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我們已經學習了指數是正整數的冪，知道正整數指數冪有如 下運算性質： (1) am i an = am n+ (2) am ÷an = am n− (a ≠ ， m n0 > ) (3) (am n) = amn (4) (ab)n = an ibn (5) m m m a a b b ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (b ≠ ) 0 現在，我們來學習指數是零、負整數與分數時冪的意義及運 算。12.1 ᇴᄃፋᇴᇴ
對於同底數的正整數指數冪的除法，我們有上面的運算性質 (2)，即同底數的冪相除，指數相減： m n m n a ÷a = a − 。 由於除式不能是零，我們規定a ≠ ；為了使運算的結果仍然是正0 整數指數冪，還要求 m n> 。但在實際計算中有時會出現 m n= 或 m < 的情況，下面我們來分別研究這兩種情況。 n 1. 零指數 我們知道，同底數的冪相除，如果被除式的指數等於除式的 指數，也就是被除式，那麼所得的商等於 1。例如， 2 2 3 3 5 5 1 1 ( 0) a a a ÷ = ÷ = ≠ 另一方面，如果仿照上面的運算性質(2)計算這兩個例子，用 被除式的指數減去除式的指數，就得2 2 2 2 0 3 3 3 3 0 5 5 5 5 ( 0) a a a a a − − ÷ = = ÷ = = ≠ 這時就出現了零指數。 為了使被除式的指數等於除式的指數時，同底數冪除法的運 算性質也能適用，我們規定零指數冪的意義是 0 1 a = (a ≠ 0) 這就是說，任何不等於零的實數之零次冪都等於 1。 這樣規定以後，上面的例子就可以這樣來計算： 2 2 2 2 0 3 3 3 3 0 5 5 5 5 1 1 ( 0) a a a a a − − ÷ = = = ÷ = = = ≠ 應當注意，零的零次冪沒有意義。 2. 負整數指數 同底數的冪相除，如果被除式的指數小於除式的指數，我們 可以通過約分來計算。例如 2 2 2 6 6 2 4 4 3 3 3 5 5 3 2 2 5 5 1 5 5 5 5 5 5 1 ( 0) a a a a a a a a a ÷ = = = ÷ = = = ≠ i i 可以看到，同底數的冪相除，當被除式的指數比除式的指數 小 p 時，所得的商式一個分數或分式，分子是 1，分母是同底數 的 p 次冪。 另一方面，如果仿照冪的運算性質(2)計算這兩個例子，用被 除式的指數減去除式的指數，就得 2 6 2 6 4 3 5 3 5 2 5 5 5 5 ( 0) a a a a a − − − − ÷ = = ÷ = = ≠ 這時就出現了負整數指數。 為了使被除式的指數小於除式的指數時，同底數冪除法的運 算性質也能適用，我們規定負整數指數冪的意義是
-p 1 p a = a (a ≠ 0，p 是正整數) 這就是說，任何不等於零之實數的− (p 是正整數)次冪，等p 於這個數的 p 次冪之倒數。 這樣規定以後，上面的例子就可以這樣來計算： 2 6 2 6 4 4 3 5 3 5 2 2 1 5 5 5 5 5 1 ( 0) a a a a a a − − − − ÷ = = = ÷ = = = ≠ 應當注意，零的負整數次冪沒有意義。 規定了零指數冪與負整數指數冪的意義，就把指數從正整數 推廣到了整數。正整數指數冪的運算性質對整數指數冪都適 用。例如： 3 0 3 0 3 3 2 3 2 1 3 2 3 2 6 6 ( 0) 1 ( 0) 1 ( ) ( 0) a a a a a a a a a a a a a a a a + − − + − − − × − = = ≠ = = = ≠ = = = ≠ i i 在本章裡，當指數是零或負數時，如果沒有特別說明，底數 都不等於零。 【ּ 1】 計算 3 10− ă( 3)− −2ă 3 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ă 0 1 5 × −( 2)− Ą!
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ྋ !! 3 3 1 1 10 10 1000 − = = ； 2 2 1 1 ( 3) ( 3) 9 − − = = − ； 3 3 1 1 8 2 1 2 − ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； 0 1 1 1 5 ( 2) 1 2 2 − × − = × = − − 。【ּ 2】 用小數表示下列各式： 5 10− ă7 10× −6 ă3.6 10× −8Ą!
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ྋ !! 5 5 1 10 0.00001 10 − = = ； 6 6 1 7 10 7 7 0.000001 0.000007 10 − × = × = × = ； 3.6 10 8 3.6 18 3.6 0.00000001 0.000000036 10 − × = × = × = 。ቚ ௫!
1. (口答) 下列各式的結果是什麼？ (1) 3a b2 +2a b2 ； (2) 3a b2 i 2a b2 ； (3) (3ab2 2) ； (4) 3 2 2b a ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (5) 16a b4 2 ÷12a b2 2； (6) (a b2 2 3) ÷a b2 。 2. 計算： 0 3 、3−1、10−4、( 2) 、0 7−2、1−10、( 2)− −3、 4 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 、 0 ( 0.1)− 、 3 1 2 − ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 3. 計算： (1) ( 2)− 3 − − ； (2) ( 1)0 2−2 + −( 2)−5； (3) 2 0 1 1 2 2 − ⎛ ⎞ ÷⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (4) 2 1 1 2 2 − − ⎛− ⎞ × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 4. 用小數表示下列各式： (1) 2 10× −5； (2) 3.1 10× −7； (3) 8.04 10× −8； (4) 1.205 10× −2； (5) 2.12 10× −3； (6) 2.12 10× −2 ； (7) 2.12 10× −1； (8) 2.12 10× 0 。【ּ 3】 計算 5 (−a)− 、a b−2 −1( 2− a3) 、( 5− a b3 −1)−2，並且把結果化 成只含有正整數指數的式子。
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ྋ !! 5 5 5 1 1 ( ) ( ) a a a − − = = − − ； 2 1 3 2 3 1 1 2 ( 2 ) 2 2 a a b a a b ab b − − − = − − + − = − − = − ； 3 1 2 1 ( 2) 3 ( 2) ( 1) ( 2) 2 6 2 2 2 6 2 6 ( 5 ) ( 5) ( 5) 1 1 ( 5) 25 a b a b a b b a b a − − × − × − − × − − − − = − = − = × × − = 【ּ 4】 計算： (1) 2 3 1 2 3 2 ( 3 ) 6 a b a b a b − − − − − − ； (2) (x−2 + y−2)(x−2 − y−2)； (3) 1 1 1 1 a b a b − − − − + i 。ś
ྋ !! (1) 2 3 1 2 2 ( 1) ( 3) 3 2 ( 2) 3 2 ( 3 ) 3 6 6 a b a b a b a b − − − − + − − − − + − − − − − = − 0 1 2 1 2 a b b = − = − (2) (x−2 + y−2)(x−2 − y−2) =(x−2 2) −(y−2 2) = x−4 − y−4； (3) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 a b a b ab b a a b a b a b ab − − − − − − − − + = + = + = + i i 。ቚ ௫!
1. 計算下列各式，並且把結果化成只含有正整數指數的式子： (1) ab2 c− ； (2) 1 1 pq r− − ； (3) 1 2 ( ) a a b a b − − + ； (4) 1 2 3 4 5 2 xy ab − − − − 。 2. 利用負整數指數把下列各式化成不含分母的式子： (1) 15 y ； (2) 2 3 a b ； (3) 2 5 m x y 。 3. (口答) 下列計算是否正確？如果不正確，應如何改正？ (1) ( 1)− 0 = − ； (2) 1 ( 1)− 1 = ； 1 (3) 3 2 12 3 a a − = ； (4) (−x)5 ÷ −( x)3 = − 。 x2 4. 計算下列各式，並且把結果化成只含有正整數指數的式子： (1) 3−5 i36 ； (2) 7−9 ÷7−10； (3) a−3 ia2 ； (4) b b−4 −2； (5) (a−3)−2 ； (6) (x−3 0) ； (7) (xy)−2； (8) 2 p q − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 5. 計算： (1) (x y4 −3) (i x y−2 2) ； (2) 3a b−2 −3 ÷3−1a b2 −3； (3) 2 5 2 3 3 3 3 − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ； (4) 1 1 1 1 2 2 (x y )(x y ) x y − − − − − − + − 。 3. 科學記數法 同底數的冪相除，如果被除式的指數小於除式的指數，我們 可以通過約分來計算。例如，地球的表面積約為 510000000 km2， 可以記作 8 5.1 10× km2。現在，指數的概念從正整數推廣到了整 數，我們就可以利用 10 的整數次冪來記任何數了。例如，課本中一頁紙的厚度約是 0.000075 m，而 5 0.000075 7.5 0.00001 7.5 10− = × = × 這樣，我們可以把一頁紙的厚度記作 5 7.5 10× − m。 這種利用 10 的整數冪來記數之方法，是科學技術上常用的 一種記數法，習慣上稱為科學記數法。科學記數法是把一個數記 成± ×a 10n 的形式，其中 n 是整數，a 是大於或等於 1 而小於 10 的數。 下面我們看兩個例題。 【ּ 5】 用科學記數法表示下列各數： 1000000、 30000− 、57000000、 849000− 、21.23、5.08
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ྋ !! 6 1000000 1 1000000 1 10= × = × 4 7 5 1 0 30000 3 10000 3 10 57000000 5.7 10000000 5.7 10 847000 8.49 100000 8.49 10 21.23 2.123 10 2.123 10 5.08 5.08 1 5.08 10 − = − × = − × = × = × − = − × = − × = × = × = × = × 從例 5 可以看到，用科學記數法把一個絕對值大於 1 的數表 示成± ×a 10n 的形式時，n 是一個非負整數，n 等於原數整數部分 的位數減去 1。 【ּ 6】 用科學記數法表示下列各數： 0.008、 0.000034− 、0.0000000125ś
ྋ !! 3 0.008= ×8 0.001 8 10= × − 5 8 0.000034 3.4 0.00001 3.4 10 0.0000000125 1.25 0.00000001 1.25 10 − − − = − × = − × = × = × 從例 6 可以看到，用科學記數法把一個絕對值小於 1 的數表 示成± ×a 10n 之形式時，n 是一個負整數，它的絕對值等於原數中第一個非零數碼前面所有零的個數(包括小數點前面的那個 零)。 用科學記數法表示位數較多的數時，讀、寫、計算與記憶都 很方便。 【ּ 7】 地球的質量約是 21 5.98 10× T，木星的質量約是地球的質 量之 318 倍。木星的質量約是多少 T (保留兩個有效數 字)？
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ྋ !! 21 21 24 5.98 10× ×318 1901.64 10= × ≈1.9 10× 。 ඍĈ木星的質量約是 24 1.9 10× T。ቚ ௫!
1. 用科學記數法表示下列各數： 10000、800000、56000000、2030000000、7400000。 2. 下列用科學記數法表示的數，原來的數是什麼？ 7 1 10× 、4 10× 3、8.5 10× 6 、7.04 10× 5、3.96 10× 4。 3. 用科學記數法表示下列各數： (1) 0.00007； (2) 0.0000043； (3) 0.00000000807； (4) 0.0000006002； (5) 0.301； (6) −0.004025。 4. 用科學記數法表示下列各數： (1) 153.7； (2) 347200000 (3) 0.0000003142； (4) 0.00000002001 (5) 6− ； (6) 30.5771； (7) 0.513； (8) 0.002074。 5. 寫出下列科學記數法表示的數之原數： (1) −3.05 10× −6； (2) 5 7.03 10× ； (3) 1 3.73 10− − × ； (4) 2.14 10× 6； (5) 1 10× −8； (6) 1.381 10× 7 ； (7) 7 10× 1； (8) 2.818 10× 3。12.2 ̶ᇴᇴ
1. 根式 前面已經學過二次根式及其一些性質，現在進一步學習一般 根式與它的一些性質。 我們已知，當 n 是奇數時，實數 a 的 n 次方根用符號 n a 來 表示；當 n 是偶數時，非負數 a 的 n 次算術根用符號 n a 來表示。 式子 n a 叫做根式，這裡 n 叫做根指數，a 叫做被開方數。我們知 道，根指數 n 等於 2 的根式是二次根式(這時根指數 2 省略不寫)。 n 等於 3、4、5、…時，相應的根式是三次、四次、五次、…根 式。當 n 是奇數時，a 可以是任何實數；當 n 是偶數時，a 可以 是任何非負數。例如 5 、3 5 − 、4 2 3 、 5 a 、 6 b2 + 、1 (a b− )2 等都是根式， 4 2 2 5 x + y 也是根式。應當注意，在實數範圍內， 負數的偶次方根沒有意義。 根據方根的意義，可得 (1) ( 5)2 = 、5 (3 −2)3 = − ； 2 (2) 3 ( 2)− 3 = − 、2 5 25 = ； 2 (3) 22 = 、2 ( 2)− 2 = − = − − = 、 | 2 | ( 2) 2 4 ( 3)− 4 = − = − − = 。 | 3 | ( 3) 3 一般地，如果 n a 有意義，那麼 (1) (n a)n = a ； (2) 當 n 為奇數時， n an = a ； (3) 當 n 為偶數時， | | ( ) ( ) ≥ ⎧ = = ⎨ − < ⎩ 0 0 n n a a a a a a因為負數的偶次方根沒有意義，負數的奇次方根都可以化成 被開方數是正數的同次方根之相反數，例如 5 5 2 2 − = − ，所以我 們研究根式的性質時，只要研究算術根的性質就可以了。我們規 定：在本章裡，如果沒有特別說明，根號內出現的字母，都表示 正數。 根據公式 (n a)n = ，當a a≥ 時，可以進行下面的計算： 0 8 6 8 6 3 8 3 4 2 3 2 6 4 4 ( ) ( ) [( ) ] ( ) a a a a a a = = = = 8 6 a 與 4 a 都是3 a 的 8 次算術根，而6 a 的 8 次算術根只有一6 個，所以當a ≥ 時，應當有 0 8 6 4 3 a = a 。 用同樣的方法，可以推得 = np mp n m a a (a ≥ 0) 與 = p mp m a a ( ≥ 0a ) 這裡 m 是正整數，n、p 都是大於 1 的整數。 這就是說，一個根式的被開方數如果是一個非負數的冪，那 麼這個根式的根指數與被開方數的指數都乘以或者除以同一個 正整數，根式的值不變。這個性質就叫做根式的基本性質。 對於根式的基本性質，應當特別注意a ≥ 這個條件，否則不0 一定有這一個性質。例如， 6 ( 8)− 2 = 6 64 = ，2 3 8 2 − = − ，所以 2 3 6 ( 8)− ≠ − 。 8 根指數相同的根式叫做同次根式；根指數不同的根式叫做異 次根式。利用根式的基本性質，可以把異次根式化為同次根式， 或者約簡某些根式中被開方數的指數及根指數。
【ּ 1】 把 a 、 3 2 a b 、 6 a 化成同次根式。 分析： 這三個根式的根指數 2、3、6 的最小公倍數是 6，可以 把它們都化成六次根式。
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ྋ !! 6 3 a = a ； 3 a b2 = 6 (a b2 )2 = 6 a b4 2 ； 6 a = 6 a 。 【ּ 2】 把 3 − 、5 4 3 化成同次根式。ś
ྋ !! 3 3 12 4 12 5 5 5 625 − = − = − = − ； 4 3 =1233 =12 27 。 【ּ 3】 約簡下列根式中被開方數的指數及根指數： (1) 5 a10 ； (2) 6 ( 3) x− 2 4 。ś
ྋ !! (1) 5 a10 = a2； (2) 6 ( 3)− 2x4 = 6 32x4 = 6 (3x2 2) = 3 3x2 。 【ּ 4】 求 6 8 精確到 0.001 的近似值。ś
ྋ !! 6 6 3 8 = 2 = 2 ≈1.414。ቚ ௫!
1. 設 x 表示實數，求下列各式在什麼條件下有意義： x 、 − 、x 3 x 、 3 − 、x 41 x− 、 4 x− 。 1 2. 計算： (1) x2 −2x+ (1 x > )； 1 (2) 4 (x2 −2x+1)2 (x < )。1ቚ ௫!
3. 把下列根式化成同次根式： (1) 5 、 4 2 ； (2) 3 6 y 、2 5 − ； y (3) 2mn 、 5 −6m n2 、105m ； (4) x+ 、y 4 x2 + y2 、 6 (x+ y)5 。 4. 約簡下列根式中被開方數的指數及根指數： (1) 4 x ； 2 (2) 3 y ； (3) 9 12 x y ； 4 6 (4) 6 ( 5) a b− 4 4 2 ； (5) 416x y8 12 ； (6) 12 4m 8n a b 。 2. 分數指數 看下面的兩個例子： 6 6 3 2 12 3 12 4 3 ( 0) ( 0) a a a a x x x x = = > = = > 這就是說，當根式的被開方數之指數能被根指數整除時，根 式可以寫成分數指數冪的形式。 為了使計算簡便，當根式的被開方數之指數不能被根指數整 除時，我們也把根式寫成分數指數冪的形式。例如 2 3 2 3 a = a 、 1 2 b =b 、 5 5 4 4 c = c 。 我們規定正數的正分數指數冪之意義是 = m n m n a a (a > 0，m、n 都是正整數，n > 1) 這就是說，正數的 m n 次冪(m、n 都是正整數，n> )等於這1 個正整數的 m 次冪之 n 次算術根。 正分數的負分數冪之意義與正數的負整數指數冪之意義相 仿，就是− = 1 = 1 m n m n m n a a a (a > 0，m、n 都是正整數，n > 1) 這就是說，正數的 m n − 次冪(m、n 都是正整數，n > )等於這1 個正整數的 m n 次冪之倒數。 應當注意，零的正分數次冪是零，零的負分數次冪沒有意義。 在本章裡，當指數是分數時，如果沒有特別說明，底數都表 示正數。 規定了分數指數冪的意義以後，指數從整數又推廣到了有理 數。前面學過的冪之運算性質，對於有理數指數冪也同樣適用。 例如， 2 1 2 1 5 3 4 3 4 12 a a a a ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = i 。 【ּ 5】 求下列各式的值： 2 3 8 、 1 2 100− 、 3 4 16 81 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。
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ྋ !! 2 2 3 2 3 3 8 = (2 ) = 2 = ； 4 1 1 2 1 2 2 1 100 (10 ) 10 10 − − − = = = ； 3 3 3 3 4 4 4 3 3 4 2 3 27 16 2 3 2 8 81 3 − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 【ּ 6】 計算下列各式，並且把結果化成只含有正整數指數的式 子： (1) 2 1 1 1 1 5 3 2 2 3 6 6 (2a b )( 6− a b ) ( 3÷ − a b ) ； (2) 3 1 8 8 4 (p q− ) ； (3) 3 4 4 4 16 81 m n − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。ś
ྋ !! (1) 2 1 1 1 1 5 2 1 1 1 1 5 3 2 2 3 6 6 3 2 6 2 3 6 (2a b )( 6− a b ) ( 3÷ − a b ) =4a + − b + − 0 4 4 ab a = = (2) 3 3 1 1 2 8 8 8 2 3 8 8 4 4 3 (p q ) (p ) (q ) p q p q − − − = = = ； (3) 3 3 3 3 4 4 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 2 8 16 2 3 27 81 3 m m m n m n n n − − − ⎛ ⎞ =⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。ቚ ௫!
1. 用分數指數冪表示下列各式(分式要化為不含分母的式子)： 3 2 x 、 3 1 a 、 3 4 (a b+ ) 、 3 m2 +n2 、 2 3 x y 。 2. 計算： (1) 1 2 25 ； (2) 1 2 81 25 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (3) 2 3 27 ； (4) 1 4 10000 ； (5) 1 2 4− ； (6) 3 2 1 6 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (7) 2 1 3 2− ×64 ； (8) 1 2 3 (0.2)− ×(0.064) 。 3. 計算： (1) 1 5 1 8 8 4 a ia i a ； (2) 1 5 1 3 6 2 a i a ÷a− ； (3) 1 1 6 3 2 (x y− ) ； (4) 2 1 1 1 3 3 2 3 3 4 3 a b− ÷ −⎛⎜ a b− − ⎞⎟ ⎝ ⎠； (5) 1 3 3 6 8 27 a b − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 4. (口答) 下列計算是否正確？如果不正確，應如何改正？ (1) 2 3 3 2 a ia = a； (2) 2 2 3 3 0 x i x− = ； (3) 2 1 2 3 3 a ÷a =a ； (4) 1 2 2 (a− ) = 。 a3. 根式的性質 當 m、n 都是正整數時，根據冪的性質可得 (1) 1 1 1 (ab)n = a bn n (a≥ 、0 b≥ ) 0 (2) 1 1 1 n n n a a b b ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (a≥ 、0 b> ) 0 (3) 1 ( ) m m n n a =a (a≥ ) 0 (4) 1 1 1 (an)m = amn (a≥ ) 0 按照分數指數冪的意義，可以把這幾個式子表示成根式的形式， 即 (1′ ) n ab = n a b n (a ≥ 0、b≥ 0) (2′ ) = n n n a a b b (a ≥ 0、b > 0) ( 3′ ) (n a)m = n am ( ≥ 0 a ) (4′ ) m n a = mna (a ≥ 0) 這幾個公式，可以看作關於根式運算的幾個性質。 (1′ )式表明：積的算術根，等於積中各個因式的同次算術根 之積。例如， 3 3 3 27 64× = 27 × 64 = × =3 4 12。 (2′ )式表明：商的算術根，等於被除式的同次算術根除以除 式的同次算術根所得之商。例如， 3 3 3 27 27 3 64 = 64 = 。 4 ( 3′ )式表明：根式乘方，把被開方數乘方，指數不變。例如， 3 2 2 3 3 ( 5) = 5 = 25。
(4′ )式表明：根式開方，被開方數不變，把根指數相乘。例 如， 3 6 2 = 2 、 3 3 2 = 9 2 。 把(1′ )式與( 2′ )式反過來，就是根式相乘、除的公式，這就是 說，同次根式相乘(或相除)，把被開方數相乘(或相除)，根指數不 變，例如， 3 3 3 3 3 3 5 4 2 2 10 8 20 5 5 4 2 2 2 2 = = ÷ = i 如果是異次根式相乘(或相除)，可以根據根式的基本性質， 先化成同次根式，再相乘(或相除)。例如， 3 6 6 6 3 6 6 6 3 2 27 4 108 3 3 27 9 3 = = ÷ = ÷ = i i 利用這幾個公式，可以進行根式的乘、除、乘方與開方運算。 利用(1′ )式，可以把根式裡被開方數中能開得盡方的因式用 與根指數相同次數的算術根代替移到根號外面，也可以把根號外 面的非負因式乘方以後(乘方的次數與根指數相同)移到根號裡 面。例如， 2 2 3 6 5 3 6 3 2 3 6 3 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 6 6 ( 0) a b a b a b a b a b b a b b a b b x y x y x y x y x y x y x = = = = = = = = = > i i i i i i i 利用( 2′ )式，可以把根號裡面的分母化去。例如， 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 27 3 3 3 3 2 1 6 4 2 2 2 = = × = = ×
第一，被開方數的每一個因式之指數都小於根指數； 第二，被開方數不含分母； 第三，被開方數的指數育與根指數是互質數。 符合這三項要求的根式叫做最簡根式。例如根式a a b 是最3 2 簡根式，而 3 4 a b 、a a b 以及4 2 2 5 3 b a a 都不是最簡根式。計算結 果用根式表示時，根式應化成最簡根式。 幾個根式化成最簡根式以後，如果被開方數都相同，根指數 也都相同，這幾個根式就叫做同類根式，例如，因為 2 12 = 2 × =3 2 3 、 6 27 = 6 33 = 3、 1 1 3 1 3 3 3 3 3 × = = × ， 所以 12 、 6 27 、 1 3 是同類根式。又 3 x 、 x 不是同類根式， 3 2 4 a 、43 a 也不是同類根式。 根式相加減，就是把同類根式分別合併。例如， ( ) ( ) n m n m n m a x +b y −c x +d y = a c− x + +b d y 。
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1. 計算： (1) a b ； 2 4 (2) 121 64 256× × ； (3) 3 a b t9 3 12 ； (4) 3 −343 512 729× × ； (5) 4 16a b8 12 ； (6) n a b c2n n 3n 。 2. 約分： (1) 2 81 ； (2) 49 4 n m ； (3) 3 2 27 ； (4) 5 4 4 16 a b ； (5) 3 6 3 6 9 8 27 x y a b ； (6) 2 3 n n n n n a b c d 。ቚ ௫!
3. 計算： (1) (3 a b2 )2 ； (2) (35 a b4 3)2 ； (3) (m mn4 2)3； (4) x y y x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 4. 計算： (1) 3 a b ； (2) 4 2 3 2 7 ； (3) a a ； (4) 2 23 n 。 5. 把下列各式中根號內能開得盡方的因式適當改變後移到根 號外，使被開方數的每一個因式之指數都小於根指數： (1) 8a ； (2) 3 16t ； 5 (3) 1 64 3 7 2 p q ； (4) 3 2t ； (5) 4 3 27a ； 5 (6) 1 3 27 4 5 3 a b 。 (7) n a b2n n+2 ； (8) 4 x5 −x y4 (x > )。 y 6. 化去根號內的分母： (1) 2 8 n m ； (2) 2 3 2 9 b a ； (3) 3 3 2 3 27 ax m n (4) 2 1 1 n n x a − 。 7. 把下列根式化成最簡根式： (1) 3 5 16 9 c a b ； (2) 3 4 7 54a b ； (3) 23 2 3 2 y x x ； (4) 4 4 2 1 1 n n + n 。 8. 計算： (1) 8 3 54 63 2 3 18 27 + − + ； (2) 2 2 2 3 3 3 27 7 5 6 9 a b x b a a x b b + − − 。【ּ 7】 利用分數指數計算下列各式： (1) 5 2 3 10 7 a a a a i i ； (2) 3 4 ( 5 − 125)÷ 5； (3) 3 xy2( xy)3 。
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ྋ !! (1) 3 5 2 3 2 5 7 1 10 7 10 2 a a a a a a a a = i i i i 3 1 7 2 5 2 10 7 5 5 7 5 2 a a a a a + − − = = = = (2) 1 3 1 3 4 3 2 4 ( 5 − 125)÷ 5 = (5 −5 ) 5÷ 1 1 3 1 3 4 2 4 1 5 12 4 5 4 12 12 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 − − = − = − = − = − (3) 1 1 3 2 3 2 3 3 xy ( xy) = xy x y( 2 2) 1 5 7 3 2 2 5 7 6 6 6 5 6 7 5 6 (x y ) x y x x y x y = = = = i除特殊情形外，一般利用分數指數進行根式的乘法、除法、 乘方、開方等計算比較簡便。所以，我們在進行根式運算時，一 般都利用分數指數進行計算。
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計算： (1) 2i 2 i 4 2 i 8 2； (2) 3 6 3 9 3 i ； (3) 2 3y 3x x i y ； (4) 3 2 6 x x x x i i ； (5) 3 4 ； (6) 3 a a ； 4 3 (7) 2 3 2 3 4 1 1 3 3 2 2 3 9 a b c a b c − ； (8) (x y13 34 −x21)x y21 41 。௫ ᗟ Ȉ
! 1. 計算： (1) 2 0 2 1 1 1 2 2 2 − ⎛ ⎞ +⎛ ⎞ + −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (2) 3 3 3 3 1 1 ( 3) ( 3) 3 3 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − +⎜− ⎟ −⎜− ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3) 2 2 3 1 1 1 3 3 2 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × − × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (4) 0 3 2 3 2 2 2 3 b b b a a a − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ÷ × −⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 2. 把下列各式寫成用正整數指數冪表示的形式： (1) a b c2 −1 3； (2) 2 1 st r u v − − ； (3) 2 2 3 1 3 3 2 2 3 m n m n x − − − − − − ； (4) 2 2 x y x y − + ⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ 3. 利用負整數指數，把下列各式化為不含分母的式子： (1) u 4 v u v + ； (2) 2 2 ( )( ) x y x y x y − − + 。4. 計算： (1) (9a b c2 −2 −4)−1； (2) 5a b−2 −3 ÷5−1a b2 −1×5−2ab c4 ； (3) 3 3 1 1 a b a b − − − − + + ； (4) 2 2 2 2 a b a b − − − − − + ； (5) (a−1 +b−1)(a b+ )−1； (6) (x+ x−1)(x− x−1) 。 5. 用科學記數法表示下列各數： 32000、3200000、3200000000、0.000032、0.0000032、 0.000000032、483、48.3、4.83、0.483、0.0483、0.00483。 6. 生產上常用到習慣上稱為「絲」的長度單位，1 絲 = 0.001 cm。 人的頭髮直徑約為 7 絲，合多少 cm？多少 m？分別用科學記 數法寫出來。 7. 地球上陸地的面積約為 149000000 km2，用科學記數法把它表 示出來。 8. 一種細菌的半徑是4 10× −5m，用小數把它表示出來(單位為 m)。 9. 一個氧原子約重2.657 10× −23g，一個氫原子約重1.67 10× −24g。 一個氧原子的重量約是一個氫原子的重量之多少倍(保留兩個 有效數字)？ 10. 指出下列各式中 x 的值： (1) 8= ； (2) 2x 1 2 8 x = ； (3) 1 10= x ； (4) 0.1 10= x； (5) 3.4 =3.4 10× x； (6) 3400 =3.4 10× x； (7) 0.034 =3.4 10× x； (8) 1 0.1= x； (9) 1 2 64 x = ； (10) 10= 0.1x。 11. 用根式表示下列各式： (1) 1 3 4 ； (2) 2 3 y− ； (3) 1 1 2 2 a b− ； (4) 1 4 1 4 x y − − 。 12. 計算：
(1) 1 2 2 1 1 1 3 3 3 4 2 4 ( 2− x y− )(3x− y )( 4− x y )； (2) 1 2 1 1 1 3 3 4 4 2 4 ( 3− x y− ) ( 6÷ − x− y− ) ； (3) 1 1 3 3 2 4 2 1 5 3 2 4 15 25 a b c a b c − − − − ； (4) 3 2 6 2 4 16 25 s t r − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 13. 計算： (1) 1 1 3 3 1 3 2 2 2 2 x− ⎛⎜ x − x− ⎞⎟ ⎝ ⎠； (2) 1 1 1 1 2 4 2 4 (2x +3y− )(2x −3y− )。 14. 計算： (1) 4 49x y ； (2) 2 2 2 6 3 2 4 27 p p q − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (3) 5 x 4 y y x ； (4) 3 2 3 2 x y− xy ； (5) ( a i 3 b2 )−3 ÷ b a−4 −1 ； (6) ( 3− 4 243) 2 3÷ 3 。 15. 解方程： (1) x−4 x + = ； (2) 3 0 3 x + 3 x2 = ； 2 (3) x −34 x + = 。 2 0 ! !
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一、本章主要內容是零指數、負整數指數、分數指數冪的概 念與性質。 二、零指數、負整數指數、分數指數冪的意義分別規定如下： 0 1 ( 0) 1 ( 0 ) m m a a a a m a − = ≠ = ≠ ， 是正整數( 0 1) 1 1 ( 0 1) m n m n m n m n m n a a a m n n a a m n n a a − = ≥ > = = > > ， 、 都是正整數， ， 、 都是正整數 ， 這樣，我們把指數概念由正整數範圍推廣到有理數範圍。 關於正整數指數冪的運算性質，對於有理數指數冪也適用。而 ( ) 1 ( 0) ( ) ( 0 0 m m n m n n n n n n a a a a a a a a b a b a b b − + − − − = = > ⎛ ⎞ = = > > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i ， ) 所以，對於有理數指數冪，運算性質 m m n n a a a − = 與 n n n a a b b ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 可 以分別被包含在 m n m n a ia = a + 與 (a bi )n = an ibn 之中。正整數 指數冪的五個運算性質，對於有理數指數冪來說，可併為三個： ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 0 ) m n m n m n mn n n n a a a a m n a a a m n ab a b a b n + = > = > = > > i ， 、 都是有理數 ， 、 都是有理數 、 ， 為有理數 我們還可以規定無理數指數冪的意義(本書略去不講)，把 指數概念推廣到實數範圍。關於有理數指數冪的運算性質，對 於實數指數冪也同樣適用。 三、所謂科學記數法，就是把一個數寫成絕對值在 1 與 10 之間(可以是 1)的數與 10 的整數次冪之積(即寫成± ×a 10n，其中 n 為整數，a 大於或等於 1 而小於 10)這樣一種方法。 四、分數指數與根式緊密相關。根式有下列性質： (n a)n = ； a 當 n 為奇數時， n an = ； a 當 n 為偶數時， | | ( 0) ( 0) n n a a a a a a ≥ ⎧ = = ⎨ − < ⎩
np amp = n am (a≥ ) (根式的基本性質)； 0 n ab = n a i n b ( 0 a≥ 、b≥ )； 0 n n n a a b = b (a≥ 、0 b> )； 0 (n a)m = n am (a≥ )； 0 m n a = mn a (a≥ )。 0 根式的加減，就是合併同類根式的過程。根式的乘、除、乘 方、開方，一般利用分數指數來進行比較簡便。
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1. 計算： (1) 7 ； 2 (2) ( 7)− 2 ； (3) (x− y)2 ( x > )； y (4) 2 2 15 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ； (5) 2 0.49 ； (6) a2 −14a+49 (x < ) 7 2. 計算： (1) 529 289× ； (2) 68.89 0.0009× ；(3) 652 −162 ； (4) 0.172 −0.082 ；(5) 625 1089 ； (6) 0.49 121 361 0.81 × × ； (7) 1.21 49 4.41× ； (8) 6 2 2.25 0.25 x y (x > 、0 y < )。 0 3. 計算： (1) 3 a +5 b3 +6 a5 −2 b ； (2) 27 0.03 3 x x + − x ； (3) a b b ab b 1 a + − ab ； (4) x y xy y 1 x 1 y + x − + xy − xy 。4. 計算： (1) 3 27 3 3 3 b a a ab ab a b b ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i ； (2) (3 x − 5)( 5 +3 x)； (3) (m− n)( n +m)； (4) ( x + y x)( + −y xy)； (5) ( a + b − c)( a − b + c) 5. 把下列各式的分母有理化： (1) 3 8 ； (2) 27 a a ； (3) a b a b − + ； (4) ab a b +b a ； (5) b a a b − + ； (6) 1 xy x x y − + ； (7) x 1 xy y − + ； (8) 1 1 1 xy x y − + 。 6. 指出下列各式中的 x： (1) 35.23=3.523 10× x； (2) 3.523 10× x = 0.003523； (3) 3.523 10× x =35230000； (4) 3.523 10× x =3.523。 7. 光的速度每秒約3 10× 5 km，太陽與地球的距離約是1.5 10× 8 km，求光從太陽射到地球約需多少時間(保留一個有效數字)。 8. 18 g 水中有6.02 10× 23個水分子，計算一個水分子的重量，用 科學記數法表示(保留兩個有效數字)。 9. 下列各是在什麼條件下有意義？ (1) x ； (2) 4 x− ； (3) 1 1 x ； (4) 3 x − 10. 計算： (1) (3 −3.8)3； (2) 3 27 − ； (3) 5 32 243 ； (4) 6 6 ( 5)− ； (5) 4 (1−a)4 (a > )； 1 (6) 8 (m n− )8 ( m < )。 n
11. 根據下列條件計算a+ 6 (a−1)6 ： (1) 1a ≥ ； (2) 1a < 。 12. 化下列雙重根式為單根式： (1) x y−3 2(3 xy2 ) ( y ≥ )； 0 (2) 3 −2 2 。 13. 計算下列各式： (1) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 a b a b a b a b − + + + − ； (2) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b − − − − + − − + + − ； (3) 2 2 1 1 1 1 a b a b b a − − − − − + − + ； (4) 2 2 2 2 s s s s e e− e e− ⎛ + ⎞ −⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5) (a2 − +2 a−2) (÷ a2 −a−2) 。 14. 計算： (1) 1 2 2 1 3 3 1 3 1 125 343 27 2 − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (2) 1 2 1 2 0 3 3 4 10 ( 5.6) 2 0.125 9 27 − − ⎛ ⎞ + − −⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； (3) 2 3 1 4 2 ( )( 4 ) 12 a b a b a b c − − − − − − ； (4) 3 1 2 2 2 2 2 (a b) (ab ) b a − − ⎛ ⎞ × ÷⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 15. 指出下列各式中的 x： (1) 5x =125； (2) 4x = ； 1 (3) 7x = 3 7 ； (4) 1 2 8 x = ； (5) 3 = ； 3x (6) 3 1 10 10 x = 。
