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2018/2019 初中組第二輪檢測試題詳解
───────────────────────────────────────────────── 1. 請問下面哪一項內的敘述是錯誤的？ （A） 若 a 整除 b 且 k 為整數，則 a 整除 kb； （B） 若 a 整除 b 且 b 整除 c，則 a 整除 c； （C） 若 a bc= ，且 b、c 都為正整數，則 a 能被 b 或 c 整除； （D） 若 b 整除 a 且 c 整除 a，則 bc 整除 a； （E） 若 p|bc，則必有 p|b 或 p|c，其中 p 為質數，b、c 為整數。 【參考解法】 由於 4 整除 12，6 整除 12，但 4 6 24 = 不能整除 12，故 D 選項內的敘述不正確。 故選（D）。 答案：（D） 2. 請問在 1～2019 這些正整數中有多少個數可以寫成n3−3n2+2n（其中 n 為 正整數）的形式？ （A）11 （B）12 （C）13 （D）44 （E）45 【參考解法】 3 2 3 2 ( 1)( 2) n − n + n=n n− n− ，此即要求該數必須為三個連續正整數之積。由於 11 12 13 2019 12 13 14 ，故 n 可以取 3、4、5、…、12、13 共 11 個不同 的值。故選（A）。 答案：（A） 3. 等腰三角形的周長是 32 cm，且每邊長均為整數 cm。請問滿足上述條件的不 同的等腰三角形有多少個？ （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）9 【參考解法】 設腰長為 x cm，則底邊長為 (32 2 )− x cm，得 032−2x2x，故8 ，因此x 16 x 共有 9、10、11、12、13、14、15 等 7 種選擇。故選（C）。 答案：（C） 4. 已知 a、b、c、d 是不為 0 且互不相同的數碼，如果 ab cd+ =dc ba+ ，則稱 這個等式為回文式，而能寫成回文式的兩個數則稱為回文數，例如： 53 46+ =64 35+ =99，兩個回文數的和稱為回文和。請問最小的回文和是什 麼？ （A）22 （B）33 （C）44 （D）55 （E）99 【參考解法】 由 ab cd+ =dc ba+ 知10(a c+ + +) (b d) 10(= b d+ ) (+ + ，故a c) a+ = +c b d 。由 於能用兩種方式表示成兩個不同正整數之和的最小數為5 1 4= + = +2 3，故回文 和的最小值為 55，其中一個例子為12+43 34= +21 55= 。故選(D)。 答案：（D）5. 已知梯形 ABCD 的面積為 100 cm2，平行四邊形 ABEF 的面積為 40 cm2，其 下底CD =10cm，如下圖所示。請問其上底 AB 的長為多少 cm？ （A）2 （B）2.5 （C）4 （D）5 （E）10 【參考解法】 設 AB a= cm、梯形的高為 h cm，則由題意知ah =40cm2且( 10) 100 2 a+ h = cm2， 兩式相除得a+10=5a，即a =2.5。故選（B）。 答案：（B） 6. 如圖，在 4 4 的黑白相間塗色的棋盤中，放入 4 枚相同的棋子。規定每個小 方格內至多放一枚棋子，所有的棋子都必須放在同一種顏色的小方格內，且 沒有任何兩枚棋子放在同一行或同一列。請問總共有多少種不同的放法？ 【參考解法】 若將所有棋子放在黑色格中，易知第 1、3 行的棋子有兩種放法，第 2、4 行的 棋子也有兩種放法，故共有 4 種方法。同理，將所有棋子放在白色格中也有 4 種方法，故總共有 8 種不同的放法。 答案：8 種 7. 已知對於任意的 1 2 x ，都有 242 4 1 1 4 1 2 2 a b x x x x + + = − + − ，請問 a b+ 的值是多 少？ 【參考解法】 兩邊乘上 2 4x − 得 2 (21 a x− +1) 2 (2b x+ =1) 24x+ ，將左式展開並比較 x 項的係4 數得4a+4b=24，故a+ =b 6。 答案： 6 A C B F D E
8. 在正方形 ABCD 中，點 G 為邊 CD 上的點，將三角 形 BCG 沿 BG 翻摺後變為三角形 BEG，已知 32 CBG = ，如圖所示，請問 DAE 為多少度？ 【參考解法】 90 2 26 ABE CBG = − = 。由於AB=BC=BE，三角 形 BEA 為等腰三角形，故 180 26 77 2 BAE − = = ，因 此DAE= − = 90 77 13 。 答案： 13 9. 請問方程|ab| |+ bc| |+ ca| 9= 有多少組整數解(a, b, c)？ 【參考解法】 顯然 a、b、c 中最多只有一個 0。若a = ，則0 bc = ，易知 b 只能取 19 、3、 9 ，而 b 取定後，c 有 2 種取法，因此共有 12 組解。同理，若b = 或0 c = 的情0 況時均各有 12 組解。 若 a、b、c 均不為 0，則|ab|、|bc|、|ca|之中必有一個小於等於 3，即| |a 、| |b 、 | |c 之中必有一個等於 1，不妨設| | 1a = ，則 (| | 1)(| | 1) 10b + c + = ，故| |b 、| |c 一個 為 1，一個為 4，故|a|、| |b 、| |c 有兩個為 1，一個為 4，此時有233=24組解。 綜上，原方程共有12 3 8 3 + =60組解。 答案：60 組 10. 已知 x、y、z 為實數且x+ =y 4z−1、y+ =z 4x−1、z+ =x 4y− ，請1 問x+ +y z之值是什麼？ 【參考解法】 將三個等式相加，得 2x+2y+2z= 4x− +1 4y− +1 4z− 1 移項，得 2x+2y+2z− 4x− −1 4y− −1 4z− = 1 0 (1) 將(1)式兩邊同時除以 2，得 1 1 1 0 4 4 4 x+ + −y z x− − y− − z− = (2) 因為 1 1 1 1 1 2 ( ) 4 4 4 4 2 x− − x− + = x− − ，所以(2)式可變形為 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 4 2 4 2 4 2 x− − + y− − + z− − = 所以 1 1 1 1 1 1 0 4 2 4 2 4 2 x− − = y− − = z− − = ，故 1 2 x= = = ，從而y z 3 2 x+ + = 。 y z 答案：3 2 A C B G D E
11. 將九個互不相同的正整數填入如下圖的 3 3 小方格內（每個小方格內恰填一 個數），使得任意一個 2 2 的正方形內四個數的和都恰好等於 50。請問這九 個正整數的總和之最小值是多少？ 【參考解法】 用字母來代表每個小方格內所填的數，如下圖所示。 a b c d e f g h i 計算四個 2 2 的正方形內四個數的和得 50 50 50 50 a b d e d e g h b c e f e f h i + + + = + + + = + + + = + + + = 將四式相加可得 (a c+ + + +g i) 2(b d+ + + +f h) 4e=200。 設九個數之和為 S，則 4 4( ) 4( ) 4 200 3( ) 2( ) 200 ( ) 2( ) S a c g i b d f h e a c g i b d f h a c g i a b c d f g h i = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 而 1 2 3 4 5 6 7 8 36 1 2 3 4 10 a b c d f g h i a c g i + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + = 故4S 200 10+ + 2 36=282，因此S 70.5。由於 S 是整數，所以S 71。 另一方面，如下的構造滿足S =71。 1 9 2 6 34 5 3 7 4 答案：71 12. 一個銳角三角形的三邊之長度為三個連續的正整數，其中一條邊上的高為 12 cm，請問這個三角形的面積是多少 cm2？ 【參考解法】 設另兩條邊長分別為 a、b，則由勾股定理得知高為 12 cm 的這條邊長為 2 2 2 2 12 12 a − + b − 。易知兩個根號內都必須是正整數，故考慮 2 2 2 12 x − = y 的
正整數解。化簡可得 2 4 2 (x+y x)( −y) 12= =2 3 ，易解出x =13、15、20 或 37， 其 中 僅 有 13 、 15 可 能 是 三 個 連 續 正 整 數 中 的 兩 個 ， 經 檢 驗 2 2 2 2 13 −12 + 15 −12 = + =5 9 14，故三角形的面積為14 12 84 2 = cm2。 答案： 84 cm2 13. 將所有小於 30 且不被 3 整除的正整數由小至大排成一列，然後計算每連續 三個數的乘積的倒數，並將這些倒數相加得到 S，即 1 1 1 1 2 4 2 4 5 26 28 29 S = + + + 。 將 S 化成最簡分數後，請問分子是多少？ 【參考解法】 3 3 3 3 1 2 4 2 4 5 26 28 29 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 4 2 4 4 5 26 28 28 29 1 1 2 28 29 14 29 1 405 28 29 812 S = + + + = − + − + + − = − − = = 故得知 135 812 S = 。 答案： 135 14. 凸四邊形 ABCD 內接於圓 O。點 E、F 分別在線段 AB、AD 上且滿足BE =CD、
DF =BC。點 M 是線段 EF 的中點，如下圖所示。請證明 BM ⊥DM。 E C M A F B D
【參考解法】 如圖，連接 BD 並取 BD 的中點 N，延長 EN 至點 G， 使得EN =NG。(5 分)連接 ED、DG、FG、BG， 則 BEDG 是平行四邊形。此時可知 DG=BE=CD，且GDF =180 − = A DCB， 又 DF =BC，所以△GDF △DCB，所以 FG=BD。（5 分） 連接 MN。因為 MN 是三角形 EFG 的中位線，所以 1 2 MN = FG。（5 分） 故 1 2 MN = BD=BN =ND，所以 BM ⊥DM。（5 分） 15. 有一個機器人可以根據使用者的合理指令生成一組數位編碼。小偉提出的指 令如下： （1）生成的每個編碼均為四位數（最左側的數碼不為 0）； （2）任意兩個編碼至多在兩個數位上的數碼是對應相同的。 請問這個機器人至多可以生成多少個符合以上指令的編碼？ 【參考解法 1】 由題意可知，任兩個編碼至少在兩個數位的數碼是對應不同的。因此，編碼數 量不能超過 900 個。因為千位數只能為 1 至 9 這九個數碼，百位數與十位數可 以為 0 至 9 這十個數碼，從而前面三位數碼總共可以構成9 10 10 =900個不同 的三位數。若編碼數量大於或等於 901，由抽屜原理，至少有兩個編碼的前面三 位數碼對應相同，矛盾。（5 分） 現在構造 900 個編碼：前面三位數碼取遍 100 至 999 這個 900 個號碼，第四位 數碼取前面三位數碼之和的個位數。（5 分） 下面說明這 900 個編碼符合指令。對於任意兩個編碼，若前面三位數碼已經對 應不同，則它們已經滿足要求；若前面三位數碼只有一個對應不同，另外兩個 對應相同，則第四位數碼肯定不同。假設後面一種情況第四位數碼相同，不妨 設這二個編碼分別為 abce 、 abde ，其中0 c d 9，由構造的方法可知，只能 是a+ + = + + +b d a b c 10，因此d− = ，不可能。故第四位數碼不同。c 10 （10 分） 【參考解法 2】 正確列出所有 900 個符合指令的編碼。（10 分，如有任何一個缺漏或不符合指令 一律給 0 分） 證明至多有 900 個符合指令的編碼。（10 分） 答案：900 個 【評註】 這 900 個編碼也可以這樣構造：前面三位數碼取遍 100 至 999 這個 900 個號碼， 第四位數碼取法為使得所有四個數碼之和為 10 的倍數。若前面三位數碼只有一 個對應不同，另外兩個對應相同，則第四位數碼肯定不同。 E C N M A F B D G
