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2016IMAS國中組第二輪檢測中文試題詳解

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Academic year: 2021

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(1)

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(2)

─────────────────────────────────────────────────

2016/2017 初中組第二輪檢測試題詳解

───────────────────────────────────────────────── 1. 請問下列哪個數不能表示成兩個質數之和? (A)19 (B)20 (C)21 (D)22 (E)23 【參考解法】 19= +2 17、20= +3 17、21 2 19= + 、22= +3 19,而若能將23表示成兩個質數 之和,這兩個質數必為一奇一偶,故偶質數必為2,因此奇質數為23 2− =21, 與21 不是質數矛盾。 答案:(E)

2. 在△ABC 中,AB= AC、∠ACB= °80 ,以 AC 為邊向外側作正方形ACDE, 連接 BEAC相交於點F,如下圖所示。請問BFC等於多少度?

(A)55° (B)60° (C)65° (D)70° (E)75° 【參考解法】

AB= AC知∠ABC = ∠ACB= °80 ,故∠BAC=180° − × ° = °2 80 20 。

由於ACDE是正方形,故AE= AC= AB; 又∠BAE= ° + ° =90 20 110°,所以 180 110 35 2 AEB ° − ° ∠ = = °, 因此∠BFC = ∠AFE =180° − ° − ° = °90 35 55 。 答案:(A) 3. 小虎與小亮都要郵寄一件包裹,郵局的收費標準為:不超出10 kg 的包裹每 kg 的運費為 6 元,超出 10 kg 的部分每 kg 平均運費略低一些。若小虎郵寄 的包裹比小亮郵寄的包裹重 20%,兩人的運費分別為 92 元、80 元。請問超 出 10 kg 部分比 10 kg 以內每 kg 的平均運費低了多少元? (A)1.5 (B)2 (C)2.5 (D)3 (E)3.5 【參考解法 1】 由題意知,10 kg 包裹的運費為 60 元,故小虎與小亮兩人的包裹都超過 10 kg。 超出 10 kg 部分的運費,小虎為92 60 32− = 元、小亮為80 60 20− = 元。設小亮的 包裹重為 x kg,則小虎的包裹重為(1 20%)+ x=1.2xkg,可得 10 20 1.2 10 32 x x= − ,解 A D E C B F

(3)

方程知x=15。即超出 10 kg 部分每 kg 的平均運費為 20 (15 10) 20 5 4÷ − = ÷ = 元, 故超出 10 公斤部分每公斤平均運費比 10 公斤以內的低了6 4 2− = 元。 【參考解法 2】 由題意知,10 kg 包裹的運費為 60 元,故小虎與小亮兩人的包裹都超過 10 kg。 超出 10 kg 部分的運費,小虎為92 60 32− = 元、小亮為80 60 20− = 元。若設超出 10 kg 部分每 kg 運費為x 元,則小虎的包裹重為10 32 x + kg、小亮的包裹重為 20 10 x + kg,並由題意得10 32 1.2 (10 20) x x + = × + ,解方程知x=4。即超出 10 kg 部分每 kg 的平均運費為 4 元,故超出 10 公斤部分每公斤平均運費比 10 公斤以 內的低了 6 4 2− = 元。 答案:(B) 4. 已知A=3x2 +3xB= − + +x2 x 5、C =x2 + −x 1,請問 4A−(B−2(2B−3 )C +2 )A −2B=? (A) 2 11 x x − + + (B)− − +x2 x 11 (C)− + +x2 x 1 (D) 2 1 x x − + − (E) 2 11 x + +x 【參考解法】 2 4A−(B−2(2B−3 )C +2 )A −2B=2A+ −B 6C = +B 2(A−3 )C = − + +x x 11。 答案:(A) 5. 小華的書架上放有文學書、數學書、歷史書與科普書。其中數學書的冊數是 文學書的 5 倍、科普書的冊數是歷史書的 4 倍。請問書架上書的總冊數不可 能是下列哪個值? (A)21 (B)23 (C)26 (D)29 (E)30 【參考解法】 設文學書有 x 冊,歷史書有 y 冊,其中 x、y 為正整數,則書架上書的總冊數為 5 4 6 5 x+ x+ +y y= x+ y。當x=1、y=3時, 6x+5y=21;當x=3、y=1時, 6x+5y =23;當x=1、y=4時,6x+5y=26;當x=4、y=1時,6x+5y=29。 而若 6x+5y =30,則 6x 必為 5 的倍數,故 x 也是 5 的倍數,這將導致 6x≥30, 即5y≤0,矛盾。 答案:(E) 6. 將數 1、2、3、4 分別填入 4 4× 方格表的小方格內,使得每一行、每一列上 的四個數都不相同。已在部分的小方格內填入數,如下圖所示,請問圖中 A、 B 位置上的數之和是多少? A 4 B 1 1 2 3 4 3 4 2 1

(4)

【參考解法】 A 下方的空格不能填 1、2、4,故只能填 3,因此 A 格只能填 1; B 上方的空格不能填 1、3、4,故只能填 2,因此 B 格只能填 4。 故A+ = + =B 1 4 5,完整的填法如右圖所示。 答案: 5 7. 一個三角形的兩條邊之長度分別是6 cm與 13 cm,已知第三條邊的長度也是 整數cm,請問這個三角形的周長最少是多少cm? 【參考解法】 由三角形的兩邊之差必小於第三邊之長度,知第三邊的長度大於13 6− =7cm, 故其長度至少為8 cm,因此周長最少為13 6 8+ + =27cm。 答案: 27 cm 8. 下圖一顯示一個直徑為9 cm的圓,圖二由五個直徑為9 cm的圓組成一個奧 運五環,其中顯示兩條與圓相切的虛線,其距離為 4 cm,請問圖三這個奧 運五環的圖案從左到右的總長度為多少cm? 【參考解法】 奧運五環圖案的第一列有3 個圓,根據圖一與圖二所示,相鄰兩個圓之間距為 9− − =4 4 1cm,故圖三顯示此奧運五環從左到右的總長度為3 9× + × =2 1 29cm。 答案: 29 cm 9. 下圖是由一些等腰直角三角形拼成的圖形,若一隻螞蟻欲沿著三角形的邊從 A 點爬到 C 點,規定在爬行的過程中只能向右方、上方或者斜右上方爬行。 請問這隻螞蟻總共有多少條不同的爬行路徑? 2 1 4 3 4 3 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1 4 cm 9 cm ? cm 圖三 圖二 圖一 A C B

(5)

【參考解法】 如圖所示,圖中各點的數即為螞蟻從起點到該點的 不同路徑數: 故從 A 點爬到 C 點共有 42 條不同的爬行路徑。 答案:42 條 10. 在 1 到 1000 這 1000 個正整數中,請問總共有多少個正整數 n 使得n3 +n2 +n 之值是 8 的倍數? 【參考解法】 由於 3 2 2 ( 1) n +n + =n n n + +n ,而當n 是正整數時,n2與 n的奇偶性相同,所以 2 1 n + +n 必為奇數,故n3+n2 +n之值是8 的倍數的充要條件為n 是8 的倍數, 因此滿足條件的正整數n 總共有1000 125 8 = 個。 答案: 125個 11. 已知a2 + + = + +b2 c2 (a b c)2,其中a、b、c 為非零實數,請問 b c c a a b a b c + + + + + 的值是什麼? 【參考解法】 將已知等式展開整理得2(ab+bc+ca)=0,即ab+bc+ca=0。 由於abc 為非零實數,故ab bc ca 0 abc + + = ,即1 1 1 0 a + + =b c ,因此 1 1 1 ( )( ) 3 3 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + = + + + + − = − 。 答案: −3 【註】本題也可以使用代入特殊值的方法。 12. 在梯形ABCD中,AD//BC。過B且平行於CD 的直線與過 C且平行於AB的直線交於點E,FABCD內部的點使得∠FAD= ∠ABC

FDA DCB ∠ = ∠ ,如下圖所示。已知四邊形 ABEF的面積為 20 cm2、並且四邊形DCEF的 面積為 16 cm2,請問梯形 ABCD 的面積為多 少 cm2? A C B F E D A C 2 1 1 1 1 4 2 4 12 6 6 30 12 42

(6)

【參考解法】

延長 BA、CD 交於點 G,如右圖所示。 顯然 GBEC 是一個平行四邊形,故

2

GBEC GBC

S = S 。由∠FAD= ∠ABC = ∠GAD

FDA DCB GDA ∠ = ∠ = ∠ 、AD= AD可以得知 FDAGDA △ △ ,故SFDA = SGDA,因此 2 GAFD GDA S = S 。所以 2( ) 2

ABEF DCEF GBEC GAFD

GBC GDA ABCD S S S S S S S + = − = − = 故得知 20 16 18 2 ABCD S = + = cm2。 答案: 18 cm2 13. 在一個四位數中,若恰好出現2、0、1、7這四個數碼中的三個(重複出現的 數碼只算一個),則稱這個四位數是一個「好數」。例如,8712 與 7200 都是 「好數」,而2017與7175 都不是「好數」。請問所有的四位數中總共有多少 個「好數」? 【參考解法1】 我們分五種情況計算「好數」的個數。 情況1:四位數的四個數碼都不相同且沒有0。 則其中三個數碼必為2、1或7,另一個數碼需選自3、4、5、6、8、9,共有六 種選擇方式。而當這四個數碼被選定後,它們有 4 3 2 1 24× × × = 種排列方式,故 此情況下共有 6 24 144× = 個「好數」; 情況 2:四位數的四個數碼都不相同且有 0。 則另有兩個數碼選自 2、1 或 7,最後一個數碼需選自 3、4、5、6、8、9,故有 3 6 18× = 種選擇方式。而當這四個數碼被選定後,因為首位數碼不得為 0,它們 有3 3 2 1 18× × × = 種排列方式,故此情況下共有18 18 324× = 個「好數」; 情況 3:四位數有一個重複數碼,且四個數碼沒有 0。 則所有數碼必須為 2、1 或 7。從 2、1、7 中選擇一個重複的數碼有 3 種方式。 而當這四個數碼被選定後,它們有4 3 2 1 12 2 × × × = 種排列方式,故此情況下共有 3 12× =36個「好數」; 情況 4:四位數有一個重複數碼,且四個數碼中恰有一個 0。 則在 2、1 或 7 中選擇一個數碼出現 2 次,另一個數碼出現 1 次,故有3 2 6× = 種 選擇方式。而當這四個數碼被選定後,因首位數碼不得為 0,它們有3 3 2 1 9 2 × × × = 種排列方式,故此情況下共有 6 9 54× = 個「好數」; 情況 5:四位數有一個重複數碼,且四個數碼中恰有兩個 0,則需在 2、1、7 中 A C B F E D G

(7)

選擇兩個數碼,故有 3 種選擇方式。而當這四個數碼被選定後,因首位數碼不 得為 0,它們有2 3 2 1 6 2 × × × = 種排列方式,故此情況下共有3 6 18× = 個「好數」。 綜上所述,共有144+324+36 54 18+ + =576個「好數」。 【參考解法2】 我們先求出所有可能的數碼排列的個數,最後刪除掉0 為首位數碼的情況數。 若四個數碼兩兩不同,則其中三個數碼選自2、0、1、7,另一個數碼選自3、4、 5、6、8、9,共有4 6 4 3 2 1 576× × × × × = 個排列。在這類情況下,0 為首位數碼 時,後面必然是2、1、7 中的兩個數碼與3、4、5、6、8、9 中的一個數碼,共 有3 6 3 2 1 108× × × × = 個排列是以0 為首位數碼。 若四個數碼有兩個數碼相同,則它們必然全部選自2、0、1、7,先選一個數碼 出現二次(有4 種選法),再選兩個數碼各出現一次(有3 種選法)。而當這四個數 碼被選定後,它們有4 3 2 1 12 2 × × × = 種排列方式,故此情況下共有4 3 12 144× × = 種排列。然而在這類情況下,四個數碼均選自2、0、1、7,每個數碼在每個位 置上都有四分之一的情況,故0 為首位數碼的情況有144 36 4 = 個。 綜上所述,共有576 108 144 36− + − =576個「好數」。 答案: 576個 14. 在△ABC 中,點 G 是 BC 的中點,BEACCFAB,BE與 CF 相交於 點H,如下圖所示。 已知∠EGF = °90 ,請證明AH =BC。 【參考解法】 由於BEACCFAB,點GBC的中點,故GB=GC =GE =GF。(5 分) 故 180 2 FGC FCG ° − ∠ ∠ = 、 180 2 EGC ECG ° − ∠ ∠ = ,所以 180 180 45 2 2 2 2

EGC FGC FGC EGC EGF

ECF ° − ∠ ° − ∠ ∠ − ∠ ∠

∠ = − = = = °。(5 分)

又CFAB,故 AFC 為等腰直角三角形,即 AF =CF。(5 分)

由點 H 是△ABC 之垂心,可得知 AHBC,∠FAH = ° − ∠90 ABC= ∠FCB,又

90 AFH CFB ∠ = ° = ∠ 、 AF =CF ,故△AFH ≅△CFB,因此 AH = BC。(5 分) A C B F E G H

(8)

15. 若k為整數且k >1,已知不定方程x2 + +(x k)2 = y2有滿足 x、y 互質的正整 數解(x, y),請問正整數k之最小值是什麼? 【參考解法】 當k =7時,不定方程有解(5, 13),下面證明k =7就是最小值。(5 分) 首先注意到 x 與 k 必須互質,否則若它們有公共質因數 p,則 2 | p y ,故 p y ,| 與 x、y 互質互質相矛盾。 若 k 是偶數,則 x 必須是奇數,但此時 2 x 與(x+k)2均被4 除餘1,故y 被2 4 除 餘2,但不存在這樣子的 y,故不合。(5分) 若3 | k,則 x 不是 3 的倍數,但此時 2 x 與(x+k)2均被 3 除餘 1,故y 被 3 除餘 2,2 但不存在這樣子的 y,故不合。(5 分) 若5 | k ,則 x 不是 5 的倍數,但此時 2 x 與(x+k)2被 5 除的餘數相同且為 1 或 4, 故 2 y 被 5 除餘 2 或 3,但不存在這樣子的 y,故不合。 綜上所述,k 不能是 2、3、5 的倍數,又k >1,故k =7就是最小值。(5 分) 【註】給出k =7時的一組解並宣稱最小 k 為 7 可得 5 分,證明 k 不能是 2、3、5 中某一個數的倍數得 5 分。

參考文獻

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