基於推覆分析與短柱效應考量之結構耐震評估方法

國

立

交

通

大

學

土木工程學系碩士班

碩

士

論

文

基於推覆分析與短柱效應考量之結構耐震評估方法

A Structural Seismic Capacity Assessment Method Based on Pushover

Analysis with Consideration of Short Column Effects

研 究 生：蔡欣晏

指導教授：王彥博 博士

基於推覆分析與短柱效應考量之結構耐震評估方法

A Structural Seismic Capacity Assessment Method Based on Pushover

Analysis with Consideration of Short Column Effects

研究生：蔡欣晏 Student：Hsin-Yen Tsai

指導教授：王彥博 博士 Advisor：Dr. Yen-Po Wang

國立交通大學

土木工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Institute of Civil Engineering

College of Engineering

In Partial Fulfillment of the Requirement

For the Degree of

Master of Science

In

Civil Engineering

June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

基於推覆分析與短柱效應考量之結構耐震評估方法

研究生：蔡欣晏 指導教授：王彥博 博士

國立交通大學土木工程研究所

摘要

目前工程界進行耐震詳評工作時，多存在「強柱弱梁」的迷思，且未能將窗 台導致的短柱效應考慮在評估分析中，不僅無法反映真實的結構行為，還可能高 估結構的耐震能力。「強柱弱梁」的立意甚佳，惟梁因樓板的加勁作用使得勁度 大幅提昇，以致即使在強震下其主筋無法降伏而未能形成塑鉸，導致整體結構之 韌性降低。此由九二一地震之災後調查中，從未有人表示看到過梁端產生塑鉸即 為明證。此外，許多中小學校舍的破壞模式幾乎都是沿走廊長向之柱剪力破壞， 其主因乃窗台下的填充牆對柱形成局部加勁作用而導致短柱效應所造成。有鑑於 此，本研究乃發展一套結構耐震詳細評估方法，以剪力屋為分析架構排除「強柱 弱梁」的破壞機制，並以等值斜撐模擬填充牆，將其引致之短柱效應反映在分析 模型中。本評估方法主要利用SAP2000 進行推覆分析，根據實際之混凝土強度、 斷面尺寸、配筋及填充牆計算結構之極限耐震容量(Capacity)。另一方面，結構之 耐震需求(Demand)則配合我國現行之建築耐震設計規範求得，但其中韌性容量係 根據推覆分析結果而非規範建議值。凡耐震容量與耐震需求之比值大於一者即表 示結構物之耐震能力無虞。本文並針對兩棟校舍進行耐震詳評，分析結果顯示， 教室隔間牆有助於結構耐震能力之提升；沿走廊之矮牆則會造成柱之剪力破壞， 降低結構韌性，證明本文所提結構耐震能力評估方法之合理性。 關鍵字：耐震評估、推覆分析、短柱效應、剪力屋架

A Structural Seismic Capacity Assessment Method Based on

Pushover Analysis with Consideration of Short Column Effects

Student：Hsin-Yen Tsai Advisor：Dr. Yen-Po Wang Institute of Civil Engineering

College of Engineering National Chiao Tung University

ABSTRACT

The current practice of seismic capacity assessment is commonly obsessed with the illusive idea of “strong-column weak-beam” while failing to take into account the effects of short-column due to window stages. As a result, the analyses are not reflecting the actual behavior of the structures, and may in turn overestimate the seismic capacity. Theoretically, the “strong-column weak-beam” design concept is not a bad idea. However, the beams are much stiffer than expected as reinforced by concrete slabs, and no plastic hinges will be formed in the beams since the reinforcing steel bars are far from yielding even during severe earthquakes. As a consequence, ductility of the overall structure is reduced. This argument is supported by the fact that no one has ever claimed observing any plastic hinge in beams in the after-shock reconnaissance of 1999 Ji-Ji earthquake. In addition, the collapse mechanisms of most buildings in the elementary and high schools are found to be of a shear-type failure in the columns along the corridor. This is primarily due to the short-column effects with the partial restraint of columns by the infill walls for window stages. In view of the aforementioned problems, this study develops a structural seismic capacity assessment scheme based on shear building structures by which the failure mechanism of beam-sidesway is excluded. In addition, the concept of equivalent diagonal struts is adopted to structurally represent the infill wall so as to sufficiently reflect the short-column effects in the analysis. The proposed method is based on the pushover

analysis by SAP2000 utilizing the actual material strength, dimension and reinforcement of the RC members as well as the infill walls to estimate the ultimate seismic capacity of a structure. While the seismic demand is to be estimated in accordance with the current seismic design standard, however, discarding the code-recommended allowable ductility capacity with that obtained by the pushover analysis. For those structures with a capacity-to-demand ratio of greater than one are considered seismically safe. In this study, seismic capacity assessments of a couple of RC school buildings have been conducted. Results indicate that the partition walls contribute positively to the seismic capacity of the structures, while the partial infill walls under the windows along the corridor may introduce shear-type failure to the columns and decrease the ductility of the structures. These further confirm adequacy of the proposed seismic capacity assessment method.

Keywords：seismic capacity assessment, pushover analysis, short-column effects, shear buildings

致謝

兩年研究所期間，首先要誠摯的感謝恩師 王彥博教授之教誨，吾師悉心的 教導使我在研究領域及課業上得到一盞指路明燈外，其待人處事的態度方面給予 我很大的影響。老師對學術研究的嚴謹與執著精神更是我輩學習的典範，在此特 向吾師致上最誠摯的謝意。 於論文口試期間，承蒙國立交通大學土木系 陳誠直教授、趙文成教授、國 立中興大學工學院 林其璋院長及國立高雄第一科技大學營建工程系 盧煉元教 授蒞臨交大指導，百忙中抽空審查本文，提供學生諸多寶貴意見，使本文疏漏之 處得以改進，在此亦表達最誠摯的謝意。 這兩年裡的日子，我特別珍惜同窗好友志軒、俊成的友誼，這份因為趕作業 而徹夜奮戰培養出來的革命情感使我在研究的道路上不再孤獨。好友志偉、信宏、. 雅晶、佳穎、益鴻、俊祐、勝彥、承儒、建霖與啟勇等，感謝你們陪我嚐盡這兩 年來的許多酸甜苦辣。 感謝阿良、逸軒學長不厭其煩的指出我研究中的缺失，且總能在我迷惘時為 我解惑；感謝家賞學長在各方面的協助，使我順利進行研究工作；也感謝致宇、 信結與昆霖同學們的幫忙，恭喜我們順利走過這兩年。當然也不能忘記家杰、建 華、羅開、哲維學弟們，你們的支援與協助使我銘感在心。在此，我要向全體研 究團隊說聲：You’re the best.

最後，謹以此文獻給我摯愛的雙親與弟弟，感謝你們一直以來的支持，使我 今天有了小小的成就。在此，我也要感謝女友 依蓮這幾年來在我背後的默默支 持，妳的鼓勵是我前進的動力，妳的陪伴使我的研究生活變得絢麗多彩。

目錄

摘要... I ABSTRACT ...II 致謝... IV 目錄...V 表目錄... IX 圖目錄... XII 第一章 緒論 ...1 1.1 文獻回顧 ...1 1.2 研究動機與目的 ...1 1.3 本文內容 ...3 第二章 非線性靜力分析方法簡介 ...4 2.1 前言 ...4 2.2 SAP2000 程式簡介...4 2.3 非線性靜力分析之基本原理 ...6 2.4 SAP2000 之非線性靜力分析步驟...7 第三章 含磚牆構架之結構行為探討 ...11 3.1 前言 ...11

3.2 短柱效應的成因 ...11 3.3 含磚牆構架之模擬方式探討 ...12 3.3.1 磚牆力學行為之等值對角斜撐理論...12 3.3.2 含磚牆構架之線性靜力分析 ...16 3.3.3 含磚牆構架之非線性靜力分析...20 3.3.4 小結 ...22 第四章 建築物耐震能力詳細評估方法 ...24 4.1 前言 ...24 4.2 耐震指標(Is) ...24 4.3 結構之耐震需求(D)...25 4.3.1 最小設計水平總橫力(V) ...25 4.3.2 震區短週期與一秒週期水平譜加速度係數(SSD,S1D) ...26 4.3.3 工址短週期與一秒週期水平譜加速度係數(SDS,SD1) ...26 4.3.4 工址設計水平譜加速度係數(SaD) ...27 4.3.5 用途係數(I) ...28 4.3.6 起始降伏地震力放大係數(αy)...28 4.3.7 結構系統地震力折減係數(Fu)...28 4.3.8 耐震需求之修正 ...29

4.4 結構之耐震容量(C)...30 4.4.1 Response2000 程式簡介...30 4.4.2 鋼筋混凝土柱之性能曲線 ...31 4.4.2.1 鋼筋混凝土柱之彎矩破壞行為...31 4.4.2.2 鋼筋混凝土柱之剪力破壞行為...36 4.4.2.3 鋼筋混凝土斷面之韌性 ...37 4.4.3 磚牆之性能曲線 ...38 4.4.4 柱破壞模式之判斷 ...38 4.4.5 耐震容量之定義 ...39 4.5 崩塌地表加速度(Ac) ...40 第五章 算例分析與探討 ...41 5.1 前言 ...41 5.2 算例一 嘉南藥理科技大學-實習藥廠...41 5.2.1 分析模型 ...41 5.2.2 特徵值分析 ...42 5.2.3 耐震容量(C)...42 5.2.3.1 柱斷面強度與等值斜撐參數之計算...42 5.2.3.2 非線性靜力分析結果 ...42

5.2.4 耐震需求(D)...43 5.2.5 結果與討論 ...44 5.3 算例二 交通大學-工程二館...44 5.3.1 分析模型 ...45 5.3.2 特徵值分析 ...45 5.3.3 耐震容量(C)...45 5.3.3.1 柱斷面強度與等值斜撐參數之計算...45 5.3.3.2 非線性靜力分析結果 ...46 5.3.4 耐震需求(D)...46 5.3.5 結果與討論 ...47 第六章 結論與建議 ...48 參考文獻...50

表目錄

表3.1 等值對角斜撐相關參數 ...53 表3.2 平面構架之基本結構資料(線性靜力分析) ...54 表3.3 剪力屋架之基本結構資料(非線性靜力分析) ...54 表4.1 結構物評估方法之流程圖 ...55 表4.2 震區設計水平譜加速度係數 SsD與S1D，以及震區最大考量水平 譜加速度係數SsM與 S1M 【17】...56 表4.3 短週期結構之工址放大係數 Fa(線性內差求值) 【17】...64 表4.4 長週期結構之工址放大係數 Fv(線性內差求值) 【17】...64 表4.5 一般工址或近斷層區域之工址設計水平譜加速度係數 SaD 【17】 ...65 表4.6(a) 短週期與長週期結構之阻尼比修正係數 Bs與B1 【17】 ..65 表4.6(b) 一般工址設計水平加速度反應譜係數 SaD 【17】...65 表4.7 各類建築物之用途係數 I 【17】...66 表4.8 結構系統韌性容量 R 【17】 ...67 表5.1 柱之斷面尺寸及配筋情形(嘉南藥理科技大學-實習藥廠)...68 表5.2 結構之特徵分析結果(嘉南藥理科技大學-實習藥廠)...68 表5.3(a) CASE1—斷面強度與破壞模式判斷結果 ...69 表5.3(b) CASE2—斷面強度與破壞模式判斷結果 ...69 表5.3(c) CASE3—斷面強度與破壞模式判斷結果 ...70 表5.4(a) CASE1—等值對角斜撐之相關參數(1F) ...71 表5.4(b) CASE1—等值對角斜撐之相關參數(2F) ...72 表5.5(a) CASE2—等值對角斜撐之相關參數(1F) ...73 表5.5(b) CASE2—等值對角斜撐之相關參數(2F) ...74 表5.6(a) CASE3—等值對角斜撐之相關參數(1F) ...75 表5.6(b) CASE3—等值對角斜撐之相關參數(2F) ...76

表5.7(a) CASE1—結構之耐震需求 ...77 表5.7(b) CASE2—結構之耐震需求 ...77 表5.7(c) CASE3—結構之耐震需求 ...78 表5.8 耐震能力分析結果(嘉南藥理科技大學-實習藥廠)...79 表5.9 柱之斷面尺寸及配筋情形(交通大學-工程二館)...80 表5.10 結構之特徵分析結果(交通大學-工程二館)...81 表5.11(a) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(1F-X 向) ...81 表5.11(b) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(2F-X 向) ...82 表5.11(c) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(3F-X 向) ...82 表5.11(d) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(4F-X 向) ...83 表5.12(a) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(1F-Y 向) ...83 表5.12(b) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(2F-Y 向)...84 表5.12(c) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(3F-Y 向) ...84 表5.12(d) 案例 A-斷面強度與破壞模式判斷結果(4F-Y 向)...85 表 5.13(a) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (1F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m)...85 表 5.13(b) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (2F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m) ...86 表 5.13(d) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (3F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m) ...86 表 5.13(d) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (4F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m) ...87 表 5.14(a) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (1F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m) ...87 表 5.14(b) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (2F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m) ...88 表 5.14(c) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (3F-Y 向 )

(有效柱高 leff=1.5 m) ...88 表 5.14(d) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (4F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.5 m) ...89 表 5.15(a) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (1F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...89 表 5.15(b) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (2F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...90 表 5.15(c) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (3F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...90 表 5.15(d) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (4F-X 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...91 表 5.16(a) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (1F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...91 表 5.16(b) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (2F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...92 表 5.16(c) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (3F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m) ...92 表 5.16(d) 案 例 B- 斷 面 強 度 與 破 壞 模 式 判 斷 結 果 (4F-Y 向 ) (有效柱高 leff=1.4 m)...93 表5.17 等值對角斜撐之相關參數(W700×H360) ...93 表5.18 等值對角斜撐之相關參數(W525×H360) ...94 表5.19 等值對角斜撐之相關參數(W175×H360) ...94 表5.20 等值對角斜撐之相關參數(W700×H220) ...95 表5.21 等值對角斜撐之相關參數(W700×H90) ...95 表5.22(a) 案例 A-結構之耐震需求 ...96 表5.22(b) 案例 B-結構之耐震需求 ...96 表5.23 耐震能力分析結果(交通大學-工程二館)...97

圖目錄

圖2.1 SAP2000 程式之預設結構模型...98 圖2.2 SAP2000 程式之預設桿件材料性質與斷面...98 圖2.3 剛性樓版的示意圖 ...99 圖2.4 非線性靜力分析之塑鉸分佈情形 ...99 圖2.5 SAP 之幾何非線性參數設定(考慮 P-△效應) ...100 圖2.6 典型容量曲線示意圖 ...100 圖2.7 SAP 內建之軸力(P)塑鉸...101 圖2.8 SAP 內建之剪力(V2)塑鉸 ...101 圖2.9 SAP 內建之彎矩(M3)塑鉸 ...102 圖2.10(a) SAP 內建之軸力-彎矩(PMM)互制塑鉸...102 圖2.10(b) SAP 內建之軸力-彎矩(PMM)互制塑鉸...103 圖2.11 受軸向載重及單向彎矩柱之強度交互作用圖 ...103 圖 3.1(a) 短柱效應造成短柱的剪力破壞 (圖片來源：國家地震中心) ...104 圖 3.1(b) 短柱效應造成短柱的剪力破壞 (圖片來源：國家地震中心) ...104 圖 3.1(c) 短柱效應造成短柱的剪力破壞 (圖片來源：國家地震中心) ...104 圖3.2 有效柱段的剪力和彎矩 ...105 圖3.3 有效柱段出現 X 字型裂縫 ...105 圖3.4 等向性版受單位牆厚之水平側力 ...105 圖3.5 平面構架之分析模型 ...106 圖3.6(a) 有效柱段之剪力(Vc)示意圖...106 圖3.6(b) 有效柱段之側向勁度(k’)示意圖 ...107

圖3.7 以版元素模擬磚牆 ...107

圖3.8(a) 以版元素模擬磚牆結構-柱之剪力比(CASE 1a：剪力屋架)108 圖 3.8(b) 以版元素模擬磚牆結構-柱之側向勁度(CASE 1a：剪力屋架) ...108 圖3.9 以 Link 元素(等值對角斜撐)模擬磚牆結構...109 圖3.10(a) 以等值對角斜撐模擬磚牆結構-柱之剪力比(CASE 1b：剪力 屋架)...109 圖3.10(b) 以等值對角斜撐模擬磚牆結構-柱之側向勁度(CASE 1b：剪 力屋架)...110

圖3.11(a) 以版元素模擬磚牆結構-柱之剪力比(CASE 2a：非剪力屋架) ...110 圖 3.11(b) 以版元素模擬磚牆結構-柱之側向勁度(CASE 2a：非剪力屋 架)...111 圖3.12(a) 以等值對角斜撐模擬磚牆結構-柱之剪力比(CASE 2b：非剪 力屋架)...111 圖3.12(b) 以等值對角斜撐模擬磚牆結構-柱之側向勁度(CASE 2b：非 剪力屋架)...112 圖3.13 整體結構之韌性容量(R)示意圖...112 圖3.14(a) 非線性靜力分析模型-無牆之剪力屋架 ...113 圖3.14(b) 非線性靜力分析模型-四分之一牆高之剪力屋架...113 圖3.15 結構之容量曲線-柱為彎矩破壞(案例 A) ...114 圖3.16 結構之容量曲線-柱為剪力破壞(案例 B) ...114 圖3.17(a) 各種破壞模式對韌性容量的影響-無牆 ...115 圖3.17(b) 各種破壞模式對韌性容量的影響-四分之一牆高...115 圖4.1 桿件即將開裂的情況(開裂彎矩-曲率)...116 圖4.2 桿件之拉力筋達到降伏階段(降伏彎矩-曲率)...116 圖4.3 Whitney 等值矩形應力塊 ...116

圖4.4 桿件在極限荷載的情況下-壓力筋已降伏(極限彎矩-曲率)...117 圖4.5 桿件在極限荷載的情況下-壓力筋未降伏(極限彎矩-曲率)...117 圖4.6 鋼筋混凝土斷面之彎矩-曲率關係...118 圖4.7 鋼筋混凝土斷面之彎矩-曲率關係(雙線性化)...118 圖4.8 鋼筋混凝土柱斷面資料 ...119 圖4.9 理論式與 Response2000 之計算結果比較...119 圖4.10(a) 設定混凝土強度與鋼筋強度...120 圖4.10(b) 設定柱斷面之形狀與尺寸 ...120 圖4.10(c) 設定主筋之號數與數量...121 圖4.10(d) 設定箍筋之號數與間距 ...121 圖4.10(e) 柱斷面資料設定完成(Response-2000) ...122 圖4.11 柱斷面之彎矩-曲率關係(Response-2000) ...122 圖4.12 柱斷面之剪力-位移關係(Response-2000) ...123 圖4.13 設定柱之塑鉸性質-剪力破壞...123 圖4.14 設定柱之塑鉸性質-彎矩破壞...124 圖4.15 設定等值斜撐之塑鉸性質-壓力破壞...124 圖4.16(a) 非線性靜力分析求得結構物之容量曲線 ...125 圖 4.16(b) 利用非線性靜力分析求得結構物不同階段之非線性行為-塑 鉸分佈圖...125 圖4.17 結構之耐震容量(結構用盡韌性) ...126 圖5.1 嘉南藥理科技大學-實習藥廠之建築全景...127 圖5.3 嘉南藥理科技大學-實習藥廠之建築立面圖...128 圖5.4(a) 嘉南藥理科技大學-實習藥廠之分析模型(CASE1) ...128 圖5.4(b) 嘉南藥理科技大學-實習藥廠之分析模型(CASE2)...129 圖5.4(c) 嘉南藥理科技大學-實習藥廠之分析模型(CASE3) ...129 圖5.5(a) X 向之容量曲線(CASE1)...130 圖5.6(a) X 向之容量曲線(CASE2)...130

圖5.7(a) X 向之容量曲線(CASE3)...130 圖5.8(a) X 向之塑鉸形成順序與頂樓之平面變形圖(CASE1)...131 圖5.8(b) Y 向之塑鉸形成順序與頂樓之平面變形圖(CASE1)...132 圖5.9 交通大學-工程二館之建築全景...133 圖5.10 交通大學-工程二館之建築平面圖...133 圖5.11 交通大學-工程二館之建築立面圖...133 圖5.12 交通大學-工程二館之分析模型(案例 A) ...134 圖5.13 交通大學-工程二館之分析模型(案例 B) ...134 圖5.14(a) X 向之容量曲線(案例 A) ...135 圖5.15(a) X 向之容量曲線(案例 B) ...135 圖5.16(a) X 向塑鉸形成順序圖(案例 A) ...136 圖5.16(b) Y 向塑鉸形成順序圖(案例 A)...137

第一章 緒論

1.1 文獻回顧

國內在建築物耐震能力評估的研究上，已有一系列的成果。例如，內政部建 築研究所於民國 88 年公佈了「鋼筋混凝土建築物耐震能力評估及推廣」【1】使 用手冊，作為建築物耐震能力評估之依據；薛強【2】針對 ATC-40 分析法之缺點 提出了非線性靜力分析之容量震譜法加以改進。此外，國家地震工程研究中心在 921 震災後，亦特別針對全國中小學校舍安全評估方法，於民國 89 年九月出版了 「中小學校舍耐震評估與補強」【3】，以期能夠針對校舍建築物進行快速簡易的 耐震能力初步評估。 國外有Freeman 於 1978 年提出容量震譜法，作為非線性靜力分析之用【4、

5】；Mahaney 於 1993 年提出的 ADRS 格式的容量震譜法【6】；Fajfar 與 Gaspersic

於1996 年提出以等值單自由度系統之反應譜分析，求得目標位移，並發展 N2 法 對地震下RC 建物之損害程度作一評估【7】；Reinhorn 於 1997 年提出以 R-μ-T-μ之彈塑性折減方式建立需求震譜【8】；Tso 和 Moghdan 於 1998 年以推覆法求 取容量震譜之性能點，分別針對簡單對稱及非對稱結構物進行分析與討論，並與 非彈性動力分析之結果比較【9】；Krawinkler 和 Seneviratna 於 1998 年以推覆法 及非線性歷時分析法探討三層樓鋼構架之地震反應，並比較其差異【10】； Kuramoto 於 2002 年比較日本 CRLS、美國 ATC-40 及 FEMA273 等耐震性能評估 法，並由歷時分析檢驗三者之準確性【11】。

1.2 研究動機與目的

現行之建築耐震能力詳細評估是根據內政部建築研究所所提出之「鋼筋混凝 土建築物耐震能力評估法及推廣」【1】，其概念係考量結構先以其強度抵抗地震

力，當地震之地表加速度增大到使結構產生降伏後，再利用結構的韌性來抵抗地 震避免崩塌所發展之評估方法。其評估步驟係先透過 ETABS 程式計算以地表加 速度PGA=0.1 g 之結構地震反應，針對各單一梁或柱構材之實際尺寸和鋼筋量計 算其彎矩強度、剪力強度及韌性，配合彈性地震分析所得之內力，判定該構材將 來破壞時係屬彎矩破壞亦或是剪力破壞，以及破壞時所對應的韌性比。每一半層 柱的上、下各有兩節點，而由該節點判別柱或梁先破壞，並求得當時該柱承擔的 剪力及韌性。但由於各柱承擔剪力及韌性不同，乃以加權平均的觀念求出整個半 層綜合的剪力強度與韌性比，以得到該半層的降伏地表加速度，得到該半層達極 限強度時所對應之崩塌地表加速度(Ac)。每半層均有其對應之崩塌地表加速度 (Ac)，取其最小者為結構整體之崩塌地表加速度(Ac)。然而，目前工程界採用此一 評估方法執行耐震詳評工作時，仍存在一些普遍性的問題，其中最主要的問題包 括： (a) 未能將窗台導致的短柱效應考慮在耐震評估分析中─若忽略短柱效應，分 析結果將無法反映真實的結構行為，且會高估結構耐震能力。 (b) 強柱弱梁的迷思─就結構構件對整體結構耐震能力影響程度的考量，「強 柱弱梁」的設計觀念立意甚佳，梁柱接頭實驗也顯示RC 或鋼構經由適當 的設計可以有很好的韌性。惟真實結構因樓版的加勁作用，使得梁與樓版 結合後的整體勁度大幅提昇，不僅使得梁在地震中的變形曲率(M/EI)很 小，以致RC 梁之主筋無法降伏而未能在梁端形成塑鉸，也使柱端分配的 彎矩增加而導致塑鉸提前產生。此一現象在九二一地震倒塌的建築結構中 已顯露無遺，從未有人看過梁端產生塑鉸。因此「強柱弱梁」的設計目標 在真實結構中並不存在，基於此一假設/理論所發展的結構分析軟體或耐 震評估程式，自然無法提供合理的分析結果。 前述問題並非僅發生於少數個案，顯示現行評估方法可能存在一些盲點需要 克服。因此，本文擬發展一套耐震評估方法，將結合現行商用軟體SAP2000 進行

結構非線性靜力分析，但採用國家地震工程研究中心「中小學校舍耐震評估與補 強」【3】方法之基本精神，並參考陳怡婷【12】針對高科技廠房所探討之耐震初 評方法，提出一套新的耐震詳細評估方法，避免前述之不合理現象，讓耐震能力 評估結果更為可靠。

1.3 本文內容

第一章將說明本文之研究動機與背景。第二章將介紹非線性分析的基本原 理，並簡述如何應用SAP2000 進行結構非線性靜力分析。第三章除介紹短柱效應 的成因外，亦透過線性靜力分析與非線性靜力分析探討含磚牆構架的模擬方式， 以供本文所提出之耐震能力詳細評估方法之用。第四章將詳細介紹本研究建議之 耐震能力詳細評估方法，俾便作為結構修復補強之依據。第五章將針對實際建築 物進行評估，以探討本文所提耐震詳細評估方法之合理性。第六章為結論與建議。

第二章 非線性靜力分析方法簡介

2.1 前言

目前國內普遍採用的建築耐震能力評估方法，多係以“力-強度”為基準，其 作法係以結構彈性分析所得結果，利用力折減因數或位移放大因數間接求取結構 物之非線性行為，此種作法未必能準確掌握結構物之真正特性。反之，以結構性 能為基準的耐震能力評估方法，則直接著重於結構物非線性行為的分析，較能充 分獲得結構物彈、塑性階段的結構性能，目前已逐漸成為耐震工程研發的主流 【13】。 建 築 之 耐 震 能 力 分 析 工 具 主 要 包 括 非 線 性 靜 力 分 析(Nonlinear Static Analysis）和動態非線性歷時分析（Nonlinear Time History Analysis）等兩種。後 者因計算量大，且經由非線性靜力分析與動態非線性歷時分析進行驗證比較，顯 示非線性靜力分析仍可有效掌握建築結構物的耐震性能【13】，因此本研究將以 非線性靜力分析為基礎去發展耐震詳評方法。本章將介紹非線性靜力分析的基本 原理，並說明如何應用SAP2000 進行結構物的非線性靜力分析，發展合宜的結構 非線性靜力分析方法，據以建立一套合宜的耐震能力評估流程。

2.2 SAP2000 程式簡介

SAP2000 程式乃由美國加州大學柏克萊分校 Dr. Edward L.Wilson 及 Professor Emeritus 等人所發展出來的一套工程分析-設計軟體【14】，其主要工作介面為視 窗畫面，且完成分析後的結果可以標準化之圖、表或文字格式輸出，因此非常便 於工程師或研究人員所使用。近來國內外不少學者陸續在研究新的耐震設計或評 估方法-功能設計法(Performance-Based Design Method)，其主要精神在考慮結構物 受到地震力作用下，表現結構物在各階段的非線性行為；因此，SAP2000 內建的

非線性靜力分析功能乃逐漸受到重視。本節將簡單介紹SAP2000 之主要功能與特 點如下： 1. 由於工作視窗為物件導向的圖形化介面，因此較傳統的 DOS-文字介面便 於操作使用。 2. 可建立的結構模型多樣化，包含：2D 平面桁架、3D 空間桁架、2D 平面 構架、3D 空間構架、版殼結構、橋梁結構等，如圖 2.1 所示。 3. 程式內建許多常用之材料性質與斷面(鋼筋混凝土之梁柱、鋼骨結構之梁 柱等)，可供使用者快速定義結構之桿件資料，如圖 2.2 所示。 4. Solid 物件由程式自動網格化(Meshing)，亦即不需自行定義元素形式與大 小；而Area(Shell)物件可由程式自動網格化或由使用者自行定義之。 5. 可直接點選外力作用的節點或桿件，依載重的形式、方向與作用位置定 義其荷載資料，而外力加載方式可為力量控制或位移控制。 6. 可利用 Fast DOFs 功能快速決定結構自由度的數目，例如空間構架(六個 自由度)、平面剛構架(三個自由度)、空間桁架(三個自由度)。 7. 利用束制(Constrains)節點之位移及方向來描述元素剛體的行為。可利用 此功能限制同一平面(XY 平面)的節點以平面樓版形式運動，類似於剪力 屋架中的剛性樓版(Rigid Diaphragm)，如圖 2.3 所示。 8. 由於真實之梁、柱桿件因梁柱接頭區而使桿件之有效長度縮短，程式可 定義桿件端點之剛域，使該區域對於剪力與彎矩呈現剛體性質。 9. 程式內建非線性靜力分析功能，並以不同的塑鉸形式及發生順序來判斷 構材破壞情形及其發生時機，如圖2.4 所示。 10. 可考慮結構的幾何非線性行為，如 P-△效應等。由於 P-△效應使得桿件

內力重新分配而不平衡，因此 SAP200 程式將自動求解幾何勁度矩陣(圖 2.5)，並經過反覆迭代直到桿件內力及變形收斂為止。

2.3 非線性靜力分析之基本原理

非線性靜力分析又稱為推覆分析(Pushover Analysis)，是一種快速且有效的建 築耐震能力分析方法，其特點為可計算結構物從線彈性階段達到降伏，最後進入 非線性階段乃至崩塌的整個過程，能夠確定結構在受到地震時的潛在破壞機制， 找到最先破壞的環節，有助於設計者之工程判斷【15】。 茲說明非線性靜力分析之主要計算過程如後。每當側向力或側向位移增加一 增量時，檢視構件是否降伏或減載，若有，則更改有效勁度矩陣及計算不平衡力 後，再行施加側向力增量，如此循序漸進直至結構崩塌為止【16】。分析之結果 主要以容量曲線與塑鉸形成順序來呈現結構物之非線性行為。茲介紹容量曲線及 ATC-40 所建議的 Pushover 側向力豎向分配方式如下： 1. 容量曲線：為基底剪力與節點位移的關係圖，代表結構物的抗震能力。 由圖2.6 可知，當側向力不大時，結構物仍保持在線彈性範圍內；當側向 力逐漸增加時，結構中的某些桿件逐步產生降伏進入非線性階段，造成 容量曲線的斜率開始變緩，直到整體結構的韌性用盡，基底剪力遽然下 降為止(與設定結構物卸載方式或該塑鉸性質的殘餘強度有關)。 2. ATC-40 建議了兩種不同的側向力豎向分配方式： (i) 照現行建築設計規範【17】所使用之公式，但並不加頂層集中力 F_t，其 式如下： =

∑

x x x i i i W h F V W h (2.1)

(ii) 依各層質量與第一彈性振態乘積比例分佈，其式如下： 1 1 φ φ =

∑

x x x i i i W F V W (2.2) 其中， Wx為第x 層重量； Wi為第i 層重量； hx為第x 層樓版至基底的高度； hi為第i 層樓版至基底的高度； 1x φ 為第一振態於第 x 樓層之分量； 1i φ 為第一振態於第 i 樓層之分量。 基本上，非線性靜力分析是一種反覆迭代的方法，因此不宜以人工計算方式 完成；目前市面上已發展出許多軟體具有非線性靜力分析的功能，如有限元素分 析程式SAP2000。但需注意一點的是，SAP2000 在分析的每一步增量中，樓層側 力均固定作用於質心上，當側力逐漸增加時，將使某些桿件逐漸產生塑鉸，而造 成結構的剛心位置改變；當質心位置與剛心位置愈加偏離，結構的扭轉效應愈加 明顯。

2.4 SAP2000 之非線性靜力分析步驟

結構物之非線性靜力分析完成後，其非線性行為將反映在塑鉸之形成結果； 塑鉸之力學性質關係到分析結果的可靠度，本節將詳細介紹SAP2000 所提供的塑 鉸種類與設定方式，並說明以SAP2000 進行非線性靜力分析之方式如下： (一) 建立結構模型：

進行非線性靜力分析前，需先設定結構桿件(梁、柱、牆等)的材料性質與斷 面尺寸，接著建立結構分析模型、邊界束制條件與載重形式等。 (二) 設定塑鉸性質： 可根據實際的結構斷面及配筋資料計算桿件的降伏與極限強度，設定其塑鉸 性質；SAP2000 所提供的塑鉸種類依桿件破壞的模式，大致可分為： 1. 軸力破壞： 除了可考慮桿件的軸向降伏強度外，亦包含桿件的挫屈分析，如圖2.7 所示。 由於目前SAP2000 所提供的版元素無法考慮材料的非線性行為，因此目前大多數 使用者仍以等值對角斜撐模擬磚牆，並以軸力塑鉸考慮磚牆的主應力破壞行為(參 見3.3.1 節)。 2. 剪力破壞： 在鋼筋混凝土或鋼骨結構中，一般以此塑鉸性質考慮其桿件的剪力破壞強 度，如圖 2.8 所示。本文所提出的耐震詳細評估方法中，乃將柱的極限剪力強度 與位移設定於此塑鉸性質中。 3. 彎矩破壞： 在鋼筋混凝土與鋼骨結構中，一般以此塑鉸性質考慮其桿件的彎矩破壞強 度，如圖2.9 所示。本文所提出的耐震詳細評估方法中，乃根據桿件的彎矩-曲率 關係設定於此塑鉸性質中。 4. 軸力-彎矩互制破壞： 雖然塑鉸性質可考慮柱的軸力-彎矩互制行為，如圖 2.10 所示，但由圖 2.11 可知，若軸力介於P-M 包絡線上的拉力破壞範圍與部分壓力破壞範圍之間，訂定 純彎矩時之極限強度為柱的彎矩破壞強度乃偏保守側，唯若軸力位於上述的範圍

之外時，軸力的增加將使柱的彎矩破壞強度小於純彎矩極限強度；於非線性靜力 分析的過程中，側力的施加將導致柱的軸力的變化，理論上需進行每根柱的反覆 迭代工作，直到柱破壞時其軸力與彎矩值恰巧於 P-M 包絡線上為止。為簡化分 析，本研究假設柱的彎矩破壞為純彎矩的行為造成，亦即彎矩容量為P-M 包絡線 上的純彎矩極限強度。 (三) 塑性鉸的設置： 塑性鉸的位置，應設置在彈性階段之最大彎矩處，因為這個位置最將先達到 降伏。對於柱斷面的彎矩破壞行為，一般情況是兩端彎矩最大，彎矩塑鉸應設定 於有效柱段的兩端處；若為剪力破壞行為，可設定剪力塑鉸於有效柱段的任一位 置；對於等值對角斜撐的軸力破壞行為，一般指定軸力塑鉸於軸力最大處(考慮結 構之自重)。 (四) 加載方法與側力分佈形式之設定： SAP2000 對於荷重的加載方法可分為兩種：「力量控制」與「位移控制」，並 提供「自行定義分佈」、「均勻加速度分佈」和「振形荷載分佈」等三種側力分佈 方式。均勻加速度分佈提供的側向力是用均值的加速度和相應質量分佈的乘積而 得；振形荷載分佈提供的側向力是用給定的振形和該振形下的圓周頻率的平方(ω2) 及相應質量分佈的乘積獲得的，當取第一振態時，則接近倒三角形分佈。除了側 力的施加外，也必須考慮結構物的靜載重於分析過程中。因此可於側向力側推分 析前，先執行力量控制的非線性靜力分析，將靜載重施加於結構物上，而後再進 行側推分析；SAP2000 在計算時，先計算靜載重下結構的內力和變形，而側推分 析的計算是在前一步的內力和變形基礎上施加水平荷載，水平荷載不斷增加，結 構側移亦相應增大，直到達到目標位移為止。 依上述步驟完成分析後，即可得到結構物之容量曲線及塑鉸形成順序，並可 觀察結構物的非線性行為與先後破壞的環節，最後由分析結果計算出結構之耐震

第三章 含磚牆構架之結構行為探討

3.1 前言

在921 地震中，以中小學校舍的損壞情況最為慘重，其破壞模式幾乎都是沿 走廊方向的崩塌情況居多。咎其原因其實不單只是校舍老舊或施工品質不良等問 題，主要禍源為工程設計階段考慮不夠周詳而造成結構上先天的缺陷，短柱效應 更是校舍提前崩塌最直接的原因；因此，短柱效應的負面影響在結構耐震能力評 估分析中須確實考量，以反映真實的結構行為。本章除了介紹短柱效應成因外， 亦透過線性靜力分析與非線性靜力分析，探討含磚牆構架的模擬方式，最後並介 紹等值對角斜撐相關參數的計算方法，以作為耐震詳細評估之依據。

3.2 短柱效應的成因

一般於中小學校舍中，為了教室的採光考量，設計者乃在沿走廊的方向設置 大量的玻璃窗；因此，柱子左右兩端將被窗台下的磚牆或RC 牆束制住，進而對 緊鄰填入牆的柱子形成局部加勁作用，造成柱子有效長度的縮短；而每逢地震 時，因有效柱段之勁度變大，反而較其他正常柱吸收更大之水平力，故有效柱段 所受之剪力容易達到斷面之極限剪力強度而形成剪力破壞，而非預期之韌性彎矩 破壞，此現象即稱為短柱效應，如圖3.1(a)~(c)所示。由圖 3.2 可知，當結構物受 地震力作用時，柱所受到的剪力主要由有效柱段所承擔，如3.1 式所示： + = t b c eff M M V l (3.1) 其中， Vc為有效柱段內的剪力；

M_t為有效柱段內頂部的彎矩； M_b為有效柱段內底部的彎矩； l_eff為有效柱高。 由式(3.1)可知，填入的牆越高，有效柱高越短。短柱內所承受的剪力越大， 越容易造成剪力破壞，一般可由有效柱段出現 X 字型裂縫的情況判斷之，如圖 3.3 所示。一般設計者在作結構設計時，並未將牆體考慮在分析模型內，而把被 牆體圍束的柱以一般柱分析之，以致忽略該柱之真實高度，造成短柱的需求剪力 增加而形成剪力破壞，嚴重時甚至造成結構物底層的崩塌(collapse)；因此，若設 計者在設計階段時考慮到這個現象，就可以避免之。 綜上所述，若結構中具有填充牆，則可能影響整體結構的耐震能力，為將短 柱效應考慮在本文所提出的耐震能力評估方法內，下節將針對含磚牆構架的模擬 方式作一系列探討。

3.3 含磚牆構架之模擬方式探討

3.3.1 磚牆力學行為之等值對角斜撐理論

一般在結構設計的階段，工程師鮮少將填充牆的結構行為考慮在分析模型 內；如此一來，柱在承受水平地震力時產生剪力破壞(shear-type failure)的機率將 大於彎矩破壞(flexural-type failure)，嚴重者將造成有效柱段的剪力容量不足而將 柱剪壞，甚至造成結構物的崩塌；因此，為考慮磚牆對結構耐震能力的影響，本 文所提出之耐震詳細評估方法乃將磚牆一併考慮在分析模型內。工程界有關磚牆 行為之分析大多以等值對角斜撐模擬，其相關理論整理如下所述： (i) 磚牆元體之主應力(σ1) 若以等值牆版模擬磚牆，並在等向性版施加一單位牆厚之水平外力Ph，如圖

3.4 所示。假設等向性版的應力函數及其應力分佈，求解得版上任一點的應力分 佈σx、σy與τxy，分析得版之中心點應力σxc、σyc與τxyc最大，如下式所示： 2 5 5 5 , , 8 8 4 σ =− h σ = − h τ = − h xc yc xyc P hP P h b b (3.2) 由於磚牆之破壞主要係由主應力所導致，所以欲分析磚牆之極限受力行為 時，需將版之中心點所受應力轉成主應力 σ1(拉應力)來判斷磚牆是否達到破壞 【18】。因此， 2 2 1 -2 2 σ σ σ σ σ = + + ⎛_⎜ ⎞_⎟ +τ ⎝ ⎠ xc yc xc yc xyc (3.3)

( )

1 , σ ∴ =P f b h_h (3.4) 其中，

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 25 , 16 16 16 ⎛ ⎞ − − − + = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ b h b h f b h hb hb b (3.5) (ii) 磚牆達極限破壞時之劈裂強度(Ft） 陳明生之研究【19】提供了砂漿、紅磚及其介面等材料之劈裂強度。磚牆產 生裂縫時，裂縫必須經過一層砂漿橫縫，而後再經過一層紅磚或紅磚與砂漿之介 面。根據試體裂縫經過砂漿、紅磚及其介面之比例，並參考曾凱瀚碩士論文【20】 磚墩中砂漿、紅磚所佔面積比例關係，估算出磚牆產生裂縫時，砂漿的貢獻比例 為0.13，而紅磚、紅磚與砂漿介面兩者平均貢獻約佔 0.87。所以歸納得出當磚牆 達極限破壞時之劈裂強度公式為： 0.13 0.87 2 t tb t tm f F = f + ⎛_⎜σ + ⎞_⎟ ⎝ ⎠ (3.6)

其中， ftm為砂漿劈裂強度； ftb為紅磚劈裂強度； σt為紅磚與砂漿介面劈裂強度。 其中砂漿劈裂強度(ftm)約為砂漿單軸抗壓強度之 10%；紅磚劈裂強度(ftb)約為 紅磚單軸抗壓強度之22%；紅磚與砂漿介面劈裂強度(σt)約為 2.04 kgf/cm2。由陳 奕信博士論文【21】可知，砂漿單軸抗壓強度(fmc)之實驗平均值約為 22 MPa(224.3 kgf/cm2)；紅磚單軸抗壓強度(fbc)之實驗平均值約為 15.3 MPa(155.9 kgf/cm2)。 (iii) 磚牆之有效寬度(beff) 根據李威震【22】及陳威成【23】之研究，當磚牆的高寬比大於 1 時，磚牆 會沿對角線開裂；而當磚牆的高寬比小於1 時，在形成裂縫的過程中，僅在兩邊 受壓處產生 45°斜向裂縫，其間則由水平滑移裂縫聯繫兩角隅的斜向裂縫，故真 正抵抗水平外力的牆體寬度僅有斜向裂縫形成的區域，分析時須考慮磚牆的有效 寬度(beff)，即 min( , ) eff b = h b (3.7) 其中， h 為磚牆之實際高度； b 為磚牆之實際寬度。 (iv) 磚牆之極限水平強度(Puh) 為計算等值斜撐之軸向抗壓強度，可從磚體試驗求得其水平極限強度值，依

據磚牆之對角線夾角換算其等值斜撐之軸向抗壓強度。水平極限強度的修正係數 α 之經驗公式【18】如下：

(

)

(

)

eff eff 當磚牆為三邊圍束(3BE)時: α=0.1108 b /h 當磚牆為四邊圍束(4BE)時: α=0.2591 b /h 磚牆之水平極限載重可由下式預測：

(

)

1 , t t uh h F F P tP t f b h α α σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.8) 其中， Ph為施加於一單位牆厚之水平外力； t 為牆厚。 (v) 磚牆之極限水平位移(uuh) 在磚牆受側力之位移預測上，陳奕信博士論文【21】提出磚牆極限點割線彈 性模數，並以彈性力學之應力函數推導建立磚牆均質平板承受面內水平力之變形 關係： 3 3 5 3 7 3 2 2 4 2 4 2 uh uh u P b h h u h b b E t υ υ υ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ = _⎢⎜ + _⎟ + _⎜ + _⎟ + _⎜ + _{⎟ ⎥} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.9) η η ′ = 227 _{1 2} u p E f (3.10) 式(3.9)中之 Puh 為水平極限載重，磚牆之波松比ν考慮分析應用之便利性取 0.15 計算。依磚牆試驗結果，式(3.10)中之修正係數 η1之平均值為1.023，η2值在 三邊圍束及台度磚牆試體可取0.367，四邊圍束試體可取 0.556。而磚礅(brick prism) 抗壓強度f_p′可以下式表示：

′ = 0.7 0.3 0.27 p bc mc f f f (3.11) 其中， fbc：紅磚之單軸抗壓強度； fmc：砂漿之單軸抗壓強度。 (vi) 等值對角斜撐軸向極限強度與位移 由等值對角斜撐的夾角θ，並依式(3.8)與式(3.9)換算成等值對角斜撐之極限 強度與位移如下式： cos uh d P P θ = (3.12) cos d uh u = u θ (3.13) 經由上述過程，即可算出等值對角斜撐之相關參數，以供設定SAP 模型的磚 牆極限強度之用。以上所有計算參數可見表3.1 所示。

3.3.2 含磚牆構架之線性靜力分析

現行耐震詳評或補強設計分析之工程實務上，多未將窗台所導致之短柱效應 納入結構分析模型中，分析結果將無法反映真實的結構行為，且會高估結構的耐 震能力，增添耐震詳評結果之不確定性。因此，本研究嘗試將短柱效應納入耐震 詳評分析中，探討不同牆高所引致的短柱效應，並印證隨著短柱效應之增加，柱 的破壞模式由彎矩破壞轉為剪力破壞的現象。 本節所分析之案例乃一平面構架，其分析模型與基本結構資料分別如圖 3.5 及表 3.2 所示。本例之主要目的在探討不同牆高下，以線性靜力分析求得有效柱 段之剪力及勁度的變化，並評估以SAP2000 為工具建立一套可考慮短柱效應的耐

震詳評方法之可行性。其判斷指標為有效柱段之剪力比SFR 與側向勁度 k’，如圖 3.6(a)與圖 3.6(b)所示，其定義方法如下式所示： = 0 c V SFR V (3.14) = Δ − Δ ' c A B V k (3.15) 其中， Vc：有效柱段之剪力； Vo：無牆時，柱之剪力； △A：有效柱段之頂層位移； △B：有效柱段之底層位移。 當 SFR 大於一時，代表有效柱段之剪力較無牆時的有效柱段之剪力大；若 SFR 越大，越容易引致短柱效應，使柱的破壞模式由彎矩破壞轉為剪力破壞。當 k’越大，代表結構受相同水平側力之作用下，隨牆高的增加將造成有效柱段之勁 度變大，而較正常柱吸收更多水平外力，導致剪力破壞的現象。 由於樓版剛性會造成結構行為的差異，因此結構分析模型可概分為以下兩種 【24】:

(一) 剪 力 型 (Shear Type) ： 適 用 於 “ 多 自 由 度 質 量 集 中 系 統 (lumped MDOF system)”，亦即，一般的構架系統，包括具剛性樓版的建築物、一般橋梁下部結 構等。

(二) 撓 曲 型 (Flexural Type) ： 適 用 於 “ 廣 義 單 自 由 度 系 統 (generalized SDOF system)＂，亦即，一般具有巨大水平勁度的剪力牆系統。包括具不完全剛性樓版

的建築物、煙囪結構等。

因此，本節之分析案例將分別針對剪力屋架(CASE1)與非剪力屋架(CASE2) 進行探討。

CASE1：剪力屋架

(a) 以 SAP 內建之版元素模擬磚牆：

SAP2000 使用手冊中的 Basic Analysis Reference【14】建議，若無特殊需求，

使用 Shell 元素模擬一些近似版元素構造，其內含之自由度最多，且最能符合真 實狀況，所產生的分析問題也最少。因此，本研究嘗試選用 Shell 元素來模擬磚 牆，如圖 3.7 所示，並以增加矮磚牆的高度，俾能觀察有效柱段內的需求剪力比 (SFR)與側向勁度(k’)的變化是否反映出短柱效應的現象，其分析結果分別如圖 3.8(a)及圖 3.8(b)所示。由圖 3.8(a)可知，若以版元素模擬磚牆時，除了 C1 與 C6 以外，其餘柱將隨著有效柱高減少，其需求剪力比(SFR)以非線性的方式增加； 其中，當C5 的有效柱高比為 0.25 時，其需求剪力強度較無牆時多了 13.2%。由 圖3.8(b)可知，隨著有效柱高的減少，每根柱之側向勁度(k’)也以非線性的方式增 加；其中，當C5 的有效柱高比為 0.25 時，其側向勁度(k’)為無牆時的 14 倍。亦 即，在此模型中，除了C1 與 C6，每根柱皆反映出短柱效應的現象。 (b) 以等值對角斜撐模擬磚牆： 吾人可根據 3.3.1 節之理論計算出等值對角斜撐之相關參數。本研究嘗試選 用SAP 內建之 Link 元素，屬軸力桿件，如圖 3.9 所示。在模擬不同磚牆高度的 情況，將等值對角斜撐之相關參數指定到 Link 元素內，並觀察有效柱段內的需 求剪力比(SFR)與側向勁度(k’)的變化是否反映出短柱效應的現象，其分析結果分 別如圖 3.10(a)及圖 3.10(b)所示。由圖 3.10(a)可知，若以等值對角斜撐模擬磚牆 時，除了C6 以外，其餘各柱將隨著有效柱高減少，其需求剪力比(SFR)以非線性

的方式增加；其中，C5 的有效柱高比為 0.25 時，其需求剪力較無牆時多了 7.4%。 由圖 3.10(b)可知，隨著有效柱高的減少，每根柱之側向勁度(k’)也以非線性的方 式增加；其中，C5 的有效柱高比為 0.25 時，其側向勁度(k’)為無牆時的 9 倍。亦 即，在此模型中，除了C6 之外，每根柱皆反映出短柱效應的現象。 CASE2：非剪力屋架 (a) 以SAP 內建之版元素模擬磚牆： 本研究嘗試選用SAP 內建的 Shell 元素來模擬磚牆，如圖 3.7 所示，並以增 加矮磚牆的高度，俾能觀察有效柱段內的需求剪力比(SFR)與側向勁度(k’)的變化 是否反映出短柱效應的現象，其分析結果分別如圖3.11(a)及圖 3.11(b)所示。其結 果顯示，若以版元素模擬磚牆時，每根柱之需求剪力比(SFR)與側向勁度(k’)的變 化趨勢不若以剪力屋架模擬時有規律，其原因為梁以非剛性樓版形式運動，亦即 結構在受水平側力作用時使梁產生軸向變形，導致分析模型偏離反對稱結構的力 學行為。 (b) 以等值對角斜撐模擬磚牆： 吾人可根據 3.3.1 節之理論計算出等值對角斜撐之相關參數。本研究嘗試選 用SAP 內建之 Link 元素來模擬磚牆，並以增加矮磚牆的高度，俾能觀察有效柱 段內的需求剪力比(SFR)與側向勁度(k’)的變化是否反映出短柱效應的現象，其分 析結果分別如圖3.12(a)及圖 3.12(b)所示。其結果顯示，若以等值對角斜撐模擬磚 牆時，其每根柱之需求剪力比(SFR)與側向勁度(k’)的變化趨勢不若以剪力屋架模 擬時有規律，其原因亦可能為分析模型中的梁以非剛性樓版形式運動，結構在受 水平側力作用時使梁產生軸向變形，導致分析模型偏離反對稱結構的力學行為。 綜合前述分析結果，歸納結論如下：

考慮一般結構物的梁通常與樓版澆製為一體，使得梁與樓版結合後的整體勁 度大幅提昇，所以可假設結構之破壞將由垂直構件控制，亦即，若發生大地震時， 將造成典型的強梁弱柱破壞(塑鉸產生在柱上而非梁上)，所以分析模型以剪力屋 架形式模擬之結果將較為接近真實情況。分析結果也顯示，若以剪力屋架模擬真 實結構，增加磚牆高度除了造成有效柱高的縮短外，也會造成有效柱段內的需求 剪力比(SFR)和側向勁度(k’)的增加，反映出短柱效應的現象。此外，在剪力屋架 的案例中，若以等值對角斜撐模擬磚牆結構時，其每根柱的需求剪力比(SFR)和 側向勁度(k’)較一致，符合反對稱結構的預期行為。因此，採用剪力屋架的模式 建立分析模型，並以等值對角斜撐模擬磚牆時，其分析結果較為合理，本文後續 將利用SAP2000 以前述方式進行含磚牆構架的耐震能力評估。

3.3.3 含磚牆構架之非線性靜力分析

由2.3 節可知非線性靜力分析方法包含兩個主要特色：第一，作用在結構物 的側向力是逐步增加，但與時間無關，其分析方法仍屬靜力分析，因此分析時間 較動力歷時分析法為快速；第二，每根結構桿件均可定義其非線性行為，因此結 構之強度(Strength)與韌性(Ductility)均可考慮於評估分析模型內。 由 3.3.2 節之分析結果可知，若以剪力屋架和等值對角斜撐模擬含磚牆構架 時，構架內填入矮磚牆將產生短柱效應。本節將進一步以案例A.柱為彎矩破壞之 情形及案例B.柱為剪力破壞之情形探討含磚牆之剪力屋架的韌性行為，其判斷指 標為利用非線性靜力分析法求出整體結構之韌性容量(R)，如圖 3.13 所示，其定 義方法如下式： u y R = Δ Δ (3.16) 其中， △u為結構破壞時之變形量；

△y為結構首次降伏時之變形量。 當整體結構的韌性容量(R)越大，代表結構消散地震能量的能力越佳。吾人可 詳見本文 4.4.4 節所介紹的柱破壞模式之判斷方法，以判斷真實結構中的柱為何 種破壞模式，如下： , 2 eff u u M M V l = (3.17) 其中， Vu,M為彎矩破壞所致之等效極限剪力強度； Mu為極限彎矩強度； Vu,S為極限剪力強度； leff為柱之有效高度； 當 , , 2 u S eff u u M M V V l = > 時，柱為剪力破壞； 當 , , 2 u S eff u u M M V V l = ≤ 時，柱為彎矩破壞。 另一方面，由於短柱效應可能導致柱較牆先產生破壞，因此，本節假設磚牆 在柱破壞前皆保持在線彈性範圍內，故以SAP2000 內建之 Link 元素模擬等值對 角斜撐，而不設定其極限破壞強度。結構分析模型採剪力屋架模式，其基本結構 資料如表3.3 所示。 A. 柱為彎矩破壞之情況 本案例之結構分析模型如圖 3.14(a)及圖 3.14(b)所示。分析時採用 SAP 內建 之Default-PMM 塑鉸(圖 2.10)來定義每根柱的彎矩破壞行為，每根柱之軸力與彎

矩互制強度係由 ACI318-02 所建議之經驗公式計算而得。以 SAP 進行非線性靜 力分析前，將依據柱斷面參數，如斷面積、慣性矩與相應之材料性質計算其塑鉸 力學行為，分析結果如圖3.15 所示。由分析結果可知，當此分析模型的有效柱高 比為 0.75 時，其韌性容量(R)較無牆時減少 38%。亦即，在此模型中，若結構有 矮牆的存在，將造成結構整體的韌性容量(R)降低，顯示此一分析模式之合理性。 B. 柱為剪力破壞之情況 分析模型與案例 A 相同，但此例中採用程式內建之 Default-V2 塑鉸(圖 2.8) 來定義每根柱的剪力破壞行為，每根柱之極限剪力強度與位移係由 ATC-40 所建 議之經驗公式計算而得。以SAP 進行非線性靜力分析前，亦根據柱斷面參數計算 其極限剪力強度與位移，分析結果如圖3.16 所示。當此分析模型的有效柱高比為 0.75 時，其韌性容量(R)較無牆時減少 5%。亦即，在此模型中，若結構有短牆的 存在，將造成結構整體的韌性容量(R)降低，此亦為一合理現象。 由圖3.17(a)可知，當結構無牆（有效柱高比為 1）時，柱為彎矩破壞所對應 之韌性容量(R)為 6.8；柱為剪力破壞時所對應之韌性容量(R)為 1.5。如圖 3.17(b) 所示，當結構填入矮牆（有效柱高比為0.75）時，柱為彎矩破壞所對應之韌性容 量(R)為 4.3；柱為剪力破壞所對應之韌性容量(R)為 1.4。由上述分析結果顯示， 無論結構有無矮牆存在，若柱為剪力破壞先發生時，將較彎矩破壞提早用完結構 之韌性。由3.3.2 節之分析結果也顯示，短柱效應會使有效柱段的需求剪力增加， 因此越容易提前達到柱的極限剪力強度而造成柱之剪力破壞。綜上所述，若結構 具有矮牆時，柱發生剪力破壞的機會將大於彎矩破壞，造成結構物的韌性容量降 低。

3.3.4 小結

綜合3.3.2 節與 3.3.3 節的分析，顯示以剪力屋架為分析模型，並以等值對角 斜撐模擬磚牆，SAP2000 確實可反映短柱效應對結構耐震能力的影響。因此，吾

人確認可採用SAP2000 為輔助工具，以其內建的非線性靜力分析功能計算含牆構 架的耐震容量(參見 4.4 節)，據以建立一套可考慮短柱效應的耐震能力評估方法。

第四章 建築物耐震能力詳細評估方法

4.1 前言

建築物耐震能力的分析方法包括歷時法(Time History Method)和容量震譜法 (Capacity Spectrum Method)，但因為計算效率低，近年來學界乃傾向以非線性靜 力分析法增進計算的效率，其最主要之優點在於可表現不同耐震性能等級結構物 之強度與韌性，因此，國內工程師亦開始利用SAP2000 或 ETABS 內建的非線性 靜力分析工具來評估結構物之耐震能力。本研究擬採用國家地震工程研究中心 「中小學校舍耐震評估與補強」【3】方法之基本精神，並參考陳怡婷針對高科技 廠房所探討之耐震初評方法【12】，提出一套合理且符合性能設計精神之結構耐 震能力詳細評估方法，以供業主作為後續結構補強之決策依據，進而提昇結構物 之耐震能力。 本研究提出之評估方法主要乃利用非線性靜力分析法計算結構物所能承受 之耐震容量，但考慮到一般結構梁因受到樓版的加勁作用，使得結構行為較接近 剪力屋架模式，亦即極限層破壞時均為柱與牆產生破壞，而不考慮梁構材產生塑 鉸之可能性，結構的耐震容量悉由柱及牆所提供。另一方面，配合我國現行之建 築耐震設計規範【17】，並將其中與剪力屋架之地震反應行為不符之處加以修正， 以合理決定結構之耐震需求。由耐震容量與耐震需求之比值(Capacity/Demand)即 可判斷結構物之耐震能力是否足夠。凡耐震指標大於1 者即表示「無耐震疑慮」， 小於1 時則表示「有耐震疑慮」。表4.1 為本文所提建築物耐震能力詳細評估方法 之評估流程圖。

4.2 耐震指標(I

_s

)

耐震容量之計算，係根據實際柱與牆之結構資料，包括柱斷面尺寸、配筋、

混凝土抗壓強度、鋼筋降伏強度、磚牆斷面尺寸、紅磚與砂漿強度等，定義出所 有柱與牆構材之塑鉸性質或極限強度，最後進行非線性靜力分析，依塑鉸在極限 層形成的比例及容量曲線(詳 4.4.5 節對耐震容量的定義方法)，即可求出結構之耐 震容量(C)。此外，按照我國最新頒佈之建築物耐震設計規範【17】，可由查表得 知工址設計水平譜加速度係數 SaD、用途係數 I、地震力折減係數 Fu及調整之韌 性容量 R，再配合結構之載重 W(DL、LL)等，求出結構之耐震需求(D)。由結構 之耐震容量(C)與耐震需求(D)之比值定義整體結構之耐震指標(Is)如下式： s C I D = (4.1) 若耐震指標(Is)大於或等於 1，則表示該結構為「無耐震疑慮」；若耐震指標 小於 1，則表示該結構之耐震能力不足，「有耐震疑慮」。有關結構之耐震需求與 耐震容量之詳細計算方法，將於4.3 節與 4.4 節詳細說明。

4.3 結構之耐震需求(D)

4.3.1 最小設計水平總橫力(V)

依據我國建築物耐震設計規範【17】可知，構造物各主軸方向分別所受地震 之最小設計水平總橫力V 可計算如下： 1.4 aD y u S I V W F α = (4.2) 其中， SaD為工址設計水平譜加速度係數； I 為用途係數； Fu為結構系統地震力折減係數；

αy為起始降伏地震力放大倍數； W 為建築物所承載之重量。 式(4.2)中， aD u S F 得依式(4.3)修正，修正後命為 aD u m S F ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 如下式： ; 0.3 0.52 0.144 ; 0.3 0.8 0.70 ; 0.8 aD aD u u aD aD aD u m u u aD aD u u S S F F S S S F F F S S F F ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ _⎪ = ⎨ + ≤ ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ≥ ⎪⎩ (4.3) 因此，最小設計水平總橫力可修正為： 1.4 aD y u _m S I V W F α ⎡ ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ (4.4)

4.3.2 震區短週期與一秒週期水平譜加速度係數(S

SD

,S

1D

)

台灣地區堅實地盤之工址設計與最大水平考量水平譜加速度係數分別根據 50 年 10%與 2%超越機率之均佈危害度分析求得。若要更精細的將近斷層影響區 域劃分出來，必須進行震區微分化。除台北盆地外，震區設計水平譜加速度係數 SSD與 S1D，以及震區最大考量水平譜加速度係數 SSM與 S1M，如表 4.2 所示，分 別代表工址所屬震區在堅實地盤下，設計地震或最大考量地震作用時之短週期與 一秒週期結構阻尼比5%之反應譜加速度與重力加速度 g 之比值。

4.3.3 工址短週期與一秒週期水平譜加速度係數(S

_DS

,S

_D1

)

不同之地表搖晃程度將會改變地盤週期，進而改變短週期與長週期結構之譜 加速度放大倍率。因此，必須考量土壤非線性放大效應，依據地盤種類與震區水 平譜加速度係數，訂定工址放大係數。除台北盆地外，工址短週期與一秒週期設

計水平譜加速度係數 SDS與 SD1，以及工址短週期與一秒週期最大考量水平譜加 速度係數SMS與SM1依下式計算： D M DS a S MS a S D M D1 V 1 M1 V 1 S =F S ; S =F S S =F S ; S =F S (4.5) 其中， Fa為反應譜等加速度段之工址放大係數，隨地盤種類與震區短週期水 平譜加速度係數SS(SSD或SSM)而改變，可由表 4.3 求得； FV為反應譜等速度段之工址放大係數，隨地盤種類與震區一秒週期水 平譜加速度係數S1(S1D或S1M)而改變，可由表 4.4 求得。

4.3.4 工址設計水平譜加速度係數(S

aD

)

一般工址或近斷層區域之工址設計水平譜加速度係數 SaD，隨建築物基本週 期 T、工址短週期與一秒週期之設計水平譜加速度係數 SDS與 SD1而改變；工址 設計水平譜加速度係數SaD，如表4.5 所示；其中，表 4.5 之短週期與中、長週期 之分界T0D滿足： 1 0 D D DS S T S = (4.6) 建築物之基本振動週期T，單位為秒，可由下列經驗公式計算之： 1. 剛構架構造物，無非結構剛性牆、剪力牆或加勁構材者： = 3 / 4 鋼構造建築物：T 0.085h_n (4.7 a) = ： 3 / 4 鋼筋混凝土、鋼骨鋼筋混凝土及鋼造偏心斜撐建築物 T 0.07h_n (4.7 b) 2. 其他建築物

3 / 4 0.05 _n T = h (4.7 c) 其中， hn為基面至屋頂面高度，單位為公尺。 建築物耐震規範靜力分析採用之結構阻尼比均假設為 5%，若結構阻尼比小 於5%時，工址短週期與一秒週期之設計水平譜加速度係數 SDS與SD1可根據動力 分析所提到之短週期與長週期的阻尼修正係數BS與B1修正為 SDS/BS與SD1/B1， 如表4.6(a)及表 4.6(b)所示。

4.3.5 用途係數(I)

用途係數I 依建築物(如重要建築物、儲存危險物品之建築物、供公眾使用之 建築物)之重要程度而定，目的在增加重要建築物之安全性，進而提高其設計地震 力，其它不同建築物之用途係數如表4.7 所示。

4.3.6 起始降伏地震力放大係數(α

y

)

起始降伏地震力放大倍數 αy係計及設計地震力放大 αy倍後，構造開始產生 第一個降伏斷面，其數值與所採用之設計方法有關。依極限設計法，鋼構造或鋼 骨鋼筋混凝土構造之αy可採用1.0，鋼筋混凝土結構之 αy則採用1.5。

4.3.7 結構系統地震力折減係數(F

u

)

結構系統地震力折減係數Fu與結構系統韌性容量R、基本振動週期 T 有關。 R 值與抵抗地震力之各種結構系統有關，如表 4.8 所示。除台北盆地外，一般工 址與近斷層區域之容許韌性容量Ra與韌性容量R 之關係為：

(

1

)

1 1.5 a R R = + − (4.8) 結構韌性的好壞可反映在其承受水平力V 及相應之側向位移 D 之 V-D 曲線

(即容量曲線)中。因此本研究將採用結構推覆分析所得之容量曲線，換算出韌性 容量R 值，如 3.16 式所示，以取代耐震規範所建議之結構系統韌性容量(參見 4.3.8 節)。 結構系統地震力折減係數Fu與容許韌性容量 Ra及基本振動週期 T 之關係式 如下：

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0.6 2 1 2 1 ;0.6 0.4 2 1 ;0.2 0.6 0.2 2 1 2 1 1 0.2 0.2 D a D D D a a a D u _{D D} a D D a a D R T T T T R R R T T T T F R T T T T T R R T T T ⎧ ≥ ⎪ − ⎪ _{− + − − × ≤ ≤} ⎪ ⎪ = ⎨ − ≤ ≤ ⎪ ⎪ ₋ ⎪ _{− + − − × ≤} ⎪⎩ (4.9) 其中，T0D 為設計水平譜加速度係數短週期與中週期的分界點，按式(4.6)所 定義。

4.3.8 耐震需求之修正

由4.3.1 至 4.3.7 節可求出結構之標稱耐震需求。本節乃將規範中的幾個不合 理處作修正，以供本文所提出之耐震詳細評估方法所用，其修正項目與解說如下： 1. 起始降伏地震力放大倍數(αy) 由耐震設計規範之解說【17】可知，αy的定義是建立在強柱弱梁的基礎上， 亦即假設塑鉸會發生在梁端。但真實結構因樓版的加勁作用，使得梁與樓版結合 後的整體勁度大幅提昇，不僅使得梁在地震中的變形曲率(M/EI)變小，以致 RC 梁之主筋無法降伏而未能在梁端形成塑鉸，也使柱端分配的彎矩增加導致塑鉸提 前產生。因此，本研究在計算耐震需求時，最小設計水平總橫力將不除以αy。 2. 結構系統韌性容量(R) 由耐震設計規範之解說【17】可知，韌性容量為 R 之結構，當結構起始降伏

後，直到韌性用磬地表加速度增加之倍數，與建築物的週期及設計反應譜有關。 由於規範只簡略建議幾種結構系統之韌性容量(R)，而與實際結構材料之強度、配 筋與斷面尺寸等無關，因此不確定性很高。非線性靜力分析除方便快捷外，可根 據實際結構材料之強度、配筋與斷面尺寸計算出結構之容量曲線，進一步求得韌 性容量(R)，如 3.16 式所示。因此，以非線性靜力分析所得之 R 值取代規範之建 議值，將更為合理可信。本文所提出之耐震詳細評估方法將採用非線性靜力分析 所得之韌性容量(R)來計算耐震需求。 基於上述之構想，結構耐震需求(D)乃修正如下式： 1.4 aD u _m S I D W F ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (4.10) 經過式(4.10)對結構耐震需求之修正，主要在跳脫對「強柱弱梁」的迷思， 惟並非完全否定韌性設計之原意，在柱的圍束情況良好且混凝土強度充分的前提 下，結構的韌性仍可由柱來提供。

4.4 結構之耐震容量(C)

本文所提出之耐震詳細評估方法考慮之結構系統為剪力屋架，因此結構的抗 震強度與韌性主要係由柱與牆所提供。在此前提下，梁及樓版的強度對耐震行為 並無影響，因此本節將僅介紹柱與牆之耐震容量計算方法。

4.4.1 Response2000 程式簡介

Response2000 乃加拿大多倫多大學所發展的「鋼筋混凝土梁-柱斷面分析程 式」【25】。其操作介面為視窗畫面，且單位系統包含英制與公制系統，使用上對 國內的工程師或研究人員而言仍相當方便。此程式主要的功能為計算鋼筋混凝土 斷面在受到軸力、剪力與彎矩作用下的斷面強度與韌性；此外，亦提供鋼筋混凝 土梁-柱之力學與材料行為的預測，所有分析結果均以圖形化或標準文字化格式輸

出，以利使用者作後續的分析與探討。本文係利用此程式計算柱斷面的強度，以 供使用者合理設定桿件斷面的塑鉸性質或其極限強度。

4.4.2 鋼筋混凝土柱之性能曲線

柱的破壞主要可分為「彎矩破壞」及「剪力破壞」模式。為使結構在破壞機 制形成前，能產生足夠數量的塑性鉸以消散地震能量，在結構設計上，需控制柱 的破壞為彎矩破壞模式，並避免脆性破壞的發生—如短柱效應所造成的剪力破 壞。以下將詳細介紹RC 桿件的破壞行為，以瞭解彎矩破壞及剪力破壞的整個過 程。

4.4.2.1 鋼筋混凝土柱之彎矩破壞行為

在強度分析法中，撓曲構材的分析與設計 所依據之基本假設條件如下 (ACI-10.2)： 1、 構材強度必須能滿足所有應力平衡及應變諧和條件。 2、 鋼筋及混凝土應變係與其中性軸之距離成正比，即桿件在受到載重前後平面 保持平面。 3、 混凝土最外緣受壓面之最大容許壓應變為εcu=0.003。 4、 混凝土之拉力強度(Tensile Strength)可忽略不計。 5、 鋼筋之彈性模數為Es=2.04×106 kgf/cm2(29×106 psi)；且為使設計結果有更大 的安全裕度，鋼筋應力-應變關係需滿足下式： s y s s s s y s y f E f f ε ε ε ε ε < = ≥ = ， ，

在不同載重情況下，桿件斷面彎矩破壞行為如下： 一. 開裂彎矩及曲率 如圖 4.1 所示，桿件在即將開裂的情況下，受拉表面的混凝土應力正好達到 破裂模數 fr。在此階段鋼筋還未降伏，而混凝土的最大壓應力仍遠低於比例限度， 因此可由轉換斷面法計算此階段的中性軸位置，如下式所示：

(

)

(

)

(

)

′ ′ + − + = ⎡ _{+ − + ′} ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 1 2( 1) 2 1 s s s s bh n A d A d c bh n A A (4.11) 2 1 c = h −c (4.12) s c E n E = (4.13) 而轉換斷面的慣性矩如下式所示：

(

)

(

)

(

)

2 3 2 2 1 1 1 1 12 2 ut s s bh h I = + bh ⎛_⎜ −c ⎞_⎟ + n − ⎡A d − c + A′ c − d′ ⎤ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (4.14) 開裂曲率及彎矩分別如下式所示： 2 2 / r r c cr f E c c ε φ = = (4.15) 2 r ut cr f I M c = (4.16) 其中， fr為混凝土之破裂模數，取2 fc′ kgf/cm 2 ；

Ec為混凝土之彈性模數。常重混凝土之單位重 Wc以 2.3 t/m3計時， E_c=15000 f_c′ kgf/cm2。 二. 降伏彎矩及曲率 隨著載重的增加，拉力筋達到降伏階段時，桿件的彎矩及曲率分別稱為降伏 彎矩及降伏曲率。在此情況下，受拉側的混凝土因開裂而產生裂縫，將不承受任 何拉力，其斷面的拉力將由鋼筋所承受，如圖 4.2 所示。而混凝土的最大壓應力 仍低於比例限度，因此仍然可用轉換斷面法計算中性軸的位置，如下式所示：

(

)

2 ₂

(

)

2 d k n n n d ρ ρ ρ′ ⎛ρ ′ ′⎞ ρ ρ′ = + + _⎜ + _⎟ − + ⎝ ⎠ (4.17) 1 c = kd (4.18) 降伏彎矩及曲率分別如下式所示：

(

1

)

y y d k ε φ = − (4.19) 3 3 y s y s s kd kd M = A f ⎛_⎜d − _⎟⎞ + A f′ ′_⎜⎛ − d′⎞_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.20) 在計算降伏彎矩時，需依據下式判斷壓力筋是否降伏，可由下式判斷： 1 1 s y c d d c ε ′ = − ′ ε − (4.21 a) s y fs Es s ε ′ _< ε _， ′ ₌ ε ′ _{(4.21 b)} s y fs fy ε ′ ≥ ε ， ′ = (4.21 c)

三. 極限彎矩及曲率 當桿件處於極限荷載的情況下，拉力筋已進入降伏階段，即fs=fy，而混凝土 的最大壓應變也達到 εcu。此時桿件的彎矩及曲率，分別稱為極限彎矩及極限曲 率。在此情況下，混凝土的壓應力分佈雖為非線性關係，但吾人可以Whitney 等 值矩形應力塊求出混凝土壓應力合力的大小及作用位置，如圖 4.3 所示。在計算 極限彎矩與曲率前，需先判斷桿件在極限荷載下，壓力筋是否已進入降伏階段， 說明如下： A.壓力筋降伏 cy fs fy ρ ≥ ρ ， ′ = (4.22) B.壓力筋未降伏 ρ _< ρ _， ′ ₌ ε ′ _< cy fs Es s fy (4.23) s A bd ρ = (4.24) 1 0.85 c cu cy y cu y f d f d ε ρ β ρ ε ε ′ ⎛ ⎞ ′ _′ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ + − ⎝ ⎠ (4.25) 其中， ρ 為拉力鋼筋比； cy ρ 乃保證桿件破壞時，壓力鋼筋降伏的最小拉力鋼筋比。 若ρ ≥ ρ_cy ，可參考圖 4.4 計算中性軸的位置，如下：