數學與音樂的對話

數學與音樂的對話─探討音樂中的數學應用

翁瑞霖

私立輔英科技大學 應用化學系

摘

要

代 表 理 性 的數 學 ， 其 規 律 、 和 諧 與 秩序 所 產 生 的 美 感 ， 雖 無 聲音 之 傳 遞 ， 但 與 音 樂 是 根 本 相 連的 ； 而 代 表 感 性 的 音 樂 ，其 音 強 、 音 高 、 音 色 、 節奏 、 旋 律 、 曲 式 及 風 格 ， 雖 無 明 顯 之數 字 表 達 ， 但 數 學 的 蹤 影處 處 可 見 。 本 文 藉 由 數 學與 音 樂 的 多 元 對 話 ， 探 討 音 樂 領 域 中數 學 的 應 用 範 例 ； 黃 金 比例 在 樂 曲 結 構 之 應 用 ； 運用 數 學 推 演 和 計 算 畢 氏 音 階、純 律 音階 和 十 二 平 均 律 音 階 的組 成；探 討 五 度 相 生 律 的應 用 範 例 與 數 學 的 密 切 關係； 歸 納 和 分 析音 程 和 音 調 的 數 學 二 元 圖表 ， 在 在 都 顯 示 出 數 學 與音 樂 密 不 可 分 的 關 係 。 期 望 藉 由 數 學與 音 樂 的 多 元 對 話 ， 探 討音 樂 中 的 數 學 關 係 ， 以 提供 促 進 科 技 與 人 文 藝 術 之 融 合 的 另一 種 思 考 的 模 式 。 關 鍵 字 ︰ 音 樂 、 數 學 、 科 技 、 人 文

壹、 緒 論

整 個 天 體就 是 一 種 和 諧 ， 而 宇 宙 的和 諧 ， 則 是 按一 定 數 字 比 例 規 則 排 列 所建 立 的 秩 序 。 這種 唯 美 的 宇 宙 觀 ， 雖 然 沒有 揭 示 出 原 本 的物 質 真 諦 ， 卻 對 其 後 之 科學 美 學 和 音 樂 美學 的 發 展 ， 產 生 了 極 深 遠的 影 響(童 忠 良 ，1993)。 音 樂 可 以平 衡 人 類 的 身 體 和 靈 魂 ，也 能 串 聯 起 世界 各 部 分 。 音 樂 之 所 以 能有 這 樣 的 力 量 ，是 因 為 音 樂 建 立 在 優 美 的數 字 比 例 系 統 上， 而 這 種 比 例 正 是 生 於 西元 前 五 百 多 年 的希 臘 著 名 哲 學 家 、 數 學 家兼 音 樂 家 畢 達哥 拉 斯(Pythagoras)所發 現。他 是 第 一 位 以 科學 方 法 探 討 音 樂 ， 也 是 人類 文 化 史 上 最 早將 音 樂 與 數 學 結 合 起 來 思考 的 人 ， 曾 先 後到 美 索 不 達 米 亞 與 埃 及 的廟 宇 從 事 研 究 ，並 將 七 個 音 階 的 觀 念 引 進希 臘 (童 忠 良 ， 1993； 黃 嘉 彥 ， 2000)。 希 臘 人 對 於 音 樂 中最 優 美 的 聲 音 所 下 的 定 義是 ： 神 聖 不 可 侵犯 的 數 學 關 係 、 上 帝 的 指紋 。 這 些 聲 音 透過 一 些 簡 單 而 固 定 的 比 例， 結 合 兩 個 或 是更 多 相 異 的 音 符 ， 形 成 令人 喜 悅 的 和 諧 ；而 和 諧 、 優 美 的 聲 音 ， 就是 一 種 特 別 的 數 字 表 現 。 在 音 樂 的 神 奇 比 例 中 ， 發 現 上帝 透 漏 了 建 築 教 堂 的 平 面圖 ； 文 藝 復 興 時代 的 哲 學 家 們 在 其 中 找 尋從 天 堂 獲 得 生 命的 秘 密 ； 作 曲 家 們 渴 望 從古 代 音 樂 的 贈 禮中 ， 獲 得 馴 服 野 獸 、 引 誘天 上 靈 魂 ， 甚 至是 引 誘 樹 木 從 地 底 冒 出 地面 的 能 力(Isacoff，2002)。 而 恰 當 的 音 樂 比 例 更 反 應 了 人 類 內 在 本 質 的 波動 ， 好 似 反 射 了 天 體 和 諧地 在

各 自 的 軌 道 上 旋 轉 ， 例 如 喀 卜 勒 (Kepler) 即 認 為 音 樂 的 和 諧 是 幾 何 學 所 造 就 的 官 能，更 從 音樂 長 久 為 人 所 尊 敬 的 神奇 比 例 中 ， 發 現 控制 天 上 行 星 運 行 的 規 則 ，從 太 陽 的 位 置 觀察 ， 土 星 在 近 日 點 時 ， 是以 每 天 135 秒 速度 移 動 一 個 弧 度 距 離 ，在 遠 日 點 則 只 需 106 秒，此 二 數 字 之 比 例約 為 5： 4，恰 等 於 產生 大 三 度 音 程 的 兩 根 弦的 振 動 比 例 ； 而 木星 會 產 生 一 個 小 三 度 音 程； 火 星 則 是 完 全五 度 音 程 。 以 此 方 式 測 試， 每 個 星 球 似 乎都 會 產 生 一 個 音 樂 上 的 比例 數 字。此 外，牛 頓 (Newton)亦 發 現 音符 頻 率 的 比 例 ， 與陽 光 通 過 一 個 三 稜 鏡 所 形成 的 顏 色 配 置 比例 相 吻 合 ； 他 同 時 進 行 各種 音 階 的 數 學 分析 ， 將 同 樣 的 八 度 音 程 劃分 成 20、24、25、29、36、41、51、53、100、 120、612 個 不 同 等 份，以 精 確 的 數字 比 較 所 有 得 到 的音 階 ， 進 而 標 示 音 符 間 的音 距 標 準 單 位 。 而 伽 利 略 (Galilei) 則 藉 由 特 殊 設 計 的 鐘 擺， 以 特 定 的 速 度 上 升 、 下降 ， 恰 與 八 度音 程(2：1)、五 度 音 程(3：2)、三 度 音 程 (5： 4)相 符 合 ； 透 過 這 場 機 械 式 的 芭 蕾 舞 蹈 ，讓 他 的 眼 睛 首 次 可 以 看 到「 耳 朵 也 聽 得到 的 遊 戲 」(Isacoff，2002)。 數 學 和 音樂 都 是 由 抽 象 的 觀 念 中 ，創 造 連 貫 一 致的 模 式 ， 由 離 散 分 立 的 資料 中 創 造 統 合 的整 體 ， 乃 是 人 性 基 本 的 組織 活 動 ， 其 模 式使 我 們 深 信 宇 宙 中 必 有 某種 次 序 (Storr， 1999)。 數 學 源 自 於 人 們 對 自 然 界 規 則 事 物的 觀 察 ， 是 一 種 研 究 自 然規 律 的 科 學 ， 而音 樂 則 是 對 於 聲 音 中 規 則變 化 的 認 識 ， 二者 都 是 在 認 識 自 然 ， 對 自然 界 的 事 物 作 描 述 或 探 求 (曾 志 華 ， 2000)。 因 此 音 樂 家 可以 感 覺 到 數 學 ， 而 數 學 家可 以 想 像 到 音 樂。 音 樂 就 像 是 形 象 的 數 學， 是 一 種 隱 藏 的算 術 練 習 ， 透 過 潛 意 識 的心 靈 跟 數 目 字 在打 交 道 ， 雖 然 我 們 不 能 像數 學 那 樣 推 演 音樂 ， 可 是 我 們 可 以 用 聽 覺感 知 它 的 嚴 謹 ；而 數 學 則 是 推 理 中 的 音 樂， 雖 然 我 們 不 能用 聽 覺 感 知 它 的 節 奏 ， 可是 我 們 可 以 用 大腦 體 會 它 的 韻 律 。 雖 說 音樂 是 夢 幻 而 數 學是 現 實 ， 但 當 人 類 智 慧 昇華 到 完 美 的 境 界時 ， 數 學 和 音 樂 就 互 相 滲透 而 融 為 一 體了，兩 者 的靈 魂 是 完 全 一致 的(歐 陽 絳 ，1996； 蔡 聰 明 ，1994)。 長 久 以 來， 數 學 在 科 技 領 域 的 拓 展過 程 中 ， 一 直扮 演 著 舉 足 輕 重 的 角 色 ，而 隨 著 社 會 的 多元 發 展 ， 數 學 的 應 用 範 圍更 是 廣 泛 。 其 中， 在 音 樂 領 域 所 運 用 的 數學 演 算 範 例 ， 更是 不 勝 枚 舉 ； 而 數 學 與 音樂 之 間 的 對 話 及其 關 聯 性 的 探 討 ， 也 成 為古 今 中 外 學 者 研究 的 重 要 議 題 之 一 。 例 如： 古 希 臘 的 畢 達 哥 拉 斯 發 現 弦 長 的 簡 單 整 數 比，進 而 推 演 出 畢氏 音 階 (黃嘉 彥，2000)。 德 國 的 維 爾 克 邁 斯 達 (Werckmeister) 發 表 十 二 平 均 律、 古 中 國 朱 載 堉 提 出 十 二平 均 律 計 算 法 (曾 志 華 ， 2000)。 法 國 的 傅 立 葉 (Fourier)針 對 週 期 性 聲 音 進 行 研 究 ， 發 現 任 何 聲 音 都可 以 用 簡 單 的 正 弦 函 數 各項 的 組 合 來 表 示； 而 人 類 得 以 發 明 電 視 機及 其 他 視 訊 器 材， 更 是 從 小 提 琴 的 琴 弦 振動 所 推 導 出 來 的 (Stewart， 1997)； 並 藉 由 英 國 泰 勒 (Taylor) 所 發 表 琴 弦 的 基 本 振 動 頻 率 公 式 所 衍 生之 數 學 計 算 方 法 ， 提 昇 弦樂 器

之 教 學 品 質 (翁 瑞 霖 ， 2002)。 同 時 亦 由 可 見 光 與 十 二平 均 律 的 探 討 中 ， 以 數 學演 算 分 析 之 方 式， 推 論 音 樂 與 色 彩 的 相 對應 關 係 (翁 瑞 霖 ， 2003)； 並 應 用 數 學 的 規 律 性 和 對 稱 性 ，解 析 和 探 討 莫 札 特 的 音 樂效 應 ( 翁 瑞 霖 ， 2004a) 。 而 眾 所 週 知 的 黃 金 比 例 ， 就 是 和諧 性 最 完 美 的 典 型 表 現 ，除 了 建 築 造 型 上的 普 遍 運 用 外 ， 其 美 的 效應 亦 運 用 在 樂 曲各 部 分 之 間 完 美 的 數 學 比例 關 係(童 忠 良 ，1993； 翁 瑞 霖 ，2004b )。 近 代 對 於 音 樂 的 數 學 研 究 方 面 ， 首 推 俄裔美籍音 樂理論 家薛林 格(Schillinger)， 他在 1941 年出版了 12 本名為 Schillinger System of Music Composition 的著作，藉由 數 學 來 發 展 科 學 上 的 或 合 乎 科 學 的 全 新 音 樂 本 質 。 這 個 系 統 也 被 形 容 為 一 種 在 電 腦 出 現 以 前 的 電 腦 音 樂 ， 在 他 的 許 多 作 品 中 ， 似 乎 也 預 知 以 演 算 式 作 曲 的 發 展 前 景 (吳鼎武‧瓦歷斯，2003)。而隨著對數學與 音 樂 關 係 之 認 識 的 不 斷 加 深 ， 以 數 學 計 算 代 替 作 曲 ， 已 成 為 現 代 作 曲 家 的 一 種 創 作 方 式 ， 其 所 創 作 之 樂 曲 乃 是 將 作 曲 的 過 程 公 式 化 ， 把 音 程 、 節 奏 、 音 色 等 素 材 都 編 成 數 碼 ， 然 後 按 照 需 求 發 出 指 令 ， 以 計 算 機 的 功 能 進 行 選 擇 ， 再 將 其 結 果 編 寫 成 樂 曲 並 演 奏 出 來 ， 在 在 顯 示 出 數 學 與 音 樂 密 不可分的關係(童忠良，1993 )。 筆 者 於 八 十 九 學 年 從 科 學 專 業 課 程 之 講 授 ， 轉而 開 授 通 識 教 育 課 程 。 為期 許 能 有 別 於 一般 之 通 識 課 程 ， 提 供 通 識教 育 課 程 講 授 之另 一 種 思 考 模 式 ， 因 而 選定 藉 由 跨 領 域 的 科 學 與 人 文 藝 術 的 融 合 為 主 題 ， 提 出 博 雅 涵 養 課 程 「 自 然 科 學 與 音 樂」，並 經 本 校 通識 教 育 委 員 會 審核 通 過 ， 開 課 迄 今已 進 入 第 6 個 學 年 。 由 於「 自 然 科 學 與 音 樂」 課 程 內 容 規 劃 科 學 與 音樂 的 各 種 對 話 ，使 筆 者 對 於 這 個 主 題 ， 必須 有 更 深 一 層 的探 索 彙 整 及 研 究 分 析 ， 也因 此 促 使 筆 者 從純 科 學 的 專 業 研 究 和 教 學， 轉 而 投 入 通 識教 育 領 域 ； 也 因 為 這 個 轉變 ， 讓 筆 者 在 科際 整 合 的 發 展 中 找 到 新 的研 究 領 域 和 方 向， 並 因 而 獲 得 許 多 心 得 ，尤 其 是 數 學 與 音樂 的 對 話 方 面 。 本 文 將 藉由 講 授 跨 領 域通 識 教 育 課 程「 自 然 科 學與 音 樂 」 所 衍 生 之 相關 研 究 成 果 ， 探 討 音 樂 中數 學 的 應 用 。

貳、 研 究目 的 與方 法

一、研究目的

本 研 究 的 目 的 是 期 望 藉 由 數 學 與 音 樂 的 多 元 對 話 ， 探 討 數 學 與 音 樂 領 域 的 關 係 ， 增 進 科 技 與 人 文 藝 術 融 合 ， 並 提 供 科 際 整 合 的 另 一 種 思 考 模 式 。 同 時 以 數 學 的 圖 表 或 演 算 來 呈 現 音 樂 的 對 稱 性 和 規 律 性 之 美 ， 給 予 音 樂 學 習 者 不 同 的 參 考 形 式 ， 進 而 提 昇學 習 成 效 。

二、研究方法

本 研 究 之 方 法 為 文 獻 資 料 的 蒐 集 和 彙 整 、 分 析 和 探 討 及 簡 單 的 數 學 解 析 模 式 之 建 立 。 其研 究 步 驟 如 下 ： 首 先 蒐 集 和 彙 整 數 學 與 音 樂 的 對 話

之 相 關 文 獻資 料 ； 並 由 後 續 的 文 獻 資料 分 析 和 探 討 過程 中 ， 了 解 數 學 在 音 樂 領域 中 之 各 種 應 用情 形 和 數 學 與 音 樂 互 動 的相 關 範 例 ； 同 時 選 定 樂 曲 結 構 的 黃 金 比 例 應 用 、 音 階 組成 的 數 學 解 析 、 五 度 相 生律 的 應 用 範 例 與數 學 的 關 係 、 及 音 樂 的 數學 二 元 座 標 圖 等為 本 研 究 的 範 圍 ， 並 著 手進 行 其 與 數 學關 係 的 解 析 和 探 討 。 在 確 認 研 究 素 材 之 後 即 著 手 建 立 簡 單 的 數 學 解析 模 式 ， 其 過 程 如 下 ： 首先 分 析 樂 曲 之 結構 ， 是 否 符 合 完 美 數 學 比例 關 係 的 黃 金 比例 。 本 研 究 採 用 以 小 節 數來 計 算 樂 曲 之 結構 比 例 ， 所 分 析 的 樂 曲 範例 為 絕 大 多 數 小 提 琴 初 學 者 所 使 用 的 二 套 教 材 ， 包 括 由著 名 小 提 琴 教 育 家 鈴 木 鎮一 所 著 之 鈴 木小 提 琴 教 材 全 套 共 8 冊 、 篠崎 弘 嗣 所 著 之篠 崎 小 提 琴 教 材 全 套 共 6 冊； 以 及 部 分 著 名的 小 提 琴 舞 曲 。 而 為 了 分析 和 敘 述 之 方 便， 本 研 究 對 於 樂 曲 結 構 是否 遵 守 黃 金 分 割原 則 ， 將 樂 曲 重 要 分 段 處對 全 曲 之 小 節數 比 值 ， 與 黃 金 數 0.618 之誤 差 在 5%(即 0.587 ~ 0.649)以 內，視為 符 合 黃 金 比 例 者； 誤 差 在 10% (即 0.556 ~ 0.680) 以 內，視 為 近 似 黃 金 比 例 者；而 超 過 10% 以 上 者 則屬 黃 金 分 割 法 則 不 存 在 之範 圍 。 在 分 析 樂 曲 結 構 與 黃 金 比 例 的 關 係 之 後 ， 緊 接著 探 討 畢 氏 音 階 、 純 律 音階 和 十 二 平 均 律音 階 的 數 學 解 析 ， 以 及 五度 相 生 律 的 數 學探 討 和 應 用 範 例 。 本 研 究最 後 步 驟 乃 探 討 22 種 音 程 和 15 個 升 降 記 號 大 音 階 的 數 學二 元 座 標 圖 ， 意 即 分 別 將音 程 度 數 設 為 X 軸、間 隔 的 半 音 數 目 為 Y 軸 ； 升 降 記 號大 音 階 設 為 X 軸、升 降 記 號 數 目 為 Y 軸，以 X-Y 的 二 元 平 面 圖 來 呈現 音 程 和 音 階 之 高度 和 諧 性 、 對 稱 性 和 規 律性 這 些 經 常 出 現在 幾 何 、 代 數 或 是 統 計 等數 學 領 域 中 之美 的 形 式 。

參、 名 詞解 釋

一、音樂領域的數學應用

所 謂 音 樂領 域 的 數 學 應 用，乃 運 用數 學 的 思 維 模式 、 演 算 方 式 、 統 計 分 析、 及 推 理 、 實 驗、 歸 納 或 演 繹 等 方 法 ， 來處 理 或 探 討 音樂 領 域 相 關 的 各 種 議 題 。

二、黃金比例

（ 一 ） 定義 所 謂 黃 金比 例，其 定 義 為：將 某 線 段 AC 分 為 長 線 段 AB 和 短 線 段 BC 兩 部 分 ， 如 長 線 段 AB 對 全 線 段 AC 的 比 ， 等 於 短 線 段 BC 對 長 線 段 AB 的 比 ， 則 稱此 線 段 之 比 例 為黃 金 比 例 ， 如 下 列 線 段 所示 ： A B C

由上述黃金比例的定義得知當 AB ： AC ＝ BC ： AB 時，稱此線段之比例為 黃 金 比 例 ( 九 章 出 版 社 編 輯 部 ， 1992 ； Wheeler，1994)。假設 AB 段長為 X，BC 段長為 Y，則依原比例關係，由 XY 之二 元二次方程式 X2-XY-Y2_{= 0 可計算出 Y / X} ＝ (√5 － 1) / 2 ≒ 0.618。故此 0.618：1 的 比 例 即 是 所 謂 的 黃 金 比 例 或 黃 金 分 割 ， 而 0.618 則稱為黃金數(蔡聰明，2001)。 （ 二 ） 黃金 分 割 法 則 及 譜 例 所 謂 黃 金分 割 法 則，其 定 義 如 下：當 樂 曲 之 結 構符 合 或 近 似 黃 金 比 例 ， 則其 黃 金 分 割 點應 出 現 在 全 曲 之 黃 金數 0.618 或 近似 0.618 處； 亦 即 將 全 曲 之 小 節數 乘 以 0.618， 或 更 嚴 謹 的 將 節 拍 數 乘以 0.618。 此 時 若 屬 黃金 分 割 點 ， 則 此 處 應 相 當於 該 曲 之 重 要 段落 、 附 屬 主 題 、 轉 調 段 落、 主 題 再 現 部 、發 展 部 或 是 歌 曲 的 副 歌 開始 之 處 ( 童 忠 良 ， 1993) 。 本 文 以 莫 札 特 (W.A.Mozart)小 提 琴 「 協 奏 曲 第 三 號 」 第 一 樂 章 為 樂 曲 結 構 分 析 範 例 說 明 如 譜 例 一 ： 此 樂 章 為 G 大 調 、 拍 號 4/4、 速 度 Allegro，曲 式 為 奏 鳴 曲 式，全 樂 章 共 有 214 小 節，包 括 管 絃 樂前 奏 第 1 ~ 37 小 節 共 37 小 節；獨 奏 小 提 琴 呈 示 部 第 38 ~ 105 小 節 共 68 小 節；獨 奏 小 提 琴 展 開 部 第 一主 題 第 106 ~ 135 小 節 共 30 小 節 ； 獨 奏 小提 琴 展 開 部 第 二主 題 第 136 ~155 小節 共 20 小 節 ； 獨 奏小 提 琴 再 現 部 第 156 ~ 214 小 節 共 59 小 節。故 此 曲 在 獨 奏 小 提 琴 展開 部 第 一 主 題 結 束時 出 現 黃 金 分 割 點 ， 其 比值 為 (37+68+30) / 214 = 0.631 符 合 黃 金分 割 法 則(翁 瑞 霖 ，2004a)。 譜 例 一 莫 札 特 小 提 琴 「 協 奏 曲 第 三 號 」 第 一 樂 章 管 絃 樂 前 奏 第 1~37 小 節 獨 奏 小 提 琴 呈 示 部 第 38~105 小 節 獨 奏 小 提 琴 展 開 部 第 一 主 題 第 106~135 小 節 獨 奏 小 提 琴 展 開 部 第 二 主 題 第 135~155 小 節 樂 章 結 束 第 214 小 節 獨 奏 小 提 琴 再 現 部 第 156~214 小 節

此 外，另有 一 種 樂 曲 結 構，乃 樂 曲重 要 段 落 處 之後 所 剩 餘 之 小 節 數 佔 全 曲小 節 數 之 0.618，即「 前 段 短後 段 長 」的 結 構(童 忠 良 ， 1993) 。 本 文 以 威 尼 奧 夫 斯 基 (H.Wieniawski) 所 作 之 小 提 琴 名 曲 「 傳 奇 曲(Legende)」為 樂 曲 結 構 分 析 範 例說 明 如 譜 例 二 ：該 曲 全 長 共 有 191 小 節 ， 可 以 明 確 分 為 三個 段 落 。 第 一 段 呈 示 部 第 1 ~ 67 小 節，為 g 小調、拍 號 3/4、速 度 Andante， 共 67 小 節 ； 第 二 段 展開 部 第 68 ~ 147 小 節 ， 為 e 小 調 、 拍 號 4/4、 速 度 Allegro Moderato， 共 80 小 節 ； 第 三 段 再 現 部 第 148 ~ 191 小 節 ， 為 g 小 調 、 拍 號 3/4、速 度 Andante，共 44 小 節。如 以 一 般「 前 段 長 後 段 短 」之 黃 金 分 割 法 則 計 算 此 曲， 則 其 比 值 為(67+80) / 191 = 0.770， 並 不 符 合 黃 金 分 割法 則；然 而 若 以「 前段 短 後 段 長 」 之 方 式 計 算， 則 其 後 段 小 節 數 對 全 曲小 節 數 之 比 值為(80+44) / 191 = 0.649， 近 似 黃 金 數 ， 符 合 黃 金 分 割 法 則 ( 翁 瑞 霖 ， 2004b)。

三、音階

（ 一 ） 畢氏 音 階 畢 達 哥 拉 斯 和 他 的 後 繼 者 師 法 美 索 不 達 米 亞 和埃 及 人 ， 將 數 字 觀 念 應 用在 音 樂 上 ， 對 希臘 和 後 來 的 歐 洲 音 樂 理 論， 產 生 極 為 深 遠的 影 響 ， 為 希 臘 音 樂 理 論之 開 山 鼻 祖 。 他曾 經 用 一 琴 弦 計 算 每 一 個可 能 推 想 得 到 的音 程 ， 並 定 出 其 長 度 比 例， 發 現 了 音 樂 的音 程 完 全 與 整 數 的 比 值 有關 ， 而 得 到 如表 一 的 畢 氏 音 階，其 中 C1代表 比 音 C 高 一個 八 度 音 程(童 忠 良，1993；黃 嘉 彥 ，2000 )。 譜 例 二 威 尼 奧 夫 斯 基 小 提 琴 名 曲 「 傳 奇 曲 (Legende)」 展 開 部 第 68~147 小 節 再 現 部 第 148~191 小 節 樂 曲 結 束 第 191 小 節 7 66 186 148 呈 示 部 第 1~67

（ 二 ） 純律 音 階

在 畢 氏 音階 中，E、A、B 三 個 音 對音 C 的 頻 率 比 值 分 別 是 27/16 、 81/64 和 243/128，並沒 有 呈 現 如 同 其 他 音 非常 簡 單 的 整 數 比 ；因 此 ， 天 文 學 家 兼 數 學 家拖 勒 密( Ptolemy)利 用 和 弦 的 升 降 ， 將 E、 A、 B 之比 值 分 別 修 正 為 5/4、5/3、15/8， 而 得 到 表 二之 純 律 音 階 （ 蔡 聰 明 ，1994）。 （ 三 ） 十二 平 均 律 音 階 所 謂 十 二平 均 律，即 將 1 個 完 全 八度 音 程 按 數學 等 比 數 列 劃 分 為 12 個 部 分，每 1 個部 分 即 為 1 個 半 音 ， 每 2 個 半 音 則 構 成 1 個 全 音； 而 每 1 個 半 音 之 振 動頻 率 為 前 1 個 半 音 之12

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倍。 我 們 稱 之 〝 十二 平 均 律〞、〝 十 二 等 比 律〞，或 簡 稱〝 平 均 律 〞， 其 所 得 到 如表 三 之 音 階 則 稱 為 十 二 平均 律 音 階 。

肆、 研 究結 果 與討 論

一、黃金比例在樂曲結構的應用範例

畢 達 哥 拉斯 及 其 學 派，在 數 學 領 域中 努 力 追 求 和 諧 與 完 美 ， 使 他 們 從 正 五 邊 形 的 邊 長 和 對 角 線 的 比 例 中 發 覺 了 黃 金 比 例 (孫 文 先 ， 1996)； 而 從 正 五 邊 形 所 獲 得 黃 金 比 例 的 相 關 發 現 ， 推 得 畢 氏 學 派 的 入 派 標 誌 正 五 角 星 ， 其 所 內 接 之 正 五 邊 形 邊 長 與 正 五 角 星 邊 長 ， 亦 存 在 黃 金 比 例 的 關 係 (洪建 全 教 育 文 化 基 金 會，1985；童 忠 良 ， 1993)。畢 氏 學派 之 所 以 會 對 黃 金比 例 產 生 興 趣 ， 乃 因 希 臘 人 認 為 真 善 美 是 一 體 的 ， 而 黃 金 比例 中 即 包 含 了 藝 術 的「美 」、數學 的 「 真 」、 和 應 用 的 「 善 」 (洪 建 全 教 育 文 化 基 金 會，1985)。 完 美 的 藝術 創 作，其 基 礎 就 是 作 品各 部 份 之 間 完 美 的 數 學 關 係 ， 故 音 樂 結 構 的 美 的 效 應， 也 同 樣 有 賴 於 樂 曲 各 部份 之 間 表 一 、 畢 氏 音 階 音 名 C D E F G A B C1 比 值 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 表 二 、 純 律 音 階 音 名 C D E F G A B C1 比 值 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 表 三 、 十 二 平 均 律 音 階 音 名 C D E F G A B C1 比 值 1

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的 完 美 數 學 比 例 關 係 。 費 波 納 契 數 列 和 黃 金 比 例 應 用 在 樂 曲 結 構 的 範 例 很 多 ， 例 如 莫 札 特 (Mozart) 的 奏 鳴 曲 、 貝 多 芬 (Beethoven) 的 第 五 號 交 響 曲 、 巴 爾 托 克 (Bartok)的第 四 號 弦 樂 四 重 奏 等。其 中 又以 巴 爾 托 克 作 品 的 黃 金 比 例 應 用 最 為 著 名 ， 尤 其 是 他 於 1937 年所 開 始 編 纂 一套 包 括 6 冊 153 首樂 曲 的 鋼 琴 曲 集「 小 宇宙 」，富含 教 育 意 義 ， 極 為 獨 特 ； 其 難 度 為 循 序 漸 進 的 方 式 ，從 第 1 冊 的 基 本 手 指 練習 ， 到 第 6 冊的 高 難 度 音 樂 會 演 奏 曲 。 將 此 「 小 宇 宙 」 全 集 依 前 述 黃 金 分 割 法 則 加 以 計 算 後，其 中 大 約 有 80%明 確 的 顯 示出 這 些 作 品 之 曲 式 結 構 ， 和 黃 金 分 割 的 規 律 有 著 密 切 的 關 係 ， 如 表 四 所 示 ( 童 忠 良 ， 1993 ； Locke，1987；Lendvai，1971；Mine，1999)。 本 研 究 嘗 試 將 小 提 琴 教 學 重 要 的 啟 蒙 教 材 鈴木 鎮 一 所 著 之「 鈴 木 小 提琴 教 材 」 全 套 共 8 冊 ，及 篠 崎 弘 嗣 所 著 之「 篠 崎 小 提 琴 教 材」 全 套 共 6 冊 進 行 分 析， 發 現 有 許 多 樂 曲 都 存 在 黃 金 分 割 法 則 ， 尤 其 是 舞 曲 類 之 樂曲，不 論 是 嘉 禾 舞 曲、小 步 舞 曲、 布 雷 舞 曲 、 圓 舞 曲 、 庫 朗 特 舞 曲 或 其 他 舞 曲，其 樂 曲 之 結 構 超 過 80%存在 黃 金 比 例 的 分 割 ，其 分 析 結 果 整 理 如 表 五 所示 。 上 述 表 五 中 存 在 黃 金 比 例 分 割 之 舞 曲 類 作 品的 明 細 如 表 六 所 示 。 為 了 多 方 確 認 黃 金 分 割 法 則 在 舞 曲 類 作 品 的 結 構 應 用 是 否 如 前 述 之 推 論 ， 本 研 究 嘗 試 分 析 其 他 著 名 小 提 琴 舞 曲 ， 而 獲 得 表 七 之 分 析 結 果 (〝 *〞 表 示 以 「 前 段 短 後 段 長」的 方 式 計 算)，再 一 次 確認 舞 曲 類 作 品 之 樂 曲 結 構 ， 均 十 分 顯 著 的 符 合 黃 金 分 割 法 則， 與 黃 金 比 例 存 在 密 切 的關 係 。 表 四 、 巴 爾 托 克 「 小 宇 宙 」 全 集 及 各 分 冊 之 黃 金 比 例 應 用 統 計 表 冊 數 曲 數 黃 金 分 割法 則 存 在 的 曲數 黃 金 分 割法 則 存 在 的 比 例 第 1 冊 36 曲 23 曲 23 / 36 = 64 % 第 2 冊 30 曲 22 曲 22 / 30 = 73 % 第 3 冊 30 曲 26 曲 26 / 30 = 87 % 第 4 冊 25 曲 23 曲 23 / 25 = 92 % 第 5 冊 18 曲 15 曲 15 / 18 = 83 % 第 6 冊 14 曲 14 曲 14 / 14 = 100 % 全 集 153 曲 123 曲 123 / 153 = 80 % 表 五 、「鈴木小提琴教材」及「篠崎小提琴教材」舞曲類作品之黃金比例應用統計表 舞 曲 種 類 曲 數 黃 金 分 割法 則 存 在 的 曲數 黃 金 分 割法 則 存 在 的 比 例 嘉 禾 舞 曲 11 首 9 首 9 / 11 = 82% 小 步 舞 曲 8 首 7 首 7 / 8 = 88% 布 雷 舞 曲、圓 舞 曲、庫 朗 特 舞 曲 或其 他 舞 曲 19 首 16 首 16 / 19 = 84% 全 部 舞 曲 38 首 32 首 32 / 38 = 84%

表 六 、 存 在 黃 金 比 例 分 割 之 舞 曲 範 例 明 細 表 舞 曲 名 作 者 調 性 拍 號 比 值 L.V.Beethoven G 大 調 4/4 44 / 77 = 0.571 J.B.Lully a 小 調 2/2 34 / 55 = 0.618 P.Martini G 大 調 2/2 56 / 88 = 0.636 A.Thomas G 大 調 2/4 46 / 71 = 0.648 D 大 調 4/4 52 / 80 = 0.650 J.S.Bach g 小調 2/2 32 / 48 = 0.667 J.Becker g 小調 4/4 16 / 24 = 0.667 F.J.Gossec D 大 調 4/4 32 / 48 = 0.667 嘉 禾 舞 曲 J.P.Rameau D 大 調 2/2 48 / 72 = 0.667 D 大 調 3/4 58 / 94 = 0.617 d 小調 3/4 63 / 102 = 0.618 W.A.Mozart F 大 調 3/4 32 / 48 = 0.667 G 大 調 3/4 32 / 48 = 0.667 G 大 調 3/4 32 / 48 = 0.667 J.S.Bach 第 一 小 步舞 曲 第 二 小 步舞 曲 第 三 小 步舞 曲 G 大 調 3/4 16 / 24 = 0.667 小 步 舞 曲 L.V.Beethoven G 大 調 3/4 32 / 48 = 0.667 吉 格 舞 曲 D 大 調 6/8 20 / 34 = 0.588 布 雷 舞 曲 G 大 調 2/2 52 / 80 = 0.650 庫 朗 特 舞曲 J.S.Bach D 大 調 3/4 28 / 42 = 0.667 圓 舞 曲 G 大 調 3/4 14 / 22 = 0.636 第 五 號 匈牙 利 舞 曲 J.Brahms g 小調 2/4 92 / 142 = 0.648 露 西 亞 舞曲 H.Shinozaki a 小 調 2/4 24 / 40 = 0.600 基 格 舞 曲 F.M.Veracini d 小調 12/8 34 / 56 = 0.607 波 羅 奈 斯舞 曲 C.Dancla d 小調 3/4 24 / 39 = 0.615 金 婚 式 舞曲 G.Marie a 小 調 4/4 64 / 104 = 0.615 庫 朗 特 舞曲 A.Corelli F 大 調 3/4 29 / 46 = 0.630 舞 曲 Hohmann c 小 調 2/4 36 / 56 = 0.643 多 瑙 河 細波 圓 舞 曲 J.Ivanovia a 小 調 3/4 32 / 48 = 0.667 布 雷 舞 曲 G.F.Handel G 大 調 4/4 44 / 66 = 0.667 妖 精 舞 N.Paganini D 大 調 2/4 16 / 24 = 0.667 土 風 舞 C.M.Weber D 大 調 3/4 48 / 72 = 0.667 德 國 舞 曲 K.D.Dittersdorf 降 E 大 調 3/8 32 / 48 = 0.667

表 七 、 著 名 小 提 琴 舞 曲 黃 金 比 例 應 用 之 範 例 舞 曲 名 作 者 調 性 拍 號 比 值 第 一 號 匈 牙 利 舞 曲 J.Brahms g 小 調 2/4 112 / 187 = 0.599 溜 冰 者 圓 舞 曲 E.Waldteufel C 大 調 3/4 101 / 165 = 0.612 安 妮 特 拉 之 舞 E.Grieg b 小 調 3/4 32 / 52 = 0.615 夏 康 舞 曲 T.A.Vitali g 小 調 3/2 126 / 195 = 0.660 馬 拉 蓋 牙 舞 曲 P. Sarasate D 大 調 3/8 *123 / 204 = 0.603 察 巴 替 亞 舞 曲 P. Sarasate A 大 調 6/8 93 / 140 = 0.666 哈 巴 奈 拉 舞 曲 P. Sarasate d 小 調 2/4 119 / 180 = 0.661 庫 亞 威 舞 曲 H.Wieniawski a 小 調 3/4 *64 / 103 = 0.621 華 麗 的 波 羅 耐 舞 曲 H.Wieniawski A 大 調 3/4 *172 / 267 = 0.644 諧 謔 曲 － 塔 倫 泰 拉 舞 曲 H.Wieniawski g 小 調 6/8 270 / 423 = 0.638 西 班 牙 舞 曲 E.Granados G 大 調 6/8 64 / 96 = 0.667 笙 舞 黃 輔 棠 E 大 調 2/4 *36 / 60 = 0.600 手 鼓 舞 黃 輔 棠 D 大 調 2/4 93 / 148 = 0.628 D 羽 調 舞 曲 黃 輔 棠 d 小 調 3/8 91 / 152 = 0.599 E 徵 調 舞 曲 黃 輔 棠 E 大 調 3/4 78 / 127 = 0.614 春 燈 舞 黃 友 棣 D 大 調 2/4 98 / 156 = 0.628 舞 曲 靳 延 平 A 大 調 2/4 78 / 129 = 0.605 內 蒙 組 曲 三 、 塞 外 舞 曲 馬 思 聰 a 小 調 2/4 *132 / 215 = 0.614

二、音階的數學解析

由 前 述 之 畢 氏 音 階 和 純 律 音 階 的 頻 率 比 值 ， 本研 究 分 析 其 小 二 度 音 程 及大 二 度 音 程 頻率 關 係 ， 如 表 八 所 示 。 純 律 音 階 中 的 小 二 度 音 程 頻 率 比 值 為 16/15，較 畢 氏 音 階中 的 256/243，呈 現 更 簡 單 的整 數 比 例 ； 然 而 其 大 二 度音 程 的 頻 率 關 係， 除 了 畢 氏 音 階 所 顯 現 的 9/8 之 外，另 存 在一 組 10/9 的 比 值。故 畢氏 音 階 雖 然 因 為 音 E、A、B 沒 有 呈 現 非 常簡 單 之 整 數 比 ， 而經 拖 勒 密 修 正 成 具 有 非 常簡 單 整 數 比 的 純律 音 階 ， 但 是 畢 氏 音 階 音程 之 間 所 形 成 的頻 率 比 例 關 係 ， 卻 較 純 律音 階 呈 現 更 高的 規 律 性 。

表 八 、 畢 氏 音 階 和 純 律 音 階 的 小 二 度 音 程 及 大 二 度 音 程 頻 率 關 係 音 程 大 二 度 (D/C) 大 二 度 (E/D) 小 二 度 (F/E) 大 二 度 (G/F) 大 二 度 (A/G) 大 二 度 (B/A) 小 二 度 (C1_/B) 畢 氏 音 階 頻 率 比 值 9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243 純 律 音 階 頻 率 比 值 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15 然 而，如 果依 目 前 樂 理 對 大 二 度 音程 (1 個 全 音)和 小 二 度 音程(1 個半 音)的 定 義 而 言，無 論 是 畢 氏 音 階 的 9/8 和 256/243， 或 是 純 律音 階 的 9/8、10/9 和 16/15，其 大 小 二 度 音程 頻 率 比 例 之 間 ， 既 不 存 在 1 個 半 音 為 1 個 全 音 頻率 的 1/2 之 算術 平 均 關 係 ， 亦 不存 在 1 個 半 音 為 1 個 全 音頻 率 開 二 次 方 之 幾 何 平 均 關 係 ， 故 在 使 用 升 降 半 音 時 ， 會 有 不 相 等 頻 率 的 〝 音 差 〞 情 形 出 現。例如 音 C 和 音 D 之 間 隔 為 1 個 全 音 ， 依 上 述 兩種 音 階 將 音 C 升 半 音 後所 獲 得 之 頻 率 ， 和 音 D 降 半 音 後 的 頻 率 並不 相 同 ， 此 二 者 頻率 之 差 即 所 謂 的 〝 音 差〞。 故 隨 著 音樂 的 發 展，雖 然 音 樂 家 都採 用 上 述 兩 種 音 階 來 演 出 ， 然 而 在 移 調 、 轉 調 、 以 及 不 同 樂 器 一 起 演 奏 的 和 諧 度 上 ， 均 無 法 符 合 演 奏 者 或 音 樂 創 作 者 的 需 求 （ 蔡 聰 明，1994）。因 此 無 論 東 西方 的 音 樂 家 和 律 學 家 ， 都 曾 為 此 感 到 困 惑 難 解 。 而 為 了 解 決 這 個 移 調 、 轉 調 和 和 諧 度 (音 差 ) 的 問 題 ， 兩 方 的 音 樂 體 系 從 各 自 的 音 律 傳 統 出 發 ， 分 別 經 歷 了 漫 長 且 艱 辛 的 探 索 ， 最 後 終 於 殊 途 同 歸 於 相 似 的 平 均 律 制 ， 而 產 生 了 前 文 所 敘 述 之 能 夠 轉 調 、 移 調 ， 同 時 具 有 和 諧 度 的 十 二 平 均 律 音 階 ( 童 忠 良 ，1993)。 如 以 1939 年國 際 間 訂 定 音 樂 會 絕對 音 高 A 的 頻 率 為 440 Hz，則可 依 十 二 平 均 律 計 算 出 從 C 至 C1 之 12 個 半音 的 比 值 及 其 頻 率 。 有 了 絕 對 音 高 的 訂 定 和 十 二 平 均 律 的 基 本 運 算 之 後 ， 樂 器 可 依 此 調 整 其 音 律 。 就 像 調 整 一 台 物 理 儀 器 一 樣 ， 對 準 標 準 音 高 就 是 找 到 基 準 點 ， 再 用 此 基 準 點 根 據 十 二 平 均 律 制 調 準 其 他 音 ( 龔 鎮 雄 ， 1996 )。 由 於 十 二 平 均 律 的 合 理 與 實 用 ， 解 決 了 長 久 以 來 移 調 和 轉 調 的 一 大 難 題 ， 並 因 而 使 音 樂 的 展 現 形 成 更 加 多 元 化 的 形 式 及 風 格 ； 特 別 是 琴 鍵 樂 器 ， 可 以 根 據 需 要 而 自 由 地 使 用 所 有 的 琴 鍵 。 故 直 到 今 日 ， 十 二 平 均 律 在 西 方 仍 被 普 遍 地 看 作 是 〝 標 準 調音 〞或〝 標 準 的 西 方 音 律〞(童 忠 良 ，1993 )。

三、五度相生律的數學探討及應用

畢 氏 音 階 所 有 的 音 都 是 由 完 全 五 度 音 程 的 關 係 所 推 演 出 來 的 ， 因 此 ， 其 所 產 生 之 律 制稱 為〝 五 度 相 生 律〞。在 五 度 相 生 律 中 ， 全部 音 階 的 音 是 由 一 系 列 5 個 連續 的 高 完 全五 度 音 程 和 1 個 低 完 全五 度 音 程 得 來 ， 其 推 演 的 過 程 簡 化 後 如 下 ： 首 先 由 音 C 以 5 個 連續 的 高 完 全 五 度 音程 推 得 音 G、D、A、E、B，即 C(1)→G(3/2)→D1_(9/4) → D(9/8)→ A(27/16)→ E1(81/32)→ E(81/64) →B(243/128)； 接 著 由 音 C 以 1 個 低 完全 五 度 音 程 推 得 音 F， 即 C(1)→ F1 (2/3)→ F(4/3)， 其中 F1代 表 比 音 F 低 一 個 八度音 程 。 由 五 度 相 生 律 推 演 畢 氏 音 階 的 模 式 ， 本 研 究 嘗 試 使 用 其 他 不 同 音 程 之 相 生 律 來 推 演畢 氏 音 階，結果 發 覺 其 中只 有〝 四 度 相 生 律 〞 具 有 相 同 的 功 能 ， 即 所 有 的 音 都 是 由 完 全 四 度 音 程 的 關 係 所 推 演 出 來 的 。 在 四 度 相 生 律 中 ， 全 部 音 階 的 音 是 由 1 個高 完 全 四 度音 程 和 一 系列 5 個 連 續 的 低 完 全 四 度 音 程 得 來 ， 其 推 演 的 過 程 亦 簡 化 如 下 ：首 先 由 音 C 以 1 個 高 完 全 四 度 音 程 推 得 音 F，即 C(1)→ F(4/3)；接 著 由 音 C 以 5 個 連 續 的 低 完 全 四 度 音 程 推 得 音 G、D、A、E、B，即 C(1)→G1(3/4)→G(3/2) → D(9/8) → A1(27/32) → A(27/16)→ E(81/64) →B1(243/256)→B(243/128)。 由 五 度 和 四 度 兩 種 相 生 律 所 獲 得 之 音 階 ， 其 頻 率 比 值 完 全 相 同 ； 若 以 目 前 樂 理 所 定 義 之 每 一 個 八 度 音 程 有 12 半 音 來 分 析 ， 則 上 述 結 果 是 可 以 預 期 的 。 因 為 五 度 相 生 律 採 完 全 五 度 方 式 推 演 各 音 ， 其 音 程 間 隔 為 7 個半 音 ； 而 四 度 相 生律 採 完 全 四 度 推 演各 音 ， 其 音 程 間 隔 為 5 個 半 音。 已 知 往上 7 個 半 音 與 往 下 5 個 半 音， 所 獲 得 為 相 差 1 個八 度 的 同 一 個 音 ；同 理 往 下 7 個半 音 與 往上 5 個 半 音 ， 所 獲得 的 亦 為 相 差 1 個 八 度的 同 一 個 音 ， 此 種互 補 之 情 形 稱 為 轉位 的 關 係 。 故 在 五 度 相 生 律 中 以 音 C 之 頻 率 為 1， 經過 5 個 連 續 的 高 完 全 五 度 音 程 和 1 個 低 完 全 五 度 音 程 得 到 整 個 音 階 ； 而 在 四 度 相 生 律中 則 仍 以 音 C 之 頻 率 為 1， 但 是 卻 相 反 於 五 度 相 生 律 的 音 程 方 向 ， 改 採 經 過 1 個 高 完全 四 度 音 程 和 5 個 連 續的 低 完 全 四 度 音 程 ， 而 得 到 整 個 音 階 。 其 推 演 的 過 程 完 全 相 同 ， 所 得 之 結 果 也 相 同 ， 其 唯 一 不 同 處 ， 乃 在 於 往 高 和 往 低 的 音 程 方 向 及 間 隔 之 半 音 數 目 不 同 而 已 ， 也 因 而 形 成 五 度 相 生 律 和 四 度 相 生 律 彼 此 互 補 的 關 係 。 至 於 其 他 音 程 相 生 律 ， 經 實 際 演 算 後 證 實 均 無法 推 演 出 畢 氏 音 階 。 畢 達 哥 拉斯 所 發 明 之 五 度 相 生 律，除 了 推 演 出 畢 氏 音 階 之 外 ， 在 其 他 音 樂 領 域 中 也 扮 演 非 常 重 要 的 角 色 ， 而 其 中 更 蘊 藏 著 許 多 數 學 的 應 用 。 以 調 性 為 例 ， 依 升 記 號 數 目 之 增 加 ， 其 大 調 調 性 之 順 序 依 次 為 C(0)、G(1)、D(2)、A(3)、E(4)、B(5)、# _F(6)、 # _{C(7)， 其 中 ( )內 之 數 字 代 表 升 記 號 的 數}

目。從 中 可 以 明 顯 看 出 音 G 為 音 C 之 高完 全 五 度 音程，音 D 亦 為 音 G 之 高 完 全 五 度 音 程 ， 以 此 類 推 得 知 升 記 號 之 大 調 調 性 乃 以 C 大 調為 基 礎，運 用 高 完 全 五度 音 程 之 五 度 相 生 律 所 製 造 出 的 新 調 ， 現 今 的 樂 理 稱 之 為〝 上 五 度 移 調 法〞；而 因為 這 些 音 階 必 須 使 用 升 記 號 ， 故 又 稱 為 〝 升 記 號 大 音 階〞。 同 理 依 降記 號 數 目 之 增 加，其 大 調 調 性 之 順 序依 次 為 C(0)、F(1)、bB (2)、b_E(3)、 b_A(4)、b_D(5)、b_G(6)、b_{C(7)，其 中( )內之} 數 字 代 表 降 記 號 的 數 目 ， 從 中 亦 可 以 明 顯 看 出 音 F 為 音 C 之 低 完 全 五 度 音程，音bB 亦 為 音 F 之 低 完 全 五 度 音 程，以 此 類 推 得 知 降 記 號之 大 調 調 性 亦 以 C 大 調為 基 礎 ， 運 用 低 完 全 五 度 音 程 之 五 度 相 生 律 所 製 造 出 的 新 調 ， 現 今 的 樂 理 稱 之 為 〝 下 五 度 移 調 法〞；而 因 為 這些 音 階 必 須 使 用降 記 號 ， 故 又 稱 為〝 降 記 號 大 音 階 〞。 其 次，從 同調 號 的 相 對 應 大 小 調 所形 成 的 關 係 調 ， 即 大 小 調 之 間 所 存 在 小 三 度 音 程 的 和 諧 關 係 ， 亦 可 推 論 小 調 之 調 性 也 應 遵 從 五度 相 生 律 。 例 如 ：a 小 調 為 C 大 調 之 關 係小 調，音 C 為 音 A 之 高 小 三 度 音 程，e 小 調 為 G 大 調 之 關 係 小 調，音 G 為 音 E 之 高 小 三 度音 程；而 大 調 之 音 G 為 音 C 之 高 完 全 五 度 音 程， 小 調 之 音 E 亦 為 音 A 之 高 完 全 五度 音 程 ， 故 依 此 類推 可 知 其 他 同 調 號 的 相 對 應 大 小 調 ， 亦 形 成 如 同 上 述 的 和 諧的 關 係 。 此 外，從 升 降 記 號 的 先後 順 序，亦 可 看 出 其 與 五 度 相 生 律 之 關 聯 及 其 規 律 性 。 已 知 升 記號 的 順 序 依 次 為 F、 C、G、D、 A、E、B， 此 順序 乃 以 調 升 音 F 為 起 點 ， 用 高 完 全 五 度 音 程 相 生 方 式 ， 依 序 調 升 其 它 的 音 ； 而 降 記 號 的 順 序 則 恰 為 升 記 號 的 相 反 順 序 B、E、 A、D、G、C、F， 此 乃 因 其 以 調降 音 B 為 起 點，用 低 完 全 五度 音 程 相 生 方 式 ， 依 序 調 降 其 它 的 音 。 故 升 降 記 號 的 先後 順 序 ， 亦 皆 遵 守 五 度 相生 律 。 而 提 琴 系列 樂 器 小 提 琴、中 提 琴 和大 提 琴 所 使用 之 4 條 琴 弦 ， 其 彼 此間 的 頻 率 關 係 亦 存 在 五 度 相 生 律 。 以 小 提 琴 為 例 ， 其 4 條 琴 弦 之 頻 率 由 低 至 高 分 別是 G1(比 音 G 低 1 個 八 度)、D、A、E1(比 音 E 高 1 個 八 度)， 其 中 音 G1至 音 D、 音 D 至音 A 和 音 A 至 音 E1，均 為 完 全 五 度 音程，彼 此 間 音 高 之差 為 7 個 半 音 。 同 理 中提 琴 之 4 條 琴 弦 C1、G1、D、A；及 大 提 琴 之 C2(比 音 C 低 2 個 八 度)、G2、 D1、 A1， 其 琴 弦 之 間 音 高 之 差 皆 為 完 全 五 度 音 程 ， 亦 都 遵 守 五 度 相生 律 。 由 於 黃 金 比 例 在 各 種 領 域 的 普 遍 運 用 ， 展 現 了 其 最 完 美 的 和 諧 性 ； 也 因 此 與 它 同 樣 出 於 畢 達 哥 拉 斯 學 派 且 關 係 密 切 的 五 度 相 生 律 ， 其 在 音 樂 領 域 發 展 所 具 有 的 重 要 性 ， 自 然 是 可 以 預 期 的 ； 而 畢 達 哥 拉 斯 在 音 律 上 的 這 一 個 偉 大 成 就 ， 經 由 其 弟 子 及 後 人 的 傳 播 ， 確 立 了 五 度 相 生 律 在 世 界 律 學 史 上 的 地 位 ， 對 西 方 音 樂 的 發 展 有 極 大 的 影響 。

四、音樂的數學二元座標圖

（ 一 ） 音程 座 標 圖 音 程 為 兩音 之 間 的 高 度 關 係，用〝 度〞 來 表 示 其 間隔 ； 其 度 數 是 由 譜 表 上 的音 符 位 置 決 定 ，和 半 音 或 全 音 並 無 關 係 。故 同 高 度 的 2 個音 稱 為 一 度 ， 緊 鄰 的 2 個音 稱 為 二 度 ， 以此 類 推 增 至 八 度 時 ， 成 為同 音 名 而 相 差八 度 的 2 個 音(黑 澤 隆 朗，1995)。 然 而 當 考 慮半 音 或 全 音 時 ， 相 同 音 程會 因 所 具 有 之半 音 或 全 音 數 目 不 同，而 形 成 14 種 自 然 音 程， 再 加 上 因 為 臨 時 升 降 記號 加 入 所 形 成 之 8 種 變 化 音 程，總 計形 成 了 22 種 音 程。本 文 將 此 22 種 音 程 分 別 依照 度 數 和 間 隔 的 半音 數 目 作 區 分 ， 可 整 理 歸納 如 表 九 、 十： 表 九 、 音 程 依 照 度 數 作 區 分 音 程 度 數 音 程 數 目 音 程 名 稱(半 音 數 目) 一 度 2 完 全 一 度(0)； 增 一 度(1) 二 度 3 小 二 度(1) ；大 二 度(2)； 增 二 度(3) 三 度 3 減 三 度(2) ；小 三 度(3)； 大 三 度(4) 四 度 3 減 四 度(4) ；完 全 四 度(5)； 增 四 度(6) 五 度 3 減 五 度(6) ；完 全 五 度(7)； 增 五 度(8) 六 度 3 小 六 度(8) ；大 六 度(9)； 增 六 度(10) 七 度 3 減 七 度(9) ；小 七 度(10)； 大 七 度(11) 八 度 2 減 八 度(11) ； 完 全 八 度(12) 表 十 、 音 程 依 照 間 隔 的 半 音 數 目 作 區 分 半 音 數 目 音 程 數 目 音 程 名 稱 0 1 完 全 一 度 1 2 增 一 度 ； 小 二 度 2 2 大 二 度 ； 減 三 度 3 2 增 二 度 ； 小 三 度 4 2 大 三 度 ； 減 四 度 5 1 完 全 四 度 6 2 增 四 度 ； 減 五 度 7 1 完 全 五 度 8 2 增 五 度 ； 小 六 度 9 2 大 六 度 ； 減 七 度 10 2 增 六 度 ； 小 七 度 11 2 大 七 度 ； 減 八 度 12 1 完 全 八 度

從 上 述 分 別 依 照 音 程 度 數 和 間 隔 的 半 音 數 目 作 分 ， 所 整 理 歸 納 出 的 2 個 表 格 ， 本 研究 將 其 轉 換 為 X-Y 二 元平 面 圖 ， 即 假 設 音程 度 數 為 X 軸，間 隔 的 半音 數 目 為 Y 軸，則 每 種 音 程 在 X-Y 二 元平 面 圖 上 都 存 在 一個 座 標 Mxy， 例 如 M10(一 度 0 半 音)：表 示 音 程度 數 為 一 度、間 隔 的 半 音 數 目 為 0 個，即 是 完 全 一 度 音 程；M21(二 度 1 半 音)：表 示音 程 度 數 為 二 度、間 隔 的 半 音 數 目為 1 個，即 是 小 二 度 音 程；M32(三 度 2 半 音)：表 示音 程 度 數 為 三 度、間 隔 的 半 音 數 目 為 2 個 ， 即 是 減 三 度 音 程， 其 它 音 程 則 依序 類 推 。 本研究嘗試將此 X-Y 二元平面圖上的各 音程座標點連線，獲得如圖一具有高度對稱性 的音程座標圖形。而原本看似複雜、沒有秩序 的 22 種音程，經由 X-Y 二元平面圖的連線及 分析說明，可以明顯看出各種音程之間所呈現 的高度和諧性、規律性和對稱性。而相較於傳 統以文字敘述音程，本研究將音程經由表格式 的歸納整理和圖形式的分析說明，相信能提供 音樂學習者另一種思考的模式。 圖 一 、 音 程 座 標 圖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 M11 M10 M23 M22 M33 M32 M45 M44 M57 M56 M610 M69 M710 M79 M812 M811 (半 音 ) (度 ) M711 M68 M58 M46 M34 M21

降 記 號 大 音 階 升 記 號 大 音 階 （ 二 ） 音調 座 標 圖 如 前 文 所述 ， 依 升 記 號 數 目 之 增 加， 其 〝 升 記 號大 音 階 〞 大 調 調 性 之 順 序依 次 為 C(0)、G(1)、D(2)、A(3)、E(4)、B(5)、 # _F(6)、# _{C(7)； 而 依 降 記 號 數 目 之 增 加 ，} 其 〝 降 記 號大 音 階 〞 大 調 調 性 之 順 序依 次 為 C(0)、F(1)、bB (2)、b_E(3)、b_A(4)、b_D(5)、 b_G(6)、b_{C(7)，其 中( )內 之 數 字 分 別代 表 升} 降 記 號 的數 目。本 研 究 嘗 試 以 X-Y 的 二元 平 面 圖 來 呈現 升 降 記 號 大 音 階 ， 即 將升 降 記 號 大 音階 設 為 X 軸，升 降 記 號 的數 目 設 為 Y 軸，因 此 每 一 個 大 調 在 X-Y 的 二 元平 面 圖 中 都會 有 其 個 別 的 座 標 ， 例 如 G1 表 示 1 個 升記 號 的 G 大調，其 座 標 為(G，1)； 而 bB2 表 示 2 個 降記 號 的 b_{B 大 調，其 座 標} 則 為(bB，2)； 其 他 各 升 降 大 調 依此 類 推 ， 則 可 獲 得 如圖 二 所 示 因 五 度 相 生 律 所產 生 具 有 高 度 和諧 性 、 規 律 性 和 對 稱 性 的音 調 座 標 圖 形。 本 研 究 進 一 步 將 圖 二 之 X 座 標 由 音 名 改 以 數字 來 表 示 ， 即 升 記 號 大 音階 之 C = 0、#_{C = 1、D = 2…..， 降 記 號 大音 階 之} B = -1、b_{B = -2、 A = -3…..， 則 圖 二 可 以} 改 寫 為 如下 之 圖 三 。 圖 二 、 音 調 座 標 圖 G1 D2 C0 C D E F G A B C 7 6 5 4 3 2 1 C D E F G A B A3 E4 B5 #_F6 #_C7 b_B2 F1 b_E3 b_A4 b_D5 bG6 b_C7 升 降 記 號 數 目

降 記 號 大 音 階 升 記 號 大 音 階 圖 三 、 音 調 數 字 座 標 圖 由 圖 三 可 看 出 在 升 記 號 大 音 階 中 所 形 成 之 線 段 CG、DA 及 EB， 兩 兩 互 相平 行 ； 線段 DG、EA 及#CB， 亦 是 兩兩 互 相 平 行；線 段 C#F，也 平行 於 線 段 GB；各 線 段 互 相 平 行的 情 形 亦 以 對 稱 的 方 式 出現 在 降 記 號 大 音階 中 。 此 外 ， 依 照 升 記 號大 調 調 性 之 順 序 C、G、D、A、E、B、# F、# C， 計 算 所 形 成 之 8 個 三 角 形 Δ CGD 、 Δ GDA、ΔDAE、Δ AEB、ΔEBF、Δ# _{C CD、} Δ# C DE、Δ# _{C E}# _{F 面 積 皆 相 等，均為 6} 平 方 單 位 ；本 研 究 進 一 步 計 算 上 述 三角 形 之 內 角 ，結 果 顯 示 ∠CDG = ∠DGA = ∠ DEA = ∠ EAB = ∠ E# _{F B = ∠ CD}# _C =124○ ， 與 黃 金 角 137.5○ 十 分 接 近 ( 翁 瑞 霖 ， 2004b)； 同 樣 的 計 算 結 果 也 以 對 稱 的 方 式 出 現 在降 記 號 大 音 階 中 ， 顯 示 此由 五 度 相 生 律 所產 生 之 音 調 座 標 圖 亦 存 在黃 金 比 例 的 現 象。 而 除 了 線 段 的 平 行 關 係、 三 角 形 的 等 面 積 關 係 、 黃 金 比 例 的 關 係 之 外 ， 上 述 之音 調 所 形 成 的 座 標 圖 ， 依不 同 形 狀 的 組 合所 形 成 之 全 等 、 相 似 、 平分 、 等 分 、 比 例、 排 列 等 情 形 ， 其 所 呈 現之 和 諧 性 、 規 律性 、 對 稱 性 的 關 係 ， 更 存在 許 多 經 常 出 現在 幾 何 、 代 數 或 是 統 計 等數 學 領 域 中 之美 的 形 式 。

伍、 結 語

在 一 般 的觀 念 中，數 學 與 音 樂 是 兩條 涇 渭 分 明 的 平 行 線 ， 然 而 追 溯 至 數 千 年 前 ， 其 實 數學 與 音 樂 都 是 藝 術 領 域 的一 份 子 。 西 元 前五 、 六 世 紀 ， 古 中 國 春 秋戰 國 時 代 有 禮、樂、射、御、書、數「 六 藝 」， 為 當 時 知 識 份 子 必 須 學 習 的 一 些 基 礎 科 目 ， 其 中 的樂 是 音 樂 ， 而 數 則 是 算 術。 而 G(7,1) D(2,2) C(0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 A(9,3) E(4,4) B(11,5) #_F(6,6) #_C(1,7) b_B(-2,2) F(-7,1) b_E(-9,3) b_A(-4,4) b_D(-11,5) b_G(-6,6) b_C(-1,7) 升 降 記 號 數 目

在 同 一 時 期古 希 臘 則 將 藝 術 分 為 「 通俗 藝 術 」和「 自 由 藝 術」，數 學 與 音 樂 均屬 後 者； 在 當 時 期 的教 育 更 將 音 樂 、 數 學 及 天文 學 視 為 一 體 ，把 算 術 、 幾 何 、 天 文 及 音樂 統 整 在 數 學 之中 ， 成 為 西 方 所 謂 「 四 藝」 的 教 育 內 容 。 一 直 到 十 五 世 紀 文 藝 復 興 時 代 ， 自 由 藝術 中 還 包 含 著 法 律 、 天 文等 今 天 已 被 歸 屬為 社 會 科 學 或 自 然 科 學 範疇 的 項 目 。 到 了十 八 世 紀 ， 西 方 正 式 提 出「 美 的 藝 術」（ Les Beaux Arts） 的 觀 念， 泛 指 一 切 為 「 美」 的 目 的 存 在 之 人 類 活 動， 初 步 為 我 們 今天 統 稱 的 「 藝 術 」 劃 定 了一 個 基 本 範 圍 ，至 此 數 學 不 再 屬 於 藝 術 的類 別 而 自 成 了 一個 系 統 。 也 因 為 各 種 領 域分 工 愈 細 ， 壁 壘愈 分 明 的 結 果 ， 使 得 數 學與 音 樂 逐 漸 形 成 了 對 立 的 兩 個 系 統 ( 蔣 勳 ， 1996； 曾志 華 ，2000)。 然 而，處 在 這 個 多 元的 社 會 當 中，科 學 、 藝 術 和人 文 早 已 開 始 產 生 對 話 ，它 們 之 間 原 本 存在 的 鴻 溝 也 隨 著 教 育 改 革而 逐 漸 消 失 。 當然 我 們 不 敢 期 望 將 會 走 回中 古 時 期 的 知 識領 域 分 類 ， 但 肯 定 的 是 科學 與 人 文 或 藝 術絕 非 對 立 ， 而 是 有 所 對 話、 關 聯 及 相 互 影響 的 。 在 教 育 部 所 訂 定 之中 小 學 九 年 一貫 課 程「 十 大 基 本 能 力 」中的「 統 整 能 力」，即 主 張理 性 與 感 性 的 相互 協 調 ； 而 將 學 習 數學 與 音 樂 作 統 整 或 連 結 ，以 音 樂 相 關 情 境為 主 題 ， 探 索 其 與 音 樂 有關 的 問 題 ， 並 藉由 熟 悉 、 簡 易 的 數 學 概 念或 經 驗 運 用 其 中， 除 了 能 獲 得 數 學 與 音 樂相 關 的 知 識 外 ，更 是 促 進 思 想 清 晰 、 明 確、 簡 練 的 最 佳 途 徑 。 本 文 藉 由 數 學 的 簡 易 運 算 ， 探 討 其在 音 樂 領 域 中 的 應 用 ， 在在 顯 示 出 數 學 與音 樂 密 不 可 分 的 關 係 ， 期望 能 提 供 數 學 與 音 樂 另 一 種 的 學 習 或 教 學 模 式 ， 以 利 學習 成 效 的 提 昇 ； 然 而 音 樂的 呈 現，最 後 仍 需 建 立 在其 最 重 要 的 藝術(感 性) 本 質 上 ， 而非 僅 有 技 術 性 和 技 藝 性 的數 學 運 算(理 性)。 本 研 究 之 屬 性 為 跨 數 學 和 音 樂 兩 個 學 術 領 域 的範 圍 ， 從 歷 史 的 角 度 來 看， 這 是 一 個 一 直被 嘗 試 探 討 的 議 題 ， 而 且對 數 學 和 音 樂 的發 展 具 有 相 當 的 影 響 ； 尤其 音 樂 長 久 以 來多 以 感 性 的 層 次 聆 聽 和 欣賞 ， 如 能 以 科 學的 理 性 方 式 來 引 導 學 習 音樂 產 生 的 根 本 ，無 疑 是 一 個 有 趣 且 具 有 效益 的 教 學 和 學 術研 究 的 方 向 ； 對 於 學 習 者的 統 整 能 力 ， 及促 進 科 技 與 人 文 藝 術 的 融合 ， 也 有 其 一 定的 助 益 ， 更 符 合 國 內 教 育界 所 倡 導 的 課 程統 整 理 念 。 本 文 藉 由 跨 領域 之 通 識 教 育課 程「 自 然 科 學 與 音 樂 」之講 授， 探 討 音 樂 與數 學 的 關 係 ， 並 運 用 學 生在 數 學 領 域 中較 為 熟 悉 的「加 減 乘 除 四則 運 算 」 和「XY 的 二 元 座 標 圖」，用 來 敘 述、說 明 和 結 合 音 樂領 域 相 關 的 主 題 ， 以 提 昇非 音 樂 專 業 學 習者 的 音 樂 學 習 成 效 。 其 目的 除 了 分 享 教 學經 驗 ， 鼓 舞 大 家 積 極 參 與通 識 教 育 課 程 之規 劃 ， 並 提 供 通 識 教 育 課程 教 授 之 另 一 種思 考 模 式 之 外 ； 更 期 望 藉由 數 學 與 音 樂 的 多 元 對 話 ， 掌 握 其 互 動 的 軌 跡 ， 進 而 成為 推 動 科 際 整 合 、 促 進 科技 與 人 文 藝 術融 合 的 一 股 新 生 力 量 。

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投 稿 日 期： 民 國 93 年 12 月 13 日 接 受 日 期： 民 國 95 年 04 月 18 日

The Dialogue between Mathematics and Music--

A Study of the Application of Mathematics to Music

Jui-Lin, Ong

Department of Applied Chemistry, Fooyin University

Abstract

Mathematics as a representation of rationality produces aesthetics by its properties of order and harmony with music, and is closely connected to music though there is no transmission of sounds. On the other hand, without any number description, mathematics is all around the amplitude、frequency、quality、rhythm、melody、form and style of music. In this study, we try to provide the examples of the application of mathematics to music; the application of golden ratio to musical structure; the calculation and derivation of Pythagoras scale、pure scale and twelve-tone equal temperament scale; the application and analysis of mathematics in fifth-degree co-generation method; and the two-dimension research of the interval and scale. These discussions apparently show the strong correlation of mathematics and music. This study aims to provide a new concept to promote the integration of technologies and humanities from the diversified dialogues between mathematics and music.