2014IMAS國小高年級組第二輪檢測中文試題詳解

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2014 小學高年級組第二輪檢測試題詳解

───────────────────────────────────────────────── 1. 請問算式 32 37 75  的值為多少? (A)88075 (B)88800 (C)88200 (D)74000 (E)80800 【參考解法】 32 37 75 8 4 25 3 37=800 111=88800        。 答案:(B) 2. 某項體育比賽的計分規則是:每位運動員表演結束後,七名裁判給這位運動 員打出分數,先去掉一個最高和一個最低的分後,餘下五名裁判的分數的平 均值作為該運動員的實際得分。在這項比賽中,若七名裁判給某位運動員的 打分為 9.2、9.5、9.3、9.6、9.1、9.6、9.4,請問該運動員的實際得分是多少? (A)9.3 (B)9.38 (C)9.4 (D)9.42 (E)9.5 【參考解法】 去掉一個最高分 9.6 和一個最低分 9.1,餘下五名裁判的分數的平均值為 (9.2 9.3 9.4 9.5 9.6) 5     9.4分。 答案:(C) 3. 有 39 位小朋友在操場上排成若干排,第一排有 4 位,後面每排都比前一排 多一位,請問最後一排有多少位小朋友? (A)5 (B)6 (C)9 (D)15 (E)35 【參考解法 1】 根據題意,因為 4 5 6 7 8 9 39      ,所以最後一排有 9位小朋友。 【參考解法 2】 根據題意,可知第一排後面總共有39 4 35  位; 而第二排有 5 位,故第二排後面總共有35 5 30  位; 而第三排有 6 位,故第三排後面總共有30 6 24  位; 而第四排有 7 位,故第四排後面總共有 24 7 17  位; 而第五排有 8 位,故第五排後面總共有17 8 9  位; 而第六排恰有 9 位,故知共有六排,而最後一排有 9 位小朋友。 【參考解法 3】 假設第一排前面還有 3 排,人數分別為 1、2、3 位,則總人數為39 1 2 3 45    , 而知1 2 3 4 5 6 7 8 9 45         ,所以最後一排有 9 位小朋友。 答案:(C) 9.2 9.5 9.3 9.6 9.1 9.6 9.4

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4. 若正整數 n 的平方減去 200 後所得的差是一個 4 的倍數之三位數,請問這樣 的正整數 n 總共有多少個不同的取值? (A)8 (B)9 (C)16 (D)17 (E)32 【參考解法】 因為 200 也是 4 的倍數,所以滿足要求的三位數與 200 之和必為偶數的平方, 並且這個完全平方數不小於 300、不大於 1199。而已知 2 2 16 256300324 18 且 2 2 34 1156 1199 1296 16   。因此這樣的三位數有: 2 18 200 124 、 2 20 200200、 2 22 200284、 2 24 200376、 2 26 200476、 2 28 200584、 2 30 200700、 2 32 200824、 2 34 200956,共 9 個。 答案:(B) 5. 一個無蓋的正方體盒子,在它的兩個側面各挖去一個圓,如 圖所示,請問下列哪一項是它的平面展開圖? (A) (B) (C) (D) (E) 【參考解法】 將各選項的展開圖摺起來並旋轉後,可得如下五個圖,其中只有(C)選項符合要 求,其它選項摺起來後都使得兩個圓在相鄰的面上。 (A) (B) (C) (D) (E) 答案:(C)

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6. 一台印表機,如果按定價減價 10% 出售,可盈利 220 元,如果按定價減價 20%出售,則要虧損 100 元,請問這台印表機的定價為多少元? 【參考解法】 由題意可知這台印表機的定價為(220 100) (0.9 0.8)   3200元。 答案:3200 元 7. 某架貨機有三個貨艙:前艙、中艙、後艙。三個貨艙所能裝載的貨物的最大 重量和體積都有限制,如下表所示。並且為了保持飛機的平衡,三個貨艙中 實際裝載貨物的重量必須與其最大容許重量的比例相同。現有一批足夠多的 貨物 A,且每噸貨物 A 的體積為 6 m3。請問該貨機一次飛行最多能裝載多少 噸貨物 A?(結果用小數表示,以四捨五入精確到小數點後兩位) 【參考解法】 因為體積的限制 66 6 10  、84 6 16  、51 6 8  ,所以中艙最多能裝載 84 6 14  噸貨物 A。由題意,前艙最多能裝載10 14 8.75 16   噸貨物 A,後艙最多 能裝載8 14 7 16   噸貨物 A。所以該貨機一次飛行最多能裝載8.75 14 7 29.75   噸貨物 A。 答案:29.75 噸 8. 在△ABC 中,E 為 AC 邊上的一點,D 為 BC 邊的中點,F 為線段 BE 的中點, 若△ABC 和四邊形 AFDC 的面積分別為 120 cm2和 80 cm2,請問△BDF 的面 積為多少 cm2 【參考解法】

連接 FC,令記號 S 表示面積,由題目條件可知SABFSAFESBCFSFCE

即 1 60 2 AFC ABC SS  cm2。故SBDFSFDCSAFDCSAFC 80 60 20cm2。 答案:20 cm2 前艙 中艙 後艙 質量限制/噸 10 16 8 體積限制/m3 66 84 51 F E D C B A

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9. 要寫出一個算式是由一個四位數減去一個三位數,所得的差是一個一位數, 例如: 1000 991 9  、1001 994 7  ,請問總共可寫出多少個不同的算式? 【參考解法】 顯然這樣的四位數最小為 1000,最大為 1008,否則四位數與三位數之差大於或 等於1009 999 10  。 當四位數為 1000 時,三位數可以選取 991 至 999,共有 9 個算式; 當四位數為 1001 時,三位數可以選取 992 至 999,共有 8 個算式; 當四位數為 1002 時,三位數可以選取 993 至 999,共有 7 個算式; 當四位數為 1003 時,三位數可以選取 994 至 999,共有 6 個算式; 當四位數為 1004 時,三位數可以選取 995 至 999,共有 5 個算式; 當四位數為 1005 時,三位數可以選取 996 至 999,共有 4 個算式; 當四位數為 1006 時,三位數可以選取 997 至 999,共有 3 個算式; 當四位數為 1007 時,三位數可以選取 998、999,共有 2 個算式; 當四位數為 1008 時,三位數可以選取 999,共有 1 個算式; 所以最多可寫出1 2 3 4 5 6 7 8 9 45         個不同的算式。 答案:45 個 10. 在 3 5 的棋盤上,有一隻螞蟻從小方格 A 的中心出發,只能水平或鉛直行 走,並要經過其它所有小方格的中心各恰一次,最後到達小方格 B 的中心。 請問這隻螞蟻總共有多少種不同的路徑? A C M D B F E N 【參考解法】 如圖所示,將小方格 B 周圍的小方格標上字母。由題目的條件可知,螞蟻只能 經過小方格 C、D、E 或 F 而最後到達小方格 B。 (i) 若螞蟻通過小方格 F 到達小方格 B,則小方格 F 前面一個小方格只能是 M 或 N,但無論是哪一個,都沒法經過另外一個小方格而倒推回到小方格 A。所以 螞蟻不能通過小方格 F 到達小方格 B。 (ii) 若螞蟻通過小方格 E 到達小方格 B,則小方格 E 前面一個小方格只能是 N, 否則小方格 N 沒法經過。小方格 N 前面一個小方格只能是 F,依此類推,得到 這種情況下有 2 種不同的路徑,如下圖所示。 (iii) 若螞蟻通過小方格 C 到達小方格 B,則小方格 C 前面一個小方格只能是 M, 否則小方格 M 沒法經過。小方格 M 前面一個小方格只能是 F,依次類推,得到 這種情況下有 2 種不同的路徑,如下圖所示。 A C M D B F E N A C M D B F E N

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(iv) 若螞蟻通過小方格 D 到達小方格 B,同上面的討論,這種情況下有 4 種不同 的路徑,如下圖所示。 綜上所述,這隻螞蟻共有 8 種不同的路徑。 答案:8 種 11. 小莉的電話號碼是能同時被 3 與 5 整除的八位數。小明只記得這個電話號碼 的前六碼 892015□□,請問小明最多要試撥多少次就能正確撥通此電話? 【參考解法】 因為 892015□□能被 5 整除,所以個位數只能是 0 或 5。 若個位數是 0,則 892015□0 能被 3 整除,因此 8+9+2+0+1+5+□+0 = 25+□能 被 3 整除。所以十位數的「□」只能是 2、5、8; 若個位數是 5,則 892015□5 能被 3 整除,因此 8+9+2+0+1+5+□+5 = 30+□能 被 3 整除。所以十位數的「□」只能是 0、3、6、9。 綜上所述,這樣的電話號碼最多有3 4 7  個,小明最多要試撥 7 次就能正確撥 通此電話。 答案:7 次 12. 已知 ABCD、CEFG、DGMN 都為正方形,其中點 G 在邊 CD 上,點 F 在邊 GM 上,AB = 10 cm,MN = 6 cm,如圖所示,請問△AEM 的面積為多少 cm2? 【參考解法 1】 延長 BC、NM 交於 P 點,如下圖左所示。 可知 ABPN 是矩形,且AN10 6 16  cm,正方形 CEFG 的邊長為10 6 4cm, 所以BE 10 4 14cm,EP  6 4 2cm。故 2 1 1 1 10 16 10 14 2 4 16 6 2 2 2 38 cm

AEM ABPN ABE EPM AMN

SSSSS             △ △ △ △ A C M D B F E N A C M D B F E N N M E D C B A F G A C M D B F E N A C M D B F E N A C M D B F E N A C M D B F E N

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【參考解法 2】 連接 AF,如上圖右所示。由題意可得正方形 CEFG 的邊長為10 6 4  cm, 6 4 2 FM    cm,所以 1 2 6 6 2 AFM S     cm2、 1 2 4 4 2 FEM S     cm2、 1 4 (10 4) 28 2 AEF S      cm2,因此 6 4 28 38 AEM AFM FEM AEF

SSSS     cm2。 答案:38 cm2 13. 將正整數 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 分成兩組,使得其中一組的所有 數之和等於 n,而另一組的所有數之積也等於 n,請問正整數 n 的最大值是 什麼? 【參考解法】 當n42時,將 1、2、3、…、10 分成兩組,第一組為 1、2、3、4、5、8、9、 10,和為 42,第二組為 6、7,積為 42,滿足條件。 當n43、44、46、47 時,n 分別含有大於 10 的質因數 43、11、23、47,無法 讓第二組數的積為 n;當n45時,由於 45 3 3 5 5 9     ,第二組只能為 5 與 9,但此時第一組為 1、2、3、4、6、7、8、10,和為 41,不合條件。 當n48時,第一組所有數之和不小於 48,故第二組所有數之和不大於 1 2  10 48 7,顯然第二組所有數之積不可能大於等於 48,矛盾。 綜上所述,正整數 n 的最大值是 42。 答案:42 【注】先考慮第二組只有兩個數 a、b 的情況,由題意可得55 ( a b) ab,整 理得(a1)(b 1) 56 7 8,故僅有a6、b7或a7、b6,此時n42。 14. 將三個質數(不必相異)各加 1,然後將這三個和相乘,請問所得的乘積中有 哪些數是介於 1999 與 2021 之間? 【參考解法 1】 不妨設三個質數為 p q r  ,下面對 p、q、r 分情況討論。 (i) 若p q 2,則n9(r 1),即 n 能被 9 整除,1999 至 2021 之間只有 2007 和 2016 被 9 整除。 當n2007時,則r 1 223,即r222,但 222 不是質數,所以 2007 在這 種情況下不是「好數」; 當n2016時,則r 1 224,即r223為質數,所以 2016 是「好數」。 N M E D C B A F G P N M E D C B A F G

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(ii) 若 p2,2 q r,則n3(q1)(r1) ,且q1和r 1都為大於 2 的偶數, 即 n 能被 3 和 4 整除,所以 n 只能是 2004 和 2016。由上面可知 2016 已經 是「好數」。 當n2004時,則(q1)(r 1) 66822167,故知 668 不能分解成兩個大 於 2 的偶數的乘積,所以 2004 在這種情況下不是「好數」。 (iii) 若2  p q r,則p1、q1和r 1都為大於 2 偶數,即 n 能被 8 整除, 所以 n 只能是 2000、2008 和 2016。由上面可知 2016 已經是「好數」。 n2000時,則(p1)(q1)(r 1) 2453,所以p1、q1和r1中只有 一個為 4 的倍數,不妨設r 1不是 4 的倍數,但是 2 5 1 9   、 2 2 5  1 49、 3 2 5  1 249都不是質數,所以 2000 不是「好數」; 當n2008時,則 3 (p1)(q1)(r  1) 2 251,所以p1、q1和r1中只 有一個可以是大於 2 偶數,所以 2008 不是「好數」。 綜上所述,介於 1999 與 2021 之間的所有「好數」只有 2016。 【參考解法 2】 不妨設三個質數為 p q r  ,下面對 p、q、r 分情況討論。 p1、q1與r1之值只能等於 3 或是大於 3 的偶數,故(p1)( q1)( r1) 之 值只能是 3 的倍數或是 8 的倍數。在 1999 至 2021 之間,只要討論 2000、2001、 2004、2007、2008、2010、2013、2014、2016、2019 等數是否為「好數」即可。 4 3 20002 5 ,不是 3 的倍數,將 2000 寫成三個大於 3 的偶數相乘的寫法有: 2 2 2 2000 2 (2 5) (2 5 ) 4 10 50 (2 5) (2 5) (2 5) 10 10 20                  但10 9 1  ,而 9 不為質數,故不合; 2001 3 23 29   ,而 23、29 不是大於 3 的偶數,故不合; 2 20042  3 167,除了 3 之外,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 2 2007 3 223,除了 3 之外,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 3 2008 2 251,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 2010   2 3 5 67,除了 3 之外,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 2013 3 11 67   ,除了 3 之外,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 2014  2 19 53,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 5 2 2016  2 3 7,將 2016 寫成三個等於 3 或是大於 3 的偶數相乘的寫法中有: 2016  3 4 168,其中 3 2 1  、4 3 1  、168 167 1  ,而 2、3、167 為質數, 故滿足題意,即 2016 為好數; 2019 3 673,除了 3 之外,因數不都是大於 3 的偶數,故不合; 綜上所述,介於 1999 與 2021 之間的所有「好數」只有 2016。 答案:2016 【評分標準】 (1) 知p1、q1與r 1之值只能等於 3 或是大於 3 的偶數得 5 分。 (2) 討論除了 2016 外,其它的數不是「好數」得 10 分。 (3) 只給正確答案得 5 分,若有多餘的答案則不給分。

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15. 將一個大正三角形的每條邊用 5 個點將它 6 等分,然後以平行於三角形各邊 的直線將這些點相連接,把大正三角形分割為 36 個小正三角形,如下右圖 所示。下左圖是由 6 個小正三角形所構成的正六邊形,請問在大正三角形內 最多能不重疊地沿著格線放入多少個這樣的正六邊形? 【參考解法 1】 最多能能放入 4 個這樣的正六邊形,擺放位置如圖所示。 下面證明不能放入多於 4 個正六邊形。我們考慮有多少個小正三角形不能作為 正六邊形的一部分。觀察有條邊與 BC 共線的正六邊形。 若沒有正六邊形的邊在 BC 上,則正三角形網格最底下一行有 11 個小正三 角形不屬於正六邊形; 若只有一個正六邊形有邊在 BC 上,則正三角形網格最底下一行有 8 個小正 三角形不屬於正六邊形; 若有兩個正六邊形有邊在 BC 上,則正三角形網格最底下一行有 5 個小正三 角形不屬於正六邊形。 根據對稱性,△ABC 的每條邊上至少有 5 個小正三角形不屬於正六邊形。除去 重複的小正三角形,圖中至少有5 3 3 12   個小正三角形不屬於正六邊形。而 圖中共有 36 個小正三角形,所以正六邊形的個數不超過(36 12) 6  4個。 【參考解法 2】 如圖,依照小三角形的方向將小三角形相間塗色。 A B C

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可知大正三角形中白色小三角形有 15 個,而正六邊形中白色小三角形為 3 個, 故至多恰可擺放 5 個正六邊形。但現觀察排成水平方向的白色小正三角形,可 知大正三角形中最下面一排有 5 個白色小正三角形,但正六邊形中水平方向一 排至多有 2 個白色小正三角形,因此大正三角形最下面一列至多只能擺放 2 個 正六邊形,即至少有一個白色三角形無法放在正六邊形中,因此大正三角形中 至多只能有 14 個白色小三角形可依題意要求放在正六邊形中,即至多恰可擺放 4 個正六邊形,下圖所示為一例子。 答案:4 個 【評分標準】 (1) 知△ABC 的每條邊上至少有 5 個小正三角形不屬於正六邊形,得 10 分。 (2) 知圖中至少有 12 個小正三角形不屬於正六邊形得 5 分。 (3) 只給正確答案並畫出圖形得 5 分。 或 (1) 知將 △ABC 內的小正三角形相間塗色得 10 分。 (2) 知最下面一列至少有一個白色三角形無法放在正六邊形中得 5 分。 (3) 只給正確答案並畫出圖形得 5 分。

數據

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參考文獻

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