2017IMAS國小高年級組第二輪檢測中文試題詳解

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2017/2018 小學高年級組第二輪檢測試題詳解

───────────────────────────────────────────────── 1. 將 80 個三角排成一列,然後依照下面的規律塗上黑色或白色,請問塗上黑 色的三角形總共比塗上白色的三角形多幾個?

▲▲▲△△▲▲▲△△▲▲▲△△……

(A)10 (B)16 (C)18 (D)20 (E)32 【參考解法】 由圖可知,從第一個三角形開始,以每五個三角形為一個週期,每個週期內有 3 個黑色三角形與 2 個白色三角形,即黑色三角形比白色三角形多 1 個。可知 80 個三角形共有 16 個週期,所以黑色三角形比白色三角形總共多 16 個。故選(B)。 答案:(B) 2. 某班級的數學期末考試的結果為滿分 100 分有 4 位學生、得 90 分至 99 分有 6 位學生、得 80 分至 89 分有 18 位學生、得 70 分至 79 分有 12 位學生、得 69 分以下有 10 位學生。已知全班平均分數為 81.4 分,請問該班學生數學期 末考試的總得分為多少分? (A)4050 (B)3750 (C)4070 (D)3820 (E)不能確定 【參考解法】 由題意可知這個班級總共有4+ + + + =6 18 12 10 50位學生,所以該班學生數學期 末考試的總得分為81.4 50× =4070分。故選(C)。 答案:(C) 3. 已知 AB、CD 是圓 O 的兩條相互垂直之直徑,過圓上的任一點 P 作這兩直 徑的垂線,垂足分別為點 E、F,如下圖所示。若圓 O 的直徑為8 cm,請問 EF 的長度是多少cm? (A)8 (B)6 (C)5 (D)4 (E)2 【參考解法】 由題意可知ABCDPEODPFOA,所以四邊形 PEOF 為矩形。連接 OP,則OP=EF。注意到 OP為圓O 的半徑,故EF =4 cm。故選(D)。 答案:(D) A C B O E F P D

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4. 已知 36 個面積為 1 cm2的小等邊三角形拼成一個大等邊三角形,如圖所示。 請問圖中三角形 ABC 的面積是多少 cm2 ? (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 (E)18 【參考解法 1】 如圖所示之方式標記點 D、D′、EE′、FF′,則

三角形ABC被分割成三角形 ADCBECAFBDEF

注意到:

(i) 三角形DEF面積為 1 cm2;

(ii) 三角形ADC面積為平行四邊形ADCD′面積的一

半,而平行四邊形ADCD′是由 4 個小正三角形拼 成,故三角形ADC面積為1 4 2 2× = cm 2 (iii) 三角形BEC面積為平行四邊形BE CE′ 面積的一半,而平行四邊形BE CE′ 是 由 6 個小正三角形拼成,故三角形BEC 面積為1 6 3 2× = cm 2

(iv) 三角形AFB 面積為平行四邊形AFBF′面積的一半,而平行四邊形AFBF′是

由 8 個小正三角形拼成,故三角形AFB面積為1 8 4 2× = cm 2 。 所以三角形ABC的面積為1 2+ + + =3 4 10 cm2。故選(C)。 【參考解法2】 如圖所示之方式標記點D′、E′,則三角形ABCACD′、 BCE′拼成五邊形ABE CD′ ′,而觀察知五邊形ABE CD′ ′

是由13個完整的小正三角形與 4 個被切為一半的小正 三角形所拼成,故五邊形ABE CD′ ′的面積為 1 13 1 4 15 2 × + × = cm2。由【參考解法1】可判斷出三角 形ACD′、BCE′的面積分別為2 cm2、3 cm2,因此三角 形ABC的面積為15− − =2 3 10 cm2。故選(C)。 A C B A C B D E F DEFA C B DE

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【參考解法 3】 如圖所示之方式標記點 D、E、F,則三角形 DEF 的 面積為 36 cm2。注意到 1 3 AE= EF 、 2 3 AF = EF 、 1 3 FB= FD、 2 3 BD= FD、 1 2 CE =CD= DE,故由共 角定理可知三角形 ACE 的面積為1 1 36 6 3× ×2 = cm 2 三角形 AFB 的面積為2 1 36 8 3× ×3 = cm 2、三角形 ACE 的面積為2 1 36 12 3× ×2 = cm 2,因此三角形 ABC 的面積為36 6 8 12 10− − − = cm2。 故選(C)。 答案:(C) 5. 一個正數去掉小數部分後得到一個整數,將這個整數加上原來的正數所得之 和,再與 5 相乘,最後得到 22.1。請問原來這個正數是多少? (A)4.42 (B)0.42 (C)4.41 (D)4 (E)2.42 【參考解法】 可知原來的正數與其整數部分相加所得之和為 22.1 5 4.42÷ = ,因此原來的正數 之小數部分為 0.42,且整數部分為4÷ =2 2,所以原來這個正數是 2.42。故選(E)。 答案:(E) 6. 箱子內有大小完全相同的黑色小球 7 顆、白色小球 5 顆、紅色小球 8 顆。從 箱子內依次取出小球,請問至少需要取出多少顆小球,才能保證取出小球中 黑、白、紅三種顏色都有? 【參考解法】 為了保證取出三種顏色的球,最壞的情況是先取完數量較多的兩種顏色的小球, 即黑球與紅球,共有 7 8 15+ = 顆,再取出一顆球即可保證取出三種顏色的小球, 故至少需要取出15 1 16+ = 個小球。 答案:16 顆 7. 在平行四邊形 ABCD 中,點 E、F 分別為 BC、CD 的中點。分別連接 AE、

AF、DE、BF、BD,如下圖所示。若平行四邊形 ABCD 的面積為 4 cm2,請 問圖中以點 A、B、C、D、E、F 中三個點為頂點、以現有的線段為邊且面 積為 1 cm2 的三角形共有多少個? A C B D E F A C B E F D

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【參考解法】 可知圖中的三角形有 ABD、ABE、ABF、ADE、ADF、BCD、BCF、BDE、BDF、 CDE 共 10 個三角形,由平行四邊形 ABCD 的面積為 4 cm2可知: (i) 三角形 ABD、ABF、ADE、BCD 的面積為1 4 2 2× = cm 2 ; (ii) 因點E 為 BC 的中點,故三角形 ABE、CDE、BDE 的面積為1 1 4 1 2× × =2 cm 2 (iii) 因點F 為 CD 的中點,故三角形 ADF、BCF、BDF 的面積為1 1 4 1 2× × =2 cm 2 。 故圖中面積為 1 cm2 的三角形總共有 6 個。 答案:6 個 8. 一張圓桌有 20 個座位,其中有些座位已經有人入坐。此時若新來一個人, 他無論坐在哪個空位,都至少有一個已入坐的人與他相鄰,即他們之間沒有 空著的座位,請問原來至少有多少個座位已經有人入坐? 【參考解法】 由題意可知,原來僅隔著空座位的兩個人之間最多有 2 個空座位,因此 3 個依 次相鄰的座位至少有 1 個座位已有人入坐。因20= × +3 6 2,所以原來至少有 6 1 7+ = 個座位已經有人入坐。 答案:7 個 9. 將圓內的一個內接正三角形分別以順時針、逆時針各旋轉40°,如圖所示。 請問圖中總共有多少個不在相同位置的三角形? 【參考解法】 觀察可知 (i) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有9 個:

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(ii) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個: (iii) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 9 個: (iv) 與下圖中陰影三角形相同但位置不同的三角形共有 3 個: 因此圖中總共有9+ + + =9 9 3 30個不在相同位置的三角形。 答案:30 個 10. 有 12 個大小相同的小正方形拼成一個矩形,其中 10 個為白色、2 個為黑色,如下圖所示。請問至少 要再加入多少個同樣大小且僅為白色的小正方形才 能使得所得到的圖形是中心對稱的圖案? 【參考解法】 由於僅有2 個黑色小正方形,故所得圖形的對稱 中心必為這兩個黑色小正方形的對稱中心。從而 可知在原圖的右方與下方共加入6 個白色小正方 形,如圖所示,即可成為中心對稱的圖案。 答案: 6個 對稱 中心

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11. 在直角梯形 ABCD 中,已知ABC= ∠BCD= °90 、 3 AB= cm、CD=9cm且點 EF分別位於底邊 CD 與直角邊BC上,如下圖所示。若BF =2cm且AEEF將梯形面積三等分,請問直角梯形ABCD 的面 積是多少cm2? 【參考解法】 在三角形ADE中,DE邊上的高之長度與BC之長度相 同且三角形 ADE 面積等於梯形 ABCD 面積的三分之 一,故由面積關係可判斷出 1 1 2 1 3 ( ) 2 DE BC AB CD BC × = + × ,即 1 ( ) 4 3 DE = AB+CD = cm,且由此可知CE =CDDE=5cm。接著由三角形ADE 面積與三角形 CEF相等可知1 1 2DE×BC = 2CE CF× ,將 DE、CE 長度代入並化 簡可得 4 5 CF = BC。因 1 5 BF =BCCF = BCBF =2cm,故BC=10cm,因此 直角梯形 ABCD 的面積為1 ( ) 1(3 9) 10 60 2× AB+CD ×BC = 2 + × = cm 2 答案:60 cm2 12. 某工廠生產一批零件。若每小時比原來計畫的生產速度多生產 4 個零件,則 所用的時間比原預估的時間少 1 10;若每小時比原來計畫的生產速度少生產 6 個零件,則所用時間比原預估的時間多1 5。請問該工廠原來計畫的生產速度 是每小時生產多少個零件? 【參考解法 1】 設該工廠原來計畫的每小時生產速度是生產 v 個零件且原預估的時間為 t 小時。 則由題意可知 1 1 ( 4)(1 ) ( 6)(1 ) 10 5 9 6 ( 4) ( 6) 10 5 45( 4) 60( 6) 60 45 45 4 60 6 15 540 36 v t v t v v v v v v v v + − = − + + = − + = − − = × + × = = 所以該工廠原來計畫的每小時生產速度是生產 36 個零件。 A C B E F D

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【參考解法 2】 每小時比原來計畫的生產速度多生產 4 個零件的情況比每小時比原來計畫的生 產速度少生產 6 個零件的情況每小時多生產了 10 個零件,且所花費的時間比為 1 9 1 3 10 10 1 6 4 1 5 5 − = = + ,即可判斷出在每小時比原來計畫的生產速度多生產4 個零件的 情況下,每小時生產10 (1 3) 40 4 ÷ − = 個零件,在每小時比原來計畫的生產速度少 生產 6 個零件的情況下,每小時生產 40 10 30− = 個零件,因此該工廠原來計畫 的每小時生產速度是生產 40 4 30 6 36− = + = 個零件。 【參考解法 3】 可知生產速度與生產時間成反比,故若設該工廠原來計畫的每小時生產速度是 生產 v 個零件,則由題意可得知: 9 4 10 9 36 10 36 v v v v v = + + = = 且 6 6 5 6 36 5 36 v v v v v = − − = = 所以該工廠原來計畫的每小時生產速度是生產 36 個零件。 答案:36 個 13. 若一個三位數可以被 6 整除,且將它的十位碼與個位碼交換後所得到的三位 數也可以被 6 整除,我們稱這樣的三位數為「幸運數」。請問總共有多少個 不同的「幸運數」? 【參考解法】 被 6 整除等價於同時可被 2 與 3 整除,故知「幸運數」的末兩位數碼均為偶數, 且三個數碼之和可被 3 整除。在「幸運數」的末兩位數碼中,每一位都可選擇 0、 2、4、6、8 共有 5 種選法。而在非零數碼中,被 3 除之後餘數為 1 的數共有 1、 4、7 這三個數、被 3 除之後餘數為 2 的數共有 2、5、8 這三個數、被 3 除之後 餘數為 0 的數共有 3、6、9 這三個數,因此當末兩位數碼選定並得知它們的數 碼和除以 3 的餘數後,選擇首位數碼時都有 3 種選法使得三個數碼之和可被 3 整除。故不同的「幸運數」總共有5 5 3 75× × = 個。 答案:75 個 14. 有五個正整數排成一列,從第二個數起,每一個數都不小於前一個的兩倍。 已知這五個數之和是 2018,請問最後一個數的最小可能值是多少?

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【參考解法】 設最後一個數為 x,則前四個數依序至多分別為 16 x 、 8 x 、 4 x 、 2 x ,故 2018 16 8 4 2 x x x x x + + + + ≥ ,(5 分)即 2018 16 104117 31 31 x≥ × = ,故x≥1042。(5 分) 另一方面,將這五個數取為 65、130、260、521、1042 時滿足題目要求,(5 分) 故所求為 1042。(5 分) 答案: 1042 15. 在一個8 8× 棋盤的每個小方格內最多放置 1 枚棋子。現將放置好棋子的棋盤 任意取出 4 行與 4 列上的所有棋子後,在棋盤內至少還剩有 1 枚棋子。請問 原來棋盤上至少放置有多少枚棋子? 【參考解法】 首先考慮棋盤上每行每列都有一枚棋子的情 況。可不妨假設在棋盤對角線上的格子中各放 入一枚棋子,如圖一。 由於任意劃掉 4 行 4 列的棋子後,在剩下的格 子中至少還有 1 枚棋子,故每次劃掉的棋子數 量愈多愈好。在圖一中,劃掉 4 列中的 4 枚棋 子後,還剩下 4 枚棋子分佈在 4 行中,若再劃 掉 4 行,則棋盤中棋子可能便不剩了。因此至 少放入 9 枚棋子,且知在棋盤中必然有某些行 或列至少應放入 2 枚棋子。為了使棋盤中放入 的棋子盡可能少,且調換劃行與劃列的順序後 並不影響結果,可考慮在每放入 1 枚棋子後, 棋盤中含有 2 枚棋子的行與列都增加。因每一次都取出 4 列的棋子,故至少有 4 列是放入 2 枚棋子,即至少放入 12 枚棋子(5 分)。若恰放入 12 枚可滿足題意, 則可先劃去列內棋子數最多的四列,此時其餘四列內的棋子必分散在相異的五 行內,即其餘四列內共至少有 5 枚棋子,由抽屜原理可知其中至少有一列有 2 枚棋子,因此可判斷出所劃去的四列,每一列內都至少有 2 枚棋子,因此所劃 ● ● ● ● ● ● ● ● 圖一

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去的四列共至少有 8 枚棋子,即原先棋盤內共有5 8 13+ = 枚棋子,矛盾。因此 至少需有13 枚棋子(5分),如圖二為其中一種放置方法。(5 分) 需要指出的是:在放入第13枚棋子後,下面這幾種放法是不合題意的,因為如 以下方式先劃掉4 列後,只有4 行含有棋子,故再劃掉4 行就可能不剩棋子。 綜上所述,棋盤上總共至少有13 枚棋子(5分)。 答案:13 枚 ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 圖二

數據

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參考文獻

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