碩士論文 資訊管理系 朝陽科技大學

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朝陽科技大學 資訊管理系

碩士論文

應用概念構圖於虛擬教室中的分流學習之研究 The Study of Applying Concept Mapping on the Influent

Learning in Virtual Classroom

指導教授:陳榮昌 博士 研 究 生 : 劉淑珍

中華民國 99 年 7 月 20 日

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朝陽科技大學資訊管理系

Department of Information Management Chaoyang University of Technology

碩士論文

Thesis for the Degree of Master

應用概念構圖於虛擬教室中的分流學習之研究 The Study of Applying Concept Mapping on the Influent

Learning in Virtual Classroom

指導教授:陳榮昌 博士 (Rong-Chung Chen) 研 究 生 : 劉 淑 珍 (Shu-Chen Liu)

中華民國 99 年 7 月 20 日

July 20, 2010

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中文摘要

在虛擬教室中,每一個學習者的認知程度與學習能力相較一般傳統學 習環境差異更大,很難設計一套適當的教材來滿足大家的程度。尤其是即 時線上學習的環境中,程度較高的學習者會因課程太容易而降低學習效 率,程度較低的學習者更會因跟不上進度而降低學習興趣,甚至完全脫節。

因此,本研究提出一種分流學習的模式,將學習者依其特有的概念圖來分 類,然後教師就能夠針對不同概念圖的學習群設計其最適合的教材。首先,

教師依該課程所需的先修概念設計一份考題,經過學習者的答題之後,利 用條件機率取得概念之間的關係程度,然後利用此關係來修正學習者的概 念熟習程度,即可測出其對該課程的先修概念的認知程度。本研究利用這 些資訊來構築其概念圖,然後以這些概念圖進行學習群的分群,並依不同 群的特性來調整課程教材及進度,以達到提升學習效率的目的。

關鍵詞:虛擬教室、分流學習、概念構圖、即時線上學習、條件機率

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Abstract

In the virtual classroom, the cognitive level and learning ability of each learner is more difference than the traditional learning environment. It is difficult to prepare a suitable teaching material for the needs of all learners in virtual classroom. Particularly, for online learning in real time, the learners with higher abilities will have lower learning efficiency but the learners with lower abilities could not catch progress of the course. Therefore, in this research, we propose an influent learning model to improve learning efficiency of learners in virtual classroom. In this model, teacher prepares a set of examination questions which include all pre-concepts of the course. The concept map of each learner could be build from his (or her) answers. We obtain the relationship between pre-concepts using conditional probability of answers. Finally, our research uses the relationship to adjust the concept map. We distribute all learners to different influents based on the concept maps of learners. Thus, the teacher could adjust his (or her) teaching materials to fit the characteristics of learners in the variety of influents to improve the learners’ learning efficiency.

Keywords: Virtual classroom, Influent learning, Concept mapping, online learning in real time, Conditional probability

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誌謝

研究所生涯兩年時光匆匆而逝,首先,必須感謝酒窩和培根讓我這個 陪考生有機會接受研究生涯的洗禮,妳們的突發奇想讓得到另一個階段中 學習成長的機會,促使我在另一片天空學習自我獨立的精神與挑戰挫敗的 考驗。

在研究生涯裡,特別感謝指導教授耐心的指導,從基礎的閱讀論文開 始,您都耐心的指導學生學習如何做個研究生應該學習的知識與技能,透 過鼓勵與激勵的方式指導我這個頑固的學生,您的孜孜教誨學生僅記在 心。此外,更感謝中興大學呂瑞麟教授、本校資訊管理系王淑卿教授,在 學生論文口試期間對本論文提出寶貴之意見與建議。

感謝淑卿老師對我的鼓勵與指導,您總是在我失去研究動力的時候不 斷的鼓勵我以及提升研究上的自信心,在您所帶領的淑卿幫的大家庭中學 習如何做研究的過程中,看到了許多不同的研究領域以及學會了很多的知 識與技能,謝謝大家庭中的每個成員,包括了麗雅學姐、子智學長、茂綸 學長、朝宏學長、怡君學姐、小黑學長、慧君、嘉平、小豬、宜屏、彥儒 等,感謝大家在我的研究上給予的建議與批評,讓我從這個溫馨的大家庭 中學習,令我感到非常的溫馨而不孤獨,謝謝大家這些日子的照顧與關懷。

充實的研究生活有淑卿幫以及實驗室大夥的陪伴,讓我覺得生活充滿 了樂趣與溫暖,謝謝裕健學長不時的關心我的研究進度,和我討論研究上 的迷失;謝謝佳奮時常聽我訴說心聲以及處事上應該注意的細節;謝謝小 阿姨、宜憬學姐、怡君學姐總是陪我一起發瘋,聊一些女人的心事,讓這 個充滿陽剛味的實驗室多了一些女人的氣息,讓我在實驗室裡有著被呵護 的感覺;盛麟學長雖然常故意把我的名字說錯,但是給實驗室帶來了許多 歡笑聲,也經常教導我以樂觀的態度來看待事物,讓我不愉快的心情頓時 愉悅起來;謝謝凱繁學長自從我進入實驗室開始不斷的教導我軟體上的操

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作以及研究上的指導;另外,感謝人豪學長以及昌和大哥配合我取得研究 相關數據,使得實驗得以順利進行,謝謝曾經幫助過我的學長、學姐們,

謝謝你(妳)們對我的關心與照顧。

感謝實驗室的所有同學們,你們的陽剛味讓我懂得與不同性別的人如 何相處,謝謝英豪、韋銘以及勻厚熱誠的接送我去聚餐的地方,有你們的 接送,讓我無憂的不怕迷路,雖然快要被你們當成男人了,但是由你們的 相處模式中,我也了解如何做個適當的調解者;謝謝嘉平在我的研究上給 我建議與鼓舞,不斷的鼓勵我向前跑,也常常聽我訴說心聲,有你們共同 努力的日子真的很棒。還要謝謝實驗室裡的其他學弟,你們的歡笑帶給了 我研究生活有著輕鬆的氣息,另外,感謝慶維、宜屏以及彥儒舉辦的師門 送舊活動,更讓我們對於研究生涯多了幾分感觸,能有緣和大家在朝陽資 管共同學習成長,真的很幸福。

謝謝這兩年來在朝陽大家庭中所認識的所有成員們,感謝你(妳)們的一 路相伴,更感謝我的家人給予的經濟資源,讓我在生活中能夠享受研究生 涯的樂趣。在研究生涯的日子,學習了專業的技能,更學習待人處事的道 理,願在未來的日子,能將在朝陽所學發揮所長,以迎接更多的挑戰,更 以朝陽為榮。

劉淑珍 謹致於 朝陽科技大學 資訊管理研究所 民國九十九年七月二十日

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目錄

中文摘要 ... I Abstract ... II 誌謝 ... III 目錄 ... V 表目錄 ... VII 圖目錄 ... VIII

第一章 緒論 ... 1

1.1 研究背景與動機 ... 1

1.2 研究目的 ... 4

1.3 論文架構 ... 4

第二章 文獻探討 ... 6

2.1 虛擬教室(Virtual Classroom) ... 6

2.2 分流教育(Tracking Education) ... 7

2.3 概念構圖(Concept Mapping) ... 8

第三章 研究方法 ... 15

第四章 實驗說明 ... 24

4.1 實驗環境說明 ... 24

4.2 系統說明 ... 24

4.3 分流學習實驗說明 ... 27

4.4 實驗結果與討論 ... 40

4.5 實驗結論 ... 41

第五章 結論與未來研究 ... 42

5.1 結論 ... 42

5.2 未來研究 ... 44

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參考文獻 ... 45

附錄 ... 51

附錄一 測驗試題 ... 51

附錄二 學習者答題狀況 ... 54

附錄三 試題相關矩陣(X) ... 56

(12)

表目錄

表 1 傳統教室與虛擬教室比較表 ... 7

表 2 概念圖建構方法之比較 ... 14

表 3 課程的先修概念 (C) ... 27

表 4 試題與概念相關矩陣(R) ... 28

表 5 答題錯誤矩陣(A) ... 29

表 6 正規化後的相關矩陣 Norm(R) ... 30

表 7 測驗所得概念熟習程度矩陣(T) ... 31

表 8 試題相關程度矩陣(X) ... 33

表 9 先修概念相關程度矩陣(Φ) ... 34

表 10 推估所得的學習者概念熟習程度矩陣(Ω) ... 35

表 11 調整後先修概念熟習程度矩陣(T*) ... 36

表 12 三種不同教材與各學習者之間概念圖的距離 ... 39

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圖目錄

圖 1 論文架構 ... 5

圖 2 概念圖的範例 ... 9

圖 3 研究架構圖 ... 16

圖 4 建構分流學習所需概念圖系統介面 ... 24

圖 5 系統執行流程 ... 26

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第一章 緒論

在本章中將分別說明本研究的研究背景與動機、研究目的及本論文的 架構。

1.1 研究背景與動機

由於透過網路可以提供任何人在任何地點與時間,在網路上取得所需 的資訊與進行學習活動,因此政府機構、教育機構以及企業紛紛提倡以數 位化的方式進行學習活動,以達成隨時隨地學習的目的。近年來國內中小 學教育開始運用網路進行各種學習活動,利用學習網站輔助教學[50];大學 教育透過網路平台進行遠距教學[51],在美國鳳凰城網路大學(University of Phoenix)[47]更推動以網路為主的方式進行學習活動;國內政府方面則推動

「數位學習國家型科技計畫」,建構中小型網路大學、職業訓練數位學習 網[54][55]等,鼓勵全民透過網路平台隨時隨地的進行學習活動,達到終身 學習的目的。而在企業方面,為了減少教育訓練的成本、時間以及增加績 效,利用網路學習平台進行教育訓練的活動,透過資策會(Market Intelligence

& Consulting Institute, MIC)統計國內企業使用數位學習的現況可知,現今使 用數位學習的國內企業佔數位學習產業達 40.3%[56]。由此可知,數位學習 對於企業的營運成本佔了非常重要的地位。目前國內使用數位學習於教育 訓練的企業甚多,例如:鼎新電腦[49]、及友達光電[57]等。不論是政府、

企業或教機構透網路為“主”或“輔”進行學習活動已逐漸成為學習的新趨勢。

根據拓墣產業研究所[2]及資策會[21]統計,各國投入於數位學習產業之 費用以及數位學習市場產值有逐年增加的趨勢,這顯示利用數位學習在學 習活動上成為學習的新趨勢。更因為受到 web2.0 的影響,學習活動的方式 已經由原有的封閉式的方式轉變為透過網際網路的開放平台進行學習的活 動,學習活動由被動的學習轉變為主動的學習方式,國內政府不斷提倡以

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主動方式的終身學習,並建構以網路平台為基礎的虛擬教室學習環境,全 民可以透過數位學習平台不受時空限制的學習優勢,利用閒暇之餘達到終 身學習的目的。

透過開放平台進行學習活動,每一個學習者之間可以透過討論版、視 訊會議等方式進行討論,不但可以跨越時空,更可以不用面對面學習。然 而,正因為虛擬教室的學習者可以隨時隨地的進行學習,不受時空限制,

學習者多元化及背景知識的不同,其學習者人數相較於一般傳統教室更多 且複雜,學習者於各方面的專業知識的認知及學習能力差異也較大[15]。但 是,目前提倡終身學習所使用的虛擬教室,大多利用單一程度課程及內容 以配合學習者隨時隨地的進行學習,學習者可能因為背景知識的影響而無 法了解該課程內容,因此,本研究透過即時性了解學習者的背景知識差異,

以提供每個學習者適合的教材,達到因材施教的目的。

然而在提供終身學習的虛擬教室的學習中,學習者人數較多且複雜的 情況,對於某一終身學習的課程是以非即時性的方式進行學習,因為不受 時間與地點的影響,因此不同程度的學習者更可以利用各種不同的方式來 配合學習。例如,對於一個課程的先修概念還未熟習的學習者可以先將其 先修概念熟習後再來學習,或者當遇到有不清楚的概念時再回去熟習該概 念相關的課程;學習程度較佳的學習者也可以透過延伸學習來得到更多的 受益。另外,學習能力較弱的學習者也可以拉長學習時間來適應該教材。

但是,對於利用視訊會議的方式所進行的即時性終身學習,對於參與即時 線上學習的學習者來說,學習者認知程度的參差不齊將嚴重影響學習的成 效。對於學習程度較高的學習者可能會因課程太容易或進度太慢,而降低 學習的效率;對於學習程度較低的學習者,則更會因為跟不上進度而降低

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學習興趣及意願,甚至完全放棄或脫節。因此,為了改善學習者認知程度 差異極大的問題,對單一化課程內容的學習成效造成的影響以及讓學習者 不需要花費多餘的時間找尋所需要學習的先修概念,然而,透過概念構圖 (Concept mapping)為基礎的分流學習(Influent learning)模式[31],可以利用概 念構圖能保留學習者認知程度的相關特性,其依據相關特性來分為數個群 集,並依據其群集中的特性給予合適的教材,以進行有效率的學習。

為了能將相似認知程度的學習者聚集在一起學習,在台灣教育體制中 目前以分流教育(Tracking education)來解決這個問題。分流教育是依據學習 者的綜合能力指標作為學習者學習能力的判斷,然後依據學習能力將學習 者分配到不同受教團體[8]。但是這種分流之後需要一段較長時間的觀察才 能將學習者作適當的調整[25],既使是透過能力分班的機制也會因為學習者 的學習能力受時間影響,學習者之間的學習能力差異越來越大。因此,不 論是分流教育的機制或是能力分班的機制,皆容易以過去學習者的認知程 度作為目前學習者的認知程度,造成分班依據不符合學習者目前真實的認 知程度,因此,利用本研究所提出的分流機制,可以更符合學習者目前真 實的認知程度。

由於依據綜合能力指標的方式進行分流教育不易將學習者對於所有課 程的概念表現出來,而透過概念圖的方式則可以充分的表現學習者對課程 概念的了解程度[41]。過去,有許多學者利用概念圖來診斷學習者學習成效 [26][40],但是透過專家主觀的方式所建構的概念圖來診斷學習者的學習成 效,容易受到專家主觀意識的影響,而且建構的時間較長;利用客觀方式 建構概念圖來診斷學習者學習成效的研究中,通常僅依據經由測驗方式中 的學習者答題狀況來決定學習者的認知程度,然而,在概念圖中的每一個

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概念與其他概念之間存在著不同程度的關係,這些概念之間的關係對學習 者作答將造成影響,而利用這些概念之間的關係可以對學習者任意作答或 未答題所產生的誤差有修正的作用[23]。因此,本研究利用條件機率的方式 取得的概念之間的相關程度,不但能保留學習者的相關特性,並利用其概 念之間的相關程度來修正各學習者的對先修概念的熟習程度,如此,以概 念圖的方式所呈現的多維度的學習者概念熟習程度,相較於綜合能力指標 的分群方式,更能夠順應學習者的特性,因此更可以達到因材施教的目的。

1.2 研究目的

依據以上研究的背景,本研究除了加強診斷學習者認知程度的正確性 與快速性外,並提出以分流學習模式改善虛擬教室中學習過程中的效率及 成效性,希望達到以下的目的:

1. 透過測驗的方式以客觀角度取得學習者認知程度。

2. 提出分流學習模式,將學習者認知程度相近的學習者聚集在一起學習,

以達到因材施教的目的。

3. 以概念構圖的方式來進行分群的方式,能夠更順應學習者的特性。

4. 適度調整教材,得以更有效提升學習成效與效率。

1.3 論文架構

本研究架構如圖 1 所示,主要內容如下說明:

1. 研究動機與目的:由目前提倡終身學習所使用的虛擬教室的學習環境 中,因為學習者之間背景知識的不同,學習者認知程度差異極大的問題,

本研究為了改善上述因素所導致在學習上的問題,因此,本研究提出以 分流學習模式來達到因材施教的目的。

2. 文獻回顧:文獻將探討虛擬教室學習環境、主觀與客觀建構概念圖方法

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以及現今教育體制存在的問題。

3. 研究方法:以概念圖的方式來了解學習者對於學習上的認知程度,並提 出分流學習模式將學習者之間認知程度差異相近的人聚集在一起學習,

以達到因材施教的目的。

4. 實驗說明:經由真實測驗資訊以及分流學習所需的概念圖之系統來說明 本研究所提出的分流學習模式能有效達成因材施教的目的。

5. 結論與未來研究:根據實驗測試結果提出結論與未來研究方向。

圖 1 論文架構

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第二章 文獻探討

在本章節將分別說明與本研究相關的文獻,包括:虛擬教室、分流教 育、概念構圖。

2.1 虛擬教室(Virtual Classroom)

虛擬教室是在網路的環境中,由教師與學習者透過電腦媒體來互動的 學習環境[11][19][28][46]。透過網路的虛擬教室所進行的教學活動比傳統教 室具有更多的多媒體課程內容以及查詢、傳遞、整合資料等功能[35],他提 供學習者個別溝通與討論的管道,除了具有非同步之討論區與公告區外,

更可以藉由同步溝通工 具來從事教學 、會議討論及閱讀與測 驗等活動 [18][36][44]。由於網路學習環境具有不受時空限制之優勢,因此利用網路 環境進行學習已經成為 一種新的學習 模式,網路大學也因此 應運而生 [10][11],如淡江大學、台灣大學等都已經開始利用虛擬教室進行同步且即 時性的學習[17][48][52][53]。

同步學習(Synchronous learning)是一種透過Internet,即時且交談式進行 的學習環境,通常都是透過視訊會議進行[20],教師與學習者必須在相同時 間進行教學活動,因為同步的互動模式學習者可以和同儕進行討論,並且 可以即時性的解答問題,因此對於學習者而言較能得到適應性的學習[6]。

反觀非同步學習(Asynchronous learning),教師與學習者能於不同時間、不 同地點進行教學活動,教師是先將教材及教學過程錄製完成,放於網路平 台上,學習者自行調配時間進行學習,但學習者不易針對學習上的問題即 時性的提出進行討論[4][14]。

表 1 所示為傳統教室與虛擬教室之比較,包括:學習主體、學習者認 知、上課方式等。

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表 1 傳統教室與虛擬教室比較表 比較項目

比較因子 傳統教室教學模式 虛擬教室教學模式

人的方面 學習主體 以教師為中心 以學習者為中心 學習者認知 學習者間認知差異小 學習者間認知差異大

事件方面

上課方式 固定時間到學校上課 利用網路進行教學活動 教學方式 教師單向傳授知識 學習者主動學習知識 教學進度 全班一致性的學習進度 大多為各自學習進度 評量方式 靜態、注重結果的評量 注重學習歷程的評量

時間方面 教學時間 同步學習 同步學

非同步學習 地點方面 學習空間 班級封閉系統 開放、無限延伸之界

物件方面

教材方面

教師的操作示範或課本 指引

文字、圖片、動畫、圖 表等各種多媒體動元素

教材單一化 教材多元化

學習內容 制式單調 活潑彈性

侷限於知識的傳授 範圍廣泛

學習路徑 單一學習路徑 多元化的學習路徑

參考資料來源:林敏慧[12] (2001) 、Hiltz[58] (1994)、本研究整理

2.2 分流教育(Tracking Education)

所謂的分流教育意指在教育體制上針對個人的性向、能力及興趣的不 同,在不同的時間給予不同的教育措施及選擇不同的教育內容,使教育效 果得到最佳的成[27][30]。事實上,分流教育的定義非常廣泛,即是依據學 習者能力分配到不同教育團體中,都可以稱為是一種分流[8]。從目前台灣

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的教育體制中,存在的許多分流的現象,例如:國小初等教育(Elementary level)階段,會將學習能力不同的人分開一起上課,即是能力分班,既使在 同一班級老師也會將學習能力佳或學習能力較差的一起教導,這便算是一 種基本的分流[7];中等教育(Secondary level)是建立在發展學習者不同的潛 能,以高中、高職與綜合高中作為分流,而學者[7]認為公立與私立不同學 校也應該是一種分流。雖然分流教育的建立是希望將有效的資源有效的利 用,但是卻造成不同的分流所獲得的資源不同[8][34]。

2.3 概念構圖(Concept Mapping)

概念構圖是由美國康乃爾大學的學者 Novak 等所發展出來的一個有效 的學習工具[33][41][42][43],經由將概念圖形化,可以揭露學習者如何組織 概念並藉由概念圖產生聯想的方法來幫助學習與記憶,也可以用來評量學 習者對於概念的了解程度[26][41]。概念圖是由命題(Proposition)組成,每一 個命題包含兩個 概念節點 (Concept nodes)及概念之間的 連結語(Relation links),各概念之間以階層的方式呈現,其中較具概括性的概念排於上面幾 層,較具體的概念排在下面幾層。圖 2 為一個血液的概念圖說明,其中血 球、血漿、紅血球、血小板…等以節點來表示概念,連結線(分成、包含、

功能)則是用來指出概念間關係的圖形,當兩個概念之間加上適當的連結用 語即形成有意義的命題,例如:「血球」包含「血小板」為有意義的命題。

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圖 2 概念圖的範例 資料來源:黃玉佳[13] (2002)

2.3.1建構概念圖之方法

概念圖可以由教師主觀的決定,也可以由學習者的答題結果來客觀的 建構[16][39]。我們可以累積學習者的測驗結果來得知學習者對某概念的錯 誤率,若學習者對此概念有學習成長的傾向,則此一概念錯誤率(Concept error rate)會隨著時間的增加而降低,故概念錯誤率可用來代表學生對單一 概念的學習狀況[5]。

因為概念構圖能將學習者的特性反映在概念圖上,所以本研究就以測 驗的方式取得學習者對於先修概念的概念錯誤率,概念Ci的概念錯誤率計算 公式如公式(1)所示。

( )

i

i

C i

C

P C E

N

(1)

其中Ec為測驗題目中包含概念Ci的錯誤題數,Nc為測驗題目中包含概念

C

i的總共題數。在下一節我們將詳細介紹主觀與客觀建構概念圖的方法。

(23)

I、 主觀建構概念圖

Novak所提出的概念圖,是透過將專家概念圖與學習者概念圖進行比 對,來評量學習者對概念的了解程度[26][41]。後續也有許多學者透過不同 專家對同一學科建構出不同的概念圖[45]或透過模糊理論來整合多位專家 的意見以建構概念圖[3][9],進而評量學習者對概念的了解程度。但是,經 由教師(專家)或學習者透過手動來建構概念圖來相互比對的方式,學習者必 須具備建構概念圖的能力外,教師也必須花費大量的時間建構概念圖與評 量學習者的概念圖[26],於是,學者便開發出許多構圖的工具,以半自動化 的方式建構概念圖[32][37][38]。

雖然透過半自動化的方式建構概念圖,可以節省建構時間,但是仍然 存在著教師或專家的主觀意識,且不易掌握學習者的學習情況,因而近年 來學者透過答題的結果,以客觀的方式了解學習者學習情況,並透過自動 化的方式建構概念圖[39]。

II、 客觀建構概念圖

以客觀的方式建構概念圖,通常透過測驗的方式取得學習者對概念的 了解程度,經由累積的測驗資訊進行分析,以建構客觀的概念圖[16][39]。

大部分是利用概念圖來幫助學習診斷,因而概念之間的難易、包容與順序 關係就很重要[5][22],因此在本研究亦將考慮這些因子。在下一節中,將說 明客觀建構概念圖之方法。

(I) 以灰關聯分析建構概念圖

陳榮昌、陳伸豐[22]透過測驗中試題所包含的概念,以整體性灰關聯分 析的方式,將一對一的概念序列進行比較,以保留所有概念彼此間的關係

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程度訊息,經由計算出的灰關聯度數值的高低,作為概念相關程度的參考 值,以表示每個概念間的關係程度。此分析方法能夠從少量的資訊即可進 行分析,但由於翁慶昌與鄧聚龍[1][29]對於概念關係程度的計算方法不同,

因此產生灰關聯係數不同的結果,對概念圖的建構也將造成影響。

(II) 以資料探勘建構概念圖

透過資料探勘(Data mining)的方式建構概念圖,必須由專家或教師建立 測驗試題與概念之間的關係,再經由累積的測驗資訊進行分析以建構概念 圖。Lee 等學者[16][24][39]利用 Apriori for concept 以及歸納式關係演算法 來建構概念圖。方法說明如下:

i、 Apriori for concept 演算法:

利用資料探勘中的關聯式法則(Association rule),修改其中的 Apriori 演 算法,將兩個項目間的關係衍生至兩個試題之間的關係,最後依照教師制 定的試題與概念間的關係,求得概念與概念間的關聯程度。此一方法可以 快速建構出概念圖,但需要較大量的資料且較長時間累積。

ii、 歸納式關係演算法:

依據學習者測驗結果,利用歸納式的方法求出概念間的關係,此方法 首先必須找出測驗中答題錯誤人數最多的試題,再依此一試題找出與其相 關的試題,透過重覆計算後便會找出試題間的關聯,之後再利用試題概念 相關表,將試題之間的關聯性轉換成概念間的關聯以建構概念圖。

(III) 以條件機率建構概念圖

廖浚宏[5]利用概念錯誤率與條件機率來建構概念圖,不但保留學習者

(25)

對每ㄧ個概念的錯誤率,更利用條件機率的方法找出概念與概念之間的關 係。在本研究中,概念Ci的概念錯誤率是指包含概念Ci的所有題目中被答錯 的比率,也就是包含概念Ci的錯誤題數除以包含概念Ci的總題數,計算公式 如(2)所示:

, 1

( )

( )

( )

t

i

S

t k

t k

i

i t t

t

E C

P C N C S

 

(2)

其中(ECi)t,k代表在第 t 次考試中,第 k 個學生的測驗題目中包含概念 Ci錯誤 的題數;(NCi)t,k代表在第 t 次考試中,第 k 個學生的測驗題目中包含概念

C

i錯誤的總題數;St代表學習者人數。所以當 P(Ci)越小代表概念 Ci越被大 家所認知。但是,這樣的計算公式還是有缺點,因為每一個題目可能包含 不同比重的數個概念,所以,如果只是用“是或否”包含某ㄧ概念來描述 的話,仍然無法真確的表達。

概念圖的另一個重要組成是概念與概念之間的影響關係,在廖浚宏[5]

的論文中,這種影響關係是用條件機率的方式來表達, 文中把 Cj 概念對

C

i概念的影響程度定義為包含概念 Cj的錯誤題數除以包含概念 Cj的錯誤題 中有包含概念 Ci的題數,即為公式(3)所示。

, 1

, 1

( )

( | )

( )

t ij

t

S

t k t k

i j S

j t k t k

EC P C C

EC

 

 

, (3)

其中(ECj)t,k代表在第 t 次考試中,第 k 個學生測驗題目中包含概念 Cj的錯誤 題數;(ECij)t,k代表在第 t 次考試中,第 k 個學生測驗題目中包含概念 Cj錯誤題中有包含概念 Ci的題數;St為學生人數。

(26)

從公式(3)中可知,P(Ci|Cj)代表 Cj概念錯誤的情況下,Ci概念也錯誤的 條件機率。因此,我們可以利用這些概念間互相影響的條件機率來幫助我 們修正學生在作答時所發生的一些不合理的現象,例如,如果 Cj概念對 Ci

概念的影響程度很高,可是卻有一個學生對 Cj概念有很高的認知,反而對

C

i概念有很低的認知,就代表這個學生的答題狀況有問題。

透過相關文獻得知,利用主觀的方式建構概念構圖,必須花費大量的 時間與成本;然而,利用客觀方式建構概念構圖可以改善建構的時間與成 本,在過去研究中使用了資料探勘、條件機率、灰關聯分析等,其中,利 用條件機率建構概念構圖,不但可以保留學習者的測驗資訊,也不易受到 樣本大小的影響而使得取得之機率有所誤差;使用資料探勘技術必須利用 大量的樣本數以取得樣本之間的關係,對於小樣本的情況下,可能會因為 樣本量較小導致歸納的樣本資訊不夠精確,並且透過資料探勘與灰關聯分 析法皆可能因為概念之間的關係程度之門檻值取得不一,造成所建構的概 念構圖不一致,因此,本研究則利用條件機率的方式獲取測驗資訊之間的 關係來建構本研究的概念構圖。

表 2 所示為概念圖建構方法之比較,包括:建構方法、概念訊息及所 需的樣本需求。

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表 2 概念圖建構方法之比較 比較因子

比較項目 建構方法 概念訊息 樣本需

資料探勘

找出項目之間的關係

保留大於門

檻值之訊息 大 門檻值決定概念影響

關係圖

條件機率 找出對 Ci影響最大或

C

i影響最大的概念

只找出最大

影響 大

灰關聯分析

將所有概念錯誤率進

行整體性關聯分析 保留所有影

響訊息 小

門檻值決定概念影響 關係圖

資料來源:陳伸豐[22](2004)、本研究整理

(28)

第三章 研究方法

本研究為虛擬教室的學習環境,由於學習者人數變動快速且學習者學 習認知差異極大等因素,因此必須有一套快速且正確的方法來診斷學習者 的程度,本研究利用學習者測驗資訊、問卷資訊以及先修概念間的相依程 度,透過概念圖來診斷學習者對於概念熟習程度,進而有效的進行分流學 習,以達到因材施教的目的。在本章中將說明本研究之架構圖(如圖 3 所 示),圖中包含本研究所提出的分流學習模式(Influent learning model)以及如 何建構分流學習所需的概念圖。

由於過去傳統依據學習者綜合能力指標進行分群的方式,只能將學習 者依其綜合能力排序,然後分成數群進行教學,以降低學習者間能力高低 的差異,此種分群的方式並不能保留學習者間共同的特殊學習興趣,也不 能了解學習者對先修概念不足的程度。因此,本研究提出以概念圖為依據 來形成學習者的學習分流,由於同一群的學習者間,各個先修概念的熟悉 程度較相近,因此,教師的教材準備與課程進行就能夠有所依據,如此更 能達到適性教學的目的。

以 下 將 詳 細 說 明 本 研 究 所 提 出 的 分 流 學 習 模 式 (Influent learning model) ,以及如何建構分流學習所需的概念圖。

(29)

圖 3 研究架構圖

本研究所提出的分流學習模式如圖 3 所示,共分為五個處理步驟,分 別說明如下:

步驟 1、教學準備:

在學習課程進行前,教師除了準備該課程的授課內容外,還必須提出 修習這個課程所必須具備的先修概念 C = {C1, C2,…,Cr},另外必須準備一種 測驗的機制以了解學習者各個先修概念的熟悉程度及特殊學習興趣。換言 之,教師必須依該課程所需具備的概念,準備一份包含這些先修概念的試 題組 Q = {Q1, Q2,…,Qs}。因為這些試題是由上課的專業教師所命題,他(們) 必能知道每一個試題所包含某先修概念的關係,這個關係是一種程度大小 的關係,因此就可以得到試題 Q 與先修概念 C 的相關矩陣 R = [Rij]sr,其中 假設共有 s 試題及 r 先修概念,而 Rij [0,1],其值越大表示相依程度越大。

(30)

步驟 2、學前測驗:

欲了解每一個學習者的特殊學習興趣與先修概念的熟悉程度,最簡單 的方式就是學前測驗。透過測驗的方式,我們可以客觀地由學習者的答題 而得到記錄著所有學習者答題狀況的答題錯誤矩陣(Answering question error matrix) A = [Aij]ns,其中 Aij =1 代表第 i 學生答錯第 j 題,否則 Aij =0,n 代表學習者的總數,s 為試題的個數。然後再經過答題錯誤矩陣 A 與相關矩 陣 R 的運算就可以得到概念錯誤矩陣(Concept error matrix),概念錯誤矩陣 的計算如公式(4)所示

Ψ

=A×Norm(R), (4)

其 中 , Norm(R)是 將 試 題 與 概 念 相 關 矩 陣 (R) 的 每 一 行 進 行 正 規 化 (Normalization)。概念錯誤矩陣(

Ψ

)記錄著每一個學生對每一個概念的概念 錯誤率。

步驟 3、取得概念圖:

概念圖 G=[Gi]n,其中 Gi ={C,

Τ

i,

Ε

i

}記載著第 i 學習者對先修概念的

熟悉程度以及各先修概念之間的關係,C 為所有先修概念所成的集合、

Τ

i

為第 i 學習者對先修概念的熟悉程度、

Ε

i為第 i 學習者所認知各先修概念之 間的關係。

Τ

i 可以直接由測驗方式(

Τ

)得到或利用問卷方式(Y)得到,倘若 要更精確的計算,必須將鄰近概念的熟習程度以及概念之間的相依程度也 考慮進來。以下將詳細說明如何取得先修概念之間的相依程度以及先修概 念相依程度如何影響學習者概念熟習程度,我們以以下六個步驟來說明:

步驟 3.1、測驗所得概念熟習程度矩陣(T)

經由步驟 2 後,透過所得到的概念錯誤矩陣(

Ψ

),利用公式(5),就可以 得到學習者的概念熟習程度矩陣(T),

(31)

T

ij=1-

Ψ

ij , (5) 其中 Tij代表第 i 個學習者對第 j 個先修概念的概念熟習程度。

步驟 3.2、問卷所得概念熟習程度矩陣(Y)

除了經由測驗的方式來快速取得某一學習者概念熟習程度(Ti),本研究 也透過問卷的方式來取得某一學習者主觀認定的概念熟習程度(Yi),如此可 以相互參考以降低學習者任意作答而造成的誤差。我們將概念的熟習程度 分成五個等級,即很不熟(1)、不熟(2)、中等(3)、熟(4)和很熟(5)等五個等級,

因此,經過正規化後第 i 學習者對第 j 個先修概念的概念熟習程度為 Yij {0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}。

步驟 3.3、先修概念熟習程度矩陣(

T

')

若要降低概念圖取得的時間成本,先修概念的熟習程度可以單獨取自 步驟 3.1 的測驗所得概念熟習程度矩陣(T),也可以單獨取自步驟 3.2 的問卷 所得概念熟習程度矩陣(Y)。然而,要達到精確則必須同時考慮兩者,如此 可以彌補資料殘缺(Missing data)或由學習者任意作答所造成誤差。在本研究 中,將以這兩者的線性組合來計算先修概念的熟習程度,計算方式如公式(6) 所示。

'

Ti

= αΤ

i

+(1- α ) Y

i , (6)

其中,

α

[0, 1],

Τ

i為第 i 個學習者測驗所得的熟習程度

Y

i為第 i 個學習 者問卷所得的熟習程度。我們可以發現,這樣的組合可以讓結果更有彈性。

步驟 3.4、試題相關程度矩陣(X)

我們將學習者答題的情況記錄於測驗答題錯誤矩陣(A=[Aij]ns)中,其中

A

ij

{0,1}, Aij=1 代表第 i 個學生答錯了第 j 個試題,n 代表學習者的總數,

(32)

s 代表試題的個數。我們定義第 i 個試題影響第 j 個試題的程度(X

ij

[0,1])為 第 i 試題與第 j 試題同時被答錯的個數除以第 i 試題被答錯的個數,即如公 式(7)所示。

X

ij= 第 試題與第 試題同時被答錯數 第 試題被答錯數

1

1 n

ki kj k

n kj k

A A A

(7)

因此,Xij即為第 j 試題被答錯相對於第 i 試題被答錯的條件機率,透過這些 條件機率的計算,我們就可以得到試題相關程度矩陣(X)。

步驟 3.5、先修概念相關程度矩陣(Φ)

先修概念彼此之間的相關程度可以由試題相關程度矩陣(X)和試題與概 念相關矩陣(R)分析得到。因為每個題目可能包含多個概念,而且同一個試 題中的各概念的比重也不盡相同,所以,要得到概念之間的關係就較不容 易。我們可以把試題與試題之間的影響關係看成ㄧ組概念影響另ㄧ組概念 的關係,以實驗說明中的表 8 的 X89為例,X89=0.625 代表試題 Q8影響試題

Q

9的程度為 0.625,若試題 Q8只由概念 C7組成,試題 Q9由概念 C1(比重為 0.8)、與概念 C8(比重為 0.2)組成,則我們可以看成概念 C7影響(0.8C1+0.2C8) 的程度為 0.625,記為 p(C7(0.8C1+0.2C8)) = 0.625,因為 X89的值也是來自 統計的結果,所以這種影響關係的程度也是一種機率。為了清楚的表達和 方便計算,我們做了下面一般化的定義:

定義3.1: 假設試題 Qi是由概念向量 C=( C1, C2,…, Cm)依比重向量 Ri=(Ri1,

R

i2,…, Rim)組合而成;Qj是由概念向量 C=( C1, C2,…, Cm)依比重向量 Rj=(Rj1,

R

j2,…, Rjm)組合而成,則 Qi對 Qj的影響程度可以表示為公式(8)。

(33)

p(QiQj) = p(Ri

C

T Rj

C

T) = p(

m

k

k ik

C R

1

m

k

k jk

C R

1

) , (8)

其中,CT為 C 的轉置向量(Transpose)。

事實上,比重向量 Ri即是試題與概念相關矩陣的第 i 列, Qi對 Qj的影 響程度 p(QiQj) 也就是試題相關程度矩陣中的 Xij。因此,以實驗說明中 的表 8 中的 X89為例,p(Q8Q9) = p(R8CT R9CT) = p(C7(0.8C1+0.2C8)) = 0.625。

為了計算概念與概念之間的影響關係,我們必須先介紹加權機率的計 算方式,以 p(Q8Q9) = p(C7(0.8C1+0.2C8)) = 0.625 為例,我們可以看成

C

7影響 0.8C1+0.2C8的程度為 0.625,所以,我們就可以定義,對 Q8影響

Q

9而言,C7影響 C8影響的加權機率為 1×0.2×0.625,記為 WP89(C7→C8)= 1

×0.2×0.625。以一般化的方式定義如下:

定義3.2: 假設 p(QiQj)=p(

m

k

k ik

C R

1

m

k

k jk

C R

1

)為 Qi影響 Qj的程度,則對

Q

i影響 Qj而言,概念 Ck影響概念 Cl的加權機率為公式(9)所示。

WPij(Ck→Cl)=Rik × Rjl × p(QiQj )=Rik × Rjl × Xij , (9) 其中 Xij為試題相關程度矩陣中第 i 個試題影響第 j 個試題的程度。

所以,單就 Q8影響 Q9言,概念 C7響概念 C8的加權機率為 WP89(C7

C

8)= 1×0.2×0.625。但,在所有試題中,可以找到 C7影響 C8的地方,包含

Q

8→Q9、Q21→Q9、Q24→Q9,我們都可以得到其相對應的加權機率,即 WP89

(C7→C8) = R87×R98×X89= 1×0.2×0.625、WP21,9 (C7→C8) = R21,7×R98×X21,9= 0.5×

0.2×0.5、WP24,9 (C7→C8) = R24,7×R98×X24,9= 1×0.2×0.471。因此,概念 C7影響

(34)

概念 C8的程度應該是這些值的加權平均,即

Φ

78=

7 8

7 8

, 8, 21, 24, 9

i j ij

i j

i j

i j

R R X

i j

R R

 





事實上,概念 Ck影響概念 Cl的程度可以用下面一般化的定義。

定義3.3: 假設 X=[Xij]s×s為試題相關程度矩陣,R=[Rij]s×m為試題與概念相關 矩陣,則概念 Ck影響概念 Cl的程度為公式(10)所示。

Φ

kl =





s

i s

j

jl ik s

i s

j

ij jl ik

R R

X R R

1 1

1 1

, (10)

其中 Φkl為第 k 個概念影響第 l 個概念之程度,Xij為第 i 個試題影響第 j 個 試題之程度,Rij為第 i 個試題中涵蓋第 j 個概念的比重,s 為試題的個數,

m 為所有概念的個數。

所以,依據公式(10)的定義,我們就可以由 X 及 R 得到先修概念相關程度矩 陣 Φ=[Φkl]m×m

步驟 3.6、調整後先修概念熟習程度矩陣(T*)

由於步驟 3.5 的先修概念相關程度矩陣(Φ)的取得是來自試題間互相影 響的結果,Φkl為第 k 個概念影響第 l 個概念之程度,所以,當 Φkl的值很高 時,代表第 l 個概念的熟習程度有很高的機率是和第 k 個概念的熟習程度有 關。因此,我們可以用概念 Ci的相似概念來推估概念 Ci的熟習程度,即用 公式(11)來推估概念 Ci的熟習程度,其中Tji' 為原來第 j 個學生的第 i 概念的

(35)

熟習程度,m 為所有概念的個數。

' 1

1 m

k i jk k

j i m

k i k

T

 

, (11)

正常的話,ji的值和Tji' 應該很接近,但如果學習者在填答時有猜測或隨意 作答的情況,就有可能有較大的差異。我們為了修正學習者填答時不一致 的現象所導致的誤差,將概念熟習程度依公式(12)來進行調整。

'

* ji (1 ) ji

ji

T

T

  

, (12)

其中 β [0, 1],Tji*為調整後第 j 個學生的第 i 個先修概念熟習程度,Tji' 為第

j 個學生的第 i 個先修概念熟習程度,

ji為由第 j 個學生的第 i 個先修概念 的相似概念推估而得的概念熟悉程度值。同時,我們知道當Tji' 與ji的差異 越大時,代表Tji' 的可信度越低,而且Tji' 與ji的值都是介於 0 到 1 之間,所 以我們可以讓 β=|Tji' -ji|來機動調整 β 的大小,以達到修正的目的。當然,

為了簡單起見,我們也可以將 β 值固定為一個 0 到 1 之間的常數。

步驟 4、進行分流:

取得概念圖後就可以依它來當分流的依據。最簡單的方式是以教師為 主的固定分流,假設教師針對 m 種不同概念圖{ G1, G2, …,Gm}的學習者設 計了 m 套教材,那麼只要將所有學習者 S={ S1, S2, …, Sn}的概念圖與這 m 種不同概念圖相比對,找出其歐式距離最接近的概念圖即可,如果 Si的概 念圖與 Gj的歐式距離是他與 G1, G2, …,Gm中距離最近的,那麼,Si就被分 配到 Gj所在的分流中。這種分流的方式雖然簡單,卻已經保留了學習者的 特性,比原來使用綜合能力分群的方式更適合大部分的學習者。例如{(2,2,2),

(36)

(3,3,3), (4,4,4), (1,1,4), (1,2,3), (5,2,1), (4,2,2),(5,2,3)}分別代表 8 個學生對 3 個先修概念的熟習程度,如果用能力來分群,可能分為{{ (4,4,4), (5,2,3)}, {(3,3,3), (5,2,1), (4,2,2)}, {(2,2,2), (1,1,4), (1,2,3)}},此種分法,教師只能分別 用高、中、低三種程度來準備教材。但,如果用概念圖的分流方式可以分 為{{(2,2,2), (3,3,3), (4,4,4)}, {(1,1,4), (1,2,3)}, {(5,2,1), (4,2,2),(5,2,3)}},所以 教師可以針對(3,3,3)、(1,2,3)及(4,2,2)的學生來準備教材,如此更能達到因 材施教的目的。

然而,若要更精確的考慮各種學習者的特色,就必須以學習者的角度 來進行分流。這種沒有固定分群數目的分流方式是先依各種概念圖分布的 情況來分群,然後根據各群的特色設計教材,當學習者人數多且雜亂時,

這種分流方式就會更突顯出特色出來。

步驟 5、調整教材與課程進行:

分流完成以後,因為同一分流中的學習者的概念構圖較為接近,因此 教師就能根據這群學習者的特色適度的調整教材及教學方法以達到因材施 教的目的。

(37)

第四章 實驗說明

為了驗證本研究所提出的分流學習模式具有可行性,本研究將以特定 課程的實際驗證進行說明,並於本章中詳細介紹。

4.1 實驗環境說明

本研究設計一套測驗試題,在數位學習平台(智慧大師)上進行測驗,並 收集測驗的資料數據,藉以驗證本研究所提出的方法。實驗環境如下:

實驗對象:台中縣弘光科技大學 實驗科目:網路概論

實驗人數:49 人 測驗題數:24 題

測驗包含概念數:共包含 10 個概念,C1~C10,其對應之概念如表 3。

4.2 系統說明

圖 4 建構分流學習所需概念圖系統介面

(38)

本研究利用 C#程式語言撰寫本研究所提出的在虛擬教室中的分流學習 所需的概念圖之系統,系統介面如圖 4 所示。經由測驗獲得所需的相關資 訊後,透於系統取得分流學習所需的概念圖。系統執行流程分為三個區塊,

包括:資料匯入、資料計算、及資料匯出,如圖 5 所示。以下將詳細說明 系統執行流程所包含的執行內容:

(1) 資料匯入:此區塊包括了經由測驗方式獲得的學習者作答資訊(B 以及

Y)、專家對該測驗中的專業知識之資訊(R 以及 V)、以及專家預先定義之

資訊(F)。其中,經由測驗方式獲得的學習者作答資訊,經由前置處理後,

以直接輸入方式或以匯入資料的方式匯入系統中。而專家對該測驗中的 專業知識之資訊及專家預先定義之資訊亦輸入至系統中。

(2) 資料計算:經由專家、學習者所得的資訊輸入系統後,利用本研究所提 出的分流學習模式,於系統中計算分流學習所需的概念圖,計算步驟如 第三章說明所示。

(3)資料匯出:經由系統將分流學習模式所需的概念圖計算完成後,可以透 過系統介面直接呈現分流學習所需的概念圖之資訊,也可以採 Excel 的 格式匯出並呈現。

(39)

圖 5 系統執行流程

(40)

4.3 分流學習實驗說明

以下針對本實驗所設計的『網路概論』課程的測驗,分別以本研究所 提出的分流學習模式執行步驟來說明,分別以教學準備、學前測驗、取得 概念圖、進行分流及調整教材與課程進行五個步驟,說明如下:

步驟 1、教學準備

教師除了準備課程內容外,還必須列出該課程的先修概念 C(如表 3 所 示)及準備試題並建構題組 Q 與先修概念 C 的相關矩陣 R (如表 4 所示)。

表 3 課程的先修概念 (C)

代碼 中文概念名稱

C

1 OSI 模型

C

2 數據通訊技術

C

3 網路設備

C

4 乙太網路

C

5 資料存取技術

C

6 通訊協定

C

7 網路概論

C

8 負載控制

C

9 路由技術

C

10 傳輸媒介

(41)

表 4 試題與概念相關矩陣(R)

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

C

8

C

9

C

10

Q

1

0.7 0.3

Q

2

1

Q

3

1

Q

4

1

Q

5

0.7 0.3

Q

6

0.4 0.4 0.2

Q

7

1

Q

8

1

Q

9

0.8 0.2

Q

10

0.3 0.1 0.6

Q

11

1

Q

12

0.3 0.7

Q

13

0.6 0.4

Q

14

0.3 0.2 0.5

Q

15

1

Q

16

0.8 0.2

Q

17

0.7 0.3

Q

18

0.5 0.5

Q

19

0.7 0.3

Q

20

0.7 0.3

Q

21

0.5 0.5

Q

22

1

Q

23

1

Q

24

1

步驟 2、學前測驗

學習者測驗後就可以根據學習者的答題狀況來客觀的建構答題錯誤矩 陣 A(如表 5 所示),當 Aij=1 時表示第 i 個學習者答錯第 j 題試題,否則 Aij=0。

然後由表 4 正規化後得到表 6。

(42)

表 5 答題錯誤矩陣(A)

(43)

步驟 3、取得概念圖

在該步驟進行取得概念圖時,將包括測驗所得概念熟習程度矩陣(T)、

問卷所得概念熟習程度矩陣(Y)、先修概念熟習程度矩陣(T')、試題相關程 度矩陣(X)、先修概念相關程度矩陣(Φ)、推估所得的學習者概念熟習程度 矩陣(Ω)以及調整後先修概念熟習程度矩陣(T*)。

表 6 正規化後的相關矩陣 Norm(R)

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

C

8

C

9

C

10

Q

1

0.152 0.063

Q

2

0.244

Q

3

0.208

Q

4

0.208

Q

5

0.146 0.107

Q

6

0.143 1 0.105

Q

7

0.217

Q

8

0.4

Q

9

0.174 1

Q

10

0.063 0.024 0.214

Q

11

0.244

Q

12

0.073 1

Q

13

0.214 0.211

Q

14

0.073 0.071 0.263

Q

15

0.208

Q

16

0.195 0.071

Q

17

0.152 0.073

Q

18

0.179 0.263

Q

19

0.152 0.158

Q

20

0.152 0.073

Q

21

0.104 0.2

Q

22

0.5

Q

23

0.5

Q

24

0.4

(44)

步驟 3.1、測驗所得概念熟習程度矩陣(T)

經由步驟 2 後,接著透過公式(5)得到概念熟習程度(T)(如表 7),其中

T

ij

[0, 1],其值越大表示學習者概念熟習程度越高。

表 7 測驗所得概念熟習程度矩陣(T)

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

C

8

C

9

C

10

S

1 0.543 0 0.341 0.321 0 0.526 0.4 1 0 0.5

S

2 0.696 0.417 0.390 0.250 1 0.105 0.8 1 1 0.5

S

3 0.783 0.750 0.927 0.679 1 0.789 0.8 1 0 1

S

4 0.543 0.521 0 0.143 1 0.263 1 1 0 0.5

S

5 0.370 0.583 0.707 0.750 1 0.316 1 0 0 1

S

6 0.457 0.063 0.268 0.250 0 0.421 0.8 0 0 1

S

7 0.152 0.417 0.488 0 0 0.158 0.4 0 0 0.5

S

8 0.543 0.479 0.537 0.536 0 0.684 0.8 1 0 1

S

9 0.696 0.625 0.268 0.321 1 0.105 0.8 1 0 0.5

S

10 0.478 0.625 0.659 0.786 1 0.842 0.8 1 1 1

S

11 0.326 0.208 0 0.143 1 0.263 0 1 0 0.5

S

12 0.326 0.417 0.463 0.393 0 0.158 0.8 1 0 1

S

13 0.152 0.625 0.537 0.393 0 0 0.4 0 0 0.5

S

14 0 0.354 0 0.250 1 0.105 0.8 0 0 1

S

15 0.370 0.167 0.268 0.214 0 0.158 0.6 0 0 0.5

S

16 0.370 0.208 0.244 0 0 0.158 0.4 0 0 1

S

17 0.478 0.771 0.268 0.321 1 0.263 0.4 1 0 0.5

S

18 0.630 0.479 0.341 0.393 1 0.368 0.8 1 0 1

S

19 0.370 0.417 0.756 0.214 1 0.105 0.8 0 0 1

S

20 0.370 0.271 0.220 0.536 1 0.105 0 0 0 1

S

21 0.304 0.521 0.585 0.571 1 0.632 1 0 0 1

S

22 0 0 0.439 0.214 1 0.105 0.8 0 0 0.5

S

23 0.152 0.354 0.585 0.321 1 0.105 0.8 0 1 0.5

S

24 0.174 0.563 0.439 0.321 1 0.105 0.8 1 0 0.5

S

25 0.609 0.625 0.390 0.250 1 0.263 0.8 0 0 0.5

S

26 0.304 0.271 0.390 0.143 1 0.105 0.4 0 1 0.5

S

27 0.152 0.313 0.317 0.071 0 0.421 1 0 0 0.5

S

28 0.848 0.333 0.341 0.214 0 0.158 0.8 1 0 0.5

(45)

S

29 0 0.104 0.561 0.071 0 0.263 1 0 0 0.5

S

30 0.152 1 0.024 0.464 1 0.105 1 0 0 0.5

S

31 0.326 0.208 0.390 0.321 1 0.368 0.8 1 1 1

S

32 0.370 0.667 0.585 0.607 1 0.579 0.6 0 0 1

S

33 0.478 0.375 0.244 0.214 0 0 0.6 1 1 0.5

S

34 0 0.563 0.195 0.321 1 0.105 0.8 0 0 1

S

35 0.543 0.792 0.463 0.750 1 0.316 0.6 1 0 1

S

36 0.391 0.688 0.293 0.714 1 0.579 0.4 1 0 1

S

37 0.457 0.479 0.634 0.143 1 0.105 0.8 0 0 0.5

S

38 0.304 0.750 0.854 0.679 1 0.632 0.8 0 0 1

S

39 0.304 0.063 0.439 0.214 1 0.263 0.8 0 0 1

S

40 0.152 0.479 0.268 0.214 0 0.158 0 0 0 0.5

S

41 0.174 0.271 0.463 0.429 1 0.105 0.4 1 0 0.5

S

42 0.326 0.354 0.390 0.179 0 0.263 0 1 0 0

S

43 0.152 0.104 0.146 0.214 1 0.368 0.6 0 0 0.5

S

44 0.152 0.313 0.268 0.250 0 0.263 1 0 0 1

S

45 0.543 0.354 0.073 0.250 1 0.105 0.4 1 0 0

S

46 0.152 0.104 0.268 0.071 0 0 0.6 0 0 0

S

47 0.152 0.271 0.293 0.286 0 0 0.4 0 0 0

S

48 0.174 0.313 0 0 0 0 0.6 1 0 0

S

49 0.152 0.458 0.439 0.179 0 0.158 1 0 0 1

步驟 3.2、問卷所得概念熟習程度矩陣(Y)

由於該測驗中專家認定透過測驗方式是取得學習者概念熟習程度的主 因,因此未透過學習者主觀的方式取得問卷所得到的概念熟習程度(Y)。

步驟 3.3、先修概念熟習程度矩陣(T')

為了精確取得學習者概念熟習程度,同時透過 T 以及 Y 來計算,並經 由公式(6)來得到Ti'。我們以T1'為例,其中以 α=1 作為說明。當 T1=(0.543, 0, 0.341, 0.321, 0, 0.526, 0.4, 1, 0, 0.5)、Y1=(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (參考表 7) 及透過公式(6),即

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