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2017/2018 初中組第二輪檢測試題詳解
───────────────────────────────────────────────── 1. 有 2018 個算式： 1 (1000 1)− 、(1000−2)2、…、(1000−n)n、…、(1000−2018)2018。 請問在這些算式的值中總共有多少個值是負數？ （A）509 （B）510 （C）1009 （D）1018 （E）1019 【參考解法】 因任意一個數的偶冪次恆非負數、正數的任意冪次恆為正數，故知(1000−n)n是 負數若且唯若底數1000−n是負數且指數 n 是奇數，即 n 為大於 1000 的奇數。 而1、2、…、2018 中大於1000的奇數共有2018 1000 509 2 − = 個。故選（A）。 答案：（A）2. 在凸四邊形 ABCD 中，∠DAB與∠ABC的平分線交於點 E，∠BCD與∠CDA 的平分線交於點 F，如下圖所示。已知∠AEB = °80 ，請問∠DFC等於多少度？ （A）80 （B）90 （C）100 （D）110 （E）無法確定 【參考解法1】 可知 180 ( ) 2 DAB ABC AEB ∠ + ∠ ∠ = ° − 、 180 ( ) 2 CDA BCD DFC ∠ + ∠ ∠ = ° − 。 兩式相加可得 360 ( ) 2
DAB ABC CDA BCD
AEB DFC ∠ + ∠ + ∠ + ∠ ∠ + ∠ = ° − 。 再由四邊形內角和為360° 可得∠AEB+ ∠DFC =360° −180° =180°， 故∠DFC =180° − ° =80 100°。故選（C）。 【參考解法 2】 可知 180 ( ) 2 DAB ABC AEB ∠ + ∠ ∠ = ° − ，故∠DAB+ ∠ABC= ×2 (180° − ° =80 ) 200°。 再由四邊形內角和為360° 可得∠CDA+ ∠BCD=360° −200° =160°，所以 160 180 100 2 DFC ° ∠ = ° − = °。故選（C）。 答案：（C） A D E C B F
3. 已知 m、n 是 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中的數且 m、n 的值可能相等。 請問10(m+ −n) mn的值不可能等於下面哪一個選項內的數？ （A）19 （B）55 （C）72 （D）79 （E）83 【參考解法】 可知10(m+ −n) mn=100−(10−m)(10−n)，且因9 10≥ − ≥m 1、9 10≥ − ≥n 1，故 10(m+ −n) mn的值恆小於 100，且它與 100 的差恰等於 (10－m)(10－n)，即此 差可以表為兩個一位數之乘積。由於100 19− =81 9 9= × 、100 55− =45= ×9 5、 100−72=28= ×4 7、100 79− =21 3 7= × ，而100 83 17− = 無法表示成兩個一位數 之乘積。故選（E）。 答案：（E） 4. 若a、b為實數，請問下列哪一個選項內的值一定是非負實數？ （A）a2 + + +b2 a b （B）a2018+b2017 （C）a b4 4+a b2 2 −1 （D）a b3 3−2a b2 2 +ab （E）a b2 2 +2ab+1 【參考解法】 當a=0、 1 2 b= − 時，選項（A）的值為 1 4 − ；當a=0、b= −1時，選項（B）的 值為−1；當a=0、b=0時，選項（C）的值為−1；當a=1、b= −1時，選項（D） 的值為−4；故選項（A）、（B）、（C）、（D）均不合。而a b2 2 +2ab+ =1 (ab+1)2 ≥0， 故選（E）。 答案：（E） 5. 已知有 n 個整數，它們的和與它們的算術平均數之乘積是 2018。請問下列 哪一個選項內的敘述正確？ （A）n 的最小值是1 （B）n 的最小值是2 （C）n 的最小值是1009 （D）n 的最小值是2018 （E）不存在這樣的 n 【參考解法】 設這 n 個整數的和為 S，則S S 2018 n × = ，即 2 2018 S = n。因2018= ×2 1009且 2 與 1009 都是質數，故知 2018 整除 S，即可推得S2可被20182整除，所以 2018 整除 n，即n≥2018。另一方面，取S = =n 2018時， 2 2018 2018 2018 S = × = n， 符合題意。故選（D）。 答案：（D） 6. 將圓內的一個內接正三角形分別以順時針、逆時針各旋轉40°，如下圖所示。 請問圖中總共有多少個在不同位置的三角形？
【參考解法】 觀察可知 (i) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個： (ii) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個： (iii) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個： (iv) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 3 個： 因此圖中總共有9+ + + =9 9 3 30個不在相同位置的三角形。 答案：30 個
7. 已知 abcd 是一個四位數，且數碼 a、d 都不是0。若 abcd 與 dcba 之和的末兩
【參考解法 1】
若數碼 a、b、c 都是 9，則 dcba 的末兩位數為 99，此時 abcd 與 dcba 之和的末兩 位數為99 90+ + =d 189+d的末兩位數。因1≤ ≤d 9，故189+d 的十位數碼為9， 故不合；
若數碼a、b 都是9，則 dcba 的末兩位數為99，因此 abcd 的末兩位數為59，即
9959 abcd = ，因d = ≠9 0，故滿足題目的條件。若a、b 不都是9，則abcd≤9899。 因此 abcd 的最大值是9959。 【參考解法2】 若數碼a、b 不同時為9，則abcd ≤9899；若a= =b 9，則可判斷出a+ =d 18、 1 15 b+ + =c ，即d =9、c=5，因此abcd =9959。故 abcd 的最大值是9959。 答案： 9959 8. 有 12 個大小相同的小正方形拼成一個矩形，其中 10 個為白色、2 個為黑色，如下圖所示。請問至少 要再加入多少個同樣大小且僅為白色的小正方形才 能使得所得到的圖形是中心對稱的圖案？ 【參考解法】 由於只有2 個黑色小正方形，且不再加入黑色小 正方形，故所得圖形的對稱中心必為這兩個黑色 小正方形的對稱中心，從而可知在原圖的右方與 下方共加入6 個白色小正方形後，如右圖所示， 即可成為中心對稱的圖案。 答案： 6 個 9. 若一個三位數可以被6 整除，且將它的十位碼與個位碼交換後所得到的三位 數也可以被 6 整除，我們稱這樣的三位數為「幸運數」。請問總共有多少個 不同的「幸運數」？ 【參考解法】 被6 整除等價於同時可被2 與3 整除，故知「幸運數」的末兩位數碼均為偶數， 且三個數碼之和可被3 整除。在「幸運數」的末兩位數碼中，每一位都可選擇0、 2、4、6、8共有 5種選法。而在非零數碼中，被3 除之後餘數為 1的數共有 1、 4、7 這三個數、被3 除之後餘數為 2 的數共有 2、5、8 這三個數、被 3 除之後 餘數為 0 的數共有 3、6、9 這三個數，因此當末兩位數碼選定並得知它們的數 碼和除以 3 的餘數後，選擇首位數碼時都有 3 種選法使得三個數碼之和可被 3 整除。故不同的「幸運數」總共有5 5 3 75× × = 個。 答案：75個 對稱 中心
10. 已知 x 是整數且 2017−99 x 也是整數，請問 x的值是什麼？ 【參考解法】 由題目條件可以判斷出 x 必須是非負整數，且須使得 2017 99 x− 是完全平方 數。由 2017 99− x ≥0知 2017 21 99 x ≤ < ，即 x的可能值為0、1、2、3、4、5、 6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20，此時對應的2017−99 x 之值依序為2017、1918、1819、1720、1621、1522、1423、1324、1225、1126、 1027、928、829、730、631、532、433、334、235、136、37，其中僅當 x =8 時2017 99− x =1225是完全平方數，故x = =82 64。 答案：64
11. 四邊形ABCD與 ABCE都是等腰梯形，其中AB//CE、BC//AD，如下圖所示。 已知AC =DE，請問∠ABC是多少度？ 【參考解法】 連接 BE、BD。由等腰梯形對角線相等 知 BE =AC =BD，再由AC =DE知三角 形BDE是等邊三角形，故∠EBD= °60 。 又 2 180 60
EBD ABC ABE DBC
ABC BAC BCA
ABC ∠ = ∠ − ∠ − ∠ = ∠ − ∠ − ∠ = ∠ − ° = ° 故可解得∠ABC =120°。 答案：120° A C B E D A C B E D
12. 將 1 、 2 、 3 、…、 100 等一百個數分成若干組，使得每組內的所有數 之和都不超過 10。請問至少要分成多少組？ 【參考解法】 由於 25+ 26 > + =5 5 10，故 25 、 26 、 27 、…、 100 這 76 個數兩兩不 能同組，因此至少需要 76 組。 另一方面，對任意n=1、2、3、…、24，將 25−n與 25+n分為一組，剩餘 每個數分為一組。由於 2 2 2 ( 25+ +n 25−n) =50+2 25 −n <100，故這樣的分 組滿足要求，恰有76個組。綜上所述，至少要分成 76組。 答案： 76 組 13. 有五個正整數排成一列，從第二個數起，每一個數都不小於前一個的兩倍。 已知這五個數之和是2018，請問最後一個數的最小可能值是多少？ 【參考解法】 設最後一個數為 x，則前四個數依序至多分別為 16 x 、 8 x 、 4 x 、 2 x ，故 2018 16 8 4 2 x x x x x + + + + ≥ ，即 2018 16 104117 31 31 x≥ × = ，故x≥1042。 另一方面，將這五個數取為 65、130、260、521、1042 時滿足題目要求，故所 求為 1042。 答案： 1042 14. 已知 a、b、c、d 是正整數，使得b a、 c b、 d c 都是最簡分數，且 b c d a + +b c 的 值也是整數。請證明d≥ −a 1。 【參考解法】 由b a、 c b均為最簡分數知 b 與 a、c 均互質；由 c b、 d c 均為最簡分數知 c 與 b、d 均互質（5 分）。由於b c d a + +b c 是整數，故 2 (b c d) ac ac bc ad a + +b c = + + b 也是整數， 因此 2 ac b 是整數。由於 b 與 a、c 均互質，故b=1（5 分）。且可得知 1 d a + c 是整 數，由於兩個數都是最簡分數，故 a c= （5 分）。因此d 1 a + 是整數，即 1 d + 是 a 的倍數，故d+ ≥1 a，即d ≥ −a 1（5 分）。
15. 在等腰直角三角形 ABC 中， AB= AC，如下圖所示。平面上一點 D 滿足 2
BD= AD，請證明∠ADC+ ∠BDC = °45 。
【參考解法】
作等腰直角三角形 EBD，使得∠BED= °90 且 E、C 在 BD 的兩側，如下圖所示。
由 2
2
BD BE BE
BC = BA = BA及∠EBA= ° − ∠45 ABD= ∠DBC知△EBA~△DBC。（10分） 因此 BDC∠ = ∠BEA。又
2
BD
DE= =DA，故∠DEA= ∠DAE，因此
180 2 2(90 ) 2 2
EDA DEA DEA BEA BDC
∠ = ° − ∠ = ° − ∠ = ∠ = ∠ 。（5分） 故∠ADC + ∠BDC = ∠ADB+ ∠2 BDC = ∠ADB+ ∠EDA= °45 。（5 分）
A C B E D A C B D
