4-3-2矩陣-矩陣的運算
8
0
0
全文
(2) 5.. 設 α 是一個實數， A 是一個矩陣，則 α 乘以 A 的積 α A 是一個與 A 同階的矩 陣，它的各元是 A 中對應位置元的 α 倍。即 A = [aij ]m×n 時， α A = B = [bij ]m×n ， 其中每一個 bij = α aij 。 ⎡ −2 3 7 ⎤ ⎡ −10 15 35 ⎤ ⎡ 6 −9 −21⎤ ，則 5 A = ⎢ ， −3 A = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥。 ⎣ 0 4 −1⎦ ⎣ 0 20 −5⎦ ⎣ 0 −12 3 ⎦ 對任意矩陣 A, (−3) A 與 −(3 A) 是一樣的，寫成 −3 A 即可。 設 A 是一個 m × n 階矩陣， B 是一個 n × p 階矩陣，則定義 A 乘 B 的積 AB 是一 個 m × p 階矩陣，它的第 i 列､第 j 行之元是 A 的第 i 列各元依序與 B 的第 j 行 各元逐一乘積的和。即 A = [aik ]m×n , B = [bkj ]n× p 時， AB = C = [cij ]m× p ，. 例如：設 A = ⎢. 6.. n. 其中每一個 cij 滿足 cij = ∑ aik bkj = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ain bnj 。顯示如下： k =1. ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎢ ai1 ⎢ ⎢ ⎣⎢ am1. a12 L a1n ⎤ a22 L a2 n ⎥⎥ ⎥ M ⎥ ai 2 L ain ⎥ ⎥ M ⎥ am 2 L amn ⎦⎥ m× n 階. 7.. 8.. ⎡ b11 b12 L b1 j ⎢b b L b 2j ⎢ 21 22 ⎢ M ⎢ ⎣⎢bn1 bn 2 L bnj. ⎡ c11 L b1 p ⎤ ⎢⎢ c21 L b2 p ⎥⎥ ⎢ =⎢ ⎥ ⎢ ci1 ⎥ L bnp ⎦⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣ cm1. n× p 階. c12 L c1 j L c1 p ⎤ c22 L c2 j L c2 p ⎥⎥ ⎥ M M ⎥。 ci 2 L cij L cip ⎥ ⎥ M M ⎥ cm 2 L cmj L cmp ⎦⎥ m× p 階. 由定義可知，矩陣 A 乘矩陣 B 得到矩陣 AB ， 左邊矩陣 A 的行數必須等於右邊矩陣 B 的列數， 而乘積 AB 的列數與行數，分別是 A 的列數及 B 的行數。 例如： M 是 7 × 4 階矩陣， N 是 4 × 6 階矩陣時， MN 是 7 × 6 階矩陣， 但是 NM 是不允許的，因為 N 的行數 6 不等於 M 的列數 7 。 一般而言，任意矩陣 A, B, C ， 當 ( AB)C 可以運算時， A( BC ) 也可以運算， 還可以證明 ( AB)C = A( BC ) 。 矩陣的乘法中，應注意相乘的次序。一般而言， AB 未必等於 BA 。 此外，當 A, B 皆非 O (零矩陣)時，仍有可能 AB = O 。由於 ( AB)C = A( BC ) ， 所以幾個矩陣連乘時，只要不調換前後次序，無須以括弧限制其運算， 例如： ABC 可表示 ( AB)C , A( BC ) ； ABCD 可表示 (( AB)C ) D, ( A( BC )) D, ( AB)(CD), L 。 列數與行數相等的矩陣稱為方陣， n × n 階矩陣稱為n階方陣， ⎡ −5 1 4 ⎤ ⎡ 2 3⎤ ⎢ ⎥ 例如： ⎢ ⎥ 是二階方陣， ⎢ 0 3 −7 ⎥ 是三階方陣。 − 1 7 ⎣ ⎦ ⎢⎣ 9 2 −1⎥⎦ 當 A, B 是同階方陣時， AB 與 BA 都是方陣且仍與 A, B 同階。 例如： A, B 同為三階方陣時， AB 與 BA 都是三階方陣，. 但 AB 與 BA 未必相等。當 A 是方陣時， n 個 A 連乘可表為 An ， 例如： A2 = AA, A3 = AAA 。 由於矩陣乘法不可交換，因此，當 A, B 是同階方陣時， ( A + B ) 2 = ( A + B )( A + B ) = A( A + B ) + B( A + B ) = A2 + AB + BA + B 2 ， 其中 AB 未必等於 BA ，最終的結果不可表為 A2 + 2 AB + B 2 。 13.
(3) 【定義】 1. 同階方陣： 階數相同的方陣，稱為同階方陣。 矩陣 A = B 的充要條件是 A 與 B 為同階矩陣且每一對應位置的元都相等。 2. 次方： n × n 階的矩陣稱為 n 階方陣，當 A 是方陣時， Ak 表 k 個 A 連乘。 例如： A 2 = AA, A 3 = AAA 。 3. 矩陣加法： 設 A = [ aij ]m×n , B = [bij ]m×n ，則 A + B = C = [cij ]m×n ，其中 cij = aij + bij 。. 4. 5. 6.. 矩陣減法： 設矩陣 X + A = B ，則 X = B − A 。 矩陣係數積： 設矩陣 A = [aij ]m×n ， α 是實數，則 α A = B = [bij ]m×n ，其中 bij = α aij 。 矩陣乘法： n. 設 A = [aik ]m×n , B = [bkj ]n× p ，則 AB = C = [cij ]m× p ，其中 cij = ∑ aik bkj 。 k =1. 【性質】 1. 由矩陣加法的定義，很容易得到下列基本性質： 矩陣加法的基本性質： (1) A + B = B + A 。 (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 。 (3) A + O = O + A = A 。 (4) A + (− A) = O 。 其中相加的矩陣都是同階矩陣， O 表零矩陣。 2. 矩陣係數乘法的基本性質： (1) α ( β A) = (αβ ) A 。 (2) (α + β ) A = α A + β A 。 (3) α ( A + B ) = α A + α B 。 其中 α , β 是實數， A, B 是同階矩陣。 3. 矩陣乘法的基本性質： (1) ( AB )C = A( BC ) 。 (2) (α A)( β B ) = (αβ )( AB) 。 (3) A( B + C ) = AB + AC ， ( B + C ) A = BA + CA 。 其中 A, B, C 是矩陣， α , β 是實數，且矩陣的加與乘都可以運算。 4. 當 A, B 是同階方陣時， AB 與 BA 都是方陣且仍與 A, B 同階。 但一般而言， AB 與 BA 未必相等。 5. 在矩陣的乘法中，次序不可交換，即 AB 未必等於 BA ； 又 AB = O 時，未必有 A = O 或 B = O 。. 14.
(4) 【運算】 1. 矩陣的加法： 設 A, B 同為 m × n 階矩陣， A = [aij ] m×n , B = [bij ]m×n ， 若 A + B = C = [cij ] m×n ， 則每一個 cij = aij + bij ， 換言之 [aij ]m× n + [bij ]m× n = [aij + bij ]m×n 。. 2.. 加法反矩陣： 設 A 是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n ， 則 − A = [−aij ]m× n ， ⎡ a11 ⎢a 即 A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1. 3.. a12 a 22. M am 2. L a1n ⎤ ⎡ − a11 ⎢− a ⎥ L a2n ⎥ 的加法反元素為 − A = ⎢ 21 ⎢ M M ⎥ ⎢ ⎥ L amn ⎦ ⎣− am1. − a12 − a 22. M − am 2. 矩陣減法： 設 A, B 都是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n , B = [bij ]m× n ， 若 C = A − B ，且 C = [cij ] m×n ，則 C = A + (− B) ， 即 cij = aij − bij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。 ⎡ a11 ⎢a 即 A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1. L a1n ⎤ ⎡ b11 b12 L b1n ⎤ ⎢b ⎥ b22 L b2 n ⎥⎥ L a2n ⎥ ， B = ⎢ 21 ， ⎢ M M M ⎥ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ a m 2 L amn ⎦ ⎣bm1 bm 2 L bmn ⎦ ⎡ a11 − b11 a12 − b12 L a1n − b1n ⎤ ⎢a −b a 22 − b22 L a 2 n − b2 n ⎥⎥ 21 21 ⎢ 則C = A − B = ， ⎢ ⎥ M M O M ⎢ ⎥ ⎣a m1 − bm1 a m 2 − bm 2 L a mn − bmn ⎦ 其中 cij = aij − bij ,∀i, j ， a12 a 22. 或表成 C = [cij ] m×n = [aij ] m×n − [bij ] m×n = A − B 。. 4.. 矩陣係數積運算： 設 A 是 m × n 階矩陣，且 A = [aij ]m× n ， 若 rA = [bij ] m×n ， 則 bij = raij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。 ⎡ a11 ⎢a 即 A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1. a12 a 22. M am 2. L a1n ⎤ ⎡ ra11 ⎢ ra ⎥ L a2n ⎥ ，則 rA = ⎢ 21 ⎢ M M ⎥ ⎢ ⎥ L amn ⎦ ⎣ra m1. 15. ra12 ra 22. M ra m 2. L ra1n ⎤ L ra 2 n ⎥⎥ 。 M ⎥ ⎥ L ra mn ⎦. L − a1n ⎤ L − a 2 n ⎥⎥ 。 M ⎥ ⎥ L − a mn ⎦.
(5) 5.. 矩陣乘法運算： 設 A = [aij ] m×n , B = [bij ] n× p , C = AB = [cij ]m× p ， n. 其中 cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ain bnj = ∑ aik bkj , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ p ， k =1. L a1n ⎤ ⎡b11 ⎢b ⎥ L a2n ⎥ 21 ,B=⎢ ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ a m 2 L a mn ⎦ ⎣⎢bn1 ⎡ c11 L L c1 p ⎤ ⎢L L L L ⎥ ⎥， 則 C = AB = ⎢ ⎢ M M cij M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣c m1 L L c mp ⎥⎦ ⎡ a11 ⎢a 即 A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1. b12 b22. a11 a 22. M bn 2. n. L b1 p ⎤ L b2 p ⎥⎥ ， M ⎥ ⎥ L bnp ⎦⎥. 其中 cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ain bnj = ∑ aik bkj , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ p 。 k =1. 易記符號：. A. B AB. 16.
(6) 【性質】 1. 加法交換律： A + B = B + A 。 2. 加法結合律： ( A + B) + C = A + ( B + C ) 。 3. A + O = O + A = A 。 4. A + (− A) = (− A) + A = O 。 5. 加法消去律：若 A + B = A + C ，則 B = C 。 6. − (− A) = A 。 7. 係數積對矩陣加法的分配律： α ( A + B) = αA + αB 。 8. (α + β ) A = αA + βA 。 9. (αβ ) A = α ( β A) 。 10. 矩陣係數積： r ( AB) = (rA) B = A(rB) 證明： 設 A = [aij ]m×n ， B = [bij ]n× p ， n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 則 r ∑ aik bkj = ∑ r (aik bkj ) = ∑ (raik )bkj = ∑ aik (rbkj ) 。. 11. 零矩陣的性質： AO = OA = O 。 12. (αA)( β B) = (αβ )( AB) 。 13. 乘法結合律： ( AB)C = A( BC ) 。 證明： 設 A = [aij ] m×n , B = [bij ] n× p , C = [cij ] p×q p n p n p ⎛⎛ n ⎞ ⎞ 則 ∑ ⎜⎜ ⎜ ∑ aik bkl ⎟clj ⎟⎟ = ∑∑ (aik bkl )clj = ∑∑ (aik bkl )clj l =1 ⎝ ⎝ k =1 ⎠ ⎠ l =1 k =1 k =1 l =1 n p n ⎛ ⎞⎞ ⎛ p = ∑∑ aik (bkl clj ) = ∑ ⎜⎜ aik ⎜⎜ ∑ bkl clj ⎟⎟ ⎟⎟ 。 k =1 ⎝ ⎠⎠ ⎝ l =1 k =1 l =1 註： 幾個矩陣連乘時，無須以刮號限制其運算的先後(但不能調換矩陣之次序)。 14. 矩陣乘法對加法分配律：(1) A( B + C ) = AB + AC 。(2) ( B + C ) A = BA + CA 。 證明： 設 A = [aij ] m×n , B = [bij ] n× p , C = [cij ]n× p. n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 則 ∑ aik (bkj +ckj ) = ∑ (aik bkj +aik ckj ) = ∑ aik bkj + ∑ aik ckj 。. 15. 矩陣的平方和公式：設 A, B 為同階方陣，則 ( A + B) 2 = A2 + AB + BA + B 2 。 註： ( A + B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 不恆成立。 16. 矩陣乘法與實數乘法運算性質的不同： (1)在矩陣乘法運算中，交換律不成立。 (2)即使 A, B 都不是零矩陣，其乘積卻可能是零矩陣。 17. 方程式的解： a, b 為兩實數且 a ≠ 0 ，則方程式 ax = b 恰有一解，但 A, B 為兩 矩陣， A ≠ O 時，方程式 AX = B 不一定有解。. 17.
(7) 【問題】 1. (1)若 AB 存在，則 BA 存在？ (解：否。反例：取 A2×3 , B3× 4 ) (2)若 AB, BA 都存在，則 A, B 都是方陣？ (解：否。反例：取 A2×3 , B3× 2 ) (3)若 AB, BA 都存在，則 AB = BA ？ (解：否。反例：取 A2×3 , B3× 2 。 A 乘以 B 時，必須 A 的行數等於 B 的列數， 而 AB 的列數與行數，分別是 A 的列數與 B 的行數) (4)若 AB, BA 都存在，且階數相同，則 AB = BA ？ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ (5)矩陣相乘是否滿足交換律？證明或舉反例。(解：否) 2. (1)給矩陣 B, C ，若 AB = AC ，則 B = C ？ ⎡0 1 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ,B = ⎢ ,C = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎥ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ (2)給矩陣 B, C ，若 AB = AC ， A ≠ O ，則 B = C ？ ⎡ 2 0⎤ ⎡1 0⎤ ⎡0 1 ⎤ ,B = ⎢ ,C = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎥ ⎥ ⎣0 0⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ (3)給矩陣 B, C ，若 AB = AC ， det A ≠ 0 ，則 B = C ？ (解：是) (4)矩陣相乘是否滿足消去律？證明或舉反例。 (解：否) 3. (1)給矩陣 A ，若 AO = O ，則 A = O ？ ⎡1 0⎤ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎣0 0 ⎦ (2)若 AB = O ，則 BA = O ？ ⎡1 1⎤ ⎡ 1 0⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥) ⎣1 1⎦ ⎣ − 1 0⎦ (3)若 AB = O ，則 A = O 或 B = O ？ ⎡0 0 ⎤ ⎡1 0⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦. (4)若 A2 = O ，則 A = O ？. ⎡0 1 ⎤ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎣0 0 ⎦ (5)若 A2 = I ，則 A = I 或 A = − I ？ ⎡ − 1 0⎤ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) 0 1 ⎣ ⎦ (6)若 A2 = B 2 ，則 A = B 或 A = − B ？ ⎡0 1 ⎤ ⎡− 1 0 ⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣ 0 − 1⎦ 18.
(8) 4.. (1)給矩陣 A, B ，則 ( A + B) 2 = A2 + 2 AB + B 2 ？證明或舉反例。 (解：否。因 AB 不一定等於 BA ) (2)給矩陣 A, B ，則 ( A + B)3 = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3 ？證明或舉反例。 (解：否。因 AB 不一定等於 BA ) (3)當 A 與 I 是同階方陣且 I 是單位方陣，則 ( A + I ) 2 = A 2 + 2 A + I 2 ？ 證明或舉反例。 (解：是。 ( A + I ) 2 = ( A + I )( A + I ) = AA + AI + IA + I 2 = A2 + 2 A + I 2 。) (4)給矩陣 A ，則 ( A + I )3 = A3 + 3 A2 + 3 A + I 3 ？證明或舉反例。 (解：正確) (5)設 A, B, C , D 是矩陣，且 ( A + B)(C + D) 是可以運算的， 試證： ( A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD 。. 19.
(9)
相關文件
若我們能知道有 k 個 row 的矩陣一 定能利用 elementary row operations 化為 echelon form 這個事實且利用這個事實證得有 k + 1 個 row 的矩陣一定能利用 elementary row
△ABC 為上底面、△DEF 為下底面，且上底面△ABC 與下底面△DEF 互相平行、△ABC △DEF；矩形 ADEB、矩形 BEFC 與 矩形 CFDA 皆為此三角柱的側面，且均同時與△ABC、△DEF
sort 函式可將一組資料排序成遞增 (ascending order) 或 遞減順序 (descending order)。. 如果這組資料是一個行或列向量，整組資料會進行排序。
在這一節中, 我們介紹 change of basis 的概念, 了解到一個 linear operator 換了 ordered basis
ðWinner winner, chicken
[r]
The significant and positive abnormal returns are found on all sample in BCG Matrix quadrants.The cumulative abnormal returns of problem and cow quadrants are higher than dog and
for some constant 1 and all sufficiently large , then Θ.
