隨機波動下利率變動型年金保險之違約風險分析 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學風險管理與保險學系研究所碩士學位論文. 政治大. 學. ‧ 國. 立隨機波動下利率變動型年金保險之違約風險分析. Nat. n. al. er. io. sit. under Stochastic Volatility. y. ‧. Default Risk of Interest Sensitive Life Annuity. Ch. engchi. i Un. v. 指導教授：張士傑博士研究生：江旻樺撰. 中華民國一○五年七月.

(2) 摘要資本市場之系統性風險加劇時，對於利率變動型年金保險所持有之區隔資產將出現大幅波動，影響保險公司之清償能力，本研究透過建立區隔資產負債表之隨機模型，檢視系統性風險下對於人壽保險業違約風險之變化。本研究在資產部分是以Cox et al. (1985) 模型模擬利率的動態，並以Heston (1993) 模型描述標的資產的隨機波動過程。而負債面則是以. 治政大利率變動型年金為例，除了宣告利率外，還加入解約率的因子作討論，立 ‧ 國. 學. 藉由資產與負債的變化衡量保險公司違約風險。. 此外，本研究以蒙地卡羅法模擬 50,000 次，來分析影響違約風險. ‧. 之各項因子，包含解約、利率與資產配置策略之關聯性，並以違約機. Nat. sit. y. 率、風險值以及條件尾端期望值作為保險公司清償能力之衡量指標。. er. io. 根據研究結果顯示：. n. a. v. l C 1. 提高預定利率時，亦影響宣告利率下限，其破產機率越高。 ni. hengchi U. 2. 當期初資產負債之槓桿比例越高時，其破產機率明顯提升。 3. 提高投資股票之權重時，受股票波動影響，破產機率提高。 4. 延長評價時點，受到解約費用影響也越大，破產機率增加。. 關鍵字：區隔資產負債表、現金流量、解約、資產配置、Heston 模型. 2.

(3) Abstract When the systemic risks increase violently in capital markets, the segment assets held by interest sensitive life annuity contracts will fluctuate significantly. In addition, it will affect the solvency of insurance companies. In this study, we establish a stochastic model of segment balance sheet to view the changes under the systemic risk of default value in life insurance industry. In this paper, we incorporate the stochastic interest rate framework of Cox et al. (1985) and the stochastic volatility model of Heston (1993). Moreover, we creates a model of balance sheet in accordance with the. 政治大 of asset and liability to analysis the default risk in insurance companies. 立. cash flow of interest sensitive life annuity contracts. We use the change. Through Monte Carlo simulations by 50,000 times, we analysis the. ‧ 國. 學. factor of default value, such as the relationship between surrender, rate and asset allocation strategies.There three common indexes to measure. ‧. the solvency of insurance companies, such as ruin probability, value at. y. Nat. risk and conditional tail expectation.. io. sit. According to this paper, we can find that the ruin probability in-. er. creases with the debt-to- asset ratio and assumed interest rate. Moving. n. al. i n C U he decreases with increasing the weight of bonds. ngchi. v. on to the asset allocation strategies, we find that the ruin probability. Keywords: segment balance sheet, cash flow, surrender, asset allocation strategies, Heston model. 3.

(4) 目錄 1 緒論. 7. 1.1. 研究動機與目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.2. 文獻回顧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.2.1. 資產面相關文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.2.2. 負債面相關文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 2 模型架構. 12. 資產模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. ‧ 國. 學. 固定收益型基金價格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.1.2. 權益股票型基金價格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. y. sit. 約當現金價格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. io. 2.1.4. Nat. 2.1.3. ‧. 2.1.1. 資產配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. n. al. er. 2.1. 立. 政治大. iv. 2.2. 負債模型 . . . . C . . . . . . . . . . . . .n. . . . . . . . . . . . 16. 2.3. 經濟資產負債模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 2.4. 清償能力評估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. hengchi U. 3 數值分析 3.1. 23. 參數估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1. CIR 利率模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 3.1.2. Heston 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 3.1.3. 其他參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.

(5) 3.2. 模擬方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 3.3. 實證結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 4 結論. 32. 參考文獻. 33. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 5. i Un. v.

(6) 圖目錄圖1. 保險業資產佔金融市場比率表 . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 圖2. 2007 年至 2016 年政府十年期公債殖利率 . . . . . . . . .. 8. 圖3. 利變型商品結構 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 圖4. 經濟資產負債表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 圖5. 模擬短期利率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 圖6. 模擬固定收益型基金 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. ‧. Nat. y. 表目錄. 模擬約當現金 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 學. 圖8. ‧ 國. 圖7. 政治大模擬權益股票型基金 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 立. 表2. 利變型年金的商品內容假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 表3. 參數定義 . . . C . .h. . . . . . . . . U . .n. . . . . . . . . . . . 17. 表4. CIR 模型參數定義與數值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 表5. Heston 模型參數定義與數值 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 表6. 其他參數定義與數值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 表7. 情境一之隨機波動下之數值分析 . . . . . . . . . . . . . . . 28. 表8. 情境二之隨機波動下之數值分析 . . . . . . . . . . . . . . . 29. 表9. 情境三之隨機波動下之數值分析 . . . . . . . . . . . . . . . 30. 表 10. 情境四之隨機波動下之數值分析 . . . . . . . . . . . . . . 31. n. al. er. sit. 資產負債表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. io. 表1. engchi. 6. iv.

(7) 1. 緒論. 1.1. 研究動機與目的. 根據統計，2015 年底台灣金融機構總資產為新台幣 67.92 兆元，保險業資產總額占金融市場 30.32％(見圖 1)，且有逐漸增加的趨勢，充分顯示保險業在金融市場地位之穩健，若保險公司未能衡量因市場及波動性所帶來之系統性風險，將對財務造成極大的負擔，不但會影. 政治大. 響清償能力，也將對社會造成衝擊，因此保險公司應先衡量現在及未. 立. 來將面臨多大的系統性風險或隨之帶來連動性，做適當資產負債管理，. ‧ 國. 學. 以避免將來失卻清償能力，為本研究之核心。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 1: 保險業資產佔金融市場比率表. 台灣市場自 2000 年後，一直處於低利率的環境 (見圖 2)，在此環境下，使得過去之傳統年金保險銷售上受到考驗，也使得過去熱賣. 7.

(8) 之高預定利率保單增加公司未來的風險，為因應這樣的環境，利變型年金因而產生，且更能有效規避利差損風險。. 圖 2: 2007 年至 2016 年政府十年期公債殖利率. 立. 政治大. 所謂利率變動型年金險，類似於銀行存款，保戶繳交保費並扣除. ‧ 國. 學. 相關費用後，其保單價值準備金依保險公司每年公告的宣告利率來作. ‧. 累積，宣告利率通常都高於銀行的定存利率，亦有公司以宣告利率與保單利率之差額，提供給保戶配息等制度，也就是說，當宣告利率愈. sit. y. Nat. 高，保單價值準備金的累積速度愈快，在推出後便立刻受到市場歡迎。. er. io. 利變型年金是種成本會變動的商品，其保費多為躉繳，保險公司 a. n. iv l C n hengchi U 收進保費後，若將全數投資在債券上，一旦利率上升時債券價格下跌，會造成一定的利差損風險，然而，保險公司實際在資金上的運用不可能全押在單一項目上，如股票、不動產也是可投資的標的選擇。而利率變動型年金之投保收益，關係著保戶退休之生活保障，相對地，也影響到保險公司經營盈虧與未來之清償風險。對保險公司而言，利變型年金其實隱含著極高的利率風險，因利率變動型保單勢必要宣告利率較高，才能吸引保戶投保，代表著保險公司實際的投資報酬率需可以滿足保戶對宣告利率的期待水準。 8.

(9) 此外，現市面上販售的利變型年金解約費用並不高，保戶不用承擔太大的解約成本，主管機關擔心此保戶隨時解約可能會造成公司流動性風險，因此逐步強化對利率變動型年金之管理，包括資產區隔分開計算資金報酬率，免解約費期間至少三年等，並要求收取一定年期的附加費用，使 2011 年保費收入成長率首次低於經濟成長率。綜合以上，保險公司既要滿足保戶期待的收益率，又需考量到資產與負債是否會無法配合，因此，本研究以利變型年金商品之現金流. 政治大. 量來模擬保險公司資產負債模型，衡量其違約風險。. 立. 本研究之特色在於隨機模型部分則是採用Heston (1993) 模型去描. ‧ 國. 學. 述標的資產的隨機波動過程，並加入解約率的部分，最後以違約機率. ‧. 與條件尾端期望值等方式評估保險公司之清償能力。隨機波動模型之. sit. al. n. 文獻回顧. er. io. 1.2. y. Nat. 資料則是採用台灣加權股價指數選擇權以及台灣政府公債殖利率。. Ch. engchi. i Un. v. 本研究分別建立資產面模型與負債面模型，模擬保險公司之資產負債表，衡量利率變動型年金對保險公司未來之違約風險。 1.2.1 資產面相關文獻. Grosen and Jørgensen (2000) 提出資產面架構，文中探討躉繳型之分紅保單，此商品之紅利是以保險公司經營分紅保單的績效分配而來，與利變型年金之宣告利率有異曲同工之妙，故本研究以此文架構為基礎，並參考 Hsuan and Chang (2015) 來建立資產模型。 9.

(10) 利率模型則是參考Cox et al. (1985) 模型，描述利率之隨機過程，此模型具有均值復歸的特性，當短期利率偏離長期平均利率水平時，利率會以一定速度拉回長期平均利率水準，且由於在方根的假設下，除了可以避免負值利率的產生，亦使在高利率水準下有高波動性，在低利率水準下有低波動性，較貼近實際市場狀況。 Black and Scholes (1973) 模型假設標的資產價格呈現對數常態分配，並波動度為固定常數，推導出衍生性金融商品的價格，雖然已廣. 政治大. 泛應用在選擇權商品的訂價，但仍存在不符合現實之情況。Rubinstein. 立. (1985) 指出真實市場上之選擇權的隱含波動度會有微笑曲線 (Volatility. ‧ 國. 學. Smile) 的現象，波動度會隨時間變化有一個集聚過程，這與模型本身. ‧. 的假設有很大的出入。. sit. y. Nat. 為改善此現象，Heston (1993) 假設波動度不為固定常數，以反映現實上的系統性風險所帶來的波動，且此模型還可考慮到資產價. er. io. n. 格和資產波動率的相關性。Gesser and Poncert (1997) a v 與Bakshi et al.. i l C n U hengchi (1997) 於文中皆證明了改善後的模型在執行的可行性與方便性都較其. 他模型佳，更能符合市場之情況。故本研究採用Heston (1993) 模型來進行權益股票型基金價格的模擬。參數估計部分，本研究先以最小平方法得到估計之初始值，再以最大概似法得Cox et al. (1985) 利率模型參數，但對於Heston (1993) 較為複雜的模型，則是採用Bakshi et al. (1997) 提出之非線性最小平方法，概念是利用選擇權模型理論價格與市場實際價格之函數最小化，並反推出最適解。Dumas et al. (1998) 也皆用此模型來求算模型參數。 10.

(11) 1.2.2 負債面相關文獻. 至於負債面，本研究參考Grosen and Jørgensen (2000) 文中分紅保單之分紅機制，加入金管會公布之利率變動型年金保險費率相關規範，並參考 Hsuan and Chang (2015) 文中提到之模型來假設宣告利率。由於現在市場上販售的利變型年金的解約費用率並不高，保戶不用承擔太大的解約成本，當利率越高，保戶則越有可能解約，把資金移至市場投資，得到更高的報酬，對保險公司投資的相關資產可能都. 政治大. 會隨之出現解約損失，若保單模型結構忽略解約率，將高估保單準備. 立. 加入解約率因子來探討保險公司未來清償能力。. 學. ‧ 國. 金，因此，本研究為了使模型更貼近真實市場，除了宣告利率外，亦. ‧. 解約率的模擬主要可分成經濟因素 (如市場利率、失業率) 與非經. sit. y. Nat. 濟因素 (如解約費用、佣金)。Kim (2005) 以韓國與美國之壽險資料，. a. er. io. 以生死合險商品探討利差、失業率與解約率模型的關係。Tsai et al.. n. iv (2003) 使用美國壽險解約率資料，觀察出解約率、市場利率及失業率 l. Ch. n engchi U. 具有長期共整合關係，亦指出市場利率之隨機衝擊對解約率之影響較失業率之隨機衝擊大，即市場利率較失業率更具有經濟上之顯著影響。 Asay et al. (1993) 則認為，如遞延躉繳年金或是利變型年金等商品等具有儲蓄性質的商品，其解約率用反正切利差解約率模型 (Arctangent Surrender Rate Model) 較為適合，也因為商品具有儲蓄性質，通常有較高的解約價值，對利差也會有較高的敏感度。故本研究解約率採用反正切利差解約率模型。. 11.

(12) 2. 模型架構. 本章採用Grosen and Jørgensen (2000) 的模型所建立的資產負債模擬架構，分為資產面、負債面的模型介紹與模擬過程。假設有一利變型年金商品，於保單初年度收到 1,000 筆 35 歲男性的 200 萬躉繳保費，保險公司會將期初資本額及期初所收到的保費全額作為準備金提存並進行投資。為簡化模型，我們用第 t 年期來說明. 政治大. 利率變動型年金保單的資產負債表的資產面與負債面價值，而非公司整體之資產負債表。. 立. ‧ 國. 學. 在資產模型部分，假設資產投資工具有約當現金 Mt 、固定收益基金 Bt 、權益股票基金 St 等構成，其利率以 CIR 模型的利率期間結構. ‧. 理論來建構隨機利率；而負債模型部分，為保單價值準備金 Lt ，假設. y. Nat. io. sit. 其解約率為市場定存利率與宣告利率之利差的反正切函數；最後，假. er. 設保險公司皆在期末評估價值，求出保險公司此保單之權益價值 Ft 及. n. al. ni Ch 該公司之的違約機率。以公式表示為： U engchi. v. Bt + St + Mt = Lt + Ft .. 則在時間 t 點下的資產負債表可表示為：負債 + 權益. 資產約當現金. Mt. 固定收益基金. Bt. 權益股票基金. St. 保單價值準備金. Lt. 權益. Ft. At. At. 表 1: 資產負債表 12.

(13) 2.1. 資產模型. 本研究採 CIR 模型作為利率模型，來描述利率長短期的變化，由於 CIR 模型具有均值復歸 (Mean Reversion) 的特性，在方根利率的假設下，確保在模擬未來利率趨勢不會產生負值利率，且利率波動的程度會隨利率下降而減少，較貼近實際市場情況，其模型設定如下： √. drt = κr (θr − rt )dt + σr rt dZr ,. 政治大. κr > 0. ，為利率均值復歸之復歸速度. θr > 0. 立，為長期平均利率之復歸水平，為無風險利率之波動度. σr > 0. 學. ‧ 國. 其中，. (1). √. y. ，服從標準常態，即 εr ∼ N (0, 1). io. sit. Nat. εr. ‧. dZr = εr dt ，為利率瞬間波動的隨機誤差. er. 2.1.1 固定收益型基金價格. al. n. iv n C 在上述 CIR 模型的假設下，依Brigo U Mercurio (2006) 之評價 h e n g c h iand 公式，可推得到期日 T 之固定收益基金在時間 t 的價格 Bt,T ，如下： Bt,T = b1t,T · e−b2t,T rt ,. (2). 其中， . b1t,T. (κr +h)(T −t).  2κr2θr. 2 2he  =  (h + κr )(eh(T −t) − 1) + 2h. b2t,T =. 2(eh(T −t) − 1) , (h + κr )(eh(T −t) − 1)) + 2h. √. h =. κ2r + 2σr2 , 13. σr. ,.

(14) 得債券價格 Bt,T 後，則可推導出 T 年期之長期利率 Rt,T ： Rt,T =. − log Bt,T . T −t. (3). 然而，固定收益基金的獲利主要來源是配息，其價值易受到市場利率的變化而產生波動，因此投資人常以存續期間 (Duartion) 作為固定收益基金價格風險衡量指標，離到期日愈近，存續期間就愈短，時間價值流失也越快，甚至可能為零，但在現實生活中，保險公司會持續買進不同之固定收益基金組合，使其存續期間維持在一定標準，故. 治政本研究假設存續期間為一固定值，即 T = t +大 τ ，則模型設定可寫成：立 Bt,T. √ = rt dt − b2t,T σr rt dZr .. 學. ‧ 國. dBt,T. ‧. 2.1.2 權益股票型基金價格. (4). sit. y. Nat. Heston (1993) 模型假設股價 St 服從Black and Scholes (1973) 模. n. a. i Un. dSt l= CµSt dt + vt St dZS , √. hengchi. er. io. 型，隨機變異數 vt 服從 CIR 利率模型，故模型以 SDE 表示如下：. √. v. dvt = κv (θv − vt )dt + σv vt dZv , 其中，. µ. ，為股票之報酬. vt > 0. ，為股價之波動度. κv > 0. ，為波動度均值復歸之復歸速度. θv > 0. ，為波動度均值復歸之復歸水平. σv > 0. ，為波動度之變異數. ρ. ，為 ZS 與 Zv 的相關係數 14. (5) (6).

(15) 2.1.3 約當現金價格. 約當現金是指短期、具高度流動性之短期投資，因為變現容易且交易成本低，可視為現金。如商業本票、貨幣市場基金、可轉讓定期存單等皆可列為約當現金。而約當現金之價值會隨利率 rt 成長，其利率亦服從 CIR 利率模型，即： dMt = rt · Mt dt.. (7). 政治大. 2.1.4 資產配置. 立. 假設保險公司將資產配置於固定收益基金、權益股票基金、約. ‧ 國. 學. 當現金之比例為 ωB 、ωS 、ωM ，且 ωB + ωS + ωM = 1。假設保險公司. =. ϕS ·St At 、ωM. ϕM ·Mt At 。則可得. =. y. ϕB ·Bt,T At 、ωS. sit. Nat. 單位於約當現金，則 ωB =. ‧. 投資 ϕB 單位於固定收益基金部位、ϕS 單位於權益股票基金及 ϕM. n. daAlt. er. io. At = ϕB · Bt,T + ϕS · St + ϕM · Mt .。其投資報酬率為： rA,t =. At. Ch. = ωB. i n B S U e nt,Tg c h i t dBt,T. + ωS. dSt. v dMt. + ωM. Mt. .. (8). 但保險公司之資產部分除了依報酬率持續累積外，還須扣除保險給付 πt ，包含死亡給付及解約給付等，再加上其變動參數 σπ 與隨機干擾項 dZπ ，則可得保險公司之資產變動如下： dAt = rA,t · At − πt + πt σπ dZπ .. 15. (9).

(16) 2.2. 負債模型. 本研究是以利變型年金商品之現金流量來模擬保險公司資產負債模型。其中較為特別的是宣告利率，宣告利率非固定利率，是指保險公司將保戶所繳交之保險費有效運用後，其投資報酬率扣除相關費用率，定期宣告並以計算保單價值準備金，而宣告利率隨經濟環境波動，目前保險公司皆不用負最低宣告利率保證之責，但不得為負數。利變型年金商品給付時間點主要可分為保單帳戶價值的累積期間. 治政大及年金的給付期間。在累積期間內，若被保險人於累積期間內身故，立 ‧ 國. 學. 則於年底返還當時年金保單價值準備金，契約即行終止；若保單持有. 人因故提早解約，保險公司須返還解約金，通常解約金為保單價值準. ‧. 備金扣除一定比例之金額。至於在年金給付期間，則是依保單約定以. Nat. io. 讓被保險人活到老、領到老。(見圖 3). n. al. Ch. engchi. i Un. 圖 3: 利變型商品結構. 16. er. sit. y. 一次給付，或是按當時預定利率及年金生命表計算每期給付年金金額，. v.

(17) 壽險業之負債來自於未來保險給付的折現值，其概念相似於價值準備金，故負債之隨機過程必須反映利率變動所帶來的影響，與平時可能面臨的系統性風險，但除了利率的影響，其他如宣告利率適用期間、解約率等也應一併考量。表2為參考市面上所販售之利率變動型年金商品後所提出的內容假設，本研究用到之參數則列於表3。表 2: 利變型年金的商品內容假設商品. 利變型年金 (不分紅保單). 政治大. 繳費方式. 期初躉繳 200 萬. 投保限制. 假設 1,000 名被保險人皆為 35 歲男性. 預定利率. 1.5％. 立. ‧ 國. 學. 附加費用率 3.15％. y. Nat. 解約費率. 10 年保證期間 1. io. 3. Ch. 死亡率臺灣壽險業第二回年金生命表給付方式. 4. 5. 6. 7+. 3％ 2.5％ 2％ 1.5％ 1％ 1％ 0％. n. al. 2. er. 保單年度. sit. 年金保證期間. ‧. 年金累積期至少 6 年，此假設保險公司於被保人 65 歲時開始給付年金. engchi. i Un. v. 年金給付為每年給付，給付期間無法解約解約給付或死亡給付皆在年底給付. 表 3: 參數定義參數. 參數解釋. 參數. rp,t. 宣告利率. lt. 第 t 年之存活人數. rG. 預定利率. Vt. 第 t 年之單一保單之準備金. rA,t. 公司投資績效. d qx+t. 17. 參數解釋. 第 t 年之死亡率.

(18) s qx+t. 第 t 年之解約率. k. 宣告利率上限. ε. 投資績效調整項. β. 解約率模型估計係數. πt. 死亡與解約之給付額. ∆t. 利差 (市場利率減宣告利率). 解約費用率. Pt. 每年年金給付額. SCt. 假設保險公司針對 l0 位 x 歲的特定族群為銷售一利變型年金，年金保證給付年為 m 年，於保單初年度躉繳保費，由於本研究討論的是群體 (cohort) 的概念，所以我們將第 t 年單一保單之準備金 Vt 乘上. 政治大公司收到之所有躉繳保費。立. 當年存活人數 lt ，則可得保險公司之負債 Lt = Vt · lt ，其中 L0 為保險. ‧ 國. 學. 若從期初開始推論，我們可以發現，在保單價值準備金累積期間，每經過一年，其公司負債經宣告利率累積價值後，再扣除實際幾. ‧. 付才為新年度之負債，而總給付額 πt 為當年脫退人數乘上每一保單之. y. Nat. = DBt + SBt. al. n. πt. er. io. 總給付額. sit. 給付額，即死亡總給付 (DBt ) 加上解約總給付 (SBt )，表示如下：. d 死亡總給付 DBt = lC ) n t·q hx+t · Vt · (1 + rp,tU. engchi. iv. d = Lt · qx+t · (1 + rp,t ). 解約總給付. SBt. s = lt · qx+t · Vt · (1 + rp,t )(1 − SCt ). s · (1 + rp,t )(1 − SCt ). = Lt · qx+t. 而假設保險公司於第 T 年開始給付年金，年金給付額 Pt 表示如下： Pt =. lt · Vt a ¨m +m Ex+T +m · a ¨x+T +m. 18. (10).

(19) 則保險公司於年金累積期間所需提存準備金為： L0 = l0 · V0 . L1 = L0 · (1 + rp,0 ) − L0 · (1 + rp,0 ) · qxd − L0 · (1 + rp,0 ) · qxs (1 − SC0 ) = L0 · (1 + rp,0 ) − π0 . d s L2 = L1 · (1 + rp,1 ) − L1 · (1 + rp,1 ) · qx+1 − L1 · (1 + rp,1 ) · qx+1 (1 − SC1 ). = L1 · (1 + rp,1 ) − π1 .. 政治大. .. .. 立. 金後所需提存準備金，故可推得負債模型如下：. ‧. Lt+1 =.       Lt · (1 + rp,t ) − πt ,. 學. ‧ 國. 參考金管會公布之利率變動型年金保險費率相關規範，得開始給付年. if t ≤ T ,. (11). if t > T ,. a. er. io. sit. y. Nat.     ¨m+T −t−1 ),  (Lt − Pt · a ¨m+T −t ) · (1 + rp,t ) + Pt · a. n. 其中，a¨m 為以預定利率計算 m 年之確定年金現值因子，而保險給付 iv l. n U i e h dg c s (1 − SC ). ，額 πt 可表示為 πt = Lt · (1 + rp,t ) ·nqx+t + Lt · (1 + rp,t ) · qx+t t. Ch. T 為開始年金給付保單年度。. 此外，以往宣告利率是依照各保險公司投資績效自行規定，但為避免公司宣告利率與區隔資產差異過大，金管會於 2015 年初明定宣告利率之上限，規定保單宣告利率不得高於商品區隔資產前十二個月的平均投資報酬率加計兩碼 (0.5 個百分點)，並期望公司應維持宣告利率之合理穩定性，且符合保單條款約定之最低保證之預定利率 rG ，故訂. 19.

(20) 定宣告利率 rp,t 如下： [. ]. rp,t = max rG + ε, � min(rA,t , k) ,. (12). 其中，rA,t 為公司投資績效，ε 為調整項，ε ∈ [−0.01, 0.01]，k 為區隔資產前十二個月的平均投資報酬率加計兩碼。至於解約率，我們採用反正切利差 ∆t 解約率模型，其公式如下： {. [. ]}. qx+t = max lb�, � min ub�, �β1 + β2 · tan−1 (β3 · ∆t − β4 ) (s). .. (13). 政治大若將反正切函數做一階與二階微分，可得到鞍點 (saddle point) 會立. ‧ 國. β4 β3. 的時候；若利差超過鞍點，解約率會趨近於 β1 ；. 學. 出現在利差等於. 又若利差等於鞍點，解約率則會趨近於 β2 · β3 ，我們假設解約率上限. ‧. 為 30％，下限為 0％，並參考 Cox (1992) 假設參數 (β1 , β2 , β3 , β4 ) 分別. y. Nat. io. sit. 為 (0.07, 0.05, 50, 1)。. er. 然而，為考慮解約率對於負債之影響，由於年金給付期後不得解. n. al. iv. 約，且年金給付期相較於累積期，面臨之利率風險相對較小，故本研 n C. hengchi U. 究於負債面只討論保單價值準備金累積期間，綜合以上，保險公司之負債變動如下： dLt = Lt · rp,t − πt .. 2.3. (14). 經濟資產負債模型. 本研究以經濟資產負債模型 (Economic Balance Sheet) 來衡量股東權益與保險公司面臨之違約機率，有別於過去以攤銷方式，此模型是以市值 (Market Value) 作為資產評估的標準。為簡化模型，假設 20.

(21) 保險公司只販售利變型年金商品，如前小節所示，保險公司於期初所收到的保費為 L0 ，也假設保險公司會將期初資本額 A0 進行投資，此外，我們假設在 t = 0 時之槓桿比例為 γ ，γ ∈ [0, 1]，即期初負債為 L0 = γ · A0 ，股東權益為 F0 = (1 − γ) · A0 ，則資產負債表如圖 4表示。. 圖 4: 經濟資產負債表. 學. ‧ 國. 立. 政治大. ‧. sit. y. Nat. 此外，負債之準備金是以每年為單位由宣告利率作累積，資產則是隨每日之投資績效而變動，但為了保持負債與資產的模擬期間一致，. er. io. n. 我們假設在 t 與 t + 1 a 期間的長度為每年，也就是將資產每日的變動累 v. i l C n U hengchi 積至一年後，再與負債作比較。最後，透過資產與負債每期的變化，我們可以描繪出股東權益的模擬情況，其模型表示如下： Ft+1 = At+1 − Lt+1 = (At + dAt ) − (Lt + dLt ) = At − Lt + rAt · At + πt σπ dZπ − Lt · rp,t .. 21. (15).

(22) 2.4. 清償能力評估. 本研究參考台灣現行法規及各公司之風險管理資訊，在資產與負債均採用市值與市場一致性之衡量基礎下，計算未來保險公司可能會因風險發生而產生的損失。而損失的預測方法，本研究採用下列三種常見的風險衡量指標— 破產機率 (Ruin Probability, RP )、風險值 (Value at risk, VaR) 及條件尾端期望值 (Conditional Tail Expectation, CTE) 方法來衡量保險公司之違約風險。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 破產機率 (RP ) 代表若負債價值大於資產價值時，公司面臨違約風險的機率為：. ‧. RPt = P (Lt − At ≥ 0) = P (Dt ≥ 0) ≤ ϵ. Nat. sit. y. (16). er. io. 但此方法僅能提供破產的機率，無法衡量其嚴重性，所以我們也會. n. al 採用 VaR 與 CTE 來衡量保險公司之違約風險，而所謂 VaR 的定義 iv. n U i e h ngc 是，是某一資產或投資組合在特定期間及特定信賴水準 α 下，因市場. Ch. 各經濟變數發生變動而產生的最大損失，此一最大損失即為風險值； V aRα (Dt ) = inf {l ∈ R�; P (Dt > l) ≤ 1 − α} = Qα (Dt ). (17). 而 CTE 方法更為保守，一樣在 α％信賴水準的條件下，不但能表現尾端風險發生的可能性，也能估計嚴重性，其定義如下： CT Eα (Dt ) = E [Dt |Dt ≥ Qα (Dt )]. 22. (18).

(23) 3. 數值分析. 3.1 3.1.1. 參數估計 CIR 利率模型. 本研究參考 Kladivko (2007)，以最小平方法 (Ordinary Least Squares; OLS) 找初始值，再以最大概似估計法 (Maximum-Likelihood Estimation; MLE) 得最適參數值。由於評估時點不同，故歷史資料採. 政治大. 用的是台灣十年政府公債殖利率與二十年政府公債殖利率，其採用期. 立. 間皆為 2005 年 1 月 1 日至 2015 年 12 月 31 日。得到之參數值如表4。. ‧ 國. 學. θr σr. 利率給定初始值. sit. y. 參數值 0.0200. 0.5228 a利率均值迴歸之迴復速度 v i 0.0143 l C 長期平均利率之迴復水平 n U hengchi 無風險利率之波動度 0.0343. n. κr. io. r0. 參數解釋. er. Nat. 參數. ‧. 表 4: CIR 模型參數定義與數值. (資料：台灣十年政府公債殖利率). 參數. 參數解釋. 參數值. r0. 利率給定初始值. 0.0200. κr. 利率均值迴歸之迴復速度. 0.6716. θr. 長期平均利率之迴復水平. 0.0189. σr. 無風險利率之波動度. 0.0300. (資料：台灣二十年政府公債殖利率). 23.

(24) 3.1.2. Heston 模型. 股票部分則是參照Bakshi et al. (1997) 提出之非線性最小平方法，概念是利用選擇權模型理論價格與市場實際價格之差值找出最適解，即： min S(Ω) = min. N ∑. [. ]2. ωi CiΩ (Ki , Ti ) − CiM (Ki , Ti ). i=1. 其中，Ω 為參數向量，CiΩ (Ki , Ti ) 和 CiM (Ki , Ti ) 分別為第 ith 個選擇權模型理論價格與選擇權實際市場價格，Ki 與 Ti 分別為對應的履約價格與到期日，ωi. 政治大則為權重。立. ‧ 國. 學. 另外，本研究也參考 Namalin Moodley (2005) 文中提到 Maltab 的 lsqnonlin 函數得到最適參數值。採用資料為台灣加權股價指數選擇. ‧. 權 (TXO) 上下市之日資料，由於履約時只有價內（in the money）才. Nat. sit. y. 有履約的價值；價外（out of the money）和價平（at the money）則. n. a. i Un. l C 日，共 33,284 筆資料。模擬之參數值如表5。. hengchi. er. io. 否，故保留價內的資料，期間是 2015 年 5 月 1 日至 2016 年 4 月 30. v. 表 5: Heston 模型參數定義與數值參數. 參數解釋. 參數值. µ. 股票之報酬. 0.0200. v0. 變異數之初始值. 0.1522. κv. 變異數均值迴歸之迴復速度. 51.791. θv. 變異數均值迴歸之迴復水平. 0.0054. σv. 變異數之波動度. 0.1645. ρ. ZS 與 Zv 的相關係數. 0.8937. 24.

(25) 3.1.3 其他參數. 參照保險發展中心公開資訊，根據近五年台灣壽險業資金運用表，本研究假設保險公司投資於固定收益型基金、權益股票型基金與約當現金之權重比為 70:23:7。假設期初有 1,000 名 35 歲男性投保，每人躉繳保費為 200 萬新台幣，故負債初始值為 20 億元新台幣，並參照市面上利變型年金商品，假設預定利率設為 1.5％。表 6: 其他參數定義與數值. 政治大參數解釋立. 參數. ωS. 投資於權益股票型基金之權重. ωM. 投資於約當現金之權重. L0. 保險公司之負債初始值. 20 億元 1.5％. n. al. er. sit. y. 預定利率. io. 3.2. 模擬方法. 23％ 7％. Nat. rG. 70％. ‧. ‧ 國. 投資於固定收益型基金之權重. 學. ωB. 參數值. Ch. engchi. i Un. v. 假設第 t 期與第 t + 1 期時點之時間長度為一年，並以時間長度為 ∆t =. 1 252. 來模擬每個交易日利率與投資標的之變動情況，設定 t = 0 為. 評估之起始點，將過去歷史資料做參數估計所得到之參數代入，模擬第 i 時點下的投資標的之價值。短期利率 (ri )、固定收益型基金 (Bi )、權益股票型基金 (Si ) 及約當現金 (Mi ) 之模擬公式分別列於下式： √ √ ri+1 = ri + κr (θr − ri )∆t + σr ri ∆tZr , 25.

(26) √ √ Bi+1 = Bi + ri ∆t + b2,τ σr ri ∆tZr , Si+1 = Si + µSi ∆t +. √ √ vi Si ∆tZS ,. √ √ vi+1 = vi + κv (θv − vi )∆t + σv vi ∆tZv , Mi+1 = Mi + ri Mi ∆t ,. 而資產與負債方面則是以一年為單位來模擬其變動，算出投資標的每個時點之價值後，便可進而計算出該年之投資報酬率、宣告利率，. 政治大. 以及所累積之資產與負債，其模擬公式如下：. 立. At+1 = At · (1 + rA,t ) − πt + πt σπ dtZπ ,. ‧ 國. 學. Lt+1 = Lt · (1 + rP,t ) − πt ,. ‧. Ft+1 = At+1 − Lt+1 .. Nat. n. al. er. io. 其模擬結果分別於圖5 、圖6 、圖7 及圖8 所示。. sit. y. 最後將上述過程模擬 50,000 次，觀察其資金缺口的狀況與機率。. Ch. engchi. i Un. 圖 5: 模擬短期利率. 26. v.

(27) 政治大. 圖 6: 模擬固定收益型基金. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. 圖 7: 模擬權益股票型基金. 圖 8: 模擬約當現金 27. v.

(28) 3.3. 實證結果. 本研究透過四種情境模擬，將評價時點分成 10 年、20 年兩時間點，並依不同資產與負債之槓桿比例 (γ )、預定利率 (rG ) 及投資權重 (ωB , ωS , ωM ) 來做敏感度分析。. γ =0.80. 6.96％治 0.10％政大 3.1176E+07 -1.0242E+08. 0.00％. 立 6.2512E+07. -2.5226E+08. -6.8803E+07. -2.1623E+08. 預定利率 1.5％. γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 29.02％. 2.24％. 0.02％. 風險值 VaR. 1.2036E+08. -1.2579E+07. -1.6181E+08. 條件尾端期望值 CTE. 1.5686E+08. 2.4951E+07. y. -1.2181E+08. 預定利率 2.0％. γ =0.90. sit. 預定利率 1.0％. γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 62.48％. 13.28 ％. 0.60％. 違約機率 PD 風險值 VaR. Nat. io. al. n. 違約機率 PD 風險值 VaR 條件尾端期望值 CTE. ‧. ‧ 國. 條件尾端期望值 CTE. 學. γ =0.85. er. 表 7: 情境一之隨機波動下之數值分析. iv n 2.1888E+08 8.6330E+07 C hengchi U 2.5560E+08. 1.2573E+08. -6.2579E+07 -2.0306E+07. 【情境一】評價時點 10 年，(ωB , ωS , ωM )=(0.70 , 0.23 , 0.07) 從表7 可觀察出，當預定利率越大時，不僅違約機率明顯升高，風險值與條件尾端期望值也隨之增高。此外，從表7 亦可發現，當 γ =0.80 與 0.85 時，無論在預定利率為 1.0％、1.5％或是 2.0％，其違約機率間僅些微增加，然而，一旦當 γ 提高至 0.90 時，違約機率卻大幅上升，甚至達到 62.48％。 28.

(29) 表 8: 情境二之隨機波動下之數值分析 (0.60 , 0.30 , 0.10). γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 43.73％. 8.48％. 0.56％. 風險值 VaR. 1.9779E+08. 6.8718E+07. -7.6131E+07. 條件尾端期望值 CTE. 2.3963E+08. 1.1315E+08. -2.8201E+07. (0.70 , 0.23 , 0.07). γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 29.02％. 2.24％. 0.02％. 風險值 VaR. 1.2036E+08. 1.2579E+07. -1.6181E+08. 條件尾端期望值 CTE. 1.5686E+08. 立. (0.85 , 0.10 , 0.05). 政治 2.4951E+07 大 γ =0.90 γ =0.85. -1.2181E+08 γ =0.80. 0.00％. 0.00％. 風險值 VaR. -1.3283E+08. -2.8016E+08. -4.4568E+08. 條件尾端期望值 CTE. -1.1635E+08. -2.6234E+08. -4.2652E+08. ‧. ‧ 國. 0.00％. 學. 違約機率 PD. sit. y. Nat. 【情境二】評價時點 10 年，預定利率 1.5％. er. io. 在情境二，固定預定利率為 1.5％，調整投資比重。從表8 可發. n. al 現，情境二與情境一結果類似，當資產與負債之槓桿比 γ 越高時，無 iv n U i e h ngc 論違約機率還是條件尾端期望值，皆隨之升高。. Ch. 以權重為 (ωB , ωS , ωM )=(0.70 , 0.23 , 0.07) 來看，違約機率從 γ =0.80 時的 0.02％、γ =0.85 的 2.24％，到 γ =0.90 的 29.02％，皆有明顯升高的趨勢。較為特別的是，以 γ = 0.85 來看，若將債券權重增加．除了風險值與條件期望值由正值轉為負值之外，其違約機率都趨近於 0％，大大降低公司的財務風險。. 29.

(30) 表 9: 情境三之隨機波動下之數值分析預定利率 1.0％. γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 14.03％. 0.43％. 0.00％. 風險值 VaR. 8.2715E+07. -7.5393E+07. -2.5202E+08. 條件尾端期望值 CTE. 1.2071E+08. -3.4086E+07. -2.0837E+08. 預定利率 1.5％. γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 57.15％. 10.27％. 0.40％. 風險值 VaR. 2.4389E+08. 8.6279E+07. -9.0087E+07. 條件尾端期望值 CTE. 2.8731E+08. 預定利率 2.0％. -4.0220E+07 γ =0.80 12.88％. 風險值 VaR. 4.6732E+08. 3.1046E+08. 1.3465E+08. 條件尾端期望值 CTE. 5.1887E+08. 3.6499E+08. 1.9404E+08. ‧ 國. 55.02 ％. ‧. 92.70％. 學. 違約機率 PD. 立. 政治 1.3297E+08 大 γ =0.90 γ =0.85. sit. y. Nat. 【情境三】評價時點 20 年，(ωB , ωS , ωM )=(0.70 , 0.23 , 0.07). er. io. 將評價時點延長至 20 年，其結果與情境一類似，當預定利率越大. n. al 時，不僅違約機率明顯升高，風險值與條件尾端期望值也隨之增高。 iv n U i e h ngc 且一樣當 γ 提高至 0.90 時，違約機率會大幅上升。. Ch. 但在此較為特別的是解約行為的影響，由於前六年之解約費用，當保戶於需支付解約費用之時期解約，保險公司會獲得解約費用，即評價時點間包含免支付解約費用的時期越長，其違約機率也相對越高。故情境三與情境一 (見表 7 ) 相比之下，無論是違約機率、風險值與條件尾端期望值也都明顯增高。. 30.

(31) 表 10: 情境四之隨機波動下之數值分析 (0.60 , 0.30 , 0.10). γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 86.55％. 48.60％. 12.79％. 風險值 VaR. 4.6175E+08. 3.1580E+08. 1.5266E+08. 條件尾端期望值 CTE. 5.1102E+08. 3.7006E+08. 2.1116E+08. (0.70 , 0.23 , 0.07). γ =0.90. γ =0.85. γ =0.80. 違約機率 PD. 57.15％. 10.27％. 0.40％. 風險值 VaR. 2.4389E+08. 8.6279E+07. -9.0087E+07. 條件尾端期望值 CTE. 2.8731E+08. 0.00％. -1.6346E+08. -3.4362E+08. -5.4568E+08. -1.4335E+08. -3.2193E+08. -5.2223E+08. Nat. 【情境四】評價時點 20 年，預定利率 1.5％. y. 條件尾端期望值 CTE. ‧ 國. 風險值 VaR. γ =0.80. 0.00％. ‧. 0.00％. 學. 違約機率 PD. -4.0220E+07. io. sit. 立. (0.85 , 0.10 , 0.05). 政治 1.3297E+08 大γ =0.85 γ =0.90. n. al. er. 情境四則是將評價時點拉長至 20 年，在固定預定利率為 1.5％的. iv. C 條件下，調整投資權重。得到結果與前面情境相似，當資產與負債之 Un hengchi. 槓桿比 γ 越高時，無論違約機率還是條件尾端期望值，皆隨之升高。與情境二 (見表8) 相比，權重 (ωB , ωS , ωM ) 只要為 (0.85 , 0.10 , 0.05) 時，其違約機率都趨近於 0％，而在其他條件下，無論是解約機率、風險值與條件尾端期望值也都明顯增高。以權重為 (ωB , ωS , ωM )=(0.60 , 0.30 , 0.10) 來看，表8 在 γ =0.90 時的違約機率為 43.73％，但在表10，γ 一樣為 0.90 時，其違約機率卻高達 86.55％。. 31.

(32) 4. 結論. 本研究以利率變動型年金商品作為架構，負債模型中除了考慮宣告利率外，還加入解約率因子，其解約率模型採反正切利差函數，以反映市場波動對商品負債之影響；此外，假設保險公司僅投資於約當現金、固定收益型基金與權益股票型基金，以Cox et al. (1985) 所提出之利率模型與 Heston (1993) 之股票模型作為資產模型架構，進而建構. 政治大透過四種情境模擬後，針對不同的槓桿比例、不同投資配置與不立出更符合真實市場之資產負債模型。. ‧ 國. 學. 同預定利率做敏感度分析，並呈現其違約機率、風險值與條件尾端期望值，分析結果得到：. ‧. 1. 提高預定利率越高時，亦影響宣告利率，其破產機率越高。. y. Nat. io. sit. 2. 當期初資產負債之槓桿比例越高時，其破產機率明顯提升。. er. 3. 提高投資股票之權重時，受股票波動影響，破產機率提高。. al. n. iv n C 4. 延長評價時點，受到解約費用影響也越大，破產機率增加。 hengchi U 因此，本研究建議，由於保單大多為長期性的契約，保險公司對於預定利率的假設應採取保守的低估政策，且在利變型年金商品上應備有較高之期初資本，而投資時能依公司之風險承受度調整適當之股債比例，並注意資金運用績效及市場利率的走勢，必能讓違約機率與風險值等降到最低，以滿足主管機關之法令規定。. 32.

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