2017IMAS國中組第二輪檢測中文試題詳解

全文

(1)

注意:

允許學生個人、非營利性的圖書館或公立學校合理使用

本基金會網站所提供之各項試題及其解答。可直接下載

而不須申請。

重版、系統地複製或大量重製這些資料的任何部分,必

須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許

可。

申請此項授權請電郵

ccmp@seed.net.tw

Notice:

Individual students, nonprofit libraries, or schools are

permitted to make fair use of the papers and its

solutions. Republication, systematic copying, or

multiple reproduction of any part of this material is

permitted only under license from the Chiuchang

Mathematics Foundation.

Requests for such permission should be made by

e-mailing Mr. Wen-Hsien SUN

ccmp@seed.net.tw

(2)

─────────────────────────────────────────────────

2017/2018 初中組第二輪檢測試題詳解

───────────────────────────────────────────────── 1. 有 2018 個算式: 1 (1000 1)− 、(1000−2)2、…、(1000−n)n、…、(1000−2018)2018。 請問在這些算式的值中總共有多少個值是負數? (A)509 (B)510 (C)1009 (D)1018 (E)1019 【參考解法】 因任意一個數的偶冪次恆非負數、正數的任意冪次恆為正數,故知(1000−n)n是 負數若且唯若底數1000−n是負數且指數 n 是奇數,即 n 為大於 1000 的奇數。 而1、2、…、2018 中大於1000的奇數共有2018 1000 509 2 − = 個。故選(A)。 答案:(A)

2. 在凸四邊形 ABCD 中,DAB與∠ABC的平分線交於點 E,BCD與∠CDA 的平分線交於點 F,如下圖所示。已知AEB = °80 ,請問∠DFC等於多少度? (A)80 (B)90 (C)100 (D)110 (E)無法確定 【參考解法1】 可知 180 ( ) 2 DAB ABC AEB ∠ + ∠ ∠ = ° − 、 180 ( ) 2 CDA BCD DFC ∠ + ∠ ∠ = ° − 。 兩式相加可得 360 ( ) 2

DAB ABC CDA BCD

AEB DFC ∠ + ∠ + ∠ + ∠ ∠ + ∠ = ° − 。 再由四邊形內角和為360° 可得∠AEB+ ∠DFC =360° −180° =180°, 故∠DFC =180° − ° =80 100°。故選(C)。 【參考解法 2】 可知 180 ( ) 2 DAB ABC AEB ∠ + ∠ ∠ = ° − ,故∠DAB+ ∠ABC= ×2 (180° − ° =80 ) 200°。 再由四邊形內角和為360° 可得∠CDA+ ∠BCD=360° −200° =160°,所以 160 180 100 2 DFC ° ∠ = ° − = °。故選(C)。 答案:(C) A D E C B F

(3)

3. 已知 m、n 是 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的數且 m、n 的值可能相等。 請問10(m+ −n) mn的值不可能等於下面哪一個選項內的數? (A)19 (B)55 (C)72 (D)79 (E)83 【參考解法】 可知10(m+ −n) mn=100−(10−m)(10−n),且因9 10≥ − ≥m 1、9 10≥ − ≥n 1,故 10(m+ −n) mn的值恆小於 100,且它與 100 的差恰等於 (10-m)(10-n),即此 差可以表為兩個一位數之乘積。由於100 19− =81 9 9= × 、100 55− =45= ×9 5、 100−72=28= ×4 7、100 79− =21 3 7= × ,而100 83 17− = 無法表示成兩個一位數 之乘積。故選(E)。 答案:(E) 4. 若a、b為實數,請問下列哪一個選項內的值一定是非負實數? (A)a2 + + +b2 a b (B)a2018+b2017 (C)a b4 4+a b2 2 −1 (D)a b3 3−2a b2 2 +ab (E)a b2 2 +2ab+1 【參考解法】 當a=0、 1 2 b= − 時,選項(A)的值為 1 4 − ;當a=0、b= −1時,選項(B)的 值為−1;當a=0、b=0時,選項(C)的值為−1;當a=1、b= −1時,選項(D) 的值為−4;故選項(A)、(B)、(C)、(D)均不合。而a b2 2 +2ab+ =1 (ab+1)2 ≥0, 故選(E)。 答案:(E) 5. 已知有 n 個整數,它們的和與它們的算術平均數之乘積是 2018。請問下列 哪一個選項內的敘述正確? (A)n 的最小值是1 (B)n 的最小值是2 (C)n 的最小值是1009 (D)n 的最小值是2018 (E)不存在這樣的 n 【參考解法】 設這 n 個整數的和為 S,則S S 2018 n × = ,即 2 2018 S = n。因2018= ×2 1009且 2 與 1009 都是質數,故知 2018 整除 S,即可推得S2可被20182整除,所以 2018 整除 n,即n≥2018。另一方面,取S = =n 2018時, 2 2018 2018 2018 S = × = n, 符合題意。故選(D)。 答案:(D) 6. 將圓內的一個內接正三角形分別以順時針、逆時針各旋轉40°,如下圖所示。 請問圖中總共有多少個在不同位置的三角形?

(4)

【參考解法】 觀察可知 (i) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個: (ii) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個: (iii) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個: (iv) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 3 個: 因此圖中總共有9+ + + =9 9 3 30個不在相同位置的三角形。 答案:30 個

7. 已知 abcd 是一個四位數,且數碼 a、d 都不是0。若 abcd 與 dcba 之和的末兩

(5)

【參考解法 1】

若數碼 a、b、c 都是 9,則 dcba 的末兩位數為 99,此時 abcd 與 dcba 之和的末兩 位數為99 90+ + =d 189+d的末兩位數。因1≤ ≤d 9,故189+d 的十位數碼為9, 故不合;

若數碼a、b 都是9,則 dcba 的末兩位數為99,因此 abcd 的末兩位數為59,即

9959 abcd = ,因d = ≠9 0,故滿足題目的條件。若ab 不都是9,則abcd≤9899。 因此 abcd 的最大值是9959。 【參考解法2】 若數碼a、b 不同時為9,則abcd ≤9899;若a= =b 9,則可判斷出a+ =d 18、 1 15 b+ + =c ,即d =9、c=5,因此abcd =9959。故 abcd 的最大值是9959。 答案: 9959 8. 有 12 個大小相同的小正方形拼成一個矩形,其中 10 個為白色、2 個為黑色,如下圖所示。請問至少 要再加入多少個同樣大小且僅為白色的小正方形才 能使得所得到的圖形是中心對稱的圖案? 【參考解法】 由於只有2 個黑色小正方形,且不再加入黑色小 正方形,故所得圖形的對稱中心必為這兩個黑色 小正方形的對稱中心,從而可知在原圖的右方與 下方共加入6 個白色小正方形後,如右圖所示, 即可成為中心對稱的圖案。 答案: 6 個 9. 若一個三位數可以被6 整除,且將它的十位碼與個位碼交換後所得到的三位 數也可以被 6 整除,我們稱這樣的三位數為「幸運數」。請問總共有多少個 不同的「幸運數」? 【參考解法】 被6 整除等價於同時可被2 與3 整除,故知「幸運數」的末兩位數碼均為偶數, 且三個數碼之和可被3 整除。在「幸運數」的末兩位數碼中,每一位都可選擇0、 2、4、6、8共有 5種選法。而在非零數碼中,被3 除之後餘數為 1的數共有 1、 4、7 這三個數、被3 除之後餘數為 2 的數共有 2、5、8 這三個數、被 3 除之後 餘數為 0 的數共有 3、6、9 這三個數,因此當末兩位數碼選定並得知它們的數 碼和除以 3 的餘數後,選擇首位數碼時都有 3 種選法使得三個數碼之和可被 3 整除。故不同的「幸運數」總共有5 5 3 75× × = 個。 答案:75個 對稱 中心

(6)

10. 已知 x 是整數且 2017−99 x 也是整數,請問 x的值是什麼? 【參考解法】 由題目條件可以判斷出 x 必須是非負整數,且須使得 2017 99 x− 是完全平方 數。由 2017 99− x ≥0知 2017 21 99 x ≤ < ,即 x的可能值為0、1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20,此時對應的2017−99 x 之值依序為2017、1918、1819、1720、1621、1522、1423、1324、1225、1126、 1027、928、829、730、631、532、433、334、235、136、37,其中僅當 x =8 時2017 99− x =1225是完全平方數,故x = =82 64。 答案:64

11. 四邊形ABCDABCE都是等腰梯形,其中AB//CEBC//AD,如下圖所示。 已知AC =DE,請問∠ABC是多少度? 【參考解法】 連接 BE、BD。由等腰梯形對角線相等 知 BE =AC =BD,再由AC =DE知三角 形BDE是等邊三角形,故∠EBD= °60 。 又 2 180 60

EBD ABC ABE DBC

ABC BAC BCA

ABC ∠ = ∠ − ∠ − ∠ = ∠ − ∠ − ∠ = ∠ − ° = ° 故可解得∠ABC =120°。 答案:120° A C B E D A C B E D

(7)

12. 將 1 、 2 、 3 、…、 100 等一百個數分成若干組,使得每組內的所有數 之和都不超過 10。請問至少要分成多少組? 【參考解法】 由於 25+ 26 > + =5 5 10,故 25 、 26 、 27 、…、 100 這 76 個數兩兩不 能同組,因此至少需要 76 組。 另一方面,對任意n=1、2、3、…、24,將 25−n與 25+n分為一組,剩餘 每個數分為一組。由於 2 2 2 ( 25+ +n 25−n) =50+2 25 −n <100,故這樣的分 組滿足要求,恰有76個組。綜上所述,至少要分成 76組。 答案: 76 組 13. 有五個正整數排成一列,從第二個數起,每一個數都不小於前一個的兩倍。 已知這五個數之和是2018,請問最後一個數的最小可能值是多少? 【參考解法】 設最後一個數為 x,則前四個數依序至多分別為 16 x 、 8 x 、 4 x 、 2 x ,故 2018 16 8 4 2 x x x x x + + + + ≥ ,即 2018 16 104117 31 31 x≥ × = ,故x≥1042。 另一方面,將這五個數取為 65、130、260、521、1042 時滿足題目要求,故所 求為 1042。 答案: 1042 14. 已知 a、b、c、d 是正整數,使得b ac bd c 都是最簡分數,且 b c d a + +b c 的 值也是整數。請證明d≥ −a 1。 【參考解法】 由b ac b均為最簡分數知 b 與 a、c 均互質;由 c bd c 均為最簡分數知 c 與 b、d 均互質(5 分)。由於b c d a + +b c 是整數,故 2 (b c d) ac ac bc ad a + +b c = + + b 也是整數, 因此 2 ac b 是整數。由於 b 與 a、c 均互質,故b=1(5 分)。且可得知 1 d a + c 是整 數,由於兩個數都是最簡分數,故 a c= (5 分)。因此d 1 a + 是整數,即 1 d + 是 a 的倍數,故d+ ≥1 a,即d ≥ −a 1(5 分)。

(8)

15. 在等腰直角三角形 ABC 中, AB= AC,如下圖所示。平面上一點 D 滿足 2

BD= AD,請證明∠ADC+ ∠BDC = °45 。

【參考解法】

作等腰直角三角形 EBD,使得BED= °90 且 E、C 在 BD 的兩側,如下圖所示。

由 2

2

BD BE BE

BC = BA = BA及∠EBA= ° − ∠45 ABD= ∠DBC知△EBA~△DBC。(10分) 因此 BDC∠ = ∠BEA。又

2

BD

DE= =DA,故∠DEA= ∠DAE,因此

180 2 2(90 ) 2 2

EDA DEA DEA BEA BDC

∠ = ° − ∠ = ° − ∠ = ∠ = ∠ 。(5分) 故∠ADC + ∠BDC = ∠ADB+ ∠2 BDC = ∠ADB+ ∠EDA= °45 。(5 分)

A C B E D A C B D

數據

Updating...

參考文獻

Updating...