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行政院國家科學委員會專題研究計畫執行進度報告
奈米元件之微觀熱傳分析(2/3)
Microscale Heat Transfer in Nano-Device
計畫編號：NSC 90-2212-E-002-238
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
主持人：張建成 教授 台大應用力學研究所
一、中文摘要 近年來科學工程技術發展的趨勢，主要是 在強調系統的微小化以及探討一些微觀尺 度下的物理現象。在微小尺度下，傳統力 學已經不在適用。因此，除了繼續設計研 發新的元件之外，研究微小尺度之物理行 為是一個相當重要的部分。分子動力學(MD) 在模擬微小尺度下的現象，是一個相當有 效力的工具，他可以幫助瞭解物理變化的 過程。本期計畫的目的是在 MD 中引入非線 性高斯迭代法(INGA)以生成許多彼此獨立 之平衡態的分子系統，並計算物理量如內 能、壓力和比熱。 關鍵詞：元件、分子動力學、非線性高斯 迭代法 AbstractRecently, the development in science and technology have emphasized on miniaturization of systems and study of micro-scale phenomena. The classical mechanics is useless in micro-scale. Therefore, the study of micro-scale physical phenomena is the important part except designing and creating new device. Simulation based upon molecular dynamics is a powerful tool in micro-scale phenomena and it can help us to understand physical processes. The proposal aims of the study is to
introduce an iterative nonlinear Gaussianization algorithm (INGA) for generating independent replicas of molecular systems in equilibrium compute physical quantities, such as potential energy, pressure and specific heat capacity.
Keywords: device, Molecular dynamic,
iterative nonlinear Gaussianization algorithm 二、計畫緣由與目的 近幾年來，微觀尺度下的物理行為， 無論在科學或是工程上，一直是重要的研 究課題，尤其是介電體或半導體的薄膜熱 傳機制之探討。微觀尺度下的物理現象主 要是由質量、能量和電荷傳輸所控制，因 此，瞭解並掌握這些傳輸物理現象是相當 重要的部分(Tien et al., 1998)。藉由分 子動力學模擬，我們可以計算出在統計力 學裡，平衡態下的物理量之系重平均如壓 力、內能、壓縮係數和比熱。然而典型的 MD 為了增加平均值的精確度或降低其不準 度，必須模擬幾十萬乃至百萬步。本期研 究引入非線性高斯迭代法(Lin, 2000)，藉 由此法能生成獨立之分子系統，以求降低 模擬步數、提高精準度，改善 MD 需要長時 間模擬的缺失。 三、計畫方法與簡介
2 MD 主要是在計算各個分子的運動，由 其運動行為，即各個分子的位置、速度… 等等，描繪出整個系統的溫度、內能和壓 力等各種不同的巨觀物理參數。此外，MD 的最大好處是它不僅能估算靜態(static) 物理參數，還能計算動態(dynamic)物理現 象，如熱流或電荷傳輸(Thijssen, 1999)， 以及 非 平衡 (non-equilibrium) 下的模 擬 (Hafskjold et al., 1993)。 在 MD 裡，我們是對每個分子解其運動 方程式，即 i i i i r F r m&v& v v ∂ Φ ∂ − = = (1) 其中mi、rvi和Fvi分別是質量、位置和作用 力，而Φ是系統的位能。在確定系統位能 之後，我們給予系統的初始狀態，即各個 分子的位置與速度。在位置的初始化當 中，為了避免有過大的互斥力，所以使用 面心(fcc)結構，而速度的初始化，採用在 Maxwell 分佈下的速度場(Haile, 1991)。 為了將整個系統有效的從初始狀態轉 移至預期的平衡狀態，我們使用溫度控制 的方法，即每隔一定的步數，將每個分子 的速度作某個倍數之放大或縮小，使系統 的溫度和預期的系統溫度相同，等到系統 已達到預期的狀態後，取消溫度控制，讓 系統自然的在平衡態附近振盪，不做人為 控制。時間的演算法上，我們是藉由五階 Gear’s predictor-corrector algorithms 計算各分子的位置、速度以及加速度。最 後，由各分子的位置、速度以及加速度， 推算巨觀的物理參數(Haile, 1991)。 非線性高斯迭代法主要是提供一個工 具，即在原始樣本給定之後，其能生成許 多統計上彼此獨立的新樣本(Lin, 2000)。 此法分成兩部分 Forward 和 Backward 過 程。Forward 過程是將原始樣本往高斯分佈 去 調 整 並 記 錄 整 個 高 斯 化 的 過 程 。 Backward 過程，先生成一筆滿足高斯分佈 的樣本，之後沿著 Forward 過程逆向回去， 產生新的獨立樣本。 由於吾人是由 Maxwell 分佈產生初始 速度，在幾千步之後即可滿足 Boltzmann H 理論(Liboff, 1998)達到平衡條件。傳統 MD 為了降低不準度，必須作多步數的模 擬。在此，我們引入 INGA 的方法，當系統 平衡後，取適當的數據資料當作原始樣 本，再藉由 INGA 能夠產生新的獨立樣本， 之後，我們可利用新的獨立樣本，組合成 一段新的模擬實驗以計算統計上的系重平 均，也就是各個物理量的計算。 四、結果與討論 在 MD 的 模 擬 上 ， 我 們 使 用 了 Lennard-Jones 的模式，即(Haile, 1991)
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− = Φ 6 12 r 1 r 1 4 r (3) 其中Φ，r 是無因次化後的位能和距離。 模擬的初始條件是 256 個分子，無因次化 的密度ρ=0.7，週期性的邊界條件，彼此 的位能只考慮距離小於 2.5 的範圍內，初 始位置為 fcc 結構。在內能、總能量和壓 力的計算裡，每一步的時間間隔為 0.003， 平衡後時間間隔為 0.009，並取平衡後 10000 步每間隔 20 步的溫度、內能和壓力 資料作原始樣本，利用 INGA 產生新樣本， 組合成 175000 步，最後由這新的模擬數據 計算物理量--內能、總能量和壓力，即圖 一至圖三。 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 temperature total energy ave_E Ree_E Nicolas_E 圖一 溫度對總能量圖3 -5.1 -4.8 -4.5 -4.2 -3.9 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 temperature internal energy ave_U Ree_U Nicolas_U 圖二 溫度對內能圖 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 temperature pressure ave_P Ree_P Nicolas_P 圖三 溫度對壓力圖 在比熱的計算中，我們作能量控制，每一 步的時間間隔為 0.003，平衡後時間間隔為 0.009，並取平衡後 10000 步的溫度和壓力 資料作原始樣本，利用 INGA 產生新樣本， 組合成 200000 步，最後由這新的模擬數據 計算物理量— 比熱，即圖四。 五、計畫成果自評 此報告是本計畫的第二期成果報告， 主要是將分析的方法，加入 INGA 的探討與 研究，這對於往後 MD 計算的發展，有決定 性的影響。本期對於完成的程式，已經和 前人的結果作比較，均有不錯的成果，可 算是完成階段性的任務。 儘管如此，模式仍有寬廣的發展空間， 比如說，如何更快速的生成獨立的樣本 (sample)，非平衡態以及量子(quantum)效 應下的 INGA 之應用。 對於以後的發展，我們希望將所發展 出來的程式，應用在實際工程問題，也就 是探討薄膜散熱的機制，進而建立分析理 論之模式，謀求改進之道。 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.5 1 1.5 2 2.5 Cv_r Haile Ree Nicolas 多項式 ( Cv_r) Cv-1.5 temperatu 圖四 溫度對殘餘比熱圖 六、參考文獻
Hafskjold, B. and Ikeshoji, T., “Non-Equilibrium Molecular Dyna- mics Calculations of Heat Conduction in Liquid and through Liquid-Gas Interface,” Molecular Physics, vol. 80, no. 6, pp. 1389-1412(1993).
Halie, J.M., Molecular dynamics simulation, John Wiley and Sons, Inc.(1991).
Huang, K., Statistical Mechanics, John Wiley and Sons, Inc.(1987). Liboff, R.L. Kinetic Theory, John Wiley
and Sons, Inc. (1998).
Lin, J.J.Simulation and Synthesis of High-Dimensional Data and Related Issues, Ph.D. dissertation,
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University of California,Davis. Nicolas, J.J., Gubbins, K.E., Streett,
W.B., and Tildesley, D.J., “Equation of State for the Lennard-Jones Fluid,” Mol. Phys., 37, 1429(1979).
Pathria, R.K., Statistical Mechanics, Butterworth-Heinemann(1996). Ree, F.H., “Analytic Representation of
Thermodynamic Data for the Lennard-Jones Fliud,” J. Chem. Phys., 73, 5401(1980).
Thijssen, J.M., Computational physics, Cambridge university press, New York(1999).
Tien, C.L., Majumdar, A., and Gerner, F.M., Microscale energy transport, Tayler and Francis, (1998).
