適用於光導波元件的有限差分數值模型之發展(3/3)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

適用於光導波元件的有限差分數值模型之發展(3/3)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC92-2215-E-002-004- 執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 09 月 30 日 執行單位： 國立臺灣大學光電工程學研究所 計畫主持人： 張宏鈞 計畫參與人員： 于欽平(台大電信所) 林邦彥(台大光電所) 洪崇庭(台大光 電所) 陳銘鋒(台大光電所) 劉耀仁(台大光電所) 報告類型： 完整報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 4 月 30 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

適用於光波導元件的有限差分數值模型之發展(3/3)

Development of Finite Difference Numerical Models for Photonic

Guided-wave Devices (3/3)

計畫編號：NSC 92-2215-E-002-004

執行期限：92 年 8 月 1 日至 93 年 9 月 30 日

主持人：張宏鈞 台灣大學電機系、光電所暨電信所教授

計畫參與人員：于欽平(台大電信所) 林邦彥(台大光電所)

洪崇庭(台大光電所) 陳銘鋒(台大光電所)

劉耀仁(台大光電所)

一、中文摘要 本計畫將已建立的全向量有限差分法 光波導模態分析模型推展至含有各向異性 材質的波導，並研究有效處理波導中材質 接面以獲得更精準的數值結果。在有限差 分時域法方面，本計畫建立完成橫向電場 與橫向磁場的二維程式模型，仔細探討數 值計算的收斂性與計算網格配置的關係， 並成功地應用於光子晶體波導轉折及分光 器、微環形波導共振結構、高折射率對比 直角波導轉向結構以及各式相關的高密度 積體光學元件結構之模擬。 關鍵詞：光波導、波導元件、有限差分法、 波束傳播法、時域波束傳播法、 時域有限差分法、光纖耦合器 Abstract

In this research we have generalized the full-vectorial finite-difference based optical waveguide mode solver we established so that we can now analyze waveguides involving anisotropic materials with diagonal permittivity and/or permeability tensor. We have investigated efficient methods for treating dielectric interfaces in the waveguide to obtain more accurate numerical results. As for the finite-difference time-domain method, in this research we have established two-dimensional numerical models for both transverse-electric and transverse-magnetic waves. We have also investigated in detail

the relationship between numerical convergence and the arrangement of the computational grids. The models have been successfully applied to the simulations of photonic crystal waveguide bends and splitters, micro-ring waveguide resonators, high-index-contrast waveguide bends, and various high-density integrated-optic device structures.

Keywords: Optical waveguides, waveguide devices, finite difference method, beam propagation method, time-domain beam propagation method, finite difference time domain method, fiber-optic couplers 二、計畫緣由與目的 本計畫改良並發展數種有限差分數值 模型，以做為研究各種光導波元件的工 具。最近隨著光通訊產業，包括高密度分 波多工系統，的蓬勃發展，以數值分析輔 助研發及設計所需用到的導波結構元組 件，是更形重要的課題。本計畫除了改良 及應用分析及設計光導波結構常使用的有 限差分波導模態求解模型外，並進一步發 展可分析包括反射在內等更廣泛現象的時 域有限差分(FDTD)法模型。在本年度中我 們將已建立的全向量有限差分法光波導模 態分析模型推展至含有對角化張量各向異 性材質的波導，得以研究更廣泛的光波導 結構與元件。另外並研究有效處理波導中

材質接面以獲得更精準的數值結果。在時 域有限差分法方面，建立完成橫向電場(TE) 與橫向磁場(TM)的二維程式模型，並仔細 探討數值計算的收斂性與計算網格配置的 關係。應用時域模型，我們得以模擬研究 光子晶體波導轉折及分光器、微環形波導 共振結構、高折射率對比直角波導轉向結 構以及各式相關的高密度積體光學元件結 構。本報告根據各向異性材質波導的全向 量有限差分模態分析、光子晶體波導轉折 及分光器之 FDTD 模擬研究、微環形波導 共振結構之 FDTD 模擬研究、以及高密度 積體光學元件結構之 FDTD 模擬研究等四 部分分別說明研究成果。 三、結果與討論 　　 1. 各向異性材質波導的全向量有限差分模 態分析 我們已將原有適用於各向同性材質波 導的全向量有限差分模態分析模型推展至 對角化各向異性材質波導結構[1]。上述有 限差分法係採用傳統網格，即各網點均配 置電場或磁場。在過去一年我們又發展完 成一套採用 Yee 網格的有限差分模態求解 法，稱為「有限差分頻域法(Finite Difference Frequency Domain Method)」，其優點之一 為可配合同為採用 Yee 網格的有限差分時 域(FDTD)法進行互相支援的模擬分析工 作，例如提供 FDTD 法模擬所需的準確的 輸入波導模態場型。我們也在採用 Yee 網 格的有限差分模態求解法之計算區域邊界 成功地加入完全匹配層(PML)吸收邊界條 件，因而得以計算洩漏(leaky)波導的模態 及其複數傳播常數，包括各式光子晶體光 纖的可能洩漏損耗。我們並仔細處理介電 介質接面的連續邊界條件，而能有效地獲 得極高精準度的全向量模態數值解。以上 之完整結果已發表於 Optics Express 期刊 [2]。本研究已受邀發表四篇國際研討會邀 請論文[3]–[6]。以下為埋入式各向異性鈮 酸鋰光波導之一例：圖一為單一波導結構 圖，圖二為其耦合結構之耦合係數隨波導 間隔之變化圖[1]。圖三為不同之處理介電 介質接面方式對於導波模態等效折射率數 值收斂之影響，以正方形埋入式強波導為 例，圖三顯示接面上以平均折射率(IA)處理 時，隨網格縮小的收斂情形較最簡單的階 梯式近似(stair-case)為佳，而經由準確的邊 界條件匹配處理(BC matching)，可達甚高 之精準度[2]。 2. 光子晶體波導轉折及分光器之 FDTD 模 擬研究 FDTD 法已被廣泛用於光子晶體領域 的研究，其重要性不必多述。我們已投入 FDTD 法模型發展之研究，建立了二維 FDTD 法模型，應用於光子晶體波導轉折 及分光器、高密度積體光學元件結構、與 光波導微環形(microring)共振腔之研究。這 類結構的波導寬度在一微米以下，而元件 大小在幾微米的範圍，適合用 FDTD 作模 擬。圖四(b)為針對圖四(a)之光子晶體波導 分光器[7]的模擬結果，其中光子晶體係由 介質圓柱組成，圓柱半徑為 0.2a，a 為光子 晶體週期，分叉處另置兩半徑為 0.07a 的小 圓柱。在我們自己建立的 FDTD 法模型 中，為了增加數值計算的精準度，以平均 折射率法改進空氣柱或空氣孔洞附近網格 僅做階梯式近似的誤差，發現可獲得不錯 的效果。 3. 微環形波導共振結構之 FDTD 模擬研究 有關微環形波導共振結構之 FDTD 模 擬結果，已發表於[8]與[9]，除了較易處理 的 TM 波(電場垂直於二維平面)，我們亦考 慮 TE 波(磁場垂直於二維平面)，以下為計 算之一例：圖五為共振結構圖，中間為直 徑 5 微米的圓盤，折射率為 3.2，波導折射 率亦為 3.2，寬度為 0.3 微米，圓盤與波導 間隔為 0.232 微米，圓盤與波導外之折射率 均為 1.0，圖六為 TE 波情形下共振頻率為 194.70 THz 之圓盤徑向第四階模態之磁場 場型圖。我們的經驗發現，要獲得足夠的 準確度，空間的分割數仍需相當大，因此 極度耗費計算時間，而且 TE 與 TM 波的收 斂度亦大有差異，另外數值色散的問題在 分析共振頻率時亦須特別注意其誤差[9]。 4. 高密度積體光學元件結構之 FDTD 模擬

研究 高密度積體光學元件結構的主要特徵 為波導寬度小於微米，並設計 90 度轉彎的 特殊結構使得轉彎與分光的元件結構大幅 縮小，因而大大增高晶片上的元件密度。 MIT 的 Manolatou 等人[10]以 FDTD 法分析 所提出的一些高密度積體光學元件結構， 但僅討論 TM 波的情況。我們以所建立的 FDTD 法模型模擬相同結構，包括 TM 波 與 TE 波兩種情況，著重於探討數值結果隨 Yee 網格大小收斂的情形，並研究特殊網 格配置對數值精準度的影響，發現[10]中的 部分結果尚未達收斂數值[11]。[11]內容附 於附錄一。 四、計畫成果自評 本計畫研究內容與原計畫相符，除了 時域波束傳播法(TD-BPM)項目，經研究發 現其計算量未必較 FDTD 法為小，因之未 大量投入，而全力致力於 FDTD 法之建 立，其餘預期目標大致達成。我們已將原 有適用於各向同性材質波導的全向量有限 差分模態分析模型推展至對角化各向異性 材質波導結構，並建立一套新穎的採用 Yee 網格的三維全向量有限差分法數值模型， 並在計算區域邊界加入完美匹配層(PML) 吸收邊界條件，得以求得複數的傳播常 數。我們並仔細處理介電介質接面的連續 邊界條件，而能有效地獲得極高精準度的 全向量模態數值解。在 FDTD 法方面，建 立完成 TE 與 TM 的二維程式模型，並仔細 探討數值計算的收斂性與計算網格配置的 關係。應用 FDTD 模型，我們得以模擬研 究光子晶體波導轉折及分光器、微環形波 導共振結構、高折射率對比直角波導轉向 結構以及各式相關的高密度積體光學元件 結構。 五、參考文獻

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[2] C. P. Yu and H.C. Chang, “Yee-mesh-based finite difference eigenmode solver with PML absorbing boundary conditions for optical waveguides and photonic crystal fibers,” Optics Express, vol. 12, pp. 6165–6177, 13 December 2004.

[3] H. C. Chang and C. P. Yu,

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[4] H. C. Chang and C. P. Yu,

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[5] H. C. Chang and C. P. Yu, “Finite

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Record of 2004 Joint Conference of Electrical and Electronics Engineers in Kyushu (JCEEE-2004) (CD ROM), paper 08-1P-01, Kagoshima, Japan, September 27–28, 2004. (Invited paper)

[6] H. C. Chang and C. P. Yu, “Finite-difference frequency-domain method for leaky photonic crystal fiber analysis,” presented at International Workshop on

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[8] M. F. Chen, C. T. Hong, and H. C.

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[9] M. F. Chen and H. C. Chang,

“Finite-Difference Time-domain analysis of micro-disk filters with the index average scheme,” in Proceedings of Optics and

Photonics Taiwan ’04 (OPT ’04)

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Joannopoulos, “High-density integrated optics,” J. Lightwave Technol., vol. 17, pp. 1682–1692, 1999.

[11] C. T. Hong and H. C. Chang, “Finite-difference time-domain analysis of high-density integrated optic guided-wave devices,” in Proceedings of Optics and

Photonics Taiwan ’03 (OPT ’03), Vol. I,

pp. 121–123, Taipei, Taiwan, R.O.C., December 25–26, 2003. 六、圖表 圖一 埋入式各向異性鈮酸鋰光波導結構圖。 圖二 圖一波導之耦合結構之耦合係數隨波導間隔之變化圖。 0.01 0.1 10 -7 10 -6 1x10 -5 1x10 -4 10 -3 R el at iv e e rr o r Grid size ( m) staircase IA scheme BC match Grid size (µm) R ela tiv e e rr o r in mo da l in d ex stair-case IA scheme BC matching 2d n_g n_v d 圖三 不同之處理介電介質接面方式對於正方形埋入式強波導導波模態等效折射率數值 收斂之影響。 Air n_x=2.222 ny=nz=2.3129 nx=2.2 n_y=n_z=2.29 1 µm 5 µm 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x 10 -3 d (µm) Coupling coe ffic ient d

(a) (b)

圖四 (a)光子晶體波導分光器結構圖[7]。(b)FDTD 模擬結果。

圖五 微環形波導共振結構圖。

四階模態之磁場場型圖。