葉片具傾斜角之葉輪攪拌槽流場分析
56
0
0
全文
(2) 葉片具傾斜角之葉輪攪拌槽流場分析. Flow Analysis in a Tank Agitated by Pitched-Blade Impellers 研 究 生：邱建仁. Student：Jian-Ren Chou. 指導教授：崔燕勇. Advisor：Yeng-Yung Tsui. 國 立 交 通 大 學 機械工程研究所 碩 士 論 文. A Thesis Submitted to Institute of Mechanical Engineering College of Engineering National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Science in Mechanical Engineering July 2004 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十三年七月.
(3) 葉片具傾斜角之葉輪攪拌槽流場分析 研究生：邱建仁. 指導教授：崔燕勇 博士. 國立交通大學機械工程研究所 摘. 要. 本研究是對一個具有傾角之葉輪攪拌器作流場之計算，引用 SIMPLE 壓力修正 法，用有限容積法來離散統御方程式，假設流場為擬似穩態，所計算的流場是三 維紊流流場，紊流模式是使用高雷諾數的 k − ε 模式，並在近壁面的流場使用壁函 數作處理。在葉片旋轉區內和葉片旋轉區以外，分別以旋轉座標系及靜止座標系 作計算。由於假設攪拌槽具有對稱性，而且每一葉片的尺寸外型皆相同，為了減 少計算量，僅取半個攪拌槽範圍進行流場分析，當流體流經此範圍邊界時，流出 與流入的通量需相同，此範圍之邊界為週期性邊界，計算網格是使用非結構性與 非交錯式網格。 本研究主要是改變(1)葉片的傾角α、(2)攪拌器的葉片中心與攪拌槽底部之間 的間隙 C、(3)攪拌器葉片的直徑 D、(4)攪拌器的轉速Ω等四種參數，探討在改變 這四種參數時，流場所產生的變化。 其結果葉片的傾角逐漸加大到臨界角度以後，流場型態會由軸向流場改為徑向 流場，功率數也會快速增加，攪拌數卻是加速減少，顯示在葉片旋轉區域內的流 體交換速度減低。間隙越大時，當葉片的傾角加大到臨界角度以後，流場型態由 軸向流場改為徑向流場的現象會越不明顯，功率數也因間隙變大而使得在臨界角 度後的增加幅度減小，攪拌數也是隨著間隙增加而變小。間隙越小會使軸向流場 改為徑向流場的現象越明顯，功率數在臨界角度後的增加幅度也越大，攪拌數也 變大。加大葉片直徑後，使得流場型態由軸向流場改為徑向流場的現象越不明 顯，也會使功率數的增加幅度變小，而攪拌數是減少的幅度變大。轉速的改變， 對流場型態以及功率數、ε*、κ*和攪拌數的影響不大。. i.
(4) Flow Analysis in a Tank Agitated by Pitched-Blade Impellers Student：Jian-Ren Chou. Advisor：Dr. Yeng-Yung Tsui. Institute of Mechanical Engineering National Chiao Tung University ABSTRACT This thesis is mainly aimed the flow in a tank agitated by pitched-blade impellers. The SIMPLE algorithm were applied to numerical simulation. Assuming that the flow is quasi-steady. I calculate both inside and outside turbulent flow of the impeller swept region in 3-D. Turbulent model is High Reynolds k − ε model. wall function is used to calculate the flow near wall. I calculate the inside and outside flows of the impeller region by means of rotative and stationary frame of reference individually. Because the sizes and shapes of the blades in a stirred tank are the same and the flow cycles, I select a suitable calculation range as cyclic boundary to reduce the amount of the calculation. Unstructured and no staggered meshes are adopted in our calculation. This research is mainly to change four kinds of parameters (1) an oblique angle α of the blade,(2)The clearance C of between centre of the blade and bottoms of the tank,(3) Diameter of the blade D,(4) Rotational speed of the blade Ω。 When oblique angle α of blade increase to critical angle, The flow change from axial-flow to radial-flow, and power number increase rapidly, but pumping number decrease rapidly. When the clearance C is larger, and the α increase to critical angle, the phenomenon of flow change from axial-flow to radial-flow will be unobvious, and the increase number of power number are cut down, and pumping number is decrease. After increase the diameter of the blade, the phenomenon of flow change from axial-flow to radial flow will be unobvious, and the increase numbers of power number are cut down, and the decrease numbers of pumping are larger.. ii.
(5) 誌謝 衷心感謝崔燕勇教授在我研究所兩年的歲月中，無論在課業中或是論文研究上 殷切的指導，使我得以完成這篇論文。同時也要感謝吳添成、胡育昌、呂治宇等 學長的教導，以及王宏文、黃弼鑫同學們的幫助，還有謝崇民、唐宜甫、沈詩珍 等學弟妹們的陪伴，另外也感謝傅武雄教授與黎源欣博士和王家康學長在論文上 的建議，在此至上深深的謝意。 特別感謝父母親多年的養育之恩，以及我最可愛的妹妹，在我碩士生涯中，一 直不斷鼓勵著我，沒有他們就沒有今日的我，僅以此小小的成就獻給他們。最後 感謝每一位在我人生的路途上，伴我成長的師長、朋友、同學、伙伴們，謝謝你 們。. 邱建仁 2004.7.7 于交大機械研究所 計算流力實驗室. iii.
(6) 目. 錄. 中文摘要. i. 英文摘要. ii. 誌謝. iii. 目錄. iv. 圖目錄. vi. 符號說明. ix. 第一章. 緒論………………………………………………………………………1. 1.1 前言………………………………………………………………………………..1 1.2 文獻回顧…………………………………………………………………………..3 1.3 研究目的…………………………………………………………………………..6 第二章. 數學模式………………………………………………………..……..…7. 2.1 基本假設…………………………………………………………..……………..7 2.2 多重參考座標系之統御方程式………………………………………..………..7 2.3 邊界條件………………………………………………………………………..10 第三章. 數值方法………………………………………………………………..11. 3.1 離散化…………………………………………………………………………..11 3.2 計算面上質量流率……………………………………………………………..15 3.3 壓力修正式…………………………………………….……………………….17 3.4 邊界條件………………………………………………………….…………….20 3.5 旋轉座標與靜止座標介面轉換………………………………………………..23 3.6 解題步驟………………………………………………………….…………….24 第四章. 結果與討論……………………………………………………………..25. 4.1 葉片傾角對流場的影響………………………………………….………….…26. iv.
(7) 4.2. 葉片與攪拌槽底之間間隙對流場的影響………………………..…..….……28. 4.3. 葉片直徑對流場的影響…………………………………………………….…33. 4.4. 轉速對流場的影響…………………………………………………...…….….38. 4.5. 討論結果……………………………………………………………...…….….39. 第五章. 結論……………………………………………………………………. 41. 參考文獻……………………………………………………………………………..43. v.
(8) 圖目錄 圖 1.1 框 式 攪 拌 器 :(a)錨 框 式 ， (b)板 框 式 ……….………….….…....….…...45 圖 1.2 消 泡 攪 拌 器 :(a)消 泡 葉 輪 ， (b)消 泡 槳 …………..…………...…..…...46 圖 1.3 圓 盤 渦 輪 式 攪 拌 器 :(a)平直葉圓盤渦輪式，(b)斜 葉 圓 盤 渦 輪 式 ， (c)彎 葉 圓 盤 渦 輪 式 …………………………....47 圖 1.4 斜 葉 渦 輪 式 ……………………...………………………………...….…..48 圖 1.5 徑流式流場…………………………………………..……………...….…..49 圖 1.6 軸流式流場……………… ………………………………….……...….…..50 圖 2.1 靜止座標系與旋轉座標系……………………………..……….…..….…..51 圖 2.2 週期性邊界示意圖…………………………………………..……...….…..52 圖 3.1. over-relaxed approach 法……….………………………………….…….…53. 圖 3.2 計算邊界壓力示意圖………………………….…………………………...54 圖 3.3 計算壁面剪應力示意圖……………………………………..……….…….55 圖 3.4 格點位置示意圖…………………………………………………..….…….56 圖 4.1 攪拌槽的幾何外型…………………………………………..……….…….57 圖 4.2 攪拌槽的幾何尺寸…………………..………………………….…….……58 圖 4.3 計算網格………………………………………………………...…….…....59 圖 4.4 速度場的徑向分佈(C=T/3，D= T/3，α=45°) (a) Vr / Vtip (b) Vθ / Vtip. (c) W / Vtip ……………………………...……….…..60. 圖 4.5. 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/3 在不同角度時的流線圖……….………..61. 圖 4.6. 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/3 流場變化最大的兩個角度葉片上 的壓力分佈(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背面)…………......……....62 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/3 流場變化最大的兩個角度 平行葉片上的流線圖(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)...….…...63. 圖 4.7 圖 4.8. 葉片所掃過的區域………………...….……………………………..…..…64. 圖 4.9 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/3 在不同角度時的功率數與攪拌數……..…65 圖 4.10 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/4 在不同角度時的流線圖...…………..…...66 圖 4.11 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/4 流場變化最大的兩個角度 葉片上的壓力分佈(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…………..67 圖 4.12 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/4 流場變化最大的兩個角度 vi.
(9) 圖 4.13 圖 4.14 圖 4.15 圖 4.16 圖 4.17. 平行葉片上的流線圖(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…….….68 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/4 在不同角度時的功率數與攪拌數……...69 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/2 在不同角度時的流線圖...…………..…...70 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/2 流場變化最大的兩個角度 葉片上的壓力分佈(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…………..71 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/2 流場變化最大的兩個角度 平行葉片上的流線圖(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)……..…72 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/2 在不同角度時的功率數與攪拌數……...73. 圖 4.18 不同高度時流場變化較大的兩個角度(葉片直徑 D=T/3)…………..…….74 圖 4.19 不同高度的流場變化情形(葉片直徑 D=T/3)…………………..………….75 圖 4.20 不同高度時葉片背風面流場變化情形(葉片直徑 D=T/3)……….………..76 圖 4.21 葉片直徑 D=T/3 在不同高度時葉片上的壓力分佈 (左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)………………………….……77 圖 4.22 葉片直徑 D=T/3 在不同高度時平行葉片上的流線圖 (左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)………………………………..78 圖 4.23 葉片直徑 D=T/3 在不同葉片中心高度的水平剖面上的壓力圖……..…..79 圖 4.24 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/3 在不同角度時的流線圖...…………..…...80 圖 4.25 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/3 流場變化最大的兩個角度 葉片上的壓力分佈(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…………..81 圖 4.26 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/3 流場變化最大的兩個角度 平行葉片上的流線圖(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…….….82 圖 4.27 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/3 在不同角度時的功率數與攪拌數……...83 圖 4.28 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/4 在不同角度時的流線圖...…………..…...84 圖 4.29 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/4 流場變化最大的兩個角度 葉片上的壓力分佈(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…………..85 圖 4.30 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/4 流場變化最大的兩個角度 平行葉片上的流線圖(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)………...86 圖 4.31 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/4 在不同角度時的功率數與攪拌數…..…..87 圖 4.32 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/2 在不同角度時的流線圖...…………..…...88 圖 4.33 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/2 流場變化最大的兩個角度 葉片上的壓力分佈(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…………..89 圖 4.34 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/2 流場變化最大的兩個角度 平行葉片上的流線圖(左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)…….….90 圖 4.35 葉片直徑 D=T/2 和間隙 C=T/2 在不同角度時的功率數與攪拌數……...91 圖 4.36 不同高度時流場變化較大的兩個角度(葉片直徑 D=T/2)…………….…..92 vii.
(10) 圖 4.37 不同高度的流場變化情形(葉片直徑 D=T/2)…………………..…...……..93 圖 4.38 不同高度時葉片背風面流場變化情形(葉片直徑 D=T/2)……….………..94 圖 4.39 葉片直徑 D=T/2 在不同高度時葉片上的壓力分佈 (左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)……………………….….…..95 圖 4.40 葉片直徑 D=T/2 在不同高度時平行葉片上的流線圖 (左邊葉片為迎風面，右邊葉片為背風面)……………………………..…96 圖 4.41 葉片直徑 D=T/2 在不同葉片中心高度的水平剖面上的壓力圖……...…..97 圖 4.42 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/3 在不同轉速時的功率數，ε*，κ*……..98 圖 4.43 葉片直徑 D=T/3 和間隙 C=T/3 在不同轉速時的攪拌數………………..…99 圖 4.44 在不同轉速中速度場的徑向分佈(C=T/3，D=T/3，α=75°) (a) Vr / Vtip. (b) Vθ / Vtip. (c) W / Vtip ……………………………………….100. 圖 4.45 在不同轉速中速度場的徑向分佈(C=T/3，D= T/3，α=45°) (a) Vr / Vtip 圖 4.46 圖 4.47 圖 4.48 圖 4.49 圖 4.50 圖 4.51. (b) Vθ / Vtip. (c) W / Vtip …………………………………….…101. 葉片在直徑 D=T/3 時不同間隙的功率數與攪拌數………………….…102 葉片在直徑 D=T/3 時不同間隙的ε*和κ*…………………………….103 葉片在直徑 D=T/2 時不同間隙的功率數與攪拌數………………….…104 葉片在直徑 D=T/2 時不同間隙的ε*和κ*…………………………….105 軸向噴流水平夾角β示意圖……………………………..…………...…106 軸向噴流水平夾角在不同間隙下改變的情形……………...…………..107. viii.
(11) 符號說明 符號. 定義. a P , aC. 動量方程式之係數. aPp , aCp. 壓力修正方程式之係數. B. 擋板寬度. c. 攪拌葉片中心距離容器底部間隙. D. 攪拌葉片直徑. α. 攪拌葉片傾角. W. 攪拌葉片寬度. G e. 單位向量. Ff. 通量. H. 攪拌槽高度. T. 攪拌槽直徑. m. 質量流率. N. p. 功率數. N Qp. 攪拌數. p. 壓力. QΦ. 源項. Re. 雷諾數. S. 面積向量. Sf. 控容面之面積向量. U. 速度. Ug. 網格移動速度. ix.
(12) wP. 權重因子. α φ ,α P. 鬆弛因子. ρ. 密度. µ. 分子黏滯係數. ∆V. 控容體之體積. τ. 壁面之剪應力. Ω. 旋轉座標角速度. 下標 b. 邊界. C. 控制體積周圍網格之中心格點. f. 控容面面之中點. i. 表 x, y , z 三方向. P. 主格點. w. 壁面. Φ. 變數. 上標 c. 對流項. d. 擴散項. p. 壓力. UD. 上風差分法. n. 疊代次數. //,⊥. 平行，垂直邊界. x.
(13) 第一章. 緒論. 1.1 前言 近年來在工業製造過程中，不同材料的混合是最常見的加工過程，攪拌機性 能的優劣直接影響到混合後的均勻程度，而攪拌混合的結果會直接影響產品的好 壞，例如在建築工地常見的混泥土，它是由細砂與小石頭、水泥混合而成的，在 攪拌過程中如果攪拌的不均勻，會直接影響建築物的強度，進而影響大眾的安 全。再舉個例子來說，例如化妝品的製造，也需要用到攪拌機做混合，以生產所 需求的乳劑或乳膏，因為有些藥材的密度不同，並不容易混合，所以必須靠攪拌 機使其材料攪拌均勻，如果不均勻，就會影響產品的功效。在化工方面，例如液 體的催化加氫反應，烯烴在鉑、鈀等金屬催化劑下，可以與氫生成烷烴，所以攪 拌機在加氫反應槽中，將氫氣通入並分散在液體中，假如氫氣無法分散均勻，化 學反應就會不完全，因此攪拌機在混合加工過程中，扮演極為重要的角色。 攪拌槽的外型依照不同的環境，會有不同的形狀，而攪拌器的葉片形狀與材 質，也會因不同的需求而有所不同。為了要提高攪拌器的效能，除了要提高馬達 的性能外，最重要的就是攪拌器的設計，至於設計方面有四個要點: (1)提高攪拌後的均勻度。 (2)減少攪拌的時間。 (3)降低攪拌時需要消耗的功率。 (4)提高在葉片與攪拌物質之間的能量轉換，以減少能量不必要的浪費。 因此攪拌器的葉片會被設計成不同的形狀，去應用於所需要的攪拌環境中，以下 舉幾個不同的攪拌器來說明。 (1)框 式 攪 拌 器 (圖 1.1):此 類 攪 拌 器 為 慢 速 型 攪 拌 器 ， 常 用 於 中 高 粘 度 液 體 混 合，其 主 要 用 途 除 了 混 合 外，另 外 就 是 要 刮 取 粘 在 攪 拌 槽 璧 面 上 高 黏 性 物 質 ， 大 多 應 用 在 乳化硅油、氯化順丁橡膠、甘酪素、皮革加脂劑 和 PU 水性粘合劑的混合。 1.
(14) 以下舉出兩種外型的框式攪拌器: (a)錨 框 式 攪 拌 器 (圖 1.1 (a))在 低 速 旋 轉 時 沿 壁 面 能 得 到 大 的 剪 切 力 ， 可 防 止 沉 降 及 壁 面 附 著，底 部 形 狀 貼 合 橢 圓 形 罐 與 中 間 的 底 軸 承 。 (b)板 框 式 (圖 1.1 (b))是 另 一 種 簡 易 的 慢 速 攪 拌 器 ， 板 框 上 開 的 孔 ， 其形狀數量，分佈型式，都可以因需要而變化。 (2)消 泡 攪 拌 器 (圖 1.2): 此 類 攪 拌 器 為 特 殊 用 途 的 攪 拌 器，主 要 是 為 消 除 液 面 上 覆 蓋 的 大 量 泡 沫 而 用，應 用 方 面 例 如 釀 酒 場 的 發 酵 槽。以 下 舉 出兩種外型的消泡攪拌器: (a)消 泡 葉 輪 (圖 1.2(a))為 高 速 型 ， 其 高 速 旋 轉 下 產 生 的 離 心 作 用 ， 使 從 中 心 吸 進 的 泡 沫，沿 壁 面 匯 成 液 珠 拋 出，消 泡 效 果 好，消 耗 功 率 大，葉輪製作要求高。 (b)消 泡 槳 (圖 1.2(b))為 中 低 速 型 ， 旋 轉 蛇 形 柵 條 槳 ， 反 復 碰 撞 、 攪 破 液 面 上 的 氣 泡，不 斷 破 壞 生 成 的 氣 泡，控 制 了 泡 沫 的 增 加，在 發 酵 罐 中 應 用 廣 泛、效 果 良 好，附 裝 在 攪 拌 軸 上 部，製 造、安 裝 簡 易 。 (3)圓 盤 渦 輪 式 攪 拌 器 (圖 1.3):本 類 攪 拌 器 的 轉 軸 與 葉 片 之 間 裝 有 一 圓 盤 ， 分 散 效 果 較 好 ， 一般適用於固、液兩相催化懸浮反應，它可將槽底的 固體催化劑完全打碎並充分攪起，用途很廣，在油漆、油墨、塗料、塑料、染 料、化妝品等行業都可以見到。以 下 為 三 種 不 同 的 型 態 : (a)平直葉圓盤渦輪式(圖 1.3(a)):具 有 高 剪 切 能 力 和 較 大 的 循 環 能 力 。 (b)斜 葉 圓 盤 渦 輪 式 (圖 1.3(b)):具 有 傾 角 ， 有 軸 向 分 流 。 (c)彎 葉 圓 盤 渦 輪 式 (圖 1.3(c)):徑 向 排 出 性 能 好 ， 動 力 消 耗 低 。 (4)斜 葉 渦 輪 式 攪 拌 器 (圖 1.4):本 類 攪 拌 器 除 有 徑 向 流 外 還 有 軸 向 分 流 ， 它具有較優的綜合性能，適 用 於 各 行 業 、 中 粘 度 物 料 的 混 合 、 溶 解 、 固 體 懸 浮 、 傳 熱 、 反 應 、 萃 取 、 結 晶 等 攪 拌 作 業 都較適合， 通常分批混合低粘度、易混合的液體，如原料漿和增塑糊料，這類攪拌器的特 點是周轉快，同時因為它們的低剪切混合作用而被用於剪切敏感的物料。其 2.
(15) 它過程也都能應用，因此本論文以此類攪拌器作為探討的重點。 綜合上述的攪拌器所產生的流場型態，大致可分為兩種: (1)徑流式：流體以順著葉輪直徑的方向流出(圖 1.5)，例如平直葉圓 盤 渦 輪 式 攪拌器。 (2)軸流式：流體以順著旋轉軸的方向流出(圖 1.6)，例如斜 葉 渦 輪 式 攪 拌 器。 在攪拌過程中常會發生漩渦打轉（Swirling）現象，這是在攪拌裝置的葉輪在高 速旋轉時，桶內的液體會以旋轉軸為圓心，作規則的等速圓周運動，以致於降低 混合效果。 現今改善漩渦打轉的方法有： (1)側伸：旋轉軸從桶側伸入，可消除漩渦，但因軸封在液位下方，會造成腐蝕而 滲漏。 (2)偏心：旋轉軸偏離桶子的中心。 (3)加擋板：在桶內壁等距加裝四～六片擋板。 (4)加導管：在葉輪附近加直立導管，引導流體上下流動，而不會形成漩渦，對懸 浮性固體特別有效。. 1.2 文獻回顧 文獻回顧分為兩大類，一類是以純實驗量測為主，另外一類是除了量測以外， 還有做數值分析。. 1.2.1 以實驗量測為主要內容 YIANNESKIS and POPIOLEK(1987)[2] 利用 LDA(Laser-Doppler Anemometer)法 量測平直葉圓盤渦輪式攪拌器中的流場速度，以及對三種葉片直徑和三種不同間 隙做量測，論文中定義功率數(Power Number)，結果發現在雷諾數到達紊流時（Re ≧40000），功率數會隨著葉片直徑增加，其大小與間隙無關。 WU and PATTERSON(1989)[3] 利用 LDV(Laser-Doppler Velocimeter)法量測有壁 3.
(16) 面擋板的平直葉圓盤渦輪式攪拌器中的紊流因子：紊流強度、自相關函數、紊流 尺寸、能量頻譜和紊流能量耗散率。結果發現經由葉片傳輸的能量有 60%消耗在 葉片掃過的區域，剩下 40%消耗在容器其它區域。 JAWORSKI and NIENOW (1991)[4]等，利用 LDA 法量測一個等間距，斜角 45 度，直徑為 1/3 容器直徑長的葉片攪拌器中的平均和擾動紊流速度，採用兩種底 部間隙：1/4 和 1/2 容器直徑，紊流場是局部等向和近乎均值。結果發現流場形 狀和底部間隙有很大的關係，在距離 1/4 底部間隙的高度有一強度較弱的反向渦 流。 LEE and YIANNESKIS(1998)[5] 使用 LDA 法量測一個具有平直葉圓盤渦輪式 攪拌器的攪拌槽，並決定紊流時間和長度的尺寸，結果發現愈靠近葉片，紊流能 量和耗散率就愈高，隨著遠離葉片，能量與耗散率也隨之降低，愈靠近葉片流場 愈沒有等向性。 SCHAFER and YIANNESKIS (1998)[6]等，在等間距斜角 45 度攪拌器中以實驗 量測平均速度和紊流結構，結果發現在每個葉片周圍都有一個單一尾端渦流。 MONTANTE and LEE (1999)[7]等，利用 LDA 法量測一個具有平直葉圓盤渦輪 式攪拌器的攪拌槽，結果發現葉片底部間隙大約為容器直徑的 0.2 倍時，雙循環 的流場結構漸漸過渡到單一循環的流場外型，而且葉片底部間隙大於容器直徑的 0.2 倍以上，以及小於 0.15 倍以下，葉片轉速對於流場外型與無因次化後的平均 速度以及紊流場的影響不大。 AUBIN and MAVROS 等(2001)[8] 使用 LDV 法研究二種軸向攪拌器，單相的 紊流場，分成向上循環和向下循環和反向循環三種，結果發現向下循環易形成單 一循環，容器上方混合程度較差，向上循環則易形成兩個循環，在容器上方形成 第二個循環。. 4.
(17) 1.2.2 以數值模擬為主要內容 RANADE and BOURNE(1991)[9]用標準 k − ε 模式模擬紊流流場，所模擬的攪拌 槽高度和直徑為直徑 0.3m，攪拌器有 6 片葉片，葉片直徑 0.1m，寬度為 0.03m， 葉片與傾角為 450 ，槽內有 4 片擋板，其擋板寬度 0.03m，葉片間隙為 0.1m，其 中槽內流場假設為擬似穩態，壁面假設為無滑移壁面，並使用了壁函數，結果所 模擬的速度曲線相當接近實驗數據。 DONG 等 (1994) [10]，使用標準 k − ε 模式和壁函數來模擬一個無擋板，八片平 板垂直葉片的攪拌器，結果顯示在葉片區域以外都能很準確的模擬，但是在葉片 區域以內計算得結果並不準確。 RANADE and DOMMETI(1996)[11]用高速照相法(Snapshot approach)去模擬外型 高度和直徑為 0.3m，攪拌器有 6 片葉片，葉片直徑 0.1m，寬度為 0.03m，葉片與 傾角為 450 ，槽內有 4 片擋板，其擋板寬度 0.03m，葉片間隙為 0.1m 的攪拌槽， 其中計算範圍為半個流場的區域，並定義兩個無因次的攪拌數和功率數。 ARMENANTE(1997)[12]等使用 LDV 法量測和使用 FLUENT 軟體模擬三維速度 場和紊流動能分佈，分別使用 k-ε模式和 ASM(algebraic stress model)模式模擬紊 流場，所模擬的攪拌器的容器直徑和高度皆為 0.293m，是一個六葉，斜角 45 度， 等間距葉片，葉片直徑 0.098m，寬度 0.0196m，底部間隙 0.073m，無擋板，平底， 有蓋，並且分別使用了 450rpm 與 700rpm 轉速去做分析。其中利用量測到葉片掃 過區域上緣和下緣平面的數據當作數值模擬的邊界條件，結果發現使用 ASM 模 式在容器的頂部與底部都比 k − ε 模式來的好。 DURST (1999)[13]，使用擬似穩態和非穩態模擬一個容器直徑和高度皆為 0.152m，攪拌器為 4 片葉片，葉片直徑 0.5m，寬度 0.1m，中心距底部間隙 0.5m， 角度 450 ，有 4 片擋板，擋板寬度 0.015m，擋板與容器壁面的間隙為 0.0026m， 雷諾數 Re=7280 的攪拌槽。在葉片區域內使用旋轉座標，在葉片區外使用靜止座 標，非穩態模擬會使用到動態網格，在葉片區和非葉片區的交界面需使用輔助網. 5.
(18) 格來達到動態模擬，結果顯示穩態和非穩態模擬結果相距不遠。 胡育昌(2003)[14]參考 RANADE 和 DOMMETI(1996)[10]內所模擬的幾何外型， 並改變葉片與傾角的角度，分別使用了 30°、45°、60°、75°等不同的角度去做分析， 而使用 k − ε 模式去對流場做模擬，並且對葉片後方渦流情況做討論。其結果說 明葉片的角度越大，主流場向外射出的角度越大，二次循環的範圍也加大，因為 葉片的角度變大，使得更多的流體在葉片的旋轉範圍內，而旋轉產的離心力造成 更多的流體往葉片外流動，因而使得向外射出的角度增大。當葉片角度愈大，在 葉片下方所產生的軸向射出的速度也愈強，但當葉片大於某個角度時（大約在 60o < α < 750 或 45o < α < 600 ）速度又減小，也就是說在某兩個角度之間，軸向射出. 的速度會有一個最大值，且葉片角度愈大，葉片所帶動的圓周方向流動也愈強。. 1.3 研究目的 本文引用 SIMPLE 壓力修正法，用有限容積法來離散統御方程式，並採用 非交錯式之非結構性網格，紊流流場以標準線性 k − ε 模式配合壁函數去模擬葉 輪攪拌槽流場，目的是經由計算模擬所得的結果了解葉輪攪拌槽內部的流場情 況、混合效能等，並且改變設計參數，比較不同參數的改變，對攪拌器的攪拌能 力及混合程度的表現有何影響。. 6.
(19) 第二章. 數學模式. 2.1 基本假設: 本論文對流場做了幾項假設: (1) 流場擬似穩態。 (2) 流場為三維不可壓縮流。 (3) 流場內維持等溫狀態。 (4) 忽略重力。. 2.2 多重參考座標系之統御方程式 將所計算區域分成葉片旋轉區域內與葉片旋轉區域以外兩個部分(如圖 2.1)，而 葉片旋轉區域外使用的是靜止座標系，葉片旋轉區域內則使用旋轉座標系。. 2.2.1 靜止座標系之統御方程式: 在葉片旋轉區域外則使用靜止座標系，而靜止座標系是採用尤拉(Eulerian)座 標系之統御方程式。 連續方程式. 動量方程式. ∂ ( ρU j ) ∂x j. =0. ∂ ( ρU iU j ) ∂x j. (2.1). =−. ∂p ∂ + ∂xi ∂x j. ⎡ ⎛ ∂U ∂U j ⎢ µ ⎜⎜ i + ∂xi ⎢⎣ ⎝ ∂x j. ⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦. (2.2). 2.2.2 紊流模式－k-ε模式 因流場為紊流流場，所以透過雷諾平均 (Reynolds averaging) 過程所形成的時均 化方程式，將瞬時速度分成平均項 Ui 與變動項 U ′ :. ~ U i = U i + U i′. (2.3). 將(2.3)代入(2.1)(2.2)中並進行時均化過程後可得到. 7.
(20) ∂ ( ρU j ). 連續方程式. ∂x j ∂ ( ρU iU j ). 動量方程式. ∂x j. =0. =−. (2.4). ∂p ∂ + ∂xi ∂x j. ⎡ ⎛ ∂U ∂U j ⎢µ ⎜ i + ⎜ ∂xi ⎢⎣ ⎝ ∂x j. ~. ⎛ ⎞⎤ ⎞ ′ ′ ⎜ ⎟ − ⎟⎟ ρ U iU j ⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎦. (2.5). ~. ⎛ ⎞ 在上式中 − ρ ⎜ U i′U ′j ⎟ 為雷諾應力。 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 根據 Boussinesq(1877)的假設，雷諾應力與平均應變率呈線性關係：. ~. ⎛ ⎞ 2 τ ij = − ρ ⎜ U i′U ′j ⎟ = 2 µt Dij − ρ kδ ij ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠. (2.6). 其中: 平均應變率. ~ ~ 1 ⎛⎜ ∂U i ∂U j Dij = + ∂xi 2 ⎜⎝ ∂x j. 紊流黏滯性. µt =. 紊流動能. U ′U ′ k= i i 2. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (2.7). Cµ ρk 2. ~. (2.8). ε. (2.9). ~. 2. 紊流耗散率. ⎛ ∂U ′ ⎞ ε =ν ⎜ i ⎟ ⎜ ∂x ⎟ ⎝ j ⎠. 常數. C µ = 0.09. (2.10). 2 ρkδ ij :加入此項是為了當 i = j 時，使等式兩邊成立。 3. 將(2.6)代入(2.5)中，可將動量方程式重新整理為 ∂ ( ρU iU j ) ∂x j. 其中：. =−. ⎛ ∂U ∂U j ∂p ∂ ⎡ + ⎢ µeff ⎜⎜ i + ∂xi ∂x j ⎣⎢ ∂xi ⎝ ∂x j. µ eff = µ + µt 8. ⎤ ⎞ 2 ⎟⎟ − ρ kδ ij ⎥ ⎠ 3 ⎦⎥. (2.11).
(21) k 與 ε 的方程式由 Navier-Stokes 方程式推導可得到： k 方程式. ∂ ( ρU j k ). ε 方程式. ∂x j. =. ∂ ∂x j. ∂ ( ρU j ε ) ∂x j. 其中紊流生成項. ⎛ µeff ∂k ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + P − ρε ⎝ σ k ∂x j ⎠. =. ∂ ∂x j. (2.12). ⎛ µ eff ∂ε ⎞ ε ε2 + − C P C ρ ⎜⎜ ⎟⎟ ε1 ε2 k k ⎝ σ ε ∂x j ⎠. ~. P = − ρ (U i′U ′j ). ⎡ ∂U ∂U j ⎤ ∂U i ∂U i = µt ⎢ i + ⎥ ∂x j ∂xi ⎦⎥ ∂x j ⎣⎢ ∂x j. (2.13). (2.14). 根據 Launder and Spalding[15] Cε1=1.44；Cε2=1.92； σ κ =1.00； σ ε =1.30. 2.2.3 旋轉座標系之統御方程式: JK K K 在旋轉座標系中加入一個網格移動速度 U g = Ω × r ，因此連續方程式(2.4)式可 以改寫為: 連續方程式. ∂ [ ρ (U j − U gj )] ∂x j. (2.22). =0. 而且動量方程式須加上由於旋轉所產生的物體力(body force)，也就是科氏 力與離心力，所以動量方程式(2.11)式必須改為:. 動量方程式. ∂[ ρ (U i − U gi )(U j − U gj )] ∂x j. =−. ∂p ∂ + ∂xi ∂x j. ⎡ ⎢µeff ⎢⎣. ⎤ ⎛ ∂(U i − U gi ) ∂(U j − U gj ) ⎞ 2 + ⎜⎜ ⎟⎟ − ρ kδ ij ⎥ ∂x j ∂xi ⎥⎦ ⎝ ⎠ 3. − ρε mni Ω m (ε pqn Ω p xq ) + 2 ρε mni Ω m (U n − U gn ). (2.23). 其中 Ω 為旋角速度，離心力和科氏力分別為 - ρε mni Ωm (ε pqnΩ p xq ) 和. 2 ρε mniΩm (U n − U gn ) 。 因為旋轉座標系有一個旋轉速度，因此 k 跟ε方程式(2.12)與(2.13)也要改成:. 9.
(22) k 方程式. ∂ [ ρ (U j − U gj ) k ]. ε 方程式. ∂x j. =. ∂ ∂x j. ∂ [ ρ (U j − U gj ) ε ] ∂x j. =. ⎛ µ eff ∂ k ⎜⎜ ⎝ σ k ∂x j ∂ ∂x j. ⎞ ⎟⎟ + P − ρε ⎠. ⎛ µ eff ∂ ε ⎜⎜ ⎝ σ ε ∂x j. (2.24). ⎞ ε ε2 ⎟⎟ + C ε 1 P − C ε 2 ρ k k ⎠. (2.25). 2.3 邊界條件 本篇計算區域為一封閉容器無進出口邊界，而固體壁面需要考慮葉片所造成 的移動壁面以及容器內壁的固定壁面，並選取適當範圍作為週期性邊界，以減少 計算量。. 2.4.1 週期性邊界 本研究的斜 葉 渦 輪 式 攪 拌 器 具有對稱性，而每一個葉片的幾何、環境 與假設均相同，因此僅取半個攪拌槽範圍進行流場分析(如圖 2.2)，而當流體流經 此範圍邊界時，流出與流入的通量需相同，此範圍之邊界為週期性邊界。. 2.4.2 壁面條件 因為有旋轉葉片和容器外壁，而且流場為非滑移流，所以有移動壁面和固定 壁面，由於使用高雷諾數 k − ε 模式在壁面需使用壁函數，有關壁函數留待數值 方法中再詳細介紹。 (1) 固定壁面 容器上蓋，容器底部，容器壁面，擋板皆不動，速度為零. JK U =0. (2) 移動壁面. JK JK K K 旋轉軸及葉片具有一旋轉速度 U = Ω× r ， r 為葉片所在位置之位 置向量。. 10.
(23) 第三章. 數值方法. 由第二章的連續方程式、Navier-Stokes 方程式、k 跟 ε方程式可寫成以下 的通式:. G G ∇ ⋅ ⎡ ρ U − U g φ ⎤ = ∇ ⋅ (Γ∇φ ) + qΦ ⎣ ⎦. (. ). (3.1). JK 其中 U g 為網格速度. 3.1 離散化 對(3.1)式使用有限體積積分法進行離散化，因為非結構性網格比結構性網格更 能使用在複雜的幾何外型上，因而為本研究所採用，格點安排成非交錯的形式， 也就是將所有要求解的獨立變數及流體的性質均置存於控制體積之中心點，對統 御方程式之離散均使用有限體積法，首先須將計算域離散成有限個控制容體，再 用高斯散度定理將體積分轉為面積分，再採用中點定理來作二階準確之近似將面 積分化為差分形式。以下分別就對流項、擴散項及源項分別詳述：. 3.1.1 對流項(Convection term) 先以高斯散度定理(Gauss divergence theorem)，將體積分轉為面積分：. ∫∇. ∫∫ ( ρ vφ ) ⋅ d S. ⋅ ( ρ vφ ) dV =. (3.2). S. 再以中點定理，將面積分化為差分形式： • JG G G G G ⎡ ρ U − U g φ ⎤ ⋅ d S ≈ ∑ ⎡ ρ U − U g φ ⎤ ⋅ S f = ∑ m f φ f = ∑ Ffc ∫∫ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦f f f f. (. ). (. ). S. 其中下標 f ：表示控制體積之任一面上之中點 11. (3.3).
(24) •. m ：質量流率(mass flow rate). Ffc ：對流通量(flux). 在求解的過程中，對於對流項的處理，是採用一階上風差分(1st order UD)和 二階上風差分(2nd order UD)之混合方式作運算，如此可使疊代過程穩定易於收 斂，並同時保持較高準確度： K UD UD F fC = m f Φ f = m f ( Φ f + γ∇Φ f ⋅ δ r). 其中：. Φf. UD. (3.4). 為一階上風差分求得之面上值. γ 為一介於 0 與 1 之值，通常取一接近 1 之值以確保為接近二階準確 之上風差分，在程式中 γ 是設定在 0.9。 重新整理(3.4)式得： m f Φ f = max( m f , 0)Φ P − max( − m f , 0)Φ C K K +γ ⎡⎣ max( m f , 0)∇Φ P ⋅ δ r − max( − m f , 0)∇Φ C ⋅ δ r ⎤⎦. (3.5). 上式中前兩項相當於一階上風差分項，置於係數矩陣中，而第三項，也就是括號 內之項則置於源項中。. 3.1.2 擴散項(Diffusion term) 經由高斯散度定理及中點定理後，對任意變數φ之擴散通量. FfD (diffusion flux)可以表示為：. F fD = Γ f (∇φ ) f ⋅ S f. 12. (3.6).
(25) 令 S f = d + (S f − d ). (3.7). 使用 over-relaxed approach 法(如圖 3.1)： JJG JJG JG | S f | JJG | S f |2 K d ≡ JJG JG ed = K JJG δ r δr⋅Sf ed ⋅ es. (3.8). 將(3.7)、(3.8)代入(3.6)中可得： JJG 2 JJG JG Γ | Sf | f FfD = K JJG (φC − φP ) + Γ f ∇φ f ( S f − d ) δ r⋅Sf. (3.9). 上式中底線部份以顯項來處理，即使用前一次疊代之值，將它放入源項中。. 3.1.3 源項(Source term) 將源項 qΦ 直接對其進行體積分得：. QΦ =. ∫. ∆V. q Φ dV ≈ ( q Φ ∆ V ) P. (3.10). 以下將各個源項分別加以說明: 在壓力梯度項，由高斯散度定理及中點定理得：. ∇P =. 1 ∆V. 1. 1. ∫∫∫ ∇PdV = ∆V ∫∫ Pd S ≈ ∆V ∑ P S f. ∆V. (3.11). f. f. s. 其在 i 方向的分量： ∂p 1 = ∂xi ∆V. ∂p 1 dV = ∆V ∂x ∆V i. ∫. K 1 (∇p ⋅ ei )dV = ∆V ∆V. ∫. ∫. S. K JK 1 pei ⋅ d S ≈ ∆V. 對於邊界上的壓力 pa ，我們可以下列方式求得，過程如下： 13. ∑p f. f. JK S fi (3.12).
(26) K pa − p p = ∇ p p ⋅ δ r. (3.13). K 其中 δ r 代表主格點 P 到邊界 a 之距離向量(如圖 3.2 所示)，而壓力梯度 ∇p p 經 由以下處理，將邊界上的壓力與其它面上的壓力分開. ∇p p =. 1 ∆V. ∫. ∆V. ∇pdV =. 1 ∆V. JK 1 pS = ∆V. ∫. S. ∑p f. f. JK JK ⎞ 1 ⎛ JK Sf = ⎜ pa S a + ∑ p f S f ⎟ ∆V ⎝ f ≠b ⎠. (3.14). 將(3.14)式代入(3.13)式，經過整理之後可得到邊界上之壓力為： JK K 1 p S ⋅ δ r f ∑ f ∆V f ≠a 1 JK K 1− S a ⋅δ r ∆V. pp + pa =. 速度梯度項. (3.15). ∂U i 可由下式處理： ∂x j. ∂U i 1 = ∂x j ∆V. ∫. ∆V. ∂U i 1 dV = ∂x j ∆V. K. ∫Ue S. i. j. K 1 ⋅ dS = ∆V. ∑U. fi. S fj. (3.16). f. 另外離心力與科氏力也放入源項中. 離心力：. ∫ -ρεmniΩm(εpqnΩpxq)dV = ⎡⎣-ρεmniΩm(εpqnΩpxq)∆V⎤⎦. (3.17). 科氏力：. ∫ 2ρε mniΩm (U. (3.18). ∆V. ∆V. P. n. − U gn )dV. = ⎡⎣2ρε mniΩm (U n − U gn )∆V ⎤⎦ P. 其中 ε mni 是當 mni 為循環排列由小到大(例 123)，其 ε mni 的值為 1，當 mmi 為循 環排列由大到小(例 321)，其 ε mni 的值為-1，其他情況其 ε mni 的值為 0。. 14.
(27) 3.1.4 合併係數 由前面推得之對流項、擴散項及源項合併可得： aPφP =. ∑. aC φC + Q Φ. (3.19). C. Γf | S. aC =. 其中 aP =. f. δ ⋅Sf. |2. •. + m ax(− m f , 0). (3.20). ∑a. C. C. K K Qφ = ∑ −γ ⎡⎣ max( m f , 0)∇Φ P ⋅ δ r − max( − m f , 0)∇Φ C ⋅ δ r ⎤⎦ f K K + ∑ Γ f ∇Φ f S f − d + ( qφ ∆V ) p. (. ). (3.21). f. 為了使疊代過程較穩定，引入一鬆弛因子 α Φ (under-relaxation factor)，對動量 代數方程式之修正如下所示： aP. αΦ. Φ P ( n +1) = ∑ aC Φ C ( n +1) + QΦ + (1 − α Φ ) C. aP. αΦ. Φ P(n). (3.22). 其中上標( n + 1 )代表新值，( n )則代表前一次疊代之值。 令. aP. αΦ. = a′p 代入(3.22)可得到修正之動量代數方程式：. a ′p Φ P ( n +1) = ∑ aC Φ C ( n +1) + QΦ + (1 − α Φ )a ′p Φ P ( n ). (3.23). C. 在程式中速度的 α Φ 是設定 0.5~0.75，κ與ε的 α Φ 是設定 0.1。. 3.2 計算面上質量流率： 為滿足連續方程式，必須計算面上之速度。由(3.22)式中之壓力項自源項中提 出，可得主格點之速度與壓力關係式：. 15.
(28) JK JJK ⎛ ∆V U p = H p −⎜ ⎜ a ⎝ p. ⎞ ⎟⎟ ∇ p p ⎠p. (3.24). 控容面上之速度與壓力關係式為： JK JJK ⎛ ∆V ⎞ U f = H f −⎜ ⎟ ∇p f ⎝ aP ⎠ f JJK JK ⎛ ∆V ⎞ H f =U f +⎜ ⎟ ∇p f ⎝ aP ⎠ f. 其中：. (3.25). (3.26). 將(3.26)代入(3.25)整理可得： JK JK ⎛ ∆V ⎞ U f =U f −⎜ ⎟ (∇ p f − ∇ p f ) ⎝ aP ⎠ f. (3.27). 上標“—＂表示由主格點 P 及相鄰控容面之 C 格點內插而得， wP 為. 其中：. 加權因子(weighting factor)。如下所示： JK JK JK U f = w P U C + (1 − w P )U P. (3.28). ⎛ ∆V ⎞ ⎛ ∆V ⎞ ⎛ ∆V ⎞ ⎜ ⎟ = wP ⎜ ⎟ + (1 − wP ) ⎜ ⎟ ⎝ aP ⎠C ⎝ aP ⎠ P ⎝ aP ⎠ f. (3.29). ∇p. = w p ∇ p c + (1 − w p ) ∇ p p. f. (3.30). 如此質量流率可寫為：. (. ). JK JK JK JK JK JK JK ⎛ ∆V ⎞ m f = ρ f U f − U gf ⋅ S f = ρ f U f − U gf ⋅ S f − ρ f ⎜ ⎟ (∇p f − ∇p f ) ⋅ S f ⎝ aP ⎠ f. (. (. ). ). JK JK K K ⎛ ∆V ⎞ ≈ ρ f U f − U gf ⋅ S f − ρ f ⎜ ⎟ (∇ p f − ∇ p f ) ⋅ d ⎝ aP ⎠ f. = ρf. JJK 2 JK JK K ⎛ ∆V ⎞ S f U f − U gf ⋅ S f − ρ f ⎜ ⎟ K JK ⎝ aP ⎠ f δ r ⋅ S f. (. ). K ⎡ ( pc − p p ) − ∇ p f ⋅ δ r ⎤ ⎦ ⎣. JK K 其中 U gf 為旋轉座標系之網格面上的速度，而 d 之定義如(3.8)所示。 16. (3.31).
(29) 3.3 壓力修正式 根據Patankar所提的SIMPLE法則，將前次疊代的壓力P*，代入動量方程式中 *. (3.22)式，可解出中心格點P之速度場 V ，此時速度場與壓力並不滿足連續方程 **. 式，因此需再做修正，而修正後的速度及壓力為 V 及P**，根據Pantankar之假設， 其速度修正量及壓力修正量表示成下面關係：. JK ' ⎛ ∆V U p = −⎜ ⎜ a ⎝ p. **. 其中 PP ' = PP − PP. ⎞ ⎟⎟ ∇ p ′p ⎠p. (3.32). *. JK ' JK ∗∗ JK ∗ U p = U p −U p. 同理可得面上速度修正式：. JK JK∗∗ JK∗ ⎛ ∆V ⎞ U ′ f = U f −U f = − ⎜ ⎟ ∇p′f a ⎝ P ⎠f. (3.33). 由以上可得修正之質量流率：. JK JK JK ⎛ ∆V ⎞ ′ ∇ ⋅ m ∗∗f = m ∗f + ρ f U ′ f ⋅ S f = m ∗f − ρ f ⎜ p ⎟ f Sf ⎝ aP ⎠ f. JK JK JK ⎛ ∆V ⎞ ⎛ ∆V ⎞ ′ ′ = m ∗f − ρ f ⎜ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ρ ( p d p S f − d) ⎟ ⎟ f f ⎜ f ⎝ aP ⎠ f ⎝ aP ⎠ f JJK 2 Sf K K ⎛ ⎞ ⎛ ∆V ⎞ ∆ V = m ∗f − ρ f ⎜ ⎟ K JK ( pc′ − p′p ) − ρ f ⎜ ⎟ ∇p′f ⋅ S f − d ⎝ aP ⎠ f δ r ⋅ S f ⎝ aP ⎠ f. (. 17. ). (3.34).
(30) 令修正後滿足連續方程式： • **. ∑m f = 0. (3.35). f. 可得壓力修正方程式： AP PP ' = ∑ AC PC ' + S P1 + S P 2. (3.36). C. 其中. JJG 2 ⎛ ∆V ⎞ | S f | A = ρf ⎜ ⎟ G JJG A ⎝ P ⎠f δr ⋅Sf p c. A pp =. ∑A. p c. c. •*. S p1 = ∑ m f. f. ⎛ ∆V ⎞ JJG JG SP2 = ∑ ρ f ⎜ ∇P ' ⎟ ⋅ S f − d f ⎝ AP ⎠f. (. ) **. • *. 由以上可求得壓力修正量 P ' ，可用來修正速度之值及質量流率求得 V 及 m f 。. 3.3.1 求解壓力修正方程式 因(3.36)中SP2項中包含 P ' ，可以用兩步驟連續修正(successive correction)來近 似 第一步只考慮含SP1部份，得第一次壓力修正量 p′(1). App p′p (1) = ∑ Acp pc′(1) + S P1. ). (3.37). C. 18.
(31) 第二步在以(3.37)所求得的壓力修正量 p′(1) 計算Sp2部份以求得第二次壓力修正 量 p′(2). AP p′p (2) = ∑ AC pc′(2) + S P 2(1). (3.38). C. ⎛ ∆V ⎞ JJG JG 其中 S P(1)2 = ∑ ρ f ⎜ ∇p′f (1) ⎟ ⋅ ( S f − d ) f ⎝ AP ⎠f. 為了使疊代過程穩定，我們引入一鬆弛因子 α p ，第一步與第二步壓力修正方程 式之修正分別如下： 第一步修正 ： a pp′ p′p (1)( n +1) = ∑ acp pc′(1)( n +1) + Q p1. (3.39). 第二步修正 ： a pp′ p′p (2)( n +1) = ∑ acp pc′ (2)( n +1) + Q p 2. (3.40). c. c. a pp′ =. 其中：. a pp. αp. 在程式中 α p 是設定在 0.9~0.93 解答壓力修正方程式後，求得壓力修正量 p′p ，可得修正後之壓力 p∗∗ p ： (1) (2) p∗∗p = p∗p + p′p + p′p. (3.41). K 修正後之速度 U ∗∗ 則為：. JK ∗∗ JK ∗ ⎛ ∆ V U p =U p −⎜ ⎜ a ⎝ p. ⎞ (1) (2) ⎟⎟ ( ∇ p ′p + ∇ p ′p ) ⎠p. (3.42). 質量流率修正由(3.34)經過兩步驟修正如下： JJK 2 ⎞ Sf (1) (1) ⎟⎟ K JK ( pc′ − p′p ) ⎠f δ r⋅S f. 第一步修正 ：. ⎛ ∆V m ∗∗f = m ∗f − ρ f ⎜ ⎜ a ⎝ p. 第二步修正 ：. ⎛ ∆V m ∗∗f = m ∗f − ρ f ⎜ ⎜ a ⎝ p. K ⎞ K (2) ⎟⎟ ∇ p ′f ⋅ S f − d ⎠f. (. 19. ). (3.43). (3.44).
(32) 3.4 邊界條件 3.4.1 週期性邊界條件 因葉片旋轉的緣故，週期性邊界之周期性變動為圓柱座標系統。所以週期性 邊界網格之對應值是以圓柱座標表示，然而我們是以卡氏座標系分析此一流場， 所以對於向量必須經由座標轉換的步驟才可得到週期性邊界上所對應網格的 值。但若是純量則不需作特別的處理，只須給定對應網格之純量即可。 以下分別說明週期性邊界上純量與向量之處理方式： 純量： 對於壓力、κ、ε等純量因為其不具方向性，所以無需座標轉換，其處 理時只要將對應網格之物理量下載即可(圖 2.2)。. φ1 = φ1' ， φ2 = φ2' 向量：. (3.45). 向量包含了速度向量及各種性質之梯度(壓力梯度、速度分量梯度及κ 與ε之梯度)，由於此週期性邊界條件之值為圓柱座標系 r 與 θ 之分 量，但我們處理流場時是使用卡氏座標系(x,y,z)，所以在下載週期性邊 界相鄰網格的向量時需先將由卡式座標定義的向量轉換為圓柱座標，並 以圓柱座標的向量給定其值，然後再將給定的值轉換為其所在位置之卡 氏座標。以網格 2 相鄰之網格 1＇為例：. (1)將網格 1 之向量由卡氏座標系轉換為圓柱座標系：. JK K. K. K. K. K. K. JK K. K. K. K. K. K. φr1 = ϕ1 ⋅ er1 = (φx1i +φy1 j +φz1 k) ⋅ (cosθ1 j + sinθ1 k) = φy1 cosθ1 +φz1 sinθ1 φθ1 = ϕ1 ⋅ eθ1 = (φx1i + φy1 j + φz1 k ) ⋅ (cosθ1 k − sinθ1 j) = φz1 cosθ1 −φy1 sinθ1 (2)將對應網格值下載，如(3.45):. φr1′ = φr1 ， φθ 1′ = φθ 1. (3.46) (3.47) (3.48). (3) 最 後 再 將 網 格 1＇ 之 向 量 由 圓 柱 座 標 系 轉 換 為 卡 氏 座 標 系 ：. φ y1′ = φr1 cos θ1′ − φθ 1 sin θ1′. (3.49). φz1′ = φr1 sin θ1′ + φθ 1 cos θ1′. (3.50). 20.
(33) K 其中 e 表單位方向向量，而 ϕ 為一向量， φ 則是此向量之成份 對於網格 1 之相鄰網格 2＇的情形依此類推。. 3.4.2 固體壁面邊界條件 (a) 壁函數(wall-function) 本研究所使用的紊流模式，為高雷諾數之線性 k-ε 模式，但在靠近壁面時 性質的變化相當快速，因此高雷諾數的 k-ε 模型並不適合。為了處理這種情形， 我們採用壁函數來處理相鄰壁面網格的壁面剪應力和 k-ε 方程式。 假設在黏性次層以外的流場遵守 logarithmic law。壁面剪應力可表示為： K. τw =. JK Sw. µeff. δn. JK //. δU. µ eff. 其中:. ⎧µ ⎪ = ⎨ µy + ⎪ + ⎩u 1. for. y + < 11.63. for. y + ≥ 11.63. 1. ρc 4 k 2 δ n y = µ µ +. u+ =. 1. κ. (3.51). (3.52). ln( Ey + ). (3.53). Von-Karmon＇s 常數κ=0.4187，E =9.793。 而 k-ε 方程式在相鄰壁面的網格也需要特別的處理。在近壁面，假設紊流 動能的耗散與生成達成平衡，可得ε關係式：. ε =. 3 4. cµ k. 3 2. (3.54). κδ n. 在相鄰壁面的網格，上面的關係式將取代ε方程式。對於 k 方程式中的生成項 P 與耗散項 ρε 也需要改變。耗散項的ε在計算中使用(3.54)對體積取平均值可得 ε. 為：ε =. cµ ρk. 2. (3.55). µ eff 21.
(34) 生成項則近似為：. δU // P ≈τw δn. (3.56). (b) 壁面剪應力(shear stress) 在相鄰壁面之網格，我們計算其壁面剪應力(如圖 3.3 所示)。以 P 代表相鄰. JK JK 壁面之主格點， w 為壁面， S w 為壁面上之面向量， P 點之速度為 U P ，壁面之速 JK K 度為 U w ，壁面朝向格子內之法線向量 n 為： K K K K S wx i + S wy j + S wz k n=− JK Sw. (3.57). 而相鄰壁面之主格點 P 與壁面 w 速度差為：. JK. JK. JK. δU = U P −U W. (3.58). 因此，垂直壁面的速度分量為：. K K K JK ⊥ JK K K δ uS wx + δ vS wy + δ wS wz S wx i + S wy j + S wz k δ U = (δ U ⋅ n)n = JK JK Sw Sw K 1 2 = K 2 ⎡⎣δ uS wx + δ vS wx S wy + δ wS wx S wz ⎤⎦ i Sw K 1 2 + K 2 ⎡⎣δ uS wx S wy + δ vS wy + δ wS wy S wz ⎤⎦ j Sw K 1 2 ⎤⎦ k + K 2 ⎡⎣δ uS wx S wz + δ vS wy S wz + δ wS wz Sw. 可得平行壁面之速度分量為：. 22. (3.59).
(35) JK //. JK. JK ⊥. δU = δU −δU. K 1 2 2 ) − δ vS wx S wy + δ wS wx S wz ⎤⎦ i = K 2 ⎡⎣δ u ( S wy + S wz Sw K 1 2 2 ) − δ wS wy S wz ⎤⎦ j + K 2 ⎡⎣ −δ uS wx S wy + δ v ( S wx + S wz Sw K 1 2 2 ) ⎤⎦ k + K 2 ⎡⎣ −δ uS wx S wy + δ vS wy S wz − δ w( S wx + S wy Sw JK. K. 所以壁面之剪應力為： τ. w. =. µ e ff S w δn. JK //. δU. (3.60). (3.61). 其中 δ n 為 P 點至壁面 w 之垂直距離。. 3.5 旋轉座標與靜止座標介面轉換 在葉片掃過的範圍內是屬於旋轉座標區，此區域內的速度皆為相對旋轉座標 的速度，而在葉片掃過的範圍外則是屬於靜止座標區，此區域內的速度皆為絕對 速度，因此在旋轉座標與靜止座標之間需做特別的處理。 格點 P 如果位在旋轉座標系內(如圖 3.4(a))，其速度為相對速度，而相鄰格點 Cs 位於靜止座標系，因此相鄰格點 Cs 速度為絕對速度，所以兩格點之間介面中的 源項 QΦ 需要修正為 QΦ′ JK Q Φ′ = Q Φ − a C U gf. 其中. (3.62). JK U gf 為網格交介面上的速度. 而其他相鄰格點，如 Cr1 ， Cr 2 ， Cr 3 都位於旋轉座標內，因此不必作修正。 當格點 P 如果位在靜止座標系內(如圖 3.4(b))，其速度為絕對速度，而相鄰格點. 23.
(36) Cr 位於旋轉座標系，因此相鄰的格點 Cr 速度為相對速度，兩格點之間介面中的 源項 QΦ 需要修正為 QΦ′. JK QΦ′ = QΦ + aC U gf. (3.63). 而其他相鄰格點，如 Cs1 ， Cs 2 ， Cs 3 都位於靜止座標內，因此不必作修正。. 3.6 解題步驟 K 0 1.給予初始速度 U 0 、壓力 p 0 、 k 0 與 ε 0 及紊流黏性 µt K 2.解答動量方程式得到速度 U ∗. 3.計算質量流率 m∗ ，由壓力修正方程式解得 p ′ K 4.修正速度、壓力及質量流率，得到 U ∗∗ 、 p∗∗ 及 m∗∗ 5.解答 k 與ε方程式，得到 k ∗ 與 ε ∗ ，計算新的紊流黏性 µt. ∗. 6.將求得的新值作為初始值，重覆步驟 2~5，直到獲得收斂。. 24.
(37) 第四章. 結果與討論. 本文裡的攪拌槽是由一個具有四片檔板的外槽，以及具有六片葉片的攪拌器 所組成(如圖 4.1 所示)，而外槽直徑為 T=300 mm、高度 H=300 mm、檔板寬度 B=30 mm，而攪拌槽尺寸(圖 4.2)在本文計算中是不變的，至於攪拌器葉片寬度 W=30 mm，也是不變的參數。 變動的參數是: (1)葉片的傾角α。 (2)攪拌器的葉片中心與攪拌槽底部之間的間隙 C。 (3)攪拌器葉片的直徑 D。 (4)攪拌器的轉速Ω。 由於對稱幾何形狀的安排，計算時只考慮半個攪拌槽區域，在對稱面上將用 前一章所描述的週期性邊界(見圖 2.2)，將計算區域分成 40 個小區塊，而在每一 個區塊中利用簡單的代數方法建立起網格(見圖 4.3)，最後以 indirect addressing 的 方式建立所有網格點的編號，參考胡育昌(2003)[14]論文裡面使用了 30432、 60096、116208、207520 等四種不同的網格數目，其結果網格數目多寡並不會對 流場速度曲線有太大的影響，但是為確保精確度，於是選用 116208 個網格去做 模擬。 在紊流流場的模擬則使用線性 k-ε模式，在葉片傾角α=45°與攪拌器葉片間 隙 100mm(C=T/3)時，計算得到的 θ、r、w 等三種不同方向的速度場，去跟 RANADE and DOMMETI(1996)[11]論文裡的實驗數據去做比較(見圖 4.4)，圖中 Vtip 是指葉 片尖端的速度，是因為所有的速度向量圖都除以一個葉片尖端的速度，好把它無 因次化，而 rt 是指攪拌槽的半徑，其結果模擬值接近實驗數據的曲線，但是沒有 完全符合，原因可能是因為在做數值模擬時，我們假設葉片是處在一瞬間的位 置，而流場假設為擬似穩態，實際上紊流流場為三維非穩態流場，這點跟實際情 況不同，因而產生差異。. 25.
(38) 另外 RANADE and DOMMETI(1996)[11]論文裡的實驗量測方法是固定在攪拌 槽內某一個位置進行量測，對於非穩態的紊流流場，在不同的位置與不同的時間 所量測到的結果也會不同。 而且 YIANNESKIS and WHITELAW(1993)[16]論文中提到，將 360 度範圍內所 有量測到的實驗量測平均值，與實際紊流波動值相差最大約有 400%，而且擬似 穩態的模擬是假設葉片旋轉到某一特定位置，所以除非也是針對此一特定位置， 設定一誤差範圍，當葉片旋轉到此誤差範內時才進行量測，所得到的實驗數據才 有可能與模擬結果相當接近。 另外紊流模式是將流場中的變數因子分為平均項與變動項，而在非穩態的情 形下，平均項與變動項皆會改變大小，並且實際的擾動無法分出平均項與變動項 的擾動，因此實驗若將平均項的改變也算在擾動中，就會使擾動變大數倍，因此 與模擬計算出來的結果差異會很大。. 4.1 葉片傾角對流場的影響 固定攪拌器葉片間隙為 100mm(C=T/3)，改變葉片傾角α，從 30 度到 90 度依 序改變角度觀察流場變化，觀察流線圖(圖 4.5)，圖中剖面角度Φ為-30 度的垂直 剖面 (Φ可參考圖 2.1，是定義在第二葉片的中心為 0 度，由此順時針角度為正， 逆時針角度為負)，可以看出在 75 度以前是軸向流場，76 度以後是徑向流場，特 別的是 75 度和 76 度只差一個角度，流場卻由軸向轉為徑向流場。 因此觀察這兩個角度第二葉片上的壓力分佈(圖 4.6)，圖中左片葉片為迎風 面，迎風面葉片右邊與圓柱接合，圖中右片葉片為背風面，背風面葉片左邊與圓 柱接合，圖中顯示 75 度的時候迎風面壓力分佈是由葉片左上方(葉片尾端上方)， 逐漸的向右下方(圓柱接合下方)遞減，76 度則是向正右方遞減，再來觀看背風 面，75 度的背風面正上方有一低壓區，而壓力則是逐漸的往下遞減，76 度的背 風面也是上方有一低壓區，然後壓力也是往下遞減，但是葉片上左與右邊各有一. 26.
(39) 個壓力較高的區域，由此可知這兩個角度的葉片上所受的壓力分佈狀況不同。 觀察靠近第二葉片上的流線圖(圖 4.7)，75 度的迎風面(左片葉片)，左上方(葉 片尾端上方)有一渦流，流場大都往葉片下流動，背風面(右片葉片)右上方(葉片 尾端上方)有一渦流，流場大多往右下方流出，而 76 度迎風面的渦流因為被葉片 下方的流場影響，而使流線往左下方流出，而且渦流有往右移動的現象，76 度 的背風面(右片葉片)與 75 度的背風面一樣右上方都有一個渦流，但是因受下方流 場的影響而使的流線往右邊流動，而差異最大的是 75 度與 76 度的迎風面葉片上 的渦流位置有明顯的不同。 再分別計算各個角度的功率數( power number ) N p 與葉片的攪拌數 ( pumping number ) NQp 。 功率數的定義為 N p = 2 π N τ / ρ N 3 D 5 ，N 為葉片轉速，D 為葉片直徑，τ是 攪拌器旋轉時受到正向壓力與剪應力產生的轉矩，正向壓力是計算葉片迎風面與 背風面上所受的壓力差，而剪應力是由葉片與圓柱表面上的剪應力組成，計算所 得的功率數中，正向壓力大約佔了 99%的功率數，葉片上的剪應力約佔了 0.9% 的功率數，圓柱表面上的剪應力約佔了 0.1%的功率數，所以對功率數來說，正 向壓力是影響功率數最大的因素，於是我們計算所得的功率數 N p ，可以作為攪 拌器中能量消耗的指標。 攪拌數的定義為 N Q p = Q p / ND 3 ，N 為葉片轉速，Qp 是攪拌溶液流入攪拌葉 片的體積流率，其中為了觀察流體在葉片周圍流動的情形，分別在葉片上緣掃過 的區域面(upper part)，葉片下緣掃過的區域面(lower part)，以及葉片尖端掃過的區 域面(tip part)，分別計算這三個區域面的攪拌數(如圖 4.8)，最後再計算流出這三 個區域面的總合體積流率 (overall flow)，質量流率在此設定流出為正流入為負， 而不去計算流入的體積流率是因為流出與流入的體積流率相同，符合質量守恆， 所以只計算流出的質量流率。 27.
(40) 而在圖 4.9 中，ε*是把紊流能量耗散率無因次化，其定義. ε* =. ∫. v. ρ ε d v / ρ N 3 D 5 ，ε為紊流能量耗散率，將整個攪拌槽中的ε作積分. 後再無因次化，可視為流場中能量消耗的指標。 而圖 4.9 中，κ*是把紊流動能無因次化，其定義 κ * = ∫ ρκ dv / ρ N 2 D5 ，κ為紊 v. 流動能，是將整個攪拌槽中的κ作積分後再無因次化，可視為流場中的動能指標。 在圖 4.9 中，功率數與ε*隨著角度的增加而逐漸升高，到 76 度時有突然增 加的現象，往後繼續升高，而κ*是隨著角度增加而逐漸的升高，但是 76 度以後 並沒有像功率數與ε*一樣，而是稍微的降低，下圖為攪拌數，此時質量流率流 出為正流入為負，圖中可以發現 75 度葉片下方本來為流出但是 76 度的流出量卻 突然降的很低，葉片尖端的攪拌數在 75 度以前為流入，而在 76 度以後就轉為流 出，很明顯在 75 度以前為軸向流場，76 度以後為徑向流場，而且 75 度時葉片區 域內流體流出的量比 76 度還要大，可以說 75 度時葉片區域內流體交換速度較快。 綜合以上結果可得知，流場會隨著攪拌葉片的傾角增加而使流場逐漸的變為 徑向流場，其中特別的是 75 度和 76 度只差一個角度，流場就從軸向流場轉為徑 向流場，所以在葉片間隙為 C=T/3，葉片直徑為 D=T/3 時的臨界角度為 75 度。. 4.2 葉片與攪拌槽底之間間隙對流場的影響 在前面的葉片間隙為 C=T/3，於是把間隙縮小到 C=T/4 去分析流場的改變， 隨後也把間隙加大 C=T/2，再去比較流場的改變。 把葉片固定在葉片間隙為 75mm(C=T/4)，葉片傾角α從 30~90 度逐一的改變， 觀察圖 4.10，圖中每一個都是Φ為-30 度的垂直剖面，比較每一個角度的流線圖 可以發現，在 86 與 87 這兩個角度僅僅只差一度，而流場卻一下子從軸向流場轉 為徑向流場，86 度以前為軸向流場，87 度以後就為徑向流場。 再來觀察第二葉片上所受的壓力變化(由圖 4.11 所示)，86 度的迎風面(左片葉 片)壓力分佈是由葉片左上方(葉片尾端上方)，逐漸的向右下方(圓柱接合下方)遞 28.
(41) 減，因此高壓區在葉片左上方，低壓區在葉片右上方，而 87 度迎風面則是由正 左邊逐漸向右遞減，再來觀看背風面(右片葉片)，86 度的背風面正上方有一低壓 區，而壓力則是逐漸的往下遞減，87 度的背風面也是上方有一低壓區，然後壓 力也是往下遞減，但是與 86 度不同的是，在 87 度的葉片上左與右邊各有一個壓 力較高的區域，所以流場的變化也使葉片上的壓力分佈改變。 觀察靠近第二葉片上的流線圖(圖 4.12)，86 度的迎風面(左片葉片)，左上方(葉 片尾端上方)有一渦流，流場往葉片下流動，背風面(右片葉片)的右上方(葉片尾 端上方)有一渦流，流場大多是往右下方流出，而 87 度迎風面因為被葉片下方的 流場影響，而使流場有往左邊流動的現象，而且渦流出現在葉片的右上方，87 度的背風面(右片葉片)與 86 度的背風面一樣右上方都有一個渦流，但是因受下方 流場的影響而使的流線往右邊流動，甚至右下方還出現一個渦流，與右上方形成 對稱，因此在 87 度幾乎完全為徑向流場。 接下來分別計算各個角度的功率數與葉片的攪拌數(如圖 4.13 所示)，功率數 與ε*都是隨著角度的增加而逐漸升高，但是到 87 度時卻有突然增加的現象，然 後 88、90 稍微的降低，而κ*是隨著角度增加而逐漸的升高，但是 87 度以後就 稍微的降低，這點與功率數和ε*不同的地方，而下圖是為攪拌數，圖中可以發 現 86 度與 87 度的攪拌數有很大的變化，86 度葉片下方本來為流出但是 87 度卻 為流入，葉片尖端的攪拌數在 86 度以前為流入，但是在 87 度以後就轉為流出， 因此很明顯在 86 度以前為軸向流場，87 度以後為徑向流場，而另一個發現是 86 度時葉片區域內流體流出的量很大，比 87 度還要大，這點對於溶液混合會有較 佳的效果，也就是說葉片區域內流體交換的越快，對於混合的效果越好。 因此由上述可知在葉片間隙為 C=T/4，葉片直徑為 D=T/3 時的臨界角度為 86 度。. 再將葉片間隙調高為 150mm(C=T/2)，由流場流線圖(圖 4.14)可以發現在 49 與 50 這兩個角度的流場變化最大，但是變化並沒有像 C=T/3 和 C=T/4 那麼明顯， 29.
(42) 由 30 度起葉片下的噴流逐漸隨著角度增加緩緩的抬高，到了 49 度變化還沒那麼 快速，50 度以後就轉為接近於徑向流場，隨角度增加後徑向流動越來越強，到 了 90 度以後流場就為完全為徑向流場。 於是觀察差異較大的兩個角度(49 與 50 度)，由圖 4.15 中可看到這兩個角度葉 片上的壓力分佈變化差異並不很明顯，不過還是可以發現的是在 49 度時的迎風 面(左片葉片)壓力分佈是由葉片左上方(葉片尾端上方)，逐漸的向右下方(圓柱接 合下方)遞減，50 度則是右上方遞減，再來觀看背風面(圖中右片葉片)，49 度與 50 度背風面壓力分佈極為相似，都是正上方有一低壓區然後逐漸的往左下(與圓 柱接合下方)遞減。 觀察靠近葉片上的流線圖(圖 4.16)，49 度的迎風面(左片葉片)，左上方有一渦 流，流場大都往葉片下流動，背風面(右片葉片)的右上方有一渦流，流場大多是 往右下方流出，而 50 度迎風面因為被葉片下方的流場影響，而使流場有往左下 流動的現象，渦流出現在葉片的左上方與 49 度的位置相差不多，50 度的背風面 (右片葉片)與 49 度的背風面一樣右上方都有一個渦流，而稍微受下方流場的影響 使的流線分佈與 49 度有些許不同，但是差異並不大。 計算各個角度的功率數與葉片的攪拌數(如圖 4.17 所示)，功率數與ε*和κ* 都是隨著角度的增加而逐漸升高，功率數到 50 度時有稍微突增的現象，往後繼 續升高，其他功率數並沒有很明顯的變化，除了在 50 度時κ*有稍微突降的現象 外，其他角度都是隨角度的增加，而很緩慢的增加κ*，下圖攪拌數可以發現 49 度以前葉片下方流出量隨著角度的增加而增加，但是 50 度有明顯突降的情形， 隨著角度增加到 60 度，葉片下方流出量是很緩慢的減低，60 度以後就迅速的降 低流出量，直到葉片傾角 90 度時轉為流入，而葉片尖端的攪拌數也是相同的情 況，49 度以前葉片尖端流入量隨著角度的增加而增加，但是 50 度有明顯突降的 情形，隨著角度增加到 60 度，葉片尖端流入量是很緩慢的減低，60 度以後就迅 速的降低流入量，直到葉片傾角 90 度時轉為流出，而且 49 度以後葉片區域內流 體流出的量變化不大。 30.
(43) 因此由上述可知在葉片間隙為 C=T/2，葉片直徑為 D=T/3 時的臨界角度為 49 度。 比較這三種間隙的臨界角度，參考圖 4.18 中的速度向量圖，可以看出在 C=T/4 時流場變化最大，軸向流場與徑向流場分的最明顯，而間隙 T/2 時流場變化並不 很明顯，不過可以看出流場在 49 度是近似軸向流場，在 50 度為近似徑向流場， 所以間隙(葉片與攪拌槽底之間距離)越小，改變角度而使流場由軸向轉為徑向流 動的變化會最明顯。. 因為改變三種間隙後，臨界角度大約界在α=49~86 度之間，所以把葉片傾角 α定在 75 度，觀察不同間隙時流場內變化的情形。 比較流場結構(圖 4.19 所示) ，三種間隙都是Φ為-30 度的垂直剖面。可以發 現在間隙越大，流場的徑向流動較強，在間隙 T/2 的流場徑向流動是三種間隙中 最強的，而間隙越小時，軸向流動則是漸漸增強，在間隙 T/4 時的軸向流動較其 他兩種間隙強。 再觀察不同間隙時葉片背風面後的渦流，圖 4.20 中的α是葉片的傾角，Φ 是第二片葉片後方（即葉片背風面）的垂直剖面角度(可參考圖 2.1 裡的Φ)，只 顯示葉片周圍的區域來觀察葉片後方渦流的情形，在圖 4.20 裡首先觀察間隙 T/4 傾角 75 度的 4 個Φ角度 00 ， 80 ， 160 ， 240 葉片背風面的局部流場，其中在葉片 區域內橫線的上方部分代表在葉片後方(即葉片背風面)的上半部，橫線的下方部 分代表在葉片的前方(即葉片迎風面)的下半部，因為葉片的往前移動，所以在葉 片的後方形成一個低壓區，在葉片外圍的流體便會繞過葉片流進此低壓區，在Φ = 0°時可以看到圖中葉片區右上角的部分，流體由葉片外緣流入此區，形成一渦 流，而在右下角的部分，流體則向葉片外緣流動準備繞過此葉片。當Φ= 8°由圖 中可以看出在葉片的後方有一個類似渦流的發展，Φ增至 160 時渦流隨著遠離葉 片逐漸往下移動，不過到了Φ= 24°渦流就漸漸消散了。 再比較圖 4.20，在不同間隙時，葉片背風面流場變化的情形，間隙 T/3 與間隙 31.
Outline
相關文件
The difference resulted from the co- existence of two kinds of words in Buddhist scriptures a foreign words in which di- syllabic words are dominant, and most of them are the
(Another example of close harmony is the four-bar unaccompanied vocal introduction to “Paperback Writer”, a somewhat later Beatles song.) Overall, Lennon’s and McCartney’s
Microphone and 600 ohm line conduits shall be mechanically and electrically connected to receptacle boxes and electrically grounded to the audio system ground point.. Lines in
Wang, Solving pseudomonotone variational inequalities and pseudocon- vex optimization problems using the projection neural network, IEEE Transactions on Neural Networks 17
volume suppressed mass: (TeV) 2 /M P ∼ 10 −4 eV → mm range can be experimentally tested for any number of extra dimensions - Light U(1) gauge bosons: no derivative couplings. =>
Define instead the imaginary.. potential, magnetic field, lattice…) Dirac-BdG Hamiltonian:. with small, and matrix
incapable to extract any quantities from QCD, nor to tackle the most interesting physics, namely, the spontaneously chiral symmetry breaking and the color confinement..
• Formation of massive primordial stars as origin of objects in the early universe. • Supernova explosions might be visible to the most
