2011 中學高級卷 中文試題

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SATURDAY 6 AUGUST 2011

高級卷（11—12 年級）

考試時間：75 分鐘

注意事項

一般規定

1. 未獲監考老師許可之前不可翻開此測驗題本。 2. 各種通訊器材一律不得攜入考場，不准使用電子計算器、計算尺、對數表、數學公式等 計算器具。作答時可使用直尺與圓規，以及兩面全空白的草稿紙。 3. 題目所提供之圖形只是示意圖，不一定精準。 4. 最前 25 題為選擇題，每題有五個選項。最後 5 題要求填入的答案為 000 至 999 的正整 數。題目一般而言是依照越來越難的順序安排，對於錯誤的答案不會倒扣分數。 5. 本活動是數學競賽而不同於學校測驗，別期望每道題目都會作。考生只與同地區同年級 的其他考生評比，因此不同年級的考生作答相同的試卷將不作評比。 6. 請依照監考老師指示，謹慎地在答案卡上填寫您的基本資料。若因填寫錯誤或不詳所造 成之後果由學生自行負責。 7. 進入試場後，須等待監考老師宣佈開始作答後，才可以打開題本進行答題。

作答須知

1. 限用 B 或 2B 鉛筆填寫答案。 2. 請用 B 或 2B 鉛筆在答案卡上將您認為正確選項的圓圈塗滿（不是在題本上）。 3. 您的答案卡將由電腦閱卷，為避免電腦誤判，請不要在答案卡上其他任何地方塗劃任何 記號。填寫答案卡時，若需要修改，可使用軟性橡皮小心擦拭，並確定答案卡上無殘留 痕跡。

特別約定

為確保競賽之公平性及認證成績優異學生，AMC 主辦單位保留要求考生重測之權利。

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高級卷

(11-12 年級)

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1-10 題，每題 3 分

1. 表達式 3x(x－4)－2(5－3x)等於 （A） 2 3x −3x−14 （B） 2 3x −6x− 10 （C） 2 3x −18x+10 （D） 2 3x −18x−10 （E） 2 9x −22x ──────────────────────────────────────────────── 2. 有位教練發現在他的俱樂部中平均每 5 位會員就有 2 位現就讀於大學。若他 的俱樂部中共有 12 位大學生，請問此俱樂部共有多少位會員？ （A）20 （B）24 （C）30 （D）36 （E）60 ──────────────────────────────────────────────── 3. 算式 14÷0.4 等於 （A）3.5 （B）35 （C）5.6 （D）350 （E）0.14 ──────────────────────────────────────────────── 4. 右圖中，ABCD 是個正方形。請問 x 之值為何？ （A）142 （B）128 （C）48 （D）104 （E）52 ──────────────────────────────────────────────── 5. 請問下列哪一項之值最大？ （A）210 （B） 10 2 （C） 2 10 （D）20 （E）1 21 0 ──────────────────────────────────────────────── 6. 已知m、n 為正整數且 mn=100，則 m+n 之值不可能等於 （A）25 （B）29 （C）50 （D）52 （E）101 ──────────────────────────────────────────────── 7. 在正方形PQRS 中，點 T 在 RS 上使得 QT=2RT。請 問 x 之值等於什麼？ （A）100 （B）110 （C）120 （D）150 （E）160 ───────────────────────────────────────────────── A B D C 52˚ x˚ P Q R S x˚ _T

────────────────────── S 2 ───────────────────── 8. 在我住家附近，90%的房屋用途為住宅、10%的房屋用途為商店，而這些住 宅中的 10%待售、這些商店中的 30%待售。請問待售的房屋中，用途為住宅 的房屋所佔的百分比是什麼？ （A）9% （B）80% （C）331 3% （D）75% （E）25% ───────────────────────────────────────────────── 9. 算式 1 1 1 2 4 8 2 4 8 + + + + 之值等於 （A）16 （B）4 （C）1 （D）1 4 （E） 1 16 ───────────────────────────────────────────────── 10. 小安的晨間運動包括以 5 km/h 的速度行走 1 km；以 10 km/h 的速度慢跑了 3 km；再以 6 km/h 的速度快走 2 km。請問完成她的晨間運動需費時多久？ （A）30 分鐘 （B）35 分鐘 （C）40 分鐘 （D）45 分鐘 （E）50 分鐘 ─────────────────────────────────────────────────

11-20 題，每題 4 分

11. 下圖中，正方形PQRS 之邊長為 12 單位，它被分割為等面積的六個三角形。 請問點 T 到邊 PQ 的距離為多少單位？ （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 （E） 5 ───────────────────────────────────────────────── 12. 將首六個質數分別寫在一張卡片上。將這些卡片打亂然後再從中選取兩張。 請問這兩張卡片上的數之和是質數的機率為多少？ （A）1 5 （B） 1 4 （C） 1 3 （D） 1 2 （E） 1 6 ───────────────────────────────────────────────── P Q R S T

────────────────────── S 3 ───────────────────── 13. 兩位遊客沿著一條平坦的路徑各自以 4 km/h 的速度行走，他們之間的距離 為 12 km。當每位遊客遇到登山的斜坡路時，他們都各自以 3 km/h 的速度爬 坡。 當兩位遊客都在爬坡時，請問他們之間的距離為多少 km？ （A）16 （B）12 （C）10 （D）9 （E）8 ───────────────────────────────────────────────── 14. 在 56 cm × 98 cm 的矩形內部畫出一些與矩形的邊平行的直線，使得這些直 線連接矩形的兩條對邊且將矩形分割成許多正方形。請問至少要畫多少條這 樣的直線？ （A）3 （B）9 （C）11 （D）20 （E）75 ───────────────────────────────────────────────── 15. 請問使得n2 +2011成為一個完全平方數的正整數 n 之數碼和等於多少？ （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 （E）10 ───────────────────────────────────────────────── 16. 某公司的職員中，在星期一有 15 位騎車上班、在星期二有 12 位騎車上班、 在星期三有 9 位騎車上班。若在這三天中共有 22 位職員至少有一天騎車上 班，請問此公司至多有多少位職員在這三天都騎車上班？ （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）8 ───────────────────────────────────────────────── 17. 請問共有多少個整數n 使得n2 −6n+8之值為正質數？ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）無限多 ───────────────────────────────────────────────── 18. 已知x2 −9x+ =5 0，則x4 −18x3+81x2 +42等於 （A）5 （B）25 （C）42 （D）67 （E）81 ───────────────────────────────────────────────── 19. 已知半徑為 1 的球之球心正好是一個邊長為 1 的正立方體之 一頂點。請問這兩個立體合併在一起所佔的體積等於多少？ （A）7 1 6

π

₊ （B）7 5 6 6

π

₊ （C）7 4 6 3

π

₊ （D）7 1 8

π

₊ （E）

π

+1 ───────────────────────────────────────────────── 12 km ？ km

────────────────────── S 4 ───────────────────── 20. 在一場賽五盤的網球決賽中(先贏得三盤者勝)，小捷每盤獲勝的機率為2 3。 請問小捷贏得此場比賽的機率為多少？ （A）2 3 （B） 190 243 （C） 8 9 （D） 19 27 （E） 64 81 ─────────────────────────────────────────────────

21-25 題，每題 5 分

21. 請問有多少個三位數可以被寫成為三個兩位數(不必全相異)的和？ （A）194 （B）198 （C）204 （D）287 （E）296 ───────────────────────────────────────────────── 22. 將一張矩形的紙張沿一條直線摺疊，使得矩形的一個頂點落在另一個頂點之 上。已知摺成的圖形中，60%的面積有兩層紙、40%的面積只有一層紙。請 問原來矩形紙張的長邊與短邊之比是什麼？ （A）3：2 （B）5：3 （C） 2 ：1 （D）2：1 （E） 3：2 ───────────────────────────────────────────────── 23. 有一隻怪脾氣的蜘蛛，住在一個邊長為 1 m 的封閉正立方體盒子內部的某 個頂點上。這隻蜘蛛不打算離家超過 2 m(依在盒子表面的最短路徑計量)。 請問在此盒子表面中，這隻蜘蛛從未造訪區域的面積所佔的比例(以百分率 計)最接近什麼？ （A）20% （B）25% （C）30% （D）35% （E）50% ───────────────────────────────────────────────── 24. 函數f、g、h 之定義為： ( ) 2 (0) (1) ( ) ( ( 1)) 1 (0) (1) ( ) ( ( 1)) 1 f x x g f g x f g x x h g h x g h x x = + = = − ≥ = = − ≥ 當 當 求 (4)h 之值。 （A）61 （B）117 （C）123 （D）125 （E）313 ─────────────────────────────────────────────────

────────────────────── S 5 ───────────────────── 25. 有一個圓錐體的底之直徑為 1 單位，斜高為 3 單位。點 A 位於圓錐側邊的中 點，有一條細線纏繞此圓錐二圈最後到達點 A 正下方的邊界上的 B 點，接 著將此細線拉緊。 請問從點 A 沿著這條拉緊的細線到點 B 之長度為多少單位？ （A）3( 29 53) 8 + （B） 3 7 2 （C） 3 3 2 （D）9 4 （E） 3 108 8 ─────────────────────────────────────────────────

問題

26～30 的答案為 000～999 之間的整數，

請將答案填在答案卡上對應的位置。

第

26 題佔 6 分，第 27 題佔 7 分，第 28 題佔 8 分，

第

29 題佔 9 分，第 30 題佔 10 分。

26. 白先生比他的太太大一歲，他們有兩個小孩，其年齡也相差一歲。白先生發 現當他在 2011 年生日當天，他的年齡與他太太的年齡之乘積加上他們兩個 小孩的年齡所得之值正好等於2011。若在 13年前，他也做過相同的計算， 請問所得的值是什麼？ ───────────────────────────────────────────────── 27. 下圖為一正立方體的展開圖，分別在其每個表面上寫上一個整數：1、w、 2011、x、y、z。 w x y 2011 z 1 已知其中四個數 w、x、y、z 都分別等於與它相鄰的四個表面上的四個數的 平均，請問 x 之值為何？ ─────────────────────────────────────────────────

────────────────────── S 6 ───────────────────── 28. 兩隻小蟲分別位於正立方體 ABCDEFGH 的頂點 A 與頂點 H 上，正立方體的 邊長為40 110。這兩隻小蟲同時出發沿著 AC 與 HF 爬行，已知第一隻小蟲 的爬行速度是另一隻小蟲的爬行速度之兩倍。 請問這兩隻小蟲的最短距離是多少？ ───────────────────────────────────────────────── 29. 有六位成員的家庭要拉六個聖誕爆竹。每個人將拉兩個爆竹，且每次都與一 位不同的人一起拉。請問共有多少種拉這些爆竹不同的方法？ ───────────────────────────────────────────────── 30. 將一個40×40的白色正方形用一些平行於它的邊的直線劃分為1×1的小正方 形。把其中某些 1×1 的小正方形塗上紅色，使得與每一個 1×1 正方形(無論 是否被塗上紅色)共有一條邊的正方形中至多有一個正方形是紅色的。請問 這個大正方形中至多能有多少個小正方形塗上紅色？ ───────────────────────────────────────────────── ＊＊＊ H G F E D C B A