隨機波動下利率變動型人壽保險之違約風險分析 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學商學院風險管理與保險學系碩士論文 Department of Risk Management and Insurace College of Commerce. National Chengchi University Master Thesis. 治政大隨機波動下利率變動型人壽保險之違約風險分析立. Default Analysis of Interest Sensitive Life Insurance. ‧ 國. 學. Policies under Stochastic Volatility. ‧. n. Ch. 曾暐筑. er. io. sit. y. Nat. al. i Un. v. e n g cTseng hi Wei-Chu. 指導教授：張士傑教授 Advisor: Shih-Chieh Chang, Ph.D.. 中華民國 105 年 6 月 June, 2016.

(2) 謝辭首先要感謝張士傑老師兩年來的指導與照顧，不論是在課業、研究方向、論文寫作抑或是生活經驗的分享，都讓我受益良多，有了老師的指導，本論文才能順利完成。此外，感謝黃雅雯老師及韓傳祥老師於口試時的指導與建議，讓本論文能更加完整。另外，也要感謝在論文上幫助我很多的宣葳學姐、毅潔和旻樺，我不會忘記我們一起奮鬥的時光。還有我的室友和同學，謝謝你們在我無聊煩悶的時候，為我帶來歡樂。最後，要感謝我的家人、朋友及親辜給我的支持和關懷，我才可以無憂無慮的過完兩年的碩士生活，謹以此篇論文獻給你們。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 暐筑謹誌於. 國立政治大學風險管理與保險所. ‧. 中華民國 105 年 6 月. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.

(3) 摘要資本市場之系統性風險加劇時，對於利率變動型人壽保險所持有之區隔資產將出現大幅波動，進而影響保險公司之清償能力，本研究透過建立區隔資產負債表之隨機模型，檢視系統性風險下對於人壽保險業違約風險之變化，並透過敏感度分析找出對違約風險影響最大的因子。本研究依據利率變動型壽險之現金流量建立公司之資產負債模型，預期建立 Heston (1993)模型描述標的資產的隨機波動過程，相較於以往 Black-Scholes. 治政大公司違約風險，同時分析影響違約風險之各項因子，包含解約、死亡與資產配立. (1973)模型更能反映真實的市場波動。本研究藉由資產與負債的變化，衡量保險. 置策略之關聯性。本研究結果顯示，宣告利率、評價時間長度及資產配置策略. ‧ 國. 學. 等皆會影響保險公司之違約風險及其破產幅度。. ‧. 關鍵字：：區隔資產負債表、現金流量、解約、資產配置、Heston 模型. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v.

(4) Abstract When systemic risk of capital markets exacerbates, the segment assets that held by interest sensitive life insurance policies will fluctuate widely and affect insurer's solvency. This paper considers the problem of valuating the default risk of the life insurers under systematic risk, by constructing a stochastic model of segment balance sheet. In this paper, we establish insurer's asset-liability model on the basis of interest sensitive life insurance policies' cash flow.In particular, we use Heston(1993) model. 政治大. to simulate stochastic process of assets, which is better reflect market volatility than. 立. Black-Scholes(1973) model in reality. And moreover, by means of the variation on. ‧ 國. 學. asset and liability, this study evaluating the default risk of life insurers and analyze the factors affect default risk, like the correlation between surrender, death and asset. ‧. allocation. And using the result of sensitivity analysis to determine which factor is. y. Nat. io. sit. more important, like guaranteed rate, time period of valuation and so on.. n. al. er. keywords： segment balance sheet、cash flow、surrender、asset allocation、 Heston model. Ch. engchi. i Un. v.

(5) 目錄 1 前言. 3. 1.1. 研究動機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. 文獻回顧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2 模型建立. 8. 2.1. 利率模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. 資產模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.3. 負債模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.4. 經濟資產負債模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 2.5. 違約風險分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 立. ‧ 國. 學. 3 數值分析. 政治大. 16. 參數估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3.2. 模擬方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 3.3. 數值結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 3.4. 敏感度分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. n. al. er. io. sit. y. Nat. 4 結論與建議. ‧. 3.1. 參考文獻. Ch. engchi. 1. i Un. 27. v. 28.

(6) 圖目錄圖 1 2004 年 2014 年保險業資產總額 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 圖 2 2015 年壽險新契約保費收入來源 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 圖 3 期初資產負債 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 圖 4 模擬流程圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 圖 5 長短期利率模擬示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 圖 6 投資標的模擬示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 圖 7 資產負債及股東權益模擬示意圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 表目錄. 立. 政治大. 表 1 利變型壽險保單假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. ‧ 國. 學. 表 2 解約模型假設 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 表 3 CIR 參數估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. ‧. 表 4 Heston 參數估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. sit. y. Nat. 表 5 資產模型參數估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. io. er. 表 6 情境一之違約風險 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 表 7 情境二之違約風險 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. n. al. Ch. i Un. v. 表 8 情境三之違約風險 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. engchi. 表 9 情境四之違約風險 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 表 10 敏感度分析―宣告利率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 表 11 敏感度分析―躉繳保費 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 表 12 敏感度分析―投資比例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 表 13 敏感度分析―死亡率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 2.

(7) 1. 前言. 1.1. 研究動機保險業為金融市場中不可或缺的一環，根據保發中心統計，保險業資產總. 額逐年增加，如圖 1，2014 年底國內保險業總資產達 18.94 兆元，約佔整體金融市場的 29.79%，其中壽險業和產險業資產總額分別約為 18.64 兆元及 0.3 兆元，因此保險業對金融市場之穩健性非常重要，尤其是壽險業。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. 圖 1: 2004 年 2014 年保險業資產總額. n. al. er. 壽險業的總資產中，有 96% 來自於負債，也就是保戶的保費收入，故其資. i Un. v. 金運用顯著影響保險公司之違約風險，為了有完善的資產負債管理，保險公司. Ch. engchi. 須視其負債之組成決定資產配置策略，避免不當之策略影響公司財務，進而影響保戶權益，因此，如何評估保險公司之違約風險為本研究之核心。. 本研究同時著重資產面與負債面之分析，以往研究在資產面多採用Black and Scholes (1973) 模型來模擬公司股票價值，然而此模型忽略股票的波動度，會使模型價格與市場價格產生偏離，因此本文使用Heston (1993) 模型，此模型為一隨機波動度模型，藉由假設波動度為一隨機過程來彌補Black and Scholes (1973) 模型計算上造成之誤差。. 負債面本研究以利率變動型壽險為例，自 2008 全球金融風暴後，市場利率一路下滑，保險公司體認到低預定利率之保單無法吸引消費者購買，因此開始引進新式保單，如投資型商品、利變型商品，這些商品的保險金額與投資績效 3.

(8) 相關，可將利率風險分散給消費者，希望藉此減少低預定利率帶來的衝擊與危機。. 而近幾年來，壽險業保費不斷創新高，在 2015 年壽險新契約保費中，如圖 2，利變型商品約佔 46.01%，其中利變型壽險就佔了 37.4% 的比例，更創造了約 4435 億元的保費收入，由此可見，利變型壽險為多家保險公司之商品主力，因此本研究利用利率變動型壽險來模擬保險公司的負債，進而衡量保險公司之違約風險。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. 圖 2: 2015 年壽險新契約保費收入來源. n. al. er. 本研究之特色在於採用Heston (1993) 模型來模擬股票基金組合的價格外，. i Un. v. 還同時考量死亡與解約兩種脫退因子來建構負債模型，並使用市場上販售之保. Ch. engchi. 險商品的真實資料進行模擬，此外，本研究也使用淨現金流量來衡量保險公司之違約風險。. 本研究之結果可提供保險公司一套方法來檢視利變型商品之資產負債管理，且根據保險法１４８條之３，保險業應建立其內部控制及稽核制度，因此，本研究亦可以提供保險公司一套內部模型來衡量其風險程度。. 本之研究架構如下：第一部分為前言，介紹研究動機及文獻回顧，第二部分為模型建立，分別建立利率、資產及負債模型，將上述模型結合為經濟資產負債模型，並進行違約風險分析，第三部分為數值分析，針對模型進行參數估計及模擬，並以破產機率、風險值及條件尾端期望值來檢視風險程度，第四部份則為結論與建議。 4.

(9) 1.2. 文獻回顧本研究之主要目的為探討壽險公司之違約風險，並以利率變動型壽險為衡. 量商品。當系統性風險加劇時，利率變動型壽險所持有之區隔資產將產生大幅波動，若資產和負債價值變動不一致，保險公司可能會產生違約風險，因此，本研究之文獻回顧將對於 (一) 資產負債管理相關文獻；(二) 利變型商品相關文獻兩個部分進行回顧探討。 (一) 資產負債管理文獻資產負債管理主要起源於利率自由化後，利率波動所引發的利率風險問題，因此自 2000 年來，許多學者紛紛對保險業資產負債管理進行研究，. 治政債模型，此模型考量到保險商品的許多特性，包含保證利率、解約選擇權、分大立紅策略、清償能力及動態的資產配置等，並對上述因子進行敏感度分析，發現. Grosen and Jørgensen (2000)、Grosen and Jørgensen (2002) 提出離散的資產負. ‧ 國. 學. 不同的因子對違約風險的影響也截然不同，此研究提供了一套合適的模型來對保單進行資產負債管理。. ‧. y. Nat. 在 2000 年後，亦有許多學者對不同之商品進行資產負債管理之的研究，. sit. 如Bacinello (2001)、Bollotta et al.、Grosen and Jørgensen (2002) 等，值得注. n. al. er. io. 意的是，上述研究皆採用Black and Scholes (1973) 模型的架構對資產進行動態. i Un. v. 模擬，此模型對選擇權評價及避險上有重大的影響，也奠定了衍生性金融商. Ch. engchi. 品的快速發展。然而在 1987 年全球股市崩盤之後，學者們發現採用Black and Scholes (1973) 模型計算選擇權之合理價格與市場價格大幅偏離，此事實指出此評價模型的最大缺失在於標的資產的波動度的假設並不正確。. 為了能更好的解釋Black and Scholes (1973) 模型的不足之處，本研究使用Heston (1993) 模型，此模型為一隨機波動度模型，藉由假設波動度為一隨機過程來彌補Black and Scholes (1973) 模型計算上造成之誤差。且Andersen (2008) 提出 Heston 模型相較於其他模型有較好的計算效率及穩健性，並提供了歐式選擇權的封閉解及定價的特徵函數。. 此外，本研究以現金流的方式衡量資產負債模型，Lamm-Tennant (1987) 提出保險公司之流動性風險必需以每期之淨現金流量檢視，當保險商品或保險 5.

(10) 公司在有效期間內發生淨現金流量小於零的狀況，即產生流動性風險，而保險公司之清償能力則是測試未來資產面的現金流量是否能與負債面之現金流量相互配合。. (二) 利變型商品文獻 Huang and Lee (2008) 探討利變型保單在不同宣告利率下，投資策略與獲利邊際之間的關係，其研究結果顯示不同之宣告利率，分別有其適合的投資策略，而提高保單宣告利率，會讓保險人面臨較大的不確定性，因此在決定宣告利率時，應對保單進行充分的測試，因此本研究以利變型壽險作為保險公司主要販售之商品，對此商品進行資產負債管理。. 立. 政治大. Hsuan and Chang (2015) 以Heston (1993) 模型、Cox et al. (1985) 模型為架. ‧ 國. 學. 構，利變型壽險為商品，對資產及負債進行蒙地卡羅模擬，分析在不同宣告利率及預定利率下，對台灣安定基金 (TIGF) 之公平保費的影響，本研究參考其. 量。. ‧. 負債模型，且加入死亡與解約等因子，以現金流量的方式模擬負債每期的變動. sit. y. Nat. er. io. Tsai et al. (2002) 假設利變型年金之解約率與利率走勢相關，當利率提升，. al. iv n C 率下，解約率會隨著當時利率而波動，且提前解約可以降低保險公司無力清償 hengchi U 之風險，同時解約亦會受到其他非經濟因素之影響，如佣金高低或業務員素 n. 保戶有誘因解約，將資金投入到市場，賺取更大的利益，結果發現，在隨機利. 質。. Hao (2011) 提出利變型商品的利率風險模型，此模型考量利變型商品之解約特性，利變型商品之解約率與市場利率相關，除考量市場利率外，此模型亦有考量到與利率無關之因素所造成的解約行為，而本研究之解約率除參考市場利率外，亦考慮保險公司之投資績效，因為投資績效將影響保險公司之宣告利率，所以當宣告利率過低時，亦會增加保戶的解約行為。. 本研究結合上述文獻之貢獻，以隨機過程的方式衡量資產模型，及現金流量的方式衡量負債模型，負債模型為近年來熱賣之利變型壽險，而模型假設除 6.

(11) 了考量該商品之特色外，尚加入解約及死亡因子，進而模擬出保險公司之違約風險，並對多項因子進行敏感度分析，因此，本研究可提供保險公司一套模型來衡量利變型壽險之風險程度。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i Un. v.

(12) 2. 模型建立本研究首先建立Cox et al. (1985) 模型模擬利率趨勢，其次探討資產面，. 假設資產僅配置於債券基金組合、股票基金組合及約當現金，進而模擬資產的變動，再者以利變型壽險建構負債模型，考量利率、死亡與解約的情形來模擬負債的變動，最後，假設保險公司皆於期末評價其資產與負債，透過兩者的變動模擬出保險公司的權益價值，並求得其違約機率。. 2.1. 利率模型本研究採 Cox-Ingersoll-Ross(1985) 模型，來描述利率的長短期變化。由. 於 CIR 模型具有均數回歸 (Mean Reversion) 的特性，在穩定成長的長期資產. 政治大利率趨勢的過程中，不會出現負利率的情況，再者，CIR 模型利率的波動程度立中多能看見此現象，因此適合用來衡量壽險業的資產與負債，且此模型在模擬. ‧ 國. 學. 與利率本身呈正相關，較符合市場情況，因此採用 CIR 模型會更為貼切。CIR 利率模型如下：. ‧. √ drt = α(m − rt )dt + σr rt dZr,t .. α：控制利率均速回歸的速度，其值恆正. y. Nat. al. er. io. sit. m：長期均衡利率. σr ：利率的變動量. n. Zr,t ：布朗運動 (Brownian motion). 2.2. 資產模型. (2.1). Ch. engchi. i Un. v. 假設保險公司在給定期初資本的情況下，只銷售利率變動型壽險的保單，並於期初收到 n 筆 x 歲男性的 200 萬躉繳保費，將此躉繳保費及期初資本投資於債券基金組合、股票基金組合、約當現金三種標的，並使用上述三種標的建構資產模型。. 8.

(13) (一) 債券基金組合本研究採用Cox et al. (1985) 模型之假設，到期日 T 之債券在時間 t 的價格如下： B(t, T ) = b1 (t, T )exp {−b2 (t, T )rt } , 2κr θr 2he(κr +h)(T −t)/2 2 σr ) , h(T −t) 2h + (κr + h)(e − 1) 2(eh(T −t) − 1) b2 (t, T ) = , 2h + (κr + h)(eh(T −t) − 1) √ h = κ2r + 2σr2 ,. b1 (t, T ) = (. (2.2). 將上式微分後可以改寫為 √ dB(t, T ) = rt dt − b2 (t, T )σr rt dZr,t . B(t, T ). (2.3). 政治大根據上述模型，可以得知當時間 t 逐漸接近到期日 T 時，債券之存續期間立會縮短甚至變為零，但此情形與實際狀況不同，因為保險公司會不斷購買不同. ‧ 國. 學. 存續期間之債券，因此不會發生存續期間變為零的狀況。. ‧. 本研究為模擬債券基金組合的價格變動，假設存續期間為固定常數 τ , 模擬. sit. n. al. er. io. (二) 股票基金組合. y. Nat. 時間點零 (t = 0)，到期日為 τ (T = τ ) 之債券價格的變動。. i Un. v. 由於壽險業資產易受到市場影響而變動，為了能夠更適當的反映資. Ch. engchi. 產價格，本文使用隨機過程來描述股票基金組合的價格變動，在此採用 Heston(1993) 模型，其描述如下： √ vt St dW1,t , √ dvt = κ(θ − vt )dt + σ vt dW2,t ,. dSt = µSt dt +. E p [dW1,t , dW2,t ] = ρdt. vt ：股票價格的變異數 µ：股票之報酬率 κ：變異數均值回歸的速度 σ：變異數之波動度 θ：變異數均值回歸的水準 dWi,t ：布朗運動,i=1, 2 9. (2.4).

(14) ρ：W1,t �W2,t 之相關係數. (三) 約當現金約當現金為具高流動性之短期投資，因其容易變現且交易成本低，可視為現金。因此約當現金具有隨時可轉換為定額現金、即將到期及利息變動對其價值影響少等特性，其描述如下： (2.5). dMt = rt Mt dt. (四) 資產配置. 政治大、ω 、ω ，此比例皆為常數且 ω + ω + ω = 1，而保立單位的債券，ϕ 單位的股票，ϕ 單位的存款，則 A =. 假設保險公司將資產配置於債券基金組合、股票基金組合、約當現金之比例為 ωB. M. B. S. ϕB B(t, T ) + ϕS St + ϕM Mt ，ωB =. S. M. M. ϕB B(t,T ) ，ωS A. =. 學. ‧ 國. 險公司持有 ϕB. S. ϕS St ，ωM A. =. ϕM Mt ，此外，資 A. 產除依上述比例繼續累積外，還須扣除當期給付 (Bt )，並加上負債之干擾項，. ‧. 可得到保險公司的資產變動如下：. dSt dMt dB(t, T ) + ωS + ωM )At − Bt + Bt σB dZB . B(t, T ) St Mt. sit. al. n. 負債模型. (2.6). er. io. 2.3. y. Nat. dAt = (ωB. Ch. engchi. i Un. v. 壽險業之負債主要來自於與保戶簽定的保險契約，而本研究假設保險公司僅銷售利率變動型保單，並以此商品進行負債面的探討，所謂利率變動型壽險，就是指用來計算保額、保單價值準備金等保單權益之利率不再一成不變，而是以保險公司每月公布之「宣告利率」為依據。. 宣告利率為保險公司依據利變型保單的可運用資金之投資組合收益，扣除相關費用後，參考當時市場利率水準所訂，而此項商品設計主要是為了避免因利率上升，造成商品解約件數增加，, 因此宣告利率原則上不會比市場行情低，否則將失去商品之競爭力。. 除了考量利率，本研究之負債模型尚加入了死亡與解約的影響，進行負債面現金流量的模擬。且本研究在參考多家保險公司販售之利變型壽險後，對此 10.

(15) 商品之內容進行以下假設，下表為利率變動型壽險的商品內容。. 利率變動型終身壽險投保對象. 40 歲男性. 投保人數. 1,000 人. 繳費方式. 躉繳 200 萬. 保額. 1.5%. 預定利率準備金利率. 同宣告利率 100% 2012TSO. 死亡率. 政治大. 表 1: 利變型壽險保單假設. 立. ‧ 國. 學. 為不失一般性，本研究採用大部分保險公司之利變型壽險的商品內容，宣告利率會根據保險公司運用此商品累積資產的實際狀況，並參考市場利率訂. ‧. 定。. Nat. sit. y. 然而金管會為了避免保險公司藉由抬高宣告利率來銷售保單，將利變. al. er. io. 型保單之宣告利率設置上限，使保單利率能夠真實的反映，讓保險公司能. n. 以財務穩健為優先，並減少投資人將此類保單當作定存的行為，因此規定利. Ch. i Un. v. 變型保單每月之宣告利率，不得高於前 12 個月移動平均投資報酬率加計 2 碼。. engchi. 而本研究採用目前市面上多數保險公司販售之利變型壽險的保單內容，以國內十年期中央政府公債次級市場殖利率為上限，且若宣告利率低於商品之預定利率，則以預定利率為準，因此宣告利率之表示方法如公式 (2.7)，其中 rg 為預定利率，rA,t 為保險公司之投資績效，k 為宣告利率的上限，ε 為調整項，其值介於-1% 與 +1% 之間。 rp,t = max {rg , min(rA,t , k + ε)} .. (2.7). 由於本研究探討的是群體 (cohort) 的概念，因此我們首先定義個體的情形，也就是單一被保險人之準備金、死亡給付及解約金，如下所示：. 11.

(16) (1). x 歲投保的人第 t 年末之準備金. = t Vx .. (2) 躉繳保費. = N P = 0 Vx .. (3) 第 t 年之死亡給付. = max{t−1 Vx (1 + rp,t ), 1.03N P }.. (4) 解約金. =. t−1 Vx (1. + rp,t ) × (1 − SCt ) .. 接著，我們探討群體的情形，假設 lx+t 為第 t 年末之存活人數，則 lx+t × t Vx = Lt ，群體之表示方法如下： (1) 第 t 年之死亡給付. = Dt , (d). = dx+t × max{t−1 Vx (1 + rp,t ), 1.03N P }. (2) 第 t 年之解約金. = SVt ,. 政治大 × L (1 + r )(1 − SC ).. (w). = dx+t × t−1 Vx (1 + rp,t )(1 − SCt ) =. (w) qx+t. 立= L. p,t. t. 0. 學. ‧ 國. (3) 期初負債. t−1. = lx × 0 Vx = lx × N P. ‧. y. Nat. 其中，死亡給付根據一般市場上販售的保單，為所繳保費之倍數或當年度. io. sit. 保單價值準備金之最大值。解約率本文參考Hao (2011) 之假設，解約率為原始. n. al. er. 解約率 (即和利率無關之因素) 加上考量市場利率、投資績效、解約費率後的. i Un. v. 結果，解約率公式如下： { } (w) (w′ ) qx+t = min 1, qx+t + βmax {(rm,t − rp,t − SCt ), (rm,t − rA,t − SCt ), 0} .. Ch. engchi. (2.8) (w). (w′ ). 其中，qx+t 為調整後解約率，qx+t 為原始解約率，SCt 為解約費率，rm,t 為市場利率，而 β 為解約敏感度。. 根據法規，利變型保單解約費的收取年限至少為六年，且須大於 1%，因此本研究根據市場上多家保險公司之保單假設解約費率，此外，其餘之參數假設，本研究亦根據Hao (2011) 解約率模型之參數結果進行假設，其假設如下表。. 12.

(17) 解約率模型假設 (w′ ). 原始解約率. qx+t. 1%. 市場利率. rm,t. 台灣十年期公債殖利率. 解約敏感度. β. 8. 解約費率. SCt. 保單經過年度 (t). 1. 2. 3. 4. 5. 6. ≥7. 費率. 25%. 10%. 5%. 2%. 1%. 0.5%. 0. 表 2: 解約模型假設最後，本研究將負債表示為前期累積之負債扣除當期給付 (Bt )，而此模型將當期給付拆分為死亡給付 (Dt ) 加解約金 (SVt )，其中，負債之初始值 (L0 )，. 政治大. 為所有投保人期初之躉繳保費 (L0 = lx × N P )，則負債模型如下所示：. 立L = L. t−1 (1. + rp,t ) − Bt ,. 學. ‧ 國. t. Bt = Dt + SVt .. (2.9). 根據上述負債模型之假設，可得到負債之變動如下：. ‧. n. al. Ch. engchi. 13. er. io. = Lt rp,t − Bt .. sit. Nat. = Lt (1 + rp,t ) − Bt − Lt ,. y. dLt = Lt+1 − Lt ,. i Un. v. (2.10).

(18) 2.4. 經濟資產負債模型本研究參考Brigo and Mercurio (2001) 提出之經濟資產負債模型 (economic. balance sheet)，其特色在於使用市值來衡量保險公司之資產及負債，有別於以往用帳面價值呈現的會計資產負債表，此模型較能反映公司的真實風險。. 為了簡化模型，本研究假設保戶為保險公司唯一的債權人，且保險公司只銷售利率變動型終身壽險，因此所有保戶的準備金即為保險公司的負債，再者，我們假設保險公司期初之槓桿比為 1 − π，π ∈ [0, 1]，A0 為保險公司一開始之資產，則期初股東權益為 Q0 = (1−π)A0 ，負債為 L0 = πA0 ，如圖 3。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. C圖h3: 期初資產負債U n i engchi. v. 此外，由於資產與負債每期模擬的時間需一致，本文亦假設 t 與 t + 1 之時間長度為一年，最後，透過資產與負債每期的變化，我們可以描繪出每期股東權益的情況，則資產負債模型之表示如下： Qt+1 = At+1 − Lt+1 , = (At + dAt ) − (Lt + dLt ), ( ) dB(t, T ) dSt dMt = At − Lt + ωB + ωS + ωM At + Bt σB dZB − Lt rp,t . B(t, T ) St Mt (2.11). 14.

(19) 2.5. 違約風險分析本節運用三種風險衡量指標 ― 破產機率 (Ruin Probability)、風險值. (VaR)、條件尾端期望值 (CTE)，來衡量保險公司之違約風險。 (一) 破產機率當負債大於資產的價值，即股東權益小於零時，保險公司發生違約風險，因此本研究定義破產機率如下： RPt = P (Qt < 0) = P (At − Lt < 0) = ξ. (二) 風險值. 未來特定時間下的最大可能損失，其定義如下：. 學. ‧ 國. 政治大使用破產機率方法率雖然可以衡量出保險公司之違約機率，但無法考量破立產的幅度，因此本研究使用風險值來衡量破產情形，VaR 為在一定的水準下，. y. sit. Nat. = inf {l, P (−Qt ≤ l) ≥ α}.. ‧. V aRα (Qt ) = inf {l, P (−Qt > l) < 1 − α},. er. io. (三) 條件尾端期望值. al. n. iv n C U α% 的信賴水準下，尾端 h e n g c h i 為在保守，更能表現尾端風險發生的可能性，CTE. 本研究亦採用 CTE 方法來衡量風險，相較於 VaR 方法，CTE 方法更為. 損失的期望值，其定義如下：. CT Eα (Qt ) = E[−Qt |Qt ≤ V aRα (Qt )]. 透過上述三種風險指標，本研究可衡量在一定的信心水準下，保險公司在特定時間點之破產機率及破產幅度，而保險公司除了可以透過風險指標檢視其自身之風險程度外，亦可確認衡量結果是否滿足政府機關所訂定之標準，進而對其經營策略進行調整。. 15.

(20) 3 3.1. 數值分析參數估計. (一) 利率模型本研究參考Kladıvko (2007)CIR 模型參數估計的方法，首先利用最小平方法求得初始值，接著用最大概似函數求得最佳參數，而在參數估計資料方面，由於台灣債券市場活絡程度不高，因此本研究使用台灣經濟新報 (TEJ)2005 年至 2015 年，美國十年期、二十年期及三十年期各 2,501 筆公債殖利率的日資料進行參數估計。. 年期. 立. σr. 0.0254. 0.0573. 20 年期. 0.5824. 0.0311. 0.0502. 30 年期. 0.7498. 0.0347. 學. 0.6850. 0.0480. ‧. ‧ 國. 10 年期. 政α 治 m大. 表 3: CIR 參數估計. y. Nat. er. io. sit. (二) Heston 模型. 本研究參考Moodley (2005)Heston 模型的參數估計方法，使用非線性最小. n. al. Ch. i Un. v. 平方法 (Non-Linear Least Square Method) 來估計 Heston 模型中的五個參數，. engchi. 並將其表示為 Θ = {v0 , κ, θ, σ, ρ}，本研究使用台灣經濟新報 (TEJ)2015 年 5 月 1 日至 2016 年 5 月 1 日，32,499 筆上下市之台股指數買權的日資料進行參數估計，估計流程如下： (1) 給定參數起始值 (x0 )、上界 (ub ) 及下界 (lb ) (2) 使用 Matlab 中非線性最小平方法之公式 x = lsqnonlin(CostF unction, x0 , lb , ub ). (3) 藉由最小化市場價格與模型價格之間的誤差，估計模型的最佳參數 CostF unction(i) = M arketP rice(i) − M odelP rice(i).. 16.

(21) µ. κ. θ. σ. ρ. 起始值. 0.5. 0.5. 0.5. 0.05. 0.5. 上界. 1. 100. 1. 0.5. 0.9. 下界. 0. 0. 0. 0. -0.9. 估計結果. 0.0240. 9.6144. 0.0341. 0.4986. 0.8991. 表 4: Heston 參數估計 (三) 資產模型根據過去台灣壽險業資金運用的比例，大部分保險公司投資於債券、股票、約當現金的比例約為 7:2:1，因此本研究假設保險公司將 70% 的資金投資. 政治大. 於債券基金組合，20% 的資金投資於股票基金組合，10% 的資金用於約當現. 立. 金，並假設保險公司之期初資產負債比為 1.04、1.10、1.15 及 1.3。 ωB. ωS. ωM. 學. σB. 1.04,1.10,1.15,1.30. 70%. 20%. 10%. 0.01. sit. y. Nat. 模擬方法. io. er. 3.2. 表 5: 資產模型參數估計. ‧. ‧ 國. A0 /L0. al. iv n C 由於本研究之利率及資產模型皆為日資料，而負債模型為每年末衡量一次，為 hengchi U n. 本研究對利率、資產及負債模型進行 20,000 次模擬，模擬步驟如下圖 4，. 了使資產負債的評價時間點一致，將資料以日的情況模擬後，進而找出每年期末資產負債之情況，本研究之模擬過程如下。. 17.

(22) 學 ‧ y. sit. io. n. al. er. (1) 短期利率. 圖 4: 模擬流程圖. Nat. (一) 利率. ‧ 國. 立. 政治大. Ch. i Un. v. 短期利率指融資時間在一年內之利率，本研究根據參數估計之結果，依照. engchi. 下列公式，模擬出未來十年、二十年及三十年之利率變動之情況，其公式如下：. √ √ rt+1 = rt + α(m − rt )dt + σr rt Zr dt,. (3.1). 藉由模擬出之短期利率，與利率恆大於零的條件下，可模擬出下一期之短期利率為 rt = max(0, rt ).. (3.2). (2) 長期利率. 根據每期的短期利率模擬值，可求出 h、b1 (t, T )、b2 (t, T )，以模擬利率期間結構，利率模型於時間 t，到期日為 T 之債券殖利率公式如下：. 18.

(23) R(t, T ) =. −lnb1 (t, T ) + b2 (t, T )rt . T −t. (3.3). 政治大. 立. n. er. io. al. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. Nat. 圖 5: 長短期利率模擬示意圖. Ch. engchi. i Un. v. 依據上述公式，可分別模擬出長短期利率，圖 5為 10 年期每日長短期利率示意圖，其模擬次數為五次。 (二) 資產面模擬在不同資產負債比下，將假設之躉繳保費收入做為期初負債，進而求得期初資產，並依所設定之目標比率投入各項資產中，隨後模擬債券、股票及約當現金每期的波動情形，以了解各項資產的變動，投資標的之模擬過程如下： (1) 債券： (2) 股票：. √ B(t + 1) = B(t) + B(t)(rt dt − b2 σr Zr dt). √ St+1 = St exp(rt dt − 0.5max(vt , 0)dt) + max(vt , 0)dtWr .. (3) 約當現金： Mt+1 = Mt (1 + rt )dt.. 19.

(24) 最後，將模擬出投資結果，與當期理賠結算後，得到當期之資產，並以此結果作為下期投資之依據，圖 6為模擬次數 5 次，十年的投資結果，債券每年衡量，而股票及現金為每日衡量。。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n (三) 負債面模擬. Ch. engchi. er. io. al. sit. y. Nat 圖 6: 投資標的模擬示意圖. i Un. v. 依據死亡率、解約費率、保單價值準備金等資訊發展公司期末之理賠情況，而當期之負債為前期之保單價值準備金，依據宣告利率累積並扣除當期之理賠情形。. 20.

(25) 立. 政治大. ‧ 國. 學 ‧. 圖 7: 資產負債及股東權益模擬示意圖. y. Nat. io. sit. 經過上述步驟之模擬結果，隨著期間的推進，每一期模擬產生之期末資產. n. al. er. 與期末負債，可以得到每期期末業主權益的價值，如圖 7而本研究在 10 年、. i Un. v. 20 年及 30 年等時間點來分析保險公司之違約風險，包含破產機率、風險值及. Ch. engchi. 條件尾端期望值。圖 7為模擬次數五次，十年間的資產、負債及股東權益的變動情形。. 21.

(26) 3.3. 數值結果本研究在三個不同的時間點來分析保險公司之違約風險，分別為十年、二. 十年、三十年，並以四種情境進行探討，情境一為保險公司之初始資產負債比為 1.04 時，從表 6可以看出當衡量的時間長度由 10 年變為 20 年時，保險公司之破產機率降低約 13%，時間長度由 10 年變為 30 年時，破產機率下將約 20%，可知道衡量時間越長，破產機率越低，而破產幅度並無一定之結果。. 情境二、情境三、情境四分別為資產負債比為 1.10、1.15、1.30 時的狀況，在這三種情境中亦有上述之情形，如表 6、表 7、表 8，衡量時間越長，破產機率越低，而 CTE 及 VaR 無一定之結果。我們亦發現在四種情境下，衡量時. 政治大. 間長度為 20 年時，破產機率分別為 9.19%、2.8%、0.85% 及 0，顯示當期初資產負債比越高時，保險公司之破產機率會變低，VaR 及 CTE 亦是。. 立. ‧ 國. 學. 本研究亦對四種情境進行 VaR(75) 及 CTE(65) 的衡量，此標準為政府機關訂定之最低風險衡量標準，由表 6、表 7、表 8、表 9中可以看出模擬結果皆. ‧. 符合最低標準，然而，許多保險公司並不以此為標準，保險公司應追求更高之標準，因此，本研究在 95% 的信心水準下，衡量條件尾端期望值及風險值。. n. Ch VaR(75). A0 /L0 = 1.04. er. io. sit. y. Nat. al. i VaR(95)U n engchi. 評價點. RP. 10 年期. 0.2228. -0.4043×109. 20 年期. 0.0919. 30 年期. 0.0237. v. CTE(65). CTE(95). 3.5326×109. 0.8508×109. 3.8906×109. -2.4409×109. 4.1512×109. -1.2120×109. 4.5942×109. -6.3560×109. 4.3242×109. -4.3769×109. 4.7455×109. 表 6: 情境一之違約風險. 22.

(27) A0 /L0 = 1.10 評價點. RP. VaR(75). VaR(95). CTE(65). CTE(95). 10 年期. 0.0819. -1.7725×109. 2.4027×109. -0.8758×109. 2.7556×109. 20 年期. 0.0280. -4.2654×109. 2.9013×109. -2.9164×109. 3.2095×109. 30 年期. 0.0063. -8.8498×109. 2.6908×109. -0.6717×109. 2.7401×109. CTE(65). CTE(95). 表 7: 情境二之違約風險. A0 /L0 = 1.15 評價點. RP. 10 年期. 0.0293. -2.8731×109. 9. 9. 1.9180×109. 20 年期. 0.0085. 9. 9. 9. 2.2984×109. 30 年期. 0.0019. -1.0901×109. 1.3791×109. al. 0. y. sit. VaR(95) -1.2883×109. CTE(65). er. ‧ 國. 30 年期. 1.4539×109. ‧. VaR(75). n. 0. 學. A0 /L0 = 1.30. 5.0×10−5 -6.6829×109. 20 年期. -0.8695×1010. 表 8: 情境三之違約風險. io. 10 年期. RP. VaR(95). 治 -1.9670×10 政 1.5364×10 大 -5.8085×10 1.8347×10 -4.3669×10 立. Nat. 評價點. VaR(75). n U i e h n -2.9875×10 gc 10 -1.7147×1010. Ch. -1.0190×109. -1.4608×109. 表 9: 情境四之違約風險. 23. CTE(95). 9. -0.8477×109. -0.8528×109. -1.0988×109. -1.4484×1010. -2.3375×1010. -5.2771×10 iv.

(28) 3.4. 敏感度分析. 本研究挑選四種因子進行單因子敏感度分析，分別為宣告利率、躉繳保費、投資比例及死亡率。由於大部分保險公司之負債佔資產達 90% 以上，因此假設期初資產負債比為 1.04，在其餘條件不變下，於第十年末評價衡量保險公司之違約風險。. (一) 宣告利率從表 10中可以看到當宣告利率為 0.02、0.03、0.04 及 0.05 時，保險公司的違約風險，其結果顯示當宣告利率升高 1% 時，保險公司之破產機率會增加. 治政大時，將會對公司之償付能力造成影響。立. 約 10% 至 30%，VaR 及 CTE 也會變大，因此，當保險公司之宣告利率過高. 0.3635. 4.4913×109. 0.6706. 6.5532×109. 0.8766. 8.8384×109. 0.9621. 1.1332×1010. y. 9.1613×109. 1.1547×1010. sit. io. n (二) 躉繳保費. 4.8074×109 6.8826×109. 表 10: 敏感度分析―宣告利率. al. CTE(95). er. 0.05. Nat. 0.04. VaR(95). ‧. 0.03. ‧ 國. 0.02. RP. 學. rp,t. Ch. engchi. i Un. v. 表 11為在每位被保險人之躉繳保費為 100 萬、200 萬及 300 萬下，保險公司之違約風險分析，其結果顯示，個別被保險人躉繳保費之多寡，對破產機率並無太大影響，破產機率皆約為 22%，然而，從表 11中亦發現，當被保險人之躉繳保費較高時，若保險公司之清償能力不足，則其 VaR 及 CTE 會大幅上升。. 24.

(29) NP. RP. VaR(95). CTE(95). 1,000,000. 0.2202. 1.7685×109. 1.8829×109. 3,000,000. 0.2222. 5.2583×109. 5.7000×109. 5,000,000. 0.2202. 0.8842×1010. 0.9414×1010. 表 11: 敏感度分析―躉繳保費 (三) 投資比例表 12為改變股票、債券、約當現金的比例下，保險公司之違約風險分析，分別有 8:1:1、7:2:1、6:3:1、5:4:1 的情況，模擬結果顯示，當保險公司投資於債券基金組合之比例高時，其破產機率、VaR 及 CTE 低，若保險公司將大部. 政治大. 分資產投資於股票基金組合，其破產機率、VaR 及 CTE 皆升高，因此保險公. 立. 1.7685×109. 1.8829×109. 0.2228. 3.5326×109. 0.3579. 6.1124×109. 0.4474. 8.6091×109. n. al. 0.0406. 3.8906×109. y. io. 5:4:1. Nat. 6:3:1. CTE(95). 6.2082×109. sit. 8:1:1 7:2:1. VaR(95). 8.7877×109. er. RP. ‧. ωB : ωS : ωM. 學. ‧ 國. 司若過度投資於股票等高風險標的，將增加保險公司違約風險。. i Un. 表 12: 敏感度分析―投資比例. Ch. (四) 死亡率. engchi. v. 保險公司在進行死亡率假設時，時常將生命表打折，此假設是因為過去資料估出的死亡率，在未來可能升高或降低，因此將生命表打折，所以本研究針對死亡率進行敏感度分析，分析 90%、100% 及 110% 之死亡率對三種風險指標的影響，結果如表 13所示，死亡率打折與否對保險公司之違約風險並無明顯的影響，其破產機率皆約為 22%，VaR 及 CTE 也無太大變動，因此死亡率並非影響違約風險之主要因子。. 25.

(30) 死亡率. RP. VaR(95). CTE(95). 90%2012TSO. 0.2220. 3.5202×109. 3.8481×109. 100%2012TSO. 0.2228. 3.5326×109. 3.8906×109. 110%2012TSO. 0.2158. 3.4631×109. 3.7733×109. 表 13: 敏感度分析―死亡率. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 26. i Un. v.

(31) 4. 結論與建議本研究以經濟資產模型來衡量保險公司之違約風險，假設資產僅投資於債. 券基金組合、股票基金組合及約當現金，以 CIR 及 Heston 模型為基礎進行資產變動之模擬，負債則為利率變動型壽險之準備金，最後透過股東權益的價值來衡量違約風險。本研究之風險衡量指標包含破產機率、風險值及尾端條件期望值，在不同情境之下，於不同時間點衡量違約風險，模擬結果發現： (一). 衡量之時間長度越長，破產機率降低。. (二). 期初資產負債比越高，破產機率及幅度皆會降低。. 政治大保險公司違約風險影響最大的因子，本研究以宣告利率、躉繳保費、投資比例立除了進行上述之情境分析，本研究亦進行單因子敏感度分析，希望找出對. ‧ 國. (一). 學. 及死亡率作為分析對象，其模擬結果如下：. 宣告利率升高 1% 時，破產機率會升高 10 至 30%，CTE(65) 及 VaR(75). 躉繳保費多寡並不影響破產機率，但高額躉繳保費將使 CTE(65) 及. y. Nat. (二). ‧. 皆會升高。. n. al. er. 當股票的投資比例高 10%，債券投資比例低 10% 時，破產機率會增加. io. (三). sit. VaR(75) 增加。. i Un. v. 10% 至 20%，CTE(65) 及 VaR(75) 亦會增加。. Ch. engchi. 近年來，許多保險公司以利變型保單做為主要銷售商品，其中利率變動型壽險更為其主力商品，因此，本研究之成果可提供保險公司一套內部模型來衡量利率變型商品之風險程度，並依模擬出之結果決定投資比例、宣告利率等，使保險公司在未來能繼續穩健經營。. 27.

(32) 參考文獻 L. Andersen. Simple and efficient simulation of the heston stochastic volatility model. Journal of Computational Finance, 11:1–42, 2008. A. R. Bacinello. Fair pricing of life insurance participating policies with a minimum interest rate guaranteed. ASTIN Bulletin, 31:275–297, 2001. F. Black and M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81:637–654, 1973. L. Bollotta, S. Haberman, and N.Wang. Guarantees in with-profit and unitized with-profit life insurance contracts: Fair valuation problem in presence of the default option. IME, 73.. 立. 政治大. D. Brigo and F. Mercurio. Interest Rate Models – Theory and Practice: With. ‧ 國. 學. Smile, Inflation and Credit. second edition, 2001.. J. Cox, J. Ingersoll, and S. Ross. A theory of the term structure of interest rates.. ‧. Econometrica, 53:385–407, 1985.. Nat. sit. y. A. Grosen and P. L. Jørgensen. Fair valuation of life insurance liabilities: The. er. io. impact of interest rate guarantees, surrender options, and bonus policies. In-. al. surance: Mathematics and Economics, 26:37–57, 2000.. n. iv n C U A. Grosen and P. L. Jørgensen.hLife at market value: e ninsurance g c h i liabilities. An. analysis of insolvency risk, bonus policy, and regulatory intervention rules in a barrier option framework. Journal of Risk and Insurance, 69:63–91, 2002. J. C. Hao. The pricing for interest sensitive products of life insurance firms. Scientific Research, 2:194–202, 2011. S. Heston. A closed-form solutions for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6: 327–343, 1993. W. Hsuan and S.C. Chang. Fair insurance guarantee premium: A study of life insurers in taiwan. In Proceedings at the World Risk and Insurance Economics Congress, Munich, Germany, August 2015. 28.

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(34)