三角形三個極小值問題的探討
李政豐
1* 傅淑婷
2陳昭地
3 1國 立 竹 南 高 級 中 學 2臺 北 市 立 敦 化 國 民 中 學 3國 立 臺 灣 師 範 大 學 數 學 系壹、前言
在 編 寫 國 家 教 育 研 究 院 國 民 中 學 數 學 教 材 原 型 的 過 程 中 ， 感 覺 到 目 前 中 學 幾 何 課 程 的 份 量 ， 在 國 高 中 均 有 減 輕 的 趨 勢 ， 然 而 要 訓 練 學 生 證 明 與 推 理 的 能 力 ， 幾 何 是 數 學 家 公 認 不 可 或 缺 的 學 程 。 在 台 灣 師 大 數 學 系 陳 昭 地 教 授 的 指 導 下 ， 我 們 藉 由 三 個 初 等 數 學 的 問 題 ： (1) 平 面上 一 點 到 三角 形 三 邊 所在 直 線 距 離和 之 最 小 值。 (2) 最 大內 角 小 於 或等 於 120 度 的 三角 形 邊上 或 內 部 一點 到 三 頂 點的 最 小 距 離和 。 (3) 給 定一 個 銳 角 三角 形 ， 求 三邊 內 接 三 角形 的 最 短 周長 。 利 用 Geogebra 為輔 助 工 具， 並 透 過 五篇 參 考 資 料(A.S.Posamentier、 陳 昭地 等 ， 詳 見本 文 末 參 考 文 獻)， 以 動 態 模 擬 的 方 式 ， 藉 由 視 覺 化 的 圖 說 證 明 ， 得 到 一 些 結 論 ， 導 出 以 ABC 的 三 個 對 應 邊 長 a,b,c 表 出 的最 小 值 計 算公 式，以 我們 所 知，這 三 個公 式 是一 項 新 的 創 見 ： (1) 平 面上 任 一 點 到三 角 形 三 邊所 在 直 線 的距 離 和 之 最小 值 ， 為 最大 邊 上 高 的長 度 ， 不 妨 設a b c, ，則它的最小值計算公式： 2 s s a s b s c( - )( - )( - ) c ， 其 中 2 a b c s , ( ,a b c ),公 式 對任 意 三 角 形都 成 立 。 (2) ABC邊 上 或 內 部 一 點 P 到 三 頂 點有 最 小 距 離和 ，P 稱 為等 角 點 ， 其最 小 距 離 和公 式 ： 2 2 2 1 2 ( ) 4 3 2 a b c ，其中 = s s a s b s c( - )( - )( - ) ， 2 a b c s 。 這 個 公 式 對 最 大 內 角 不 超 過 120 度 的 三角 形 均 成 立。 (3) 銳 角三 角 形 ABC ，當 三 邊 的 內 接 三 角 形 有 最 短 周 長 時，此 最 短 周 長 的 內 接 三 角 形， 恰 是ABC的 垂 足 三 角 形 。 此 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 公 式 ： *為本 文 通 訊 作 者( )( - )( - )( - ) 2 a b c a b c a c b b c a abc ， 這 個 公 式 對 於 銳 角 三 角 形 才 會 成 立 。 在 中 學 幾 何 課 程 日 漸 縮 減 的 時 候 ， 希 望 能 拋 磚 引 玉 ， 引 起 中 學 生 藉 由 數 學 軟 體 探 討 幾 何 學 的 興 趣 。
貳、本文
一、平 面 上 任 一 點 到 三 角 形 三 邊 所 在直 線 的 距 離 和 之 最 小 值 為 最 大 邊 上 高
的長度。
ABC 中 ,A的 對 應 邊BC a ,B的 對 應 邊 AC b , C 的對應邊 AB c 。 若 AB c 是最大的邊， CH 是最大邊上的高，P 點是平面上任一點。 1. 當 P 點在 三 角 形 ABC 的 內 部 或 邊 界 ， 如 圖(一) 圖 (一 ) PAB 的 面 積 +PBC的 面 積 +PAC的 面 積 =ABC的 面 積 1 1 1 2AB PD 2BC PE 2AC PF = 1 2AB CH 。 但 是 ， 因 為 AB 是 最大 的 邊 。 1 1 1 2AB PD 2AB PE 2AB PF
1 1 1 2AB PD 2BC PE 2AC PF 故 1 1 1 2AB PD 2AB PE 2AB PF
1 2AB CH 兩 邊 除 掉 1 2AB ， 得 到(PD PE PF )
CH 2. 當 P 點在 三 角 形 ABC 的 外 部 ， 如 下 圖(二 )圖 (二 )
(PAB的 面 積 +PBC的 面 積 +PAC的 面 積 )>ABC的 面 積
1 1 1 2AB PD 2BC PE 2AC PF > 1 2AB CH 。 但 是 ， 因 為 AB 是 最大 的 邊 。 1 1 1 2AB PD 2AB PE 2AB PF > 1 1 1 2AB PD 2BC PE 2AC PF 故 1 1 1 2AB PD 2AB PE 2AB PF > 1 2AB CH 兩 邊 除 掉 1 2AB ， 得 到(PD PE PF )>CH ， 此 時 沒有 最 小 值 。 (PFPD PE )>CH =2 s s a s b s c( - )( - )( - ) c ， 2 a b c s ，a b c, 。 由 以 上 的 証 明 ， 若ABC非 正， 則 P 為 頂 點 C， 才 有 最 小 值CH 。
二、探討最大內角小於或等於
120 度的三角形邊上或內部一點到三頂點的
最小距離和
(有最小距離和的點我們稱為等角點或費馬點)。
例 1、 在 邊 長 5,6,7 的 三 角 形 的 內 部 一 個 動 點 F， 當 F 移 動 時 ， 觀 察FA FB FC 的 最 短 距 離 和 。 步 驟 一 ： 如 圖(三)， 固 定 三角 形 三 邊 長 5,6,7， 先 讓學 生 們 一 個接 一 個 上 台到 電 腦 桌， 藉 由 手 動 模 擬 ， 讓 上 台 同 學 都 能 動 手 操 作 ， 藉 由 同 儕 學 習 的 力 量 ， 互 相 比 較 哪 一 位 同 學 找 得 的 距 離 和 是 最 小 ， 此 時 老 師 正 是 扮 演 裁 判 的 角 色 ， 有 讚 賞 有 風 趣 ，當 然 也 增 添 了 教 室 熱 絡 的 氣 氛 。 圖 (三 ) 步 驟 二 ： 要 激 發 同 學 們 探 索 的 興 趣 ，「 為 什 麼 我 們 找 到 的 這 個 點 F 會使 得 到三 頂 點 的 距 離 和 最 小 」。 把 三 角 形 AFC 以 A 為中 心 左 旋 60 度，如 圖(四)， CF C F ， AFF F ，FB 不 變 。 圖 (四 ) 因 為 當 我 們 將AF 左 旋 60 度 時， AFF 是 一 個 頂 角 60 度 的 等 腰 三 角 形，也 就 是
正 三 角 形，於 是 把AF 的 長 度 用 FF 來替 換，此 時 FA FB FC =FF'FB F C ' '， 由 於B 點與 C 點 是固 定 的 點，不 論 動 點 F 如 何移 動，只 有 F 會 跟 著動，B, C 這 兩 點 的 坐 標 是 不 變 的 。 而 B, C 兩點 之 間 以直 線 最 短 。 步 驟 三 ： 調 整 F 點 使 C , F ,F,B 四點共線，如圖(五)，使得 C F F F FB 最 小 ， 亦 即 使 FA FB FC 最 小 。 我 們 發 現 ： 當 F 落 在 BC 上時 C F F F FB 最 小 。 圖 (五 ) 步 驟 四 ： 同 理，將 把 三 角 形 BFC 以 B 為 中 心 右 旋 60 度，如 圖 (六 )，FC F C ''，FB FF FA 不 變。 此 時 FA FB FC =AF FF ''F C'' '' 圖(六 )
步 驟 五： 再 調 整F 點，使 得 F 落 在 AC 上，如 圖 (七 )，因 為 A, C 是 固 定點，兩 定 點之間 以 直 線 距 離 最 短 ， 此 時 FA FB FC =AF FF ''F C'' ''為 最 小 。 圖(七 ) 步 驟 六 ： 當F 落在 BC 與 AC 的 交 點時 FA FB FC 最 小 ， 如 圖 (八 )。 當FA FB FC 最 小 時 ，F 稱為 等 角 點 或費 馬 點 (Fermat Point) 圖(八 ) 步 驟 七 ： 當 F 是 費 馬 點 時 ，AFB BFC AFC120， 如 圖 (九 )。 因 為 C , F ,F,B 四 點 共 線 ， AFF 是 等 邊 三 角 形 ， FF A =60 度 ， 故 AFC = AF C =120 度 。 同 理 BFC 120 度，則AFB=120 度 。
因 為 四 邊 形AFCC 中 ， AC C =60 度 ， AFC =120 度 ， 對 角互 補 ， 是 圓內 接 四 邊 形 ， 故 四 邊 形AFCC 有一 個 外 接圓 。 圖 (九 ) 步 驟 八 ： 如 圖(十 )若 將 最 大 內 角 不 超 過 120 度 的 三 角 形 的 三 邊 ， 往 外 各 作 正 三 角 形 ， C C =D=60 度， CFA CFB=AFB=120 度,因 此 若以 AB 為 一 邊 ，往 下 做 正ABD，AFB ADB180， 則 AFBD四 點 共 圓 ， 費 馬 點 F， 即是 這 三
個 正 三 角 形 外 接 圓 共 同 交 點 。
步 驟 九 ： 如 圖(十 一)， AF 是 左 右 兩 圓 之 公 共 弦 ， 與 連 心 線 GH 互 相 垂 直 ， 垂 足 為 J， 同 理 ，BF 與 GI 互 相 垂 直， 垂 足 為 K， 四邊 形 GJFK 中 ， FJG FKG=180 度， 對 角 互 補 ， 是 圓 內 接 四 邊 形 ， 因 為JFK=120 度，故 GHI 中 ， =60 度，同G 理H =I =60 度 ， 則 不 論 A,B,C 如 何移 動 ， GHI 永 遠 是 正 三 角 形 。 圖 (十 一) 如 圖(十 二)，分 別過 三 頂 點 A,B,C 作 線段 FA 、 FB 、 FC 的 垂線，若 三 垂線 的 交 點 為 U,V,W， 則 四 邊 形 AUBF 對 角 互 補 是 圓 內 接 四 邊 形 ，AFB=120 度 ，
AUB
=60 度， 同 理 可證 UVW 也 永 遠 是 正 三 角 形 。
如 圖(十 三)， 過三 個 正 三 角形 的 外 頂 點 M,N,P 作 CM 、 AN 、BP 的 垂 線 ，三 垂 線 交 在 L,J,K。 因 為AFM是 正 三 角 形 ABM 外接 圓 的 弦AM 所對 的 圓 心角 ， 故 AFM =MFB=60 度，同 理 AFP PFC=60 度， CFN NFB=60 度，四 邊 形 LPFM 對 角 互補 是 圓 內 接四 邊 形 ，PFM=120 度， 故L=60 度。 因 此， 不 論 A,B,C 如 何 移動 ， LJK ， 永 遠 是 正 三 角 形 。 圖(十 三 )
步 驟 十 ： 當ABC的 邊 長 為 a,b,c 時 FA FB FC 的 最 小 值 要 如 何 用 a,b,c 來 表 示 ? 如 圖 (十 四 )
由 海 龍 公 式 s s a s b s c( - )( - )( - )， 其 中 周 長 之 半 2 a b c s 。 根 據 餘 弦 定 理 ， AC 2 c2a22accos(60B)， 由 和 角 公 式 ， 2 2 2 1 3 2 2
2 ( cos sin ) cos 3 sin ...(1) 2 2 AC c a ac B B c a ac B ac B 2 2- 2 cos 2 a c b B ac ,面 積 公 式 1 sin 2ac B sin B 2 ac ,將 sinB, cosB 代入(1)式 2 1 2 2 2 ( ) 2 3 2 AC a b c ，最短距離和為 1( 2 2 2) 2 3 2 AC a b c = 1 2( 2 2 2) 8 3 4 a b c = 2 2 2 1 2 ( ) 4 3 2 a b c 再 找 一 個 特 別 的 三 角 形 來 印 證 ， 當 邊 長 是 a =5,b =6,c =7 的 三 角 形 ， 代 入 1 AC = 2 (110)+4 3 9 4 3 2 10.29 2 ， 符 合 上 面 實 驗 操 作 的 結 果 。 上 面 所 討 論 的 情 形 對 於 最 大 角 120 度 以 內 的 三 角 形 均 成 立 。 換 言 之 ， 對 於 最 大 內 角 120 度 以 內 的 三 角 形 ， 它 的 等 角 點 都 在 三 角 形 的 內 部 ， 上 述 討 論 的 情 形 均 成 立 。
三、探索銳角三角形三邊內接三角形的最短周長(Fagnano
’s Problem)
例 2、 如 圖(十 五)，P,Q,R 分別 為 5,6,7 的ABC三 邊 上 的 點 求PQR的 最 短 周 長 。 圖(十 五 )步 驟 一 ： 固 定ABC的 邊 長 分 別 為5,6,7， 在 三邊 BC ， CA ， AB 上 分別 取 一 點 P,Q,R，讓 學 生 輪 流 上 台 拖 曳 這 三 點，看 誰 能 求 得 周 長 的 最 小 值，這 又 是 一 番 熱 鬧 的 氣 氛。 步 驟 二 ： 作 法 說 明 ； 如 圖 (十 六 )， 選BC 邊上 一 點 P，P 對 AC 線 段 的 對稱 點P ，對 AB 線 段 的 對 稱 點P ，連接 AP P 。 圖(十 六 ) 步 驟 三：如 圖 (十 七 ) AP P 是 以AP 為腰，頂 角 固定 是2 A 的 等 腰 三 角 形，當 腰 長 最 短 ， 底 邊P P 最短，此時將 Q,R 移到 P P 上， PQR 的 周 長 最 短 。 圖(十 七 )
步 驟 四 ： 如 圖(十 八)當 P 是 BC 邊上 高 的垂 足，AP 最 短，頂 角 固 定是2 A 的 等 腰AP P 的 兩 腰 最 短，則 底 邊P P 也最短，若將 R,Q 移到 P P 與 AB、 AC 的交點，則 PQR 周 長 最 短 。 APR= AP''R= AP'Q= APQ ， 而 且 PQC= P'QC= AQR ， 僅 當 BQAC時 ，BQR= BQP 才 會 成 立 ， 故 Q 是 垂 足，同 理 R 也 是垂 足。把 P 點 同 樣 的 程 序 套 用 在Q,R 上 也有 相 同 的 結果。於 是 得到，到 三 邊最 短 距 離 和，恰 是 垂 足 三 角 形 的 周 長 。 圖(十 八 ) 步 驟 五 ： 當ABC的 邊 長 為 a,b,c 時PQ QR RP 的 最 小 值 要 如 何 表 示 ? 令 高 AP AP AP ，由餘弦定理 h 2
P P =h2h2- 2 h h cos 2A=2 (1- cos2 )h2 A =2h22sin2A4 sinh2 2A
P P = 2 sinh A， 令BC a 三 角 形ABC 面 積 1 2ah
高h 2 a ， 另 一 方 面 1 sin 2bc A
sin A 2 bc 則P P = 2 4 2 8 2 sinh A a bc abc 將 海 龍 公 式 ( - )( - )( - ) 2 2 2 2 a b c b c a a c b a b c s s a s b s c 1 - - - 4 a b c b c a a c b a b c 代 入 上 式 ， 可 得P P = ( )( - )( - )( - ) 2 a b c a b c a c b b c a abc 則 連 結 三 角 形 三 邊 之 最 短 周 長 為 ( )( - )( - )( - ) 2 a b c a b c a c b b c a abc 再 找 一 個 特 殊 的 三 角 形 來 印 證，當 邊 長 是a =2,b =2,c =2 的 正 三 角 形，它 的 垂 足 三 角 形 周 長 為 3， 若 代 入P P = ( )( - )( - )( - ) 2 a b c a b c a c b b c a abc =3， 符 合 上 面 推 導 的 結 果 。
參、結語
藉 由 Geogebra 視覺 化 的 圖 像表 徵 ， 搭 配明 顯 易 懂 的圖 說 證 明 ，再 利 用 三 邊 長 a,b,c 為 參 數 ， 導 出 漂 亮 的 結 果 ： 1. 到 三 邊 所 在 直 線 的 最 短 距 離 和 公 式2 s s a s b s c( - )( - )( - ) c ， 2 a b c s ，a b c, 。 對任 意 三 角 形 均 成 立 。 2. Fermat 最 短 距 離和 公 式1 2 ( 2 2 2) 4 3 2 a b c ，對最大內角 120 度以內的三角形 成 立 。 3. Fagnano 最 短 周長 公 式( )( - )( - )( - ) 2 a b c a b c a c b b c a abc ， 對 銳 角 三 角 形 成 立 。 這 是 可 以 量 化 的 公 式 ， 如 果 能 夠 把 它 引 進 中 學 生 幾 何 學 的 內 容 ， 將 會 是 一 堂 很 有 趣 的 數 學 課 程。國 中 學 生 還 沒 有 三 角 函 數 的 基 礎，可 用 Geogebra 的 代 數 功 能，先 找 到 這 兩 個 極 值 的 近 似 值 。 高 二 學 生 則 可 以 放 在 三 角 形 面 積 的 海 龍 公 式 之 後 ， 完 整 的 教 完 上 述 兩 個 可 將 三 個 極 值 量 化 的 公 式 及 其 內 容 ， 是 一 則 結 合 資 訊 科 技 與 幾 何 三 角 的 綜 合 性 教 材 。參考文獻
黃 武 雄, 高 中 數 學 實 驗 教 材 編 輯 小 組 (1984) 。 第 五 章 ： 用 各 種 方 法 處 理 平 面 幾 何 。 (pp.288-295)， 高中 數 學 實 驗教 材 第 三 冊自 然 組 修 訂本 。 台 北 市： 數 理 出 版公 司 。 傅 淑 婷、曹 博 盛、陳 昭 地(2013)。處 處多 數 是 等 腰三 角 形。國 民中 學 數 學教 材 原 型 C 冊 第 2-3 單 元 主 題(陳昭 地 主 編)。新 北 市 ： 國家 教 育 研 究院 。 傅 淑 婷、曹 博 盛、陳 昭 地(2013)。三 角形 的 三 心。國 民 中 學 數學 教 材 原 型 C 冊 第 1-5 單 元 主 題(陳 昭 地 主 編)。 新 北 市 ：國 家 教 育 研究 院 。A.S.Posamentier & J. Stepelman(1986). Unit 43 ： The Equiangular point(pp.284-285) In Posamentier S.A. & Stepelman J. (Eds.) Teaching Secondary School Mathematics(2nd Ed.)， Columbus OH， Merrill.
A.S.Posamentier & J. Stepelman(1986). Unit 44： The minimun Distance Point of a Triangle (pp.285-286) In Posamentier S.A. & Stepelman J. (Eds.) Teaching Secondary School Mathematics(2nd Ed.), Columbus OH， Merrill.
