垂直橫向等向性材料在半無限空間受三維表面點荷重作用之位移閉合解探討

國立交通大學

土木工程學系碩士班

碩士論文

垂直橫向等向性材料在半無限空間受三維表面點荷重

作用之位移閉合解探討

Study of the closed form Solutions for Displacements in

an Half Space with Vertical Transversely Isotropy

Subject to Surface 3D Point Loads

研 究 生：戴文蕙

指導教授：廖志中 博士

垂直橫向等向性材料在半無限空間受三維表面點荷重作用之位移閉

合解探討

Study of the closed form Solutions for Displacements in an Half Space

with Vertical Transversely Isotropy Subject to Surface 3D Point Loads

研 究 生：戴文蕙 Student：Wen-Huei Dai

指導教授：廖志中 博士 Advisor：Jyh Jong Liao

國 立 交 通 大 學

土木工程學系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

For the Degree of Master

in

Civil Engineering

August 2010

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

I 垂直橫向等向性材料在半無限空間受三維表面點荷重作用之位移閉合解探討 學生：戴文蕙 指導教授：廖志中 博士 國立交通大學土木工程學系碩士班

中文摘要

基礎材料受工程結構物作用，常因超額載重及位移變化量而產生破壞，故考 慮現地承受大量載重作用下基礎所引產生之「位移和應力」是有必要的。一般岩 石或土壤若以明顯之地質構造或彈性對稱方向來看，可分為一般異向性、正交性 或橫向等向性材料，這就是「異向性」，其中又以橫向等向性材料最為常見，例 如：單組規則節理岩體、層狀岩體或具有葉理的岩石等都可視為橫向等向性材料。 由於地質構造作用，岩體內不連續面位態並非全為「水平」，故本文依 2009 年胡 廷秉提出對於半無限空間傾斜橫向等向性材料受載之傳統求解偏微分方程方法， 探討半無限空間垂直橫向等向性材料受三維表面點荷重作用的位移閉合解。 本論文主要是先推導在微小變形條件下，根據彈性力學理論，求解由偏微分 方程所組成之控制方程，首先將控制方程透過雙傅立葉轉換轉變為常微分方程， 並配合邊界條件求出傅立葉定義下之半無限空間垂直橫向等向性材料位移解，然 後經由雙傅立葉逆轉換且利用殘數定理積分而得到半無限空間垂直橫向等向性 材料受三維點荷重作用的位移閉合解。最後，藉由範例說明，特別針對殘數定理 積分部份探討半無限空間垂直橫向等向性材料受三維表面點荷重作用之位移閉 合解與受到材料的異向性影響性，並且與 2006 年 Ding 等人和 2009 年胡廷秉提 出之半無限水平橫向等向性空間比較相同，因此，本文採用之方法若能完整解出 各殘數積分值，則垂直橫向等向性材料於半無限空間受表面三維點荷重作用之位 移閉合解析解應可合理性的被解出。 關鍵字:半無限空間、垂直橫向等向性材料、雙傅立葉積分轉換、位移閉合解、、 異向性、殘數定理積分。

Study of the closed form

Solutions for Displacements in an Half

Space with Vertical Transversely Isotropy Subject to Surface

3D Point Loads

Student：Wen-Huei Dai

Advisor：Dr. Jyh- Jong Liao

Abstract

The failure of a foundation in soil/rock is often caused by over loading or large displacements. This fact is particularly important to analyze stresses and displacements when structures impose very large loads on the underlying soil/rock. However, it is also important for understanding the influence of the "anisotropy" of soil/rock on stresses, strains and displacements. Based on the orientation of geological structures or direction of planes of elastic symmetry, Elastic materials can be divided into general anisotropic, orthogonal or transversely isotropic materials. The nature of anisotropy of soils/rocks is caused by depositing via sedimentation over a long period of time, cutting by regular discontinuities, such as cleavages, foliations, stratifications and joints. Anisotropic soils/rocks are commonly modeled as transversely isotropic materials based on the practical engineering considerations. Nevertheless, the inclination of planes of elastic symmetry is not always horizontal, and hence, this thesis extending the approach proposed by Hu (2009) to study the closed form solutions for displacements in an half space with vertical transversely isotropy subjected to a surface 3D point load.

To obtain the closed form solutions, the double Fourier transform was used to reduce the partial differential equations to ordinary differential equations, firstly. Then, the solutions of displacement and stress in Fourier domain can be determinednd from the boundary conditions. Finally, the closed form solutions for stresses and

III

displacements in a vertical transversely isotropic half space material subjected to a 3D point load can be obtained using the double inverse Fourier transform and residue theorem. The present closed-form solutions demonstrate that the material anisotropy could affect the displacements and stresses in a vertical transversely isotropy. The illustrative examples show that the calculated displacements in a horizontal transversely isotropic half space are the same/similar as those presented by Hu (2009) and Ding et, al., (2006). Hence, the closed form solutions for stresses and displacements in a vertical transversely isotropic half space can be reasonably solved if the all of residue of integrals in the inverse Fourier domain can be determined exactly.

Keywords: Half-space, Vertical transversely isotropic Material, Double Fourier integral transform, displacement closed form solution, anisotropy, residue integral.

誌謝

這兩年多的碩士生涯，說長不算長，說短也不算短，還記得兩年前剛入學時， 在學長、姊的帶領下認識了大地組這個大家庭，永遠忘不了學長、姊 meeting 報 告與老師講解的場景，想到總有一天站在台上報告的人是我時，心情不免緊張起 來，現在的我卻已要畢業了。在這段時間裡我要感謝我的指導教授 廖志中博士 在我求學過程中，指引我、帶領我進入研究最深的領域；教導我如何待人處事、 解決問題；提醒我避免陷入錯誤的迴圈裡並鼓勵我，讓我遇到挫折時又可馬上從 挫折中站起，在此對老師您致上我最崇高的謝意，當初若是沒有您的啟蒙也不會 有現在的我。 此外也非常感謝每次 meeting 時提供寶貴意見的 潘教授以文博士，若是沒 有他的指引方向我也不會更深入的去思考論文研究的真正涵義，潘老師謝謝您！ 另外，還有一位一定要感謝的學長 胡廷秉博士，謝謝學長平日的教導與建議， 即使工作再忙、事情再多、人在外出差、假日休假，只要我一通電話，就馬上替 我預留時間，細心又有耐心的替我解決所有問題，讓我對這個研究論文有更深一 步了解。 口試時我要感謝 潘以文博士及遠道而來的 李德河博士、 余騰鐸博士、 壽 克堅博士及 古志生博士，您們細心斧正並提出寶貴的意見，使得學生我的論文 趨於嚴謹，在此致上我萬分的謝意。 兩年的時間過得很快，學到的東西很多也認識很多的朋友，感謝大地組的同 門好夥伴佳諺、黃門壯士秉濬兄、林門找吃飯的 king、想成為無害系女孩的 giga、 愛吃甜食的小千、方門小叮噹的卓民大大、香蕉泡芙女王的洗衣粉、搞笑的威廷 及單門冷笑話王的培旼及閉關的韋恩，謝謝您們為大地組研究室帶來歡笑，並在 我遇到困難時即時伸出援手，真的很謝謝你們這兩年的陪伴與鼓勵，我真的超愛 你們，希望在未來的日子上大家都能夠完成自己的夢想。此外，還要感謝學長姊、 即將升研二的學弟妹及成為研究生新鮮人的學弟妹們，謝謝你們幫忙與打氣，真

V 的很捨不得你們，未來的日子裡一定要持續保持連絡喔! 另外還要感謝的是在我求學過程中，在社會上體驗的那段時間，幫助過我、 照顧過我、鼓勵過我的前輩，謝謝您們給我帶來我求學中學習不到的經驗與待人 處事，讓我從一個什麼都不懂的人逐漸成熟茁壯，謝謝您們! 最後，感謝我的家人無怨無悔地對我付出並給予我最大的鼓勵，感激父親、 母親含辛茹苦地養育教育我，如此浩瀚的親情，我願花上一輩子的時間來報答您 們；也謝謝我的妹妹與弟弟與我分享生活的喜怒哀樂，使我有向前邁進的動力， 最後謹將此論文獻給在天國的奶奶及外公，我永遠思念您。

目錄

中文摘要... I Abstract ... II 誌謝... IV 目錄... VI 表目錄... VIII 圖目錄... X 符號說明... XII 第一章 緒論... 1 1.1 研究動機與目的... 1 1.2 研究方法與流程... 1 1.3 論文內容... 4 第二章 文獻回顧... 5 2.1 彈性力學之邊界值求解方法... 5 2.2 半無限空間橫向等向性材料位移及應力之解析解方法... 7 2.2.1 2D 半無限空間橫向等向性材料位移及應力之解析解方法 ... 8 2.2.2 3D 半無限空間橫向等向性材料位移及應力之解析解方法 ... 18 2.3 文獻回顧小結... 35 第三章 研究方法... 37 3.1 橫向等向性材料彈性領域之數學基本方程... 37 3.2 傅立葉轉換理論... 40 3.3 控制方程式之建立... 42 3.4 一般解中齊次解之特徵根... 50 第四章 半無限空間垂直橫向等向性材料閉合解推導... 58 4.1 傅立葉定義域之位移和應力解推導... 61 4.2 物理定義域之位移和應力解推導... 71 第五章 計算範例... 82 5.1 位移閉合解計算步驟... 82 5.2 位移閉合解計算範例說明探討... 87 第六章 結論與建議... 122

VII 6.1 結論... 122 6.2 建議... 123 參考文獻... 125 附錄 A 特徵方程的推導 ... 127 附錄 B 傾斜橫向等向性材料之彈性常數C_ij ... 133 附錄 C

D

_ij矩陣的展開表達式 ... 134 附錄 D 水平橫向等向材料受載不同岩石舉例之奇異點位置 ... 136

表目錄

表 2.1 不同岩石之彈性特性表... 24 表 3.1 材料彈性常數示意表... 45 表 5.1 垂直橫向等向岩石之彈性模數比範圍表... 88 表 5.2 垂直橫向等向岩石之彈性常數表... 88 表 5.3 水平橫向等向材料受單位點荷重作用之位移量(岩石 1)與胡廷秉及 Ding 比 較表... 91 表 5.4 水平橫向等向材料受單位點荷重作用之位移量(岩石 2)與胡廷秉及 Ding 比 較表... 93 表 5.5 水平橫向等向材料受單位點荷重作用之位移量(岩石 3)與胡廷秉及 Ding 比 較表... 95 表 5.6 水平橫向等向材料受單位點荷重作用之位移量(岩石 4)與胡廷秉及 Ding 比 較表... 97 表 5.7 水平橫向等向材料受單位點荷重作用之位移量(岩石 5)與胡廷秉及 Ding 比 較表... 99 表 5.8 水平橫向等向材料受單位點荷重作用之位移量(岩石 6)與胡廷秉及 Ding 比 較表... 101 表 5.9 範例說明岩石 4 之 ( ) 1( )( 1~3) i i D C_di _ii    方程表... 108 表 5.10 範例說明岩石 4 之 ) ( 1  _i (i=1~3) 方程表 ... 112 表 5.11 範例說明岩石 4 之奇異點位置表 ... 115 表 5.12 岩石 4 位移U 閉合解型式 ... 117 x 表 5.13 岩石 4 位移Uy_{閉合解型式 ... 118} 表 5.14 岩石 4 位移U 閉合解型式 ... 119 z

IX

表 5.15 岩石 4 位移閉合解表... 120 表 5.16 垂直橫向等向性位移解與水平橫向等向性位移解推導過程之差異表... 121 表 A.1 新、舊座標系統間之餘弦角度轉換 ... 131

圖目錄

圖 1.1 研究流程圖... 3 圖 2.1 水平橫向等向性材料受垂直載重作用示意圖... 8 圖 2.2 水平橫向等向性材料受正切載重作用示意圖... 9 圖 2.3 水平橫向等向性材料受垂直三角形載重作用示意圖... 10 圖 2.4 水平橫向等向性材料受正切三角形載重作用示意圖... 11 圖 2.5 水平橫向等向性料受三角形垂直及正切作用隨深度之應力變化圖... 13 圖 2.6 Bray (1977)線載重作用於半無限空間橫向等向性(傾斜規則節理)岩體圖 14 圖 2.7 由等價橫向等向性材料表示規則節理材料示意圖... 15 圖 2.8 Bray (1977)線載重作用下之傾斜橫向等向性材料應力分佈圖 ... 16

圖 2.9 Gaziev and Erlikhman (1971)線載重作用傾斜橫向等向性材料應力分佈圖-摘自 Gaziev and Erlikhman (1971) ... 17

圖 2.10(a) 深度及岩石異向性影響下之垂直均佈矩形載重 pˆ_z作用的位移圖 (b) 岩石異向性(E/E’)影響下之垂直均佈矩形載重pˆ_z作用的應力圖-摘自 Wang and Liao (1999) ,p.131... 22

圖 2.11(c) 岩石異向性(υ/υ’)影響下之垂直均佈矩形載重pˆz作用的應力圖(d)岩石 異向性(G/G)影響下之垂直均佈矩形載重pˆz作用的應力圖-摘自 Wang and Liao (1999) ,p.132 ... 23 圖 2.12 卡式座標系統下之點荷重施載示意圖... 25 圖 2.13 圓柱座標系統下之均佈環狀施載示意圖... 25 圖 2.14 水平橫向等向性材料在半無限空間表面點荷重作用示意圖... 30 圖 2.15 傾斜橫向等向性材料在半無限空間承受三維點荷重作用示意圖... 32 圖 2.16 劃分空間法示意圖... 33 圖 3.1 三維卡式座標系統正座標定義圖... 43

XI 圖 3.2 半無限水平橫向等向性空間示意圖... 44 圖 3.3 水平橫向等向空間以 x' 旋轉 90 度示意圖... 46 圖 3.4 半無限空間垂直橫向等向性材料受載示意圖... 50 圖 3.5 Dirac delta 函數定義圖 ... 51 圖 4.1 半無限傾斜橫向等向性受載示意圖... 58 圖 4.2 解析解推導流程圖... 60 圖 4.3 傅立葉定義域之垂直橫向等向性材料受點荷重示意圖... 61 圖 5.1 岩石 1 在點位(-2,1,1)與 Ding 比較圖 圖 5.2 岩石 1 在點位(2,1,1)與 Ding 比較圖 ... 103 圖 5.3 岩石 2 在點位(-2,1,1)與 Ding 比較圖 圖 5.4 岩石 2 在點位(2,1,1)與 Ding 比較圖 ... 103 圖 5.5 岩石 3 在點位(-2,1,1)與 Ding 比較圖 圖 5.6 岩石 3 在點位(2,1,1)與 Ding 比較圖 ... 104 圖 5.7 岩石 4 在點位(-2,1,1)與 Ding 誤差圖 圖 5.8 岩石 4 在點位(2,1,1)與 Ding 比較圖 ... 104 圖 5.9 岩石 5 在點位(-2,1,1)與 Ding 誤差圖 圖 5.10 岩石 5 在點位(2,1,1)與 Ding 誤差圖 ... 105 圖 5.11 岩石 6 在點位(-2,1,1)與 Ding 比較圖 圖 5.12 岩石 6 在點位(2,1,1)與 Ding 比較圖 ... 105 圖 5.13 (a)~(h) 於表 5.4CDF111~CDF313 分母為 0 之點位圖 ... 114

符號說明

) 5 ~ 1 (i ci 彈性常數 ) 6 ~ 1 , (i j  C_ij 彈性常數 3 2 1,A ,A A 由彈性常數組成之常數 ) 6 ~ 1 ( , ,A A i A_xi i_y i_z 待定係數 ) 3 ~ 1 ( 2 i Cdj 特解待定係數 ) 3 ~ 1 ( 1 i Cdj 齊性解待定係數 ) 3 ~ 1 (i Cdj 通解待定係數 ) 3 ~ 1 ( 1 j Djj 矩陣[dij]之餘因子 ) 3 ~ 1 , (i j d_ij 矩陣[d_ij]之元素 ) 6 ~ 1 (i p_i 矩陣[dij]=0 求得之特徵根 i 複數為 1 ij l 座標轉換矩陣之元素

 

qij (i,j1~3) 座標轉換矩陣乘因子 ( , , ) i F ix y z 徹體力 z y x P P P , , 作用於卡式座標系統上之三維點荷重(N/m 3 ) z y x F F F , , 作用於卡式座標系統上之三維徹體力 ', ', ' x y z F F F 作用於卡式座標系統上之三維徹體力 z y x, , 幾何位置

XIII ' ' ' G E E、 、



、



、 材料彈性常數-楊氏模數、柏松比、剪力模數 ) , , (  z 傅立葉定義域

 ( ) 單位脈衝函數 Dirac delta function

zz yy xx    , , 卡式座標系統下之正向應變 ' ' ' ' ' '_x, _yy, _zz x    垂直橫向等向空間材料座標系統下之正向應變 xy yz xz    , , 卡式座標系統下之剪應變 ' ' ' ' ' '_z, _yz , _xy x    垂直橫向等向空間材料座標系統下之剪應變 ) , , ( ) , , (x y z i x y z U_i  物理定義域下之位移 ( , , ) ( , , ) i U   z ix y z 傅立葉定義域下之位移 ( ) ( , , ) ( , , ) i H u   z ix y z 傅立葉定義域下之齊性解位移 ( ) ( , , ) ( , , ) i P u   z ix y z 傅立葉定義域下之特解位移 ) , , ( , , _{yy zz} x y z xx    物理定義域下之應力 , , ( , , ) xx yy zz z      傅立葉定義域下之應力 ) , , , ( ) , , (x y z i j x y z ij   物理定義下之剪應力 ( )( , , ) ( , , ) ii H z i x y z



 

 傅立葉定義下之應力齊性解 ( )( , , ) ( , , ) ii P z i x y z



 

 傅立葉定義下之應力特解 ( , , ) ( , , , ) ij z i j x y z     傅立葉定義下之剪應力 ( )( , , ) ( , , , ) ij H z i j x y z     傅立葉定義下之剪應力齊性解 ( )( , , ) ( , , , ) ij P z i j x y z     傅立葉定義下之剪應力特解 ) , (k _x 極座標系統



_{橫向等向性平面旋轉角度}

 _角頻率

1

第一章 緒論

1.1 研究動機與目的

在工程實務上，基礎材料受工程結構物作用，常因超額承載力及位移變化量 而產生破壞，所以工程施作前掌握大量載重作用下所引致的「位移和應力」是有 必要的。然而岩體形成過程中或形成後，存在著「異向性」(Anisotropy)影響因 子，所謂「異向性」是指岩石在不同方向上的材料特性不同。岩石的異向性，若 以明顯地質構造或彈性對稱面組數及方向，可分為一般異向性(General anisotropy)、正交性(Orthotropy)、橫向等向性(Transversely isotropy)或等向性 (Isotropy)，其控制岩石材料變形的彈性常數(Elastic constants )分別為 21、9、5、 2 個。常見的單組規則節理岩體、層狀岩體或具葉理的岩石（如板岩、片岩、頁 岩等）皆可視為橫向等向性材料。故基礎受表面荷重後之位移及應力分佈情形， 利用等向彈性力學原理恐無法加以正確估算，而有必要針對橫向等向性材料之力 學行為(Ex：應力及應變)做深入探討與研究。 由於地質構造作用，岩體內不連續面位態並非全為「水平」且國內外既有文 獻尚未解出傾斜橫向等向性材料半無限空間受三維點荷重作用之位移及應力解 析解，因此，本研究擬針對前述的特例，藉由範例計算說明去探討「垂直橫向等 向性材料在半無限空間受表面三維點荷重作用之位移閉合解」。

1.2 研究方法與流程

(一) 研究方法 本研究旨在探討三維表面點荷重作用在垂直橫向等向性材料之位移閉合解。 一般來說，不管是無限空間或是半無限空間的材料，求解所建立之控制方程 (Governing equations)主要是由彈性力學理論之基本方程衍生得到，而基本方程包 括：幾何方程、應變及應力方程及力平衡方程等所組成的偏微分方程，為了簡化 此偏微分方程及方便推導解析解，需透過傅立葉轉換(Fourier transform)及拉普拉

斯轉換(Laplace transform)方法，將複雜的偏微分方程變成容易求解的常微分方 (O.D.E)程或代數方程。本文依胡廷秉 (2009)提出對於半無限傾斜橫向等向空間 之偏微分方程求解的傳統方法，先推導垂直橫向等向性材料在半無限空間受三維 表面點荷重作用的位移及應力解析閉合解，然後藉由範例說明探討「垂直橫向等 向性材料在半無限空間受三維表面點荷重作用之位移閉合解」。 (二) 研究流程 本研究首先針對學者提出有關半無限空間橫向等向性材料受載重作用之位 移及應力解析解相關文獻研究整理，並擇一方法-胡廷秉(2009)，推導在半無限空 間垂直橫向等向性材料受三維表面點荷重作用之位移及應力閉合解，然後藉由範 例計算說明探討其位移閉合解，以下為本研究流程圖，如圖 1.1 所示：

3

研究開始

文獻蒐集及回顧

研究方法擬定

解析解推導

範例說明

結論與建議

圖 1.1 研究流程圖

1.3 論文內容

本文共分六章，主要係利用範例說明和分析去探討垂直橫向等向性材料在半 無限空間受三維表面點荷重作用之位移閉合解，其各章之簡介如下: 第一章 緒論 本章介紹本研究之動機與目的、方法，闡述並涵蓋本論文之大觀念及想法。 第二章 文獻回顧 本章針對學者提出有關半無限空間橫向等向性材料受載重作用之位移或應 力 2D 與 3D 解析解方法相關文獻，加以說明介紹並說明其優缺點。 第三章 研究方法 本章說明彈性體之應變位移關係、幾何方程、平衡方程式等基本方程，並介 紹使用之數學方法：傅立葉轉換及拉普拉斯轉換方法原理，然後建立物理定義域 下求解之控制方程，再經由傅立葉轉換得到傅立葉定義域下之控制方程式並找出 在傅立葉定義域下，構成一般解之齊性解(Homogeneous solution)特徵值 (Eigen-value)，得到一般解之齊性解表達方程式。 第四章 半無限空間垂直橫向等向性材料閉合解推導 本章將第三章所得之傅立葉定義域下求解之控制方程，此為常微分方程式 (O.D.E)，藉由考慮邊界條件(z=0)，可直接求垂直橫向等向性材料在半無限空間 之位移及應力解，最後再透過傅立葉逆轉換得到物理定義域之位移及應力解。 第五章 計算範例

本章將推導之解析解採用 Gerrard(1975) and Amadei et al.(1987) 所建議的

' E E 、 _' G G 範圍為 1 至 3 及 _'   範圍為 0.75 至 1.5 做範例說明並探討位移閉合解 和其受材料異向性影響。 第六章 結論與建議 針對本研究之成果提出結論與建議。

5

第二章 文獻回顧

本章節主要回顧橫向等向性材料在半無限空間受載重作用所得到位移及應 力解析解。首先，先說明橫向等向性的基本關係及彈性邊界值問題求解的方法， 然後針對半無限範圍(Domain)下分為兩大部分：二維空間(2 Dimension)及三維(3 Dimension)空間，對現有受載重作用之位移和應力解析方法之文獻資料加以說明 及回顧。

2.1 彈性力學之邊界值求解方法

彈性力學理論的基本數學式方程在很多的參考資料裡都可找到，例如： Sneddon (1951)、Timosheko (1970、Poulos and Davis(1974)等人，而組成彈性力 學的基本方程分別為：幾何方程(Geometric equations)、應力與應變關係

(Constitutive equations)、平衡方程(Equilibrium equations)及協調方程(Compatibility equations)，在三維卡式座標系統下，以張量表達方式，參考 Sneddon (1951)及 Timosheko (1970)，幾何方程又稱為柯西方程(Cauchy equation)，u_ij及 u_ji為微小 變形情況下之位移量，_i,j則是應變量，可簡單的表示為： ( ) 2 1 ji ij ij  u u  (2.1) 參考Sneddon (1951)及Timosheko (1970)，在線彈性體之應力和應變關係又稱 為廣義虎克定律，_ij為應變量，c_klij為彈性勁度常數(Elastic stiffness constant)可由

4階張量(fourth-rank tensor)組成，此與材料特性有密切關係，其張量表達方式如 (2.2) 式：

kl cklijij (2.2)

參考Sneddon (1951)及Timosheko (1970)，若考慮材料體內力平衡狀況，可表 示為式 (2.3)為平衡方程式，若以位移表示此平衡方程則又稱為納維方程(Navier- equation)，其中F 為為徹體力(Body force) ，_i _ij,j為應力偏微分量，若材料作等

速度運動或無加速度，平衡方程式等號右邊則為0： ij,j Fi 0(= 2 t u_i    ) (2.3) 而協調方程(Compatibility equations)又可稱聖維南方程(Saint- Venant'

equation)。在求解過程中，未知數大於求解方程，若由位移來表達未知數可得到 相對應變量，但由應變來表達未知數是卻無法正確得到相對的位移量，故需利用 協調方程條件滿足應變連續性，而求得方程式之解。 以上(2.1)式、(2.2)式及(2.3)式三個基本方程之建立在第三章將會有詳細的說 明。 彈性力學之邊界值求解方法，舉例來說：式(2.1)可列出6個方程，式(2.2)也 可列出6個方程，而式(2.3)可列出3個方程，由 (2.1)式、(2.2) 式、(2.3) 式可知 總共有15個分別由3個未知數u 、6個未知數_i ij、6個未知數ij所組成基本方程。 為簡化方程式，通常取某一個未知數為組成方程的基本因子，一來這15個方程的 未知數就可降低，二來更方便輕易求解，譬如：選擇u 這個基本因子當作未知數，_i 根據 (2.1)式及(2.2)式_ij、_ij可用u 來表示，所有方程都為_i u 的函數。在考慮邊_i 界條件得到待定係數之值，即可求得精確解之表示式，此法不需使用到協調方程， 求解過程變得較簡易稱為位移求解法。 而依據問題本身所考慮之未知數，在微小應變條件下並考慮邊界條件則可分 為三種求解方法：(1) 位移求解法、(2) 應力求解法、(3)混合求解法。 (1) 位移求解法 利用彈性體上各點的位移作為基本未知數，總共有3個未知數，以位移表示 應變之幾何方程，代入應力應變關係式中，最後求解時代入平衡方程式，則可得 3個到含有3個未知數位移表示的平衡方程式，此方程又稱為Lame Navier方程， 利用3個方程解3個未知數的過程則稱為位移求解法。

7 (2) 應力求解法 若以應力當作基本未知數，總共有6個未知數，求解時直接代入平衡方程式， 可得到3個含有6個未知數應力表示的平衡方程式，3個方程解6個未知數，無法直 接求得應力解，若要求得位移量更是無法預知，故需加入協調方程，此為應變的 連續性條件，消除應變分量後所得應力協調方程，才能滿足邊界條件，此協調方 程又稱Beltrami-Michell方程，而求解過程則稱為應力求解法。 (3) 混合求解法 顧名思義就是以各點位移分量及各點部份應力分量做為未知數來建立求解 的方程，同樣需考慮邊界條件的影響因子，此求解過程稱為混合求解法。 Zou et al. (1944)及Ding et al. (1966)文獻中曾提到使用位移法來求解，而相同 的方法在Hu et al. (2007)及Liao et al.(2008)同樣也可發現求得傾斜橫向等向性材 料於無限空間受三維點荷重作用之位移和應力解析解，根據這些文獻，位移求解 法相對於應力求解法，更容易直接獲得位移和應力解，故本研究選擇位移求解法， 假設位移為未知數所建立的求解方程，來求半無限空間垂直橫向等向材料受三維 表面點荷重作用的位移和應力解析解。

2.2 半無限空間橫向等向性材料位移及應力之解析解方法

橫向等向性材料受載重作用之位移及應力解問題，早在 1930 年代即有學者 提出，Lekhnitskii (1939a,b)利用複變方法及柯西積分方程去求解當地表為水平或 拋物線承受荷重後，均質(Homogeneous)、異向性(Anisotropy)及線彈性(linearly elastic)半無限空間材料的應力及位移解析解。然而橫向等向性彈性問題求解的方 法包羅萬象，歸納起來可分為 3 種方法，即數值方法(Numerical method)、實驗 方法(Physical Model method)、解析方法(Analytical method)。而本研究採用解析 方法，目的是在求解半無限空間垂直橫向等向性材料受三維表面點荷重作用之位 移和應力閉合解，到目前為止半無限空間之垂直橫向等向性材料問題尚未有完整 之解析解，本節針對二維空間(2 Dimension)及三維(3 Dimension)空間，地表承受

載重作用下橫向等向性材料位移及應力解析方法相關文獻加以說明回顧。

2.2.1 2D 半無限空間橫向等向性材料位移及應力之解析解方法

本章節就學者已提出在二維(2 Dimension)半無限空間橫向等向性材料受載 重作用下位移及應力解析解說明如下：

 De Hrena et al. (1966) 及 Piquer et al.(1966)

De Urena et al. (1966)提出平面變形下水平橫向等向性材料半無限空間表面 受垂直或正切載重時之應力解如圖 2.1 和圖 2.2，其推導方法是由彈性力學基本 方程：(1)位移和應變關係、(2)幾何方程、(3)力平衡方程，所建立之控制方程所 來推導，最後求得在二維卡式座標系統下之水平橫向等向性材料半無限空間表面 受垂直或剪力載重時之正向應力(_xx、_yy)及剪應力(_yz)解表示如下： (1)垂直載重作用下：

z

x

y

P 圖 2.1 水平橫向等向性材料受垂直載重作用示意圖 摘自 De Hrena et al. (1966) , p.314 ] 1 1 [ _{2 2 2 2} C y x B y x y C B BC p xx _  _      (2.4a) ] [ _{2 2 2 2} C y x C B y x B y C B BC p yy _  _     (2.4b) ] 1 1 [ _{2 2 2 2} C y x B y x x C B BC p xy _  _      (2.4c)

9 (2) 正切載重作用下：

z

x

y

T 圖 2.2 水平橫向等向性材料受正切載重作用示意圖 摘自 De Hrena et al. (1966) , p.314 ] 1 [ _{2 2 2 2} C y x C B y x Rx xx _  _    (2.5a) ] [ _{2 2 2 2} C y x C B y x B Rx yy  _  _



(2.5b) ] [ _{2 2 2 2} C y x B B y x C Ry xy _  _    (2.5c) 其中 B、C 係數分別表示為：                  _    _  ( ) _'( ') [( ) _{2 '}(₂ ')]2 G G G G B                  _    _   ( ) _'( ') [( ) _{2 '}(₂ ')]2 G G G G C (2.6) ) )( 2 ( 2 2 ' ' C B G G C T R       

其中，G'為垂直剪力係數，而、、及分別可由材料的彈性常數：水 平楊氏模數(E)、垂直楊氏模數( ' E )、水平柏松比()、垂直柏松比(



')所組成， 如下式(2.7)     1 E 、 ) 2 1 )( 1 ( ' 2 ' 2 ' ' E E E E             、 E E E ' 2 ' ' ' 2 1        E E E ' 2 ' ' 2 1 ) 1 (         (2.7)

Piquer et al. (1966) 延伸 De Urena et al. (1966) 建議之正向應力及剪應力解， 將水平及垂直載重型態透過積分技巧，推導平面變形下水平橫向等向性材料受三 角形分布垂直載重及正切載重作用之正向應力及剪應力解，如圖 2.3 及圖 2.4， 並做一系列參數研究，探討半無限空間橫向等向性材料受「異向度」及「深度」 影響之應力分佈的情況。而求得二維卡式座標系統下之水平橫向等向性材料半無 限空間表面受垂直或剪力三角載重時之正向應力(_xx、_yy)及剪應力(_yz)解表示 如下： (1)垂直三角形載重作用下：

x

y

xy  xx  yy  P 圖 2.3 水平橫向等向性材料受垂直三角形載重作用示意圖 摘自 Piquer et al. (1966), p.532

11 C y x C y x L y C C y x C y x C xC C B BC P x 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 tan (tan [ 1              ] ) 1 ( 2 ) 1 t a n ( t a n _{2 2} 2 2 1 1 B y x B y x L y B B y x B y x B xB          (2.8a) C y y C y x L y C y x C y x C x C B BC P y 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 tan (tan [ 1             ] ) 1 ( 2 ) 1 t a n ( t a n _{2 2} 2 2 1 1 B y x B y x L y B y x B y x B x          (2.8b) C y y C y x L y C y x C y x C y C B BC P xy 2 2 2 2 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 tan (tan [ 1             ] ) 1 ( 2 ) 1 t a n ( t a n _{2 2} 2 2 1 1 B y x B y x L x B y x B y x B y          (2.8c) (2)正切三角形載重作用下：

x

y

xy  xx  yy  T 圖 2.4 水平橫向等向性材料受正切三角形載重作用示意圖 摘自 Piquer et al. (1966), p.532 B y x B yB C y x C y x CL x C y x C y x C yC R T x 1 2 2 2 2 1 1 (tan ) 1 ( 2 ) 1 tan (tan [ 2             

] 2 ( ) ) 1 ( 2 1 ) 1 t a n _{2 2} 2 2 1 C B R B y x B y x BL B y x _{ }        (2.9a) B y x B y C y x C y x L x C y x C y x C y R T y 1 2 2 2 2 1 1 (tan ) 1 ( 2 ) 1 tan (tan [ 2             ] ) 1 ( 2 ) 1 t a n _{2 2} 2 2 1 B y x B y x L x B y x        (2.9b) B y x B xB C y x C y x CL y C y x C y x C xC R T xy 1 2 2 2 2 1 1 (tan ) 1 ( 2 ) 1 tan (tan [ 2              ] ) 1 ( 2 ) 1 t a n _{2 2} 2 2 1 B y x B y x BL y B y x        (2.9c) 其中，L 為三角形載重底長範圍，而其它係數均如 (2.6) 式至 (2.7) 式表達。 舉例來說：圖 2.5 為橫向等向性材料水平表面分別受垂直及正切三角形載重 作用，此材料參數為 _' 1.5、0.3、' 0.2 E E ，隨著深度不同應力(_xx、_yy)及 剪應力(_yz)分佈的情況 Piquer et al. (1966)：

13 圖 2.5 水平橫向等向性料受三角形垂直及正切作用隨深度之應力變化圖 摘自 Piquer et al. (1966), p.535 由以上結果，Piquer et al. (1966)歸納出四點結論： (1) 橫向等向性材料受載重作用之應力變化，會受到深度及材料的異向性 (Anisotropy)如楊氏模數比( ' E E _{)、剪力模數(} ' G _{)等影響。} (2) 半無限空間受載重作用情況下，橫向等向性材料受正切載重作用所產生應力 比均向性(Isotropic)材料小。 (3) 橫向等向性材料受載之應力變化，剪力模數(G'_{)影響力遠比楊氏模數比(} ' E E ₎ 來得重要，甚至大於楊氏模數比( ' E E _)。 (4) 橫向等向性材料受載之應力變化並受到水平、垂直柏松比(')影響。

 Bray (1977) 圖 2.6 Bray (1977)線載重作用於半無限空間橫向等向性(傾斜規則節理)岩體圖 摘自 Goodman (1989),p.358 摘自 Goodman (1989)，圖 2.6 為線載重分別為正交載重 P 及剪力載重 Q，作 用在地表為水平之半無限空間傾斜橫向等向性岩石上，Bray (1977)將此線載重分 成平行於橫向等向性平面之載重 X 及垂直橫向等向性平面之載重 Y，去探討其 受載平面應變下之應力解及分佈情況，他假設由多種不連續面組合成的橫向等向 性材料，可視為等值(Equivalent)、均質之橫向等向性材料如圖 2.7，其在極座標 系統下應力的表達方式為：

15 圖 2.7 由等價橫向等向性材料表示規則節理材料示意圖 摘自 Goodman (1989),p.197 ) cos sin ) sin (cos sin cos ( _{2 2 2 2 2 2}         h g Yg X r h r     (2.10a) 0    (2.10b) 0   _r (2.10c) 其中： r =點載重點至待量測徑向應力



_r距離   S k E g n ) 1 ( 1 2     (2.11) ) 1 ( 2 ) 1 ) 1 ( 2 ( 1 2            g S k E E h s

圖 2.8 相同結果在 Gaziev and Erlikhman (1971)利用物理模型試驗所畫出的應 力等值圖（圖 2.9），圖 2.9 可以發現不管是利用計算或物理模型試驗，結果幾 乎是相似的，由此可認定 Bray (1977)所提出的 2 維應力解析解的正確性。若對

此結果延伸應用，則可用於當一個施載基腳作用在層狀、片岩狀或規則節理岩石 上所產生之應力作有效的定量估計。

圖 2.8 Bray (1977)線載重作用下之傾斜橫向等向性材料應力分佈圖 摘自 Goodman (1989),p.360

17

圖 2.9 Gaziev and Erlikhman (1971)線載重作用傾斜橫向等向性材料應力分佈圖-摘自 Gaziev and Erlikhman (1971)

2.2.2 3D 半無限空間橫向等向性材料位移及應力之解析解方法

本章節主要介紹學者已提出在三維(3 Dimension)半無限空間橫向等向性材 料受載重作用位移及應力解，其說明如下：

 Liao and Wang (1998) 及 Wang and Liao (1999)

Liao and Wang (1998)提出水平橫向等向性材料在半無限空間受點荷重作用 的位移和應力解，此半無限空間的邊界為橫向等向性材料平行於水平表面之表面， 推導的方法是由彈性力學基本方程：(1)位移和應變關係、(2)幾何方程、(3)力平 衡方程，在圓柱座標系統下所建立的控制方程來推導，並透過傅立葉及漢克轉換 及逆轉換(Fourier and Hankel transform & Inverse transform)技巧而導出位移和應 力解，如 (2.12a) 式至 (2.12i) 式。 )] ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( [ 4 ) sin cos ( 2 * 44 3 2 * 4 2 * 3 2 * 2 2 * 1 ' r R A u R r R z T R r R z T R r R z T R r R z T P P U U e d d d c c c b b b a a a r r r            _{ 4} { [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]} * 4 * 2 2 * 3 * 1 1 d d b b c c a a z rR R T rR R T m rR R T rR R T m P      (2.12a) )] ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( [ 4 ) cos sin ( 2 * 44 3 2 * 4 2 * 3 2 * 2 2 * 1 ' e e e d c b a r R r R z A u r R T r R T r R T r R T P P U U           _   (2.12b) )]} ( ) ( [ )] ( ) ( [ 4 ) sin cos ( * 4 * 3 2 * 2 * 1 ' d d c c b b a a r z z rR R T rR R T m rR R T rR R m P P U U          _ )]} 1 ( ) 1 ( [ )] 1 ( ) 1 ( [ { 4 1 1 1 _a 2 2 _b 2 3 1 _c 4 2 _d z R m T R m T m R m T R m T m P _{  }   (2.12c) ) [( )] ( 2 ) )( [( { 4 sin cos 13 1 1 11 2 3 2 * 66 3 13 1 1 11 1 ' A m u A T R r R A R r A m u A T P P a a a r rr rr              ( ) 2 ( )] [( )( ) 2 ( 3 )] 4[( 11 2 2 13) 2 * 66 3 13 2 2 11 3 3 2 * 66 3 T A u m A R r R A R r A m u A T R r R A R r c c c b b b       ( ) 2 ( )] 2 ( )} ₄ { [( )( ) 2 ( 2 )] * 66 3 13 1 1 11 1 1 3 2 * 3 3 2 * 66 3 a a a a z e e d d d r R R A R z A m u A m T P R r R u R r R A R r _{    }  [( )( ) 2 ( ₂ )] _{3 1}[( _{11 2 2 13})( ₃) * 66 3 13 1 1 11 2 2 c c b b b b R z A m u A m T R r R A R z A m u A m T      2 ( )] [( )( ) 2 ( ₂ )] * 66 3 13 2 2 11 2 4 2 * 66 d d d d c c R r R A R z A m u A m T R r R A     (2.12d)

19 ) [( )] ( 2 ) )( [( { 4 sin cos 13 1 1 11 2 3 2 * 66 3 13 1 1 11 1 ' A m u A T R r R A R r A m u A T P P a a a r                )] 2 ( 2 ) )( [( )] 2 ( 2 ) ( ₃ 2 3 2 * 66 3 13 2 2 11 3 3 2 3 2 * 66 3 c c c c c c b b b b b b rR z R r R z A R r A m u A T rR z R r R z A R r _{      3 1 1} * 3 3 2 3 2 * 66 3 13 2 2 11 4 { 4 )} 2 1 ( 2 )] 2 ( 2 ) )( [( P Tm r R rR u rR z R r R z A R r A m u A T e z e d d d d d d         [( 2 )( ) 2 ( ₂ )] _{2 2}[( ₁₁ 2 _{66 1 1 13})( ₃) * 66 3 13 1 1 66 11 b b a a a a R z A m u A A m T R r R A R z A m u A A       _{2 4 2} * 66 3 13 2 2 66 11 1 3 2 * 66( )] [( 2 )( ) 2 ( )] 2 T m R r R A R z A m u A A m T R r R A c c c c b b       [( 2 )( ) 2 ( ₂ )] * 66 3 13 2 2 66 11 d d d d R r R A R z A m u A A    (2.12e) ) ( )] ( ) ( )[ {( 4 sin cos 33 2 2 13 3 2 3 1 33 1 1 13 ' A m u A R r T R r T A m u A P P b a r zz zz              [ 3( 3) 4( 3)]} ₄ {( 13 1 1 33)[ 1 1( 3) 2 2( 3)] b b a a z d c R z m T R z m T A m u A P R r T R r T      ( _{13 2 2 33})[ _{3 1}( ₃) _{4 2}( ₃)] d d c c R z m T R z m T A m u A    (2.12f) ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 2 [ 4 cos sin 3 * 66 2 3 * 66 1 ' b b b b a a a a r r r R r R z rR A T R r R z rR A T P P                 )] 3 ( ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 2 ₃ * 3 * 3 * 3 3 * 66 4 3 * 66 3 e e e e e e d d d d c c c c rR z R r R z r R u R r R z rR A T R r R z rR A T           (2.12g) ) ( [ ) ( )] ( ) ( [ ) [( 4 cos sin 2 * 3 44 2 2 2 * 2 2 * 1 44 1 1 ' c c b b a a r z z R r R T A m u R r R T R r R T A m u P P                ( )] ( 2 3)} * 2 * 4 e e e e d d R z R r R R r R T    (2.12h) ) ( )] ( ) ( [ ) {( 4 sin cos 2 2 3 2 * 2 3 2 1 44 1 1 ' m u R z R r R T R z R r R T A m u P P b b b b a a a a r rz rz                   [ ( ) ( )] 2 } ₄ 44{( 1 1)[ 1 1( 3) * 3 2 * 4 3 2 * 3 44 a z e e d d d d c c c c R r m T m u A P R r R R z R r R T R z R r R T A          2 2( 3)] ( 2 2)[ 3 1( 3) 4 2( 3)]} d c b R r m T R r m T m u R r m T     (2.12i) 其中，U'r、U'、U'z、'rr、'、'zz、'r、'z、'rz為無限空間橫向

等向性材料位移及應力解，(P_r、P 、_ Pz)為半無限空間橫向等向性材料之受載點 荷重，而 R 、_a R 、_b R 及_c * a R 、Rb*、 * c R 分別與量測位移及應力點位(r、 、z)和 1 u 、u₂、u 有關，係數₃ T₁、T₂、T 和₃ u₁、u₂、u 則為材料彈性常數₃ A_ij(i,j=1~6)所 組成。

當簡化為均質(Homogeneous)、線彈性 (Linear elastic)及等向(Isotropic)時可 發現與 Mindlin 及 Boussinesq 所提出之等向性解相同。在工程實務中，這些方程 可用在計算彈性領域下單一承載樁的位移和應力量，也可利用疊加原理去分析計 算任何由單一承載樁組合的樁基礎之位移和應力解，有了這樣的概念，則可延伸 求解水平橫向等向性材料在半無限空間受不同形式載重作用所產生的位移和應 力閉合解。

於是在 1999 年 Wang and Liao 延伸 Liao and Wang (1998)提出水平橫向等向 性材料在半無限空間受非對稱載重作用的位移和應力閉合解，載重型態可分為有 限線載重(Finite line loads)及非對稱載重(Asymmetric loads)，包括：均佈矩形、線 性矩形及三角形載重等，透過漢克與傅立葉轉換及逆轉換，重新推導圓柱座標系 統下橫向等向性半無限空間受點荷重作用之位移及應力解，並透過點荷重積分技 巧延伸求解有限線載重及非對稱載重之位移及應力解，當橫向等向性材料簡化為 均質(Homogeneous)、線彈性 (Linear elastic)及等向(Isotropic)時可發現結果顯示 都是正確的。此外作者還提出可能的影響因子分別為：待測點埋設深度(Buried depth)、載重型態和材料的種類及異向性(Anisotropy)等。最後，將這些解析解作 參數研究，總共可歸納出 4 點結論： (1) 隨者垂直表面之載重增加而平行於載重方向之變位也跟著增加，如圖 2.10 (a) (2) 橫向等向性材料受載重作用會受到深度變化影響，如圖 2.10 和圖 2.11。 (3) 橫向等向性岩體受均佈或線性矩形載重之垂直位移會隨著楊氏模數比 E/E’(υ/υ’=G/G=1)增加和剪力模數比 G/G (E/E’=υ/υ’=1)增加而增加，而 υ/υ’ (E/E’=G/G’=1).的影響相當小並不隨之改變，如圖 2.10 和圖 2.11。

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(4) 平面應變(2D domain)條件下所求之位移和應力解會比由三維空間條件下 (3D domain)求得之位移和應力解還要大。

圖 2.10(a) 深度及岩石異向性影響下之垂直均佈矩形載重pˆ_z作用的位移圖 (b) 岩石異向性(E/E’)影響下之垂直均佈矩形載重pˆ_z作用 的應力圖-摘自 Wang and Liao (1999) ,p.131

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圖 2.11(c) 岩石異向性(υ/υ’)影響下之垂直均佈矩形載重pˆ_z作用的應力圖(d)岩石異向性(G/G)影響下之垂直均佈矩形載重pˆ_z作用的應 力圖-摘自 Wang and Liao (1999) ,p.132

圖 2.9 及圖 2.10 之岩石 1 至岩石 7 彈性特性採用 Gerrard(1975) and Amadei et al.(1987) 建議，如表 2.1 所示：

表 2.1 不同岩石之彈性特性表 採用 Gerrard(1975) and Amadei et al.(1987)

岩石種類 '

/ E

E



/



' G/ G'

Rock 1 Isotropic 1.0 1.0 1.0

Rock 2 Transversely isotropic 2.0 1.0 1.0 Rock 3 Transversely isotropic 3.0 1.0 1.0 Rock 4 Transversely isotropic 1.0 0.75 1.0 Rock 5 Transversely isotropic 1.0 1.5 1.0 Rock 6 Transversely isotropic 1.0 1.0 2.0 Rock 7 Transversely isotropic 1.0 1.0 3.0

 Liew and Ding et al. (2001)

Liew and Ding et al. (2001)利用勢能函數(Potential function)推導水平橫向等 向性材料在半無限空間(範圍：z0和z0，上下材料特性不同)交接處受點荷 重作用彈性領域範圍之位移解，並將點荷重透過橢圓積分延伸作用在橫向等向性 材料半無限空間上交接處導出均佈環性載重之位移解，而這些解可適用於無限空 間或透過簡化適用於半無限空間。

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圖 2.12 卡式座標系統下之點荷重施載示意圖 摘自 Liew and Ding et al. (2001) p.3750

圖 2.13 圓柱座標系統下之均佈環狀施載示意圖 摘自 Liew and Ding et al. (2001) p.3760

本文成功的顯示半無限空間兩種不同特性之水平橫向等向性材料交接處受 點荷重作用(卡式座標系統)及環形載重(圓柱座標系統呈現)作用，利用勢能函數 積分求解位移，如圖 2.14 和圖 2.13，這些解獲得主要考慮在範圍 z≧0 及 z≦0 不同特徵值型式(S、₁ S₂、S'1、S'2)條件下，其包括有 2 種類型：S₁ S₂、S₁ S₂及 ' 2 ' 1 S S  、S₁' S₂'，其中，S1 S2、S1 S2為範圍 z≧0 之水平橫向等向性材料 組成一般解之特徵值，S1 S2為重根情況；而 ' 2 ' 1 S S  、 ' 2 ' 1 S S  則是範圍 z≦0 之水平橫向等向性材料組成一般解之特徵值， ' 2 ' 1 S S  為重根情況，以下就針對 半無限空間兩種不同特性之水平橫向等向性材料交接處受不同型式點荷重作用 所產生之位移解作介紹。在卡式座標系統下，橫向等向性材料受載作用之位移一 般解，因材料特徵值不同(S1 S2和S1 S2)而一般解表示型式也會有所不同，其 表式方式如下所示： (1) 當S₁ S₂時



       2 1 0 i i y x u   、



       2 1 0 i i x y v   、



    2 1 i i i i z w   (2.13a) (2) 當S₁ S₂時 y x z x u          2 0 1 1    、 y x z y v          2 0 1 1    、 2 3 1 2 1 1 ) (            z z z w i i (2.13b) 其中，_i為組合位移之勢能函數(potential function)，滿足二階偏微分方程 0 ) ( 2 2 2 2 2          i i z y x  (i=0,1,2)、 i i i s c c s c c ) ( _{13 44} 2 44 11     (i=1,2) 、 1 44 13 2 1 44 11 3 ) (c c s s c c     (2.14) 為推導水平橫向等向性材料在半無限空間(範圍：z0和z0)受點荷重作

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用彈性領域範圍之位移解，Liew and Ding et al. (2001)將點荷重施載情形分為二大 部分：(1) 點荷重(Point force) P 垂直作用在(z=h)橫向等向性平面，(2) 點荷重 (Point force) T 作在橫向等向性平面 x 方向分別求解，如圖 2.12，列出 4 種組合 類型，去探討其受載之位移型式：(A) S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  _、(B) S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  _、(C) S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  _、(D) S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  ，其所代表之勢能 函數(Potential function)，如 (2.15) 式至 (2.22) 式： (1) 點荷重(Point force) P 垂直作用在(z=h)橫向等向性平面之勢能函數： 1、種類 A: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  z≧0：₀ 0、



       ( )ln( | |) 2 ln( ) i j ij ij ij i ii i i ASign z h R s z h A R z  (i=1,2) z≦0：0' 0、



   2 1 ' ' ' 1 ' ) ln( j ij ij j i A R z  (i=1,2) (2.15) 2、種類 B: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  z≧0：₀ 0、



       ( )ln( | |) 2 ln( ) i j ij ij ij i ii i i ASign z h R s z h A R z  (i=1,2) z≦0：0' 0、



   2 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 ln( ) j j j j R z C  、



  2 1 ' 1 ' 2 ' 2 j j j R C  (i=1,2) (2.16) 3、種類 C: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  z≧0： 11 12 11 11 11 1 11 1 1 ( ) ln( | |) ln( ) R C z R C h z s R C h z Sign         、₀ 0 ₃ 11 11 22 11 21 11 2 2 1 R z C R C R C     z≦0：₀' 0、 _' 1 ' 2 ' ' ' 1 ' ) ln( i i il il i i R H z R H     (i=1,2) (2.17)

4、種類 D: S₁ S₂ and S₁' S₂' z≧0： 11 12 11 11 11 1 11 1 1 ( ) ln( | |) ln( ) R C z R C h z s R C h z Sign         、₀ 0 ₃ 11 11 22 11 21 11 2 2 1 R z C R C R C     z≦0：0' 0、 ' 11 ' 12 ' 11 ' 12 ' ' 11 ' 11 ' 1 ln( ) R K R K z R K  _zz     、 _'3 11 ' 11 ' 22 ' 11 ' 21 ' 2 R z K R K    (2.18) (2) 點荷重(Point force) T 作用在橫向等向性平面 x 方向之勢能函數： 1、種類 A: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  z≧0： 00 00 00 0 00 0 0 | | R z y D h z s R y D       、



      2 1 | | j ij ij ij i ii i i z R x D h z s R x D  (i=1,2) z≦0： 00 ' 00 ' 00 ' ' 0 z R y L    、 ij ij ij i z R x L ' ' ' '    (i=1,2) (2.19) 2、種類 B: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  z≧0：



      2 1 | | j ij ij ij i ii i i z R x D h z s R x D  _(i=1,2) z≦0： 00 ' 00 ' 00 ' ' 0 z R y N    、 j j j z R x N 1 ' 1 ' 1 ' ' 1  _  、 ) ( ₁' '1 1 ' 2 ' ' 2 j j j j z R R x N    _{(i=1,2) (2.20)} 3、種類 C: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S  z≧0： 00 00 00 0 00 0 0 | | R z y G h z s R y G       、 ) ( 11 11 11 12 11 11 11 11 11 1 1 z R R x G z R x G z R x G        、 11 3 22 11 11 11 12 11 11 11 2 2 ) ( ) ( ) ( R x G z R R x G z R R x G h z Sign        z≦0： 00 ' 00 ' 00 ' ' 0 z R y S    、 ) ( '₁ '₁ ' 1 ' 2 ' 1 ' 1 ' 1 ' i i i i i i i i z R R x S z R x S      _{(i=1,2) (2.21)} 4、種類 D: S1 S2 and ' 2 ' 1 S S 

29 z≧0： 00 00 00 0 00 0 0 | | R z y G h z s R y G       、 ) ( _{11 11} 11 12 11 11 11 11 11 1 1 z R R x G z R x G z R x G        、 11 3 22 11 11 11 12 11 11 11 2 2 ) ( ) ( ) ( R x G z R R x G z R R x G h z Sign        (2.22) z≦0： 00 ' 00 ' 00 ' ' 0 z R y     、 ) ( 11' ' 11 ' 11 ' 12 ' 11 ' 11 ' 11 ' 1 z R R x z R x        、 11 3 ' 22 ' 11 ' 11 ' 11 ' 21 ' 2 ' ) ( R x z R R x       其中， A_ij、Cij、Dij、Dij和Kij為待定係數，將以上範圍z≧0 及z≦0式(2.15) 至(2.18)及式(2.19)至式(2.22) 之勢能函數，利用力平衡原則及邊界條件連續性求 出各待定係數值，然後代入式(2.13a)及式(2.13b)則可求得四種不同特徵值組合 (S₁ S₂ and S₁' S₂'_、S₁ S₂ and S₁' S₂'_、S₁ S₂ and S₁' S₂'_、S₁ S₂ and

' 2 ' 1 S S  )於範圍z≧0 及z≦0式之半無限空間位移解。求解過程雖為半無限空間解， 但實際上還是由無限空間的概念來求解各範圍z≧0 及z≦0之位移，若假設範圍z ≧0 及z≦0其中一個不存在時，隨者力平衡方程及邊界條件也會跟著改變，將所 求之待定係數代入式(2.13a)及式(2.13b)得之半無限空間位移解是否正確，還需透 過簡化過程與現有學者驗證才能確定其準確性。

 Ding et al.(2006) 圖 2.14 水平橫向等向性材料在半無限空間表面點荷重作用示意圖 Ding et al. (2006), p.107 在水平橫向等向半無限空間材料當等向面(isotropic plane)平行邊界表面時， 如圖 2.14，Ding et al.(2006)利用卡式座標系統(x、y、z)並且讓 xy 平面與半無限 空間表面重合，點荷重作用沿著 z 軸向材料中心(取 z>0)，而提出點荷重垂直與 正切作用(平行 x 軸及平行 y 軸)在水平橫向等向性材料半無限空間表面之位移解 析解。 首先，假設有一任意點荷重作用在原點，為求得受載重作用之位移解析解， Ding et al.提出可將此問題分成 3 個小部分(1) 垂直點荷重作用在半無限空間表之 z 軸正向，(2)正切點荷重作用在半無限空間 x 軸向，(3)正切點荷重作用在半無限 空間 y 軸向，最後再利用疊加原理得到所需位移解析解，以下為 Ding et al.(2006) 所提出受到(1)垂直點荷重作用在半無限空間表之 z 軸正向及(2)正切點荷重作用 在水平橫向等向半無限空間 x 軸向之三維位移解析形式，如(2.23a)-(2.23c)式，而 (3)受正切點荷重作用在半無限空間 y 軸向之解，則可利用 x 來取代 y 和 y 取代-x 得到。