探討不同證據輸入方式應用於錯誤類型之認知診斷估計效果
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(3) 謝. 誌. 學術殿堂高不可攀，確實讓我備感艱辛，終於在老師、學長及同學夥伴的大 力協助下完成了， 謝謝恩師郭伯臣博士， 謝謝智為學長、俊彥學長， 謝謝同甘共苦的振雄、學佳， 謝謝臺中教育大學教育測驗統計研究所團隊， 謝謝施淑娟教授、吳慧珉教授， 謝謝任婕， 謝謝百吉國小、笨港國小的夥伴， 謝謝淑惠主任、家碩主任、建宏主任、淑琪主任、文忠主任， 謹將此研究成果獻給所有關心教育的夥伴。. 吳國禎 國立臺中教育大學教育測驗統計研究所 中華民國一○三年六月.
(4)
(5) 摘 要 本研究旨在針對桃園、高雄地區的國民小學五年級數學領域第10冊「分數乘法」 單元之解題所需認知屬性，透過認知診斷模型中的BUG-DINO模型進行分析，以了解 學生之學習精熟情形。受測學生研究樣本共469人，有效樣本410人。 本研究依據加入建構反應題的不同證據方式，可分為四種：方式一：為全選擇題 測驗，採用選擇題之對錯做為 CDMs 之證據輸入；方式二：為混合題型測驗，將部分 選擇題改為建構反應題作答，此建構反應題之對錯輸入為電腦自動化分析之結果做為 CDMs 之證據輸入；方式三：為混合題型測驗，將部分選擇題改為建構反應題作答， 將建構反應題對應之錯誤類型視為一道試題，學生犯有該錯誤類型時視為答錯，否則 視為答對；方式四：為混合題型測驗，僅輸入選擇題對錯之二元資料，但部分錯誤類 型的狀態由建構反應題的診斷結果獲得，也就是部分錯誤類型的狀態已知，只需要估 計未知的錯誤類型。比較其在診斷成效上的差異，期找出具有最佳診斷成效的證據輸 入方式。 本研究之研究結論分述如下： 一、建構反應題題型於錯誤類型自動化分析機制成效評估，其錯誤類型診斷平均正 確率為98.29％，診斷成效佳。 二、建構反應題四種不同證據輸入方式於錯誤類型自動化分析機制成效評估結果，方 式四優於方式三，方式三優於方式二，方式二優於方式一，最佳的證據輸入方式 為方式四，其正確率達 90.81％。. 關鍵詞：認知診斷模式、建構反應題、BUG-DINO 模式、電腦化診斷測驗、錯誤類型、 分數乘法. I.
(6) II.
(7) Explore the Performance of BUG-DINO Model Using Different Input Data Abstract The main purpose of this research was to find the cognition attributes form the fifth-grand Mathematics items of “fraction multiplication”, and aims to the students in Taoyuan and Kaohsiung. We can understand proficiency of student learning through the analysis of the BUG-DINO model in the cognition attributes model. In this study, according to the different evidence of the constructed-response items, can be divided into four types. Type one: all multiple-choice items, adopt the multiple-choice items of right and wrong as the evidence of CDMs. Type two: mixed items, the part of items are the constructed-response items instead of multiple-choice items, and the part of items are constructed-response items of right and wrong as the evidence of CDMs. Type three: mixed items, the constructed response questions corresponding error type as a item, if the student get wrong when he has this error type, and vice versa. Type four: mixed items, only choice the binary data of right and wrong in the multiple-choice items, but get the part of cognition attributes by diagnostic results of the constructed-response items, it means the part of cognition attributes as known, only estimates the unknown part. Compare these four types, find the best type to diagnose performance. The results of this study are as follows: (1)The constructed-response items of the on-line diagnostic test and the automatic analysis mechanism developed in the research have got good effect and the average accuracy rate of diagnosis reaches 98.29%. (2)According to the different evidence of the constructed-response items of the on-line diagnostic test and the automatic analysis mechanism by four types, the best types is the Type four, its accuracy rate reaches 90.81%. Keywords: Cognitive Diagnosis Model, Constructed-Response Item, BUG-DINO Model, Computerized Diagnostic Models, Error Type, Fraction Multiplication.. III.
(8) IV.
(9) 目 錄 摘要 .............................................................................................................................Ⅰ Abstract .........................................................................................................................Ⅲ 目錄...............................................................................................................................Ⅴ 表目錄...........................................................................................................................Ⅶ 圖目錄...........................................................................................................................Ⅸ 第一章 緒論 ...............................................................................................................1 第一節 研究動機............................................................................................1 第二節 研究目的............................................................................................2 第三節 待答問題............................................................................................2 第四節 名詞釋義............................................................................................3 第五節 研究範圍與限制................................................................................3 第二章 文獻探討 .......................................................................................................5 第一節 建構反應題題型................................................................................5 第二節 數學電腦化診斷測驗........................................................................6 第三節 認知診斷模式.………………...........................................................13 第四節 「分數乘法」教材分析....................................................................15 第三章 研究方法 .......................................................................................................23 第一節 研究流程............................................................................................23 第二節 研究設計............................................................................................26 第三節 研究工具............................................................................................50 第四節 研究對象............................................................................................56 第四章 研究結果 .......................................................................................................57 第一節 建構反應題題型於錯誤類型自動化分析機制成效評估................57. V.
(10) 第二節 建構反應題四種不同證據輸入方式於錯誤類型自動化分析機制成 效評.....................................................................................................61 第五章 結論與建議.....................................................................................................65 第一節 結論....................................................................................................65 第二節 建議....................................................................................................65 參考文獻.......................................................................................................................67 中文部分..........................................................................................................67 外文部分..........................................................................................................69 附錄一施測考卷 .........................................................................................................71. VI.
(11) 表目錄 表2-4-1 「分數乘法」錯誤類型文獻........................................................................19 表3-2-1 「分數乘法」單元之錯誤類型分類............................................................26 表3-2-2. 錯誤類型分類及學生作答截圖..................................................................27. 表3-2-3. 學生解題歷程、分割區塊與錯誤類型比較表..........................................32. 表3-2-4. 建構反應題四種不同證據輸入方式..........................................................42. 表3-2-5. 方式一之Q矩陣...........................................................................................44. 表3-2-6. 方式二之Q矩陣...........................................................................................45. 表3-2-7. 方式三之Q矩陣...........................................................................................46. 表3-2-8. 方式四之Q矩陣...........................................................................................48. 表4-1-1. 建構反應題第6題學生解題錯誤類型人數統計表....................................57. 表4-1-2. 建構反應題第12題學生解題錯誤類型人數統計表..................................58. 表4-1-3. 建構反應題第17題學生解題錯誤類型人數統計表..................................59. 表4-1-4. 建構反應題第18題學生解題錯誤類型人數統計表..................................60. 表4-1-5. 自動分析正確率..........................................................................................61. 表4-2-1. 四種方式之辨識率......................................................................................63. VII.
(12) VIII.
(13) 圖目錄 圖2-2-1 KSAT之題目頁面............................................................................................7 圖2-2-2 KSAT提供之診斷報告頁面1..........................................................................7 圖2-2-3 KSAT提供之診斷報告頁面2 .........................................................................8 圖2-2-4 PRIORI-tbt網路填報系統頁面.......................................................................9 圖2-2-5 PRIORI-tbt首頁..............................................................................................10 圖2-2-6 PRIORI-tbt登入頁..........................................................................................10 圖2-2-7 PRIORI-tbt受試者基本資料驗證頁面..........................................................11 圖2-2-8 PRIORI-tbt題目頁面......................................................................................12 圖2-2-9 PRIORI-tbt答題狀況結果頁面......................................................................12 圖2-2-10 PRIORI-tbt結果報告....................................................................................13 圖3-1-1 研究流程圖....................................................................................................25 圖3-2-1 第6題解題策略分析流程..............................................................................34 圖3-2-2 第12題解題策略分析流程............................................................................36 圖3-2-3 第17題解題策略分析流程............................................................................38 圖3-2-4 第18題解題策略分析流程............................................................................40 圖3-3-1 「分數乘法」單元試題介面........................................................................51 圖3-3-2 「分數乘法」單元試題介面歡迎網頁........................................................52 圖3-3-3 「分數乘法」單元試題介面........................................................................52 圖3-3-4 「分數乘法」單元試題介面選擇題型........................................................53 圖3-3-5 「分數乘法」單元試題介面建構反應題型................................................53 圖3-3-6 「分數乘法」單元試題介面建構反應題型解題歷程例題........................54 圖3-3-7 「分數乘法」單元試題介面建構反應題型 圖4-2-1. 用法畫面..................54. 四種方式之錯誤類型辨識率......................................................................62. IX.
(14) 圖4-2-2. 四種方式之整體辨識率..............................................................................62. X.
(15) 第一章 緒 論 本研究旨在探討認知診斷模型在不同證據輸入模式下對錯誤類型之診斷成 效。本章第一節說明研究動機；第二節說明研究目的；第三節為本研究待答問題； 第四節說明研究範圍與限制；第五節為重要名詞釋義。. 第一節 研究動機 近年來逐漸受到重視的認知診斷模式（cognitive diagnostic models, CDMs）應 用於學生學習狀況的個別化診斷，辨識學生缺乏的認知屬性及錯誤類型，如雨後 春筍般獲得大量的採用，認知診斷模式運用於測驗上，能夠診斷學習上的問題， 提供實施適宜的補救教學活動。 DINO（deterministic inputs, noisy “or” gate model） （Templin & Henson, 2006） 模式即為一種認知診斷模式，其將受試者分為兩類，分別是至少具備一個試題所 需的認知屬性與完全不具備試題所需的認知屬性，前者可能因為粗心而答錯試題， 而後者可能因為猜測而答對試題，因此試題參數包含粗心（slip）及猜測（guessing） 參數，依此設計建立出的診斷模式。近來學者研究成果，使用DINA（deterministic inputs, noisy “and” gate model） （Junker & Sijtsma, 2001）模型在估計概念診斷上， 而使用DINO模型在估計錯誤類型上可以有較佳的結果（張詩亞、楊智為、郭伯 臣、陳俊華，2011）。 電腦化診斷測驗題型大多以選擇題型為主，因選擇題型易於進行測驗，但學 生的答題具有「猜測」因素。而建構反應題型（constructed-response items）能提 供比選擇題更多的受試者學習狀況的訊息（Allen, Jenkins, & Schoeps, 2004），使 用建構反應題題型能夠更詳盡的獲得學生之迷思概念及學習狀況（吳任婕，2009）， 可 以 詳 實 記 錄 學 生 之 解 題 過 程 。 近 來 「 國 家 教 育 進 展 評 量 」（ The National Assessment of Educational Progress，簡稱NAEP）、「國際學生能力評量計畫」 （Programme for International Student Assessment，簡稱PISA）及國際數學與科學. 1.
(16) 教育成就趨勢調查（Trends for International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS）等大型測驗開始加入建構反應題型。 加入建構反應題型於電腦化測驗上並使用區塊分析進行自動化分析，判別學 生錯誤類型平均正確率高（吳任婕，2009；林宏憲，2012），除讓教師清楚學生 之迷思概念外，還可得知學生更多元之錯誤類型，亦可以降低教師閱卷的時間， 提供給教師補救教學的依據（吳任婕，2009）。故結合建構反應題電腦化測驗及 認知診斷模式中之 DINO 模型以錯誤類型為屬性之認知診斷模型（BUG-DINO） 將可以更有效估計、診斷學生於錯誤類型的迷思。 又建構反應題不同證據的輸入方式，對於認知診斷適性模式之精準度確有不 同之影響（鄭俊彥、白宗恩、江鴻鈞，2013），因此，本研究想瞭解以國小五年 級數學 領域 「分 數 乘法」 單元 透過依 建構反 應題 不同證 據的輸 入方 式，在 BUG-DINO 模式下成效之影響如何？期由此探討結論提供更有效的診斷，予教師 作更精實的補救教學。. 第二節 研究目的 根據上述研究動機，本研究目的分為以下三部分： 壹、編製以數學領域「分數乘法」單元電腦診斷測驗。 貳、評估數學領域「分數乘法」單元建構反應題之錯誤類型自動化分析機制之成 效。 叁、評估數學領域「分數乘法」單元之建構反應題資料以四種不同證據輸入方式 於錯誤類型的認知診斷成效。. 第三節 待答問題 依據上述研究目的，本研究待答問題彙整如下： 壹、學生於數學領域「分數乘法」單元電腦適性診斷測驗的學習表現為何？ 貳、建構反應題於數學領域「分數乘法」單元之錯誤類型自動化分析機制是否能. 2.
(17) 與專家診斷結果一致，其減輕人工閱卷負荷成效如何？ 叁、數學領域「分數乘法」單元之建構反應題四種不同證據輸入方式於錯誤類型 自動化分析機制哪一種方式最佳？. 第四節 名詞釋義 壹、認知診斷模式 認知診斷模式是可以使用在評估受試者優勢與劣勢的心理計量模式，提供受 試者二元計分的型態，可以有效了解自身學習的強項與弱項。. 貳、建構反應題 建構反應題是以非選擇題型態呈現，常見的題型有填充題（completion item） 和論文題（essay question） ，解題是由受試者以非單一選擇答案方式來產生和提供 答案，本研究之答案是以書寫文字方式陳述或演算，再運用自動化分析。. 叁、錯誤類型之認知診斷模式 在數學演算過程中，所產生的錯誤步驟，依據其犯錯的地方，區分為幾個類 型，稱之為錯誤類型（Kathlen, 1986） ；學生在解答過程中，運用不同種類的錯誤 過程，因而產生不同種類的錯誤類型者稱之（蕭金土，1996），本研究之錯誤類 型係蒐集學生實際作答反應中常犯錯誤，參考、彙集文獻、教材、教師手冊與專 家學者之意見，而分類出適用的錯誤類型，並將這些不同種類的錯誤類型視為認 知屬性，應用 DINO 模型於錯誤類型之診斷，稱之為錯誤類型之認知診斷模式 （BUG-DINO） 。. 第五節 研究範圍與限制 壹、研究範圍 以國小五年級數學「分數乘法」單元為本研究之範圍，以學童作答之錯誤類 型設計「選擇題型」 、部分「建構反應題型」之混合試卷施測，以為探討之依據。. 3.
(18) 貳、研究限制 一、研究樣本 因受限於人力、物力、時間等因素，研究樣本以高雄市、桃園縣 7 所學校之 五年級學生，參與測驗之樣本共 469 人，刪除 4 題建構題皆空白未作答之樣本 59 人，有效樣本 410 人。 二、施測時機 需於五年級下學期完成「分數乘法」單元學習後才可施測。 三、研究工具 本研究使用張玲婉（2008）自編「分數乘法」單元之試題，挑選適合題目作 為試卷並將其中部分試題改編為建構反應題以為數學領域「分數乘法」單元之診 斷。經由學生紙筆、線上同步施測時，受測學生除於紙本題本上完成全部題目的 作答並寫下運算過程外，還要在電腦上將答案鍵入，其中建構反應題則必須運用 郭伯臣、楊裕貿、胡豐榮（2008）適性診斷測驗暨學習系統 BNAT（Bayesian Networks based Adaptive Testing，簡稱 BNAT）之方程式編輯器介面鍵入運算過程， 才算完成作答，再參考、彙集文獻、教材、教師手冊與專家學者之意見，並依學 生實際作答反應常犯錯誤微修，制定出適用的錯誤類型，記錄、探討學生解題歷 程。. 4.
(19) 第二章 文獻探討 本研究主要的目的為以國民小學五年級數學領域第10冊「分數乘法」單元， 探討、分析學生在加入部分建構反應題題型中所具有的錯誤類型，在認知診斷模 式－BUG-DINO模式下輸入不同證據以取得最佳證據輸入方式。為達成本研究之 目的，將以建構反應題題型、數學電腦化診斷測驗、認知診斷模式及「分數乘法」 教材分析四部分來探討。. 第一節 建構反應題題型 郭生玉（2004）將建構反應題題型定義為簡答題、填充題、論文題。建構反 應題是一種能提供更多學生的真實能力與解題策略之線索。透過建構反應題，學 生能展現獨立思考、自我批判、組織整合、系統評鑑之能力並呈現成果（教育部， 2004） 。藉由建構反應題之診斷更可以看到比選擇題型要多元化的學生錯誤類型， 這些訊息將更有利於教師掌握學生的迷思概念進行補救教學，達到診斷測驗之功 效（李彥慧，2010）。建構反應題型之試題將更能正確判斷出學生之迷思概念（莊 峰魁，2009） 。且現今建構反應題能夠藉著電腦化測驗大量儲存訊息記錄的優點， 詳細記錄學生的解題歷程與結果，能夠改善單純選擇題之測驗系統的不足（鄭俊 彥，2011）。以本研究第12題為例如下： (. 5. 7. 5. 12. 10. 6. )12. 杏仁果一包重3 公斤，奶奶買了2 包，把全部的 送給姑姑，也可以 說送給姑姑多少公斤的杏仁果？（答案需化成最簡分數） 寫下你的解題過程：. 本研究應用建構反應題題型蒐集學生作答過程，以獲得學生錯誤類型進行分 析、判斷出學生之迷思概念。. 5.
(20) 第二節 數學電腦化診斷測驗 拜電腦科技神速發展之賜，資料庫容量及運算速度之提升，讓傳統紙筆測驗 人工閱卷這種沒效率的苦差事夢饜得以解除，取而代之即是電腦化測驗。選擇題 題型是以往電腦化測驗為求快速得知成績，採用率較高的題型，因受試者可以隨 意輕易選擇答案，猜測因素難以避免，診斷準確性稍差。為提升診斷準確性，近 年來研發兼具快速、即時診斷、即時回饋之適性化測驗系統很多，確實提供方便、 不受限時空的學習、補救教學環境，給予多元的教與學的選擇，茲將較具應用性 之適性化測驗系統介紹如下：. 壹、以知識結構為基礎之適性化測驗系統 KSAT（Knowledge Structure based Adaptive Testing）以學生知識結構為基礎 再融合專家知識結構的邏輯，發展出適合進行補救教學之結構，能夠比專家認定 的結構更貼近學生實際學習後的結果，也更能有系統的進行補救教學（Wu, H.-M., Kuo, B.-C., & Yang, J.-M., 2012）。 以下為KSAT相關頁面，圖2-2-1為KSAT之題目頁面，受測者選擇答案後，點 選選擇完畢，進入下一題，完成此題測驗；圖2-2-2、圖2-2-3為KSAT提供之診斷 報告頁面，其中包含受測者基本資料、全體受測者分數百分等級分佈、受測者本 單元受測紀錄及受測者概念診斷報告。. 6.
(21) 圖2-2-1 KSAT之題目頁面 資料來源：國立臺中教育大學教育測驗統計研究所。取自 http://210.240.193.249/ksat/index.php. 圖2-2-2 KSAT提供之診斷報告頁面1 資料來源：國立臺中教育大學教育測驗統計研究所。取自 http://210.240.193.249/ksat/index.php. 7.
(22) 圖2-2-3. KSAT提供之診斷報告頁面2. 資料來源：國立臺中教育大學教育測驗統計研究所。取自 http://210.240.193.249/ksat/index.php. 貳、教育部國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量 教育部「國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量系統」（Project for Implementation Of Remedial Instruction-technology-based testing, PRIORI-tbt）為補 救教學測驗進行的平台。測驗模式係採標準參照，以 60 分為參照點 （及格標準）， 來評定受測者在單一考科上是否具備應有的能力。測驗科目包含國語文、數學 及英語；測驗範圍是前一學年之學習內容。測驗期程始於每年 9 月，稱之「篩 選測驗」，凡未達 60 分標準者，即屬該科目之低成就學生，必須在隔年的 2 月 與 6 月再進行「成長追蹤測驗」，以追蹤學生接受補救教學輔導後的學習表現 （教育部，2012）。. 8.
(23) 施測前，學校端可由本系統確認受測者名單及考科，並進行線上施測時段預 約、低年級紙筆卷下載等。就受測者而言，三年級以下採紙筆測驗（英語科免考）； 四到九年級採線上測驗，在學校預約的時段內，點選「學生評量系統」輸入身分 證字號即可登入施測。施測後，依登入使用者身分的不同，可做施測率、測驗結 果報告、進步率等數據的分層查詢與下載。 另系統也為國小端提供紙筆卷的基本學習內容對照表，供教師做教學上的運 用。以下為 PRIORI-tbt 相關頁面：圖 2-2-4 為教育部國民小學及國民中學補救教 學方案科技化評量網路填報系統頁面，圖 2-2-5 為教育部國民小學及國民中學補 救教學方案科技化評量首頁，於此頁面選擇欲測驗學科國語文、數學或英語進行 測驗，本研究以數學為例。圖 2-2-6 為教育部國民小學及國民中學補救教學方案 科技化評量登入頁，以身份證統一編號為登入憑證，受試者鍵入身份證統一編號 登入；圖 2-2-7 為教育部國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量受試者基 本資料驗證頁面，受試者需驗證其基本資料，若點選錯誤，離開測驗系統重新輸 入，若點選正確，進入數學測驗開始進行測驗。. 圖2-2-4 PRIORI-tbt網路填報系統頁面 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem. 9.
(24) 圖2-2-5 PRIORI-tbt首頁 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem. 圖2-2-6 PRIORI-tbt登入頁 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem. 10.
(25) 圖2-2-7 PRIORI-tbt受試者基本資料驗證頁面 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem. 圖2-2-8為教育部國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量題目頁面，顯 示受試者作答進度及答題列表，受試者視演算結果選擇對應答案號碼，再點選確 定完成此題測驗；圖2-2-9為教育部國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量 答題狀況結果頁面，顯示本次測驗總答題狀況包括試題總題數、已作答題數、作 答說明題、尚未作答題數、答題答案列表，如對某題答案有疑慮，可以移動滑鼠 於答題答案列表之題號處點擊該題重新作答，如無意見點擊我要交卷完成測驗。 圖2-2-10為教育部國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量結果報告，顯示 受試者作答題數及答對題數。. 11.
(26) 圖2-2-8 PRIORI-tbt題目頁面 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem. 圖2-2-9 PRIORI-tbt答題狀況結果頁面 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem. 12.
(27) 圖2-2-10 PRIORI-tbt結果報告 資料來源：教育部國民及學前教育署補救教學資源平台。取自 http://priori.moe.gov.tw/index.php?mod=system/index/content/tbtSystem PRIORI-tbt及KSAT皆提供線上測試、及時診斷以做為補救教學的參考。在 在都以節省人力、效率為前提，本研究也在此基礎上除上述優勢之外，期能於加 入建構反應題自動化分析及加入方式等，在診斷上更精緻達成真正、確實的補救 教學的目的。. 第三節 認知診斷模式 認知診斷模式中，受試者的認知屬性的分數向量常以. {. 1. ,. 2. , ...,. }. 表示，在K個概念上的狀態，每個概念可以對應到具備（1）與不具備（0）兩種 狀態，也就是說受試者共有2 種認知組型。若概念數K=4，則受試者. （1, 0, 1,. 0 ）表示受試者已具備第1個、第3個概念，而不具備第2個、第4個概念。 試題與認知屬性的關係在認知診斷模式中所形成之矩陣稱之為Q矩陣 （Tatsuoka, 1985），因其正確性影響估計結果甚大，是認知診斷模式中的重要因 子。Q矩陣由數值1與0所組成，表示試題所測量的特定概念之有無，如有j 個試. 13.
(28) 題與k 個概念，則Q矩陣的大小為j× k ，. 代表要解答第j 個試題是否需具備概. 念k，若需要則為1，反之則為0，舉例來說，假設Q 矩陣如下： Q=[. ]. 公式(2-3-1). 從上式表示試題一具備概念1；試題二具備概念2，而試題三具備概念2、3。. 壹、DINO模式 據受試者是否完全具備試題所測量的認知屬性，將其分為二類： (一)具備任何一個以上需要的認知屬性η ij 1 (二)缺少全部需要的認知屬性η ij 0 計算公式如(2-3-2) (Templin & Henson, 2006) η. P(Yij 1 |η ij ) (1 s j ) ij ( g j ). (1η ij ). 公式(2-3-2). K. ij 1 . (1 . Q jk ik ). k 1. s j P(Yij 0 |ηij 1) g j P(Yij 1 |ηij 0). 其中 Yij ：第 i 個受試者在第 j 題試題的反應組型。. s j：受試者具備回答第 j 題試題所需要的認知屬性，但卻因粗心而答錯該題的機率。 g j ：受試者不具備回答第 j 題試題所需要的認知屬性，但卻因猜測而答對該題的機. 率。. αik ：第 i 個受試者在第 k 個認知屬性的有無，如具備該屬性其值為 1，若無則為 0。. 14.
(29) Q jk ：受試者答對第 j 題試題是否需要第 k 個認知屬性，如需要該屬性其值為 1，. 若無則為 0。 ηij ：受試者是否具備答對第 j 題試題所需要的概念，如全部無其值為 0，反之，. 若受試者具備至少一個答對第 j 題試題所需要的概念其值則為 1。. 貳、DINO 模式的相關研究 Templin 與 Henson（2006）評估、診斷病態賭徒之行為研究；張詩亞等人 （2011）研究以自然領域「水的流動」單元，以錯誤類型為屬性，應用DINO模 型診斷探究；羅興南（2012）研究以國小五年級自然領域「水溶液」單元，建置 電腦化診斷測驗，以DINA及DINO模式分別診斷、分析，以比較、探討成效；林 宏憲（2012）以國小五年級數學領域「分數的乘除法」單元，在不同線上診斷測 驗題型成效分析，結合建構反應題型自動化分析機制，以DINA及DINO模式進行 測驗資料分析，改善選擇題題型易受猜測及粗心因素影響的缺點，降低概念與錯 誤類型估計之不確定性。 DINO模式之研究，相較於其它認知診斷模式之研究少，又在錯誤類型診斷之 研究亦屬新興組合，且獲致極佳的論證（張詩亞，2011），故在研究價值上應有 其獨特及開發性，本研究擬以建構反應題加入的不同方式，論證最佳加入方式。. 第四節 「分數乘法」教材分析 Armstrong 與 Bezuk（1995）指出數學中加減法較具體，可以依生活經驗給予 算式意義，比較容易理解。相對於乘除法因涉及不同單位之轉換，理解上較富挑 戰性。而於分數乘法，Kieren 與 Pirie（1992）認為其獨立於加法之外，沒辦法依 加法連加方式予以解說，理解上具有更高困難度。Armstrong 與 Bezuk（1995）認 為學生需由等分經驗中獲得等分與整體的關係及其大小的倍數關係，逐漸地概念. 15.
(30) 符號化，方可形成分數乘法之概念。茲以教材地位、單元教學目標、錯誤類型分 析如下：. 壹、教材地位 一、在過去：已學習到（康軒文教事業，2010） 1.第四冊第八單元： (1)在連續量的情境中，認識單位分數的意義。 (2)單位分數的說、讀、聽、寫、做。 (3)在離散量的情境中，認識單位分數的意義、 (4)在具體的情境中，比較單位分數的大小。 2.第五冊第十單元： (1)認識真分數的意義（分母為 20 以內） 。 (2)能解決全體量的幾分之幾的問題。 (3)能認識分數、分子、分母等名詞。 (4)真分數的說、讀、聽、寫、做。 (5)同分母分數的大小比較。 (6)能解決同分母分數的合成與分解。 (7)用算式記錄同分母分數的加、減問題（和≦1）。 3.第六冊第七單元： (1)解決同分母分數的加、減應用問題。 (2)從平分活動中，經驗等值分數。 (3)透過平分的活動，理解多個個體的分數。 4.第七冊第九單元： (1)認識真分數、假分數、帶分數的意義。 (2)能做帶分數及假分數的互換。. 16.
(31) (3)分數加、減分數的計算。 (4)真分數、假分數的整數倍。 二、在現階段：本單元學習目標（康軒文教事業，2010） 1.第十冊第一單元： (1)能理解帶分數乘以整數的意義及計算方法，並解決生活中的相關問題。 (2)能理解整數乘以分數的意義及計算方法，並解決生活中的相關問題。 (3)能理解分數乘以分數的意義及計算方法，並解決生活中的相關問題。 (4)根據乘數與 1 的大小關係，判斷被乘數與積的大小關係。 三、在未來：能解決（康軒文教事業，2010） 1.第十一冊第二單元： (1)分數除以整數的問題。 (2)同分母分數除以分數的問題。 (3)異分母分數除以分數的問題。 (4)依據除數與 1 的關係，判別被除數與商的大小。 2.第十二冊第一單元： (1)分數除法的應用問題。 (2)分數乘除混合的問題。 (3)分數加、減、乘、除混合的四則問題。 本研究藉由不同證據輸入模式下，診斷出受試者是否具備已學習到之能力， 提供補救教學策略之用。. 貳、單元教學目標 本研究單元中分數乘法包括「帶分數乘以整數」 、 「整數乘以分數」 、 「分 數乘以分數」以及「關係」四種（康軒文教事業，2010）。 一、 「帶分數乘以整數」：. 17.
(32) 解決帶分數乘以整數的乘法問題。 二、 「整數乘以分數」： 1.解決整數乘以真分數的乘法問題。 2.解決整數乘以帶分數的乘法問題。 三、 「分數乘以分數」： 1.理解分數倍的意義。 2.解決單位分數乘以單位分數的乘法問題。 3.解決單位分數乘以真分數的乘法問題。 4.解決真分數乘以真分數的乘法問題。 5.會做能約分的真分數乘以真分數的乘法問題。 6.解決假分數和分數相乘的乘法問題。 7.解決帶分數乘以真分數的乘法問題。 8.解決帶分數乘以帶分數的乘法問題。 四、關係： 1.當乘數是真分數時，所得的積比被乘數小。 2.當乘數是 1 時，所得的積等於被乘數。 3.當乘數是帶分數或是假分數時，所得的積比被乘數大。 本研究於學習本單元分數乘法後是否達到學習目標，並藉以界定錯誤類型 以為診斷之用。. 叁、 「分數乘法」錯誤類型文獻整理 綜合專家學者及近年研究報告（Lankford，1972；Edwards，1983；Painter， 1989；Ashlock，1990；Souviney，1989；Troutman & Lichtenberg，1982；湯錦雲， 2002；柳賢、李浩然，2003；林榮煌，2006；陸雅林，2007；吳任婕，2009；林 宏憲，2012）整理「分數乘法」錯誤類型文獻如下表 2-4-1。. 18.
(33) 表 2-4-1 「分數乘法」錯誤類型文獻 研究者 Lankford（1972）. 錯誤類型 先通分，再計算。 交叉相乘而得到分子與分母。. Edwards（1983） Painter（1989）. 分母相乘，分子卻作加法運算。 分數乘整數時，分數不變，只處理整數部分。 帶分數乘整數時，分數不變，只處理分數部分。 帶分數乘整數時，整數、分數分別自行做乘法運 算。. Ashlock（1990）. 分母相乘，分子相加。. Souviney（1989）. 帶分數的整數部分相乘，分數部分，分子和分子相. Troutman & Lichtenberg （1982）. 乘，分母和分母相乘。 分母相同時，分子相乘。 反轉而後相乘。 分子乘以整數，分母也乘以整數。 分子與整數相乘，遺漏了分母。. 湯錦雲（2002）. 乘數的整數部分用乘法，真分數部分用加法。 被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母 則不相乘。 只做真分數部分的乘法，整數部分則不相乘。 乘法用加法算則計算。 帶分數化成假分數的錯誤。 假分數化成帶分數的錯誤。 計算錯誤。. 19.
(34) 柳賢與李浩然（2003）. 分子和分母同時乘上整數。 先通分再相乘。 同分母時分母不變分子相乘。 帶分數拆成整數乘以分數再運算。 帶分數拆成整數加分數再運算。 整數相加再加上分數相乘。 同分數相乘時分子分母同乘以2。 整數相乘再加上分數相乘。. 林榮煌（2006）. 乘法運算，誤用約分概念。 乘法運算，誤用擴分概念。 兩相同數相乘，誤為兩數相加。 分數乘法用分數除法運算：乘數轉成倒數。 同分母分數相乘，分子相乘，分母保持不變（未相 乘）。 分配律和乘法結合，未以（ ）標示。 分數相乘，整數部分相加，只有分數部分相乘。. 陸雅林（2007）. 帶分數乘以整數，整數與分數個別分開運算，忽略 分數也要乘以整數。 分數乘以整數，分子和分母同時乘上整數。 乘上乘數的倒數，與分數除法混淆使用。 先通分再相乘，與分數加法混淆使用。 分母相乘，分子相加，與分數加法混淆使用。. 吳任婕（2009）. 沒有化成最簡分數。 誤用約分概念。 誤用擴分概念。. 20.
(35) 用加法算則計算。 分配率和乘法結合，未以括號標示。 帶分數和假分數轉換的錯誤。 用分數除法運算。 分母相同時，分子相乘，分母不乘。 吳任婕（2009）. 與加法混淆使用。 基本概念錯誤。 以直接法進行運算。 求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。 分母相乘，分子相加。 通分後，分子為大數減去小數。 借位的錯誤。 只完成一部分的計算。 無法由乘數與 1 的大小關係推論被乘數與積的大 小關係。 對於題意的理解錯誤。 沒有先乘除後加減。 忘了使用括號。 分數與整數相乘，遺漏了分子。 應用乘法，誤用成加法計算。 加法概念錯誤。 列式正確，未算出答案。 列式正確，計算錯誤。 計算錯誤。 應用加法，誤用成乘法計算。 忽略單位量。. 21.
(36) 應用乘法，誤用成減法計算。 應用減法，誤用成乘法計算。 減法與乘法混淆使用。 林宏憲（2012）. 沒有化成最簡分數。 誤用約分概念。 對於題意的理解錯誤。 進行分數乘法算式時使用加法算則計算。 進行分數乘法算式時使用減法算則計算。 二段式運算題目，只完成一部份的計算。 分數乘法算式進行約分時，將分子、分母互換後， 再進行約分。 帶分數和假分數換算的錯誤。 進行分數乘法運算時，整數成整數、分子乘分子、 分母乘分母。(直接法) 整數乘分數時，分母、分子都與整數相乘。. 經參酌上述錯誤類型文獻資料，以做為本研究中錯誤類型編修的參考依據。. 22.
(37) 第三章 研究方法 本研究運用數學領域「分數乘法」單元診斷系統，經由學生紙筆、線上同步 施測後，結合專家建立之錯誤類型，分析、探究學生的解題策略。本章計分四節 說明，分別為：研究流程、研究設計、研究工具及研究對象。. 第一節 研究流程 本研究以認知診斷模式為基礎，主要指標為認知屬性狀態，使用自行撰寫之 程式進行BUG-DINO模式的學生錯誤類型估計。 本研究以整體辨識率（Pattern Correct Classification Rate，簡稱PCCR）、錯 誤類型辨識率（Error type Correct Classification Rate，簡稱ECCR）作為辨識標準， 藉以獲得模式估計時的精準度。 研究步驟如下： 步驟1：確定研究主題。 步驟2：蒐集研究相關文獻。 步驟3：使用張玲婉（2008）自編之試題，選擇其中學生比較容易犯的錯誤概 念之應用題作為建構反應題題型。 步驟4：進行施測試題編修並建立施測試卷。 步驟5：進行建構反應題系統介面之使用教學，使學生具備建構反應題之系統 操作的能力。 步驟6：進行教學，並實施線上施測，以蒐集、記錄學生建構反應題作答之解 題歷程。 步驟7：將學生解題過程進行錯誤類型分析。 步驟8：依據錯誤類型分析的結果，修改吳任婕（2009）建立錯誤類型自動化 分析模型。 步驟 9：進行自動化分析之成效分析。. 23.
(38) 步驟 10：在 BUG-DINO 模式使用不同的四種證據輸入方式，進行錯誤類型診 斷的分類正確率分析。 步驟 11：分析 BUG-DINO 模式四種證據輸入方式之診斷結果，找出最佳的證 據輸入方式。 研究流程如下圖3-1-1 所示。. 24.
(39) 確定研究主題. 蒐集研究相關文獻. 建構反應題型建置. 施測介面教學. 建立施測試卷. 紙筆、線上同步施測. 蒐集、記錄學生作答之解題歷程. 錯誤類型分析. 建立錯誤類型自動化分析模型. 自動化成效分析. BUG-DINO 模式下不同的四種證據 輸入方式分類正確率分析. 撰寫研究論文. 圖3-1-1 研究流程圖. 25.
(40) 第二節 研究方法 壹、錯誤類型 經學生作答記錄、專家判讀及參考文獻後，彙整學生在學習「分數乘法」單 元過程中較易犯的錯誤類型，如下表3-2-1，以做為本研究中試題編修的參考依據。 表3-2-2 為學生作答錯誤類型截圖。. 表3-2-1 「分數乘法」單元之錯誤類型分類 編碼. 錯誤類型. B01. 沒有化成最簡分數. B02. 誤用約分概念. B03. 用加法算則計算. B04. 帶分數和假分數轉換的錯誤. B05. 分母相同時，分子相乘，分母不乘. B06. 基本概念錯誤. B07. 以直接法進行運算. B08. 求出公分母後，分子為原分子相加. B09. 分母相乘，分子相加. B10. 未完成全部計算，求出答案 無法由乘數與1的大小關係推論被. B11 B12. 乘數與積的大小關係 誤解題意. 26.
(41) 表3-2-2 學生作答錯誤類型截圖 編碼. 錯誤類型. 施測學生紙筆作答截圖. 沒有化成最簡分 B01. 數. B02. 誤用約分概念. B03. 用加法算則計算. 續下頁. 27.
(42) 表3-2-2 學生作答錯誤類型截圖(續). 帶分數和假分數 B04. 轉換的錯誤. 同分母，分子相 B05. B06. 乘，分母不乘. 基本概念錯誤. 續下頁. 28.
(43) 表3-2-2 學生作答錯誤類型截圖(續). 以直接法進行運 B07. 算. 求出公分母後， B08. 而分子為原分子 相加. 分母相乘，分子 B09. 相加. 續下頁. 29.
(44) 表3-2-2 學生作答錯誤類型截圖(續). 未完成全部計算 B10. 求出答案. 無法由乘數與1 的大小關係推論 B11. 被乘數與積的大 小關係. B12. 誤解題意. 30.
(45) 貳、區塊分析法 區塊分析法係以運算符號為區塊區隔，將學生解題歷程進行分割，再將每區 塊與錯誤類型進行比對，稱為「區塊分析法」（吳任婕，2009）。 以第12題為例，將解題歷程以運算符號〝 × 〞和運算符號〝 ＝ 〞分割成 區塊，解題歷程每個錯誤類型與區塊進行比對，最後將解題歷程判給累積次數越 高的錯誤類型。以此題為例，將資料庫形式以「區塊分析法」分割成區塊，如下 例〝解題歷程區塊分割〞部分，可分割為9個區塊。 假設有兩種錯誤類型： 錯誤類型甲為「沒有化成最簡分數」： 具錯誤類型甲的學生解題歷程為 5. 7. 5. 1 27 5. 55 5. 12. 10 6. 12 10 6. 720. 3 ×2 × ＝ × × ＝. 1107. ＝. 1. ＝7. 1. 資料庫中的形式為 3\\frac{5}{12}*2\\frac{7}{10}*\\frac{5}{6} =\\frac{41}{12}*\\frac{27}{10}* \\frac{5}{6} =\\frac{5535}{720} =\\frac{1107}{144} =7\\frac{99}{144}. 錯誤類型乙為「分母相乘，分子相加」： 具錯誤類型乙的學生解題歷程為 5. 7. 5. 1 27 5. 7. 12. 10 6. 12 10 6. 720. 3 ×2 × ＝ × × ＝ 資料庫中的形式為. 3\\frac{5}{12}*2\\frac{7}{10}*\\frac{5}{6} =\\frac{41}{12}*\\frac{27}{10}* \\frac{5}{6} = \\frac{73}{720}. 31.
(46) 將學生解題歷程所分割的9個區塊與錯誤類型比較（如表3-2-3）。學生解題 歷程有7個區塊與錯誤類型甲相同，相同的區塊以「●」註記，有6個區塊與錯誤 類型乙相同；以此題為例，將學生判為累積最高次數的錯誤類型，此學生犯錯誤 類型甲。. 表3-2-3 學生解題歷程、分割區塊與錯誤類型比較表 作答 \區塊. 區塊1. 區塊 2. 區塊 3. 解題歷程. 3\\frac{5}{12}. 錯誤類型甲. 3\\frac{5}{12}. ●. 2\\frac{7}{10}. ●. \\frac{5}{6}. ●. 錯誤類型乙. 3\\frac{5}{12}. ●. 2\\frac{7}{10}. ●. \\frac{5}{6}. ●. 作答 \區塊. 區塊 4. 區塊 5. 區塊 6. 解題歷程. \\frac{41}{12}. \\frac{27}{10}. \\frac{5}{6}. 錯誤類型甲. \\frac{41}{12}. ●. \\frac{27}{10}. ●. \\frac{5}{6}. ●. 錯誤類型乙. \\frac{41}{12}. ●. \\frac{27}{10}. ●. \\frac{5}{6}. ●. 作答 \區塊. 區塊 7. 區塊 8. 區塊 9. 解題歷程. \\frac{5535}{720}. \\frac{246}{32}. 7\\frac{22}{32}. 錯誤類型甲. \\frac{5535}{720}. \\frac{1107}{144}. 7\\frac{99}{144}. 錯誤類型乙. \\frac{73}{720}. 2\\frac{7}{10}. ●. 32. \\frac{5}{6.
(47) 叁、建構反應題之解題策略及解題流程 以下為4題建構反應題題型之題目、解題策略、設計決策之步驟。經由專家 學者討論後定案，再運用區塊分析法，以自動化判別學生錯誤類型。 一、第6題解題策略 1. 6. 6.姐姐有一條5 公尺長的緞帶，包禮物用去3 公尺，剩下的 拿來做蝴蝶結，做蝴 7. 蝶結用掉幾公尺的緞帶？（答案需化成最簡分數） 解題歷程為若空白，編碼為99。 17. 解題歷程中若出現「1 」或「 」，則視為「答對」，編碼為0。其它則視為 21. 21. 「答錯」。 1. 6. 於「非全對」下，解題歷程中若出現「（5 －3 ）. 7. 1. 」或「2. 6. 1. 6. 」或「. 7. 7. 」 ，則視. 為「列式正確」；其它則列為「列式錯誤」。 於「列式正確」下，最終未求出答案，則視為「未完成全部計算求出答案」編 碼為10。其它視為「求算答案」。 10. 0. 1. 於「求算答案」下，若解題歷程中沒出現「 」或「 」或「 」或「 」，則 視為「帶分數和假分數轉換的錯誤」，編碼為04。. 於「求算答案」下，若解題歷程中出現「3 為「基本概念錯誤」，編碼為06。. 33. 1. 6 7. 」或「. 10. 6 7. 20. 」或「 」，則視 7.
(48) 6. 1. 6. 2. 於「求算答案」下，若解題歷程中出現「2 」或「2 」或「2 」，則視為「以 6. 直接法進行運算」，編碼為07。 1. 6. 1. 6. 於「列式錯誤」下，解題歷程中若出現「（5 －3 ）＋ 」或「（5 －3 ）－ 」或 7. 7. 7. 「2 」，則視為「誤解題意」，編碼為12。 6. 解題策略分析流程如下圖3-2-1 第6題. . 空白（99）. 答錯. 答對（0）. 列式錯誤. 誤解題意. 列式正確. 未完成全部計算 求出答案. 求算答案. 帶分數和假分數 轉換的錯誤 基本概念錯誤 以直接法進行運算. B12. B10. B04. B06. 圖3-2-1 第6題解題策略分析流程. 34. B07.
(49) 二、第12題解題策略 5. 7. 5. 12. 10. 6. 12.杏仁果一包重 3 公斤，奶奶買了2 包，把全部的 送給姑姑，也可以說送給 姑姑多少公斤的杏仁果？(答案需化成最簡分數) 解題歷程為若空白，編碼為99。 11. 12. 16. 16. 解題歷程中若出現「7 」或「. 」，則視為「答對」，編碼為0。其它則視為. 「答錯」。 5. 7. 5. 12. 10 6. 於「答錯」下，解題歷程中若出現「3 ×2 × 」，則視為「列式正確」；其它 則列為「列式錯誤」。. 於「列式正確」下，若解題歷程中出現「9. 27 120. 」或「9 」或最終未求出答案， 0. 則視為「未完成全部計算求出答案」編碼為10。其它視為「求算答案」。 1. 27. 12. 10. 於「求算答案」下，若解題歷程中沒出現「 」或「 」則視為「帶分數和假 分數轉換的錯誤」，編碼為04。 5. 11. 於「求算答案」下，若解題歷程中出現「 」或「1 」則視為「誤用約分概念」， 2. 2. 編碼為02。. 於「求算答案」下，若解題歷程中沒出現「. 5 1. 」或「6. 175 720. 」則視為「基本概. 念錯誤」，編碼為06。 5. 7. 5. 5. 7. 5. 5. 12. 10. 6. 12. 10. 6. 12. 於「列式錯誤」下，解題歷程中若出現「3 ＋2 ＋ 」或「3 ＋2 － 」或「（3. 35.
(50) 7. 5. 10. 6. ＋2 ）× 」，則視為「誤解題意」，編碼為12。 解題策略分析流程如下圖3-2-2. 第 12 題. . 空白（99）. 答錯. 答對（0）. 列式錯誤 誤解題意. 列式正確 未完成全部計算 求出答案. 求算答案 . 帶分數和假分數 轉換的錯誤. 誤用約分概念 基本概念錯誤. B12. B10. B04. B02. 圖3-2-2 第12題解題策略分析流程. 36. B06.
(51) 三、第17題解題策略 2. 17.大水管 1 分鐘可注水7 公升，小水管 1 分鐘可注水 2 公升，兩根水管同時注 水 6 分鐘，請問共可注入多少公升的水？(答案需化成最簡分數) 解題歷程為若空白，編碼為99。 1. 125. 2. 2. 解題歷程中若出現「62 」或「. 」，則視為「答對」，編碼為0。其它則視為. 「答錯」。 2. 2. 於「答錯」下，解題歷程中若出現「7 ×6＋2 ×6」或「（7 ＋2 ）×6」，則視 為「列式正確」；其它則列為「列式錯誤」。 於「列式正確」下，最終未求出答案，則視為「未完成全部計算求出答案」編 碼為10。其它視為「求算答案」。 2. 11. 2. 於「求算答案」下，若解題歷程中沒出現「 」或「 」或「 」或「 」， 12. 12. 則視為「帶分數和假分數轉換的錯誤」，編碼為04。. 於「求算答案」下，解題歷程中若出現「. 125 72. 」或「. 5 72. 」，則視為「 誤用約分. 概念」，編碼為02。 2. 於「求算答案」下，解題歷程中若出現「7 ＋2 ×6」，則視為「 基本概念錯誤」， 編碼為06。 5. 於「求算答案」下，解題歷程中若出現「 」或「9 」，則視為「 求出公分 12. 37. 12.
(52) 母後，分子為原分子相加」，編碼為08。 2. 2. 於「列式錯誤」下，解題歷程中若出現「7 ＋2 ＋6」或「（7 －2 ）×6」或「（6×2 ） 2. ＋7 」，則視為「誤解題意」，編碼為12。 解題策略分析流程如下圖3-2-3. 第 17 題. . 空白（99）. 答錯. 答對（0） . 列式錯誤 誤解題意. 列式正確 未完成全部計算 求出答案. 求算答案. 帶分數和假分數 轉換的錯誤. . 誤用約分概念. . 基本概念錯誤. . 求出公分母後，分 子為原分子相加 B12. B10. B04. B02. 圖3-2-3 第17題解題策略分析流程. 38. B06. B08.
(53) 四、第18題解題策略 18.有一塊 2. 1. 15. 平方公尺的空地，其中的 1 用來種玫瑰花，請問種玫瑰花的面積是. 多少平方公尺？(答案需化成最簡分數) 解題歷程為若空白，編碼為99。 2. 7. 解題歷程中若出現「15 」或「 」，則視為「答對」，編碼為0。其它則視為 「答錯」。 1. 於「答錯」下，解題歷程中若出現「12 ×1 」，則視為「列式正確」；其它則 15. 列為「列式錯誤」。 於「列式正確」下，最終未求出答案，則視為「未完成全部計算求出答案」編 碼為10。其他視為「求算答案」。. 於「求算答案」下，若最終答案小於「 2. 15. 」，則視為「無法由乘數與1 的大. 小關係推論被乘數與積的大小關係」，編碼為11。 2. 7. 15. 60. 於「求算答案」下，解題歷程中若出現「12 」或「 2 」或「 2 60. 」，則視. 為「用加法算則計算」，編碼為 03。 2. 於「求算答案」下，解題歷程中若出現「12 」，則視為「 基本概念錯誤」， 15. 編碼為06。 1. 1. 1. 於「列式錯誤」下，解題歷程中若出現「12 ＋1 」或「12 －1 」或「12 ÷1 」， 15. 則視為「誤解題意」，編碼為12。. 39. 15. 15.
(54) 解題策略分析流程如下圖3-2-4 . 第 18 題. 空白（99）. 答錯. 答對（0）. 列式錯誤. 誤解題意. 列式正確 未完成全部計算 求出答案. 求算答案 . 無法由乘數與 1 的大小關係推論 被乘數與積的大 小關係. . 用加法算則計算. 基本概念錯誤. B12. B10. B11. B03. 圖3-2-4 第18題解題策略分析流程. 40. B06.
(55) 肆、BUG-DINO 模型 DINO 模型將受試者分為完全不具備與具備任一個認知屬性兩類，在解釋意 義上更適用於錯誤類型的診斷，當受試者具備任何一個錯誤類型時，試題的答對 機率將受到影響，而完全不具備錯誤類型時，應該有較高的答對機率，因此本研 究將 DINO 模型應用於錯誤類型的診斷上，而錯誤類型對試題答對機率的影響是 負面的，因此需修改 DINO 模型以適用於錯誤類型的診斷，命名為 BUG-DINO 模型，其模式說明如下。 根據受試者所具備及試題所對應相關的錯誤類型，將其分為兩類： 1.完全不具備試題相關的錯誤類型， ij 1 2.具備任何一個試題相關的錯誤類型， ij 0 機率反應模型如下： . P(Yij 1| ij ) (1 s j ) ij ( g j ). 1ij . K. ij . (1 . Q jk ik ). k 1. s j P(Yij 0 | ij 1) g j P(Yij 1| ij 0). 其中 Yij ：第 i 個受試者在第 j 題試題的反應組型。. s j ：受試者完全不具有作答可能犯的錯誤類型，但卻因粗心而答錯該題的機率。 g j ：受試者具有任何一個作答可能犯的錯誤類型，但卻因猜測而答對該題的機率。 Q jk ：受試者作答第 j 題試題是否會犯第 k 個錯誤類型。 ij ：受試者是否具有作答可能犯的錯誤類型，如全部無其值為 0，反之，若受試. 者具有任何一個作答可能犯的錯誤類型其值則為 1。 ik ：受試者是否具有第 k 個錯誤類型，如果有為 1，沒有為 0。. 41.
(56) 伍、證據輸入方式 依加入建構反應題的不同證據方式，可分為四種：方式一：為全選擇題測驗， 採用選擇題之對錯做為CDMs之證據輸入；方式二：為混合題型測驗，將部分選 擇題改為建構反應題作答，此建構反應題之對錯輸入為電腦自動化分析之結果做 為CDMs之證據輸入；方式三：為混合題型測驗，將部分選擇題改為建構反應題 作答，將建構反應題對應之錯誤類型視為一道試題，學生犯有該錯誤類型時視為 答錯，否則視為答對；方式四：為混合題型測驗，僅輸入選擇題對錯之二元資料， 但部分錯誤類型的狀態由建構反應題的診斷結果獲得，也就是部分錯誤類型的狀 態已知，只需要估計未知的錯誤類型。茲將建構反應題四種不同證據輸入方式表 列如表3-2-4。. 表3-2-4 建構反應題四種不同證據輸入方式 模式. 證據的輸入方式. 總題數. 錯誤類型. 20. 12. 20. 12. 以全選擇題方式(含與建構反應題題 幹相同的選擇題I21~I24)共計20題對 方式一 錯的二元資料，I06、I12、I17、I18 為建構反應題其作答不輸入。 以混合題型方式：選擇題對錯的二元 資料(不含與建構反應題題幹相同的 方式二. 選擇題I21~I24)計16題+建構反應題 I06、I12、I17、I18對錯的二元資料 計4題，共計20題。. 42.
(57) 表 3-2-4 建構反應題四種不同證據輸入方式(續) 模式. 證據的輸入方式. 總題數. 錯誤類型. 37. 12. 20. 12. 以混合題型方式：選擇題對錯的二元 資料(不含與建構反應題題幹相同的 選擇題I21~I24)計16題+建構反應題 方式三 I06、I12、I17、I18之錯誤類型均視 為一道試題，輸入其具備與否的二元 資料計21題，共計37題。 以混合題型方式：選擇題對錯的二元 資料(不含與建構反應題題幹相同的 選擇題I21~I24)計16題+建構反應題 I06、I12、I17、I18之自動分析結果， 方式四 其中錯誤類型B2~B4、B6 ~B12的狀 態使用I06、I12、I17、I18等建構反 應題所提供之自動化分析結果，不再 使用模式進行估計4題，共計20題。. 不同方式之Q矩陣如表3-2-5、表3-2-6、表3-2-7、表3-2-8。. 43.
(58) 表3-2-5 方式一之Q矩陣 B01. B02. B03. B04. B05. B06. B07. B08. B09. B10. B11. B12. I01. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I02. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I03. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I04. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I05. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I07. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I08. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I09. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. I10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. I11. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I13. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. I14. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I15. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I16. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I19. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. I20. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I21. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I22. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I23. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I24. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 44.
(59) 表 3-2-6 方式二之 Q 矩陣 B01. B02. B03. B04. B05. B06. B07. B08. B09. B10. B11. B12. I01. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I02. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I03. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I04. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I05. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I07. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I08. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I09. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. I10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. I11. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I13. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. I14. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I15. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I16. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I19. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. I20. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I18. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. I17. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. I06. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. I12. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 45.
(60) 表3-2-7 方式三之Q矩陣 B01. B02. B03. B04. B05. B06. B07. B08. B09. B10. B11. B12. I01. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I02. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I03. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I04. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I05. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I07. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I08. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I09. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. I10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. I11. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I13. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. I14. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I15. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I16. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I19. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. I20. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I06-B04. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I06-B06. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I06-B07. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. I06-B10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I06-B12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 46.
(61) 表3-2-7 方式三之Q矩陣(續) B01. B02. B03. B04. B05. B06. B07. B08. B09. B10. B11. B12. I12-B02. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I12-B06. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I12-B09. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. I12-B10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I12-B12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I17-B02. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I17-B04. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I17-B06. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I17-B08. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. I17-B10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I17-B12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I18-B03. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I18-B06. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I18-B10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I18-B11. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. I18-B12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 47.
(62) 表 3-2-8 方式四之 Q 矩陣 B01. B02. B03. B04. B05. B06. B07. B08. B09. B10. B11. B12. I01. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I02. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I03. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. I04. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I05. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I07. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I08. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I09. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. I10. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. I11. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I13. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. I14. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I15. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I16. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I19. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 1. I20. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I18. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I17. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. I06. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. I12. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 48.
(63) 陸、評估指標 一、辨識率 辨識率是模式診斷結果正確率，其值越大即代表受試者個別認知屬性的狀態 較能被正確估計，一為整體辨識率PCCR（Pattern Correct Classification Rate）， 為受試者整體錯誤類型診斷正確率；另一為錯誤類型辨識率ECCR（Error type Correct Classification Rate），為個別錯誤類型診斷正確率，計算公式分別如公式 3-2-1及公式3-2-2：. 𝑃𝐶𝐶𝑅. ∑𝑁 𝑖=1(𝐼(𝛼 ̂ 𝑖 ,𝛼𝑖 ) ). 公式3-2-1. 𝑁. 其中 N：樣本數 I：指示函數 ̂𝑖 ：受試者𝑖的所有錯誤類型估計狀態 𝑖 ：由專家診斷受試者𝑖的所有錯誤類型狀態。. 𝐸𝐶𝐶𝑅𝑏. ∑𝑁 𝑖=1(𝐼(𝛼 ̂ 𝑖𝑏 ,𝛼𝑖𝑏 ) ) 𝑁. ，(𝑏. ,2, … , b). 公式 3-2-2. 其中 N：樣本數 I：指示函數 ̂𝑖𝑏 ：受試者𝑖的錯誤類型𝑏估計狀態 𝑖𝑏 ：由專家診斷受試者𝑖的錯誤類型𝑏狀態。. 二、自動分析正確率 自動分析正確率係透過所蒐集到的有效様本，以區塊分析法分析4題建構反 應題，並以專家分析結果做為效標，即可得到，其值越大即代表電腦診斷受試者. 49.
(64) 之錯誤類型與專家判別之錯誤類型之一致性愈高，換句話說，以電腦取代人工， 節省時間、人力可能性愈高，計算公式如公式3-2-3：. 自動分析正確率. 自動化分析與專家判斷相同的樣本數 全部樣本數. 公式3-2-3. 第三節 研究工具 壹、試卷 本試卷採用張玲婉（2008）編製之試題，經文獻收集、教材分析及依據 專家知識結構命題，計選擇題20題，再由其中挑選4題編修為建構反應題題 型，分3區段置入試卷中，總計24題，試題之內容經由3位教授及3位現任國 小教師討論後確定，如附錄一。. 貳、「分數乘法」單元之信度分析 測驗內部一致性的數值，Cronbach α係數值為0.846，符合信度分析之標 準。. 50.
(65) 叁、「分數乘法」單元建構反應題之系統介面 一、「電腦化認知診斷評量系統」 電腦化認知診斷評量系統為國立臺中教育大學教育測驗統計與適性學 習研究中心開發之測驗評量系統，本系統以認知診斷模式為基礎，藉由建構 反應題型蒐集學生之作答解題歷程，能夠提升單純選擇題認知診斷評量之估 計精準度。 二、「電腦化認知診斷評量系統」操作介紹 茲將「電腦化認知診斷評量系統」操作介紹如圖3-3-1~圖3-3-8其相關頁 面如下：圖3-3-1為「分數乘法」單元試題介面，受試者需鍵入施測者所提供 之帳號、密碼後，點擊登入進入系統。. 圖3-3-1「分數乘法」單元試題介面 圖3-3-2為「分數乘法」單元試題介面歡迎網頁，受試者驗證帳號、身 分及所屬學校班級，點擊參加測驗後進入測驗。圖3-3-3為「分數乘法」單 元試題介面，點選參加測驗後開始測驗。. 51.
(66) 圖3-3-2「分數乘法」單元試題介面歡迎網頁. 圖3-3-3「分數乘法」單元試題介面. 圖3-3-4為「分數乘法」單元試題選擇題型介面，受試者依計算結果擇 一點擊答案後，點擊作答完畢，進入下一題進行測驗。圖3-3-5為「分數乘 法」單元試題建構反應題型介面，受試者需應用右側方程式編輯器輸入運. 52.
(67) 算過程，完成後點擊作答完畢，進入下一題進行測驗。. 圖3-3-4「分數乘法」單元試題介面選擇題型. 圖3-3-5「分數乘法」單元試題介面建構反應題型. 圖3-3-6為「分數乘法」單元試題介面建構反應題型解題歷程例題呈現 方式，學生透過右側方程式編輯器輸入算式後，解題歷程會呈現於試題下. 53.
(68) 方；圖3-3-7為「分數乘法」單元試題介面建構反應題型清除算式功能，學 生若發現計算過程錯誤，除了使用上一步返回前次輸入之算式外，亦能點 選清楚算式，將全部的歷程清除。. 圖3-3-6「分數乘法」單元試題介面建構反應題型解題歷程例題. 圖3-3-7「分數乘法」單元試題介面建構反應題型清除算式. 54.
(69) 三、方程式編輯器介紹 分子. 於分數區每 鍵完數字 後，點選此 鍵，輸入之算. 純整數時僅 需鍵入整數 部分即可，分 母與分子皆 空白. 整數. 式才會顯示 分母. 換下一行. 回到上一 步(如打錯 時，可運用 此鍵回到 上一步重 新再算). 將鍵入資料. 全部清空. 運算符號說明 若有完成輸入算式後 未顯示時，可運用此 鍵重整即可解決. 加. 減 左括號. 乘 右括號. 55. 除. 等於.
(70) 第四節 研究對象 壹、施測對象 高雄市及桃園縣共7所學校完成「分數乘法」單元學習之五年級學生， 參與施測之樣本共：469人，刪除4題建構題皆空白未作答之樣本59人，有效 樣本410人。. 貳、施測方式 本研究之施測方式採紙筆、線上同步施測，亦即於實施施測時，受測學 生都發給紙本題本，受測學生都必須於此紙本題本上完成全部題目的作答並 寫下運算過程，另由線上系統隨機出題，如題目為選擇題（如圖3-3-4），則 鍵入答案選項完成作答，如題目為建構反應題(如圖3-3-5)，則還必須運用 BNAT之方程式編輯器介面鍵入運算過程，才算完成作答。. 56.
(71) 第四章 研究結果 第一節 建構反應題於錯誤類型自動化分析機制成效 評估 壹、建構反應題之錯誤類型數量統計表及其分析內容 一、建構反應題-第6題 建構反應題第6題解題診斷的錯誤概念類型為B04、B06 、B07、B10、B12， 學生在建構反應題第6題之解題錯誤類型統計數量如表4-1-1，本題共有5個錯誤類 型。解答錯誤者為264人。若以建構題解題之錯誤類型分析，具有B04人數為71 人； 具有B06人數為87人；具有B07人數為37人；具有B10人數為48人；具有B12人數 為21人。. 表4-1-1 建構反應題第6題學生解題錯誤類型人數統計表 編碼. 錯誤類型. 學生數. 人數比率. B04. 帶分數和假分數轉換的錯誤。. 71. 17％. B06. 基本概念錯誤。. 87. 21％. B07. 以直接法進行運算. 37. 9％. B10. 未完成全部計算求出答案. 48. 12％. B12. 誤解題意. 21. 5％. 答案錯誤. 264. 64％. 57.
(72) 二、建構反應題-第12題 建構反應題第12題解題診斷的錯誤概念類型為B02、B04、B06、B10、B12， 學生在建構反應題第12之解題錯誤類型統計數量如表4-1-2，本題共有5個錯誤類 型。解答錯誤者為260人。若以建構題解題之錯誤類型分析，具有B02人數為33 人；具有B04人數為80人；具有B06人數為78人；具有B10人數為31人；具有B12 人數為38人。. 表4-1-2 建構反應題第12題學生解題錯誤類型人數統計表 編碼. 錯誤類型. 學生數. B02. 誤用約分概念. 33. 8％. B04. 帶分數和假分數轉換的錯誤。. 80. 20％. B06. 基本概念錯誤。. 78. 19％. B10. 未完成全部計算求出答案. 31. 8％. B12. 誤解題意. 38. 9％. 答案錯誤. 260. 63％. 58. 人數比率.
(73) 三、建構反應題-第17題 建構反應題第17題解題診斷的錯誤概念類型為B02、B04、B06、B08、B10、 B12，學生在建構反應題第17之解題錯誤類型統計數量如表4-1-3，本題共有6個錯 誤類型。解答錯誤者為278人。若以建構題解題之錯誤類型分析，具有B02人數為 42人；具有B04人數為69人；具有B06人數為89人；具有B08人數為29人；具有B10 人數為22人；具有B12人數為27人。. 表4-1-3 建構反應題第17題學生解題錯誤類型人數統計表 編碼. 錯誤類型. 學生數. 人數比率. B02. 誤用約分概念. 42. 10％. B04. 帶分數和假分數轉換的錯誤。. 69. 17％. B06. 基本概念錯誤。. 89. 22％. B08. 求出公分母後，分子為原分子. 29. 7％. 相加 B10. 未完成全部計算求出答案. 22. 5％. B12. 誤解題意. 27. 7％. 答案錯誤. 278. 68％. 59.
(74) 四、建構反應題-第18題 建構反應題第18題解題診斷的錯誤概念類型為B03、B06、B10、B11、B12， 學生在建構反應題第18之解題錯誤類型統計數量如表4-1-4，本題共有5個錯誤類 型。解答錯誤者為190人。若以建構題解題之錯誤類型分析，具有B03人數為21 人；具有B06人數為71人；具有B10人數為26人；具有B11人數為53人；具有B12 人數為19人。. 表4-1-4 建構反應題第18題學生解題錯誤類型人數統計表 編碼. 錯誤類型. 學生數. 人數比率. B03. 用加法算則計算. 21. 5％. B06. 基本概念錯誤。. 71. 17％. B10. 未完成全部計算求出答案. 26. 6％. B11. 無法由乘數與 1 的大小關係. 53. 13％. 誤解題意. 19. 5％. 答案錯誤. 190. 46％. 推論被乘數與積的大小關係 B12. 60.
(75) 貳、自動分析正確率 以區塊分析法分析4題建構反應題，電腦診斷學生之錯誤類型與專家判別之 錯誤類型的正確率為96.34％、98.78％、98.78％、99.27％（如下表4-1-3），診斷 平均正確率為98.29％。可見，藉由系統自動化計分以建構反應題為基礎之數學科 診斷測驗系統成效良好。 表4-1-3 自動分析正確率 題號. 正確率(%). 6. 96.34. 12. 98.78. 17. 98.78. 18. 99.27. 平均. 98.29. 第二節 建構反應題四種不同證據輸入方式於錯誤類 型自動化分析機制成效評估 全選擇題題型存在猜題或粗心之因素，難以從測驗對錯的二元資料，確實獲 得學生是否達成學習目標，而建構反應題可以記錄學生作答歷程，再藉由自動化 分析診斷，界定其錯誤類型，得到學生不懂或不熟練的地方，教師再據以實施補 就教學，以達成學習目標。再者實施全建構反應題題型曠日廢時不符實際需求， 故其加入方式關係重大，彙整四種方式之辨識率如表4-2-1：方式一之ECCR平均 值為0.8366；方式二之ECCR平均值為0.8433；方式三之ECCR平均值為0.8541而 方式四之ECCR平均值為0.9081（如圖4-2-1），方式一之PCCR為0.1951；方式二 之PCCR為0.2122；方式三之PCCR為0.2502；方式四之PCCR為0.2615（如圖. 61.
(76) 4-2-2）。. ECCR 0.92 0.9 0.88 0.86 0.84 0.82 0.8. 方式一 ACCR 0.836585366. 方式二 0.843292683. 方式三 0.854126016. 方式四 0.908070328. 圖4-2-1 四種方式之錯誤類型辨識率. PCCR 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0. 方式一 方式二 方式三 方式四 PCCR 0.195121951 0.212195122 0.250243902 0.261463415. 圖4-2-2 四種方式之整體辨識率. 62.
(77) 表4-2-1 建構反應題四種不同證據輸入方式 錯誤類型. 方式一. 方式二. 方式三. 方式四. B01. 0.792683. 0.802927. 0.823171. 0.987812. B02. 0.819512. 0.800732. 0.828780. 0.825610. B03. 0.829268. 0.832683. 0.841951. 0.859756. B04. 0.841463. 0.841220. 0.830732. 0.976252. B05. 0.858537. 0.865122. 0.857561. 0.904390. B06. 0.863415. 0.872439. 0.891951. 0.984616. B07. 0.778049. 0.793171. 0.812927. 0.803171. B08. 0.804878. 0.821220. 0.814146. 0.804878. B09. 0.800732. 0.791951. 0.814878. 0.863415. B10. 0.858537. 0.843902. 0.858537. 0.868537. B11. 0.975610. 0.975610. 0.975610. 0.975610. B12. 0.846341. 0.858537. 0.879268. 0.992798. ECCR. 0.836585. 0.843293. 0.854126. 0.908070. PCCR. 0.195122. 0.212195. 0.250244. 0.261463. 由表4-2-1數據顯示辨識率平均值以全選擇題型證據輸入的方式一最低，相較 於加入建構反應題二元資料證據輸入的方式二略有提升，足見加入建構反應題有 助於提升辨識率；而建構反應題證據的輸入方式，在方式三本研究以自動化分析 之二元資料診斷結果，更為精細分析學生作答過程，不再只以學生作答之對錯如 方式二之方式輸入，而辨識率再有提升，顯現方式三優於方式二、方式一，而方 式四將建構反應題以自動化分析資料之診斷結果視為已知不再估計，可讓辨識率. 63.
(78) 再提升，綜言之，加入建構反應題之題組優於全選擇題之題組，而建構反應題不 同證據輸入方式於錯誤類型自動化分析機制成效，方式四優於方式三，方式三優 於方式二，方式二優於方式一，以方式四最優。惟其中錯誤類型B11建構反應題 四種不同證據輸入方式之ECCR平均值均為0.9756，應是錯誤類型：「無法由乘數 與1的大小關係推論被乘數與積的大小關係」，為直接判斷的題型(第13題)，即此 題答對則不具此錯誤類型，反之，若此題答錯則具有此錯誤類型，再加入建構反 應題後均無法有助於進一步診斷學生是否具有此錯誤類型，換言之，此題答錯則 具有此錯誤類型，即以此進行補救教學；錯誤類型B04、錯誤類型B05之ECCR平 均值以方式四最優，然在方式三低於方式一、方式二，此現象為學生普遍具有此 二類錯誤類型，猜測答對多，於加入建構反應題後降低了辨識率，建議應加強此 二類錯誤類型之補救教學。. 64.
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