1
數與式
1.1
數與數線
整數 Z: 包含正整數(可數數Z+)、0、負整數三類。(自然數N :1, 2, 3, · · · 。 皮亞諾假設自然數定義: 0, 1, 2, 3, · · · ) 有理數 Q: 若 m, n 均為整數,且 n 6= 0 ,凡可表示成 p 整數比 m ny的數,稱為有理數。 整數、 有限小數 (最簡分數後,分母只含2或5的質因數)、 循環小數(最簡分數後,分母含有2或5以外的 質因數) 都可化為“整數比 m n” , 都是有理數。 有理數的四則運算: a, b, c, d 為有理數 1. b a+ d c = bc + ad ac 2. b a− d c = bc − ad ac 3. b a× d c = bd ac 4. b a÷ d c = b a× c d = bc ad 有理數運算律: r, s, t 為有理數 1. 加法交換律: r + s = s + r 。 乘法交換律: r · s = s · r 2. 加法結合律: (r + s) + t = r + (s + t)。 乘法結合律: (r · s) · t = r · (s · t) 3. 分配律: r · (s + t) = r · s + r · t 有理數次序: r, s, t為有理數 三一律: r > s, r = s, r < s三式中恰有一式成立。 遞移律: 若 r > s 且s > t 則 r > t 若r > s 則 r + t > s + t r > s, t > 0 則 rt > st r > s, t < 0 則 rt < st 稠密性: 數線上對應整數的點稱為整數點。 對應有理數的點稱為有理點。 數線上的任何區段中,都有“無限多個”同 樣的對應點,具有此性質稱為稠密性。 整數無稠密性。 (任意兩相異有理數之間,都可找到一個有理數) 有理數具有稠密性。(稠密性隱藏“無窮”的意涵) 有理點的尺規作圖: (每個有理點均可尺規作圖) 相似三角形: △P MN ∼ △P QR ⇔ P M : P Q = P N : P R = MN : QR 若 P B//AD 則 OP : OA = OB : OD 1. 數線上 ←→OA 2. 過原點 O作一直線 L順伯的窩
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P Q R M N O P A B D L 3. 在L 上作n等分點 B, D,使OB : OD = m : n , 連接AD , 過B點作平行AD 直線,交數線 於P 點。 則 OP = OB OD × OA = m nOA 無理數: 數線上,不是有理數的數,稱為無理數 (無法化為兩整數比值的數)。 形如 √n 的無理數: 自然數 n的標準分解式中,某一個質因數出現奇數次方時,則√n為無理數。 √ n 的無理數的尺規作圖: 若 n 可表示成兩整數平方和, n = a2+ b2 可利用直角三角形畢氏定理斜邊 長 =√n。 或利用直角三角形母子相似定理: AB2 = BC × BD, AD2 = BD × CD, AC2= BC × CD 比例中項作圖:pAD = pBD × CD
A
B
D
C
P
E
Q
L
F
無理數的近似值: 形如 √n的無理數,無理數 √n =pa2± b= a ±. b 2a 。 無理數的多樣性: 除了形如√n的無理數外,諸如√3 2 = 1.25992105 · · · 、1+√3 = 2.732、 圓周率π = 3.141592653 · · ·、 特殊數 e = 2.7182818284 · · · , 化成十進位數都是“不循環的無限小數”。 我們可造成許多無理數, 如 0.101001000100001 · · · , 它是由0與1組成, 夾在兩個1之間“0的個數”逐 漸增加,是一個不循環的無限小數。 實數 R : 有理數與無理數合在一起稱為實數。 任意實數α , 則 α2 ≥ 0C N Z Q R 數 系 自然數 ⊂整數 ⊂有理數⊂ 實數⊂ 複數 N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C 複數 C 實數R, (平方≥ 0) 有理數Q 整數Z 正整數(自然數)N 零 負整數 分數 小數(有限小數、 無限小數) 無理數(不可化為分數) : π, e,√2,√3 2, · · · 虛數i 數線坐標: 數線上的所有點的集合為實數, 若數線上A 點對應點為a, 稱為 A點在數線上的坐標。 記為 A(a) 實數的四則運算與次序: 1. 數線上兩實數a, b 則a + b, a − b, ab, b a, (a 6= 0)仍為數線上實數點。 2. 實數仍具有運算律中的結合律、 交換律、 分配律。 3. 數線上愈右邊的點愈大。a − b > 0稱 a大於 b ,記為 a > b 4. 實數次序性質仍具有三一律、 遞移律、 加法律、 乘法律。 有理數與無理數的和與積: 1. 有理數與有理數的和與積仍為有理數。 2. 有理數與無理數的和為無理數。 3. 有理數 (不為0) 與無理數的積為無理數。 4. 兩個無理數的和或積可能為有理數,也有可能為無理數。 5. 設a, b, c, d 均為有理數,x為無理數;若 a + bx = c + dx則 a = c, b = d 算幾不等式: (算術平均數與幾何平均數的不等關係式) 若 a, b為非負實數,則 a + b 2 ≥ √ ab。 且當 a = b 時,等式才成立。
例題
數系
範例 1: 將式子 b 10+ 1 2 b2 25− 1 化為最簡? 5 2(b − 5); b 6= 5, −5 演練 1a : 若 a b = c d 驗證 a c = b d 是否成立? yes 演練 1b : 若 a b = c d 驗證 a + b b = c + d d 是否成立? yes順伯的窩
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演練 1c : 化簡 a − 1 a 1 a− 1 =? −(a + 1) 演練 1d : 式子 x 2x − 1 ÷ 3x 8x − 4 可化簡為下列哪一選項? (1) 3 4 (2) 4 3 (3) 3x2 4(2x − 1)2 (4) 7x 4(2x − 1) 2 範例 2: 若a為正整數,且 13 99 < 0.1a2 < 14 99 ,求 a值? a = 3 演練 2a : 選出正確的選項? (1). 0.9 < 1 (2). 0.9 = 1 (3). 0.34 = 0.3 + 0.04 (4). 0.34 > 1 3 (5). 0.34 = 0.3 + 0.043 。 2,4,5 演練 2b : 將 0.18化為最簡分數? 2 11 演練 2c : 下列選項中哪些為無理數?(1) 0.12131415 · · · (2) √ 3 √ 3 (3) 1.414 − √ 2 (4) 3 1 −2 5 (5) π (6) √49 1,3,5 範例 3: 已知√5 <√6 <√7 , 試問 √6 比較接近 √5或 √7 ? 較接近 √7 演練 3a : 設 a =√10 +√8, b =√12 +√6, c =√11 +√7,試比較 a, b, c 之大小順序? a > c > b 演練 3b : 設 a =√3 −√2, b =√4 −√3, c =√5 −√4,試比較 a, b, c 之大小? a > b > c 範例 4: 設a, b為有理數,且滿足(a − b) + (a + b)√2 = (3 − a) + (4 − b)√2 , 求a, b值? a = 2, b = 1 演練 4a : 求下列符號所表示的實數? i. 3 r −18 − 1 2 ii. −√121b4 −11b 2 iii. √4 −81 不存在 演練 4b : 若 a為無理數,問 (a + 1)3 , (a − 1)3 可否均為有理數 ? 不能 演練 4c : 化簡 √4 48x2 · 4 r x2 3 =? |2x| 演練 4d : 解 √x + 5 = 1 +√x x = 4 演練 4e : 解 √3 4 − 2a = −2 a = 6 範例 5: 設a, b 為實數,且滿足 (a − 1)2 + (b − 2)2 = 0 , 求a, b 值? a = 1, b = 2 演練 5a : 設 a, b, c 為整數,且滿足 (a − 1)2 + 2(b − 2)2 + 3(c + 1)2 = 1 , 求a, b, c 值? a = 0, 2, b = 2, c = −1 演練 5b : 設 a, b, c 為整數,且滿足 |a − 1| + 2|b − 2| + 3|c + 1| = 1 ,求a, b, c 值? a = 0, 2, b = 2, c = −1
演練 5c : 已知 √2x + 1 + |y + 1| + (2 − z)2 = 0 , 求 x2+ y2+ z2 值? 21 4
算幾不等式應用
:變數間和與變數間乘積的大小關係
範例 6: 若a, b 均為正數,且 2a + b = 6 ,求 a, b的值為何?使ab 的値最大為多少? (解:)a = 3 2, b = 3; Max ab = 9 2 演練 6a : 在 0 ≤ x ≤ 1 條件下,求 y = x2(1 − x) 的最大值? x = 2 3, M ax = 4 27 演練 6b : 一矩形面積為25,則此矩形的最小周長為何? 20 演練 6c : 一個農民想在一個面積60000平方公尺的長方形周圍圍上籬笆。 他計劃在其中一邊使用的圍欄費用為 每公尺200元, 而另外三邊的圍欄每公尺花費100元。 問他必須如何規劃此矩形使得購買柵欄費用降 至最低?最低費用為多少元? (解:)200 × 300的矩形,其中圍欄費較高的一邊為200公尺,最低費用為120000元。 演練 6d : 若 0 ≤ x ≤ 1 , 求y = (1 − x)(1 + x)2 的最大值 ? (解:)利用(2 − 2x) + (1 + x) + (1 + x) ≥ 33 p(2 − 2x)(1 + x)(1 + x) , 當 x =1 3 ,max y = 32 27 習題1-1 數與數線 1. 下列敘述何者恆真? (1) n ∈ N,所有的 2n+ 1 為質數 (2)所有的奇數必為4n + 1 形式,其中 n為自 然數 (3)若某數為 4與3的倍數,則某數必為6的倍數(4)任兩相異的平方數之差必為奇數(5)若x為 實數,則|x + 4| ≥ 4 (6) 任兩相鄰整數的立方差不可能為3的倍數 (7)任意非零實數必大於其倒數(8) 若某數為奇數則該某數的平方必為奇數 2. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為整數,則 a, b是否為整數? 3. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為有理數,則 a, b是否為有理數? 4. 已知 a, b為有理數,且2 + a −√2a + 5√2b = 4 + 3√2 ,求 a, b值? 5. 將 1 5607 − 1 6853 化為最簡分數 b a ,求分母 a及分子 b =? 6. 將 1 4369 + 1 5911 化為最簡分數,則其分母為 ? 7. 滿足 2 7 < n 300 < 6 11 的正整數 n有幾個? 8. 設 x, y ∈ Q,若 (2 +√5)x + (1 −√5)y = 8 − 2√5 ,求 x, y之值? 9. 設 a ∈ R,若 a12∈ Q 且 a5 ∈ Q 則 a是否必為有理數?Why? 10. 設 3 7 化為小數後,小數點以下第 n位數字為 f (n),則 f (1) + f (2) + · · · + f (12) =? 11. 已知 x, y, z 為正實數,且xyz = 1 , 求 x + y + z的最小值?順伯的窩
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12. 設 x > 0 , 若x = t 時,使得 3x +16 x + 10最小值為 m,求數對 (t, m) =? 13. 設 x, y 為正實數且x + y = 2 ,求 2y x + 2x y 的最小值? 14. 設 a, b是正實數,試證: a + b 2 ≥ √ ab (算幾不等式) 15. 對於任意實數,下列說法是否恆成立? 若不對, 請補充一定的條件使之成立。 (a) x + 3 > 3 (b) 若x, y 6= 0 則 x + y 6= 0 (c) 若x > y 則 1 x < 1 y (d) 若ax = a 則 x = 1 (e) 若x > y 則x2> y2 16. 若x > 0, y = x 1 + x2,利用算幾不等式,求x為何值時? 會使得y 有最大值為多少?(hint:y = 1 x +1 x )
習題
1-1
1. 3,5,6,8 2. a, b 未必為整數 3. a, b 必為有理數 4. a = 2, b = 1 5. a = 61677, b = 2 6. 257 × 17 × 23 = 100487 7. 78 個 8. x = 2, y = 4 9. 是 , a2∈ Q, a5 = a2· a2· a 10. 54 11. 3 12. (4√3, 8√3 + 10) 13. 4 14. 可利用(√a −√b)2 ≥ 0 15a. x > 0 15b. xy > 0 15c. x > 0, y > 0 15d. a 6= 0 15e. x > y > 0, 或 x < y < 0 16. x = 1, Max y =1 21.2
式的運算
乘法公式: 1. 完全平方公式: (a ± b)2 = a2± 2ab + b2 2. 平方差公式: a2 − b2 = (a + b)(a − b) 3. 立方和公式: a3+ b3 = (a + b)(a2− ab + b2) 4. 立方差公式: a3− b3 = (a − b)(a2+ ab + b2) 5. 和立方公式: (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a3 + b3 ) + 3ab(a + b) 6. 差立方公式: (a − b)3 = a3− 3a2b + 3ab2− b3 = (a3− b3) − 3ab(a − b) 常用式子的和、 差與積的代換關係式: 1. a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab 2. (a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2(ab + bc + ac)3. a3+ b3= (a + b)3− 3ab(a + b) = (a + b)(a2− ab + b2) 4. a3 − b3 = (a − b)3 + 3ab(a − b) = (a − b)(a2 + ab + b2 ) 5. a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac) 分解因式: 把二次或二次以上的式子分解成較低次數的因式乘積,稱為因式分解。 常見的因式分解方法: 1. 先提出公因式:(分組配對) 物以類聚法。2xy + y − 2xz − z 2. 乘法公式: 平方公式、 平方差公式、 立方和、 立方差、 完全立方公式等。 3. 十字交叉乘法(二次三項式):(ax + b)(cx + d) 4. 雙十字交叉乘法:(a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) 5. 拆項配方 (乘法公式) 法: x4+ x2+ x 根式的運算性質: a ≥ 0,√a表為方程式x2 = a的非負解。 1. 若a, b > 0 則 √a2b = a√b 2. 若a, b > 0 則 √a√b =√ab 3. 若a, b > 0 則 √ a √ b = r a b 4. √x2 = |x|、 (√x)2 = x、 (√n x)n= x 根式 有理化因子 乘積 單項二次根式 √a √a (√a)2 二次根式 √a +√b √a −√b (√a)2− (√b)2 二次根式 √a −√b √a +√b (√a)2− (√b)2 單項三次根式 √3 a √3a2 (√3 a)3 單項三次根式 √3 a2 √3 a (√3 a)3 三次根式 √3 a +√3 b [(√3 a)2 −√3 ab + (√3 b)2 ] (√3 a)3 + (√3 b)3 三次根式 √3 a −√3b [(√3 a)2+√3ab + (√3b)2] (√3 a)3− (√3b)3 三次根式 [(√3 a)2−√3ab + (√3b)2] √3 a +√3b (√3 a)3+ (√3b)3 三次根式 [(√3 a)2+√3ab + (√3b)2] √3 a −√3b (√3 a)3− (√3b)3 雙重根式的化簡: q x ± 2√y = q (a + b) ± 2√ab = q (√a ±√b)2 = |√a ±√b|
例題
式子化簡
範例 1: 將x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1表示成某式的立方? (x 2 + 2x + 1)3順伯的窩
數與式
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演練 1a : 化簡 a 3 + b3 + c3 − 3abc (a − b)2+ (b − c)2+ (c − a)2 1 2(a + b + c) 演練 1b : 將 x2 + 3x + 4表示成 (x − 1) 的多項式 (即 a(x − 1)2 + b(x − 1) + c 形式) a = 1, b = 5, c = 8 演練 1c : 若(x2+ cx + d)2 展開式為x4+ ax3+ bx2− 8x + 4 ,則常係數a, b, c, d值為何? (−4, 8, −2, 2) 範例 2: 將下列根式的分母有理化: 1. 3 √ 3 + 1 3 √ 3 − 1 =? (解:)2 +√3 9 +√3 3 2. √ 10 +√5 −√3 √ 10 −√5 +√3 =? (解:)1 7(3 √ 30 + 5√15 − 10√2 − 12) 演練 2a : 將 12 表示成兩個無理數乘積,其中一個無理數為√5 +√3 +√2 2 √ 3 −√30 + 3√2 演練 2b : 若 x = √ 3 +√2 √ 3 −√2, y = √ 3 −√2 √ 3 +√2 則xy =? x 2 + y2 =? 1;98 演練 2c : 若 x = 5 + 3 √ 2 2 ,求 4x 2 − 20x 值? −7
雙重根式化簡
範例 3: 化簡 q 9 − 2√20 値? √ 5 − 2 化簡 3 q 1 −√3 · 6 q 4 + 2√3 = ? √32 演練 3a : 化簡 q 23 − 8√7 値? 4 − √ 7 演練 3b : 化簡 q 9√3 − 4√6 値? (解:)√4 3(2√2 − 1) 演練 3c : 求最接近 s 1 3 √ 9 − 2 + 2 3 √ 9的整數? 2 + 3 √ 9 ≈ 4 範例 4: 化簡 q 14 + 6√5 的整數部分為a ,正小數部分為b,求 a, b的值? a = 5, b =√5 − 2 演練 4a : 若 x, y分別是 8 −√11 的整數部份和小數部份,則 2xy − y2 = ? 5 演練 4b : 已知方程式x2 −1351x+456300 = 0的兩根為675,676化簡 q 1351 + 780√3 ? 26 + 15 √ 3 演練 4c : 已知99 + 70√2的實數立方根為a + b√2,其中a, b為整數,求實數 3 q 99 + 70√2 3 + 2 √ 2 演練 4d : 比較 a = −37 + 30√3與 b =− 1 + 2√3 3 的大小? a = b範例 5: 設x = 2 −√3 , 求(1)x + 1 x = (2) x 2 + 1 x2 = (3) x 3 + 1 x3 = (解:)先求出 x × 1 x = 1, x + 1 x = 4 值,再利用乘法公式求值; (1)4,(2) 14,(3) 52 演練 5a : 已知 x = √ 1 2 − 1 ,求 (x + 1 x) 2 − 4(x + 1 x) + 4 值? 12 − 8√2 演練 5b : 設x = q 2 +√3, y = q 2 −√3 ,選出正確敘述選項?(1) xy = 1 (2) x2+ y2 = 4 (3) x + y =√6 (4) x − y =√2 (5) x4 的整數部分為 14 1,2,3,4,(13) 演練 5c : 設 x = q 7 −√40, y = q 7 +√40 , 試求 x2 + 3xy + y2 之值 ? 23 習題1-2 式子化簡 1. 因式分解下列各式: (1) x3 + 8y3 (2)a4 + a2 + 1 2. 因式分解下列各式: (1) x4 + 3x2 + 4 (2) x2 − 8xy + 15y2 + 2x − 4y − 3 3. 因式分解2(3x + 1)2 − 3(3x + 1)(x − 3) + (x − 3)2 4. 若 x = 1.01 試比較 a = x3 與 b = x2 − x + 1 的大小? 又若 x = 0.991 時, 比較 a = x3 與 b = x2− x + 1 的大小? 5. 設 a = 1 + √ 5 2 , 則下列選項何者的值與 a 相等?(1) 0.618 (2) 1 a + 1 (3) 1 a − 1 (4) a 2 − 1 (5) √ a + 1 6. a =√21, b = q 21 +√21 , 問 a, b分別最接近哪一整數? 7. 已知 x = √ 3 +√2 √ 3 −√2, y = √ 3 −√2 √ 3 +√2,求 3 p 4x2− 49xy + 4y2 的值? 8. 化簡 r 29 − 4 q 9 + 4√5 値? 9. 化簡 x = q 8 −√60, y = q 11 +√72 10. 求 1 1 +√2+ 1 √ 2 +√3+ 1 √ 3 +√4 =? 11. 化簡並求出其值: (a) (1 +√3 −√6)(1 −√3 +√6) =? (b) √ 54 3 + 3 √ 6 − 8 √ 24 (c) q 9 − 4√2 − q 11 + 6√2 (d) (2 +√3)4= 12. 已知 a = √ 3 + 1 √ 3 − 1, b = √ 3 − 1 √
3 + 1 求下列各值: (1)a + b (2)ab (3)a
2
+ b2
(4)a2
− b2
13. 求整數 k 滿足m =(3 + 2√5)2− k 2 亦為一整數? 並求此整數m? 14. 說明 10100 (p10200+ 1 − 10100 ) 略小於 1 2
習題
1-2
1. (x+2y)(x2−2xy+4y2), (a2+ a + 1)(a2− a + 1) 2. (1) (x2 + x + 2)(x2 − x + 2) (2) (x − 5y + 3)(x − 3y − 1) 3. 10(x + 1)(x + 2) 4. a > b; a < b 5. 2, 3, 4, 5 6. a= 5, b. = 5. 7. 7 8. 2√5 − 1 9. x =√5 −√3, y = 3 +√2 10. 1 11a. −8 + 6√2 11b. 5 √ 6 6 11c. √2 − 4 11d. 97 + 56√3 12. 4, 1, 14, 8√3 13. k = 29; m = 720 14. √ a a2+ 1 +√a2 ≈ a a + a深入研究題
1. 化簡求值 3 q 2 +√5 + 3 q 2 −√5 =? 1 2. 將分母根式有理化: 3 √ 3 + 1 3 √ 3 − 1 = 2 + 3 √ 9 +√3 3 3. 化簡 q 9√3 − 4√6 = √4 3(2√2 − 1)1.3
數線上的幾何
絕對值: 數線上對應的點A(a) ,用符號 |a|表示原點 O 與點A(a)的距離, |a|為a 的絕對值。
絕對值的性質: 1. 當a ≥ 0時, |a| = a。 a < 0時, |a| = −a。 2. 數線上兩點A(a), B(b)的距離為 AB = |a − b| = |b − a| 3. 絕對值性質:兩實數 a, b (a) |a| ≥ 0 (b) |a| = | − a| (c) |a|2 = |a2| (d) |a||b| = |ab| (e) |a| |b| = | a b|, b 6= 0 (f) |a| ≤ |b| ⇔ a2 ≤ b2 (g) 三角不等式|a ± b| ≤ |a| + |b| ;|a| − |b| ≤ |a ± b| 數線上兩點距離與絕對值: 每一個實數a恰對應到數線上一點 A(a), 則A, B 兩點間的距離AB 用|a − b|表示
分點公式: 分點公式: 設A(a), B(b) 為數線上相異兩點, 若點 P (x) 是線段 AB 上的一點且 P A : P B = m : n, 則 P (x) = (mb + na n + m ) : x A P B m n 絕對值不等式: 1. |x| ≤ a充要條件為−a ≤ x ≤ a。 −a O a x 2. |x| ≥ a充要條件為 x ≥ a或x ≤ −a。 −a O a x 三角不等式: |x| + |y| ≥ |x + y| ,|x| − |y| ≤ |x − y|
例題
數線上的位置
範例 1: 三個相異實數a、b、c滿足 b = 4 5a + 1 5c,如果將 a、b、c 標示在數線上, 則 (1). b 在a與c 之間 (2). c > b (3). 若 d = 4 3a − 1 3c,則 d在a 與c 之間 (4). a 到c 的距離是 a 到b 的距離的5 倍 (5). 如果 |b| = 4 5|a| + 1 5|c|,則 a · b · c > 0 1,4 演練 1a : 設a, b為實數,且a > b ,則下列何者正確? (1). a > a + b 2 > b (2). a > a + 2b 3 > 2a + b 3 > b (3). a > 3a + 2b 5 > 2 + 3b 5 > b (4). 4a − b 3 > a > b > −a + 4b 3 (5). a + b 2 ≥ √ ab 1,3,4 演練 1b : 若已知 0 < x < 1 2 , 數線上點 a = x, b = 2 − x, c = 1 x, d = x 2 ,則此四點在數線上由左而右的點 依序為何? d < a < 1 < b < c 演練 1c : 已知數線上a, b 的位置如圖:選出下列正確選項? O a 1 b 2 x (1). 數線上 ab 位於 a的右邊 (2). 數線上 ab 位於 b 的左邊 (3). 數線上 b2 位於 b 的右邊 (4). 數線上 5a − 3b 2 位於 a 的左邊 (5). 數線上, 任意實數 m, n ,點 ma + nb m + n 必位於 a, b 之 間 1,2,3,4 演練 1d : 若 |x − 3| : |x − 4| = 3 : 4 ,求 x值? 24 7絕對值不等式
範例 2: 不等式 |x − a| < b之解為 −3 < x < 5則 a, b之值? a = 1, b = 4順伯的窩
數與式
第
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共
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演練 2a : 不等式 |ax + 5| > b 之解為x < −1 或 x > 6,求a, b 之值? a = −2, b = 7 演練 2b : 解不等式 |5 − 3x| ≤ 6 − 1 3 ≤ x ≤ 11 3 演練 2c : 解不等式 |2x − 3| > 7 x > 5, x < −2 演練 2d : 不等式 |ax + 9| ≤ b 之解為−1 2 ≤ x ≤ 5, 求常數 a, b之值? a = −4, b = 11 範例 3: 解不等式 |x + 2| + 2|x − 4| < 15 −3 < x < 7 演練 3a : 滿足不等式|x − 1| + |x + 3| ≤ 5 的整數共有幾個? 5 演練 3b : 解不等式 |x + 4| ≤ |2x − 7| x ≥ 11,x ≤ 1 演練 3c : 解不等式 |2x − 4| + |x + 1| ≤ 6 2 ≤ x ≤ 3,x = −1 範例 4: 利用絕對值在數線上幾何意義 (距離), 求|x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| 的最小值? (解:)當 2 ≤ x ≤ 3 代入(中間數), 有min = 4 演練 4a : 若不等式 |x − 3| + |x + 4| < a為無解,此時常數 a值範圍為何? a ≤ 7 演練 4b : 求 |x − 1| + 2|x − 2| + 3|x − 3| + 4|x − 4|的最小值? x = 3,min= 8 演練 4c : 求 |2x − 1| − 2|x + 1| 的最大值? Max = 3 演練 4d : 求 (x − 1)2 + (x − 2)2 + (x − 3)2 + (x − 4)2 的最小值 ? (解:)當x = 1 + 2 + 3 + 4 4 平均數,min= 5 習題1-3 數線上的幾何 1. 數線上兩點A(−1), B(5) , 求 (a) AB =? (b) 已知 AB線段上一點P , 使P A : P B = 2 : 1 ,求 P 點坐標? (c) 已知 AB直線上一點P , 使P A : P B = 2 : 1 ,求 P 點坐標? 2. 設a, b ∈ Q且a < b ,則下列何者為真? (A)a < 2a + b 3 < a + 2b 3 < b (B)a < 3a + b 4 < a + 3b 4 < b (C)a < a + 3b 4 < 2a + 2b 4 < b (D)a < a + b 3 < b (E)a < 3a + 2b 5 < 2a + 3b 5 < b 3. 求滿足 |3x + 1| = 4的實數 x 值? 4. 解方程式 |x − 1| + 2|x − 4| = 6, x ∈ R 5. 解不等式 13 < 2x + 7 ≤ 17 6. 解不等式 |3x − 4| > 2
7. 對任意實數x , 求 |x − 2| + |x − 5| + |x − 8|的最小值? 8. 若不等式 |ax + 1| ≤ b 的解為 −1 ≤ x ≤ 5 ,求實數 a, b之值? 9. 設 a, b ∈ R,若 |ax − 3| ≤ b 的解為 −8 ≤ x ≤ 3, 求數對 (a, b) =? 10. 解不等式: |x − 4| + |x + 3| > 5 11. 解 3 < |x + 2| ≤ 8
