勝算比法在三維離散條件分配上的研究 - 政大學術集成
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(2) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.
(3) 謝辭. 在三年多前暑假，正當等準備去當兵的時候，接到國立政治大學打電話來說 我應用數學系備取上了！我非常興奮！！！感謝學校給我這個機會就讀碩士班。. 在三年間教導我的教授們，謝謝你們：感謝陳天進老師的實變讓我了解到該 如何在一門課學習知識與好好準備考試；感謝陸行老師的作業研究讓我了解到如 何學習數學理論與實務上的應用；感謝姜志銘老師的貝氏統計給我另一個觀點來. 政 治 大 數統觀念，並很有耐心的教導我作研究。 立. 處理統計問題；最感謝宋傳欽老師，您帶我進入數理統計學的世界，教我正確地. ‧ 國. 學. 此時，我終於即將畢業啦！我要把最大的感謝給我媽，從小撫養我長大，默. ‧. 默地照顧家裡，讓我安心在學校專心唸書，沒有您我也進不了研究所。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iv. i n U. v. 謝謝你們。.
(4) 勝算比法在三維離散條件分配上的研究 鄭鴻輝. 中文摘要. 給定聯合分配，可以容易地導出對應的條件分配。反之，給定條件分配的資 訊，是否能導出對應的聯合分配呢？例如根據 O. Paul et al.（1963，1968）對造. 政 治 大. 成心血管疾病因素之追蹤研究，可得出咖啡量、吸菸量及是否有心血管疾病三者. 立. 間的條件機率模型資料，是否能找到對應的聯合機率模型，以便可以更深入地研. ‧ 國. 學. 究三者之關係，是一個重要的議題。在選定參考點下，Chen（2010）提出以勝算 比法找條件密度函數相容的充要條件，以及在相容性成立時，如何求得聯合分配。. ‧. 在二維中，當兩正值條件機率矩陣不相容時，郭俊佑（2013）以幾何平均法修正. y. Nat. sit. 勝算比矩陣，並導出近似聯合分配，同時利用幾何平均法之特性，提出最佳參考. n. al. er. io. 點之選擇法則。本研究以二維的勝算比法為基礎，探討三維離散的相容性問題，. i n U. v. 獲得下列幾項結果：一、證明了三個三維條件機率矩陣相容的充要條件就是兩兩. Ch. engchi. 相容。二、當三維條件機率矩陣不相容時，利用幾何平均法導出近似聯合分配。 三、利用兩兩相容的充要條件，導出三維條件機率矩陣相容的充要條件，並證明 該充要條件與 Chen 的結果一致。四、在幾何平均法下，提出最少點法，有效率 地找出最佳參考點，以產生總誤差最小的近似聯合分配。五、設計出程式檢驗三 維條件機率矩陣是否相容，並找出最佳參考點，同時比較最少點法與窮舉法之間 效率的差異。. 關鍵詞：條件機率矩陣、相容、勝算比、近似聯合分配、參考點、最少點法. v.
(5) Odds Ratio Method on Three-Dimensional Discrete Conditional Distributions Hong-Huei Jheng. Abstract. 政 治 大 distributions. Conversely, given fully conditional distributions, can we find out the 立. Given a joint distribution, we can easily derive the corresponding fully conditional. corresponding joint distribution? For example, according to a longitudinal study of. ‧ 國. 學. coronary heart disease risk factors by O. Paul et al. (1963, 1968), we obtain conditional. ‧. probability model data among coffee intake, the number of cigarettes smoked and. sit. y. Nat. whether he/she has coronary heart disease or not. Whether we can find out the. io. er. corresponding joint distribution is an important issue as the joint distribution may be used to do further analyses. Chen (2010) used odds ratio method to find a necessary. al. n. v i n Ccompatibility and sufficient condition for their also gave the corresponding joint h e n g c and hi U. distribution for compatible situations. When two positive discrete conditional distributions in two dimensions are incompatible, Kuo (2013) used a geometric mean method to modify odds ratio matrices and derived an approximate joint distribution. Kuo also provided a rule to find the best reference point when the geometric mean method is used. In this research, based on odds ratio method in two dimensions, we discuss their compatibility problems and obtain the following results on threedimensional discrete cases. Firstly, we prove that a necessary and sufficient condition for the compatibility of three conditional probability matrices in three dimensions is. vi.
(6) pairwise compatible. Secondly, we extend Kuo’s method on two-dimensional cases to derive three-dimensional approximate joint distributions for incompatible situations. Thirdly, we derive a necessary and sufficient condition for the compatibility of three conditional probability matrices in three dimensions in terms of pairwise compatibility and also prove that this condition is consistent with Chen’s results. Fourthly, we provide a minimum-points method to efficiently find the best reference point and yield an approximate joint distribution such that total error is the smallest. Fifthly, we design a computer program to run three-dimensional discrete conditional probability matrices. 政 治 大. problems for compatibility and also compare the efficiency between minimum-points method and exhausting method.. 立. ‧ 國. 學. Keywords：conditional probability matrix, compatibility, odds ratio, approximate. ‧. joint distribution, reference point, minimum-points method. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v.
(7) 目次 謝辭............................................................................................................................... iv 中文摘要........................................................................................................................ v Abstract ........................................................................................................................ vi 目次............................................................................................................................ viii 表目次........................................................................................................................... xi. 1. 簡介........................................................................................................................... 1. 政 治 大. 1.1 研究動機......................................................................................................... 1. 立. 1.2 研究目的......................................................................................................... 2. ‧ 國. 學. 1.3 研究架構......................................................................................................... 3. ‧. 2. 文獻回顧................................................................................................................... 4. y. Nat. al. er. io. sit. 2.1 二維中勝算比矩陣之介紹............................................................................. 4. v. n. 2.2 二維中修正勝算比矩陣之方法..................................................................... 6. Ch. engchi. i n U. 2.3 二維中最佳參考點之選擇............................................................................. 7. 3. 三維條件機率矩陣相容性之檢驗 .......................................................................... 9 3.1 三維條件機率矩陣之介紹............................................................................. 9 3.2 Arnold-Press 比值矩陣檢驗法 .................................................................... 10 3.3 兩兩相容檢驗法........................................................................................... 11 3.4 兩兩相容檢驗法在實例上的應用............................................................... 13. viii.
(8) 4. 三維近似聯合分配 ................................................................................................ 19 4.1 三維近似聯合分配之求法........................................................................... 19 4.2 模擬與實例探討........................................................................................... 27. 5. 三維中最佳參考點之求法 .................................................................................... 36 5.1 最少點法....................................................................................................... 36 5.2 尋找最少點集之方式................................................................................... 39. 政 治 大. 5.3 模擬與實例探討........................................................................................... 45. 立. 5.4 最少點法與窮舉法之比較........................................................................... 48. ‧ 國. 學. 6. 結論......................................................................................................................... 49. ‧. sit. y. Nat. 參考文獻...................................................................................................................... 50. n. al. er. io. 附錄 附表................................................................................................................... -1-. Ch. i n U. v. 附錄 1：檢驗三維條件分配相容性程式 etatest3.m 之程式碼與操作方式 ... -1-. engchi. 附錄 2：計算近似聯合分配程式 geoajt.m 之程式碼與操作方式 .................. -4附錄 3：計算第一誤差程式 geoe1.m 之程式碼與操作方式 .......................... -7附錄 4：計算第二誤差程式 geoe2.m 之程式碼與操作方式 .......................... -9附錄 5：計算第三誤差程式 geoe3.m 之程式碼與操作方式 ........................ -11附錄 6：最少點法程式 minpts.m 之程式碼與操作方式............................... -13附錄 7：窮舉法程式 exhpts.m 之程式碼與操作方式 ................................... -17-. ix.
(9) 附表 1：大小為 10x10x10 的三維條件機率矩陣 A...................................... -20附表 2：大小為 10x20x20 的三維條件機率矩陣 B ...................................... -23附表 3：大小為 20x20x20 的三維條件機率矩陣 C ...................................... -26附表 4：大小為 10x10x10 的三維條件機率矩陣 A...................................... -29附表 5：大小為 10x20x20 的三維條件機率矩陣 B ...................................... -39附表 6：大小為 20x20x20 的三維條件機率矩陣 C ...................................... -49-. 政 治 大. 附表 7：大小為 10x10x10 的三維條件機率矩陣 A...................................... -59-. 立. 附表 8：大小為 10x20x20 的三維條件機率矩陣 B ...................................... -79-. ‧ 國. 學. 附表 9：大小為 20x20x20 的三維條件機率矩陣 C ...................................... -99-. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. x. i n U. v.
(10) 表目次 表 3.1. 例一中大小為 3x4x5 的條件機率矩陣........................................................ 13. 表 3.2 例二的條件機率矩陣𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) …….………..…..………………………...…15 表 3.3 例二的條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) …….……..…..………………...…16 表 3.4. 例二中給定 Z = 1 下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣….….…………...…16. 表 3.5. 例二中給定 Z = 2 下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣….……….……...…17. 表 3.6. 例二中給定 Y = 1 下的條件機率矩陣 ......................................................... 17. 表 3.7. 例二中給定 Y = 1 下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 的勝算比矩陣….…..…………...…17. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 表 4.1 例三中𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值…….………..……………27. ‧. 例三的聯合機率矩陣.................................................................................... 28. 表 4.3. 例四中大小為 3x4x5 的條件機率矩陣........................................................ 29. 表 4.4. 例四中參考點(1, 1, 1)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值....…..…30. er. io. sit. y. Nat. 表 4.2. al. n. v i n Ch 例四中參考點(1, 1, 1)時之近似聯合機率矩陣 e n g c h i U ........................................... 31. 表 4.5 表 4.6. 例四中參考點(1, 1, 2)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值…….….32. 表 4.7. 例四中參考點(1, 1, 2)時之近似聯合分配 ................................................... 33. 表 4.8. 例五中參考點(1, 1, 1)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值...…...…34. 表 4.9. 例五中參考點(1, 1, 1)時之近似聯合分配 ................................................... 34. 表 4.10 例五中參考點(1, 1, 2)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值.……….35 表 4.11 例五中參考點(1, 1, 2)時之近似聯合分配 ................................................... 35 xi.
(11) 表 5.1. 二維中最少點集位置之選取........................................................................ 39. 表 5.2. k = 1 時參考點集位置之選取 ...................................................................... 40. 表 5.3. k = 2 時參考點集位置之選取 ...................................................................... 40. 表 5.4. 三維中最少點集之位置................................................................................ 42. 表 5.5. 例六中參考點集位置之選取........................................................................ 42. 表 5.6. 例六中各層最少點集位置之選取................................................................ 43. 表 5.7. 例七的最佳近似聯合分配............................................................................ 45. 表 5.8. 例八的最佳近似聯合分配............................................................................ 46. 表 5.9. 最少點法與窮舉法效率之比較.................................................................... 48. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. xii. i n U. v.
(12) 1. 簡介. 1.1 研究動機. 給定聯合分配（joint distribution），利用條件分配（conditional distribution） 的定義可以導出對應的條件分配。反之，給定條件分配的資訊，是否能推出對應 的聯合分配來呢？一般而言，條件分配比起聯合分配來講，較容易取得且方便描 述。例如根據 O. Paul et al.（1963）對位於芝加哥（Chicago）郊區的 Western. 政 治 大. Electric Company 員工所做之調查數據，可得出給定咖啡量與吸菸量下，是否有. 立. 心血管疾病的條件機率模型資料；再根據 O. Paul et al.（1968）對同樣公司所做. ‧ 國. 學. 更進一步小樣本之調查數據，可得出給定咖啡量與是否有心血管疾病下，吸菸量 的條件機率模型資料；以及，給定吸菸量與是否有心血管疾病下，咖啡量的條件. ‧. 機率模型資料。有了這三個條件機率分配，能不能找到咖啡量、吸菸量及是否有. y. Nat. sit. 心血管疾病的聯合機率模型，以便對這三者之關係做更深入的研究。在條件機率. n. al. er. io. 皆為正值下，Chen（2010）提出用勝算比函數（odds ratio functions）判斷給定的. i n U. v. 條件分配是否相容（compatible）之方法，並找出相容的充要條件，以及求得聯. Ch. engchi. 合分配之公式。當二維的正值條件機率矩陣（conditional probability matrices）不 相容時，郭俊佑（2013）以幾何平均法（geometric mean method）修正勝算比矩 陣（odds ratio matrices） ，求得近似聯合分配之公式，並根據幾何平均法之特性， 提出一套尋找最佳參考點之有效法則。. 1.
(13) 1.2 研究目的. 在本論文中，我們擬將勝算比函數的概念，應用在三維離散有限的條件分配 上。給定三個三維的正值條件機率矩陣，如何判斷三者是否相容？若給定的三維 條件機率矩陣不相容時，將如何有效地找出最佳參考點，進而得出最佳的近似聯 合機率矩陣（joint probability matrix）？為避免繁瑣的人工計算，我們利用電腦 軟體設計出程式，來執行相容性的檢驗、求真正的聯合分配或近似聯合分配以及 找出最佳參考點。從本論文的探討過程中，我們也對每個理論之結果，皆分別進 行模擬與實例探討。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.
(14) 1.3 研究架構. 本論文一共分六章，在第一章中，簡單介紹一下本論文研究的動機、目的及 架構；在第二章中，回顧郭俊佑（2013）處理二維條件分配相容性之結果；在第 三章中，回顧 Arnold and Press（1989）檢驗三維條件分配之方法，並提出兩兩相 容檢驗法；在第四章中，利用勝算比法導出三維近似聯合分配之公式；在第五章 中，提出最少點法，有效地找出最佳參考點，以獲得最佳的近似聯合分配外，並 與窮舉法做模擬比較；最後，第六章總結本論文之研究，以及探討未來可繼續研 究的議題。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i n U. v.
(15) 2. 文獻回顧. 本章節回顧郭俊佑（2013）關於二維中條件分配相容性之結果，先介紹二維 中之勝算比矩陣，當條件機率矩陣不相容時，他提出以幾何平均法修正勝算比矩 陣，導出其近似聯合分配，並利用幾何平均法提出最佳參考點之選擇法則。. 2.1 二維中勝算比矩陣之介紹. 政 治 大. 二維的條件分配可以利用給定的聯合分配求得，但給定二維的條件分配能不. 立. 能找到對應的聯合分配呢？在連續的情況下時，Chen（2010）提出，如何判斷給. ‧ 國. 學. 定的條件分配是否相容，以及相容時，如何尋找聯合分配的方法。Chen 在二維 中提出檢驗兩個條件分配是否相容的結果，敘述如下：. ‧ y. Nat. sit. 【定理 2.1】設𝑓1 (𝑥|𝑦)及𝑓2 (𝑦|𝑥)分別為𝑋|𝑌與𝑌|𝑋的條件分配，則𝑓1 (𝑥|𝑦)與𝑓2 (𝑦|𝑥). n. al. er. io. 相容⟺ 𝜂1 (𝑥; 𝑦) = 𝜂2 (𝑥; 𝑦)，其中：. i n U. 𝜂1 (𝑥; 𝑦) =. 𝑓1 (𝑥|𝑦)𝑓1 (𝑥0 |𝑦0 ) , 𝑓1 (𝑥0 |𝑦)𝑓1 (𝑥|𝑦0 ). 𝜂2 (𝑥; 𝑦) =. 𝑓2 (𝑦|𝑥)𝑓2 (𝑦0 |𝑥0 ) , 𝑓2 (𝑦0 |𝑥)𝑓2 (𝑦|𝑥0 ). Ch. engchi. v. 且(𝑥0 , 𝑦0 )為可以任意選擇的參考點。當𝑓1 (𝑥|𝑦)與𝑓2 (𝑦|𝑥)相容時，令𝜂(𝑥; 𝑦) = 𝜂1 (𝑥; 𝑦) = 𝜂2 (𝑥; 𝑦)，則(𝑋, 𝑌)的聯合分配為： 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝜂(𝑥; 𝑦)𝑓1 (𝑥|𝑦0 )𝑓2 (𝑦|𝑥0 )⁄∬ 𝜂(𝑥; 𝑦)𝑓1 (𝑥|𝑦0 )𝑓2 (𝑦|𝑥0 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦.. 在定理 2.1 中的𝜂1 (𝑥; 𝑦)及𝜂2 (𝑥; 𝑦)稱為勝算比函數。在二維離散的情況下， 郭俊佑利用 Chen 的方法來處理條件分配相容性的問題。此時，定理 2.1 可改寫 為： 4.
(16) 【定理 2.2】設𝑋的值為1, … , 𝐼，𝑌的值為1, … , 𝐽；且𝐴𝑋|𝑌 = (𝑎𝑖𝑗 )及𝐵𝑌|𝑋 = (𝑏𝑖𝑗 )分 別為𝑋|𝑌與𝑌|𝑋的條件機率矩陣，則𝐴𝑋|𝑌 與𝐵𝑌|𝑋 相容⟺ 𝜂𝐴 = 𝜂𝐵 ，其中𝜂𝐴 與𝜂𝐵 在 (𝑖, 𝑗)位置的元素分別為： 𝜂𝐴 (𝑖, 𝑗) =. 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖0 𝑗0 , 𝑎𝑖𝑗0 𝑎𝑖0 𝑗. 𝜂𝐵 (𝑖, 𝑗) =. 𝑏𝑖𝑗 𝑏𝑖0 𝑗0 , 𝑏𝑖0 𝑗 𝑏𝑖𝑗0. 且(𝑖0 , 𝑗0 )為可以任意選擇的參考點。當𝐴𝑋|𝑌 與𝐵𝑌|𝑋 相容時，令𝜂𝐴 = 𝜂𝐵 = 𝜂，則 (𝑋, 𝑌)的聯合分配為：𝑃 = (𝑝𝑖𝑗 )，其中 𝐼. 𝐽. 政 治 大. 𝑝𝑖𝑗 = 𝜂𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗0 𝑏𝑖0 𝑗 ⁄∑ ∑ 𝜂𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗0 𝑏𝑖0 𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽.. 立. (2.2.1). 𝑖=1 𝑗=1. ‧ 國. 學. 在定理 2.2 中的𝜂𝐴 及𝜂𝐵 稱為勝算比矩陣。因此，我們可以利用勝算比矩陣檢 驗兩個條件分配是否相容，以及相容時，如何利用勝算比矩陣找到對應的聯合分. ‧. 配。但不相容時，應如何修正勝算比矩陣以求出近似的聯合分配？. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 5. i n U. v.
(17) 2.2 二維中修正勝算比矩陣之方法. 給定離散型的條件分配，定理 2.2 告訴我們勝算比矩陣相同時，可以找到對 應的聯合分配。當勝算比矩陣不相等時，郭俊佑提出用幾何平均法修正勝算比矩 陣，並找到近似的聯合分配。當𝜂𝐴 ≠ 𝜂𝐵 時，考慮勝算比矩陣𝜂 = (𝜂𝑖𝑗 )，其中： 𝜂𝑖𝑗 = √𝜂𝐴 (𝑖, 𝑗)𝜂𝐵 (𝑖, 𝑗), 則(𝑋, 𝑌)的近似聯合分配為：𝑃 = (𝑝𝑖𝑗 )，其中 𝐼. 𝐽. 政 治 大. 𝑝𝑖𝑗 = 𝜂𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗0 𝑏𝑖0 𝑗 ⁄∑ ∑ 𝜂𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗0 𝑏𝑖0 𝑗 , 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽.. 立. (2.2.2). 𝑖=1 𝑗=1. ‧ 國. 學. 在定理 2.2 中已經使用符號𝜂與𝑃分別表示勝算比矩陣與聯合分配，在不會混 淆的情況下，為了方便起見，修正後的勝算比矩陣與(𝑋, 𝑌)的近似聯合分配仍分. ‧. 別用𝜂與𝑃表示。當𝜂𝐴 = 𝜂𝐵 時，即𝐴𝑋|𝑌 與𝐵𝑌|𝑋 相容，式子(2.2.2)就會是對應的聯合. n. al. er. io. sit. y. Nat. 分配。. i n U. v. 幾何平均法的優點是，針對近似聯合分配所產生的誤差，我們可以做進一步. Ch. engchi. 的理論解析。郭俊佑用模擬的方式對幾何平均法、算術平均法（arithmetic mean method） 、最大值法（maximum-value method）、最小值法（minimum-value method）進行比較，他發現用幾何平均法所獲得的近似聯合分配，其總誤差值通常較 其他方法要來的小。由於不同參考點所產生的近似聯合分配並不一定相同，在幾 何平均法的性質下，他也推導出決定最佳參考點之有效法則，以獲得最佳的近似 聯合分配。. 6.
(18) 2.3 二維中最佳參考點之選擇. 參考點的選擇會影響所得到近似聯合分配的好壞，但又以哪一個參考點為最 佳呢？我們需先定出一個評量參考點優劣的標準。通常可以近似聯合分配的條件 分配與𝑋|𝑌和𝑌|𝑋分配間之總誤差來衡量，並由總誤差最小值，來決定最佳的參考 點。總誤差的定義如下：. 【定義 2.3】 假定𝑃 = (𝑝𝑖𝑗 )是由條件機率矩陣𝐴𝑋|𝑌 與𝐵𝑌|𝑍 以及參考點(𝑖0 , 𝑗0 )所推. 政 治 大. 導出來的近似聯合分配，則𝑃的第一條件機率誤差(簡稱第一誤差)為： 𝐼. 0. 0. 𝑖=1 𝑗=1. 2. 𝑝𝑖𝑗 ) , 𝑖𝑗 − 𝑝+𝑗. 第二條件機率(簡稱第二誤差)為： 𝑒2 (𝑖0 , 𝑗0 ) = ∑ ∑ (𝑏𝑖𝑗 −. Nat. 𝑝𝑖𝑗 2 ) , 𝑝𝑖+. sit. 𝑖=1 𝑗=1. er. io. 條件機率總誤差(簡稱總誤差)為：. al. n. 𝑒(𝑖0 , 𝑗0 ) = 𝑒1 (𝑖0 , 𝑗0 ) + 𝑒2 (𝑖0 , 𝑗0 ),. 其中. ‧. 𝐽. 𝐼. 學. ‧ 國. 1. 𝐽. y. 立 𝑒 (𝑖 , 𝑗 ) = ∑ ∑ (𝑎. Ch. engchi. i n U. v. 𝑝+𝑗 = 𝑝1𝑗 + 𝑝2𝑗 + ⋯ + 𝑝𝐼𝑗 , 𝑝𝑖+ = 𝑝𝑖1 + 𝑝𝑖2 + ⋯ + 𝑝𝑖𝐽 .. 當總誤差𝑒(𝑖0 , 𝑗0 )越小時，𝑃越符合我們的要求。使總誤差最小的點，就是我 們所想求的最佳參考點。在幾何平均法下，郭俊佑發現第一誤差𝑒1 與第二誤差𝑒2 有以下良好的性質：. 7.
(19) 【性質 2.4】當𝑃 = (𝑝𝑖𝑗 )是用參考點(𝑖0 , 𝑗0 )以及式子(2.2.2)所獲致的近似聯合分 配時，第一誤差𝑒1 只和𝑗0 有關，第二誤差𝑒2 只和𝑖0 有關，也就是說： ∀𝑖, 𝑒1 (𝑖, 𝑗0 ) = 𝑒1 (𝑖0 , 𝑗0 ); ∀𝑗, 𝑒2 (𝑖0 , 𝑗) = 𝑒2 (𝑖0 , 𝑗0 ).. 在離散型中，用幾何平均法尋找近似聯合分配時，郭俊佑利用性質 2.4 提出 一套有效的法則，透過計算最少參考點之第一誤差與第二誤差，找到最佳參考點 ，其步驟詳述如後。為了方便起見，假設𝐼 ≤ 𝐽。把參考點(𝑖, 𝑗)看成大小為𝐼 × 𝐽矩. 政 治 大 考點集，分別算出對應的誤差𝑒 及𝑒 ，並找出𝑒 中的最小值所對應的行𝑗 及𝑒 中 立. 陣中的元素，選取(1, 1), (2, 2), … , (𝐼, 𝐼), (𝐼, 𝐼 + 1), (𝐼, 𝐼 + 2), ⋯ , (𝐼, 𝐽 − 1), (𝐼, 𝐽)做參 1. 2. 1. 0. 2. 的最小值所對應的列𝑖0；此時，以(𝑖0 , 𝑗0 )為參考點之總誤差會最小，即(𝑖0 , 𝑗0 )為最. ‧. ‧ 國. 學. 佳參考點。. y. Nat. 因此，不需像窮舉法一樣，對每一個參考點逐點計算總誤差。找到使總誤差. er. io. sit. 最小的參考點，只要利用郭俊佑提出之選取法則，便可以有效地找到最佳參考點 (𝑖0 , 𝑗0 )，並將(𝑖0 , 𝑗0 )代入式子(2.2.2)，進而獲得𝐴𝑋|𝑌 及𝐵𝑌|𝑍 的最佳近似聯合分配；. al. n. v i n 當相容時，最佳的近似聯合分配就會是真正的對應聯合分配。 Ch engchi U. 8.
(20) 3. 三維條件機率矩陣相容性之檢驗. 本章節討論如何檢驗三維條件機率矩陣的相容性，先介紹三維的條件機率矩 陣，回顧 Arnold and Press（1989）關於驗證三維條件分配相容性之研究，提出比 他們可行的兩兩相容檢驗法（pairwise compatibility checking method），並以模擬 與實例來呈現。. 3.1 三維條件機率矩陣之介紹. 立. 政 治 大. 設𝑋、𝑌及𝑍為離散隨機變數，𝑋的可能值為1, … , 𝐼，𝑌的可能值為1, … , 𝐽，𝑍的. ‧ 國. 學. 可能值為1, … , 𝐾。在三維的情況下，條件機率矩陣的定義如下：. ‧. 【定義 3.1】給定條件分配𝑋|(𝑌, 𝑍)、𝑌|(𝑋, 𝑍)及𝑍|(𝑋, 𝑌)，則三維矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) =. y. Nat. 𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑖|𝑌 = 𝑗, 𝑍 = 𝑘),. n. a𝑏l. er. io. sit. (𝑎𝑖𝑗𝑘 )、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) = (𝑏𝑖𝑗𝑘 )及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) = (𝑐𝑖𝑗𝑘 )分別稱為條件機率矩陣，其中：. 𝑖𝑗𝑘. i n U. = 𝑃(𝑌 = 𝑗|𝑋 = 𝑖, 𝑍 = 𝑘),. Ch. engchi. v. 𝑐𝑖𝑗𝑘 = 𝑃(𝑍 = 𝑘|𝑋 = 𝑖, 𝑌 = 𝑗),. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. 由條件機率矩陣的定義，我們有下列的結果： 𝐼. 𝐽. 𝐾. ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑘 = 1, ∑ 𝑏𝑖𝑗𝑘 = 1, ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑘 = 1, 𝑖=1. 𝑗=1. 𝑘=1. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 有時為了方便起見，我們就用𝐴、𝐵及𝐶分別代表𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)。. 9.
(21) 3.2 Arnold-Press 比值矩陣檢驗法. 給定三維離散型條件分配，如何知道給定的條件分配是否相容？Arnold and Press 提出關於三維離散型相容性的研究結果。他們利用條件機率比值的概念， 提出條件分配相容的充要條件，結果如下：. 【定理 3.2】𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容⟺存在𝐷 = (𝑑𝑖𝑗 )、𝐸 = (𝑒𝑖𝑘 )及𝐹 = (𝑓𝑗𝑘 ) 使得 𝑖𝑗𝑘. 𝑖𝑘. 𝑖𝑗𝑘. 𝑗𝑘. 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑑𝑖𝑗 = , 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑓𝑗𝑘. 學. 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑑𝑖𝑗 = , 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑖𝑘. ‧. ‧ 國. 立. 政𝑎𝑏 = 𝑒𝑓治, 大. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. sit. y. Nat. al. er. io. 然而，定理 3.2 只是一個純理論的結果，要找到𝐷、𝐸及𝐹並驗證相容性成立，. v. n. 在執行上極為困難。是否有其他方式能用來處理三維條件機率矩陣的相容性問題？. Ch. engchi. 10. i n U.
(22) 3.3 兩兩相容檢驗法. 由於 Arnold-Press 比值矩陣檢驗法在三維中執行上相當困難，在條件機率矩 陣的元素皆大於0時，我們可以使用以下所要介紹的兩兩相容檢驗法來檢驗三維 條件機率矩陣的相容性。兩兩相容（pairwise compatible）的定義如下：. 【定義 3.3】若對任意的𝑍 = 𝑘，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 相容；對任意的𝑌 = 𝑗，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容；對任意的𝑋 = 𝑖，𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容，則稱𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 兩兩相容。. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 利用定理 2.2，我們可以很容易檢驗𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 是否兩兩相容。 但𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 兩兩相容時，是否真的能代表𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌). ‧. 三者相容呢？我們發現兩兩相容和三者相容的定義是等價的，定理如下：. sit. y. Nat. al. er. io. 【定理 3.4】給定條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) ，則：. v. n. 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 三者相容⟺ 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 兩兩相容。 證明：. Ch. engchi. i n U. (⟹) 顯然成立。 (⟸) 選擇(𝑖0 , 𝑗0 , 𝑘0 )做為參考點。 設條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 兩兩相容，則： 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 = , 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 = , 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 = , 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 11. (3.3.1) (3.3.2) (3.3.3).
(23) 由式子(3.3.1)，可得出(𝑋, 𝑌)|𝑍的條件分配為：𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 = (𝑝𝑖𝑗|𝑘 )，其中 𝐼. 𝑝𝑖𝑗|𝑘. 𝐽. 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 = ⁄∑ ∑ , 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘. (3.3.4). 𝑖=1 𝑗=1. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 由於𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)相容的充要條件為： 𝑝𝑖𝑗|𝑘 𝑝𝑖0 𝑗0 |𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 = , 𝑝𝑖𝑗|𝑘0 𝑝𝑖0 𝑗0 |𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. (3.3.5). 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 將式子(3.3.4)中𝑝𝑖𝑗|𝑘 代入式子(3.3.5)等式左端，經化簡後可得：. 政 治 大. 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 = , 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. 立. (3.3.6). 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. ‧ 國. 學. 因為𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容，故式子(3.3.6)可改寫成：. n. al. y. sit. (3.3.7). er. io. 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 = , 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. ‧. Nat. 或. 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 = 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. v. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. Ch. engchi. i n U. 此時，式子(3.3.7)為𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容的充要條件。已知𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容，故式子(3.3.6)恆成立。因此𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)相容，即代表𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 三者相容。＃. 定理 3.4 告訴我們使用兩兩相容檢驗法，也可以來驗證三維條件機率矩陣是 否相容。. 12.
(24) 3.4 兩兩相容檢驗法在實例上的應用. 在本節中，我們以兩個例子（一個是模擬的、另一個是實際的）來說明如何 利用兩兩相容檢驗法來驗證給定的條件分配是否相容。. 【例一】三維相容條件機率矩陣之實例 考慮模擬出大小為3 × 4 × 5的條件機率矩陣如表 3.1 所呈現：. 政 治 大 𝐵. 表 3.1：例一中大小為3 × 4 × 5的條件機率矩陣. al. Ch. 1 6 1 3 1 9 1 3 1 6 3 7 1 5 1 5 1 3 1 5 1 5 1 6. engchi. 13. 1 3 1 6 4 9] 1 6 1 3 1 7] 1 5 2 5 1 6] 1 5 1 10 1 3]. 1 8 2 9 1 [8 1 4 1 9 1 [4 1 8 1 7 1 [4 1 8 4 9 1 [8. y. 1 3 1 6 1 3 1 6 1 3 1 7 2 5 1 5 1 6 2 5 3 10 1 3. sit. ‧ 國. 1 6 1 3 1 [9 1 3 1 6 2 [7 1 5 1 5 1 [3 1 5 2 5 1 [6. 2 9 1 9 3 10 1 9 2 9 1 10 2 9 1 7 1 11 2 9 1 3 1 5. ‧. 7 1 7 4 7] 1 4 1 2 1 4] 1 4 1 2 1 4] 1 4 1 4 1 2]. n. 𝑍=4. io. 𝑍=3. 1 4 1 2 1 4 1 3 1 6 1 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4. Nat. 𝑍=2. 1 3 1 6 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 2 7 3 7 2 7. 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌). 𝑌|(𝑋,𝑍). 學. 𝑍=1. 1 4 1 2 1 [4 2 5 1 5 2 [5 1 4 1 4 1 [2 1 6 2 3 1 [6. 立 2. er. 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). i n U. v. 1 6 1 4 1 9 1 3 1 8 1 3 1 6 1 8 2 9 1 6 1 4 1 9. 2 7 1 7 2 5] 1 7 2 7 1 10] 1 8 2 7 1 12] 1 7 1 7 1 5].
(25) 表 3.1：例一中大小為3 × 4 × 5的條件機率矩陣（續）. 𝑍=5. 1 2 1 6 1 [3. 2 7 2 7 3 7. 1 5 2 5 2 5. 2 5 1 5 2 5]. 3 8 1 6 2 [9. 1 4 1 3 1 3. 1 8 1 3 2 9. 1 4 1 6 2 9]. 3 8 1 9 1 [4. 2 9 2 9 3 10. 1 6 1 4 2 9. 2 7 1 7 1 5]. 我們只在給定不同𝑍值下，驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 之相容性，其餘驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 以及𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 之相容性過程類似。在給定𝑍 = 1時，條件機率矩陣 為：. 立. 1 3 1 6 1 2. 1 2 治 1 1 政 6 3 4 7 大 1 1 1 1 2 7 1 4 4 7]. , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) =. 1 6 1 3 1 9. 3 6 1 1 [9 3. 學. ‧ 國. 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). 1 4 1 = 2 1 [4. 1 3 1 . 6 4 9]. io. 1. n. al. 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣為：. [1. Ch. 1 1 4, 2]. engchi. 1 1 [1. 1 1 1 1 4 3 1 2. y. 1 1 1 1 4 3 1 2. sit. Nat. 1. er. 陣為：. ‧. 要驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 是否相容，選擇(1, 1, 1)做為參考點時，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 的勝算比矩. i n U. v. 1 1 4. 2]. 因此，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣相等，即𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 相容。在給定𝑍 = 2時，條件機率矩陣為：. 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). 2 5 1 = 5 2 [5. 1 4 1 2 1 4. 1 3 1 6 1 2. 1 1 1 4 3 6 1 1 1 , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) = 2 6 3 1 2 1 [7 7 4] 14. 1 3 1 6 3 7. 1 6 1 . 3 1 7].
(26) 要驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 是否相容，選擇(1, 1, 2)做為參考點時，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 的勝算比矩 陣為： 1 1 [ 1. 1 1 4 1 3 1 2. 1 4 ], 1. 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣為： 1 1 [ 1. 1 1 1 4 1 4 ]. 3 1 1 2 因此，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣相等，即𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 相容。依同樣驗證. 政 治 大. 之過程，在給定𝑍 = 3、𝑍 = 4及𝑍 = 5時，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 也皆為相容。. 立. io. al. 1 若經判定患有心血管疾病. n. 𝑍={. Ch. 2 若經判定沒有心血管疾病. y. ，. er. 2 若每天抽菸平均根數至少 18. sit. 1 若每天抽菸平均根數少於 18. ，. ‧. 2 若每月喝咖啡平均杯數至少 100. Nat. 𝑌={. 1 若每月喝咖啡平均杯數少於 100. 學. 令 𝑋={. ‧ 國. 【例二】O. Paul et al.（1963，1968）對造成心血管疾病因素之追蹤研究. 。. engchi. i n U. v. 根據 O. Paul et al.（1963）對位於芝加哥（Chicago）郊區的 Western Electric Company 員工所做之調查數據，可得出𝑍|(𝑋, 𝑌)的條件機率矩陣𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) ，如表 3.2 所 呈現： 表 3.2：例二的條件機率矩陣𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 𝑍=1. [. 0.025662 0.035957. 0.061678 ] 0.081540. 𝑍=2. [. 0.974338 0.964043. 0.938322 ] 0.918460. 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。 15.
(27) 再根據 O. Paul et al.（1968）對同樣公司所做更進一步小樣本之調查數據，可得 出𝑋|(𝑌, 𝑍)與𝑌|(𝑋, 𝑍)的條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) ，如表 3.3 所呈現：. 表 3.3：例二的條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍). 𝑍=1. 0.500000 [ 0.500000. 0.305556 ] 0.694444. [. 0.576923 0.375000. 0.423077 ] 0.625000. 𝑍=2. 0.666667 [ 0.333333. 0.363636 ] 0.636364. [. 0.840000 0.600000. 0.160000 ] 0.400000. 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 政 治 大. 立. 首先，在給定不同𝑍值下，我們驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 之相容性。在給定𝑍 = 1時，. ‧ 國. 學. 條件機率矩陣為：. 0.500000 0.500000. 0.305556 0.576923 ] , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) = [ 0.694444 0.375000. 0.423077 ]. 0.625000. ‧. 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) = [. sit. y. Nat. 要驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 是否相容，選擇(1, 1, 1)做為參考點時，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍). io. er. 的勝算比矩陣如表 3.4 所呈現：. al. n. v i n C h= 1下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 表 3.4：例二中給定𝑍 e n g c h i U 的勝算比矩陣 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 的勝算比矩陣. 𝑍=1. 1.000000 [ 1.000000. 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣. 1.000000 ] 2.272727. [. 1.000000 1.000000. 1.000000 ] 2.272727. 註：勝算比矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 從表 3.4 可知，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣相等，即𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 相容。在 給定𝑍 = 2時，條件機率矩陣為： 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) = [. 0.666667 0.333333. 0.363636 0.840000 ] , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) = [ 0.636364 0.600000. 16. 0.160000 ]. 0.400000.
(28) 要驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 是否相容，選擇(1, 1, 2)做為參考點時，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣如表 3.5 所呈現：. 表 3.5：例二中給定𝑍 = 2下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 的勝算比矩陣 𝑍=2. 1.000000 [ 1.000000. 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣. 1.000000 ] 3.500000. [. 1.000000 1.000000. 1.000000 ] 3.500000. 註：勝算比矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 政 治 大 之相容性。在給定𝑌 = 1下，此時條件機率矩陣如表 3.6 立. 從表 3.5 可知，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 的勝算比矩陣相等，即𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 相容。接. 學. 所呈現：. ‧ 國. 著，驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌). 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). y [. er. al. 0.025662 ] 0.035957. sit. 0.500000 [ ] 0.500000. io. v[0.974338 i n 0.964043]. 0.666667 [ ] 0.333333. n. 𝑍=2. 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌). Nat. 𝑍=1. ‧. 表 3.6：例二中給定𝑌 = 1下的條件機率矩陣. Ch. U i e h n c g 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 要驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 是否相容，當選擇(1, 1, 1)做為參考點時，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 的勝算比矩陣如表 3.7 所呈現：. 表 3.7：例二中給定𝑌 = 1下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)的勝算比矩陣 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 的勝算比矩陣 𝑍=1. 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 的勝算比矩陣. 1.000000 [ ] 1.000000. [. 註：勝算比矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。 17. 1.000000 ] 1.000000.
(29) 表 3.7：例二中給定𝑌 = 1下𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)的勝算比矩陣（續） 𝑍=2. 1.000000 [ ] 0.500000. [. 1.000000 ] 0.706143. 註：勝算比矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 從表 3.7 可知，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 的勝算比矩陣不相等，即𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 不相容， 也就是說𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 不相容。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 18. i n U. v.
(30) 4. 三維近似聯合分配. 本章節利用幾何平均法修正勝算比矩陣，導出三維近似聯合分配之公式，並 利用電腦軟體設計出程式，以模擬與實際的例子來呈現。. 4.1 三維近似聯合分配之求法. 一般而言，利用 Arnold-Press 比值矩陣檢驗法來驗證𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌). 政 治 大. 三者是否相容並不容易，但利用兩兩相容檢驗法卻相對地比較簡單。當相容成立. 立. 時，透過式子(3.3.5)以及(2.2.1)可進一步求出對應的三維聯合分配。在實務上，. ‧ 國. 學. 我們根據資料所獲得之條件機率模型經常是不相容的，如例二中 O. Paul et al. （1963，1968）對咖啡量與吸菸量造成心血管疾病的追蹤研究所呈現。在這種情. ‧. 況下，那應如何找出能表達咖啡量、吸菸量以及是否有心血管疾病這三者關係之. n. al. er. io. sit. y. Nat. 聯合機率模型？. i n U. v. 在本節中，我們將使用幾何平均法修正勝算比矩陣，導出三維近似聯合分配，. Ch. engchi. 其過程詳述如後。給定條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 與參考點(𝑖0 , 𝑗0 , 𝑘0 )。 首先，對於所有的𝑖，在給定𝑋 = 𝑖的情況下，𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容的充要條件為： 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 = , 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. (4.1.1). 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 若式子(4.1.1)不成立時，可以用幾何平均法對勝算比矩陣做修正，可得出𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) (𝐵,𝐶)|𝐴. 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 修正後的三維勝算比矩陣為：𝜂 (𝐵,𝐶)|𝐴 = (𝜂𝑗𝑘|𝑖 (𝐵,𝐶)|𝐴. 𝜂𝑗𝑘|𝑖. )，其中. 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 = √( )( ), 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0 19. (4.1.2).
(31) 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 於是，對於所有的𝑖，由式子(2.2.2)及(4.1.2)可導出𝑋 = 𝑖時，(𝑌, 𝑍)|𝑋的近似條件 分配為：𝑃(𝑌,𝑍)|𝑋 = (𝑝𝑗𝑘|𝑖 )，其中 𝐽 𝐾 (𝐵,𝐶)|𝐴 (𝐵,𝐶)|𝐴 𝜂𝑗𝑘|𝑖 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 ⁄∑ ∑ 𝜂𝑗𝑘|𝑖 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 , 𝑗=1 𝑘=1. 𝑝𝑗𝑘|𝑖 =. (4.1.3). 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 又𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝑃(𝑌,𝑍)|𝑋 相容的充要條件為： 𝑝𝑗𝑘|𝑖 𝑝𝑗0 𝑘0 |𝑖0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 = , 𝑝𝑗0 𝑘0 |𝑖 𝑝𝑗𝑘|𝑖0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘. (4.1.4). 政 治 大 若式子(4.1.4)不成立時，對於所有的𝑖，再以幾何平均法對勝算比矩陣做修正，可 立 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. 𝑝𝑗𝑘|𝑖 𝑝𝑗0 𝑘0 |𝑖0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 )( ) 𝑝𝑗0 𝑘0 |𝑖 𝑝𝑗𝑘|𝑖0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘. al. 可簡化成：. er. io. 1. 1. v. 1. 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0𝑗0 𝑘0 4 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 4 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 ) ( ) ( ) , (4.1.6) =( 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0. n. (𝐵,𝐶),𝐴. 𝜂𝑖𝑗𝑘. y. Nat. (𝐵,𝐶),𝐴. 將(4.1.2)代入(4.1.5)，並將正規化常數約掉，𝜂𝑖𝑗𝑘. (4.1.5). sit. ‧ 國. = √(. )，其中. ‧. (𝐵,𝐶),𝐴. 𝜂𝑖𝑗𝑘. 學. (𝐵,𝐶),𝐴. 得修正後的三維勝算比矩陣為：𝜂(𝐵,𝐶),𝐴 = (𝜂𝑖𝑗𝑘. Ch. engchi. i n U. 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 故對於所有的𝑖，由式子(2.2.2)及(4.1.6)可導出𝑋 = 𝑖時，(𝑋, 𝑌, 𝑍)的近似聯合分配 (𝐵,𝐶),𝐴. 為：𝑃(𝐵,𝐶),𝐴 = (𝑝𝑖𝑗𝑘 (𝐵,𝐶),𝐴 𝑝𝑖𝑗𝑘. =. )，其中. 𝐽 𝐼 𝐾 (𝐵,𝐶),𝐴 (𝐵,𝐶),𝐴 𝜂𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑝𝑗𝑘|𝑖0 ⁄∑ ∑ ∑ 𝜂𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑝𝑗𝑘|𝑖0 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1 1. =. 1. 𝑏𝑖 𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 (𝐵,𝐶),𝐴 ( 0 ) ( ) 𝜂𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 1 1 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 (𝐵,𝐶),𝐴 𝐽 𝐼 𝐾 ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 ∑𝑘=1 ( ) (𝑐 ) 𝜂𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0. 20.
(32) =. 𝐽 𝐼 𝐾 (𝐵,𝐶),𝐴 (𝐵,𝐶),𝐴 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 ⁄∑ ∑ ∑ 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 , 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. 其中 1. 1. 𝑏𝑖 𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 (𝐵,𝐶),𝐴 =( 0 ) ( ) 𝜂𝑖𝑗𝑘 , 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0𝑗0 𝑘. (𝐵,𝐶),𝐴. 𝛨𝑖𝑗𝑘. (4.1.7). 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 依同樣的過程，先求出(𝑋, 𝑍)|𝑌的近似條件分配𝑃(𝑌,𝑍)|𝑋 ，得出修正後的三維勝算 (𝐴,𝐶),𝐵. 比矩陣為：𝜂(𝐴,𝐶),𝐵 = (𝜂𝑖𝑗𝑘. )，其中. 政 治 大 1. 立. 1. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. 學. ‧ 國. (𝐴,𝐶),𝐵. 𝜂𝑖𝑗𝑘. 1. 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0𝑗0 𝑘0 4 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 4 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 ) ( ) ( ) , =( 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖0𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0. 再由𝑃(𝑌,𝑍)|𝑋 及𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 透過𝜂(𝐴,𝐶),𝐵 可得出(𝑋, 𝑌, 𝑍)的近似聯合分配為：𝑃(𝐴,𝐶),𝐵 =. ‧. )，其中. io. y. 𝐽 𝐾 𝐼 (𝐴,𝐶),𝐵 (𝐴,𝐶),𝐵 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘 ⁄∑ ∑ ∑ 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 , 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. sit. =. Nat. (𝐴,𝐶),𝐵 𝑝𝑖𝑗𝑘. n. al. er. (𝐴,𝐶),𝐵. (𝑝𝑖𝑗𝑘. 以及 (𝐴,𝐶),𝐵. 𝛨𝑖𝑗𝑘. Ch. e n g1 c h i. i n U. v. 1. 𝑎𝑖𝑗 𝑘 𝑎𝑖 𝑗 𝑘 2 𝑐𝑖𝑗 𝑘 𝑐𝑖 𝑗 𝑘 2 (𝐴,𝐶),𝐵 = ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 ) 𝜂𝑖𝑗𝑘 , 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0. (4.1.8). 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 又依同樣的過程，先求出(𝑋, 𝑌)|𝑍的近似條件分配𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 ，得出修正後的三維勝 (𝐴,𝐵),𝐶. 算比矩陣為：𝜂(𝐴,𝐵),𝐶 = (𝜂𝑖𝑗𝑘. )，其中 1. (𝐴,𝐵),𝐶. 𝜂𝑖𝑗𝑘. 1. 1. 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 4 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 4 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 2 =( ) ( ) ( ) , 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. 21.
(33) 再 由 𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 與 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 透 過 𝜂(𝐴,𝐵),𝐶 可 得 出 (𝑋, 𝑌, 𝑍) 的 近 似 聯 合 分 配 ： 𝑃 (𝐴,𝐵),𝐶 = (𝐴,𝐵),𝐶. (𝑝𝑖𝑗𝑘. )，其中 𝐽. 𝐼. (𝐴,𝐵),𝐶 𝑝𝑖𝑗𝑘. =. 𝐾 (𝐴,𝐵),𝐶 (𝐴,𝐵),𝐶 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘 ⁄∑ ∑ ∑ 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 , 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. 以及 1. 1. 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖0𝑗0 𝑘0 2 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 2 (𝐴,𝐵),𝐶 =( ) ( ) 𝜂𝑖𝑗𝑘 , 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0. (𝐴,𝐵),𝐶. 𝛨𝑖𝑗𝑘. (4.1.9). 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽. (𝐵,𝐶),𝐴. 由於𝛨𝑖𝑗𝑘. (𝐴,𝐶),𝐵. , 𝛨𝑖𝑗𝑘. (𝐴,𝐵),𝐶. 及𝛨𝑖𝑗𝑘. 政 治 大. 三者並不一定完全相等，當其中兩者不等時，我們. 立. 3. (𝐵,𝐶),𝐴. (𝐴,𝐶),𝐵. 𝛨𝑖𝑗𝑘. (𝐴,𝐵),𝐶. 𝛨𝑖𝑗𝑘. ‧. 𝛨𝑖𝑗𝑘 = √𝛨𝑖𝑗𝑘. 學. 其中. ‧ 國. 利用三個的幾何平均法做修正，可得出修正後的三維勝算比矩陣為：𝛨 = (𝛨𝑖𝑗𝑘 )，. 1. 1. sit. al. er. io 1. y. Nat. 1 6 𝑎 3 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 (𝐵,𝐶),𝐴 (𝐴,𝐶),𝐵 (𝐴,𝐵),𝐶 3 =( ) ( ) (𝜂𝑖𝑗𝑘 𝜂𝑖𝑗𝑘 𝜂𝑖𝑗𝑘 ) 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0. v. 1. 2. n. 6 𝑎 3 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘 3 𝑖 𝑗 𝑘 𝑏𝑖 𝑗 𝑘 𝑐𝑖 𝑗 𝑘 =( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0) , 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑎𝑖0𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘. Ch. engchi. i n U. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. 因此，透過修正後的勝算比矩陣𝛨，可得出(𝑋, 𝑌, 𝑍)的近似聯合分配為：𝑃 = (𝑝𝑖𝑗𝑘 )， 其中 𝐼. 𝐽. 𝐾. 𝑝𝑖𝑗𝑘 = 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 ⁄∑ ∑ ∑ 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 , 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. 22. (4.1.10).
(34) 有兩件事情是值得我們注意的。首先，式子(4.1.8)跟參考點選取有關；其次， 當𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容時，也就是說𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 與𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)相容，故式子(4.1.1) 成立；又因𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝑃(𝑌,𝑍)|𝑋 相容，即式子(4.1.3)成立，故： (𝐵,𝐶),𝐴. 𝜂𝑖𝑗𝑘. =. 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 , 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘. (4.1.11). 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. (𝐵,𝐶),𝐴. 由式子(4.1.1)與(4.1.11)，式子(4.1.7)中的𝛨𝑖𝑗𝑘 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝛨𝑖𝑗𝑘. 可簡化成：. 𝑐𝑖 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 =( 0 )( ), 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘. 政 治 大 依同樣的過程，式子(4.1.7)與(4.1.8)中的𝛨 與𝛨 立. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. (𝐴,𝐶),𝐵. 𝛨𝑖𝑗𝑘. (𝐴,𝐵),𝐶. 𝑐𝑖𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 )( ), 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘. 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 )( ), =( 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. er. io. sit. y. Nat. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾.. ‧. 𝛨𝑖𝑗𝑘. =(. (𝐴,𝐵),𝐶 可分別簡化為： 𝑖𝑗𝑘. 學. ‧ 國. (𝐴,𝐶),𝐵 𝑖𝑗𝑘. 事實上，我可以證明𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容時，對於所有𝑖、𝑗及𝑘，. al. n. v i n (𝐵,𝐶),𝐴 (𝐴,𝐶),𝐵 (𝐴,𝐵),𝐶 C 𝛨𝑖𝑗𝑘 、𝛨𝑖𝑗𝑘 及𝛨𝑖𝑗𝑘 皆相等，即𝛨 =U 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 。反之，當 h e n g(𝐵,𝐶),𝐴 i h c. 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 成立時，則𝐴𝑋|(𝑌,𝑍)、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍)及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容。定理如下：. 【定理 4.1】給定條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 及參考點(𝑖0 , 𝑗0 , 𝑘0 )，則 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 相容⇔ 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 。 證明： (⟸) 設𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 ，令 ∗ 𝛨𝑖𝑗𝑘 =(. 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 )( ). 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘. 23.
(35) 考慮(𝑋, 𝑌, 𝑍)的聯合分配：𝑃 = (𝑝𝑖𝑗𝑘 )，其中 𝐼. 𝐾. ∗ ∗ 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘 ⁄∑ ∑ ∑ 𝛨𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. 𝑝𝑖𝑗𝑘 =. =. 𝐽. 𝑐𝑖 𝑗𝑘 𝑐𝑖 𝑗 𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑗 𝑘 ( 0 𝑐 0 0 0 ) ( 𝑎 0 0 0 ) 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑖0 𝑗𝑘0. 𝑖0 𝑗𝑘. , 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 ∑𝐼𝑖=1 ∑𝐽𝑗=1 ∑𝐾 ) ( ) 𝑏 ( 𝑖0 𝑗𝑘0 𝑘=1 𝑎 𝑐. (4.1.12). 𝑖0 𝑗𝑘. 𝑖0 𝑗𝑘0. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 接著，我們將證明聯合分配(4.1.12)的條件分配分別就會是給定的條件機率 矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)，過程如下：. 政 治 大. 𝑝𝑖|𝑗𝑘 ≡ 𝑃(𝑋 = 𝑖|𝑌 = 𝑗, 𝑍 = 𝑘). 立. 學. 𝑝𝑖𝑗𝑘 𝑝+𝑗𝑘. ‧ 國. =. 𝐼. ‧. 𝑐𝑖 𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖 𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 =( 0 )( ) 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 ⁄∑ ( 0 )( ) 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑖=1. 𝐼. Nat. sit. y. = 𝑎𝑖𝑗𝑘 ⁄∑ 𝑎𝑖𝑗𝑘. io 𝐼. n. al. er. 𝑖=1. = 𝑎𝑖𝑗𝑘 (因 ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑘 = 1), 𝑖=1. Ch. engchi. i n U. v. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 即𝑃𝑋|(𝑌,𝑍) = 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 。 同理可證：. 𝑝𝑗|𝑖𝑘 ≡ 𝑃(𝑌 = 𝑗|𝑋 = 𝑖, 𝑍 = 𝑘) = 𝑏𝑖𝑗𝑘 ; 𝑝𝑘|𝑖𝑗 ≡ 𝑃(𝑍 = 𝑘|𝑋 = 𝑖, 𝑌 = 𝑗) = 𝑐𝑖𝑗𝑘 , 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 即𝑃𝑌|(𝑋,𝑍) = 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍)； 𝑃𝑍|(𝑋,𝑌) = 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)，故條件分配𝑃𝑌|(𝑋,𝑍)及𝑃𝑍|(𝑋,𝑌)分別與 給定的條件機率矩陣𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)相等。 因此，𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)相容。 24.
(36) (⟹) 設條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 、𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌)相容，則定理 3.4 證明中之式子 (3.3.1)〜(3.3.3)皆成立。 當𝑖 = 𝑖0 時，式子(3.3.3)可改寫為： 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖0𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0𝑗0 𝑘0 = , 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0. (4.1.13). 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 當𝑘 = 𝑘0 時，式子(3.3.1)可改寫為： 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 = , 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0. (4.1.14). 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽.. 政 治 大. 藉由式子(4.1.13)、(4.1.14)及(3.3.2)，可得：. 立. 學. 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 )( 0 )( )=( )( )( ) 𝑎𝑖0 𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0𝑗𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. ‧ 國. (. 將上述左端化簡，並於右端利用式子(4.1.13)，可得：. ‧. 𝑐𝑖 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗𝑘0 ( 0 )( )=( )( )( ) 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0𝑗𝑘0 𝑎𝑖𝑗0 𝑘0 𝑎𝑖0 𝑗𝑘 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖0𝑗𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. sit. n. al. er. io. 或. y. Nat. 𝑏𝑖𝑗𝑘0 𝑏𝑖0 𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖𝑗𝑘 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘0 =( )( ) 𝑏𝑖0 𝑗𝑘0 𝑏𝑖𝑗0 𝑘0 𝑐𝑖0 𝑗0 𝑘 𝑐𝑖𝑗𝑘0. Ch. (𝐵,𝐶),𝐴. 𝛨𝑖𝑗𝑘. i n U. (𝐴,𝐵),𝐶. = 𝛨𝑖𝑗𝑘. engchi. ,. v. 𝑖 = 1, … , 𝐼, 𝑗 = 1, … , 𝐽, 𝑘 = 1, … , 𝐾. 即𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 。 同理可得，𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 。 因此，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 。＃. 在定理 3.4 的證明中已經使用符號𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 表示(𝑋, 𝑌)|𝑍的條件分配，在不會 混淆的情況下，為了方便起見，(𝑋, 𝑌)|𝑍近似條件分配仍用𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 表示，即𝑃(𝑋,𝑌)|𝑍 可以代表近似的條件分配或者真正的條件分配，同理𝑃(𝑌,𝑍)|𝑋、𝑃(𝑋,𝑍)|𝑌、𝑃𝑋|(𝑌,𝑍)、 𝑃𝑌|(𝑋,𝑍)、𝑃𝑍|(𝑋,𝑌)及𝑃。 25.
(37) 值得我們注意的是，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 與 Chen（2010）文章中檢驗 條件分配是否相容的充要條件一致。在檢驗條件分配相容時，驗證𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 是否成立之方法，我們稱為 Chen 檢驗法。又從本章的探討過程 中，我們可以發現，不管條件分配𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 是否相容，在選擇一個 參考點後，利用式子(4.1.10)就可得到(𝑋, 𝑌, 𝑍)的聯合分配或近似聯合分配。當相 容性成立時，式子(4.1.10)可簡化成真正的聯合分配(4.1.12)；當相容性不成立時， 式子(4.1.10)則為近似聯合分配。. 政 治 大 如利用聯合分配或近似聯合分配，可得到任兩個變數之聯合分配或近似聯合分配、 立 聯合分配或近似聯合分配比起條件分配來說，可以做更多進一步的分析，例. 任何一個變數之邊際分配或近似邊際分配以及任兩個隨機變數之間的相關係數. ‧ 國. 學. 或近似相關係數等。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 26. i n U. v.
(38) 4.2 模擬與實例探討. 我 們根據 Chen 檢驗三維 條件分配是否相容的充要條件 ，即𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 = 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 = 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 ，利用電腦軟體 matlab（8.3）設計出程式檔 etatest3.m 來處理 三維條件分配相容性的問題。也利用近似聯合分配之公式(4.1.10)，設計出程式 檔 geoajt.m 來計算近似條件分配。etatest3.m 與 geoajt.m 程式碼操作方式分別如 附錄 1 與附錄 2。. 政 治 大 一個實際的例子來說明 etatest3.m 立 及 geoajt.m 執行之情形與結果。. 在本節中，我們用兩個模擬的例子（一個是相容的、另一個是不相容的）與. ‧ 國. 學. 【例三】（沿續例一）. ‧. 選擇參考點為(1, 1, 1)時，執行 etatest3.m，在不同𝑍值下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. al. er. io. sit. y. Nat. 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值如表 4.1 所呈現：. v. n. 表 4.1：例三中𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝑍=1. 𝑍=2. 1 1 1 1 4 3 1 [ 2 1 1 4 1 1 4 4 1 1 [ 4. 1 1 1 1 4 1 2] 1 1 4 1 1 4 4 3 1 2 4]. Ch. e n g𝛨(𝐴,𝐶),𝐵 chi 1 1 1 1 4 3 1 [ 2 1 1 4 1 1 4 4 1 1 [ 4. 27. i n U. 1 1 1 1 4 1 2] 1 1 4 1 1 4 4 3 1 2 4]. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 1 1 1 1 4 3 1 [ 2 1 1 4 1 1 4 4 1 1 [ 4. 1 1 1 1 4 1 2] 1 1 4 1 1 4 4 3 1 2 4].
(39) 表 4.1：例三中𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值（續） 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝑍=3. 𝑍=4. 1 1. 1. 1 1 2 4 1 2 [ 2. 1 2. 1 1. 1. 2. 1 𝑍=5. 1 1 3 1 3 2 3. 1 2 1 2 1 2] 1 2 1 4 1] 1 3 1 12 1 3]. 立. 1 1. 1. 1 1 2 4 1 2 [ 2. 1 2. 1 1. 1. 3 4 [1 1 1 1 3 1 1 6 6 2 1 [3 2 2. 2. 1 1 1 3 1 3 2 3. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 1 2 1 2 1 2] 1 2 1 4 1] 1 3 1 12 1 3]. 1 1. 1. 1 1 2 4 1 2 [ 2. 1 2. 1 1. 1. 3 4 [1 1 1 1 3 1 1 6 6 2 1 [3 2 2. 政 治 大. 學. 1 6 2 [3. 1. ‧. ‧ 國. [1. 3 4 1 1 3 1 6 1 2. 2. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. 2. 1 1 1 3 1 3 2 3. 1 2 1 2 1 2] 1 2 1 4 1] 1 3 1 12 1 3]. 因為𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 三者皆相同，則給定的條件分配為相容。接著，執. Nat. er. io. sit. y. 行 geoajt.m，在不同𝑍值下，各層的聯合機率矩陣如表 4.2 所呈現：. n. a表l 4.2：例三的聯合機率矩陣 i v n Ch U e n g c𝑃h i. 𝑍=1. 𝑍=2. 1 100 1 50 1 [100 1 50 1 100 1 [ 50. 1 50 1 100 3 100 1 100 1 50 1 100. 28. 1 100 1 50 1 100 1 100 1 100 3 100. 1 50 1 100 1 25 ] 1 50 1 50 1 100].
(40) 表 4.2：例三的聯合機率矩陣（續） 𝑃. 𝑍=3. 𝑍=4. 立. 1 50 1 100 1 100 1 50 3 100 1 50 1 50 1 50 3 100. 1 100 1 100 1 50 1 100 1 50 1 100 1 100 1 50 1 50. 1 100 1 50 1 100] 1 100 1 100 1 50 ] 1 50 1 100 1 50 ]. 政 治 大. 學 ‧. ‧ 國. 𝑍=5. 1 100 1 100 1 [ 50 1 100 1 25 1 [100 3 100 1 100 1 [ 50. sit. y. Nat. 【例四】三維不相容條件機率矩陣之實例. io. n. al. er. 考慮模擬出大小為3 × 4 × 5的條件機率矩陣如表 4.3 所呈現：. i n U. v. 表 4.3：例四中大小為3 × 4 × 5的條件機率矩陣 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). 𝑍=1. 𝑍=2. 1 4 1 2 1 [4 1 4 1 2 1 [4. 1 3 1 6 1 2 2 5 1 5 1 5. 2 7 1 7 4 7 1 3 1 6 1 2. Ch. e n g𝐵 c h i. 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌). 𝑌|(𝑋,𝑍). 1 4 1 2 1 4] 1 4 1 2 1 4]. 1 6 1 3 1 [4 1 3 1 6 2 [7. 29. 1 3 1 6 1 4 1 6 1 3 1 7. 1 6 1 3 1 4 1 3 1 6 3 7. 1 3 1 6 1 4] 1 6 1 3 1 7]. 1 3 2 7 1 [8 1 6 1 7 1 [4. 1 6 1 7 1 6 1 6 2 7 1 6. 1 6 1 4 1 4 1 3 1 8 1 6. 1 4 1 7 1 6] 1 8 2 7 1 6].
(41) 表 4.3：例四中大小為3 × 4 × 5的條件機率矩陣（續） 𝐴𝑋|(𝑌,𝑍). 𝑍=3. 𝑍=4. 1 4 1 4 1 2 2 7 3 7 2 7 2 7 2 7 3 7. 1 4 1 2 1 4] 1 4 1 2 1 4] 1 5 2 5 2 5]. 立. 1 5 1 5 1 [3 1 6 1 3 1 [4 1 5 1 6 1 [4. 2 5 1 5 1 6 1 3 1 6 1 4 1 5 1 3 1 4. 1 5 1 5 1 3 1 6 1 3 1 4 2 5 1 3 1 4. 𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 1 5 2 5 1 6] 1 3 1 6 1 4] 1 5 1 6 1 4]. 1 6 1 7 1 [4 1 6 2 7 1 [8 1 6 1 7 1 [4. 政 治 大. 1 4 1 7 1 6 1 6 1 7 1 4 1 4 2 7 1 4. 學. 2 7 1 7 4 7 1 6 2 3 1 6 1 2 1 6 1 3. 1 6 1 8 1 6 1 6 1 4 1 6 1 6 1 4 1 4. 1 8 2 7 1 6] 1 4 1 7 1 3] 1 4 1 7 1 6]. ‧. ‧ 國. 𝑍=5. 1 4 1 4 1 [2 1 4 1 4 1 [2 2 5 1 5 2 [5. 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍). sit. y. Nat. 選擇參考點為(1, 1, 1)時，執行 etatest3.m，在不同𝑍值下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. io. n. al. er. 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值如表 4.4 所呈現：. Ch. 表 4.4：例四中參考點(1, 1, 1)時𝛨 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝑍=1. 𝑍=2. 1 1 1 1 4 3 1 [ 2. 1 1 1 1 4. 1 2 1 [1 2 1 2. 4 1. 2 1]. 1 1] 6 1. (𝐵,𝐶),𝐴. e n g c、𝛨 hi. i v (𝐴,𝐵),𝐶 n U 及𝛨 各層矩陣值. (𝐴,𝐶),𝐵. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. 1 1 1 1 4 1 1 [ 2 1 1 4 1 1 4 4 1 [1 4. 30. 1 1 1 1 4 1 1 2] 1 1 4 1 1 4 4 3 1 2 4]. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 1 1 1 1 4 1 1 [ 2. 1 1 1 1 4 1 1 2]. 1 2 1 1 [ 4 1. 4 1 1 1 ] 4 1 3.
(42) 表 4.4：例四中參考點(1, 1, 1)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值（續） 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. 4 1. 1 1 4 [ 1 1 4 1. 1 1 4] 1 1 6 1. 𝑍=4. 1 2 1 [ 4 2 2 2. 2 2 3 2] 2 2 2. 1 1 1 [2 2 2 1. 1 1 1 ] 2 2 2 1. 2 2. 𝑍=5. 1 1 [ 4 1. 3 1 4 6. 2 1 1 1]. 3 1 2 2. 1 2] 3 4. 立. 1. 1 2. 1 3 1 1 2 [4 1 1 2 1 2 2 3 [2 2 1 3. 1 2 1 2 2 4 2] 2. 政 1 1治 大 [4 2. 1 1 1 [4 2. 2 1 1 1 4 1] 3 2 2 1 2 2 4 2] 3 2 2 1 2 2 2 1]. 學. ‧ 國. 𝑍=3. 1 1 [ 2 2. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶. 因為𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 三者不相等，則給定的條件分配為不相容。接著，. ‧. 執行 geoajt.m，在不同𝑍值下，各層的近似聯合分配如表 4.5 所呈現：. sit. y. Nat. io. al. er. 表 4.5：例四中參考點(1, 1, 1)時之近似聯合分配. n. 𝑃. i n C 0.014674 h0.029349 0.014674 i U e n g c h0.014674 [0.029349 0.014685. v. 0.014685. 0.025417. 0.020753. 0.029349 0.029349] 0.020753. 𝑍=2. 0.007337 [0.014674 0.014674. 0.010376 0.016484 0.012462. 0.014674 0.009245 0.018856. 0.007337 0.029349] 0.010377. 𝑍=3. 0.007337 [0.010377 0.020753. 0.025417 0.012462 0.023756. 0.010377 0.009245 0.018130. 0.010377 0.029349] 0.013074. 𝑍=4. 0.007337 [0.014674 0.014674. 0.020753 0.020753 0.022644. 0.010376 0.014977 0.012820. 0.020753 0.020753] 0.023295. 𝑍=1. 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。 31.
(43) 表 4.5：例四中參考點(1, 1, 1)時之近似聯合分配（續） 𝑃 0.007337 [0.007337 0.014674. 𝑍=5. 0.017986 0.013726 0.018856. 0.014674 0.014674 0.018856. 0.014674 0.018502] 0.020753. 註：機率矩陣數值結果結果為四捨五入到小數點第六位。. 我們再選擇另外的參考點(1, 1, 2)，執行 etatest3.m，在不同𝑍值下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值如表 4.6 所呈現：. 政 治 大 、𝛨 及𝛨 表 4.6：例四中參考點(1, 1, 2)時𝛨 立 (𝐵,𝐶),𝐴. 1 𝑍=3. 1 2 [1 1. 𝑍=4. 1 2 [2. al. 4 1 1 2. 1 1 1 4. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶. 1 2 1 1 1 1 [4 2. 4 1 1] 2. 1. Ch. 1 1 1 4 [ 1 1. 1 1 1 4 ] 3 1 2. engchi. i n U. 1 4 [1 2 1 1. 1 2 1 4] 1 1. 1 4 2 2 [1 1 2. 1 4 2 2 ] 1 1 2. 32. sit. y. n. [1. io. 𝑍=2. 1. Nat. [1 1. 1 1 [1 4. er. 1. 1 1 1 2 4 1 1 1 8 16 3 1 1] 4 2 1 1 1 1 1 1 4 4 3 1 1] 2 3 1 1 2 2 3 1 1 8 4 3 1 1] 2 1 1 2 2 3 2 2 8 1 1 2] 2. 各層矩陣值. ‧. 𝑍=1. ‧ 國. 1. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. (𝐴,𝐵),𝐶. 學. 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. (𝐴,𝐶),𝐵. v. 1 4 1 9 8. 1 1 1 2]. 1 1 1 4 [ 1 1. 1 1 1 4 ] 3 1 2. 3 2 1 2. 1 1 2 1 4 3 1] 2. 1. [1 1. 1 1 2 2 1 3 [2 2. 1 2 2 2 2 3 2] 2.
(44) 表 4.6：例四中參考點(1, 1, 2)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值（續） 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 3 2 1 1 4 4. 1 2 2 1 2 4 3 4] 4. 1 𝑍=5. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. [1 1. 1 2 [1 4 1 2. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 3 2 1 4 3 [1 2 1. 2 2 2 2] 1 2. 1 2 2 2 2 5 1] 4. 因為𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 三者不相等，則給定的條件分配為不相容。接著， 執行 geoajt.m，在不同𝑍值下，各層的近似聯合分配如表 4.7 所呈現：. 政 治 大. 立. 𝑃. 0.027556 0.027556] 0.013778. 0.006889 0.013778 0.006889. 0.013778 0.013778 0.020667. 0.006889 0.027556] 0.006889. 𝑍=3. 0.013778 [0.019484 0.019484. 0.016874 0.010424 0.013133. 0.009742 0.013778 0.019871. 𝑍=4. 0.013778 [0.027556 0.013778. 0.013778 0.017359 0.012518. 0.009742 0.022305 0.014051. 0.019484 0.019484] 0.015465. 𝑍=5. 0.013778 [0.013778 0.013778. 0.011932 0.011473 0.010424. 0.013778 0.021871 0.020667. 0.013778 0.017259] 0.013778. n. al. Ch. engchi. i n U. 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 33. y. sit. io. 0.013778 [0.027556 0.013778. er. 𝑍=2. ‧. 0.013778 0.021871 0.022747. Nat. 0.019485 0.012275 0.014051. 𝑍=1. 0.027556 [0.055111 0.013778. 學. ‧ 國. 表 4.7：例四中參考點(1, 1, 2)時之近似聯合分配. v 0.009742. 0.027556] 0.008679.
(45) 【例五】（沿續例二） 選擇參考點為(1, 1, 1)時，執行 etatest3.m，在不同𝑍值下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值如表 4.8 所呈現：. 表 4.8：例五中參考點(1, 1, 1)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶. 𝑍=1. 1.000000 [ 1.000000. 1.000000 ] 2.727273. 1.000000 [ 1.000000. 1.000000 ] 2.727273. 1.000000 [ 1.000000. 1.000000 ] 2.727273. 𝑍=2. 1.000000 [ 0.500000. 0.400682 ] 0.711940. 1.000000 [ 0.706143. 0.259740 ] 0.641948. 1.000000 [ 0.706143. 0.400682 ] 0.674242. 政 治 大. 註：勝算比數值為小數點後第六位四捨五入之結果。. 立. ‧ 國. 學. 因為𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 三者不相等，則給定的條件分配為不相容。接著， 執行 geoajt.m，在不同𝑍值下，咖啡量、吸菸量及是否有心血管疾病的近似聯合. ‧. 分配如表 4.9 所呈現：. io. sit. y. Nat. n. al. er. 表 4.9：例五中參考點(1, 1, 1)時之近似聯合分配. Ch. 𝑃. i n U. i e n g c h0.008117. v. 𝑍=1. [. 0.011069 0.011069. 0.018448. 𝑍=2. [. 0.420257 0.249716. 0.099423 ] 0.181902. ]. 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 我們再選擇另外的參考點(1, 1, 2)，執行 etatest3.m，在不同𝑍值下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值如表 4.10 所呈現：. 34.
(46) 表 4.10：例五中參考點(1, 1, 2)時𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 各層矩陣值 𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴. 𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵. 𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶. 𝑍=1. [. 1.000000 2.000000. 2.495743 1.000000 ] [ 11.344286 1.416144. 3.850000 1.000000 ] [ 12.391262 1.416144. 2.495743 ] 11.797754. 𝑍=2. 1.000000 [ 1.000000. 1.000000 ] 3.500000. 1.000000 ] 3.500000. 1.000000 ] 3.500000. 1.000000 [ 1.000000. 1.000000 [ 1.000000. 註：勝算比數值結果為四捨五入到小數點第六位。. 因為𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 三者不相等，則給定的條件分配為不相容。接著， 執行 geoajt.m，在不同𝑍值下，咖啡量、吸菸量及是否有心血管疾病的近似聯合 分配如表 4.11 所呈現：. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 表 4.11：例五中參考點為(1, 1, 2)時之近似聯合分配. 0.471328 0.235664. 0.089777 ] 0.157109. i n U. 註：機率矩陣數值結果為四捨五入到小數點第六位。. Ch. engchi. y. [. sit. 0.007330 ] 0.015933. er. 0.012414 0.010446. n. al. [. ‧. io. 𝑍=2. Nat. 𝑍=1. 𝑃. v. 值得我們注意的是，在例五之表 4.8 與表 4.10 中，由於𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) 與𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 相 容，故當參考點為(1, 1, 1)時，在𝑍 = 1下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 會相等；同 理，當參考點為(1, 1, 2)時，在𝑍 = 2下，𝛨 (𝐵,𝐶),𝐴 、𝛨 (𝐴,𝐶),𝐵 及𝛨 (𝐴,𝐵),𝐶 會相等。. 從表 4.9 與表 4.11 可知，咖啡量、吸菸量及是否有心血管疾病三者間關係之 大概機率分布的情況。由於不同參考點所產生的近似聯合分配並不一定相同，我 們將在下一章中，提出如何尋找較好近似聯合分配之方法。. 35.
(47) 5. 最佳參考點之求法. 在條件機率矩陣不相容下，我們希望找出最佳的近似聯合分配，但近似聯合 分配的獲得又跟參考點有關，有沒有方式能有效地找出最佳的參考點呢？在本章 中，我們將提出一個選取最佳參考點的有效方法，此方法稱為最少點法（minimum-points method）。我們也利用實際的例子來說明如何求得最佳參考點，同時 比較最少點法與窮舉法之間效率的差異。. 5.1 最少點法. 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. 透過參考點可以找到近似的聯合分配，由前面例四與例五中可知參考點不一 樣，找到的近似聯合分配並不一定相同，故以選哪個參考點為最佳呢？在二維中，. ‧. 郭俊佑（2013）利用幾何平均法修正勝算比矩陣時，發現尋找最佳參考點的有效. y. Nat. n. al. Ch. engchi. er. io. 較近似聯合分配優劣之標準，考慮誤差的定義如下：. sit. 方法。在三維中，我們延伸郭俊佑的構想，提出以下之最少點法。首先，訂出比. i n U. v. 【定義 5.1】假定𝑃 = (𝑝𝑖𝑗𝑘 )是由條件機率矩陣𝐴𝑋|(𝑌,𝑍) , 𝐵𝑌|(𝑋,𝑍) 及𝐶𝑍|(𝑋,𝑌) 與參考點 (𝑖0 , 𝑗0 , 𝑘0 )所推導出來的近似聯合分配，則𝑃的第一條件機率誤差（簡稱第一誤差） 為： 𝐼. 𝐽. 𝐾. 2. 𝑝𝑖𝑗𝑘 𝑒1 (𝑖0 , 𝑗0 , 𝑘0 ) = ∑ ∑ ∑ (𝑎𝑖𝑗𝑘 − ) , 𝑝+𝑗𝑘 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. 第二條件機率誤差（簡稱第二誤差）為： 𝐼. 𝐽. 𝐾. 𝑒2 (𝑖0 , 𝑗0 , 𝑘0 ) = ∑ ∑ ∑ (𝑏𝑖𝑗𝑘 − 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1. 36. 𝑝𝑖𝑗𝑘 2 ) , 𝑝𝑖+𝑘.
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