可變結構可靠度控制之研究

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

可變結構可靠度控制之研究

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2213-E-009-124- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立交通大學電機與控制工程學系 計畫主持人： 梁耀文 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 11 月 1 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

5

成 果 報 告

□期中進度報告

可變結構可靠度控制之研究

(Study of Reliable Control via Variable Structure Scheme)

計畫類別：

5

個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號： NSC 92-2213-E-009-124-

執行期間： 92 年 08 月 01 日 至 93 年 07 月 31 日

計畫主持人：

梁耀文 副教授

共同主持人：

計畫參與人員：

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：

5

精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列

管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，

5

一年□二年後可公開查詢

執行單位：

國立交通大學電機與控制工程學系

中 華 民 國 93 年 10 月 30 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

可變結構可靠度控制之研究

(Study of Reliable Control via Variable Structure Scheme)

計畫編號：NSC 92-2213-E-009-124-

執行期限：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日

主持人：梁耀文 國立交通大學電機與控制工程學系副教授

一、中文摘要 本研究利用可變結構控制器理論提出 了一組可靠度控制器，在此控制器下，閉 迴路系統可容忍特定之致動器發生異常現 象。同時，本研究也估測了確保系統穩定 的增益範圍，此範圍比利用LQR 可靠度設 計所得到的結果要來的大。此外，由於本 研究所提出的方法不需要求解 Hamilton- Jacobi 方程式或其近似解，因此可以避開 LQR 和 H∞的 可 靠 度 設 計 中 必 須 求 解 Hamilton- Jacobi 不等式所造成計算上的大 量負擔。 關鍵詞：可靠度控制，可變結構控制，錯 誤偵測與診斷。 Abstract

This research proposes a class of reliable variable structure stabilizing laws, which are shown to be able to tolerate the outage of actuators within a pre-specified subset of actuators. The control gain margins of guaranteeing system stability are also estimated, which can be made larger than those obtained by LQR reliable designs (Veillette, 1995 and Liang et al., 2000) by the choice of control parameters. In addition, this approach doesnot need the solution of Hamilton-Jacobi (HJ) equation or inequality, which are essential for optimal approaches such as LQR and H∞ reliable designs. As a matter of fact, this approach can also relax the computational burden for solving the HJ equation or inequality.

Keywords: Reliable Control, Variable Structure Control (VSC), Fault detection and diagnosis. 二、緣由與目的 1、背景說明及計畫重要性 近年來，由於科技的發達及航太工業 的突飛猛進，提供給人類舒適的生活環境 及快捷之交通便利。各種系統之設備規 模，複雜程度及所投注的資金也因而大幅 提昇。因此，人們對於系統之安全性、可 靠性及有效性的要求也格外殷切。尤其是 航空、太空、核電廠及化工廠等等具有高 危險性的特殊機具，更可能由於系統的不 穩定而導致重大災難。二次大戰期間，美 國運往遠東地區的裝備幾乎有半數未經使 用即告失效，飛機因故障而損失的數量更 是被擊落數量的2.5 倍。有鑒於此，美國國 防部在戰後投注大筆經費進行裝備可靠性 的研究，開啟了錯誤偵測與診斷及可靠度 控制的研究領域。1979 年美國三里島核能 電廠的意外事件、1986 年 1 月美國挑戰者 號及2003 年 2 月哥倫比亞號太空梭的不幸 事件，更說明了此研究主題的重要性，也 因此吸引了許多世界各地學者專家的高度 重視。許多重要的國際學術會議如美國控 制研究討論會(ACC)、IEEE 控制與決策會 議(CDC)及國際控制聯合大會(IFAC)更 將此項研究主題列為重要的討論議題。 2、研究目的 任何一個控制系統均無法免於故障或 異常現象的產生，當這些現象產生時，如

何及時的獲得有用資訊以及採取適當有效 的控制策略，是避免設備損壞及造成不幸 的重要關鍵。而錯誤偵測與診斷的目的就 是希望當系統發生故障或異常現象時能及 時的發出警告訊號，並分離出異常狀況的 原因，來源及嚴重程度，提供給決策機制 採取最合理、最合宜的處置。另外，可靠 度控制(容錯控制)則是希望能提供給系統 適當可靠的控制決策，使系統能避免不穩 定現象及維持良好的性能表現。因此。本 計劃之研究目的是希望能研發新一代的可 靠度控制技術使系統具有容錯能力及高可 靠性。同時，經由研發過程培養相關之研 究人才。相信藉由研究成果與技術的累積 能對國內學術發展及工業應用有所助益。 三、結果與討論 可靠度控制(Reliable Control)依其處 理 方 式 可 分 為 主 動 式 (Active) 及 被 動 式 (Passive)兩種。主動式可靠度控制是透過 設計錯誤偵測與診斷機制，隨系統當時的 狀況組織控制法則。其優點為能充分發揮 系統在各種狀態下之性能表現，而缺點則 是必須增加監測器使成本提升及提高系統 之複雜度，同時必須考慮監測器之可靠度 問題及診斷機制可能產生誤報及漏報的情 況，不適用於當異常現象發生時容許反應 時間極短之系統。另一方面，被動式可靠 度控制則是設計固定之控制器使其能容忍 特定異常現象之發生，其優點為不需額外 花費時間及成本作錯誤偵測、診斷及控制 器重組之工作，對於當異常現象發生時容 許反應時間極短之系統特別重要，然而其 缺點則是必須犧牲系統在正常狀況下之部 分性能表現。在本計畫中，我們除了研究 被動式可靠度控制外，也研究了錯誤診斷 機制達成主動式可靠度控制之目標。 目前文獻上處理非線性可靠度控制問 題的方法有兩種：其一是利用 LQR，其二 是利用H∞方法。由於這兩種方法都是利用 最佳控制的處理手法，因此無可避免的必 須要面臨處理 Hamilton-Jacobi 方程式或不 等 式 的 棘 手 問 題 。 如 眾 所 週 知 ， 求 解 Hamilton-Jacobi 方程式非常不容易，因此， 有些文獻嘗試利用數值方法對動態系統進 行泰勒展開式來求取近似的數值解。然 而，由於此種作法必須求解複雜的遞迴方 程式，因此即使在針對一般的系統求解低 階控制律時就可能造成嚴重的計算負擔， 因而形成控制律實現(implement)上的困 難。 由於上述傳統非線性可靠度控制方法 的缺點，在本研究計劃裡，我們利用了可 變結構控制理論來研究系統可靠度控制的 議題。採用可變結構理論的原因在於此方 法具有反應速度快及對系統之不確定性和 外界干擾具有極佳的抑制性能。目前已有 大量文獻利用此方法來處理各式各樣的控 制問題。然而，到目前為止，仍然少有文 獻利用此方法來探討可靠度控制的議題。 此外，由於可變結構處理方法不必求解 Hamilton-Jacobi 方程式或不等式的解，因 此可節省大量的計算負擔，增加控制律實 現的可行性。 在此研究計畫中，我們把控制輸入分 成兩組，其中一組是不允許完全失效的， 另外一組則可允許故障。然後將動態系統 轉化成可變結構之標準型式，找出可穩定 的條件。針對可靠度控制律設計之部分， 我們首先設計系統在最壞的情況(容許發 生 故 障 的 致 動 器 皆 失 效 ) 下 的 穩 定 控 制 律。然後，設計前項之外之致動器控制法 則，此部分控制律的設計是用以提升系統 之整體性能表現。在整體可靠度控制律設 計完成後，我們估計能確保系統穩定之致 動器的增益範圍(gain margin)。除了被動式 可靠度控制律外，我們也結合了致動器之 錯誤偵測與診斷機制來研究主動式可靠度 控制律之設計議題，並比較系統在被動式 與主動式可靠度控制下之性能表現。此 外，也把本計劃設計結果應用於實際之物 理系統如衛星系統之可靠度控制，並將所 得結果與已有之結果(如LQR)進行比較。 本計劃採用可變結構控制的方法，考 慮如下之系統

x

&

=

f

(

x

)

+

G

(

x

)

u

+

d

,

(1) 其中 x 為狀態變數，u 為控制輸入，d 代表系統模式不確定性及外界干擾，f 及 G 分別為平滑之向量場及矩陣函數。一般而 言，可變結構控制律的設計包含底下兩個 步驟:

1. 選 擇 適 當 的 順 滑 曲 面 (sliding surface)，使簡化系統(reduced system)在順 滑 曲 面 上 能 達 到 我 們 預 期 的 表 現 ( 如 穩 定、軌跡追蹤)。 2.設計控制律使系統狀態能在有限時 間內到達順滑曲面且留在曲面上，然後滑 近所希望的操作點。 上述之控制律通常都包含兩部份 eq re

_u

u

u

=

+

(2) 其中

u

re要能克服模式不確定(model uncer- tainty)及外界干擾(external disturbance)之 影響，並使系統狀態滿足 , s s sT&≤−η⋅ (3) s=0 為順滑曲面，η 為選定的正常數，此常 數決定系統狀態到達順滑曲面的速率。(3) 式表示系統狀態能在有限時間內到達順滑 曲面。另外，設計_ueq_{的目的是希望能達成} 使順滑曲面擁有不變(invariant)的特性，也 就是使s=0且s&=0。 將系統(1)經座標轉換轉變如下： , ) , ( G ) , ( f_{1 1 2 Ω 1 2 Ω} 1 x x 1 x x u x&= + (4) 和 x&₂ =f₂(x₁,x₂)+G_Ω2(x₁,x₂)u_Ω +GΩ'(x1,x2)uΩ' (5) 其中，x₁∈Rn1，x₂∈Rn2且x=(x₁T,xT₂)T代 表系統狀態，u_Ω∈Rm1，u_Ω'∈Rn2為控制 輸 入 ，

( )

⋅ T 代 表 矩 陣 或 向 量 的 轉 置 ， n1 1(,) f ⋅⋅ ∈R ，f₂(⋅,⋅)∈Rn2，G_Ω1(⋅,⋅)∈Rn1×m1， m1 n2 Ω2(,) × ∈ ⋅ ⋅ R G ，和G_Ω'(⋅,⋅)∈Rn2×n2都是平 滑函數。假設f₁(0,0)=0和f₂(0,0)=0。在 此，我們已將控制區分為兩個分開的部分： Ω和Ω'。在Ω'集合中之致動器的故障必須 被容忍。如果所有在Ω集合中的致動器壞 掉，系統(4)-(5)將變成如下形式： ) , ( f_{1 1 2} 1 x x x&= (6) 和 x&2 =f₁(x₁,x₂)+G_Ω'(x₁,x₂)u_Ω' (7) 在實際的應用中，在Ω'集合中的致動器數 目，可以被選為儘可小使得系統(6)-(7)的原 點漸進穩定。此外，我們假設系統(6)-(7) 為正規的形式(regular form)，也就是說， ) , ( _{1 2} Ω' x x G 是一個非奇異矩陣，這對於等效 控制的存在性是必須的。藉著適當的座標 轉換，矩陣G_Ω'(x₁,x₂)可以被進一步假設為 對角形式如下： 假設1：系統(6)-(7)的原點是局部漸進 可穩定且G_Ω'(x₁,x₂)是一個非奇異對角矩 陣。 我們應用可變結構控制來設計可靠穩 定的控制器。首先，我們設計u ，然後再_Ω' 設計u 用來改進降階系統的穩定度。_Ω u_Ω' 及u 的設計如下： _Ω 為了建構一個適當的順滑平面，我們 應用 Backstepping的設計理念[3]做以下假 設： 假設2：假設存在一個函數x₂ =φ(x₁) 使得降階系統x&₁ =f₁(x₁,φ(x₁))有一個漸進 穩定的平衡點在原點x₁ =0。 依據假設2，選擇順滑平面如下： 0 x x s= ₂ −φ( ₁)= (8) 依據可變結構設計步驟[6]，我們設計u 如_Ω' 下： re Ω' eq Ω' Ω' u u u = + (9) = eq Ω' u       ∂ ∂ ⋅ − _{( , ) f ( , )-f ( , )} 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 Ω' x x x x x x x φ G (10) sgn(s) Λ ) , ( _{1 2 Ω'} 1 Ω' re Ω' =− − x x ⋅ ⋅ u G (11) 其中， Λ_Ω' =diag(η1,Λ ,ηn2)T ，ηi >0對 於 i=1,Λ ,n₂ ， sgn(⋅) 代 表 sign 函 數 ， T )) sgn( , ), (sgn( : ) sgn(s = s₁ Λ s_n2 。我們可以得 到以下結論： 定理 1：如果假設1-2成立，則系統 (6)-(7)的原點在(9)-(10)的控制下是局部漸 近穩定。 除了上述討論的u 之外，我們也討論_Ω' 了在u 可以獲得的情形。控制方程式如_Ω (4)-(5)，從(4)-(5)、(8)和(9)-(11)，我們可以 得到： Ω 2 1 Ω 1 2 1 Ω2( , ) 1(x ,x ) u x x x s _      ∂ ∂ − = G φ G &

sgn(s) Λ_Ω'⋅ − (13) 可以很清楚地看出，要使sTs比u_Ω =0的情 形更負且保持順滑平面是一個不變樣式， 其中一種u 的選擇是： _Ω re Ω' eq Ω' Ω' u u u = + (14) )) , ( ( _{1 2} eq Ω' x x u ∈N Γ (15) 且 re Λ_Ω sgn( ( ₁, ₂)s) Ω' x x u =− ⋅ ΓT (16) 在上式中： ) , ( ) , ( : ) , ( _{Ω 1 2} 1 2 1 Ω 2 1 2 1 x x x x x x x G φ G ∂ ∂ − = Γ (17) T ) , , ( : Λ_Ω = μ₁ Κ μ_m1 (18) 且 μi ≥0對於所有i=1,Λ ,m1。N(⋅)代表 矩陣的子空間。這意指當u 可獲得時，系_Ω 統狀態會比u 無法獲得時更快速地移向_Ω 順滑平面，降階系統將變為： eq φ φ( )) G ₁( , ( )) _Ω , ( f_{1 1 1 Ω 1 1} 1 x x x x u x&= + (19) 這導致了下面的結果： 定理 2：如果假設1-2成立，在(9)-(10) 和(14)-(16)的控制下，如果 eq Ω u 可以選定滿 足條件(15)，則系統(6)-(7)的原點是局部漸 近穩定，且保守降階系統(19)的原點是漸近 穩定。 在此研究中，我們也做了控制增益範 圍的估測。考慮致動器不能運作的情形或 在增益大小有改變的情形，包括有：退化 (degradation)，放大(amplification)與部分損 壞 (partial outage) 。 n2×n2 Ω Ω'u '∈R N 和 m1 m1× Ω Ωu ∈R N 非負對角控制增益矩陣分 別對應到控制輸入u 和_Ω' u 。有效的控制_Ω 變為：       + + =       Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω re eq re ' eq ' N N N N N N u u u u u u _{' ' '} ' ₍₂₀₎ 其 中u 和_Ω' u 是如同在前面所設計的。_Ω ' N_Ω'u_Ω 和N_Ωu_Ω是致動器在實際應用時的 的實際輸出，則系統變成下列形式：

[

1

]

2 1 Ω 2 1 1 1 f (x ,x ) 1(x ,x ) u u d x&= +G N_{Ω Ω}re_' + _Ωeq + (21)

[

1

]

2 1 Ω 2 1 2 2 f (x ,x ) 2(x ,x ) u u d x& = +G N_{Ω Ω}re+ _Ωeq+ +G_Ω'(x₁,x₂)

[

N_Ωu_Ωre_' +u_Ωeq+d₂

]

(22) 其中，d1 =

[

N_Ω −I

]

ueqΩ和d2 =

[

NΩ'−I

]

ueqΩ' 當作為輸入干擾。由順滑平面的定義(8)， 系統(21)-(22)有(9)-(11)、(14)-(16)的控制， 和G_Ω'(x₁,x₂)是一個對角矩陣，我們可以得 到： = s sT&



















−

∂

∂

Ω

-

)

(

,

)

(

,

)

(

_{1 1 2 2 1 2} 1 '

f

x

x

f

x

x

x

s

T

N

I

φ

]

sgn(s) Λ_Ω' ' ⋅ −N_Ω + T s Γ(x₁,x₂)N_Ω⋅

[

u_Ωeq −Λ_Ω⋅sgn(ΓT(x₁,x₂)s)

]

(23) 類似穩健控制的推導[6]，再加以定義

( )

⋅ _i，

( )

⋅ ii為向量和矩陣的第 i 個分量和第(i,i)個 分量，我們可以得到維持系統穩定性控制 增益範圍之以下結果： 定理 3：如果假設1-2成立，如果 i φ I N _            − ∂ ∂ Ω - ) ( , ) ( , ) ( _{1 1 2 2 1 2} 1 ' f x x f x x x ii '- ) (N_Ω I < 對於i=1,Κ,n₂ (21) 且

( )

u_Ωeq _i ≤

(

( )

Λ_{Ω ii}

)

對於i=1,Κ,m₁ (22) ，在(20)的有效控制下，則系統(4)-(5)的原 點是局部漸近穩定。 當N I 2 1 ' ≥ Ω 時，我們得到

(

NΩ −I

)

ii ≤

(

( )

NΩ' ii

)

(23) 因為N_Ω'−I 是一個對角矩陣，條件(21) 可以被簡化為： 引理 1：如果假設1-2成立，，如果(22) 成立，在(20)的有效控制下，N I 2 1 ' ≥ Ω 且

( )

ii i φ ' 2 1 2 2 1 1 1 ) , ( ) , ( _ < Λ_Ω      − ∂ ∂ x x f x x f x 對於i=1,Κ,n₂ (24) ，則系統(4)-(5)的原點是局部漸近穩定。 從引理1我們知道N_Ω'和N_Ω相對於致 動器Ω'和Ω的可接受的控制增益範圍，可 以最少從1/2到∞，和如果選擇Λ_Ω和ΛΩ'滿 足(23)和(24)時的 0 到∞。如果Λ_Ω'被選定 滿足條件(21)，對於N_Ω'的更大區域可以被 允許。所以，可接受的控制增益範圍可以 變成比[6]和[14]中的來得大。然而增益範 圍的變大則會增加順滑模式的chattering現

象。 最後，我們做了以下的數值模擬，考 慮一個取材自[4]，形式如(1)之控制系統， 其中：             =             + + − + − − = 0 1 0 0 1 0 , ) ( f 3 1 4 3 4 2 4 3 4 3 2 3 1 y y G y y y y y y y y y ) y ( y (25) ) ( 1 y g 和g₂(y)代表G(y)第一行和第二行 。在[6]中指出

(

f, g₂

)

不是一個可穩定對， 因為不管什麼控制被應用，它都擁有不穩 定的特徵值λ=1，然而

(

f,g₁

)

則是漸進可 穩 定 。 因 此 ， 在 這 裡 我 們 考 慮Ω'=u₁和 2 u = Ω 。 經 過 座 標 轉 換 x=T(y) =_{(y ,y y y ,y ,y )}T 4 3 4 1 2 1 − 和定義 T T T_{, )} (x₁ x₂ x= 其中x₁=(x₁,x₂,x₃)T，會使得系統(4)-(5)有 下 列 情 形 ：f1(x1,x2) =

(

−x13,x13x4−2x1x4

)

T x x x x x x x x 2 ₃ 4 2 4 3 1 4 3 − − , − + ，f2(x1,x2)= 4 3 4 x x x + ， _Ω ( ₁, ₂)= 1 x x G _{(1, x ,x )}T 3 4 − ， 0 ) , ( _{1 2} 2 = Ω x x G 且GΩ'(x1,x2)=1。函數x2 = 0 ) (x1 = φ 滿足了假設 2 的需求，而對於降 階系統x&1=f(x1,0)的Lyapunov函數則被找 到為： ( ) ( 2)/2 3 2 2 2 1 x x x x V = + + ，依照(8)， 順滑平面被選為：s = x4 = 0，而(9)-(11)給 定的可變結構法則，則有以下形式：u1 = -x4 ) sgn( ₄ 4 3x η x x − − 。在此例中，一個直覺的 2 u 可能項為u₂ =−x₁−x₃2，因此整個系統的 控制以原始的變數y來設計則為：       + ⋅ + + = ₂ 3 1 4 4 3 4 sgn( ) y y y y y y η u (26) 在這種控制下， y 的動態缺少線性項，因₁ 此即使當u 正常時，₂ y 越小則₁ y 收斂會越₁ 慢。 圖一至圖三是針對N₂ =0, 1 和 2的數 值模擬的結果，這三種情況對應為：第二個 致動器輸出情況為壞掉、正常和被放大。起 始的狀態選定為：x₀ =(0.1,1.2,0.7,0.9)T。 對於η=0.7和η=2.2從 s 觀察到的第一次 到達時間大約是treach ≈ 1.2和0這表示η越 大 treach越短。這個例子驗證了利用可靠度 的可變結構設計可以被調整到盡可能的大 來增加響應。 圖一：NΩ=1時, 狀態,滑動向量,控制輸入 等之模數(norm) 圖二：NΩ=2時, 狀態,滑動向量,控制輸入 等之模數(norm) 圖三：NΩ=3時, 狀態,滑動向量,控制輸入 等之模數(norm) 四、計畫成果自評 本計畫的主要目的在於研究可變結構

可靠度控制律之設計，並探討其可能之應 用，在本計畫中，我們除了估測被動式可 靠度控制能確保系統穩定的致動器增益範 圍外，也結合錯誤偵測與診斷結果探討主 動式可靠度控制律之設計，進一步將所得 的結果與傳統LQR的可靠度設計作比較。 由所得的結果顯示本計畫所提出之設計較 之LQR可靠度控制方法更有效率。特別是 本 計 畫 之 控 制 律 設 計 能 避 開 求 解 Hamilton-Jacobi 方程式或不等式，因此能 節省傳統利用最佳化方法設計可靠度控制 所需付出之龐大計算成本。就我們目前已 整 理 投 稿 至 IEEE Transactions on Automatic Control 之審查意見中，我們很 高興其中有兩位審查委員給予高度的評 價。其中一位委員提到此方法具有潛在應 用價值(have potential for applications)，另外 一位委員則肯定本計畫提出之方法具有實 際的重要性 (of practical importance)。就計 畫而言，我們已經達到了預期的成果。這 些研究成果有些已經發表於國內研討會， 有些即將整理完成投稿於國際期刊。截至 目前為止，此計畫的研究成果與投稿情形 如下： 1. 國際知名期刊2篇 (IEEE Transactions on Automatic Control,第一次審稿完畢, 已收到回覆,目前正在修訂中) (IEEE

Transactions on Control and Systems Technology, 目前正在整理中).

2. 國際研討會 1 篇 (American Control Conference, Oregon, USA, 2005, 稿件

已整理投出, 目前正在審稿中).

3. 國內控制研討會1篇 (中華民國自動控

制研討會, 彰化, Mar. 26-27, 2004, 已 發表).

五、參考文獻

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C.-C.Cheng, “Applying Variable Struc- ture Schemes to Reliable Control of Nonlinear Systems,”中華民國自動控制 研討會, Changhua, Taiwan, March 26- 27, 2004. [10] 吳秉儒, 應用可變結構法於輸入具有 非線性限制之飛彈系統的容錯控制研 究, 國立交通大學, 碩士論文, 2003. [11] 朱自強, 修正型可變結構設計與其應 用在非線性可靠度控制之研究, 國立 交通大學, 碩士論文, 2003.

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