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# 和算知識中的術、法、表之意義與特色

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doi: 10.6278/tjme.201904_6(1).002

## 和算知識中的術、法、表之意義與特色

(2)

Corresponding author：Jyun-Wei Huang，e-mail：austin11119@gmail.com Received：27 December 2018;

Accepted：21 March 2019.

Huang, J. W. (2019).

The meanings and characteristics of mathematic knowledge in Wasan－Jutsu, hō and Hyō.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 6(1), 53-77.

doi: 10.6278/tjme.201904_6(1).002

## The meanings and characteristics of mathematic knowledge in Wasan - Jutsu, hō and Hyō

Jyun‐Wei Huang  Taipei Municipal Heping High School

The problems that practitioners consider crucial and worth researching as well as the appropriate solutions they seek are vary by community. As a result, the types of knowledge produced by communities also differ. This paper aims to explain three types of knowledge, namely jutsu (術), hō (法), and Hyō (表), in the context of Wasan by identifying and discussing their meanings and functions and comparing them. Jutsu is considered a procedural and mechanical algorithm and can also be seen as a procedure by which operations and computations are applied to the values in mathematics problems step by step to result in an answer. Jutsu is an instrument for obtaining numerical solutions and the types of solution preferred by Wasan mathematicians. Sometimes, Jutsu connotes a formula or theorem and reveals an abstract relationship between values or magnitudes. Hō is a procedural mathematical operation or method through which Wasan mathematicians can calculate values, and it is often a subprogram or a subprocedure of the primary algorithm in the procedure of Jutsu. Hyō records and condenses mathematical knowledge and reveals the structures of and relationships between mathematical concepts and mathematical objects, and it is treated as an instrument for problem solving and is used in the processes of exploring and justifying knowledge. When Wasan mathematicians propose mathematics problems, two aspects of knowledge activities related to mathematics research and practice are considered: They construct Jutsu using the hō or the hyō or mathematical knowledge relevant to problems, and they operate and calculate step by step on paper or another surface used for calculating to obtain the numerical solutions according to the steps of Jutsu through the use of calculators.

Keywords: HPM, Wasan, epistemological culture, history of mathematics

(3)

### 壹、緒論

（practitioners）認為重要而值得探討的問題，以及他們所尋求適當答案的種類，往往因社群而 異。由這些社群所生產出來的知識種類，也展現出差異。歷史學家在研究這些社群時，倘若不 探討在社群內所發展出來的「知識的需求」（epistemic needs），便無法掌握重要特徵，來描述這 些社群如何選擇其問題並闡述他們所要的答案。根據她的看法，我們必須同時考慮「某個特定 的科學家群體所秉持的規範和習俗，在這些規範和習俗的基礎上，科學家賦予字詞－如『理論』、

『知識』、『解釋』與『理解』甚至『實作』這個概念本身－意義」。

「問題－答案－術文」的呈現方式，是傳統中算的文本（如《九章算術》）的典型體例。換 個角度來看，當時的數學家從事的數學知識活動，主要包含了問題的提出、求得（數值）答案、

立法則、究術理、計員數為事。」換言之，他將數學知識活動分成三類，並在書中各提出四個問 題作說明與討論。其中，「法則」是程序性的計算程序或方法（包含乘除法、約分之法、招差之 法等）；「術理」一般可視為機械性的演算法或公式；而「員數」與求圓周長、弧長、體積、開平 方等數學問題的數值解有關。若再考究和算文本，在和算家提出數學問題後，通常會以「數（量）」 與「術」作為主要的答案類型，而法則雖是數學研究的對象，但一般被用於解題的過程，並非問 題的答案主體。再者，由於「數」指的是數學家所關心的特定常數、所求的幾何量或者問題的數 值解，較易於一般人理解，因此，本研究中，將特別聚焦在「術」與「法」的部份。

1 本研究的主要內容，為江戶時期日本傳統數學，包含其知識社群的相關知識活動與知識發展。相較於 中算與東算（韓國數學），一般以和算稱呼江戶時期所發展的日本傳統數學，並以和算家指稱當時的日 本數學家。因此，本文中所討論的知識社群即和算家社群，知識從事者即和算家。

2 建部賢弘（Takebe Katahiro , 1664‐1739）是關流創立者關孝和的弟子，他的《綴術算經》也被譽為最傑 出的和算著作之一，一方面是他晚年的集大成著作，同時也在書中闡述了數學認識論與方法論方面的觀 點。這本書完成後，亦被建部賢弘獻給當時的掌權者德川吉宗將軍，可見此書的重要性與意義。

(4)

### 貳、「術」的意義與特色

3 小出兼政（Koide Kanemasa, 1797~1865）的《圓理算經》主要收集了幕末最重要和算家和田寧（Wada Yasushi, 1787~1840）的數學研究成果，由於 1836 年發生於三田台町的一場大火，使得和田寧的重要研究 成果付之一炬。因此，和田寧的研究成果，主要透過他的學生們記錄、整理而流傳。《圓理算經》便是 小出兼政據和田寧遺稿彙編而成。

(5)

（magnitudes）和值（values）－進行運算，以得出所求的量和它們的數值。林力娜也指出「術」

「術」並不只限於指示計算步驟而已，這些演算法以一組運算步驟的形式呈現。一方面，它們陳 述了一種轉化的關係（a relation of transformation），並由此得出一個量（magnitude）。另一方面，

2 ，可視為梯形面積公式。

3 。又如關孝和（2008a）《括要算法》所提到的圭垛 術：「置底子，加一個，以底子相乘，得數以二約之，得積合問。」此術可看成利用底子數，計 算出圭垛總數的演算法，也可視為垛積公式：

1

( 1) 2

n

k

n n

k

 

### 

4

（量），如此，最終得所求的數（量）。因此，「術」可視為連結了給定條件與所求數（量）的一 種轉化關係。

4 垛積術本質上即級數公式，其中若將 1+2+3+4+…+n 個物依序排列形如三角，故以圭垛術稱之。

2 2

(6)

「平方開之」四個程序性步驟的演算法（如圖 1 所整理），依此演算法，可將題設條件中「子」

### → 子 → 子．丑 → 4 子．丑 → （＝平）

「術」除了呈現出一種動態（dynamic）的轉換關係，以及程序且機械性的操作過程外，它 更揭櫫了一種「數學實作」的過程。換言之，它暗示了和算家如何從事數學知識活動：給定了

「子」所代表的數值後，利用術中「列子」、「乘丑」、「四之」、「平方開之」等四個動作，依次在 紙上或計算板上進行操作與運算，可逐步將「子」轉換成所求數值「平」。同時，「術」的內容亦 可視為已知量與所求量之間的一種關係式，即「

### 平  4 子 丑 

」。

5 本問題與菱形之內切圓有關。《不朽算法》是 18 世紀末期和算家安島直圓（Ajima Naonobu, 1732 - 1789）

### 4子丑

(7)

《不朽算法》第二十問之術文與演算法

→ 長徑2短徑2 得商以減短徑

→短徑– 長徑2短徑2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

(8)

→ 原數． （＝一差）

→ 一差． （＝二差）

→ 二差． （＝三差）

→ 三差． （＝四差）

→ 四差． （＝五差）

→ ……

### L 

2 (1 1 3 15 105 945 ...)

2 3 5 8 7 48 9 384 11 3840

R      

    

「術」，通常是一種概括性的演算法，揭示變量之間的抽象性關係。再者，「術」也可視為將題設 條件逐步轉化獲得問題答案的作業流程，當問題的條件為既知的數值時，只需將這些數值，依

「術」所揭示的作業流程，實際在紙或計算表面上逐步作操作、計算，最終可得出所求的值。

2 3 32

4 5 52

6 7 72

8 9 92

10 11

(9)

### 參、「法」的意義與特色 一、法的意義與特色

─包含常見的因乘法、歸除法、約分法、招差法、開方法等─通常並非和算家求解問題的最終答 案或目標，而是作為求解問題所依賴的「方法」或「工具」，是一種程序性的「數學運算」、「數 學方法」或「數學操作」。接著筆者同樣以建部賢弘（2008）所著的《綴術算經》為例，介紹和 算家常用的基本「法則」。首先，此書前四個問題的標題分別為探乘除法則、探立元之法、探約 分之法與探招差法，其中的第一問包含了兩個與乘除法有關的問題，這兩個問題的術（演算法）

「置」為物理上的動作，而第二個動作「乘」則為一種數學操作上的動作，亦即執行「乘」這個 數學運算（「乘」這運算本身又包含了若干個子操作），而「因乘之法」指的便是「乘」這個數學 運算中所附屬的整個過程。儘管本問題中所求的是「數」（量），但和算家仍傾向於提出具概括 性的「術」，而「法」則是作為執行或操作演算法（術）的其中一環，在實際求解的過程，透過

「乘（除）法」這個程序，對已知數或量進行「數學操作」，計算求得數值解。多數和算文本中 的「術」，皆涉及了某些數或量的乘除，而此二法便作為解決數學問題或執行演算法過程的基本 法則。

(10)

### 二、法與術

「法」可視為一種程序性的方法、運算或數學操作，而「術」通常被視為包含一系列機械性 程序的演算法，且隱含某些關係或公式。乍看之下，兩者似乎雷同，然「關係性」、「機械性」以 及「通用性」是兩者主要差異。接著，筆者從「法」與「術」的比較切入，說明兩者的差異，有 助於釐清「法則」的意義。

(11)

→「又底面乘之」→「六而一」共六個的運算程式，便能計算出所求之積。

### 肆、「表」的意義與特色 一、表的特色、功能與本質

6 《精要算法》是 18 世紀中期的重要和算著作，藤田貞資（Fujita Sadasuke, 1734~1807）出版本書，作為 和算教科書之用，促進了和算的普及化。

(12)

2 3 4 5 6 7

1 1 ...

1 x x x x x x x x         

2 3 4 5 6 7

4

x x x x x x x

x

### 

《圓理算經》之陽除表

7 「應率八態表」與「應率八象表」分別包含八個表，且各自記錄八類二項展開式的各項係數。八態表中 記錄的是含(1 x)k項的展開式係數，而八象表則記錄了含( 1 x)k 項的展開式係數，其中 k 為整數。

8 原表為直式，由右往左書寫，這裡筆者改成橫式由左而右，並以現代的符號表示該表中的籌式。表中 的率即 x，和算家並未討論這些無窮級數收斂的條件。

(1x)n (1x)1 (1x)7

(1x)n (1x)1

(1x)4

(13)

### (1 )  x

n展開式的係數，以及不同展開式係數 之間的關係。表中第 n 行第 k–1 列所列出的數字，恰為

### (1 )  x

n展開式中x 項的係數，亦即呈k 現出數對( , )n k 與對應係數之間的數值關係。傳統上，和算家若要表示出表 3 所給的

1

2、…、

### (1  x )

7展開式時，總共需要七個不同的文字術文，然而，以圖2 為例，透過表 的使用濃縮、簡化了原本冗長的文字術文，表中各行表示不同的 n 所對應到的

### (1 )  x

n展開式 係數，再以每行的不同「位置」來表示不同的「項」，並於表中紀錄下各項係數。

### (1 )  x

n的展開式作進一步的推廣。換言之，列表的方式，

9 和算傳承自傳統中算，江戶早期的數學文本中，主要記載了各類數學問題以及問題的解法、術和數值 解。而江戶數學家用以發表數學研究成果的「算額」上，也是如此。但十九世紀的和算文本中，則包含 了與「單一數學問題」無關的「表」、數學關係式幾何關係式等，甚至以「表」的類型對數學問題作分類。

Li Ai

Vi

(14)

### 二、表與術的比較

「術」通常以文字敘述的方式呈現，列出依序執行的操作或數學運算，以及被操作的數或 量。「表」通常是格子狀的矩形陣列，格子中所包含的主要數學物件為數字與籌式符號，有時也 包含了文字說明。「術」通常可視為一種程序性且機械性的演算法，通常具有概括性與抽象性，

Li Ai Vi

(15)

「寄左」等與動作有關的詞，或者「加」、「減」、「乘」、「除」、「自之」、「開方」等與實際計算或 執行計算法則相關的動詞，再再反應出「術」所呈現出的動態操作特色。

### y  10

n10k一式中，y 與 n、k 等變量之間的關係。另外，松永良弼（2009a）《方圓雜算》書中列出許多表，10則以抽象化的數 學式，表示出一系列與圓相關的圖形中，所蘊含的相似直角三角形勾、股、弦長之間的關係。

A =

2 3 4 5

22

### T  d

《圓理算經》下卷所列「開方溟式出商表」的內容（如圖3 所示），便是將「無窮」多項方程式 的根，表示成各項係數的組合，藉此表可表示出「無窮多項方程式」的根，而該表的內容事實上 也可看出「無窮多項方程式」的根與該方程式係數之間的關係。

10 松永良弼(Matsunaga Yoshisuke, ?-1744）是 18 世紀中期，關流重要集大成者，他繼承了建部賢弘在圓 理方面的重要研究成果，他的《方圓雜算》一書，主要探討了圓中弧、矢、弦等公式，也討論了圓周近 似值相關研究成果。

2 1 1 1 1 1

(1 )

3 5 7 9 11 D      …

(16)

0 = - r + x + 甲 +乙 +丙 +丁 +戊 +己 +庚 +…

2 2 3 3 4

( ) ( ) ( 5 )

x   r r   乙 甲 r   甲乙 5甲 r (6甲丙21甲 乙 14甲3 332)r5 又例如已知「原溟陽式」：

0 = - r + x +甲 +丙 +戊 +庚 +…

2 2 3 3 4 3 5

( ) ( ) ( ) (6 )

x   r r r  丙 5甲 r 甲丙 14甲 r

11 在書中，小出兼政將「無窮多項方程式」分成原溟元式、原溟陽式與原溟陰式三類，若以現代符號表

12 元式出商表中所記載的，是如何利用元式的係數表示此「方程式」的解，且此解表示成展開式的形式。

13 陽式出商表中所記載的，是如何利用陽式的係數表示此「方程式」的解，且此解表示成展開式的形式。

x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

x2 x4 x6 x8

2

0   r x a x2  ... a xn n... 0   r x a x2 2a x4 4...a x2n 2n...

3 5 2 1

3 5 2 1

0   r x a x a x ...anxn ...

(17)

0

( ) ( )1

n s t

n k

k

n n

 

0

( , )

n ( ) ( )s 1 t

n k

f s t k

n n

 

1

lim n ( )1

n 

k n =1 、

1

lim n ( )( )1

n k

k n n

 

= 12 2 1

lim n ( )( ) 1

n k

k n n

 

=13 3 1

lim n ( )( ) 1

n k

k n n

 

=14... 、 4

1

lim n ( )( ) 1

n k

k n n

 

### 

=15、……類似地，「疊率見飛表」的內容，則記錄了當 s 為整數且 t 為正整數時，

「術」常可視為一般化的公式與關係，例如各類面積公式、體積公式或勾股定理等，然多數場合 裡，「術」作為特定問題的演算法，即和算家針對特定數學問題時，所求得的相應的公式解，當 任意改變問題中的數據時，執行同樣的演算法仍可求得答案。而特定的「術」通常只能用於其 所相應的特定問題，不適用於其它的問題。換言之，絕大多數的「術」，都只是適用於特定問題 的機械性演算法，適用性通常較為特定且狹隘。

「術」來得容易推廣與擴張，例如與二項展開式有關的諸表，易從表中看出不同行或不同列數 字之間的關係與規律，一旦瞭解並掌握了表中各行各列數值之間的關係與規律之後，藉由這些 關係與規律，可將這些「表」推擴至任意的大小，並達到對原數學關係式的推廣，「術」則無此 特性。

2 0

n s

t

n k

k k

n n n



2 2

0

n s

t

n k

k k

n n n



2 0

n s

t

n k

k k

n n n



2 2

0

n s

t

n k

k k

n n n



##  

1

(1x)n

2

n

x

(1x)n (1x)n

(18)

「表」與「術」的相關比較

（連結給定條件與所求數或量）

### (1 )  x

k/2類展開式時，共包含了三種不同的表徵方 式。例如，十八世紀中期，《算法綴術草》一書中，討論開方問題時，所提出的「開平方術」（松 永良弼，2009b，p. 345）：

2

###  b )

1/2的展開式，一方面 可視為一種機械性、程序性的演算法，同時，亦可不斷地遞推，形成隱含了無窮多個步驟的「無 窮展開式」。然而，將展開式表示成文字術文的形式顯得相當冗長，並且不易發現不同步驟之間

(19)

(1x)1/2 (1x)1/n

(1x)1/n

(20)

1

2 3 4 5

2 1 1 1 3 1 1 5 3 1 1 7 5 3 1 1

(1 ) 1 ...

2 4 2 6 4 2 8 6 4 2 10 8 6 4 2

x x x x x x

                 

2 3 4 5

1 1 3 15 105

1 ...

2x 8x 48x 384x 3840x

      

3、4、5、…；二差除率則為 4、6、8、10、…。從這些係數不難看出各乘方與各差乘率與除率 之間的關係，因此，和算家可利用這些關係將表擴張，求得當 n 為其它正整數時的 展開 式。

1

2 3

2 1 1 3 15 105

(1 ) 1 ...

2 8 48 384 3840

x x x x x x

       

3/2

5/2、…、

### (1 )  x

13/2的展開式。換言之，針對同一個（類）

### 伍、數學教育與數學史連結的新進路與反思 一、認知理論與數學概念發展

(1x)1/n

(21)

－ 與操作性面向 － 作為動態的數學「程序」。

（1991）的理論後，得以從不同角度探討這些數學物件之發展脈絡，更清楚地描繪和算知識與 和算數學物件演化過程中所隱含的認知意義及其概念上的轉變。如同本研究所發現，和算文本 中二項展開式的發展、演化過程，呈現出從「術」過渡到「表」的三種表徵，展現出數學概念發 展過程的「程序－物件」二元性特色。14這些二項展開式的發展，從十八世紀中期，松永良弼《算 法綴術草》書中完全以文字呈現，具程序操作面向的「術」，到十八世紀末期，安島直圓《綴術 括法》書中半程序與半結構的「術＋表」，再到小出兼政的《圓理算經》中結構物件面向的「表」。 這呼應了Sfard（1991）的觀點，也說明為何大量的數學「表」會是和算發展晚期的產物，並成 為江戶晚期和算家們的重要研究成品，不再只局限於問題與「術」的研究。

### 二、計算工具與數學概念發展

14 又例如黃俊瑋（2015）的研究指出，和算分式符號與概念，同樣具有二元性特色，其發展過程亦是操 作性的程序面向先於結構性的物件面向，從具程序與操作特色的文字敘述與除法，過渡至數學物件「分 式」。

(22)

15

### 三、在地化的和算數學文化

15 這樣的歷史發展與反思，恰可連結到 108 數學課綱，強調藉由計算機等工具的引入與使用，來幫助學 生認識、理解無理數、對數、三角比等概念。這樣的轉變，除了改變數學教學樣貌，是否本質上地影響 學習者對於這些數學概念的理解方式與概念心像，將待進一步的研究。

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