臨界尺寸之高解析度光學量測

國

立

交

通

大

學

光電工程研究所

博

士

論

文

臨界尺寸之高解析度光學量測

High resolution optical metrology for

critical dimension measurement

研 究 生：徐得銘

指導教授：陸懋宏 教授

臨界尺寸之高解析度光學量測

High resolution optical metrology for

critical dimension measurement

研 究 生：徐得銘 Student：Deh-Ming Shyu

指導教授：陸懋宏 Advisor：Mao-Hong Lu

國 立 交 通 大 學

光電工程研究所

博 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Photonics & Institute of Electro-Optical Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Doctor

in

Electro-Optical Engineering

June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

臨界尺寸之高解析度光學量測

學 生 : 徐得銘 指 導 教 授 : 陸懋宏

國立交通大學光電工程研究所

摘要

臨界尺寸是在量測中所必須分辨的最小尺寸。在各種量測領域中，由於技術的發 展與產品的更新，臨界尺寸也愈來愈微小。在半導體元件的製程中，臨界尺寸量 測技術的發展有助於提高製作的良率。對於半導體元件的量測，主要有線寬量 測，疊對量測，膜厚量測，材料分析，及粗糙度分析等，臨界尺寸量測是本論文 研究的方向。 對於線寬的量測是採用跨焦取像量測法。在此研究中，結合了邊界元素法及物理 光學追跡法來模擬有限光柵經顯微系統在光偵測器上的成像情況。當連續移動有 限光柵對顯微物鏡的物距時，可以得到數幅含有光柵資訊的影像，藉由理論及量 測的分析比對，可以得知有限光柵的幾何結構，此方法對於線寬的量測具有奈米 等級的橫向解析度。 對於半導體元件的疊對量測，我們提出一干涉式散射儀架構來量測疊對光柵上層 與下層之間的位移，藉由疊對光柵的量測可以得知在半導體製程中層與層之間的 位移。在此研究中，首先建立所需要的演算法，在此使用修正過的嚴格耦合波演 算架構，以符合所建立的量測系統，接著設計及製作一疊對光柵，並使用所架設 的量測系統對此結構作一量測及分析量測的結構以得到層與層之間的位移。

High Resolution Optical Metrology for Critical

Dimension Measurement

Student : Deh-Ming Shyu Advisor : Mao-Hong Lu

Department of Photonics &

Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao-Tung University

ABSTRACT

Critical dimension (CD) is the smallest size which must be resolved in specific measurement. The CD becomes smaller and smaller due to developments of technology and innovations of products. In the fabrication of integrated circuit, reliable CD measurement is the key procedure to improve the yields. The CD measurements include line-width, overlay, thickness, material, and roughness, etc. In this thesis we focus on the high resolution optical metrology for CD measurement.

For the measurement of line-width, we use the through-focus focus-metric method to measure the line-width. In this research, we combine the boundary element method and physical optical propagation to simulate the images of a finite grating. The images with different object distance are obtained when moving the finite grating along the optical axis. These images contain the information of the geometric structure of grating. By measuring and analyzing the finite grating, we can obtain the geometric structure of grating. The results show that the through-focus focus-metric method is sensitive for recognizing the line-width and

nano-scale resolution could be achieved.

For the overlay measurement, we proposed a new method, interfero- scatterometry, to measure the overlaid grating. By measuring the overlaid grating, the overlay between different layers in the integrated circuit can be obtained. First, we modify the rigorous coupled wave algorithm for our measurement system, and then design and fabricate an overlaid grating. After measuring and analyzing the grating by the interfero-scatterometer, we obtain the overlay between different layers.

誌謝

在五年的博士生活中，雖然遇到許多的困難，但經由不斷的努力，及

辛苦耕耘，終於完成了此篇論文，在歡心之餘也在此由衷的感謝一路

走來曾幫助我的人。

本論文得以完成要感謝的人很多，首先是指導老師陸懋宏教授，雖然

在我博士班三年級的時候退休，但依然在光學領域的研究上諄諄教誨

與指導，使我在此方面的學習有更深入的見解與廣闊的視野。在論文

完成的過程中，周圍學長的經驗指點，同學之間的相互幫助，使論文

完成的更加順利，在此感謝施至柔學長、林暉雄學長、柯俊宏學長、

及常常跑來實驗室串門子的王夢偉學長的幫助。

在實驗室之外，特別要感謝工研院量測中心顯微檢測技術發展部的半

導體疊對量測計畫歷年來的成員，由於彼此間的合作，讓我找到了博

士論文的研究方向，也使得我從低潮中從新站起來，在此要特別感謝

疊對量測的計畫主持人顧逸霞博士在研究上的協助，柯俊宏學長提供

量測上所需要的測試元件，及劉安順同事在跨焦取像分析方面的幫

助，沒有他們熱心的幫助，則此篇論文將難以完成。

最後要感謝的是我的姊妹，親朋好友，及在天國的父母親，在我求學

階段對我的關心與默默的支持，讓我的學生生涯中能穩健地踏出每一

步，希望他們都能擁有健康及喜樂。

目錄

中文摘要 Ⅰ 英文摘要 Ⅱ 誌謝 Ⅳ 目錄 Ⅴ 圖目錄 Ⅶ 表目錄 Ⅹ 符號表 ⅩⅠ 第一章 前言 1 1.1 臨界尺寸量測 1 1.2 疊對量測 2 1.3 資料庫比對 4 第二章 嚴格耦合波向量繞射理論 6 2.1 入射平面平行光柵法線平面之 TE 極化態入射 6 2.2 入射平面平行光柵法線平面之 TM 極化態入射 12 2.3 入射平面垂直光柵法線平面之 TE 極化態入射 14 2.4 入射平面垂直光柵法線平面之 TM 極化態入射 21 2.5 光柵之折射率表示式 22 2.6 角度式散射儀之模擬 25 2.7 干涉式散射儀之模擬 28

第三章 邊界元素法 32 3.1 無限空間之格林函數 32 3.2 格林函數之輻射條件 34 3.3 二維邊界元素法 38 3.3.1 二維二區邊界積分方程 38 3.3.2 二維二區邊界元素法 39 3.3.3 奇異點積分問題 46 3.3.4 二維多區邊界元素法 47 3.3.5 矩陣計算 52 3.4 光柵成像模擬 55 第四章 干涉式散射儀對疊對光柵之量測與分析 59 4.1 系統架構與模擬 59 4.2 最住化參數 62 4.3 量測結果 65 4.4 結論 70 第五章 跨焦取像量測分析 71 5.1 結合邊界元素法及物理光學追跡之成像計算 71 5.2 實驗系統架構及量測 77 5.3 分析結果 82 5.4 結論 86 參考文獻 87

圖目錄

圖 2.1 二階光柵的基本幾何架構圖。 6 圖 2.2 表面蝕刻型的光柵可分為 L 層。 9 圖 2.3 二階光柵的基本幾何架構圖。 14 圖 2.4 單層二階光柵。 23 圖 2.5 光柵折射率分佈。 23 圖 2.6 單層二階光柵(偏移 xΔ )。 24 圖 2.7 光柵折射率分佈(位移0.2μ )。 m 24 圖 2.8 角度散射儀及其光學架構(a)及疊對光柵之幾何結構(b)。 26 圖 2.9 TE(a)及 TM(b)模態下，不同的入射角對零級之反射效率曲線。 27 圖 2.10 干涉式散射儀之光學架構。 28 圖 2.11 干涉式散射儀之計算流程圖。 30 圖 2.12 干涉式散射儀數值模擬結果。 31 圖 3.1 外域問題。 36 圖 3.2 區域分割示意圖。 38 圖 3.3 線性元素。 39 圖 3.4 元素(j)上的座標。 40 圖 3.5 觀察點 i 在邊界上時的處理。 46 圖 3.6 觀察點 i 與邊界Γ₁的距離為ρ 。 ₀ 47 圖 3.7 區域分割示意圖。 48 圖 3.8 區域分割示意圖。 51

圖 3.9 光柵成像模擬的幾何結構。 55 圖 3.10 五個週期的有限光柵結構。 55 圖 3.11 光柵的反射場強度分佈(TE 模態)。 57 圖 3.12 光柵成像附近的光場強度分佈(X-Y 平面)。 57 圖 4.1 干涉式散射儀之光學架構。 59 圖 4.2 疊對光柵之幾何結構。 60 圖 4.3 在週期800nm時的繞射效率對相位差之特徵曲線， x 軸為相位差， y 軸為 繞射效率。 61 圖 4.4 在大範圍取樣下，最佳化參數模擬結果，光柵週期模擬範圍從1000nm至 nm 1800 間 隔10nm，L S變 化 從5 5至8 2 。SOM_10nm 的 峰 值 從 週 期 nm 1160 (a)移至週期1260nm(b)最後再回到週期1040nm(d)。SOM10nm最 大值位於週期1150nm。 62 圖 4.5 在小範圍取樣下，最佳化參數模擬結果，光柵週期模擬範圍從1000nm至 nm 1300 間隔5nm，L S變化從60 40至80 20。位於 B 點為SOM10nm的最 大值，其值為1.8287%(L S為64 36，週期為1215nm)。A 點為在大範圍 取樣下所找到的最佳值。 63 圖 4.6 干涉式散射儀與角度式散射儀的疊對誤差σ對繞射效率差 DDE 之關係曲 線。 64 圖 4.7 干涉式散射儀之光學實驗架構。 66 圖 4.8 疊對光柵俯視圖。 67 圖 4.9 量測數據與比對結果。 68 圖 4.10 疊對光柵側視圖。 69 圖 5.1 跨焦取像量測系統(a)及光柵結構(b)。 71

圖 5.3 入射光場強度分佈。 72 圖 5.4 反射場在邊界Γ₁的振幅(a)及相位(b)分佈。 73 圖 5.5 物理光學追跡示意圖。 75 圖 5.6 波前在邊界Γ₁(a)及 CCD(b)上的強度分佈。 76 圖 5.7 跨焦取像顯微物鏡之光學架構。 78 圖 5.8 白光光源光譜(a)及白光經濾光片之後的光譜(b)。 79 圖 5.9 光柵分別在工作距離為12.9955mm(a)，13.0000mm (b)，13.0020mm(c)，即13.0045mm(d)時的成像情況。 81 圖 5.10 TEM 量測結果。(a)右邊的線結構，(b)為左邊的線結構。 82 圖 5.11 光柵在 CCD 上的強度分佈。480nm 至 550nm 之單波長強度分佈及頻寬合 成之強度分佈(b)。 83 圖 5.12 光柵離焦為0μ (a)，m 2.5μ (b)，及m 5.0μ (c)時在 CCD 上的強度分佈。 m 84 圖 5.13 跨焦取像之能量梯度分佈模擬結果。 85 圖 5.14 跨焦取像之能量梯度量測與比對結果。 85

表目錄

表 3.1 光柵材料及折射率。 56 表 3.2 柱形透鏡參數。 56 表 4.1 光柵之結構參數及折射率。 60 表 4.2 相位差及最大效率差對間隔50nm的疊對位移之計算。 61 表 4.3 對於干涉式散射儀與角度式散射儀之疊對光柵最佳化參數。 64 表 4.4 疊對光柵厚度量測結果。 67 表 5.1 材料折射率。 73 表 5.2 50 倍顯微物鏡参數。 74 表 5.3 5 倍顯微物鏡参數。 75

符號表

1. ε ₀ : 真空中的介電係數。 2. ε : 介質中的介電係數。 3. μ ₀ : 真空中的導磁係數。 4. μ : 介質中的導磁係數。 5. ν : 介質中的波速。 6. K : 光柵向量。 7. Λ : 光柵週期。

第一章 前言

臨界尺寸是根據在量測中必須分辨的最小尺寸。這在許多技術領域中是一個十分 重 要 的 課 題 。 隨 著 半 導 體 製 程 技 術 的 快 速 發 展 ， 半 導 體 元 件 的 積 集 度 (integration)已顯著提高。近年來線寬突破100nm已完成65nm線寬的半導體元 件 的 量 產 ， 並 正 在 積 極 的 投 入45nm線 寬 技 術 的 開 發 。 在 此 製 程 中 的 微 影 (photolithography)是關鍵過程，此過程中閘極線寬的量測，及層間的疊對量 測，即臨界尺寸(critical dimension)的量測，已成為急需解決的任務。當閘極 線寬變動時將會直接影響臨界電壓(threshold voltage)的特性，而層間的重疊 定位則會影響層與層之間的聯結，這些都會影響元件的演示，良率及可靠性。

1.1 線寬的量測

首先討論閘極線寬的量測，傳統光學影像式的線寬量測機台由於受限光學繞射極 限[1,2] 與本身量測精確度等問題將不易達到量測上的要求。目前對於線寬的量測 以 CD-SEM[3-7]

及 AFM(Atomic Force Microscopy)[8-10]

量測為主流。AFM 量測原理是 利用針尖原子與樣品表面原子間的微弱作用力來作為回饋，以維持針尖能在樣品 上方以固定高度掃描，從而得知樣品表面的高低起伏。其橫向解析度約為 2~10nm，而縱向解析度約為 0.1nm。其缺點是掃瞄速度慢不利於線上(in-line) 檢測。另一檢測線寬的方法為掃描式電子顯微鏡(Scanning Electron Microscopy, SEM)，掃描式電子顯微鏡將欲觀察的樣品放在底部，電子束與樣品作用產生二次 電子的激發，再經收集放大。雖然加速電壓與解析度沒有穿透式來的高，但樣品 更換與製作比較方便。其橫向解析度約為 5nm，縱向解析度約為 10nm。DUV 光阻 最讓人詬病的特性就是當曝光在 SEM 的電子束下時，它們會傾向於收縮。這種「線 寬收縮」效應會影響到線寬的量測。所以要判斷所得到的結果是因為製程上的控 制問題，還是出自於機台特性往往很難分析。其它發展中量測線寬的方法如小角 度 X 光散射儀(small angle X-ray scattering)[11-13]

。傳統上，利用 X 光的繞射 來了解物質結構最成功的應用，為週期性的物質結構，如單晶。而對於介於週期 性與非晶體之間的結構，如高分子聚合物，液晶，生物膜/蛋白質/DNA 或是半導

徵。其原理如下，物質與 X 光的交互作用(電磁交互作用)，主要是光電吸收和來 自於原子束縛電子的彈性散射。含大原子序原子的物質，因內含的束縛電子愈 多，其對光的散射也就越強。但若整個物質內的電子分佈是均勻無序的(例如 水)，那麼物質對 X 光的散射，也相對的沒有方向性的偏好，而在空間中形成均 勻散射。當物質內部的電子密度開始有局部性的規則性出現時，例如，區域性的 小驟集，物資對 X 光的散射模式，也會因這些局部的電子密度變化，出現相對的 散射分佈特徵。而分析 X 光散射強度隨散射方向的變化特性，可以獲的物質內部 的電子密度分佈的資訊，即物質的結構。線寬可以達到奈米級的解析度，其缺點 為需要數小時的量測時間來收集所需要的 X 光散射能量。

跨焦取像量測法(through-focus focus-metric method)[14-18]

可用於量測閘極線 寬。一般常見的光學影像式量測機台的光學成像原理是藉由移動物體的物距，判 斷影像是否清晰。物體在最佳成像位置上時，代表對焦完成，於影像感測器上將 呈現最佳聚焦(in-focus)影像。若將物體相對於最佳成像位置沿光軸改變物距 時，此物體的像距也隨之移動，在固定的影像感測器上所形成的影像將呈現離焦 (out-focus)影像。利用此影像感測器所擷取的聚焦和離焦影像，藉由分析這些 影像的資訊，可以獲得待測物體結構的参數，此方法稱為跨焦取像量測法。 目前對於跨焦取像量測法的理論分析是採用嚴格耦合波向量繞射理論(rigorous coupled wave algorithm)[19-30]

。為了滿足嚴格耦合波的邊界條件，光柵的週期 數目必須足夠多，然而在實際的應用中光柵的數目可能不足以滿足嚴格耦合波的 使用條件，這將造成比對上的誤差。為了解決此問題我們使用了邊界元素法 (boundary element method)[31-34]

，邊界元素法可以藉由邊界的設定去計算有限 週期數目的光柵。由於邊界元素法的特性，在計算速度上會比有限元素法(FEM)[35] 及有限差分時域法(FDTD)[36,37] 來的快。對跨焦取像量測法的模擬，分為兩部份， 一為近場計算，另一為遠場計算。在近場計算方面，我們使用邊界元素法來計算 入射光經由光柵反射的光場分佈，由近場所計算的結果，藉由物理光學追跡把近 場的光場經由顯微鏡成像在像平面上。在第三章中探討邊界元素法的理論架構， 在第五章利用邊界元素法及物理光學追跡來模擬分析跨焦取像量測，及分析實驗 量測結果。

1.2 疊對量測

元件的疊對(overlay)定義為底層中心線與上層(光阻層)中心線間的平面距離。 疊對的容差和疊對量測的容差隨著半導體製程的不斷升級而逐漸減小。對於一個 線寬2μ CMOS 製程要求總的元件疊對的容差約 mm 1μ ，其疊對量測誤差的容差為 100nm。如果線寬壓縮到90nm，其疊對的容差將減少至45nm，疊對量測誤差的 容差將小於4.5nm。 目前所採用的疊對量測技術是所謂的影像法[38] 。在測量過程中的標靶(target) 為條碼套條碼(bar in bar)或方框套方框(box-in-box)，這裡相互套置的條碼或 方框分別位於製程中的上層(光阻層)和下層(晶片)。在量測過程中對標靶照明和 顯微放大，並對顯微像進行分析。對於一自動化的疊對量測儀，其測試受限於放 大倍率和最終的像素量。通常放大率為 2000X 和 512x512 像素，1μ 將由 10 個m 以上的像素所顯示，如採用像素間的內插運算，可以獲得小於10nm的邊界識別。 以影像為基礎的疊對量測對於光學和晶片間的相對移動十分敏感，周邊環境的任 何振動都會對影像為基礎的量測造成影響。由於像的解析度反比於波長，近年來 為 了 滿 足 線 寬 愈 來 愈 窄 ( 小 於65nm) 的 像 解 析 度 的 要 求 ， 已 積 極 開 發 利 用 nm 300 ~ nm 150 範圍深紫外(DUV)照明的 CCD 高解析度相機。其波長包含準分子 雷射的248nm，193nm和157nm。即使採用了較短的波長，要達到奈米級的像解 析度，來滿足半導體製程快速發展對疊對量測的要求是十分困難的。尋求其他的 疊對量測技術已成為半導體製程的迫切需求。 1988 年 Chappelow 等人[39,40] 提出疊對量測的另一種方法。在此方法中利用線性光 柵作為上層和下層疊對的標靶。上層和下層的線性光柵具有相同的周期。量測時 所採用的照明光點遠大於光柵的線寬。2001 年 Bischoff 等人提出由 1± 級繞射的 繞射效率差來量測疊對。所採用的標靶是分別置於上下層的兩個同周期的線性光 柵重疊而成。當一光柵的線中心與另一光柵的線中心或間距中心完全重合時，由 於對稱性， 1± 級繞射將會具有相同的振幅。當上下層光柵之間有任何一點位移， 對稱性將被破壞， 1± 級振幅之差將與其位移相關聯。近年來，H.T.Huang 等人[41,42] 採用相似的線性光柵標靶結構，並對零級繞射光進行量測。在此量測中採用了寬 波帶的光源，由所測得的零級繞射光的繞射效率比對可獲得疊對的數據。上述所

提出的基於對光在周期性標靶上散射分析的光學量測技術通常稱為散射量測 法。從嚴格的物理觀點，光被周期性結構的標靶散射實質上是歸因於繞射，只是 在廣義上被稱為散射。當一系列的周期排列的條狀結構(通常稱為線性光柵)被某 種光源照射時，其散射(繞射)光的反射特性將與標靶結構密切相關。因此，分析 散射信號的數據就可以獲得有關繞射光柵的形狀和結構參數的訊息。 在散射法的分析中[43-45] ，得知光柵可量測的疊對範圍為光柵的一半週期，如果要 具有較長的疊對量測範圍，必須採用較大的光柵週期，然而較大的光柵週期將會 降低量測的靈敏度。干涉式的散射儀量測方法[46] ，是藉由量測光柵的零級繞射光 與由回朔反射(retro-reflection)所產生的+1 級繞射光所形成的干涉強度。此 一量測方式將具有較大的疊對量測範圍及靈敏度，以及較簡單的光學系統架構。

過去週期性光柵都是利用標量繞射理論(scale diffraction theory)，其基礎建 立在傅利葉光學(Fourier optics )上。標量繞射理論將光場看成為純量，此理 論分析的好處在於簡單，不需要複雜的計算過程，它適用的範圍限制在尺寸較大 的光學元件，即線寬遠大於入射光的波長。嚴格耦合波(rigorous coupled wave) 則將光場以電磁波來作處理，利用兩種極化態，TE 模態和 TM 模態來表示，求滿 足邊界條件的馬克斯威爾(Maxwell)方程式的解。此方法可用於計算光源波長與 光柵週期很接近的情況下的光柵繞射。嚴格耦合波理論是求精確解的一種方法， 所求的解更能接近真實情況。由於求解的過程不能利用簡單的數學方法得到，必 須借助於一些數值處理方法，在第二章中探討嚴格耦合波的理論架構，在第四章 利用嚴格耦合波來模擬分析干涉式散射儀，及分析實驗量測結果。

1.3 資料庫比對

上述的量測方法通常分成兩部份，稱為"正向"(forward)和"逆向"(inverse)問 題。從簡單的意義上來說，正向部份是指信號的量測，而逆向部份是指對所測信 號的分析以推得所需量測的結構。 在正向部份，對於散射儀而言，光被周期性結構散射可以產生許多繞射級的光 束。對於目前半導體製程的線寬，結構周期可以做到甚小，以至於只有一個繞射 級存在，此繞射級稱為零級繞射或鏡向繞射，此也是散射儀中最常用來測試的光 束。利用鏡向繞射來分析光散射的常用方法之一是改變照明光束(通常採用雷射)

的入射角，同時相應改變偵測器的接受角，使入射角和接受角滿足反射條件，量 測鏡向繞射的功率。不同角度的散射信號被稱為特徵值(signature)，而由不同 角度的特徵值所組成的曲線稱為特徵曲線。它包含有繞射結構的訊息，例如光柵 厚度和光柵線寬等。適當地改變結構周期，可以產生 1± 級繞射，這在一些散射 儀中也被用來量測。 逆向部份是採用資料庫比對。首先利用理論模型，如嚴格耦合波，或是邊界元素 法，先產生一系列的數據，它們涵蓋了光柵的各種結構參數，例如線寬，疊對， 或是厚度等。對某一值域的參數進行計算後，所獲得的數據集合稱為資料庫 (signature library)。當測得一信號，把它與資料庫的數據進行比對，找出最 接近的模型數據。此模型數據所代表的結構參數即為量測設備所測得的結構參 數。作為一個完整的量測設備必須具有一個軟體來執行資料庫的產生和對量測數 據的比對和分析。

第二章 嚴格耦合波向量繞射理論

本章將探討 Chateau 所提出的嚴格耦合波向量繞射理論的計算方法，其中包含了 TE 極化態入射及 TM 極化態入射時的情況。並探討當光柵無偏移及具有偏移量時 如何利用 Fourier 級數來表示，及角度散射儀與干涉式散射儀的模擬分析。

2.1 入射平面平行光柵法線平面之 TE 極化態入射

本節將探討入射平面平行光柵法線平面之 TE 極化態入射。光柵方向定義為光柵 折射率變化的方向，如圖(2.1)所示為 x 軸方向，而光柵法線平面為光柵方向及 光柵平面之法線方向所構成的平面，如圖中的 x-z 平面。 圖 2.1 二階光柵的基本幾何架構圖。 圖(2.1)為二階光柵的基本幾何架構圖，其中入射區與透射區的折射率分別為n_Ι 及 nⅡ，光柵向量K= 2π Λ在圖中為延著 x 軸，Λ 為光柵週期，光柵厚度為d， 入射角為θ，f 為工作週期，即折射率n_ΙΙ在光柵週期裡所佔的比例。折射率隨著 表面起伏而呈現週期變化，將之作傅利葉級數(Fourier series)展開，可表示如 下

∑

∞ −∞ = = t x t 2 ] x itK exp[ n ~ ) z , x ( n (2.1) x K 表示 Kv 在 x 方向上的分量大小，~ 為第 t 個傅利葉級數展開係數。我們將光柵nt 區域 TE 極化態入射的電磁場用耦合波展開，即將E_y(x,z)和h_x(x,z)用耦合波展

開

∑

∞ −∞ = = t ) t ( x ) t ( y y(x,z) E (z)exp(ik x) E (2.2)

∑

∞ −∞ = = t ) t ( x ) t ( x x(x,z) h (z)exp(ik x) h (2.3) 其中為了簡化符號，我們令h =μ₀cH，μ 為真空中的導磁係數。₀ k_x是 x 方向的 波數，可以從入射場的相位匹配求得 θ′ = θ =k n_Ιsin k n sin k(0) _{0 0 0} x (2.4) 0 n 為光柵區的平均折射率，θ′為光柵內部的入射角。 (t) x k (t∈Z)可由 Floquet 條 件求得 x ) 0 ( x ) t ( x k tK k = + , t∈Z (2.5) Λ π = 2 Kx (2.6) 由 Maxwell 方程式，∇×E=iωμH可得 z ) z , x ( E k i ) z , x ( h y 0 x _∂ ∂ = (2.7) 將(2.2)及(2.3)式代入(2.7)式，則 ) z ( h ik dz ) z ( dE _(t) x 0 ) t ( y ₌₋ , t∈Z (2.8) 接下來考慮 Helmholtz 方程式 0 ) z , x ( E n k ) z , x ( E_y 2₀ 2 _y 2 + = ∇ (2.9) 利用(2.1)，(2.2)，及(2.8)式，消去(2.9)式中的二階微分項，可得 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − × + − =

∑

≠t − ) ( y z t 0 ) t ( y 0 2 ) t ( z ) t ( x _{E (z) k} ~_{n exp[i(t )K z]E (z)} k ] k [ i dz ) z ( dh l l l l (2.10)

其中 2 ) t ( x 0 2 0 2 ) t ( z n [k ] ~ k ] k [ = − (2.11) (2.8)及(2.10)式理論上為無限序列的一階微分方程組，可以聯立解 (t) y E 及 (t) x h 。 但是在實際的數值分析過程中，只能對電磁場及折射率分佈截取有限的N階展 開。因此我們必須取足夠大的N才能得到一定精度的解。 我們可以把聯立方程組寫成矩陣的形式 ) z ( U ] M [ dz ) z ( dU = (2.12) 此處U(z)為2N×1的向量，即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − ) z ( h ) z ( h ) z ( h ) z ( E ) z ( E ) z ( E ) z ( U ) 2 1 N ( x ) v ( x ) 2 N 1 ( x ) 2 1 N ( y ) v ( y ) 2 N 1 ( y M M M M l l (2.13) 我們選擇N為奇數，_{l =}1,2,3,_K,N，v=(N+1) 2。(2.12)式中的矩陣 M 為 N 2 N 2 × 階的常係數矩陣，其元素為 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 W k I k 0 i M 0 0 (2.14) 其中各子矩陣為 0:N×N的零矩陣 I :N×N的單位矩陣

W: ₂ 0 2 ) v t ( z t , t k ] k [ W − = l l = t− , t n ~ W , t≠_l , (t,_l)∈ K

{

0, ,N−1

}

2 (2.12)式中，其所求之解具有平移不變(shift-invariant)性質，在任意兩個座 標z₁與z₂(z₂ >z₁)的解之間具有指數矩陣函數的關係 ) z ( U ] M ) z z ( exp[ ) z ( U ₁ = − ₂− _{1 2} (2.15) 我們可以用矩陣 M 的本徵值與本徵向量來表示矩陣 M ，首先將矩陣 M 對角化如 下 1 PDP M= − (2.16) 矩陣 P 是矩陣 M 的本徵向量，而矩陣 D 是由矩陣 M 的本徵值e 所組成的對角矩_l 陣，即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N 2 1 e 0 0 e D _O (2.17) 所以可以將(2.15)式改寫成

( )

{

}

( )

2 1 1 2 1 P exp (z z ) D P U z z U = ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ (2.18) 圖 2.2 表面蝕刻型的光柵可分為 L 層。 假設表面蝕刻型光柵可分為 L 層，如圖(2.2)所示，則整個光柵區域的特徵矩陣 可以表示為為一薄層個別的本徵矩陣的連續乘積，因此整個本徵矩陣的一般化表

∏

= − − − ⋅ − − ⋅ L 1 1 1 1 l(z ) exp[ (z z )D ] P (z ) P l l l l l l l (2.19) 接下來我們考慮光柵邊界的問題，假設入射區與出射區域皆為均勻介質，我們將 兩區域的電磁場分佈用 Rayleigh 展開來表示，如入射區域的電磁場分佈為

[

]

{

}

{

[

]

}

∑

∞

∑

−∞ = ∞ −∞ = − + + = t t ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F y(x,z) f expik x k z b expik x k z E (2.20)

[

]

{

}

{

[

]

}

∑

∞

∑

−∞ = ∞ −∞ = − + + − = t t ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F ) t ( Fz 0 ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F ) t ( Fz 0 x k b expik x k z k 1 z k x k i exp f k k 1 ) z , x ( h (2.21) 此處的 (t) x k 與(2.4)，(2.5)式所定義的相同， (t) 2 12 x 2 2 0 ) t ( Fz [k n (k ) ] k = _Ι − ，n_Ι是入射區 介質的折射率，而 (t) F f 與 (t) F b 分別為入射區域電場的入射與反射的複數振幅(符號 f 表示+z方向傳播，反之為b;下標 F 表示入射區，下標 L 表示出射區)。電磁場 在無表面電流的邊界其切線方向的分量是連續的，因此由方程式(2.2)，(2.3) 及(2.20)，(2.21)可得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − M M M M M M M M ) v t ( F ) v t ( F 0 0 ) v t ( x 0 ) v t ( y b f )] z ( C [ ) z ( h ) z ( E (2.22) 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − O O O O O O O O 0 ] z ik exp[ k k 0 0 ] z ik exp[ k k 0 0 ] z ik exp[ 0 0 ] z ik exp[ 0 )] z ( C [ 0 ) v t ( Fz 0 ) v t ( Fz 0 ) v t ( Fz 0 ) v t ( Fz 0 ) v t ( Fz 0 ) v t ( Fz 0 (2.23) 同理，我們在出射區域可以用 (t) L f 與 (t) L b 分別表示透射和反射的傳播方向分別為 z + 與 z− 的電場複數振幅。若出射介質與光柵邊界為z_L，亦可用相同的方式定 義出出射區域的矩陣[C(zL)]。由(2.19)及(2.22)式，可得

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⋅ − − ⋅ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − − − − −

∏

M M M M M M M M ) v t ( L ) v t ( L 1 l L 1 l l l 1 l l 1 l l 1 0 ) v t ( F ) v t ( F b f )] z ( C }[ ) z ( P ] D ) z z ( exp[ ) z ( P { )] z ( C [ b f L (2.24) 入射光之複數振幅定義如下 (t v) F f − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − M M M M 0 1 0 f_F(t v) (2.25) 由於透射區沒有反射光，所以 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − M M M M 0 b(_Lt v) (2.26) 將(2.25)及(2.26)式代入(2.24)式可得2N個聯立方程式，對應2N個未知的 ) v t ( L f − ， (t v) L b − ，可得唯一的一組解。得到 (t v) F b − 及 (t v) L f − 之後，則透射光與反射光的 繞射效率分別為 2 ) v t ( L ) 0 ( Fz ) v t ( Lz ) v t ( F f k k Re − − − _⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η (2.27) 2 ) v t ( F ) 0 ( Fz ) v t ( Fz ) v t ( B b k k Re − − − _⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η (2.28) 繞射效率定義為繞射光的強度除以入射光的強度之值。

2.2 入射平面平行光柵法線平面之 TM 極化態入射

類似於 TE 極化態入射，我們將 TM 極化態入射的電磁場用耦合波展開，即將 ) z , x ( Hy 和ex(x,z)用耦合波展開，即

∑

∞ −∞ = = t ) t ( x ) t ( y y(x,z) H (z)exp(ik x) H (2.29)

∑

∞ −∞ = = t ) t ( x ) t ( x x(x,z) e (z)exp(ik x) e (2.30) 其中為簡化符號，令e=ε0cE，ε 為真空中的介電係數。由 Maxwell 方程式0 E ) x ( i H=−ωε_r ε₀ × ∇ (ε_r

( )

x 為延著 x 軸變化的相對介電係數)可得 z ) z , x ( H ) x ( k i ) z , x ( e y 0 x _∂ ∂ ε − = (2.31) 將(2.29)，(2.30)式代入(2.31)式，推得 ) z ( e ) x ( ik dz dH _(t) x 0 ) t ( y _{= ε} (2.32) 接下來考慮 Helmholtz 方程式 0 ) z , x ( H n k ) z , x ( H_y 2₀ 2 _y 2 + = ∇ (2.33) 將方程式(2.1),(2.29),(2.30)及(2.32)式代入方程式(2.33)，可得 )} z ( H k ) z ( H ) x ( k ) k ( { i dz ) z ( de (t) y 0 ) t ( y 0 2 ) t ( x ) t ( x ⋅ − ⋅ ε − = (2.34) 方程式(2.32)及(2.34)可以改寫成矩陣型式，如下 ) z ( U ] M [ dz ) z ( dU ₌ (2.35) 其中

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − − − ) z ( e ) z ( e ) z ( e ) z ( H ) z ( H ) z ( H ) z ( U ) 2 1 N ( x ) v ( x ) 2 N 1 ( x ) 2 1 N ( y ) v ( y ) 2 N 1 ( y M M M M l l (2.36) (2.35)式中的 M 矩陣為2N×2N階的常係數矩陣，其元素如下 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − = 0 V k G k 0 i M 0 0 (2.37) 其中各個子矩陣為 G:G_t,t = ε₀ l l =εt− , t G , t≠_l ,

{

}

2 1 N , , 0 ) , t ( _l ∈ K − I K G K V= _x⋅ −1⋅ _x− 其中K_x是由對角元素 (t) ₀ x k k 所組成的對角矩陣， I 為單位矩陣。 接下來的推導與入射光為 TE 極化態的演算法相同，唯有須將入射區域的電磁場 分佈改為

[

]

{

}

{

[

]

}

∑

∞

∑

−∞ = ∞ −∞ = − + + = t t ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F y(x,z) f expik x k z b expik x k z H (2.38)

[

]

{

}

{

[

]

}

∑

∞

∑

−∞ = ∞ −∞ = − + + − = t t ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F ) t ( Fz 1 0 ) t ( Fz ) t ( x ) t ( F ) t ( Fz 1 0 x k b expik x k z n k 1 z k x k i exp f k n k 1 ) z , x ( e (2.39)

此處的 (t) x k 與(2.4)，(2.5)式所定義的相同， (t) 2 12 x 2 2 0 ) t ( Fz [k n (k ) ] k = _Ι − ，n_Ι是入射區 介質的折射率，而 (t) F f 與 (t) F b 分別為入射區域磁場入射與反射複數振幅(符號f 表 示+z方向傳播，反之為b;下標 F 表示入射區，下標 L 表示出射區)。而出射區 域與入射區域的繞射效率改為 2 ) v t ( L 2 ) 0 ( Fz 2 ) v t ( Lz ) v t ( F f n / k n / k Re − Ι ΙΙ − − _⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η (2.40) 2 ) v t ( F ) 0 ( Fz ) v t ( Fz ) v t ( B b k k Re − − − _⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η (2.41)

2.3 入射平面垂直光柵法線平面之 TE 極化態入射

接著將探討當入射平面垂直光柵法線平面上時的情況，在此情況入射的光其所產 生的繞射級為錐形分佈。我們分別採用 Moharam 的物理模型及 Chateau 的數值技 巧來分析在 TE 極化態及 TM 極化態入射時的情況。 圖 2.3 二階光柵的基本幾何架構圖。 圖(2.3)為光柵的幾何架構，其中光柵方向為 x 軸方向，即光柵的折射率在 x 軸 方向上為週期分佈，在 y 軸方向上為一定值。在前兩節中所模擬的入射平面 (incident plane)是位於 x-z 平面，而本節所模擬的入射平面位於 y-z 平面上。 首先模擬 TE 極化態入射的情況，則入射區域(z≤z₀)與出射區域(z≥z_m，

d z z_m− ₀ = 為光柵區的厚度)的電場分佈為 0 i zi , y xi i inc x , E R exp[ j(k x k y k z)] , z z E_Ι = +

∑

− + − _Ι ≤ (2.42) m i zi , y xi i x , T exp{ j[k x k y k z]} , z z E_ΙΙ =

∑

− + + _ΙΙ ≥ (2.43) 其中 )] z ) cos( y ) (sin( n jk exp[ Einc = − 0 Ι θ + θ (2.44) ) i ( k k 0 0 xi Λ λ − = (2.45) θ =k n_Ιsin k_{y 0} (2.46) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + − + − < + − − = l l l l l _{j[k k (k n ) ] , (k k ) k n} n k ) k k ( , ] k k ) n k [( k 0 2 1 2 y 2 xi 2 1 2 0 2 y 2 xi 0 2 1 2 y 2 xi 2 1 2 y 2 xi 2 0 zi , , l= ,Ι ΙΙ (2.47) 其中θ為入射角，n_Ι與n_ΙΙ分別為Ι 、 ΙΙ 區域的折射率，k₀ =2π λ₀為真空中的波 向量，λ 則是入射波在真空中的波長。0 Ri與Ti分別為歸一化的反射與出射的繞 射振幅，k_xi與k_l,zi則是第 i 階繞射的波向量在 x 與 z 方向上的分量，k 為波向量_y 在 y 方向上的分量。此外在光柵的第_l層中，電場與磁場的切線分量為

∑

− + = i y xi xi gx S (z)exp[ j(k x k y)] E (2.48)

∑

− + ωμ = i y xi yi 0 gy U (z)exp[ j(k x k y)] j H (2.49) 其中ω為光波的角頻率，μ 為真空中的導磁係數(permeability)。0 Sxi與U 為yi

第 i 階空間諧波(space harmonic)的歸一化振幅。由 Maxwell 方程式 H j E=− ωμ0 × ∇ (2.50) E j H= ωε × ∇ (2.51) 其中ε為材料的介電係數。由方程式(2.50)及(2.51)可知在光柵區域中，電場與 磁場有如下的關係

gy 0 gx j H E z =− ωμ ∂ ∂ (2.52) gz gx r 0 gy H y E ) x ( j H z ∂ ∂ + ε ωε − = ∂ ∂ (2.53) gx 0 2 y gz E j k H y ωμ − = ∂ ∂ (2.54) 將(2.48)式與(2.49)式代入上面的方程式，整理之後可得 yi xi _U dz dS = (2.55)

∑

ε− − = p xp p i 2 0 xi 2 y yi S k S k dz dU (2.56) 由於 2 r(x)=n ε ，所以(2.56)式可以改寫為

∑

− − = p xp p i 2 2 0 xi 2 y yi S n k S k dz dU (2.57) (2.55)式及(2.57)式理論上為無限序列的一階微分方程組，可以聯立解Sxi及 yi U 。但是在實際的數值分析過程中，只能對電磁場及折射率分佈截取有限的N 階展開。因此我們必須取足夠大的N才能得到一定精度的解。我們可以把聯立方 程組寫成如下的矩陣形式 ) z ( V ] M [ dz ) z ( dV ₌ (2.58) 此處V(z)為2N×1的向量，即

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − ) z ( U ) z ( U ) z ( U ) z ( S ) z ( S ) z ( S ) z ( V 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 , y 0 , y , y , x 0 , x , x M M M M (2.59) 我們選擇N為奇數。(2.58)式中的矩陣 M 為2N×2N階的常係數矩陣，其元素為 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 W I 0 M (2.60) 其中各子矩陣為 0:N×N的零矩陣 I :N×N的單位矩陣 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − 2 y 2 1 2 0 2 3 N 2 0 2 2 N 2 0 2 1 N 2 0 2 1 2 0 2 y 2 4 N 2 0 2 3 N 2 0 2 2 N 2 0 2 N 2 2 0 2 N 3 2 0 2 1 2 0 2 y 2 1 2 0 2 N 1 2 0 2 N 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 2 y k n k n k n k n k n k k n k n k n k n k n k n k k n k n k n k n k n k k W L L O O L L (2.61) (2.58)式中，其所求之解具有平移不變(shift-invariant)性質，在任意兩個座 標z₁與z₂(z₂ >z₁)的解之間具有指數矩陣函數的關係 ) z ( V ] M ) z z ( exp[ ) z ( V ₁ = − ₂− _{1 2} (2.62) 我們可以用矩陣 M 的本徵值與本徵向量來表示矩陣 M ，首先將矩陣 M 對角化如 下 1 PDP M= − (2.63)

矩陣 P 是矩陣 M 的本徵向量，而矩陣 D 是由矩陣 M 的本徵值e 所組成的對角矩_l 陣，即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = N 2 1 e 0 0 e D _O (2.64) 所以可以將(2.62)式改寫成

( )

{

}

( )

2 1 1 2 1 P exp (z z ) D P V z z V = ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ (2.65) 即 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − ) z ( U ) z ( U ) z ( U ) z ( S ) z ( S ) z ( S )] z ( P [ )] z z ( e exp[ 0 0 )] z z ( e exp[ )] z ( P [ ) z ( U ) z ( U ) z ( U ) z ( S ) z ( S ) z ( S 2 , y 2 0 , y 2 , y 2 , x 2 0 , x 2 , x 1 2 1 2 1 N 2 1 2 0 1 1 , y 1 0 , y 1 , y 1 , x 1 0 , x 1 , x 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 M M M M O M M M M (2.66) 假設表面蝕刻型光柵可分為 L 層，如圖(2.2)所示，則整個光柵區域的特徵矩陣 可以表示為為一薄層個別的本徵矩陣的連續乘積，因此整個本徵矩陣的一般化表 示式可寫成

∏

= − − − ⋅ − − ⋅ L 1 1 1 1) exp[ (z z )D ] P (z ) z ( P l l l l l l l l (2.67) 接下來我們考慮光柵邊界的問題，假設入射區的邊界位於z 處而出射區的邊界位0 於z_L處。由方程式(2.42)，方程式(2.44)，方程式(2.50)可以推得入射區域的 電磁場分佈為

) z jk exp( R ] z ) cos( n jk exp[ S_xi = − _{0 Ι} θ ₀ + _{i Ι,zi 0} (2.68) ) z jk exp( R jk U_yi = _{Ι,zi i Ι,zi 0} (2.69) 以矩陣型式表示如下 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 21 N 2 N 1 R R R 0 1 0 )] z ( C [ ) z ( U ) z ( U ) z ( U ) z ( S ) z ( S ) z ( S 0 0 0 , y 0 0 , y 0 , y 0 , x 0 0 , x 0 , x M M M M M M M M (2.70) 其中 = )] z ( C [ ₀ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ − − − − − − − Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι Ι ) z jk exp( jk 0 0 0 ) z jk exp( jk 0 0 0 ) z jk exp( jk 0 0 0 0 ) z jk exp( 0 0 0 0 ) z jk exp( 0 0 0 0 ) z jk exp( 0 0 0 0 0 ] z ) cos( jk exp[ 0 0 0 0 0 0 , , 0 0 , 0 , 0 , , 0 , 0 0 , 0 , 0 0 2 1 N 2 N 1 2 N 1 2 N 1 2 1 N 2 N 1 L O O L L O L L O L L O L L O L L O L (2.71) 接著由方程式(2.43)及方程式(2.50)可以推得出射區域的電磁場分佈為

) z jk exp( T S_xi = _i − _{ΙΙ,zi L} (2.72) ) z jk exp( T jk U_yi =− _{ΙΙ,zi i} − _{ΙΙ,zi L} (2.73) 以矩陣型式表示如下 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 0 0 0 T T T )] z ( C [ ) z ( U ) z ( U ) z ( U ) z ( S ) z ( S ) z ( S 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 0 L L , y L 0 , y L , y L , x L 0 , x L , x M M M M M M M M (2.74) 其中 = )] z ( C [ L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ΙΙ ΙΙ ΙΙ 0 0 0 0 0 ) z jk exp( jk 0 0 0 0 0 0 ) z jk exp( 0 L zi , zi , L zi , L O L O L L O L O L O L L O (2.75) 由方程式(2.67)，方程式(2.70)，及方程式(2.74)結合可得 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ − − ⋅ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −

∏

₌ − − − − 0 0 0 T T T )] z ( C }[ ) z ( P ] D ) z z ( exp[ ) z ( P { )] z ( C [ R R R 0 1 0 2 1 N 2 N 1 2 1 N 2 N 1 0 L L 1 1 1 1 1 0 0 M M M M M M M M l l l l l l l l (2.76)

利用矩陣計算，可得R_i及T_i。則透射光與反射光的繞射效率分別為 2 i 0 , zi , i , T T k k Re ⎥⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η Ι ΙΙ (2.77) 2 i 0 , zi , i , B R k k Re _⎥⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η Ι Ι _(2.78) 其反射及出射光的繞射角度分別如下所示，其繞射級的分佈呈現錐形分佈。 yˆ xˆ n sin 1 0 i , R ⎟⎟ −θ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Λ λ = θ Ι − (2.79) yˆ n n xˆ n sin 1 0 i , T ⎟⎟ + θ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Λ λ = θ ΙΙ Ι ΙΙ − _(2.80)

2.4 入射平面垂直光柵法線平面之 TM 極化態入射

接著模擬入射光為 TM 極化態入射的情況。入射區域(z≤ )與出射區域(z₀ z≥z_L) 的磁場分佈為 0 i zi , y xi i inc x , H R exp[ j(k x k y k z)] , z z H_Ι = +

∑

− + − _Ι ≤ (2.81) L i zi , y xi i x , Texp{ j[k x k y k z]} , z z H_ΙΙ =

∑

− + + _ΙΙ ≥ (2.82) 其中 )] z ) cos( y ) (sin( n jk exp[ H_inc = − _{0 Ι} θ + θ (2.83) 而k_xi，k ，及_y k_l,zi的定義與方程式(2.45)-(2.47)相同。在光柵的第_l層中，電 場與磁場的切線分量為

∑

− + = i y xi xi gx U (z)exp[ j(k x k y)] H (2.84)

∑

− + − = j S (z)exp[ j(k x k y)] E (2.85)

由 Maxwell 方程式，即方程式(2.50)及方程式(2.51)可知在光柵區域，電場與磁 場有如下的關係

( )

gy r 0 gx j x E H z = ωε ε ∂ ∂ (2.86) gz gx 0 gy E y H j E z ∂ ∂ + ωμ = ∂ ∂ (2.87)

( )

gx r 0 2 y gz H x jk E y ωε ε − = ∂ ∂ (2.88) 將方程式(2.84)及方程式(2.85)代入上面的方程式，整理之後可得 yi xi S dz dU ₌ (2.89)

∑

ε− − = p xp p i 2 0 xi 2 y yi U k U k dz dS (2.90) 接下來的推演與與前一節的演算法相同，唯有須將繞射效率改為 2 i 2 0 , 2 zi , i , T T n / k n / k Re ⎥⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η Ι Ι ΙΙ ΙΙ (2.91) 2 i 0 , zi , i , B R k k Re _⎥⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = η Ι Ι _(2.92)

2.5 光柵折射率表示式

我們主要討論線性極化態的電磁波入射至一維表面蝕刻型光柵，如圖(2.4)所 示，其入射區及透射區的折射率分別為n_Ι以及n_ΙΙ，光柵向量K=2π/Λ是延 x 軸， 法線方向為 z 軸，光柵區的厚度為d， f 為工作週期，其相對應的折射率隨著表 面起伏而呈現週期變化，將之作傅利葉級數（Fourier series）展開，可表示為 如下式

(

)

∑

∑

∞ + −∞ = +∞ −∞ = = Λ π = t x t t t 2 x itK exp n ~ ) x t 2 i exp( n ~ ) x ( n (2.93) 其中Kx為 x 軸上的光柵向量，n~ 為第 t 級傅利葉展開項的係數，表示如下 t 圖 2.4 單層二階光柵。 圖 2.5 光柵折射率分佈。

圖 2.6 單層二階光柵(偏移Δx)。 圖 2.7 光柵折射率分佈(位移0.2μm)。 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} Λ =

_∫

_∫

_∫

Λ Λ Ι Λ Λ − ΙΙ Λ − Λ − nΙdx n dx n dx 1 n ~ /2 2 / f 2 2 / f 2 / f 2 2 / f 2 / 2 0 f n ) f 1 ( n2_Ι − + _ΙΙ2 = (2.94) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + − + −} Λ =

_∫

_∫

_∫

Λ Λ Ι Λ Λ − ΙΙ Λ − Λ − Ι 2 / 2 / f 2 2 / f 2 / f 2 2 / f 2 / 2

t n exp( itKx)dx n exp( itKx)dx n exp( itKx)dx

1 n ~ t ) tf sin( ) n n ( 2 2 π π − = _{ΙΙ Ι} (2.95)

我們在這裡計算的僅有二階週期性光柵而已，而實際上的光柵剖面形狀當然不只 這一種。圖(2.5)是在n_Ι =1.0，n_ΙΙ =1.5，Λ=1μm，及f =0.5時的模擬結果。 由於本論文是探討上下層光柵的錯位所造成反射效率的改變，因此必須探討當光 柵偏離中心位置時，如圖(2.6)所示，的傅利葉級數表示式。由於n~ 不會隨著光0 柵的位移而改變，所以只需計算n~ 。設偏移量為 x_t Δ ，而n~ 的計算如下 _t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + − + −} Λ =

_∫

_∫

_∫

Λ Δ + Λ Ι Δ + Λ Δ + Λ − ΙΙ Δ + Λ − Λ − Ι 2 / x 2 / f 2 x 2 / f x 2 / f 2 x 2 / f 2 / 2

t n exp( itKx)dx n exp( itKx)dx n exp( itKx)dx

1 n ~ t ) tf sin( ) x 2 it exp( ) n n ( 2 2 π π Λ Δ π − − = _{ΙΙ Ι} (2.96) 圖(2.7)為圖(2.5)的光柵位移0.2μ 時的折射率分佈情形。 m

2.6 角度式散射儀之模擬

角度散射法所使用的散射儀其光學架構如圖(2.8a)所示，其量測方式為改變入射 光入射在光柵上的入射角並藉由光偵測器接收其零級的繞射光。由於所量測的為 入射光繞射的零級光，所以θi =θr。一般此種量測儀器的光源波長為633nm的 He-Ne 雷射光，可掃瞄的角度大約為−45度至+45度。我們所模擬的疊對結構如 圖(2.8b)所示，下層(bottom layer)為SiO2所形成的光柵層，而上層(top layer)

為光阻所形成的光柵層，介於上層與下層之間的為多晶矽(Poly-Silicon)，其為 一均勻的薄層，而折射率如表 4.1 所示。L(line)代表為在一周期結構中線的寬 度，在一周期結構中去除線寬度後所剩餘的寬度，即為線間距 S(space)。疊對 (overlay)包括兩部份，一部份是由於在製作上下兩層光柵時製程誤差所造成的 位移量，即是我們所需要量測的值(σ)，另一部份是預置位移量(σ )，它為設₀ 計的上層與下層之間相對位移值，其目的為增加量測的靈敏度。當預置位移量不 同時，疊對誤差所導致的零級效率改變量將會有所不同，所以適當的選擇預置位 移量將有助於增加量測的靈敏度。

(a) (b) 圖 2.8 角度散射儀及其光學架構(a)及疊對光柵之幾何結構(b)。 這裡所模擬的光柵參數為:週期=800nm，L=400nm，S=400nm，Dtop =850nm， nm 5 D_bottom = ，T=250nm，σ =₀ 0nm。圖(2.9a)及圖(2.9b)分別為 TE 模態(s 偏光)及 TM 模態(p 偏光)下，疊對由0nm變化至800nm的曲線圖，其中橫軸為入 射光入射在疊對光柵上的角度，縱軸為零級繞射效率。圖中的每一根曲線代表不 同的疊對。由圖中可以知道當疊對超過光柵週期的一半時，其曲線將重複；例如 當疊對為300nm時所模擬的曲線與當疊對為500nm時是相同的，這將造成疊對 的誤判。此問題可由非對稱光柵結構來解決。從圖(2.9a)的 TE 模態模擬圖中可

以看出，當入射光在 40 度及 0 度附近因疊對位移有較大的零級繞射效率變化量， 即是量測的靈敏度在這兩個區域較高。然而在 TM 模態下其靈敏度沒有 TE 模態來 的大，故一般只量測 TE 模態下的繞射效率。

(a)

2.7 干涉式散射儀之模擬

在散射法的分析中，發現當入射光為零度及大角度入射時有較好的靈敏度，如圖 (2.9)所示。此現象告訴我們，不需對整個角度範圍作量測，只需對一區域或一 固定角度作量測，就可獲得相當好的量測精度。圖(2.10)是我們所採用的光學量 測方式。在圖(2.10b)中，(1)是一垂直入射至光柵的平面波，(2)和(3)為(1)的 零級及 1+ 級繞射光，而(3)的繞射光經由一可調距離的反射鏡，由原光路反射(回 朔反射, retro-reflection)至光柵上(4)，而此入射光束的 1+ 級繞射光(5)由垂 直方向出射。所以當光束(1)入射至光柵上時，在垂直方向會有兩道反射光，由 此兩道光的干涉強度，來分析所量測的光柵結構。由於此量測架構為垂直入射至 疊對光柵，所以本身已具有接近散射儀量測的靈敏度，而再利用干涉的方式再一 次的提高量測的靈敏度，如此整體的量測靈敏度將大於散射儀。 (a) (b) 圖 2.10 干涉式散射儀之光學架構。 我們必須修改嚴格耦合波的演算法來符合此一光學架構的模擬，因為前面所介紹 的嚴格耦合波的入射光為單一的平面波入射，而干涉式散射儀的光學架構其入射 光可看成是兩道具有相同波長而有不同的振幅及相位的光入射至光柵上，所以我 們必須對此做一修正。由 Chateau 所提出的演算法，可以用矩陣形式來描述此一 系統，即

( ) ( )

[

]

[ ] [

]

( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧Π = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − − − M M M M M M M M l l ) v i ( L v i L m 1 m 0 1 0 v i F v i F b f ) z ( C G ) z ( C b f (2.97) 其中fF，bF，及fL分別為入射光束，反射光束，及透射光束的複數振幅。bL為 由透射區反射的複數振幅，透射區無反射光故為零。

[

C(z₀)

]

及

[

C(z_m)

]

為入射 區及透射區的介面矩陣，

[ ]

G 為光柵區第_{l l}層的特性矩陣。對於此系統fF及bF可 以定義如下 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + θ + + + − − M M M M 0 e A 1 0 0 f f f f f 1 , f i 1 2 F 1 F 0 F 1 F 2 F (2.98) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − θ + θ θ − + − M M M M 1 , b 0 , b 1 , b i 1 i 0 i 1 1 F 0 F 1 F e B e B e B b b b (2.99) 其中A₊₁及θ_f,+1為+1 級入射光束的振幅與相位，B_n及θ 為第 n 級繞射反射光束_b,n 的振幅與相位。+1 級入射光束是由+1 級的繞射反射光之逆向回饋所形成，故+1 級的入射光束可以描述如下 2 1 m 2 1 B A₊ =η ⋅ ₊ (2.100) m m 1 , b 1 , f d 4 θ Δ + λ π + θ = θ _{+ +} (2.101) 其中η_m為反射鏡之反射效率，d_m為光柵與反射鏡之間的初始距離，如圖(2.10b) 所示。Δθm是由於反射鏡移動所造成的相移。按流程圖(2.11)所示的疊代法，我

0 B 及相位θ ，而零級的繞射效率可獲得如下 _b,0 ( ) 2 ) 0 ( F 0 B = b η (2.102) 圖 2.11 干涉式散射儀之計算流程圖。 接著模擬疊對光柵在此干涉式散射量測系統中的情況，所採用的疊對光柵參數與 前面相同。圖(2.12)為數值模擬的結果，其中橫軸是由於反射鏡移動所等效的相 位改變量(phase shift)，縱軸為繞射效率。每條曲線代表不同的疊對，例如標 示 150nm 的曲線表示其疊對為 150nm，其曲線變化比散射儀來得明顯，此點將有 利於逆向的回推。

第三章 邊界元素法

邊界元素法(boundary element method)是利用格林函數(Green function)把嚴 格電磁場的邊值問題等價地轉化為邊界積分方程的問題。邊界積分可以使計算維 度降低，計算量減少，計算精確度高，且可利用有限元素法(finite element method)來求解邊界積分方程。邊界元素法對於有限或無限場域的有限邊界離散 求解非常方便，容易處理開域的問題。本章主要分四部份，(1)如何利用格林函 數推導出邊界積分方程，(2)多區域的邊界積分方程之推導，(3) 利用有限元素 法求解邊界積分方程。

3.1 無限空間之格林函數

在線性，均勻，各向同性介質的無限空間中，任意舜時空間電苛分佈為g

( )

r,t ， 則在觀察點 r 所產生的標量波函數應滿足非齊次標量波動方程

( )

( )

g

( )

r,t t t , r u 1 t , r u ₂ 2 2 =− ∂ ∂ ν − ∇ (3.1) 式中ν 1= με是介質中的波速，μ 及ε分別為介質的導磁係數及介電係數。標量 波函數g

( )

r,t 可以表示標量位(電位，磁位)，也可以表示為向量場的直角分量(電 場，磁場)。在電磁學中已給出上式的解為

( )

_∫

(

′ − ν

)

′ π = V V d R R t , r g 4 1 t , r u (3.2) r r R= − ′ (3.3) 其中積分對象為體積V中的點輻射源(source point)以∫d ′V 表示。上式表明， 在空間 r 處和時間 t 的u

( )

r,t 是由公式右邊在空間 r′ 處較早時間t− R ν所產生 的，時間上延遲了R ν，因此稱為延遲位。如果電荷集中於某一點r′ ，其電量隨₀ 時間以f0

( )

t 的規律變化，即g

( ) (

r′,t =δr′−r0′

) ( )

f0 t ，令這種特定情況的u

( )

r,t 為

(

r,r;t

)

G_{0 0}′ ，則由(3.2)式給出

(

)

(

− ν

)

′ − π = ′ f t R r r 1 4 1 t ; r , r G ₀ 0 0 0 (3.4)

一般g ′

( )

r,t 隨時間的變化規律可能逐點不同。為說明這一點，可用f_r′

( )

t 來表示 r′ 點上的電荷密度變化規律，而將g ′

( )

r,t 寫作g

( ) ( )

r′fr′ t 。使上式中r′ 為體積0 V中的 任一點 r′ ，代入(3.2)式就可得到

( )

=

_∫

( ) (

′ ′

)

′ V 0 r,r;t dV G t , r g t , r u (3.5) 這個G0

(

r,r′ 滿足方程 ;t

)

(

)

G

(

r,r;t

)

(

r r

) ( )

f t t 1 t ; r , r G _{2 0 r} 2 2 0 2 ′ − ′ δ − = ′ ∂ ∂ ν − ′ ∇′ (3.6) 上式中的G₀

(

r,r′ 稱為無限空間中時域標量格林函數。它隨時間的變化規律取決;t

)

於源在各點的變化，這顯然是不便於計算的。下面將給出另一種形式的時域標量 格林函數。如果場源不隨時間改變，即∂ ∂t=0，(3.1)式即是 Poisson 方程，而 (3.2)式即是靜電位的表示式，與場源隨時間的改變形式無關，且介質無損耗， 它是在特定情況下的解。一般情形應當求場源和場對時間的傅利葉(Fourier)積 分，而對其頻譜的每一分量求解。頻譜的各分量是頻率不同的輻射源的場。對於 此輻射場，(3.6)式變為如下非齊次方程

(

)

(

)

(

)

j t 0 2 0 2 e r r t ; r , r G k t ; r , r G ′ − ′ =−δ ′− ω ∇′ (3.7) 其中 2 2 2 2 k ν ω = με ω = (3.8) (3.7)式的解為

(

)

( ) r r 4 e t ; r , r G r r k t j 0 _′ − π = ′ ω− −′ (3.9) 一般寫作

(

)

( )

j t 0 0 r,r;t G r,r e G ′ = ′ ω (3.10)

( )

r,r k G

( )

r,r

(

r r

)

G₀ 2 ₀ 2 ′ − ′ =−δ ′− ∇′ (3.11) 和

( )

r r 4 e r , r G r r jk 0 ′ = _{π −} ′ ′ − − (3.12) 而

( ) ( )

j t e r u t , r u = ω ，則由下式給出

( )

=

_∫

( ) ( )

′ ′ ′ V 0 r,r g r dV G r u (3.13) 上式中G₀

( )

r,r′ 是無限空間的頻域標量格林函數，它是單位點輻射源的位。(3.12) 式是三維無限空間的頻域標量格林函數，而二維無限空間的頻域標量格林函數可 由柱座標系統導出如下

( )

H

(

kr r

)

4 j r , r G0 ′ =− (02) − ′ (3.14) 其中 H 為 Hankel 函數。

3.2 格林函數之輻射條件

為了用體積V中的源和邊界面S上的邊值來表示空間某點的位，需使用格林公 式。格林公式是數理方法的一個基本公式，由高斯散度定理

∫

∫

∇′⋅ ′= ⋅ ′ S V S d A V Ad (3.15) 其中算符∇′運算對象為體積V中的點輻射源，令A=v∇′u，這裡的v和u為兩任 意標量函數，在體積內二階導數連續，在邊界上一階導數連續。利用恆等式

(

v u

)

v u v u A=∇′⋅ ∇′ = ∇′2 −∇′ ∇′ ⋅ ∇′ (3.16) 得到

(

)

_∫

(

)

_∫

∫

′ ′ ∂ ∂ = ′ ⋅ ∇′ = ′ ∇′ ∇′ − ∇′ S S V 2 S d nˆ u v S d u v V d u v u v (3.17)

式中nˆ是邊界面S上，外法線的單位向量。上式稱為標量格林第一恆等式。將式 中的v和u交換位置後的恆等式與原式相減，可得

(

)

_∫

(

)

∫

∇′ − ∇′ ′= ∇′ − ∇′ ⋅ ′ S V 2 2 S d v u u v V d v u u v

∫

_⎟ ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ − ′ ∂ ∂ = S S d nˆ v u nˆ u v (3.18) 上式稱為標量格林第二恆等式或標量格林定理。現在先將(3.18)式用於單頻輻射 場，使u滿足方程

( )

r g u k u 2 2 + =− ′ ∇′ (3.19) 並取 r r 4 e v r r jk ′ − π = ′ − − (3.20) 它滿足方程

(

r r

)

v k v 2 2 + =−δ ′− ∇′ (3.21) 則由(3.18)式得到

( )

(

)

(

(

)

)

{

}

_∫

∫

_⎟ ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ − ′ ∂ ∂ = ′ − ′ δ + − ′ − − S V 2 2 S d nˆ v u nˆ u v V d r r v k u r g u k v (3.22) 由此可得

( )

_∫

( )

′ ′+ ′ − π = − −′ V r r jk V d e r g r r 4 1 r u

( )

_{( )}

_{( )}

S d e r r nˆ r jku r u r r 1 nˆ r u r r 4 1 jkr r S ′ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ − ′ ∂ ∂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ + ′ ′ − + ′ ∂ ′ ∂ ′ − π ′ − −

∫

(3.23) 式中的體積分源分佈g

( )

r 是指包含輻射源的各種形式的一般源分佈。現在研究上 面公式的面積分項，如圖(3.1)所示，對於外域問題，包圍體積V的界面S是由 有限界面S 和無限大球面₀ S_∞所組成的，因而S=S₀ +S_∞也是無限界面。假定

圖 3.1 外域問題。

( )

_∫

( ) ( )

′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ − ′ ∂ ∂ ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ − π = ′ − − ′ − − 0 S r r jk r r jk S d r r e nˆ r u nˆ r u r r e 4 1 r u

∫

( ) ( )

∞ ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ − ′ ∂ ∂ ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ − π + − −′ − −′ S r r jk r r jk S d r r e nˆ r u nˆ r u r r e 4 1 (3.24) 我們將S_∞擴大為無限大球面，是為了得到無限空間的解。當 ′r→∞時，有 r r r− ′ → ′(r′>>r)和∂ ∂nˆ′→∂ ∂r′，因而

( ) ( )

∫

∞ ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ − − ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ ′ − ′ − S r jk r jk S d r e r 1 jk r u rˆ r u r e

( )

_{( )}

_{( )}

∫

∞ ′ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ′ ′ + ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ ′} ′ ∂ ′ ∂ = − ′ − ′ S 2 r jk r jk S d r e r u r e r jku rˆ r u (3.25) 根據物理概念，當 ′r→∞時，S_∞面上的積分應趨於零，因為無限遠處就意味著 互無影響。這就要求

( )

dS 0 r e r u S 2 r jk → ′ ′ ′

∫

∞ ′ − (3.26) 和

( )

_{( )}

∫

∞ → ′ ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ ′} ′ ∂ ′ ∂ − ′ S r jk 0 S d r e r jku rˆ r u (3.27) 因為S_∞的面積與 2 r′ 成正比，所以要求

( )

( )

_{( )}

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ ′} ′ ∂ ′ ∂ → 0 r jku rˆ r u r u r 有限值 (u在無窮遠處為零) (3.28) 這兩個條件稱為輻射條件。它是在求得無限空間中解的各種表達式時用以檢驗的 條件。 在(3.18)式中，如令v=G

( )

r,r′ ，有

( )

r r 4 e r , r G r r jk ′ − π = ′ − −′ (3.29) 則有(3.19)和(3.21)兩方程式，可將(3.23)式改用標量格林函數表示為

( )

_∫

( ) ( )

_∫

( ) ( ) ( ) ( )

′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ′ ∂ ′ ∂ ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ + ′ ′ ′ = S V S d nˆ r , r G r u nˆ r u r , r G V d r g r , r G r u (3.30) 現在只考慮(3.30)式中的面積分項，通過類似於(3.28)式的推導，並應用(3.28) 式的結果，可以得到標量格林函數的輻射條件為 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ∂ ∂ = ∞ → ∞ → 0 jkG r G lim G r lim r r 有限值 (3.31) (3.30)式為三維標量格林函數而二維標量格林函數表示如下

( )

_∫

( ) ( )

_∫

( ) ( ) ( ) ( )

Γ Γ′ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ′ ∂ ′ ∂ ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ + ′ ′ ′ = d nˆ r , r G r u nˆ r u r , r G S d r g r , r G r u S (3.32) 其中

( )

H

(

kr r

)

4 j r , r G ′ =− (₀2) − ′ (3.33) 而其輻射條件與(3.31)式相同。

3.3 二維邊界元素法

當考慮到電腦的執行速度，及電腦記憶體容量時，三維邊界元素法在計算上需要 工作站級的電腦系統及相當長的計算時間，所以在實際應用上有一定的限制。二 維邊界元素法則較容易在個人電腦上執行，不需太久的計算時間，且我們提出一 有效降低記憶體需求的演算法，及奇異點積分的解決方法，這些都會有效的減少 計算的時間，所以我們將在本節探討二維邊界元素法。

3.3.1 二維二區邊界積分方程

二維區域可藉由一邊界Γ₁分割成兩區S₁及S₂，如圖(3.2)所示。S₁及S₂的邊界外 法線向量分別為nˆ1及nˆ2，而折射率分別為n1及n2。其中入射場位於S1內，入射 角度為θ，而S₂無入射場存在。S₁及S₂分別滿足二維標量格林函數，表示如下 圖 3.2 區域分割示意圖。

( )

_∫

( ) ( ) ( ) ( )

_⎥ Γ′=−

_∫

( ) ( )

′ ′ ′ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ∂ ′ ∂ ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ + − Γ Γ Γ Γ Γ 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d G r,r g r dS nˆ r , r G r u nˆ r u r , r G r u r₁∈S₁ (3.34)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

d 0 nˆ r , r G r u nˆ r u r , r G r u 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ⎥ Γ′= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ∂ ′ ∂ ′ − ′ ∂ ′ ∂ ′ + −

∫

Γ Γ Γ Γ Γ r2∈S2 (3.35) 其中G₁與G₂分別為S₁與S₂的二維標量格林函數。因為S₂無入射場存在，所以

( )

r 0 g ₂′ = 以至於(3.35)式右項為零。當r₁和r₂位於邊界Γ₁上時，則(3.34)式及 (3.35)式可表示如下

( )

_∫

(

) ( )

( ) (

)

_∫

(

) ( )

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ⎥ Γ′=− ′ ′ Γ′ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ∂ ′ ∂ ′ − ′ ′ + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 _nˆ d G r ,r gr d r , r G r u r q r , r G r u ₁ 1 1 S , S , 1 S , (3.36)

( )

(

) ( )

( ) (

)

d 0 nˆ r , r G r u r q r , r G r u 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 S , S , 2 S , ⎥ Γ′= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ∂ ′ ∂ ′ − ′ ′ + −

_∫

Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ (3.37) 其中

( )

( )

1 S , nˆ r u r q 1 1 1 1 ∂ ′ ′ ∂ = ′ Γ Γ Γ (3.38)

( )

( )

2 S , nˆ r u r q 1 1 2 1 ∂ ′ ′ ∂ = ′ Γ Γ Γ (3.39) (3.36)式及(3.37)式為二維二區的邊界積分方程，接著我們將利用有限元素法去 求解(3.36)式及(3.37)式。

3.3.2 二維二區邊界元素法

本節將說明如何使用有限元素法去求解邊界積分方程式(3.36)式及(3.37)式。圖 (3.2)中的邊界Γ 是一維的曲線。可用有限元素法進行離散化，把邊界 Γ 分成 n 段，每段稱為元素，元素可以是直線，也可以是曲線，且長度不需要相同，如圖 (3.3)所示。則u_Γ及q_Γ被離散成元素 j u_Γ及 j q_Γ。 圖 3.3 線性元素。

圖 3.4 元素(j)上的座標。 元素上需要計算未知量的那些點，稱做節點(node)，而元素的兩端稱為端點。節 點的數目及取法隨著元素的種類不同而不同，可以分為定常元素，線性元素，混 合元素和高次元素，在本論文中將使用線性元素。線性元素上的u、 q 值在元素 上是座標的線性函數，而節點位於元素兩端的端點，所以元素是直線段。如圖(3.4) 所示，設元素(j)上的無量綱局部座標為ξ=2x d，d為元素的長度，則元素上任 一點u、 q 值可以用兩個插值函數N1及N2來表示，例如u，設 ξ + =a b u (3.40) 其中a，b為未知數，由於 ⎩ ⎨ ⎧ + = ξ = = ξ = + Γ Γ 1 當 -1 當 , u u , u u 1 j j (3.41) 可得

( )

j1 2 j 1u N u N u ξ = _Γ+ _Γ+ (3.42) 其中 2 1 N , 2 1 N₁ = −ξ ₂ = +ξ (3.43) 對於 q 也有同樣形式的公式。所以對(j)元素的u

( )

ξ 及q

( )

ξ 可以表示如下

( )

[

]

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + = ξ ₊ Γ Γ + Γ Γ j1 j 2 1 1 j 2 j 1 u u N N u N u N u (3.44)