桁架式三明治複合材料構件的研製---總計畫

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

總計畫

計畫類別： 整合型計畫

計畫編號： NSC91-2212-E-009-019-

執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日

執行單位： 國立交通大學機械工程學系

計畫主持人： 金大仁

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 92 年 10 月 27 日

桁架式三明治複合材料構件的研製 -總計畫

計畫編號：NSC 91-2212-E-009-019

執行期間：91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日

主持人：金大仁

　 教授

國立交通大學機械工程學系

一、中文摘要

本計畫將應用理論和實驗的方法來研究

桁架式複合材料三明治板件的力學行為。在

本年的研究中，將以 Lagrange's 理論為基礎

配合 Ritz 方法來求撓性支承複合材料積層

板之動態行為，並與實驗結果比較。

關鍵字：複合材料、三明治板、結構力學、

振動、自然頻率。

Abstract

In this project, the mechanical behaviors

of truss-type laminated composite sandwich

plates are studied via both theoretical and

experimental approaches. The equations of the

flexibly supported laminated composite plates

are formulated on the basis of Lagrange's

theorem and the responses are approximated

using the Ritz method. Vibration experiments

are performed and the results used to validate

the proposed method.

Keywords：Composite materials, sandwich

plate, structural mechanics, vibration, natural

frequency.

二、緣由與目的

桁架式複合材料三明治板有重量輕、剛

性大和強度高的優點，並具有廣泛的用途。

本研究將用 Ritz 方法，選用三種合適的變形

函數，並根據 Lagrange's 理論推導撓性支承

複合材料板的控制方程式。另外，進行撓性

支承複合材料板的振動實驗，並比較實驗與

理論結果之差異。

三、複合材料板的振動分析

3.1 形狀函數

在本研究中利用 Ritz 方法，使用了三種

不同的形狀函數，分別是樑之撓度方程、三

角函數及契比希夫多項式。

(i)樑之撓度方程

由材料力學，樑受外力 P(x)作用下，其

撓度滿足以下微分方程式：

4 4

( )

( ), 0

d y x

EI

P x

x

L

dx

=

≤ ≤

(1)

其中 L 為樑之總長，EI 為撓曲剛度。

由樑之兩端四個邊界條件即可得到樑之

撓度方程。此形狀函數是唯一需要根據邊界

條件加以推導而得到，因此其收斂性最佳，

但邊界不連續時將不適用。

(ii)三角函數

此變形函數並非是完全之三角函數，其

分為兩部分，前四項是典型有限元素法中樑

元素之三次多項式：

3 1 2 3 2 3 3 2 3 4

1

3

1

( )

2

4

4

1

1

1

1

( )

8

8

8

8

1

3

1

( )

2

4

4

1

1

1

1

( )

8

8

8

8

φ ξ

ξ

ξ

φ ξ

ξ

ξ

ξ

φ ξ

ξ

ξ

φ ξ

ξ

ξ

ξ

= −

+

= −

−

+

= +

−

= − −

+

+

,

− ≤ ≤

1

ξ

1

(2)

之後才是三角函數：

(

)

( )

sin

sin

,

4

2

2

n

A

n

A

n

n

π

π

φ ξ

=

ξ

+



_

ξ

+



_

≥





(3)

其中

(

4)

2

n

A

=

π

n

−

。

(iii)

契比希夫多項式

契比希夫多項式為一傅立葉級數

( )

cos

, 1

1

n

T

ξ

=

n

θ

− ≤ ≤

ξ

(4)

其中

1

cos

θ

₌

−

ξ

_{，所以多項式可改寫為}

1 2 2 1 1

( )

( )

2

1

( )

2

( )

( )

n n n

T

T

T

T

T

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ ξ

ξ

+ −

=

=

+

=

−

M

(5)

3.2

板之振動分析

考慮一撓性支承複合材料板，其幾何示

意圖如圖

(1)

所示。振動板之周圍以彈性懸邊

支承，所以複合材料振動板之應變能可表示

為

{ }

[ ]

1

2

T P V

U

=

∫

ε

σ

dV

(6)

振動板之周圍以彈性懸邊加以支承，彈

性懸邊以橫向彈簧

* L

k

及旋轉彈簧

* R

k

加以模

擬，所以其所產生之應變能為

2 * * 2

2

2

L R B

k

k

w

U

w dl

dl

n

∂





=

+

_

_

∂





∫

∫

旄

(7)

為了考慮彈性懸邊之阻尼所以

* L

k

及

* R

k

以複

數形式表示，表示如下：

* *

(1

),

(1

)

L L L R R R

k

=

k

+

i

η

k

=

k

+

i

η

(8)

其中

η

_L

和

η

_R

分別是橫向彈簧及旋轉彈簧之

損失因子。

而振動板之動能為

2 0 0

2

a b

m

w

T

dydx

t

∂





=

_

_

∂





∫ ∫

(9)

其中

m

為振動板單位面積之質量。

由

Ritz

方法，以無因次表示，令振動板

之撓度方程為

{

} {

}

1 1

( , , )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

I J ij i j i j T ij i j

w

t

C t

C t

ξ η

ϕ ξ ψ η

ϕ ξ ψ η

= =

=

=

∑∑

(10)

其中

C 為未定係數，

_ij

ξ

、

η

為無因次參數，

i

ϕ

、

ψ

_j

為變形函數，可套用前面所介紹的三

種變形函數。根據

Lagrange’s

方程

0

ij ij

d

T

U

dt

C

C



_∂



_∂

−

=







_∂



_∂



&



(11)

其中

U

=

U

_P

+

U

_B

，將可得到典型之模態方程

式

[ ]

M C + K C = 0

{ }

&

&

[ ]{ } { }

(12)

假設

{

( )

} { }

i t ij ij

C t

=

C

e

λ

所以方程式

(12)

可改寫成常見之特徵方程

[ ] [ ]

(

−

λ

2

+

)

{ } { }

=

M

K

C

0 (13)

其中

4 2 0

/

ha

D

λ

=

ρ

ω

，因此即可得到振動板

之自然頻率

ω

_i

與模態

{ }

C 。

_i

四、振動試驗

在振動試驗上使用的設備包括頻譜分析

儀

(3560C)

、激振器、加速規，在實驗前先在

試片上繪出適當的激振位置及加速度量測位

置，將試片固定於夾具中，試驗簡圖如圖

(2)

所示。實驗進行時先由頻譜分析儀產生一掃

頻

(Sweep Sine)

訊號，送入激振器以激振試

片，並以加速規量測試片之振動訊號傳給頻

譜分析儀，分析儀利用快速傅立葉轉換求得

複合材料三明治層板的頻率域響應。

本研究中我們所使用之振動板為四層

[90 / 0 ]

o o _s

及

[30 / 30 ]

o

−

o _s

的

Carbon/Epoxy (C/E)

複合材料積層板來進行實驗。其中，部分模

態因激振器與加速度規置於該模態的節線

上，所以無法測出。若要量測全部的模態則

必須將激振器更換不同位置。

五、結果與討論

本研究以

Ritz

法來分析複合材料積層

板的自然頻率，並與實驗結果比較其差異。

表

(1)-(6)

為各種不同大小、不同疊層、不同懸

邊（但四邊懸邊接連續）之振動板自然頻率

的理論、實驗與有限元素分析軟體

ANSYS

比較。表

(7)-(10)

則為懸邊不連續之比較，懸

邊分佈則如圖

(3)

所示。

由表中我們可以發現理論分析與實驗

結果相比，最大誤差為

9.42%

，但多數之誤

差在

5%

以內，與有限元素分析軟體

ANSYS

之誤差甚至小於

1%

，所以可驗證此一分析模

型及方法，確可用於預測桁架式複合材料振

動板的頻譜響應。

圖

(1)

撓性支承複合材料板幾何示意圖

圖

(2)

試驗簡圖

圖

(3)

不連續懸邊懸邊分佈圖

表

(1)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [0 / 90 ] ;o o _s a= =b 10cm k; _L=6.5 10× N m/ ,η_L=0.1,k_R =η_R =0 分析(i) 63.296 81.405 81.448 143.758 270.297 377.199 分析(ii) 63.299 81.413 81.453 144.016 270.298 377.511 分析(iii) 63.297 81.408 81.453 143.985 270.296 377.411 ANSYS 63.295 84.402 81.445 143.887 270.266 377.176 實驗 (誤差) 63.44 (0.23%) 84.38 (3.66%) 143.1 (0.55%) 273.8 (1.31%) 389.1 (3.16%)

表

(2)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [90 / 0 ] ;o o _s a=7cm b, =14 cm k; _L =4.4 10× N m/ ,η_L=0.1,k_R =η_R =0 分析(i) 63.211 99.301 118.235 188.520 304.432 417.520 分析(ii) 75.201 99.310 118.262 188.864 304.440 417.589 分析(iii) 75.198 99.306 118.258 188.827 304.439 417.488 ANSYS 75.200 99.297 118.222 188.689 304.368 417.145 實驗 (誤差) 72.5 (3.59%) 100.3 (1.01%) 128.1 (8.23%) 206.6 (9.43%) 323.8 (6.33%)

表

(3)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [30 / 30 ] ;o − o _s a= =b 10cm k; _L =6.5 10× N m/ ,η_L=0.1;k_R =η_R =0 分析(i) 63.093 80.733 81.852 192.850 225.119 427.889 分析(ii) 63.098 80.741 81.854 192.902 225.211 428.263 分析(iii) 63.095 80.732 81.852 192.839 225.154 427.847 ANSYS 63.092 80.723 81.843 192.740 225.063 427.436 實驗 (誤差) 63.44 (0.55%) 84.38 (4.53%) 189.2 (1.84%) 212.8 (5.45%) 430.3 (0.67%)

表

(4)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [30 / 30 ] ;o − o _s a=7cm b, =14cm k; _L=4.4 10× N m/ ,η_L=0.1;k_R =η_R =0 分析(i) 71.233 97.010 118.651 145.232 245.300 278.800 分析(ii) 71.328 97.032 118.661 145.260 245.508 279.015 分析(iii) 71.324 97.008 118.660 145.238 245.406 278.961 ANSYS 71.325 97.002 118.621 145.196 245.140. 278.782 實驗 (誤差) 68.32 (4.21%) 95.94 (1.09%) 120.3 (1.42%) 135.8 (6.47%) 240.7 (1.81%)

表

(5)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 5 2 [0 / 90 ] ;o o _s a= =b 10cm k; _L=1.11 10× N m/ ,η_L =0.05,k_R =η_R =0 分析(i) 236.500 422.618 471.393 595.045 657.470 800.397 分析(ii) 236.374 421.461 471.361 594.315 654.988 799.995 分析(iii) 236.437 421.876 471.542 594.724 655.836 800.925 ANSYS 236.373 421.495 471.326 594.294 654.867 799.687 實驗 (誤差) 235.9 (0.20%) 417.2 (1.02%) 462.5 (1.87%) 594.1 (0.03%) 653.1 (0.27%)

表

(6)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 5 2 [0 / 90 ] ;o o _s a=7cm b, =14cm k; _L=0.95 10× N m/ ,η_L =0.05,k_R =η_R =0 分析(i) 235.62 382.472 495.290 584.275 585.713 761.621 分析(ii) 235.451 382.621 494.807 584.443 588.491 761.635 分析(iii) 235.384 382.384 494.552 584.109 585.132 761.096 ANSYS 235.389 382.399 494.512 584.018 585.058 760.795 實驗 (誤差) 236.6 (0.51%) 373.3 (2.38%) 494.1 (0.28%) 588.3 (0.74%) 774.1 (1.75%)

表

(7)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [0 / 90 ] ;o o _s a= =b 10cm k; _L=6.5 10× N m/ ,η_L=0.1,k_R =η_R =0 分析(ii) 63.299 81.413 81.453 144.016 270.298 377.511 分析(iii) 63.297 81.408 81.453 143.985 270.296 377.411 ANSYS 63.295 84.402 81.445 143.887 270.266 377.176 實驗 (誤差) 63.44 (0.23%) 84.38 (3.66%) 143.1 (0.55%) 273.8 (1.31%) 389.1 (3.16%)

表

(8)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [90 / 0 ] ;o o _s a=7cm b, =14 cm k; _L =6.5 10× N m/ ,η_L =0.1,k_R =η_R =0 分析(ii) 67.215 76.120 95.821 149.487 299.725 406.610 分析(iii) 67.213 76.116 95.820 149.457 299.724 406.517 ANSYS 67.211 76.113 95.806 149.343 299.704 406.300 實驗 (誤差) 67.50 (0.43%) 71.5 (6.06%) 90.94 (5.08%) 147.5 (1.23%) 300.3 (0.20%)

表

(9)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [30 / 30 ] ;o − o _s a= =b 10cm k; _L =6.5 10× N m/ ,η_L=0.1;k_R =η_R =0 分析(ii) 63.098 80.741 81.854 192.902 225.211 428.263 分析(iii) 63.095 80.732 81.852 192.839 225.154 427.847 ANSYS 63.092 80.723 81.843 192.740 225.063 427.436 實驗 (誤差) 63.44 (0.55%) 84.38 (4.53%) 189.2 (1.84%) 212.8 (5.45%) 430.3 (0.67%)

表

(10)

模態 自然頻率 1 2 3 4 5 6 3 2 [30 / 30 ] ;o − o _s a=7cm b, =14cm k; _L=4.4 10× N m/ ,η_L=0.1;k_R =η_R =0 分析(ii) 55.814 61.757 79.743 121.533 217.553 269.063 分析(iii) 55.811 61.745 79.745 121.524 217.655 268.992 ANSYS 55.688 61.609 79.561 121.249 216.955 268.300 實驗 (誤差) 55.31 (0.68%) 60.0 (2.61%) 82.5 (3.69%) 121.9 (0.54%) 217.2 (0.11%)