2008 中學高級卷 中文試題

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高級卷（11—12 年級）

考試時間：75 分鐘

注意事項

一般規定

1. 未獲監考老師許可之前不可翻開此測驗題本。 2. 各種通訊器材一律不得攜入考場，不准使用電子計算器、計算尺、對數表、數學公式等 計算器具。作答時可使用直尺與圓規，以及兩面全空白的草稿紙。 3. 題目所提供之圖形只是示意圖，不一定精準。 4. 最前 25 題為選擇題，每題有五個選項。最後 5 題要求填入的答案為 0 至 999 的正整數。 題目一般而言是依照越來越難的順序安排，對於錯誤的答案不會倒扣分數。 5. 本活動是數學競賽而不同於學校測驗，別期望每道題目都會作。考生只與同地區同年級 的其他考生評比，因此不同年級的考生作答相同的試卷將不作評比。 6. 請依照監考老師指示，謹慎地在答案卡上填寫您的基本資料。若因填寫錯誤或不詳所造 成之後果由學生自行負責。 7. 進入試場後，須等待監考老師宣布開始作答後，才可以打開題本進行答題。

作答須知

1. 限用 B 或 2B 鉛筆填寫答案。 2. 請用 B 或 2B 鉛筆在答案卡上將您認為正確選項的圓圈塗滿（不是在題本上）。 3. 您的答案卡將由電腦閱卷，為避免電腦誤判，請不要在答案卡上其他任何地方塗劃任何 記號。填寫答案卡時，若需要修改，可使用軟性橡皮小心擦拭，並確定答案卡上無殘留 痕跡。

特別約定

─────────────────────────────────────────────────

高級卷

(11-12 年級)

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1-10 題，每題 3 分

1. 算式 8002－2008 等於 （A）200 （B）8 （C）6006 （D）1060 （E）5994 ───────────────────────────────────────────────── 2. 分數 1 20與 2 10之差等於 （A）0 （B） 1 10 （C） 3 5 （D） 3 10 （E） 3 20 ───────────────────────────────────────────────── 3. 在下圖中，x 之值等於 （A）100 （B）110 （C）120 （D）130 （E）140 ───────────────────────────────────────────────── 4. 算式200 8 200 8 × ÷ 等於 （A）1 （B）8 （C）16 （D）64 （E）200 ───────────────────────────────────────────────── 5. 代數式x2 −4x+ 能夠得到的極小值是 3 （A） 1− （B） 3− （C）1 （D）3 （E）2 ───────────────────────────────────────────────── 6. 將 3 元分給兩個人，其中一人分得的錢比另一人多 0.5 元，請問較大份的錢 與較小份的錢之比是什麼？ （A）6：1 （B）7：5 （C）4：3 （D）5：3 （E）7：4 ───────────────────────────────────────────────── 7. 將10002008的數值寫下，請問它有多少位數？ （A）2009 （B）6024 （C）6025 （D）8032 （E）2012 ───────────────────────────────────────────────── 8. 以正三角形的一邊向外作一半圓，如圖所示，則半圓 的面積與正三角形的面積之比等於 （A）1：1 （B）

π

： 2 3 （C）

π

： 3 （D） 3 ：

π

（E）3：

π

─────────────────────────────────────────────────

────────────────────── S 2 ─────────────────────

9. 已知 cosx=0.5且 0°＜x＜90°，下列哪一項的值最大？ （A） 2

cos x （B） cos x （C）0.75 （D）sin x （E） tan x

───────────────────────────────────────────────── 10. 有一個魚缸的底部為 100 cm × 200 cm，它的高度為 100 cm，現蓄有 50 cm 深的水。將一個 80 cm × 100 cm × 60 cm 的實心長方體金屬全部沉入魚缸 內，使得它的 80 cm × 100 cm 這一個表面貼緊魚缸的底部。 請問此時水面距離這個金屬長方體的頂部為多少 cm？ （A）12 （B）14 （C）16 （D）18 （E）20 ─────────────────────────────────────────────────

11-20 題，每題 4 分

11. 下列哪一項的值最大？ （A） 500 2 （B） 400 3 （C） 300 4 （D） 200 5 （E） 100 6 ───────────────────────────────────────────────── 12. 投擲正常的骰子 100 次，則擲出點數的總和將趨近於 （A）200 （B）250 （C）300 （D）350 （E）400 ───────────────────────────────────────────────── 13. 請問乘以 2008 後會成為一個完全平方數的最小正整數是什麼？ （A）2 （B）4 （C）251 （D）502 （E）2008 ───────────────────────────────────────────────── 14. 一個十字形是由五個邊長為 1 單位的正方形所構成。分別沿連接 X、Y 兩點 的線段及連接 Z、T 兩點的線段（∠ZTX 是直角）切開。將所得的三片重拼 為一個矩形，如圖所示。 請問這個矩形的長與寬之比為何？ （A）3：1 （B） 10 ：1 （C）2：1 （D） 2 3 ：1 （E）5：2

────────────────────── S 3 ───────────────────── 15. 一個函數對於(p, q, r)如果滿足 ( )f p = 、 ( )q f q = 、 ( )r f r = ，則稱此函數p 為連環套函數。 已知函數 2 ( ) f x =ax +bx+ 對於(1, 2, 3)是個連環套函數，請問 c 之值是什c 麼？ （A） 2− （B）0 （C）3 （D）9 （E）14 ───────────────────────────────────────────────── 16. 有二個圓錐狀的陀螺，它們都具有垂直 的中心軸。這兩個陀螺相接觸的直線與 小陀螺的中心軸之夾角為 30°，與大陀 螺的中心軸之夾角為 60°。已知大陀螺 每秒轉動 1 圈，陀螺之間都沒有滑動， 請問小陀螺每秒轉動多少圈？ （A）1 2 （B）1 （C） 2 （D） 3 （E）2 ───────────────────────────────────────────────── 17. 已知集合 X＝{1、2、3、4、5、6}，請問 X 的子集合中有多少個子集合至少 有一個元素且不包含二個連續的整數？ （A）16 （B）18 （C）20 （D）21 （E）24 ───────────────────────────────────────────────── 18. 某農莊有兩個蓄水池，從農舍屋頂收集來的雨水蓄入一個容量為100公升的 池子內，從穀倉屋頂收集來的雨水則蓄入一個容量為 25 公升的池子內。農 舍屋頂的集雨區域面積為200 m2，而穀倉屋頂的集雨區域面積為80 m2。目 前在農舍的蓄水池內已經有35 公升的水，在穀倉的蓄水池內已經有13公升 的水。氣象預報即將會下雨，為了使蓄水池能收集盡可能多的雨水，則應該 （A）將穀倉蓄水池內的水全部注入農舍蓄水池內； （B）從農舍蓄水池內抽水將穀倉蓄水池注滿； （C）從農舍蓄水池內抽取10 公升的水注入穀倉蓄水池內； （D）從穀倉蓄水池內抽取10 公升的水注入農舍蓄水池內； （E）什麼事都不用作。。 ───────────────────────────────────────────────── 19. 有一個實數列{u₁、u₂、…、u }_n 的定義如下： 1 2 u = 、u₂ =

π

、而對於n≥3時，u_n =u_n−1−u_n−2。 請問u₂₀₀₈等於什麼？ （A）− 2 （B）2008( 2−2008 )

π

（C）1003 2 1004−

π

（D）

π

（E） 2 ─────────────────────────────────────────────────

────────────────────── S 4 ───────────────────── 20. 右圖中，線段 RU之長度等於線段ST 之長度。請問 △QRU的面積與△QST 的面積之比為何？ （A） 3：1 （B）2 ：1 （C） 6：1 （D） 3：2 （E） 6：2 ─────────────────────────────────────────────────

21-25 題，每題 5 分

21. 點 P、Q、R、S、T 為一個正多邊形上連續的頂點。將它們的各邊延長，若 直線 PQ 和直線TS 相交於點 U 且∠QUS＝160°，請問這個正多邊形共有多 少個邊？ （A）36 （B）42 （C）48 （D）52 （E）54 ───────────────────────────────────────────────── 22. 請問在 1、2、3、4、…、2008 中，有多少個數具有除了 1 以外的立方數之 因數？ （A）346 （B）336 （C）347 （D）251 （E）393 ───────────────────────────────────────────────── 23. 數828與313都是三位數的迴文數，且828－313＝515也是一個迴文數。請 問有多少個三位數迴文數對(a、b)，其中 a＞b且 a－b也是一個三位數的迴 文數？ （A）1972 （B）1980 （C）1988 （D）1996 （E）2008 ───────────────────────────────────────────────── 24. 連接一個正立方體各面的中心點，構成一個正八面體，再連接這個正八面體 各面的中心點構成一個小正立方體。請問這個小正立方體與原正立方體的邊 長之比為何？ （A）1： 2 （B）1： 3 （C）1：2 （D）1：3 （E）1：4 ───────────────────────────────────────────────── 25. 在右圖中，所有的線段都平行於邊長為1單位 的正三角形PQR的某一條邊。欲使所分割出之 十個區域中的最小面積最大，請問PX之長度 應為多少單位？ （A）1 3 （B） 4 2 14 − （C）1 4 （D）1 5 （E） 1 10

問題

26～30 的答案為 0～999 之間的整數，

請將答案填在答案卡上對應的位置。

第

26 題佔 6 分，第 27 題佔 7 分，第 28 題佔 8 分，

第

29 題佔 9 分，第 30 題佔 10 分。

26. 在一個正立方體中，由所有頂點向各稜邊的中點作線段。請問在這個正立方 體的內部有多少個點是兩條或兩條以上這些線段的交點？ ───────────────────────────────────────────────── 27. 若一個數列的首項與末項都是 1，且任意相鄰的兩項之差至多等於 1，則我 們稱這個數列的和是一個“好數”。例如：1+2+3+4+3+2+3+3+3+2+3+3+2+1 之和是一個“好數”。將好數 2008 寫成一個數列之和，若不使用一些沒有 必要的項，請問此數列至多能有多少項？ ───────────────────────────────────────────────── 28. 正整數x、y滿足 2 2 2 2 3x −8y +3x y =2008 請問xy之值是什麼？ ───────────────────────────────────────────────── 29. 點 O 為在正三角形 PQR 內部之一點，線段 OL、OM、ON分別垂直於邊PQ、RQ、RP。 已知OL：OM：ON＝1：2：3且 LONP a PQR =b 四邊形 的面積 三角形 的面積 ，其中a、b為互質的 正整數。請問a＋b之值是什麼？ ───────────────────────────────────────────────── 30. 已知a、b為正實數，請問 2 2 2 2 49+a −7 2a + a +b − 2ab+ 50+b −10b 之極小值是什麼 ───────────────────────────────────────────────── ＊＊＊