強度值經過資料清潔過後的時間數列圖. 20.

(28) 1000 400 0. MPSE. 2 3 4 5 6. MPSE. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. 40. 20. 40. 60. 3 4 5 6 7. MPSE. 政治大. 80. 100. 0. 20. Number of knots. 60. 80. 100. Number of knots. sit 6. er. 10. MPSE. engchi. i n U. v. 4. 5. Ch. 8. al. n. 15 20. io. 10. 40. y. Nat. MPSE. 100. Number of knots. ‧. 0. ‧ 國. 4. 8. 12 16. 立. 80. 學. MPSE. Number of knots. 60. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 20. 40. 60. 80. Number of knots. Number of knots. (圖 6). 0. 穩定製程實驗在不同節點數下預測均方差的變化. 21. 100.

(29) 90 200. 300. 400. 60. RSSI. 100. 150. 200. 250. 0. Time. 200. 250. 300. 300. 400. 500. Time. RSSI. engchi. er. 85 95. sit. y. 200. i n U. v. 65. 50. Ch. 75. al. n. 90. io. 70. 150 Time. 100. Nat. RSSI. 100. ‧. ‧ 國. 80 60. 50. 學. 50. 0. 政治大. 立 0. 500. 80. 100. Time. RSSI. 70 50. RSSI. 60 70 80 90. RSSI. 0. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 0. 50. 100. Time. Time. (圖 7). 150. 穩定製程實驗配適最佳 B-spline 模型. 22. 200. 250.

(30) 25 15. MPSE. 2 3 4 5 6. MPSE. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. 40. 20. 7 3. 5. MPSE. 9. 政治大. 40. 60. 80. 100. 0. 20. Number of knots. 60. 80. 100. Number of knots. sit 6. er. 10. MPSE. engchi. i n U. v. 4. 5. Ch. 8. al. n. 15 20. io. 10. 40. y. Nat. MPSE. 100. Number of knots. ‧. 0. ‧ 國. 4. 8. 12 16. 立. 80. 學. MPSE. Number of knots. 60. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 20. 40. 60. 80. Number of knots. Number of knots. (圖 8). 0. 穩定製程實驗在加上一個標準差的界限後預測均方差的變化. 23. 100.

(31) 90 200. 300. 400. 60. RSSI. 100. 150. 200. 250. 0. Time. 200. 250. 300. 300. 400. 500. Time. RSSI. engchi. er. 85 95. sit. y. 200. i n U. v. 65. 50. Ch. 75. al. n. 90. io. 70. 150 Time. 100. Nat. RSSI. 100. ‧. ‧ 國. 80 60. 50. 學. 50. 0. 政治大. 立 0. 500. 80. 100. Time. RSSI. 70 50. RSSI. 60 70 80 90. RSSI. 0. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 0. 100. 150 Time. Time. (圖 9). 50. 穩定製程實驗配適縮減過節點數的 B-spline 模型. 24. 200. 250.

(32) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. (圖 10). Ch. engchi. i n U. v. 穩定製程實驗的自我相關函數. 25.

(33) 90 80 60. 70. RSSI. 80 70. RSSI. 100. 200. 300. 400. Time. 0. RSSI. ‧ 國. 60. 80. 100. 150. 200. 250. 0. 100. Time. 250. 300. 200. 300. 400. 500. Time. sit er. 90. engchi. i n U. v. 70. Ch. RSSI. n. al. 80. io. 60 70 80 90. 200. y. Nat. RSSI. 150 Time. ‧. 50. 100. 學. 0. 50. 政治大. 立 RSSI. 500. 65 75 85 95. 0. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 0. 50. 150 Time. Time. (圖 11). 100. 穩定製程實驗的 30 條模擬線. 26. 200. 250.

(34) 110 100 90 80. RSSI. 70 60 50. 政治大. 200. 300. 500. Time. ‧ y. 100. sit er. al. n. 90. io. Ch. engchi. i n U. v. 50. 60. 70. 80. 600. 學. 110. 400. Nat. RSSI. 立. 100. ‧ 國. 0. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. Time. (圖 12). 99% 聯合信賴帶 B0.99 ( x ) ；其中曲線深度上面使用方程式(10)定義、下面使用方程式(11)定義 27.

(35) 由(圖 12)有以下發現。第一，這個最終的聯合信賴帶沒有特別平滑，尤其是在每個實驗收集的最後時間點因各自的信賴帶不同容易有尖銳點產生。此外，整個資料範圍在不同的時間點信賴帶有不同的寬度。這可能是因為(1)在限定的干擾因子水準數下，我們只做了 17 個實驗，無法解釋所有的變異。及(2)不同的剖面資料有不一致的相關結構。第二，這兩個分別由方程式(10)及(11)所定義的曲線深度所得的 99% 聯合信賴帶幾乎很難分辨。這可能是因為在先前的資料清潔時將某些潛在的異常值去除並放上合理的數值所造成。將兩個信賴帶疊在一起做比. 治政大方程式(10)所建立的聯合信賴帶小，這個跟我們之前所做的推論符合。立. 較(如(圖 13)所示)，發現利用方程式(11)所定義的曲線深度所得的聯合信賴帶比. ‧ 國. 110. ‧ y. sit. Ch. engchi. i n U. v. 50. 60. 70. 80. n. er. 100 90. io. RSSI. 學. Nat. al. 0. 100. 200. 400. 300. 500. 600. Time. (圖 13). 將方程式(10)跟(11)定義的曲線深度所建構出來的信賴帶做比較，實線為方程式(10)所建構出來的信賴帶、虛線為方程式(11). 28.

(36) 第三節測試檢定力 (Power) 為了評估本論文提出的操作方法的有效性，我們將測試 18 個腳踏車被偷的情況下的失控實驗。為了操作失控的實驗，將會有一個「指定的小偷」來偷這台腳踏車並記錄這段時間的無線訊號強度值。在此我們考慮 4 個設計因子： (1) 小偷的移動方向，分為 3 個水準。水準 1 為與腳踏車主人行進的方向相反，水準 2 為與腳踏車主人行進的方向呈 90 度夾角，水準 3 為與腳踏車主人行進的方向呈 45 度夾角。 (2) 小偷移動的速度，分為 2 個水準。水準 1 為較慢(以上坡來實驗)，水準 2. 政治大 (3) 偷走的方式，分為 2 立個水準。水準 1 為把腳踏車騎走，水準 2 為用車子把腳為較快(以下坡來實驗)。. ‧ 國. 學. 踏車載走。. (4) 小偷的身型，分為 3 個水準。水準 1 為瘦小身型，水準 2 為正常身型，水準. al. er. io. v. 18 個失控製程實驗選擇的干擾因子水準數. n. (表 2). sit. Nat. 18 個實驗對於這 4 個因子的水準隨機選取於(表 2)詳述。. y. ‧. 3 為高壯身型。. Ch. e n干擾因子 gchi. i n U. 實驗 (1) (2) (3) (4) 1. 1. 1. 1. 3. 2. 1. 1. 1. 1. 3. 1. 2. 1. 3. 4. 1. 2. 1. 1. 5. 2. 2. 1. 3. 6. 2. 1. 1. 1. 7. 2. 1. 1. 3. 8. 2. 2. 1. 1. 9. 2. 1. 2. 2. 10. 2. 2. 2. 2. 11. 1. 2. 2. 2. 29.

(37) 12. 1. 1. 2. 2. 13. 3. 2. 1. 1. 14. 3. 2. 1. 3. 15. 3. 1. 1. 3. 16. 3. 2. 1. 2. 17. 3. 2. 2. 2. 18. 3. 1. 2. 2. 在每一個實驗中，根據選定的因子水準數，小偷移動於一個特定的路徑，並停止於距離原本腳踏車停放的地方 16.05 公尺處。無線訊號強度值用先前 17 個穩定製程實驗相同的方法記錄起來。對觀測到的無線訊號強度值使用之前第二章. 政治大. 第二節所介紹的方法來建構 B-spline 模型。因此，我們可以得到 18 條 B-spline. 立. 學. (. P fî ( x ) ⊄ B0.99 ( x ) 第個實驗為失控實驗 i. ). (14). ‧. ‧ 國. 曲線 fˆˆ1 ( x ) ,..., f18 ( x ) 。這個信賴帶的檢定力定義為. 方程式(14)可簡單的藉由這 18 條 B-spline 曲線超出信賴帶 B0.99 ( x ) 的比例來做估. io. sit. y. Nat. 計。. n. al. er. 由於方程式(11)定義的曲線深度所建構出來的聯合信賴帶比方程式(10)所建. Ch. i n U. v. 構出來的聯合信賴帶窄。較窄的信賴帶比較容易偵測出異常，故這邊使用方程式. engchi. (11)定義的曲線深度所建構出來的聯合信賴帶來做失控製程實驗的偵測。(圖 14) 為利用方程式(11)所定義的曲線深度所建立的 99% 聯合信賴帶 B0.99 ( x ) ，前 6 個失控製程實驗建構 B-spline 模型的結果(其他實驗的結果請參閱附錄九)。由圖發現，除了實驗 9 以外，其他實驗很明顯的跳出信賴帶，這代表失控的實驗被偵測出來(即機器偵測到腳踏車被偷)。另一方面，實驗 9 所配適的 B-spline 曲線完全在信賴帶內，代表它被錯誤判斷成穩定製程(即腳踏車被偷了但機器沒有發現)。總結這 18 個圖形，只有實驗 9 沒有跳出信賴帶，故我們可以得到估計的檢定力為. 17 = 94.4% 。雖然實驗的個數沒有很大，但這個結果表示本文所提之操作方法 18 30.

(38) 50 70 90. RSSI. 用來偵測失控製程的剖面資料是蠻有效的。. 0. 100. 200. 300. 400. Time. 立. 500. 600. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. (圖 14). Ch. engchi. i n U. v. 利用方程式(11)所定義的曲線深度所建立的 99% 信賴帶，18 個失控製程下的實驗配適 B-spline 模型的結果. 31.

(39) 第四章結論與建議本論文提供了一個在較寬鬆的模型假設下監控無母數剖面資料的方法。這個操作方法主要包含五個步驟；第一步，一個簡單且與模型無關的方法叫做“兩端中間值法”被用來清潔每個剖面資料的離群值。第二步，B-spline 模型被用來建構剖面資料的模型。第三步，移動區塊拔靴法被用來產生剖面資料的新樣本。第四步，根據每一個拔靴法模擬出來的曲線計算所謂的曲線深度。第五步，將曲線深度較小的曲線刪除，最後將所有剖面資料得到的信賴帶結合在一起獲得聯合信賴帶。從 Babyfinder 這個無線感應器這個實例所得的結果顯示我們提出的方法在. 政治大本文以下提出一些問題以供後續未來的研究。第一，本論文只討論單一變量立. 監控失控剖面資料時有很高的效率。. ‧ 國. 學. 的情況，這個操作方法可以擴展成多個解釋變數來監控剖面資料。在多個解釋變數的情況下，信賴帶要整個重新做建立。由於解釋變數不只一個(即維度增加)，. ‧. 此信賴帶無法藉由圖形呈現出來。第二，在實務上任一無母數建模技巧皆可以套. sit. y. Nat. 用到我們操作方法的第二步驟。然而，在使用任何方法時都必須考量計算的成本，. al. er. io. 尤其是在剖面資料維度或觀測值數量很大時。第三，為了獲得一個更準確的信賴. v. n. 帶，干擾因子的水準數選擇(即(表 1)所示)可以考慮完全因子設計(full factorial. Ch. engchi. i n U. design)。但是，完全因子設計通常需要很大數目的實驗，也會導致較高的實驗成本。第四，我們可以利用聯合信賴帶發展另一個管制圖來對無母數剖面資料做即時監控。例如，我們可以考慮信賴帶的中心線當成 f ( x ) 的估計，用來偵測殘差的變動，然後再將殘差值的相關結構併入發展成一個管制圖。最後，考慮剖面資料間的共同變異(common-cause variation)在實務上有時候是必要的。但是，若要將剖面資料內(intra-profile)跟剖面資料間(inter-profile)的相關性同時考慮進去，我們可能需要考慮一個新的模型。. 32.

(40) 附錄. 60 100. 150. 200. Time. 250. 0. 90 400. 0. 100. io. 500. 300. 400. Time. 100. engchi. 80. v. 60. 60. i n U. 80. Ch. RSSI. 100. n. al. 400. er. Time. RSSI. 200. sit. 300. 300 Time. 50. 80 60. RSSI. 200. 200. ‧. 100. Nat. 0. 100. 學. ‧ 國. 立. 政治大. y. 50. 70. 0. RSSI. 80. RSSI. 90 70 50. RSSI. 附錄一. 0. 100. 200. 300. 400. 0. Time. 100. 200 Time. 33. 300. 400. 600.

(41) 100 60 300. 400. 400. 0. 100. y. sit er. 100. al. 60. 80. n. RSSI. 400. 50. RSSI. 100 80 60. ‧ 國. 300. Time. io 100. 300. Time. ‧. 200. Nat 0. 200. 學. 100. 100. 政治大. 立 0. 0. 90. 200. 70. 100. Time. RSSI. 80. RSSI. 90 70 50. RSSI. 0. 200. Ch 300. engchi 400. Time. 34. i n U. v. 200 Time. 300. 400.

(42) 60 50. 100. 150. 200. Time. RSSI. 60 70 80 90. ‧ 國. 300. 400. 0. Time. 500. 200. 300. 400. Time. 60. engchi. 400. sit er. 100. 300. RSSI. 70 80 90. 400. y. 200. Ch. 80. al. n. RSSI. io 100. 300 Time. 100. Nat 0. 200. ‧. 200. 100. 學. 100. 0. 政治大. 立 0. 250. 65 75 85 95. 0. RSSI. 80. RSSI. 70 50. RSSI. 90. 附錄二. i n U 0. v. 100. 200 Time. Time. 35. 300. 400. 600.

(43) 200. 300. 400. 60. RSSI. 90 75 60. ‧ 國. 300. 400. 0. 100. Time. y. sit er. n. 65 75 85 95. io. RSSI. Nat. al. 0. 100. 200. Ch 300. engchi 400. Time. 36. 300. 400. Time. ‧. 200. 200. 學. 100. 100. 政治大. 立 0. 0. 80. 100. Time. RSSI. 90 70. RSSI. 70 80 90 100. RSSI. 0. i n U. v. 200 Time. 300. 400.

(44) 2. 10. 4. 6. MPSE. 12. MPSE. 8. 附錄三. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. 40. Number of knots. 3.0. 政治大 2.0. MPSE. 3.5 2.0. ‧ 國. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. Number of knots. 40. 60. 80. 100. Number of knots. 80. er. sit 60. MPSE. engchi. 6 8. 6 4 2. Ch. 10. al. n. MPSE. 8. io 20. 40. y. Nat 0. 100. Number of knots. ‧. 0. 80. 學. MPSE. 5.0. 立. 60. 100. i n U 0. v. 20. 40. 60. 80. Number of knots. Number of knots. 37. 100.

(45) 14 6. 10. MPSE. 10 8 4. 6. MPSE. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. 40. 20. 10 14 18 6. MPSE. 政治大. 40. 60. 80. 100. 0. 20. Number of knots. sit er. al. 6 8 10. n. MPSE. io 20. 40. 40. y. Nat 0. 100. Number of knots. ‧. 0. ‧ 國. 4. 6. 8 10. 立. 80. 學. MPSE. Number of knots. 60. 60. Ch 80. engchi 100. Number of knots. 38. i n U. v. 60. 80. Number of knots. 100.

(46) 60 50. 100. 150. 200. Time. RSSI. 60 70 80 90. ‧ 國. 300. 400. 0. Time. 500. 200. 300. 400. Time. 60. engchi. 400. sit er. 100. 300. RSSI. 70 80 90. 400. y. 200. Ch. 80. al. n. RSSI. io 100. 300 Time. 100. Nat 0. 200. ‧. 200. 100. 學. 100. 0. 政治大. 立 0. 250. 65 75 85 95. 0. RSSI. 80. RSSI. 70 50. RSSI. 90. 附錄四. i n U 0. v. 100. 200 Time. Time. 39. 300. 400. 600.


(48) 8 6 2. 4. MPSE. 10 14 18 22. MPSE. 附錄五. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. 40. Number of knots. 5 2 3. ‧ 國. 4 2 3. 4. MPSE. 6. 政治大. 5. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. Number of knots. 40. 60. 80. 100. Number of knots. 80. er. sit 60. MPSE. engchi. 6 8. 6 4 2. Ch. 12. al. n. MPSE. 8. io 20. 40. y. Nat 0. 100. Number of knots. ‧. 0. 80. 學. MPSE. 6. 立. 60. 100. i n U 0. v. 20. 40. 60. 80. Number of knots. Number of knots. 41. 100.

(49) 14 6. 10. MPSE. 10 8 4. 6. MPSE. 0. 20. 40. 60. 80. 100. 0. 20. 40. 20. 10 14 18 6. MPSE. 政治大. 40. 60. 80. 100. 0. 20. Number of knots. sit er. al. 6 8. 12. n. MPSE. io 20. 40. 40. y. Nat 0. 100. Number of knots. ‧. 0. ‧ 國. 4. 6. 8 10. 立. 80. 學. MPSE. Number of knots. 60. 60. Ch 80. engchi 100. Number of knots. 42. i n U. v. 60. 80. Number of knots. 100.

(50) 60 50. 100. 150. 200. Time. RSSI. 60 70 80 90. ‧ 國. 300. 400. 0. Time. 500. 200. 300. 400. Time. 60. engchi. 400. sit er. 100. 300. RSSI. 70 80 90. 400. y. 200. Ch. 80. al. n. RSSI. io 100. 300 Time. 100. Nat 0. 200. ‧. 200. 100. 學. 100. 0. 政治大. 立 0. 250. 65 75 85 95. 0. RSSI. 80. RSSI. 70 50. RSSI. 90. 附錄六. i n U 0. v. 100. 200 Time. Time. 43. 300. 400. 600.


(52) 附錄七. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 45. i n U. v.

(53) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 46. i n U. v.

(54) 85 65. 100. 150. 200. Time. 300. 400. 0. 300. 100. 200. 300. 400. Time. engchi. 400. sit er. 95 105. RSSI. 70 80 90. 500. y. 200. Ch. 75 85. al. n. RSSI. 400. Time. Time. io 100. 300. 70. RSSI. 200. Nat 0. 200. ‧. ‧ 國. 90 80 70. 100. 學. 100. 0. 政治大. 立 0. 250. 90. 50. 80. 0. RSSI. 75. RSSI. 85 75 65. RSSI. 附錄八. i n U 0. v. 100. 200 Time. Time. 47. 300. 400. 600.

(55) 100 80 70 200. 300. 400. 90 400. 0. 100. y. sit er. 75 80 85 90. al. n. RSSI. 400. 60. 70. RSSI. 85 75 65. ‧ 國. 300. Time. io 100. 300. Time. ‧. 200. Nat 0. 200. 學. 100. 100. 政治大. 立 0. 0. 80. 100. Time. RSSI. 90. RSSI. 95 85 75. RSSI. 0. 200. Ch 300. engchi 400. Time. 48. i n U. v. 200 Time. 300. 400.

(56) 50 70 90. 100. 200. 300. 400. Time. 立. 500. 600. 政治大. 學 ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. 0. ‧ 國. RSSI. 附錄九. Ch. engchi. 49. i n U. v.

(57) 100. 200. 300. 400. Time. 立. 500. 600. 政治大. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. RSSI. 50 70 90 0. Ch. engchi. 50. i n U. v.

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