第七章 因式分解

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7.1 Яё̶ྋ

在算術裡學習分數的時候,常常要進行約分與通分,因此, 常要把一個數分解因數(即分解約數)。例如,把 33 分解成 3 11× , 把 42 分解成 2 3 7× × 。 在代數裡學習分式的時候,也常要進行約分與通分,因此, 也常要把一個多項式化成幾個整式的積。 把一個多項式化成幾個整式的積之形式,叫做因式分解,也 可以叫做分解因式。 因式分解與乘法正好相反。例如,從(a b a b+ )( − 求得) a2 −b2 是我們學過的乘法,反過來,從 2 2 a − 求得 (b a b a b+ )( − 就是因) 式分解。因此,我們可以從整式乘法得出因式分解的某些方法。 下面學習幾種常用的因式分解之方法。

7.2 ೩̳Яёڱ

我們先看一個例子:怎樣把多項式 am bm cm+ − 分解因式。 由單項式與多項式相乘的法則,我們有 ( ) m a + −b c = ma +mbmc, 反過來,就可以得到 ( ) ma +mbmc = m a + − , b c 這就說,多項式 ma mb mc+ − 可以分解成因式 m 與因式 a b c+ − 的積。 在等式ma+mbmc = m a( + − 中: b c) 左邊是要分解因式的多項式 ma+mbmc,它的各項含有相 同之因式 m。一個多項式每一項都含有的相同之因式,叫做這個 多項式各項的公因式。m 是多項式 ma mb mc+ − 各項的公因式。

(3)

右邊是分解後的式子 (m a b c+ − ,可以看出它是因式 m 與因) 式 a b c+ − 的積,其中 m 是 ma mb mc+ − 中 各 項 的 公 因 式 , a b c+ − 則等於用 m 去除 ma mb mc+ − 所得的商式。 從上面的例子可以看出:如果一個多項式的各項含有公因 式,就可以提出這個公因式作為多項式的一個因式;用這個因式 去除這個多項式,所得的商式就是另一個因式;再把多項式寫成 這兩個因式的積。這種分解因式的分法叫做提公因式法。 【ּ 1】 把 3 2 3 4a b −6ab c分解因式。

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ྋ !! 3 2 3 2 2 2 4a b −6ab c = 2ab i2a −2ab i3bc。 = 2ab a2( 2 −3bc) 從例 1 可以看出,所提出的公因式是各項係數的最大公因數 與各項都含有的字母之最低次冪的積。 【ּ 2】 把 2 3x −6xy + 分解因式。 x

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ྋ !! 2 3x −6xy + =x x i3xx i6y+ x i 。 1 (3 6 1) x x y = − + 注意:在例 2 中,x = i ,這個係數「1」通常可以省略,但在x 1 因式分解時不能漏掉。 【ּ 3】 把 3 2 4m 16m 6m − + − 分解因式。

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ྋ !! 3 2 3 2 4m 16m 6m (4m 16m 6 )m − + − = − − + 。 = −(2m i2m2 −2m i8m+2mi3) = −2 (2m m2 −8m+ 3) 如果多項式的第一項係數是負數,一般要提出「-」號,使 括號內的第一項係數是正數。在提出「-」號時,多項式的各項 都要變號。

(4)

ቚ ௫!

1. (口答) 下面由左邊到右邊的變形,哪些是因式分解?哪些不 是?為什麼? (1) (x+2)(x − =3) x2 − − ; (2) x 6 x2 − =4 (x+2)(x− ; 2) (3) x2 − +4 3x =(x+2)(x− +2) 3x。 2. (口答) 如果用提公因式法把下列多項式分解因式,應該分別 提出怎樣的公因式? (1) ax+ay ; (2) 3mx−6nx ; (3) 4a2 +10ab; (4) 15a2 +5a ; (5) x y2 + xy2; (6) 12xyz−9x y2 2。 3. 把下列各式分解因式: (1) nxny(2) 2 a +ab; (3) 4x3 −6x2; (4) 8m n2 +2mn; (5) 3a y2 −3ay+6y; (6) a b2 +5ab b− ; (7) − +x2 xyxz ; (8) −24x y2 −12xy2 +28y3; (9) −3ma2 −6ma2 +12ma; (10)56x yz3 +14x y z2 2 −21xy z2 2 【ּ 4】 把 2 (a b c+ −) 3(b c+ 分解因式。 ) 分析: 把這個多項式看成一個二項式,第一項是 2 (a b c+ ,第) 二項是 3(− b c+ ,這兩項含有公因式 b c) + ,所以可以用 提公因式法分解因式。

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ྋ !! 2 (a b c+ −) 3(b c+ = +) (b c)(2a− 。 3) 【ּ 5】 把 6(x− +2) x(2− 分解因式。 x) 分析: 把這個多項式看成一個二項式,因為 2− = − − ,所x (x 2) 以各項含有公因式x− ,可以用提公因式法分解因式。 2

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ྋ !! 6(x− +2) x(2− x) = 6(x− −2) x x( − 2) (x 2)(6 x) = − −

(5)

【ּ 6】 把 3 2 5(xy) +10(yx) 分解因式。 分析: 這一個多項式仍可以被看做一個二項式,因為 2 (yx) = 2 2 [ (− −x y)] =(xy) ,所以各項含有公因式(xy)2 ,可 以用提公因式法分解因式。

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ྋ !! 3 2 3 2 5(xy) +10(yx) =5(xy) +10(xy) 2 2 2 2 5( ) ( ) 5( ) 2 5( ) [( ) 2] 5( ) ( 2) x y x y x y x y x y x y x y = − − + − = − − + = − − + i i 【ּ 7】 把 2 3 18 (b a b− ) −12(a b− ) 分解因式。

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ྋ !! 2 3 2 18 (b a b− ) −12(a b− ) =6(a b− ) [3b−2(a b− )] 2 2 6( ) (3 2 2 ) 6( ) (5 2 ) a b b a b a b b a = − − + = − −

ቚ ௫!

1. 在下列各式右邊的括號前填入適當的符號(正號或負號),使 左邊與右邊相等: (1) y − =x (x− ; (2) y) b a− = (a b− ; ) (3) d + =c (c+d); (4) − − =z y (y+ ; z) (5) (b a− )2 = (a b− )2; (6) − +x2 y2 = (x2 − y2); (7) (xy)3 = (yx)3; (8) (1−x x)( −2) = (x−1)(x− 。 2) 2. 把下列各式分解因式: (1) a x( + y)+b x( + y); (2) 6(p+q)2 −2(p+q); (3) 2(xy)2 −x x( − y) ; (4) (m a b− −) n b a( − ; ) (5) 3(yx)2 +2(xy); (6) m m n( − )2 −n n m( − )2; (7) mn m n( − −) m n m( − )2; (8) 2 (x x+ y)2 − +(x y)3 。

(6)

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! 1. 把下列各式分解因式: (1) cx cy− +cz; (2) pxqx rx− ; (3) 15a3 −10a2; (4) 12abc−2bc2; (5) 4x y2 −xy2; (6) 63pq+14pq2; (7) 24a m3 −18a m2 2; (8) x ynx zn 。 2. 在下列各式右邊的括號內填入適當的多項式,使左邊與右邊 相等: (1) 14abx−8ab x2 +2ax = 2ax( ) ; (2) 7− ab−14abx+49aby = −7ab( )。 3. 把下列各式分解因式: (1) 15x y3 2 +5x y2 −20x y2 3; (2) 6m n2 −15mn2 +30m n2 2; (3) −16x4 −32x3 +56x2 ; (4) −4a b3 2 −6a b2 −2ab。 4. 把下列各式分解因式: (1) x a b( + −) y a b( + ; ) (2) 5 (x xy) 2 (+ y x− ; y) (3) 6 (q p+ −q) 4 (p p+ ; q) (4) (m+n p)( + −q) (m+n p)( − ; q) (5) a a b( − + −) (a b)2; (6) x x( − y)2 − y x( − y); (7) (2a b+ )(2a−3 ) 3 (2ba a b+ ; ) (8) x x( + y x)( − y)−x x( + y)2。 5. 把下列各式分解因式: (1) p x( − y)−q y( − ; x) (2) m a( −m) 2(3+ − ; a)

(7)

(3) (a b a b+ )( − − + ; ) (b a) (4) (a x a− +) b a( − −x) c x a( − ; ) (5) 10 (a xy)2 −5 (b y− ; x) (6) x x( − y)2 − y y( − ; x) (7) 3(x−1)3 y− −(1 x z)3 ; (8) (x ax a)( − y)− y x a y( − )( − 。 a) 6. 利用因式分解計算: (1) 21 3.14 62 3.14 17 3.14× + × + × ; (2) 2.186 1.237 1.237 1.186× − × 。 7. 已知公式V = IR1 + IR2 + IR3,當I = 2.5、R1 =19.7、R2 =32.4、 3 35.9 R = 時,利用因式分解求 V 的值。

7.3 ྻϡ̳ёڱ

根據因式分解的意義,可以看出,如果把乘法公式反過來, 就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運 用公式法。 1. 平方差公式 我們知道 2 2 (a b a b+ )( − =) ab 反過來,就得到 − − 2 2 ( + )( ) a b = a b a b 這就是說,兩個數的平方差,等於這兩個數的和與這兩個數 的差之積。這個公式叫做平方差公式。運用這個公式,可以把形 式是平方差的多項式分解因式。

(8)

例如,把多項式x2 − 與16 9m2 −4n2分解因式。這兩個多項式 都不能利用提公因式法來進行分解,但我們可以看到 2 16 = 4 、 2 2 9m =(3 )m 、4n2 =(2 )n 2 ,所以知x2 −16 = x2 − 、42 9m2 −4n2 = 2 2 (3 )m −(2 )n ,都是形式為平方差的多項式,可運用公式a2 −b2 = (a b a b+ )( − 來分解因式,即 ) 【ּ 1】把下列各式分解因式: (1) 2 1 25− b ; (2) x y2 2 − ; z2 (3) 4 2 0.01 2 9mn

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ྋ !! (1) 1 25− b2 = −1 (5 )b 2 = +(1 5 )(1 5 )bb ; (2) x y2 2 − z2 = (xy)2 −z2 =(xy+ z xy)( − ; z) (3) 2 2 2 2 4 2 0.01 (0.1 ) 9m n 3m n ⎛ ⎞ − = − ⎝ ⎠ 2 2 0.1 0.1 3m n 3m n ⎛ ⎞⎛ ⎞ = + ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 【ּ 2】 把下列各式分解因式: (1) 2 2 (x+ p) − +(x q) ; (2) 16(a b− )2 −9(a b+ )2。 分析: 2 2 (x+ p) − +(x q) 是 x+ 與 x qp + 的平方差;另一個式子 2 2 2 2 16(a b− ) −9(a b+ ) =[4(a b− )] −[3(a b+ )] ,可發現它 2 2 2 2 2 16 4 ( 4)( 4) ( )( ) x x x x a b a b a b − = − = + − − = + − 2 2 2 2 2 2 9 4 (3 ) (2 ) (3 2 )(3 2 ) ( )( ) m n m n m n m n a b a b a b − = − = + − − = + −

(9)

是 4(a b− 與 3() a b+ 的平方差,所以它們都可以運用平) 分差公式分解因式。

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ྋ !! (1) (x+ p)2 − +(x q)2 =[(x+ p) (+ +x q)][(x+ p) (− +x q)] =(2x+ +p q p)( − q) (2) 16(a b− )2 −9(a b+ )2 2 2 [4( )] [3( )] [4( ) 3( )][4( ) 3( )] (7 )( 7 ) a b a b a b a b a b a b a b a b = − − + = − + + − − + = − − 【ּ 3】把下列各式分解因式: (1) 5 3 x − ; x (2) x4 − 。 y4

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ྋ !! (1) x5 −x3 = x x3( 2 − =1) x x3( +1)(x− ; 1) (2) x4 − y4 =(x2 2) −(y2 2) 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( )( ) x y x y x y x y x y = + − = + + − 注意:(1) 如果多項式的各項含有公因式,就先提出這個公因式, 再進一步分解因式; (2) 分解因式,必須進行到每一個因式都不能再分解為止。

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1. 在下列各式右邊的括號內填入適當的單項式(係數取正數), 使左邊與右邊相等: (1) 4x2 =( )2 ; (2) 25m2 = ( )2; (3) 36a4 = ( )2; (4) 0.09b2 =( )2; (5) 81n6 = ( )2; (6) 16 2 ( )2 49c = ; (7) 64x y2 2 =( )2; (8) 100p q4 2 = ( )2。 2. (口答) 把下列各式分解因式: (1) x2 − ; 4 (2) 9− y2; (3) 1 a− ; 2 (4) 4x2 − y2 。

(10)

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3. 把下列各式分解因式: (1) 2 1 2 9 ax ; (2) 36 m− 2; (3) 4x2 −9y2; (4) 0.81a2 −16b2; (5) 36n2 − ; 1 (6) 25p2 −49q2。 4. 下列各項 式可不可 以用平方 差公式來分解因式?如果可 以,應分解成什麼式子?如果不可以,說明為什麼。 (1) x2 + y2 ; (2) x2 − ; y2 (3) − +x2 y2; (4) − − 。 x2 y2 5. 把下列各式分解因式: (1) 4a2 − +(b c)2; (2) (3m+2 )n 2 −(m n− )2 ; (3) 2ab3 −2ab; (4) x3 −16x; (5) 1 a− ; (6) 4 − + 。 x4 16 2. 完全平方公式 我們知道 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 a b a ab b a b a ab b + = + + − = − + 反過來,就得到 + + − + − 2 2 2 2 2 2 2 ( + ) 2 ( ) a ab b = a b a ab b = a b 這就是說,兩個數的平方和,加上(或者減去)這兩個數的積 之 2 倍,等於這兩個數的和(或者差)之平方,因此,我們把 2 2 a + ab 2 b + 及 2 2 2 aab b+ 這樣的式子叫做完全平方式,把上面方框中兩 個公式叫做完全平方公式。運用這兩個公式,可以把形式是完全 平方式的多項式分解因式。

(11)

例如,把多項式x2 +6x+ 及9 4x2 −20x+25分解因式。多項 式 2 6 9 x + x+ 有三項,第一項是 x 的平方,第三項 9 是 3 的平方, 第二項 6x 正好是 x 與 3 的積之 2 倍,所以 2 6 9 x + x+ 是一個完全 平方式,可以運用完全平方公式 2 2 2 2 ( ) a + ab b+ = a b+ 把它分解 因式,即 類似地,多項式 2 4x −20x+25也共有三項,第一項 2 4x 是 2x 的平 方,第三項 25 是 5 的平方,第二項 20x正好是 2x 與 5 的積之 2 倍的相反數,所以 2 4x −20x+25是一個完全平方式,可以運用完 全平方公式 2 2 2 2 ( ) aab b+ = a b− 把它分解因式,即 【ּ 4】 把 4 2 25x +10x + 分解因式。 1

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ྋ !! 4 2 2 2 2 2 2 2 25x +10x + =1 (5x ) +2 5i x i1 1+ = (5x +1) 。 【ּ 5】 把 2 2 4 4 x y xy − − + 分解因式。

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ྋ !! 2 2 2 2 4 4 ( 4 4 ) x y xy x y xy − − + = − + − 2 2 2 2 2 ( 4 4 ) [ 2 2 (2 ) ] ( 2 ) x xy y x xy y x y = − − + = − − + = − − i 【ּ 6】 把 2 2 3ax +6axy+3ay 分解因式。

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ྋ !! 2 2 2 2 2 3ax +6axy+3ay =3 (a x +2xy+ y ) =3 (a x+ y) 。 2 2 2 2 2 2 2 6 9 2 3 3 ( 3) 2 ( ) x x x x x a a b b a b + + = + + = + + + = + i i i i 2 2 2 2 2 2 2 4 20 25 (2 ) 2 2 5 5 (2 5) 2 ( ) x x x x x a a b b a b − + = − + = − − + = − i i i i

(12)

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1. 把下列各式分解因式: (1) x2 +2x+ ; (2) 1 4a2 +4a+ ; 1 (3) 1 6− y +9y2; (4) 2 1 4 m m + + 。 2. 下列多項式是不是完全平方式?如果是,可以分解成什麼式 子?如果不是,說明為什麼。 (1) x2 −4x+ ; (2) 4 1 16a+ 2; (3) 4x2 +4x− ; 1 (4) x2 + xy + y2。 3. 把下列各式分解因式: (1) x2 −12xy+36y2; (2) 25p2 +10pq+ ; q2 (3) 2 2 2 9 3 m mn n + + ; (4) a2 −14ab+49b2; (5) 16a4 +24a b2 2 +9b4; (6) (x+ y)2 −10(x+ y)+25; (7) −2xyx2 − ; y2 (8) ax2 +2a x2 + 。 a3 3. 立方和與立方差公式 我們知道 2 2 3 3 2 2 3 3 ( )( ) ( )( ) a b a ab b a b a b a ab b a b + − + = + − + + = − 反過來,就得到 + − − − 3 3 2 2 3 3 2 2 ( + )( + ) ( )( + + ) a b = a b a ab b a b = a b a ab b 這就是說,兩個數的立方和(或者差),等於這兩個數的和(或 者差)乘以它們的平方和與它們的積之差(或者和)。這兩個公式分 別叫做立方和公式與立方差公式。運用這兩個公式,可以把形式 是立方和或立方差的多項式分解因式。

(13)

注意:公式中的因式 2 2 aab b+ 與a2 +ab b+ 都是非完全平方式。 2 例如,把多項式x3 + 及8 27 8a− 3分解因式。因為8= 23 ,所 以 3 8 x + 是形式為立方和的一個多項式,因此可以運用立方和公 式 3 3 2 2 ( )( ) a +b = a b a+ −ab b+ 來分解因式,即 類似地,因為 3 27 = 、3 8a3 =(2 )a 3,所以27 8a− 3是形式為立方差 的多項式,因此可以運用立方差公式 3 3 2 2 ( )( ) ab = a b a− +ab b+ 來分解因式,即 【ּ 7】把下列各式分解因式: (1) 27− ; x6 (2) 3 3 1 8 a b + 。

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ྋ !! (1) 27− x6 = −33 (x2 3) 2 2 2 2 2 2 2 4 (3 )[3 3 ( ) ] (3 )(9 3 ) x x x x x x = − + + = − + + i (2) 3 3 3 3 1 1 8 2 a bab ⎞ + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 4 ab ab ab ab ab a b ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎟ ⎢ − + ⎝ ⎠⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎟⎜ − + ⎝ ⎠⎝ ⎠ i 3 3 3 2 2 3 3 2 2 8 2 ( 2)( 2 2 ) ( )( ) x x x x x a b a b a a b b + = + = + − + + = + − + i i 3 3 3 2 2 3 3 2 2 27 8 3 (2 ) (3 2 )[3 3 2 (2 ) ] ( ) ( ) a a a a a a b a b a a b b − = − = − + + − = − + + i i

(14)

【ּ 8】 把 3 xxy 分解因式。

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ྋ !! 3 3 2 (1 ) (1 )(1 ) xxy = xy = xy + +y y

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1. 在下列各式右邊的括號內填入適當的單項式,使左邊與右邊 相等: (1) 64a3 = ( )3; (2) 125n6 = ( )3; (3) 0.001x3 =( )3; (4) −27a b3 3 = ( )3 。 2. 把下列各式分解因式: (1) a3 + ; (2) 1 1 m− 3; (3) 8 p3 − ; q3 (4) 27+ ; x3 (5) 1 27 y− 6; (6) 125m3 +8n3; (7) p6 −64q3; (8) 3 3 1 125 m n − 。 3. 把下列各式分解因式: (1) 81 3x+ 3; (2) y4 −8y ; (3) − − ; 27 a3 (4) 4 4 2 m m − 。

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把下列各式分解因式 (第 1~3 題): 1. (1) a2 −49; (2) 64− ; x2 (3) 1 36b− 2 ; (4) m2 −81n2; (5) 0.49p2 −144q2; (6) 121x2 −4y2 ; (7) a p2 2 −b q2 2; (8) 25 2 2 2 4 ax y 。 2. (1) (m+n)2 − ; n2 (2) 169(a b− )2 −196(a b+ )2; (3) (2x+ y)2 − +(x 2 )y 2; (4) (a b c+ + )2 − + −(a b c)2 ; (5) 4(2p+3 )q 2 −(3pq)2 ; (6) (x2 + y2 2) −x y2 2。

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3. (1) 81a4 − ; b4 (2) 8y4 −2y2 ; (3) 3ax2 −3ay4; (4) m4 − 。 1 4. 利用因式分解計算: (1) 7582 −2582; (4) 4292 −1712; 5. 如圖所示,在一塊邊長為 a cm 的正方形紙板之四角,各剪去 一個邊長為 b 2 a b< ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ cm 的正方形,利用因式分解來計算當 a = 13.2、b = 3.4 時剩餘部分的面積。 6. 如圖,在半徑為 R 的圓形紙板上,剪去半徑為 r 的四個小圓, 利用因式分解計算當 R = 7.8 cm、r = 1.1 cm 時剩餘部分的面 積(π 取 3.14,結果保留兩個有效數字)。 把下列各式分解因式 (第 7~11 題): 7. (1) x2 −2x+ ; (2) 1 a2 +8a+ ; 16 (3) 1 4− +t 4t2 ; (4) m2 −14m+49; (5) b2 −22h+121; (6) 2 1 4 y + + 。 y 8. (1) 25m2 −80m+64; (2) 4a2 +36a+ ; 81 (3) 4p2 −20pq+25q2; (4) 2 2 4 x xy y + + 。 (第 5 題) b a (第 6 題)

(16)

9. (1) 25a4 −40a b2 2 +16b4 ; (2) 36x4 −12x y2 + y2; (3) a b2 2 −4ab+ ; 4 (4) 16 8xy− +x y2 2。 10. (1) (x+ y)2 +6(x+ y) 9+ ; (2) a2 −2 (a b c+ + +) (b c)2; (3) 4 12(− xy) 9(+ xy)2; (4) (m+n)2 +4 (m m n+ +) 4m2。 11. (1) 2xyx2 − y2; (2) 4xy2 −4x y2 − ; y3 (3) 3 6− x+3x2; (4) − +a 2a2 − 。 a3 把下列各式分解因式 (第 12~15 題): 12. (1) x3 − y3 ; (2) x3 +125; (3) a3 +8b3; (4) 27m3 − 。 n3 13. (1) 1 1 3 8a − ; (2) 0.064p3 + ; 1 (3) x y3 3 −27; (4) p3 − 。 q6 14. (1) (a b+ )3 + ; (2) c3 (2x+1)3 − ; x3 (3) − − ; a a4 (4) 3x3 +24。 15. (1) x5 − x y3 2; (2) 16x5 +8x y3 2 + xy4; (3) x4 + xy3; (4) 16x4 − 。 y4 16. 先把下列各式分解因式,然後指出每道題中幾個式子的公因 式: (1) x2 −4y2與 x2 +4xy+4y2; (2) 9x2 −24x+ 、16 27x3 −64與9x2 − 。 16

(17)

7.4 Ξ̼ࠎ

2 + ( + ) + x a b x ab

ݭ۞˟Ѩˬีё̝Яё̶ྋ

我們知道 2 (x+a x b)( + ) = x + +(a b x) +ab 反過來,就得到 + 2 ( + ) + ( + )( + ) x a b x ab = x a x b 這就是說,對於二次三項式x2 + px+ ,如果能夠把常數項q q 分解成兩個因數 a、b 的積,並使a b+ = ,那麼它就可以分解p 因式,即 2 2 ( ) ( )( ) x + px+ =q x + +a b x+ab = x+a x b+ 。 運用這個公式,可以把某些二次項係數為 1 的二次三項式分解因 式。 例如,把二次三項式 x2 +5x+ 分解因式。我們設法把常數6 項 6 分解成兩個因數的積,使這兩個因數的和等於一次項的係數 5。因為 6 = × ,並且 2 3 52 3 + = ,所以 2 5 6 ( 2)( 3) x + x+ = x+ x+ 。 【ּ 1】 把 2 3 2 x + x+ 分解因式。 分析: 常數項 2 可以分解成 1 與 2 或 1− 與 2− 的積,其中只有 1 + 2 等於一次項的係數 3。

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ྋ !! 因為 2 1 2= × ,並且1 2 3+ = ,所以 2 3 2 ( 1)( 2) x + x+ = x+ x+ 。 【ּ 2】 把 2 7 6 xx+ 分解因式。 分析: 常數項 6 可以分解成 1 與 6、 1− 與 6− 、2 與 3 或 2− 與 3− 的積,其中只有 ( 1) ( 6)− + − = − 等於一次項的係數 77 − 。

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ྋ !! 因為 6 ( 1) ( 6)= − × − ,並且 ( 1) ( 6)− + − = − ,所以 7 2 7 6 [ ( 1)][ ( 6)] ( 1)( 6) xx+ = + −x x+ − = xx− 。

(18)

【ּ 3】 把 2 4 21 xx− 分解因式。 分析: 常數項 21− 可以分解成 1、 21− ,或 1− 、21,或 3、 7− , 或 3− 、7 的積,其中只有 3 ( 7)+ − = − 等於一次項的係4 數 4− 。

ś

ྋ !! 因為 21 3 ( 7)− = × − ,並且3 ( 7)+ − = − ,所以 4 2 4 21 ( 3)[ ( 7)] ( 3)( 7) xx − = x+ x + − = x + x − 。 【ּ 4】 把 2 2 15 x + x− 分解因式。

ś

ྋ !! 因為 15 ( 3) 5− = − × ,並且 ( 3) 5 2− + = ,所以 2 2 15 [ ( 3)]( 5) ( 3)( 5) x + x− = + −x x+ = xx+ 。 通過例 1~4 可以看出:常數項是正數時,應分解成兩個同 號因數,它們的符號與一次項係數的符號相同;常數項是負數 時,應分解成兩個異號因數,其中絕對值較大的因數與一次項係 數的符號相同。 【ּ 5】 把下列各式分解因式: (1) x4 +6x2 + ; 8 (2) (a b+ )2 −4(a b+ + 。 ) 3

ś

ྋ !! (1) x4 +6x2 + =8 (x2 2) +6(x2) 8+ 2 2 2 2 [( ) 2][( ) 4] ( 2)( 4) x x x x = + + = + + (2) (a b+ )2 −4(a b+ + =) 3 [(a b+ −) 1][(a b+ − ) 3] =(a b+ −1)(a b+ − 3) 【ּ 6】 把 2 2 3 2 xxy+ y 分解因式。 分析: 把 2 2 3 2 xxy+ y 看成 x 的二次三項式,則這時常數項是 2 2 y ,一次項係數是− 。把3y 2 y 分解成2 − 與 2yy − 的積, (− + −y) ( 2 )y = −3y 恰好等於一次項的係數。

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ྋ !! 2 2 3 2 ( )( 2 ) xxy+ y = xy xy

(19)

【ּ 7】 把 4 3 2 3 28 xxx 分解因式。

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ྋ !! 4 3 2 2 2 2 3 28 ( 3 28) ( 4)( 7) xxx = x xx− = x x+ x− 。

ቚ ௫!

1. (口答) 把下列各數分解成兩個因數的積 (要把所有可能的 情況都列舉出來): (1) 3; (2) − ; (3) 5 12; (4) − 。 8 把下列各式分解因式(第 2~5 題): 2. (1) x2 +4x+ ; (2) 3 a2 +7a+10; (3) y2 −7y+12; (4) q2 −6q+ ; 8 (5) x2 + −x 20; (6) m2 +7m− ; 18 (7) p2 −5p−36; (8) t2 − − 。 2t 8 3. (1) x4 − x2 −20; (2) ax2 +7ax− 。 8 4. (1) a2 −9ab+14b2; (2) x2 +11xy +18y2 。 5. (1) x y2 2 −5x y2 −6x2 ; (2) − −a3 4a2 +12a

7.5 ̶௡̶ྋڱ

1. 分組後能提公因式 現在我們來看怎樣把多項式 ax+ay bx by+ + 分解因式。 這個多項式的各項沒有公因式,也不能直接運用公式來分 解。但是它的前兩項有公因式 a,後兩項有公因式 b,如果試著 把它們按前兩項與後兩項分成兩組,即試著把這個多項式寫成 (ax+ay) (+ bx by+ ) 從兩組分別提出公因式 a 與 b 後,得 ( ) ( ) a x+ y +b x+ y 這時,分成的兩組又有公因式 x y+ ,於是可以提出 x y+ 作為全

(20)

式的一個因式,從而可以把原多項式分解成 (x+ y a b)( + 。即 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y x y a b + + + = + + + = + + + = + + 這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。從上面的例子 可以看出,如果把一個多項式的項分組並提出公因式之後,各組 之間又有公因式,那麼這個多項式就可以用分組分解法來分解因 式。 【ּ 1】 把 2 aab+ac bc− 分解因式。 分析: 把這個多項式的四項按前兩項與後兩項分成兩組,分別 提出公因式 a 與 c 之後,另一個因式正好都是 a b− ,這 樣全式就可以提出公因式 a b− 。

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ྋ !! 2 2 ( ) ( ) aab+ac bc− = aab + ac bc− ( ) ( ) ( )( ) a a b c a b a b a c = − + − = − + 【ּ 2】 把 2ax−10ay+5by bx− 分解因式。 分析: 把這個多項式的四項按前兩項與後兩項分成兩組,並使 兩組的項都按 x 之降冪排列,然後從兩組分別提出公因 式 2a 與 b− ,這時,另一個因式正好都是x−5y,這樣 全式就可以提出公因式x−5y

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ྋ !! 2ax−10ay+5by bx− = (2ax−10ay) (5+ by bx− ) (2 10 ) ( 5 ) 2 ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )(2 ) ax ay bx by a x y b x y x y a b = − + − + = − − − = − − 想一想:例 1、例 2 中還有沒有其它分組的辦法?因式分解 的結果是不是一樣?

(21)

【ּ 3】 把 3ax+4by+4ay+3bx分解因式。 分析: 這個多項式如果按前兩項與後兩項分成兩組,無法分解 因式。但如果把第一、三項作為一組,第二、四項作為 另一組,分別提出公因式 a 與 b 後,另一個因式正好都 是 3x+4y,這樣全式就可以提出公因式 3x+4y

ś

ྋ !! 3ax+4by+4ay+3bx =(3ax+4ay) (4+ by+3bx) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 ) (3 4 )( ) ax ay bx by a x y b x y x y a b = + + + = + + + = + + 【ּ 4】 把 2 5 5 m + n mn− − m分解因式。

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ྋ !! 2 2 5 5 ( ) (5 5 ) m + n mn− − m = mmn + nm 2 ( ) ( 5 5 ) ( ) 5( ) ( )( 5) m mn m n m m n m n m n m = − + − + = − − − = − − 想一想:例 3、例 4 中還有沒有其它分組的辦法?因式分解 的結果是不是一樣?

ቚ ௫!

把下列各式分解因式: 1. (1) 20(x+ y)+ + ; (2) x y p− +q k p q( − ; ) (3) 5 (m a b+ − − ; (4) ) a b 2m−2n−4 (x m n− 。 ) 2. (1) ac bc+ +2a+2b; (2) a2 +ab ac bc− − ; (3) 3aax−3b bx+ ; (4) xyy2 − yz+ xz 。 3. (1) 5ax+6by+5ay+6bx; (2) 2 4x +3z−3xz−4x。 2. 分組後能運用公式 【ּ 5】 把 2 2 xy +ax+ay分解因式。

(22)

分析: 把第一、二項作為一組,這兩項雖然沒有公因式,但可 以運用平方差公式分解因式,其中一個因式是 x y+ ;把 第三、四項作為另一組,在提出公因式後,另一個因式 也是 x y+ ,這樣全式就可以提出公因式 x y+ 。

ś

ྋ !! 2 2 2 2 ( ) ( ) xy +ax+ay = xy + ax+ay ( )( ) ( ) ( )[( ) ] ( )( ) x y x y a x y x y x y a x y x y a = + − + + = + − + = + − + 【ּ 6】 把 2 2 2 2 aab b+ − 分解因式。 c 分析: 把前三項作為一組,它是一個完全平方式,可以分解成 2 (a b− ) ,這時全式可以再運用平分差公式來分解因式。

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ྋ !! 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) aab b+ −c = aab b+ − c 2 2 ( ) [( ) ][( ) ] ( )( ) a b c a b c a b c a b c a b c = − − = − + − − = − + − − 從例 5、例 6 可以看出:如果能把一個多項式的項適當分組, 使分組後能運用公式進行分解,那麼這個多項式也可以用分組分 解法來分解因式。 【ּ 7】 把 3 2 2 3 x +x yxy − 分解因式。 y

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ྋ !! 3 2 2 3 3 2 2 3 ( ) ( ) x + x yxyy = x + x yxy + y 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )[( )( )] ( ) ( ) x x y y x y x y x y x y x y x y x y x y = + − + = + − = + + − = + − 注意: 2 2 x − 還能分解因式,因此要繼續分解。 y

(23)

現在,我們可以作一個歸納,把一個多項式分解因式,一般 可按下列步驟進行: 1. 多項式的各項有公因式時,先提公因式; 2. 各項沒有公因式時,看看能不能運用公式來分解因式; 3. 如果用上述方法不能分解,再看它能不能運用分組分解 法或其它方法(例如化為 2 ( ) x + +a b x+ab的形式)來分解 因式; 4. 分解因式,必須進行到每一個因式都不能再分解為止。

ቚ ௫!

把下列各式分解因式: 1. 4a2 −b2 +6a−3b。 2. 9m2 −6m+2n n− 。 2 3. x2 − y2 − z2 +2yz。 4. x3 − x y2 −xy2 + 。 y3

7.6 Ϲ˽࠹ࢷڱ

我們知道 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( )( ) ( ) a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c + + = + + + = + + + 反過來,就得到 2 1 2 ( 1 2 2 1) 1 2 ( 1 1)( 2 2) a a x + a c +a c x c c+ = a x c+ a x c+ 。 利用這個等式,我們可以用下面的寫法,嘗試把某些二次三 項式,如 2 ax +bx c+ 分解因式。先把 a 分解成a = a a1 2,把 c 分解c = c c1 2 ,並把a 、1 a 、2 c 、1 c 排列如下: 2 1 a c1 2 a c2 這裡按斜線交叉相乘的積之和就是a c1 2 +a c2 1,如果它正好等於二 次三項式 2 ax +bx c+ 中一次項的係數 b,那麼ax2 +bx c+ 就可分 解成(a x c1 + 1)(a x c2 + 2),其中a 、1 c 就是上圖中上面一列的兩個1

(24)

數,a 、2 c 上圖中下面一列的兩個數。 2 例如,把二次三項式3x2 +11x+10分解因式。我們可以知道, 3 1 3= × 、10 2 5= × ,寫成 1 2 3 5 後,發現1 5 2 3× + × 正好等於 11,所以 2 3x +11x+10 =(x+2)(3x+ 。 5) 這種經過畫十字交叉線的幫助把二次三項式分解因式的方 法,叫做交叉相乘法。 注意:因分解因式及交叉相乘都有多種可能情況,所以往往要經 過多次嘗試,才能確定一個二次三項式能否分解與怎樣分 解。比方在上面的二次三項式 2 3x +11x+10中,二次項係 數 3 可以分解成 1 與 3 或 1− 與 3− 的積,常數項 10 可以分 解成 1 與 10、 1− 與 10− 、2 與 5 或 2− 與 5− 的積,其中交 叉相乘 1 2 3 5 獲得成功,而交叉相乘如 1 5 3 2 等不能成功。所以用交叉相乘法分解因式,往往要經過多 次嘗試。 【ּ】 把下列各式分解因式: (1) 2 2x −7x+ ; 3 (2) 6x2 −7x− ; 5 (3) 5x2 +6xy −8y2。

(25)

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ྋ !! (1) 2x2 −7x+ =3 (x−3)(2x− 1) 1 3− 2 1− (2) 6x2 −7x− =5 (2x+1)(3x− 5) 2 1 3 5− (3) 5x2 +6xy−8y2 = (x+2 )(5y x−4 )y 1 2 y 5 4 y

ቚ ௫!

把下列各式分解因式: 1. (1) 2x2 +15x+ ; (2) 7 3a2 −8a+ ; 4 (3) 8m2 +3m− ; (4) 5 2x2 −7x− ; 15 (5) 5x2 +7x− ; 6 (4) 6y2 −11y− 。 10 2. (1) 6a2 +17ab+12b2; (2) 15x2 − xy−6y2; (3) 5a b2 2 +23ab−10; (4) 10x y2 2 −17abxy+3a b2 2。

௫ ᗟ ˣ

! 把下列各式分解因式 (第 1~4 題): 1. (1) x2 +9x+ ; (2) 8 x2 −10x+24; (3) x2 +3x−10; (4) x2 −3x−28; (5) a2 +4a−21; (6) m2 +4m−12; (7) p2 −8p+ ; 7 (8) b2 +11b+28。

(26)

2. (1) x4 +7x2 − ; 18 (2) x6 +8x3 + ; 15 (3) m x2 2 −8mx+12; (4) x y2 2 −7xy+10。 3. (1) x2 −7xy+12y2; (2) a2 +2ab−15b2; (3) m2 +4mn−12n2; (4) p2 +9pq+18q2。 4. (1) −x y2 +6xy −8y; (2) (m+n)2 −(m+ −n) 30; (3) ab2 +4abc+3ac2; (4) (xy)2 −3(xy) 40− 。 5. 先把下列各式分解因式,然後指出每道題中三個式子的公因 式: (1) x2 +9x+ 、14 x3 −49xx2 +2x−35; (2) x2 +2x−63、 2 18 81 x + x+ 與 2 12 27 x + x+ 把下列各式分解因式 (第 6~14 題): 6. (1) am+an bm bn+ + ; (2) xyxz + − ; y z (3) a2 +ab+ac bc+ ; (4) ax−2bx+ay−2by; (5) 4xy−3xz+8y−6z ; (6) x3 +3x2 +3x+ 。 9 7. (1) 3xy−2x−12y+ ; 8 (2) ab−5bc−2a2 +10ac; (3) 5ax+7xy−5bx−7by; (4) x y3 +3x−2x y2 2 −6y 。 8. (1) 6ax+15b y2 2 −6b x2 −15ay2 ; (2) 7x2 −3y + xy−21x; (3) 3a2 +bc−3ac ab− ; (4) a m bn an abm2 + − − 。 9. (1) x2 −a2 −2x−2a; (2) a3 − − + ; b3 a b (3) 4x2 −4xy+ y2 − ; a2 (4) 1−m2 −n2 +2mn。 10. (1) a− ; a3 (2) x3 −15x2 −16x ; (3) x y3 − xy3; (4) 5x5 −15x y3 −20xy2; (5) x+ ; x4 (6) a b ab4 − 4。 11. (1) (x2 +3 )x 2 −(2x+6)2; (2) 1 26− a2 +25a4 ; (3) (x2 +2 )x 2 −7(x2 +2 ) 8x − ; (4) a6 +7a3 − 。 8

(27)

12. (1) 4x2 − y2 +2x− ; (2) y (x+ y)4 + +(x y)2 −20; (3) a4 +a3 + + ; a 1 (4) x y4 +2x y3 2 − x y2 −2xy2 13. (1) 2x2 +3x+ ; (2) 1 2y2 + − ; y 6 (3) 6x2 −13x+ ; 6 (4) 3a2 −7a− ; (5) 6 4n2 +4n− ; (6) 15 6l2 + −l 35。 14. (1) 6x2 −11xy +3y2; (2) 4m2 +8mn+3n2; (3) 16x2 −31xy−2y2; (4) 8m2 −22mn+15n2。

̈ ඕ!

一、本章主要內容是因式分解的概念與多項式因式分解的幾 種常用方法。 二、學習多項式的因式分解,要注意因式分解與整式乘法的 關係。整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;而因式分 解釋把一個多項式化為幾個整式相乘。例如,把 (a b a b+ )( − 化) 為 2 2 a − ,是整式乘法;把b a2 − 化為 (b2 a b a b+ )( − ,是因式分解。) 這就是說, 什麼時候用整式乘法,什麼時候因式分解,是根據需要而定的。 三、提公因式法是因式分解中最基本的方法。只要多項式的 各項有公因式,首先把它提出來。 運用公式法關鍵在於熟悉公式,掌握它們的不同形式與特 點。本章學習了五個公式: 2 2 2 2 2 3 3 2 2 ( )( ) 2 ( ) ( )( ) a b a b a b a ab b a b a b a b a ab b − = + − ± + = ± ± = ± ∓ + 可以化為 x2 + +(a b x) +ab型的這一類二次三項式能夠分解 為 (x+a x b)( + 。這裡關鍵在於掌握 a、b 與常數項、一次項係數) (a+b a b)( − ) a2 −b2 整式乘法 因式分解

(28)

的關係,要通過觀察與試驗把常數項分解成兩個因數 a、b 的積, 而 a、b 的和必須等於一次項的係數。 分組分解法必須遇見到下一步分解的可能性。我們已學習了 分組後能提公因式及分組後能運用公式這兩種情況。 因為需要分解因式的多項式是多種多樣的,所以必須對具體 情況作具體分析,靈活運用各種方法來分解因式。

ኑ௫ણ҂ᗟ˛!

把下列各式分解因式 (第 1~4 題): 1. (1) x2 −64; (2) x3 −64; (3) x4 +64x; (4) x4 −64x2; (5) am+1 +am; (6) yn+2 − yn ; (7) (a b x− )( − y) (− −b a x)( + y); (8) x p q( − −) y p q( − +) z q( − p); (9) 25(x+ y)2 −16(xy)2; (10) p2(p+q)2 −q2(pq)2; (11) (a b c+ + )2 − − −(a b c)2; (12) (a b+ )2 +2(a b+ − ; ) 15 2. (1) m n3 3 +27; (2) 1 1 3 64a − ; (3) 4 (3− a+2 )b 2; (4) (x2 +4)2 −16x2 ; (5) x2 −xy −30y2; (6) a x2 2 +16ax+64; (7) a4 −5a b2 2 +4b4 ; (8) x5 −x y3 2 −12xy4; (9) (a b− )n+2 − −(a b)n ; (10) xn+1 −3xn +2xn−1; (11) (x+ y)2 −14 (y x+ y)+49y2; (12) (3a−4 )(7b a−8 ) (11b + a−12 )(7b a−8 )b 。 3. (1) x z3 −4x yz2 +4xy z2 ; (2) (x+2)(x+ +3) x2 − ; 4 (3) x2 −4y2 + +x 2y; (4) x2 −6x+ − ; 9 y2

(29)

(5) a x3 2 −c x3 2 −a y3 2 +c y3 2;(6) (a2 +b2 −1)2 −4a b2 2 ; (7) x5 − x3 +x2 − ; 1 (8) 10a x2 +21xy2 −14ax2 −15ay2; (9) 2 2 1 2 3 1 2 3 2 x 3 y 4 z 2 x 3 y 4 z+ + ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; (10) 4b c2 2 −(b2 + −c2 a2 2) 。 4. (1) (ax by+ )2 +(bxay)2; (2) ab c( 2 +d2)+cd a( 2 +b2)。 5. 利用因式分解計算: (1) 1297 的 5%,減去 897 的 5%,差是多少; (2) 869 的 36%,加上 869 的 54%,和是多少。 6. 如圖,某城市修建排水系統,需要一 種空心混泥土管道,它的規格是:內 徑 d = 45 cm,外徑 D = 75 cm,長 L = 300 cm。利用因式分解計算製造這樣 的管道約需多少 m3 的混泥土(π 取 3.14,結果保留兩個有效數字)。 7. 2n− 與 21 n+ 表示兩個連續的奇數(這裡 n 是整數),說明這兩1 個連續奇數的平方差(大數的平方減去小數的平方,下題同) 是 8 的倍數。 8. (1) 把兩個連續整數的平方差以及這兩數的和分別用代數 式表示出來。這兩個代數式是否相等? (2) 把兩個連續奇數的平方差以及這兩數的和分別用代數 式表示出來。這兩個代數式之間有什麼關係? 9. (1) 3x2 + − ; (2) x 2 20y2 + − ; y 1 (3) 14x2 + − ; (4) x 3 12t2 − − 。 8t 7 10. (1) 7p2 −5pq−2q2; (2) 6x2 −5xy −6y2; (3) 30a2 −ab b− ; 2 (4) 18x2 −21xy +5y2。 L d D (第 6 題)

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