第六章 整式的乘除

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(1)

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6.1 Тغᇴ۞ጕ̝ࢷڱ

我們已經學過整式的加減,現在進一步學習整式的乘除。為 此,先研究同底數的冪之乘法。我們來計算 3 2 10 ×10 ,23× 。 22 根據乘方的意義,得 3 2 5 3 2 5 10 10 (10 10 10) (10 10) 10 10 10 10 10 10 2 2 (2 2 2) (2 2) 2 2 2 2 2 2 × = × × × × = × × × × = × = × × × × = × × × × = 從上面看到,10 是 3 個 10 連乘,3 10 是 2 個 10 連乘,所以2 3 2 10 ×10 是 5 個 10 連乘。同樣,2 是 3 個 2 連乘,3 2 是 2 個 22 連乘,所以 3 2 2 × 是 5 個 2 連乘。也就是 2 3 2 3 2 3 2 3 2 10 10 10 2 2 2 + + × = × = 同理, 3 2 5 ( )( ) a a aaa aa aaaaa a = = = i 也就是 3 2 3 2 a i a =a + 一般地,如果 m、n 都是正整數,那麼 ( ) ( )( ) m n m n n a m a m n a a a aa a a a aa a a + + = = = i 個 個 個

(3)

即 i m n m+ n a a = a 這就是說,同底數的冪相乘,底數不變,指數相加。 當三個或三個以上同底數的冪相乘時,也具有這一性質。例 如 m n p m n p a i a i a = a + + (m、n、p 都是正整數)2 【ּ 1】 計算: (1) 107 ×104 ; (2) x2 i x5; (3) y yi 2 i y3; (4) − ia2 a6。

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ྋ !! (1) 7 4 7 4 11 10 ×10 =10 + =10 ; (2) x2 i x5 = x2 5+ = x7; (3) y yi 2 i y3 = y1 2 3+ + = y6; (4) −a2 ia6 = −a2 6+ = −a8 。 【ּ 2】 計算: (1) n 2 x i x ; (2) ym i ym+1

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ྋ !! (1) n 2 n 2 x i x = x + ; (2) ym i ym+1 = ym+(m+1) = y2m+1。 【ּ 3】 把下列各式化成 (p+q)n 或 (s t− )n 的形式。 (1) (p+q)3 i(p+q)2 ; (2) (s t− )2 i(s t− ) (i s t− )4; (3) (p+q)m i(p+q)n。 分析: 把 (p+q)或 (s t− 看作底數 a,就可以運用同底數的冪) 相乘之性質來進行計算。

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ྋ !! (1) 3 2 3 2 5 (p+q) i(p+q) = (p+q) + = (p+q) ; 2 本章所有的冪指數都是正整數。

(4)

(2) (s t− )2 i(s t− ) (i s t− )4 = −(s t)2 1 4+ + = −(s t)7; (3) (p+q)m i(p+q)n =(p+q)m n+ 。

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1. (口答) 計算: (1) 105 i106 ; (2) s5 i ; (3) s8 a7 ia3; (4) y3 i y2; (5) b5 i ; (6) b x4 i x4 i ; (7) x an i ; (8) a xn i xn。 2. 計算: (1) 10 10× 8;(2) 4 6 a i a ; (3) x5 i x5; (4) y12 i y6; (5) x10 i ; (6) x − i ; (7) b3 b7 y4 i y3 i y2 i ;y (8) x5 i x6 i x3; (9) 102 i10n; (10) an ia2n ; (11) ym+1 i ym−1; (12) ( 2)− 2 i( 2)− 3; (13) yn i iy yn+1。 3. 把下列各式化成 (x+ y)n的形式: (1) (x+ y)2 i(x+ y)2; (2) (x+ y)3 i(x+ y); (3) (x+ y)3 i(x+ y) (i x+ y)2;(4) (x+ y)m+1 i(x+ y)m n+ −1。 4. 下面的計算對不對,為什麼?如果不對,應怎樣改正? (1) b5 ib5 = 2b5; (2) x5 + x5 = x10; (3) c ci 3 =c3; (4) m3 im2 = m5。

6.2 ಏีё۞ࢷڱ

我們學了同底數的冪之乘法以後,就可以進一步學習單項式 的乘法了。我們來計算 2 2 2x y i3xy 、4a x2 5 i( 3− a bx3 2)。 運用乘法交換律、結合律,可把各因式的係數結合成一組, 相同的字母結合成一組,然後相乘,即 2 2 2 2 3 3 2 5 3 2 2 3 5 2 5 7 2 3 (2 3)( )( ) 6 4 ( 3 ) [4 ( 3)]( ) ( ) 12 x y xy x x y y x y a x a bx a a b x x a bx = × = − = − = − i i i i i i i

(5)

一般地,單項式相乘,用它們的係數之積作為積的係數,對 於相同的字母,用它們的指數之和作為積裡這個字母的指數,對 於只在一個單項式裡含有的字母,則連同它的指數作為積的一個 因式。 【ּ 1】 計算: (1) 3 2 4n i5n ; (2) ( 5− a b2 3)( 3 )− a ; (3) (4 10 )(5 10 )(3 10 )× 5 × 6 × 4 。

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ྋ !! (1) 3 2 3 2 5 4n i5n = ×(4 5)(n n ) =20n ; (2) ( 5− a b2 3)( 3 )− a = −[( 5) ( 3)] (i − i a a2 ) ib3 =15a b3 3; (3) (4 10 )(5 10 )(3 10 )× 5 × 6 × 4 = × ×(4 5 3)(105 ×106 ×10 )4 =60 10× 15。 注意:用含 10 的冪來記一個數時,通常把前面一個因數寫成一 位整數或含有一位整數的小數。上面的計算結果 15 60 10× , 也可以寫成 15 6 10 10× × ,即6 10× 16。 【ּ 2】 計算: (1) 1 2 9 2 3xy i x y; (2) 3 2 2 3 2 3 3 x y 4 x y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ; (3) ( 5− an+1b)( 2 )− a ; (4) ( 3− ab) (i −a c2 ) 6i ab2。

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ྋ !! (1) 1 2 2 1 2 2 3 3 9 9 ( )( ) 3 3xy x y 3 x x y y x y ⎛ ⎞ = × = ⎝ ⎠ i i i ; (2) 2 3 2 3 2 3 2 3 5 5 1 5 5 3 x y 4 x y 3 4 x y 2 x y ⎡ ⎤ ⎛= ×= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦ i ; (3) ( 5− an+1b)( 2 )− a = −[( 5) ( 2)](i − an+1 ia) ib =10an+2b; (4) ( 3− ab) (i −a c2 ) 6i ab2 = −[( 3) ( 1) 6]i − i a b c4 3 =18a b c4 3 。 【ּ 3】 光的速度每秒約是 5 3 10× km,太陽光射到地球上需要的 時間約是 2 5 10× 秒,地球與太陽的距離約是多少 km?

(6)

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ྋ !! 5 2 7 8 (3 10 ) (5 10 ) 15 10× × × = × =1.5 10× 。 ඍĈ地球與太陽的距離約是 8 1.5 10× km。

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1. 計算: (1) 3x5 i5x3; (2) 4y i( 2− xy3); (3) ( 2.5− x2) ( 4 )i − x ; (4) 2 2 3 5 5 x y i16 xyz; (5) ( 6− an+2) 3i a bn ; (6) 8 1 3 2 2 n n x y + i x y; (7) ( 3 ) 2− x i xy2 i4y; (8) ( 4 2 ) ( 2 2) 1 3 2 x y x y y − i − i 。 2. 一種電子計算機每秒可作10 次運算。它工作12 5 10× 2秒可作多 少次的運算? 3. 下面的計算對不對,為什麼?如果不對,應怎樣改正? (1) 4a3 i2a2 =8a5; (2) 2x3 i3x4 =5x7; (3) 3x2 i4x2 =12x2; (4) 3y3 i5y3 =15y9。

6.3 ጕ۞ࢷ͞

我們來計算 4 3 (a ) 、(a3 5) 。 4 3 (a ) 是把冪a 三次方。如果把4 a 看作是底數,那麼根據乘4 方的意義與同底數的冪之乘法性質,得 4 3 4 4 4 4 4 4 4 3 (a ) = a ia ia = a + + = a × 。 同樣,得 3 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 (a ) = a i a i a i a ia = a + + + + = a × 。 也就是 4 3 4 3 3 5 3 5 ( ) ( ) a a a a × × = =

(7)

一般地,如果 m、n 都是正整數,那麼 ( ) m n m n a m n m m m m m m mn a = a i a i ia = a + + = a 個 個 即 (am n) = amn 這就是說,冪的乘方,底數不變,指數相乘。 【ּ 1】 計算: (1) (10 ) ; 7 2 (2) (x3 2) ; (3) (z4 4) 。

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ྋ !! (1) 7 2 7 2 14 (10 ) =10 × =10 ; (2) (x3 2) = x3 2× = ; x6 (3) (z4 4) = z4 4× = z16。 【ּ 2】 計算: (1) 2 (am) ; (2) (b3)n

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ྋ !! (1) 2 2 2 (am) = am× = a m ; (2) ( )b3 n =bn =b3n【ּ 3】 計算: (1) 2 4 [(x+ y) ] ; (2) (a2 4) i(a3 3) 。 分析: 在第(1)小題中,把 2 (x+ y) 看作一個字母的冪進行計 算;在第(2)小題中,先分別計算 2 4 (a ) 、(a3 3) ,然後根 據同底數的冪之乘法性質進行計算。

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ྋ !! (1) 2 4 2 4 8 [(x+ y) ] =(x+ y) × =(x+ y) ; (2) (a2 4) i(a3 3) = a8 ia9 = a17。

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1. (口答) 計算: (1) (x4 2) ; (2) x4 i x2; (3) (y5 5) ; (4) y5 i y5; (5) (am)3; (6) am i a3 。

(8)

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2. (口答) 計算: (1) (10 ) ; (2) 3 3 (x4 3) ; (3) (a2 5) ; (4) −(y2 4) ; (5) −(x3 6) ; (6) (sm)5 。 (7) [(x+a) ]3 2 ; (8) [(x+ y) ]n 2; (9) (a2 3) ia5。 (10) (a2 5) i (a4 4) ; (11) ( )b3 2 i(b2 3) ; (12) (c2)n icn+1。 3. 下面的計算對不對,為什麼?如果不對,應怎樣改正? (1) (a5 2) = a7 ; (2) a5 ia2 = a10; (3) (x4 7) = x28; (4) (an+1 2) = a2n+1。

6.4 ᎕۞ࢷ͞

我們來計算 3 (ab 、) (ab 。 )4 根據乘方的意義與乘法交換律、結合律,得 3 3 3 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ab ab ab ab aaa bbb a b ab ab ab ab ab aaaa bbbb a b = = = = = = i i i i i i i 一般地,如果 n 是正整數,那麼 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ab n a n b n n n ab = ab i ab i i ab = a ai i ia i b bi i ib = a b 個 個 個 即 (ab)n = a bn n 這就是說,積的乘方,等於把積的每一個因式分別乘方,再 把所得的冪相乘。 當三個或三個以上的積相乘時,也具有這一性質。例如 (abc)n =a b cn n n【ּ 1】 計算: (1) (xy ; )5 (2) (2 )a 4 ; (3) ( 3 )− x 3; (4) ( 5− ab)2; (5) (−xy)6; (6) (4xy 。 )2

(9)

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ྋ !! (1) 5 5 5 (xy) = x y ; (2) (2 )a 4 = 24a4 =16a4; (3) ( 3 )− x 3 = −( 3)3x3 = −27x3; (4) ( 5− ab)2 = −( 5)2a b2 2 = 25a b2 2; (5) (−xy)6 = −( 1)6x y6 6 = x y6 6; (6) (4xy)2 = 42x y2 2 =16x y2 2。 【ּ 2】 計算: (1) 2 2 (xy ) ; (2) (a b2 2 4) ; (3) ( 2− xy3 4) ; (4) 2 2 3a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。

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ྋ !! (1) 2 2 2 2 2 2 4 (xy ) = x y( ) = x y ; (2) (a b2 2 4) = (a2 4) i(b2 4) = a b8 8; (3) ( 2− xy3 4) = −( 2)4 i x4 i (y3 4) =16x y4 12; (4) 2 2 2 4 2 2 2 9 3a 3 a a ⎛ ⎞ =⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i 。 【ּ 3】 計算: (1) 3 2 (2 )x i( 5− x y); (2) (3xy2 2) + −( 4xy3) (i −xy)。

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ྋ !! (1) 3 2 3 2 5 (2 )x i( 5− x y) =8x i( 5− x y) = −40x y; (2) (3xy2 2) + −( 4xy3) (i −xy) =9x y2 4 +4x y2 4 =13x y2 4 。

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1. (口答) 下列各式的結果是什麼? (1) (ab ; (2) )6 (xy)4; (3) (2 )m ; 3 (4) (5x2 2) ; (5) (ab2 3) ; (6) (−xy)3。 2. 計算: (1) ( )st 3 ; (2) (4a3 2) ; (3) ( 2− x y2 )2; (4) 3 2 1 2c d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (5) (2 10 )× 2 2; (6) (x2 i ix x5 3) ; (7) (ab2 3) i (ab2 2) 。 (8) ( 3 )− x5 3 i x2; (9) ai(ab2 2) ; (10) (3 )y 2 i(y2 3) 。

(10)

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3. 計算: (1) a2 i(a b2 3 2) ; (2) 3 2 1 (3 ) 2 m ⎛⎜− mn⎞⎟ ⎝ ⎠ i ; (3) 2a2 i( 2 )− a 3 +2a4 i5a; (4) 10 3 3 ( 3.5 2) ( )2 5 a i b+ − a i ab 。 4. 某工廠要作一個稜長為4 10× 2 cm 的正方體油箱,求這個油箱 的容積。 5. 下面的計算對不對?為什麼?如果不對,應怎樣改正? (1) (ab2 2) = ab4 ; (2) (3xy)3 =9x y3 3; (3) ( 2− a2 2) = −4a4; (4) 3 6 9 2 3 64 4 125 5 x y x y⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。

6.5 ಏีёᄃкีё࠹ࢷ

現在我們來研究單項式與多項式相乘的問題。我們來計算 ( ) m a b c+ + 。 運用乘法分配律,可得 ( ) m a b c+ + =ma+mb+mc。 這個結果也可從圖 6-1 看出3。 3 圖 6-1 中的 m、a、b、c 都表示正數。實際上,公式m a( + +b c)=ma+mb+mc 中的 m、a、b、c 還可以表示負數及零。 m ma a mb b mc c 圖 6-1

(11)

一般地,單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的 每一項,再把所得的積相加。 【ּ 1】 計算: (1) ( 4 ) (2− x i x2 +3x−1); (2) 2 2 2 4 1 2 3a b ab 3b ab + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i 。

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ྋ ! (1) ( 4 ) (2− x i x2 +3x−1) 2 3 2 ( 4 ) (2 ) ( 4 ) (3 )+( 4 ) ( 1) 8 12 4 x x x x x x x x = − + − − − = − − + i i i (2) 2 2 2 4 1 2 3a b ab 3b ab + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i 2 3 2 2 2 2 2 1 1 4 1 ( 2 ) 3 2 2 3 2 1 2 3 3 ab a b ab ab b ab a b a b ab ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − + i i i 【ּ 2】 化簡: (1) ( 3 ) 5 2 6 2 7 2 2 2 2 xy x y xxy y ⎞ − + ⎝ ⎠ i i ; (2) 2 2 1 2 5 ( 2 1) 2 aab bab a + − − ⎝ ⎠ i i 。

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ྋ ! (1) 2 2 7 2 2 ( 3 ) 5 6 2 2 xy x y xxy y ⎞ − + ⎝ ⎠ i i 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 15 21 12 6 12 x y x y x y x y x y = − + − = − (2) 2 2 1 2 5 ( 2 1) 2 aab bab a + − − ⎝ ⎠ i i 3 2 2 3 3 2 2 2 5 5 6 2 5 a b a b a b ab a b a b ab = − − − + = − − +

(12)

ቚ ௫!

1. 計算: (1) (ab)2 i(2ab2 3) ; (2) 3k i(kh2 2) ; (3) 3(2x+ ; 1) (4) 4 3 5 2 y ⎛ ⎞ − ⎝ ⎠; (5) (x−3 )( 6 )yx ; (6) 5 (2x x2 −3x+ ; 4) (7) 5 2 4 1 ( 3 2) 9 a a a + ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i ; (8) 3 2 2 5 4 3 4 2 6 xy x y x y y + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i 2. 化簡: (1) ( )2 ( 2 ) 3 2 1 1 3 a ab aab b ⎞ − − + − − ⎝ ⎠ i i ; (2) 1( 1) 1( 1) 2 3 xx+ + x− ; (3) 3 (2a a− +5) 2 (1 3 )aa ; (4) x x( 2 + +3) x x2( − −3) 3 (x x2 − − ; x 1) (5) 3 6 3 1 2 2 xy xy − ⎛⎜xyx y⎞⎟⎤ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦。

6.6 кีё۞ࢷڱ

現在我們來研究多項式的乘法。我們來計算 (a b m+ )( + 。 n) 這是多項式乘以多項式。先把(m n+ 看成一個單項式,運用) 單項式與多項式相乘的法則,得 (a b m n+ )( + ) = a m( + +n) b m( + 。 n) 再運用單項式與多項式相乘的法則,就得 (a b m n)( ) a m( n) b m( n) am an bm bn + + = + + + = + + +

(13)

即 這個結果也可從圖 6-2 明顯地反映出來。 一般地,多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項乘 以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。 【ּ 1】 計算: (1) (x+2 )(5y a+3 )b ; (2) (2x−3)(x+ ; 4) (3) (3x+ y x)( −2 )y

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ྋ ! (1) (x +2 )(5y a+3 )b = x i5a + x i3b+2y i5a+2y i 3b 5ax 3bx 10ay 6by = + + + (2) (2x−3)(x+4) =2x2 +8x−3x− 12 2 2x 5x 12 = + − (3) (3x+ y x)( −2 )y =3x2 −6xy +xy −2y2 2 2 3x 5xy 2y = − − 【ּ 2】 計算: (1) 2 2 ( 2 ) 3 2 a a b b− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (2) (x+ y x)( 2 −xy + y2)。

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ྋ ! (1) 3 2 2 2 3 2 ( 2 ) 3 6 3 2 2 a a a b ab a b b b− + = − + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2) (x+ y x)( 2 − xy+ y2) (a b m n)( ) am an bm bn + + = + + + 圖 6-2 m an a bn b am n bm

(14)

3 2 2 2 2 3 3 3 x x y xy x y xy y x y = − + + − + = +

ቚ ௫!

1. (口答) 計算: (1) (m n u+ )( + ; (2) v) (x+ y a b)( − ; ) (3) (p q r− )( + ; (4) s) (a b c d− )( − )。 2. 計算: (1) (2n+6)(n− ; (2) 3) (2x+3)(3x− ; 1) (3) (2a−3 )(b a+5 )b ; (4) (3x−2 )(3y x+2 )y ; (5) (2 3) 3 5 2 a+ ⎛⎜ b− ⎞⎟ ⎝ ⎠; (6) (2x+5)(2x+ 。 5) 3. 計算: (1) (x+1)(x2 −2x+ ; (2) 3) (x−1)(x2 + + ; x 1) (3) (4x−3)(5x2 −4x+ ; (4) 7) (3x+2)(3x−2)(x2 − ; 1) (5) (3a−2)(a− + +1) (a 1)(a+ ; 2) (6) (2x2 −1)(x− −4) (x2 +3)(2x− 。 5) 【ּ 3】 計算: (1) (x+2)(x+ ; (2) 5) (y+2)(y− 。 5)

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ྋ ! (1) (x+2)(x+ =5) x2 +5x+2x+10 = x2 +7x+ ; 10 (2) (y +2)(y− =5) y2 −5y +2y−10= y2 −3y −10。 從例 3 可以看出,含有一個相同字母的兩個一次二項式相 乘,得到的積是同一個字母的二次多項式,從例 3 還可以看出, 如果因式中一次項的係數都是 1,那麼積的二次項係數也是 1。 這時,由於積的一次項是由兩個因式中的常數項分別乘以兩個因 式中的一次項後,合併同類項得到的,因此,積的一次項係數等 於兩個因式中常數項的和。積的常數項等於兩個因式中常數項的 積,因此,如果 a、b 分別表示兩個因式中的常數項,那麼

(15)

2 ( + )( + )x a x b = x + ( + ) +a b x ab 【ּ 4】 解下列方程: (1) (x+3)(x−4) = x2 −16 ; (2) 3 (x x+ + +2) (x 1)(x− =1) 4(x2 + 。 8)

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ྋ ! (1) (x+3)(x−4) = x2 −16 2 2 12 16 4 4 x x x x x − − = − − = − = (2) 3 (x x+ + +2) (x 1)(x− =1) 4(x2 + 8) 2 2 2 3 6 1 4 32 6 33 1 5 2 x x x x x x + + − = + = =

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1. 計算: (1) (x+1)(x+ ; (2) 4) (m−2)(m+ ); 3 (3) (y+4)(y − ; (4) 5) (x−3)(x− 。 5) (5) 1 1 3 2 y y ⎛ ⎞ ⎛ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (6) (7x+8)(6x− ; 5) (7) 1 4 6 3 2 x x 4 ⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (8) 2 (y + +y 1)(y+ ; 2) (9) (x+2)(x+ −3) x x( + − ; 1) 8 (10) (3y−1)(2y− +3) (6y−5)(y− 。 4) 2. 解下列方程: (1) (2x+3)(x− − +4) (x 2)(x− =3) x2 + ; 6 (2) 2 (3x x− −5) (2x−3)(3x+4) =3(x+ 。 4)

(16)

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! 1. 計算: (1) a3 ia4; (2) x3 i ; (3) x 105 i10 10i 3; (4) − i ; (5) b3 b2 x7 i ix x12; (6) y8 i y4 i iy y4。 2. 計算: (1) 10m i10n ; (2) c2 i cm; (3) x3 i xn+1; (4) an+2 ian+1; (5) yn i iy y2n−1; (6) bm ibn ibs; (7) a2 i ia a5 +a3 ia2 ia3 (8) x2 i x6 i x3 + x5 i x4 i 。 x 3. 把下列各式化成(xy)n 的形式: (1) (xy) (2 xy)4 ; (2) (xy) (3 xy x)( − y)2m。 4. 計算: (1) (ax2)(axn); (2) (2ab2)( 3− ab); (3) (mn)(−m n2 ); (4) (3x y2 )( 3− xy); (5) ( 5− a b2 3)(2a b2 ) ; (6) (2 )3 1 2 ( 2 ) 4 c ⎛⎜ c ⎞ −⎟ c ⎝ ⎠ ; (7) 3 2 5 3 4ax bx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (8) 3 1 1 (2 ) 6 n n a b ⎛⎜− ab − ⎞⎟ ⎝ ⎠。 (9) 0.2 2 3 2 1 5 3 xy x yxy ⎞ − + ⎝ ⎠ i ; (10) 0.6 2 1 2 2 ( 10 ) 3 3 4 m ni m n − − m i m n 。 5. 長方形的長是2.2 10× 3cm,寬是1.5 10× 2cm,求它的面積。 6. 光的速度約是3 10× 5 km/秒,從太陽系外距地球最近的一顆恆 星(比鄰星)發出的光,需要 4 年的時間才能到達地球,一年以 7 3 10× 秒計算,求這顆恆星與地球的距離。

(17)

7. 衛星繞地球運動的速度(即第一宇宙速度)是7.9 10× 3m/秒,求 衛星繞地球運行 2 2 10× 秒走過的路程。 8. 計算: (1) (a3 3) ; (2) (x6 5) ; (3) −(y7 2) ; (4) (am)3; (5) (b2)m; (6) [(x+3) ]2 3; (7) [(ab) ]n 3; (8) (x2 3) i x4; (9) (y3 4) i(y4 3) ; (10) (−c)3 i(c2 5) i 。 c 9. 計算: (1) [( 1) ]− 2 3; (2) 2 3 1 2 ⎡ ⎤ − ⎢⎜ ⎥ ⎣ ⎦ ; (3) (a2 3) +a3 i a3; (4) (x4 2) +(x5 3) 。 10. 求下列各式的平方: (1) 2xy ; 2 (2) −pq(3) 2 3 ab c ; (4) −3m2; (5) 1 2st − ; (6) 0.2cd 。 4 11. 計算: (1) (ab ;)5 (2) (2 )x ;3 (3) ( 3− xy2 2) ; (4) −7(m n3 )3; (5) (−a b2 3 2) ; (6) 2 2 4 5 xy z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (7) [1.5 10 ]× 2 2; (8) (3y2 3) i y4; (9) (3xy2 3) i (y3 5) ; (10) (a2 i ia a3 ibn)4。 12. 計算: (1) [( 2− x y2 ) ]3 2 ; (2) [(ab2 3 3) ] ; (3) 2 2 2 2 3 2 (2 ) 3ax ax x ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ; (4) 2 2 3 (a bn ) +(a b )n; (5) ( 2 )− a 6 − −( 3a3 2) − −[ (2 ) ]a 2 3。

(18)

13. 地球的半徑r =6.4 10× 6m。球的體積公式是 4 3 3 V = πr 。求地 球的體積(π 取 3.14,結果保留兩個有效數字)。 14. 計算: (1) (3x y2 −xy2) 3i xy; (2) (4ab b− 2) ( 2i − bc); (3) 2 2 1 1 2 x ⎛⎜xx+ ⎞⎟ ⎝ ⎠ i ; (4) 5ab i(2a b− +0.2); (5) ( 2− ab2 2) i(3a b2 −2ab−4 )b3 ; (6) 3 2 1 2 5 3 ( 4 2) 4 x y 2 xy 6 y xy ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i 。 15. 化簡: (1) 3x2 i( 3− xy)2 −x x y2( 2 2 −2 )x ; (2) 5x i(x2 −2x+ +4) x x2( −1); (3) t3 −2 [t t2 −2(t −3)]; (4) 1 1 3 1 2 4 2 3 4 x x x− ⎛⎜ − ⎞⎟− x⎛⎜ − ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠。 16. 計算: (1) (3x+1)(x+ ; (2) (42) y −1)(y− ; 5) (3) (2x−3)(4x− ; 1) (4) (3a+2)(4a+ ; 1) (5) (5m+2)(4m− ; 3) (6) (5n−4)(3n− ; 1) (7) (7x2 −8y2)(x2 +3y2); (8) 2 1 3 2 3 x 2 y 4 x 3 y ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (9) (9m−4 )(9n m+4 )n ; (10) 2 (x+2)(x−2)(x + ; 4) (11) (1 2− x+4x2)(1 2 )+ x ; (12) (xy x)( 2 + xy + y2); (13) 5 (x x2 +2x+ −1) (2x+3)(x− ; 5) (14) (3xy y)( +3 ) (4xx−3 )(4y x+3 )y 。 17. 計算:

(19)

(1) (x+3)(x+ ; (2) 2) (a+5)(a− ; 3) (3) (x−5)(x+ ; (4) 3) (m+2)(m− ; 8) (5) (x+7)(x− ; (6) (7) y−3)(y+ ; 3) (7) (y−6)(y − ; (8) 3) 1 1 3 2 x x ⎛ ⎞ ⎛ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠。 18. 先化簡,再求值: (1) (3x+1)(2x− −3) (6x−5)(x− ,其中4) x = − ; 2 (2) (y−2)(y2 −6y − −9) y y( 2 −2y−15),其中 1 2 y = 。 19. 解方程: (1) 2(x2 − −2) 6 (x x− =1) 4 (1x − + ; x) 16 (2) x x( + −3) x(1 2 )− x = +9 3x2; (3) (2x+3)(x− −1) 28 = +(1 x)(2x+11); (4) (x−3)(x− +2) 18=(x+9)(x+ 。 1) 20. 如圖,計算下圖陰影部份的面積 (圖中的長度單位:cm)。 21. 長方形的長是 (2a b+ cm,寬是 () a b+ cm,求它的周長與面) 積。

˟ăࢷڱ̳ё!

在多項式的乘法運算中,對於某些特殊形式的多項式相乘, 我們把它們寫成公式並加以熟記,以便遇到類似形式的多項式相 乘時,就直接運用有關公式進行運算。 a 2a 2a 2a a 1.5a 2.5a (第 20 題)

(20)

6.7 π͞म̳ё

我們來計算: (a b a b+ )( − ) 得 2 2 2 2 (a b a b)( ) a ab ab b a b + − = − + − = − 由此得到 − 22 ( + )(a b a b = a) b 這就是說,兩個數的和與這兩個數的差之積等於這兩個數的 平方差。這個公式就是平方差公式,對於形如兩數和與這兩數差 相乘的乘法,就可以運用上述公式來計算。例如,計算 (1 2 )(1 2 )+ xx 如果把 1 看成 a,把 2x 看成 b,那麼 (1 2 )(1 2 )+ xx 就是 (a b a b+ )( − ) 的形式,因此,可用平方差公式來計算。即 【ּ 1】 運用平方差公式計算:(1) (3m+2 )(3n m−2 )n ; (2) (b2 +2a3)(2a3 −b2) 。

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ྋ !! (1) 2 2 2 2 (3m+2 )(3n m−2 )n = (3 )m −(2 )n =9m −4n (2) (b2 +2a3)(2a3 −b2) = (2a3 +b2)(2a3 −b2) 3 2 2 2 6 4 (2 ) ( ) 4 a b a b = − = − 2 2 2 2 2 (1 2 )(1 2 ) 1 (2 ) 1 4 ( ) ( ) x x x x a b a b a b + − = − = − + − = −

(21)

【ּ 2】 運用平方差公式計算:(1) 1 2 1 2 2 x y 2 x y + ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (2) ( 4− −a 1)(4a− 。 1)

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ྋ !! (1) 2 2 1 1 1 (2 ) 2 2 2 x y 2 x y 2 x y + ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 4 2 4 x y = − (2) ( 4− −a 1)(4a− = − −1) [( 1) 4 ][( 1) 4 ]a − + a 2 2 2 ( 1) (4 ) 1 16 a a = − − = − 或 2 2 2 2 ( 4 1)(4 1) (4 1)(4 1) [(4 ) 1 ] (16 1) 1 16 a a a a a a a − − − = − + − = − − = − − = − 【ּ 3】 運用平方差公式計算: (1) 102 98× ; (2) (y +2)(y−2)(y2 + 。 4)

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ྋ !! (1) 102 98× =(100 2)(100 2)+ − 2 2 100 2 10000 4 9996 = − = − = (2) (y+2)(y−2)(y2 +4) = (y2 −4)(y2 + 4) 2 2 2 4 ( ) 4 16 y y = − = −

(22)

ቚ ௫!

1. 運用平方差公式計算: (1) (x+a x a)( − ); (2) (m n m n− )( + ; ) (3) (a+3 )(b a−3 )b ; (4) (1 5 )(1 5 )− y + y ; (5) (2a+3)(2a− ; 3) (6) ( 2− x2 +5)( 2− x2 − ; 5) (7) (4x−5 )(4y x+5 )y ; (8) 2 7 2 7 3 x y 3 x y ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠。 2. 運用平方差公式計算: (1) 103 97× ; (2) 59.8 60.2× ; (3) (x+3)(x−3)(x2 + ; (4) 9) 1 2 1 1 2 4 2 x x x ⎞⎛ + ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠。 3. 化簡下列各式: (1) (xy x)( + y)+(2xy)(2x + y); (2) (2ab)(2a + −b) (3a −2 )(3b a+2 )b 。 4. 下面各式的計算對不對?為什麼?如果不對,應怎樣改正? (1) (x−6)(x+6) = x2 − ; 6 (2) (2x+3)(x− =3) 2x2 − ; 9 (3) (5ab+1)(5ab− =1) 25a b2 2 − 。 1

6.8 ԆБπ̳͞ё

我們來計算 2 (a b+ ) 、(a b− )2, 得 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 2 a b a b a b a ab ab b a ab b + = + + = + + − = + + 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 2 a b a b a b a ab ab b a ab b − = − − = − − − = − +

(23)

由此得到 + + − − + 2 2 2 2 2 2 ( + ) 2 ( ) 2 a b = a ab b a b = a ab b 這就是說,兩數和(或差)的平方,等於它們的平方和,加上(或 者減去)它們的積之 2 倍。這兩個公式就是完全平方公式。 這兩個公式可以分別從圖 6-3 與圖 6-4 中看出。 對於兩數和(或差)的平方,就可以運用上述公式來計算。例 如,計算 2 (x+2 )y 、(2x−5 )y 2。 如果在 2 (x+2 )y 中,把 x 看成 a,把 2y 看成 b,在(2x−5 )y 2中, 把 2x 看成 a,把 5y 看成 b,那麼 2 (x+2 )y 、(2x−5 )y 2 就分別是 2 (a b+ ) 、(a b− )2 的形式。因此,可用完全平方公式來計算,即 a a b b 2 a 2 b ab ab a b a b 2 (a b− ) 圖 6-3 圖 6-4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 2 (2 ) 4 4 ( ) 2 x y x x y y x xy y a b a a b b + = + + = + + + = + + i i

(24)

【ּ 1】 運用完全平方公式計算: (1) 2 2 2 (− +b 4a ) ; (2) 2 1 2 y+ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。

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ྋ !! (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (− +b 4a ) = −( b ) +2 (i −b ) (4i a ) (4+ a ) 4 2 2 4 8 16 b a b a = − + 或 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 ( 4 ) (4 ) 16 8 b a a b a a b b − + = − = − + (2) 2 2 1 1 4 2 y y y+ ⎞ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ቚ ௫!

1. 運用完全平方公式計算: (1) (a+6)2 ; (2) (4+ x)2; (3) (x−7)2 ; (4) (8− y)2; (5) (3a b+ )2; (6) (4x+3 )y 2; (7) 2 1 3 2 x y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (8) 2 2 (− −a b) ; (9) (0.4x+5 )y 2; (10) 2 2 3 2 4 x 3 y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 2. 下面各式的計算,錯在哪裡?為什麼?應怎樣改正? (1) (a b+ )2 = a2 + ; (2) b2 (a b− )2 = a2 − 。 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 5 ) (2 ) 2 2 5 (5 ) 4 20 25 ( ) 2 x y x x y y x xy y a b a a b b − = − + = − + − = − + i i

(25)

【ּ 2】 運用完全平方公式計算: (1) 2 102 ; (2) 199 。 2

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ྋ !! (1) 2 2 102 = (100 2)+ 2 2 100 2 100 2 2 10000 400 4 10404 = + × × + = + + = (2) 1992 = (200 1)− 2 2 2 200 2 200 1 1 40000 400 1 39601 = − × × + = − + = 【ּ 3】 運用乘法公式計算: (1) 2 2 (m+n m n m)( − )( −n ); (2) (a b c+ + )2; (3) (x+2y−3)(x−2y + ; 3) (4) 2 2 5 5 2 2 x x+ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。

ś

ྋ !! (1) 2 2 2 2 2 2 (m+n m n m)( − )( −n ) = (mn )(mn ) 2 2 2 4 2 2 4 ( ) 2 m n m m n n = − = − + (2) (a b c+ + )2 =[(a b+ +) c]2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 2 a b a b c c a ab b ac bc c a b c ab ac bc = + + + + = + + + + + = + + + + + (3) (x+2y −3)(x−2y+ = +3) [x (2y−3)][x−(2y −3)] 2 2 2 2 2 2 (2 3) (4 12 9) 4 12 9 x y x y y x y y = − − = − − + = − + − (4) 2 2 2 2 5 25 5 25 10 5 5 4 4 2 2 x x x x x x x+= + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(26)

ቚ ௫!

1. 運用完全平方公式計算: (1) (2x+1)2; (2) (3y−4)2; (3) 91 ; (4) 2 79.8 。 2 2. 運用乘法公式計算: (1) (x+3)(x−3)(x2 − ; (2) 9) (x+6)2 − −(x 6)2; (3) (a+2b c+ )2; (4) (2a b+ +1)(2a b+ − 。 1) (5) (a−2b+3 )(c a+2b−3 )c ; (6) [(x+ y)2 + −(x y) ](2 x2 − y2); (7) [(x−1)(x+1)]2。

6.9 ϲ͞׶ᄃϲ͞म̳ё

我們來計算 2 2 (a b a+ )( −ab b+ )、(a b a− )( 2 +ab b+ 2), 得 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 (a b a)( ab b ) a a b ab a b ab b a b + − + = − + + − + = + 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 (a b a)( ab b ) a a b ab a b ab b a b − + + = + + − − − = − 由此可得 − + − − 2 2 3 3 2 2 3 3 ( + )( + ) ( )( + + ) a b a ab b = a b a b a ab b = a b 這就是說,兩數和(或差)乘以它們的平方和與它們的積之差 (或和),等於這兩個數的立方和(或差)。這兩個公式就是立方和公 式與立方差公式。

(27)

對於形如兩數和(或差)與它們的平方和減去(或加上)它們的 積之差(或和)相乘的乘法,就可以運用上述公式來計算。例如, 計算 2 (x+3)(x −3x+ 、9) (2y−1)(4y2 +2y+ 。 1) 如果在 2 (x+3)(x −3x+ 中,把 x 看成 a,把 3 看成 b,在 (29) y− i 1) 2 (4y +2y+ 中,把 2y 看成 a,把 1 看成 b,那麼 1) 2 (x+3)(x −3x+ 、9) (2y−1)(4y2 +2y + 1) 就分別是 2 2 (a b a+ )( −ab b+ )、(a b a− )( 2 +ab b+ 2) 的形式。因此,可用立方和與立方差公式來計算,即 【ּ 1】 運用立方和公式與立方差公式計算: (1) (4+a)(16 4− a+a2); (2) 1 2 5 1 2 5 25 2 2 4 x y x xy y ⎞⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠。

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ྋ !! (1) 2 2 2 (4+a)(16 4− a+a ) =(4+a)(4 −4i a+a ) 3 3 3 4 64 a a = + = + 2 2 2 3 3 3 ( 3)( 3 9) ( 3)( 3 3 ) 3 27 x x x x x x x x + − + = + − i + = + = + 2 2 3 3 (a b a+ )( −a b b+ ) = a +b 2 2 2 3 3 3 (2 1)(4 2 1) (2 1)[(2 ) (2 ) 1 1 ] (2 ) 1 8 1 y y y y y y y y − + + = − + i + = − = − 2 2 3 3 (a b− ) (a + a b b+ ) = ab

(28)

(2) 5 1 25 2 5 1 2 2 2 4 x y x xy y ⎞⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 3 3 3 3 1 1 1 5 (5 ) (5 ) 2 2 2 1 (5 ) 2 1 125 8 x y x x y y x y x y ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎟ ⎢ + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎝ ⎠ = − i 【ּ 2】 運用乘法公式計算: 2 2 (x+1)(x−1)(x + +x 1)(x − + 。 x 1)

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ྋ !! (x+1)(x−1)(x2 + +x 1)(x2 − + x 1) 2 2 3 3 6 [( 1)( 1)][( 1)( 1)] ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x = + − + − + + = + − = − 或 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 6 ( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1)[( 1) ][( 1) ] ( 1)[( 1) ] ( 1)( 2 1 ) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + + − + = − + + + − = − + − = − + + − = − + + = −

ቚ ௫!

1. 運用乘法公式計算: (1) (x2 +1)(x4 − x2 + ; (2) 1) (y−3)(y2 +3y + ; 9) (3) (5+c)(25 5− c c+ 2); (4) (x2 − y2)(x4 + x y2 2 + y4); (5) (2x+5)(4x2 +25 10 )− x ; (6) 2 1 4 2 1 1 2 3a 2b 9a 3ab 4b ⎞⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠。

(29)

ቚ ௫!

2. 運用乘法公式計算: (1) (a+2)(a−2)(a2 −2a+4)(a2 +2a+ ; 4) (2) (a b a b a− )( + )( 2 +ab b+ 2); (3) x x( −1)2 −(x2 − +x 1)(x+ ; 1) (4) (y+1)2 +(y+1)(y2 −2y+ 。 1)

௫ ᗟ α

! 1. 運用平方差公式計算: (1) (x+2 )(y x−2 )y ; (2) (2a−3 )(2b a+3 )b ; (3) ( 1 3 )( 1 3 )− + x − − x ; (4) ( 2− −b 5)(2b− ; 5) (5) (2x3 +15)(2x3 −15); (6) 2 2 2 2 5 x y 5 x y ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (7) 2 1 2 1 4 4 2 2 x x ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (8) (0.3x−0.1)(0.3x+0.1); (9) (x+2)(x−2)(x2 + ; 4) (10) (x+ y x)( − y x)( 2 + y2)(x4 + y4)。 2. 運用平方差公式計算: (1) 69 71× ; (2) 503 497× ; (3) 40.5 39.5× ; (4) 402 391 3× 3 。 3. 計算: (1) x x( − − +3) (x 7)(x− ; 7) (2) (2x−5)(x− +2) (3x−4)(3x+ ; 4) (3) 3 2 3 2 2 3 2 3 2 x 3 y 2 x 3 y 3 y 2 x 3 y 2 x+ ⎞⎛ ⎞ ⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (4) x x2( 2 + y2)(x2 − y2) (+ x2 + y2)(2x4 −3y4)。

(30)

4. 運用乘法公式計算: (1) (6a+5 )b 2; (2) (4x−3 )y 2; (3) ( 2− m−1)2; (4) 2 1 2 4m n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (5) (4x+0.5)2 ; (6) 2 2 1.5 3 a b ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (7) 2 1 2 a b− + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (8) 2 (2x+ −y 3) ; (9) [(x+3 )(y x−3 )]y 2; (10) (3x+2y+4)(3x+2y − ; 4) (11) (a+3b−2)(a−3b+ ; 2) (12) (1+ +x y)(1− − ; x y) 5. 運用完全平方公式計算: (1) 63 ; (2) 2 895 ; (3) 2 9.98 ; 2 (4) 2 1 14 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 6. 計算: (1) (2a+1)2 + −(1 2 )a 2; (2) (2 )x 2 −3(2x+1)2; (3) 3(2− y)2 −4(y +5)2; (4) a4 − −(1 a)(1+a)(1+a2); (5) (3xy)2 −(2x+ y)2 +5y2; (6) 3(m+1)2 −5(m+1)(m− +1) 2(m−1)2。 7. 運用乘法公式計算: (1) (5 2 )(25 10− y + y +4y2) ; (2) (3s+2 )(9t s2 +4t2 −6 )st ; (3) (x2 +2)(4 2− x2 + x4); (4) 1 1 2 2 2 4 2a b 4a b ab+ ⎞⎛ + + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (5) (x−2)(x+2)(x4 +4x2 +16); (6) (x−2)(x2 +2x+ + +4) (x 5)(x2 −5x+25)。

(31)

8. 把圖中左圈裡的每一個代數式,分別乘以 a b− ,然後把積寫 在右圈。 9. 回答下列問題: (1) a2 + 加上什麼式子可以得到b2 (a b+ )2? (2) a2 + 加上什麼式子可以得到b2 (a b− )2? (3) (a b− )2加上什麼式子可以得到(a b+ )2 ? (4) a2 +ab b+ 加上什麼式子可以得到2 (a b− )2 ? (5) a b+ 乘以什麼式子可以得到a3 + ? b3 (6) a b− 乘以什麼式子可以得到a3 − ? b3 10. 先化簡,再求值: (1) (x+2)(x2 −2x+ + −4) (x 1)(x2 + + ,其中x 1) 2 3 x = − ; (2) (a b a b a+ )( − )( 2 +b2),其中a = 、3 b= 0.2; (3) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 a b a b a b ⎤ ⎛ − + + − ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎝ ⎣ ⎦ ,其中a = 、1 b= − 。 2 11. 解方程: (1) 2 1 1 1 1 4 4 4 4 x x x+ ⎞⎛ += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ; (2) (x+1)(x2 − + −x 1) x x( −2)(x+2) = ; 9 (3) 3(x+5)2 −2(x−3)2 − +(x 9)(x− =9) 180。 (第 8 題) a+b 乘以 a b− 2 2 a +ab+b 3 2 2 3 a +a b+ab +b … …

(32)

12. 一個正方形的邊長增加 3 cm,它的面積就增加 39 cm2。求這 個正方形的邊長。 13. 有一塊直徑為 a b+ 的圓形紙板,挖去直徑分別為 a 與 b 的兩 個圓,求剩下的紙板面積。

ˬăፋё۞ੵڱ!

6.10 Тغᇴ۞ጕ̝ੵڱ

現在我們來學習整式的除法。我們知道,除法是乘法的逆運 算,因此可以從整式乘法得出整式除法的法則。 這一節先研究兩個同底數的冪之除法。我們來計算 5 3 10 ÷10 、25 ÷ 23 根據除法是乘法的逆運算,我們知道,計算被除數除以除數 所得的商,就是要求一個數,使它與除數的積等於被除數。 2 3 5 5 3 2 2 3 5 5 3 2 10 10 10 10 10 10 2 2 2 2 2 2 × = ∴ ÷ = × = ∴ ÷ = ∵ ∵ a φ φb (第 13 題)

(33)

也就是 5 3 5 3 5 3 5 3 10 10 10 2 2 2 − − ÷ = ÷ = 同樣, 2 3 5 a a = a ∵ i 5 3 2 a a a ∴ ÷ = 4 也就是 5 3 5 3 a ÷a = a − 一般地,如果 m、n 都是正整數,並且 m> ,那麼 n -( ) ÷ 0 m n m n a a = a a ≠ 這就是說,同底數的冪相除,底數不變,指數相減。 同底數的冪相除,如果被除式的指數等於除式的指數,例如 2 2 3 ÷ 、3 3 3 1 1 2 2 ⎛÷ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 、 m m a ÷a 那麼,可以看出所得的商等於 1。 這就是說,指數相同的同底數之冪相除,商等於 1。 【ּ 1】 計算: (1) x8 ÷ ; x2 (2) a9 ÷ ; (3) a4 (−a)4 ÷ − 。 ( a)

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ྋ !! (1) 8 2 8 2 6 x ÷x = x − = ; x (2) a9 ÷a4 = a9 4− = ; a5 (3) (−a)4 ÷ − = −( a) ( a)4 1− = −( a)3 = − 。 a3 【ּ 2】 計算: (1) (ab)5 ÷(ab)2; (2) (a b+ )3 ÷ +(a b)2; (3) yn+2 ÷ ; (4) y2 xn m+ ÷xn m+ 。 4 這裡a≠ 。在本章中,所遇到的除式之值都不等於零。 0

(34)

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ྋ !! (1) 5 2 5 2 3 3 3 (ab) ÷(ab) = (ab) − = (ab) = a b ; (2) (a b+ )3 ÷ +(a b)2 =(a b+ )3 2− = + ; a b (3) yn+2 ÷ y2 = yn+ −2 2 = yn ; (4) xn m+ ÷xn m+ = 。 1

ቚ ௫!

1. (口答) 計算: (1) x7 ÷ ; x5 (2) y9 ÷ ; y8 (3) z11÷ ; z8 (4) a10 ÷ ; (5) a3 b6 ÷ ; (6) b6 c7 ÷ 。 c7 2. 在下列各式的括號裡填上適當的代數式,使等式成立: (1) x5 i( ) = x9; (2) a6 i( ) = a12; (3) b3 ib3 i( ) =b36; (4) x2 i x5 i( ) = x20。 3. 下面等式的計算對不對?如果不對,應怎樣改正? (1) x6 ÷x3 = ; (2) x2 z5 ÷z4 = ; z (3) a3 ÷ = ; a a3 (4) (−c)4 ÷ −( c)2 = − 。 c2 4. 計算: (1) (xy)5 ÷(xy)3; (2) (a b+ )5 ÷ +(a b)4; (3) an+2 ÷an+1; (4) x12 ÷ ÷ ; x3 x4 (5) y10 ÷(y4 ÷ y2); (6) (c4n ÷c2n)i c3n

6.11 ಏีёੵͽಏีё

這一節要研究兩個單項式相除的問題。我們來計算 3 2 3 2 12a b x ÷3ab 5 我們已經知道,這就是要求一個單項式(商式),使它與3ab 2 (除式)的積等於12a b x (被除式)。 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 4 3 12 12 3 4 a x ab a b x a b x ab a x = ∴ ÷ = ∵ i 5 這個式子就是(12a b x3 2 3) (3÷ ab2)的意思。

(35)

這就是說,所指的商式是 2 3 4a x ,其中係數 4 12 3= ÷ ,字母 a 的 指數 2 3 1= − ,字母 x 的指數仍然是 3 ,它不含字母 b。 一般地,單項式相除,把係數、同底數冪分別相除,作為商 的因式,對於只在被除式裡含有的字母,則連同它的指數作為商 的一個因式。 【ּ】 計算: (1) 28x y4 2 ÷7x y3 ; (2) −5a b c5 3 ÷15a b4 ; (3) 2 4 3 5 2 6 a x yaxy ⎞ − ÷ − ⎝ ⎠; (4) 2 3 2 2 2 (6x y ) ÷(3xy ) 。

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ྋ !! (1) 4 2 3 4 3 2 1 28x y ÷7x y = (28 7)÷ i xy − = 4xy ; (2) 5 5 3 15 4 [( 5) 15] 5 4 3 1 1 2 3 a b c a b ab cab c − ÷ = − ÷ i = − ; (3) 2 4 3 5 2 6 3 5 6 a x yaxyax y − ÷= ⎝ ⎠ ; (4) (6x y2 3 2) ÷(3xy2 2) = 36x y4 6 ÷9x y2 4 = 4x y2 2。

ቚ ௫!

1. (口答) 計算: (1) 16a÷ ; 4 (2) 10ab3 ÷ − ; ( 5) (3) −8a b2 2 ÷6ab2; (4) 6x y2 ÷3xy ; (5) −21x y2 4 ÷ −( 3x y2 3); (6) ( 2− ab2 3) ÷ −( 2ab2 2) ; (7) (6 10 ) (3 10 )× 8 ÷ × 5 ; (8) (4 10 ) ( 2 10 )× 9 ÷ − × 3 。 2. 計算: (1) 24a b3 2 ÷8ab2; (2) −14a x2 3 ÷7ax2; (3) 9c d3 2 ÷ −( 9c d3 2); (4) ( 0.5 2 2) 2 2 5 a bxax ⎞ − ÷ − ⎝ ⎠; (5) 3 2 2 3 2 4a b c a b ⎞ ÷ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (6) 2 3 2 3 (3mn ) ÷3m n ; (7) (4x y2 3 2) ÷ −( 2xy2 2) ; (8) (5ab c2 )4 ÷ −( 5ab c2 )2。

(36)

6.12 кีёੵͽಏีё

現在來研究多項式除以單項式的問題。例如,計算 (am bm cm+ + )÷ , m 這就是要求一個多項式,使它與 m 的積是 am bm cm+ + 。 ( ) ( ) a b c m am bm cm am bm cm m a b c + + = + + ∴ + + ÷ = + + ∵ 我們知道, am m bm m cm m÷ + ÷ + ÷ = + + , a b c 所以 (am bm cm+ + )÷ =m am m bm m cm m÷ + ÷ + ÷ 。 一般地,多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以 這個單項式,再把所得的商相加。 【ּ 1】 計算 3 2 (28a −14a +7 ) 7a ÷ a

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ྋ !! 3 2 3 2 (28a −14a +7 ) 7a ÷ a = 28a ÷7a−14a ÷7a+7a÷7a; = 4a2 −2a+ 1

ቚ ௫!

3. 把圖中左圈裡的每一個代數式,分別除以2x y,然後把商寫2 在右圈。 (第 3 題) 2 4x y 除以 4 2 12x y − 2 16x yz − 2 2x y 2 1 2x y

(37)

【ּ 2】 計算 4 3 3 2 2 2 2 (36x y −24x y +3x y ) ( 6÷ − x y)。

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ྋ !! 4 3 3 2 2 2 2 2 2 1 (36 24 3 ) ( 6 ) 6 4 2 x yx y + x y ÷ − x y = − x y + xyy

ቚ ௫!

1. (口答) 計算: (1) (6xy +5 )x ÷ ; x (2) (15x y2 −10xy2) 5÷ xy ; (3) (8a b2 −4ab2) 4÷ ab; (4) (4c d2 +c d3 2) ( 2÷ − c d2 )。 2. 計算: (1) (16m3 −24m2) ( 8÷ − m2); (2) (9x y3 2 −21xy2) 7÷ xy2; (3) (12a b2 3 −9a b c4 2 ) (3÷ a b2 2); (4) (25x2 +15x y3 −20x4) ( 5÷ − x2); (5) ( 4− a3 +12a b2 −7a b3 2) ( 4÷ − a2);

6.13 кีёੵͽкีё

現在我們可以學習多項式除以多項式了。 兩個多項式相除,可以先把這兩個多項式都按照同一字母降 冪排列,然後再仿照兩個多位數相除的演算方法,用豎式進行演 算。例如,我們來計算 2 (6x +7x +2)÷(2x+ , 1) 仿照 672 21÷ ,演算如下: 2 (6x 7x 2) (2x 1) 3x 2 ∴ + + ÷ + = + 32 21 672 63 42 42 0 2 2 3 2 2 1 6 7 2 6 3 4 2 4 2 0 x x x x x x x x + + + + + + + 除式 商式 被除式 餘式

(38)

演算的步驟是: 1. 用除式的第一項 2x 去除被除式的第一項6x ,得商式的2 第一項 3x; 2. 用商式的第一項 3x 去乘除式,把積6x2 +3x寫在被除式 下面(同類項對齊),從被除式中減去這個積,得 4x+ ; 2 3. 把 4x+ 當作新的被除式,再按照上面的方法繼續演2 算,直到餘式是 0(或餘式的次數低於除式的次數)為止。 一般多項式的除法也可按照上面演算步驟進行。 【ּ 1】 計算 2 3 (5x +2x − ÷ +1) (1 2 )x

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ྋ !! ∴ (5x2 +2x3 − ÷ +1) (1 2 )x = x2 +2x− 1 注意:按照 x 降冪排列,如果被除式有缺項,要留出空位。也可 採加零的辦法補足缺項,例如,把 3 2 2x +5x − 寫成1 2x3 + 2 5x + − 。 0 1 例 1 的餘式為零。如果一個多項式除以另一個多項式的餘式 為零,我們就說這個多項式能被另一個多項式整除,這時也可說 除式能整除被除式。 整式除法也有不能整除的情況。按照某個字母降冪排列的整 式除法,當餘式不是零而次數低於除式的次數時,除法演算就不 能繼續進行了,這說明除式不能整除被除式。 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 5 1 2 4 4 2 2 1 2 1 0 x x x x x x x x x x x x + − + + − + + − − − −

(39)

【ּ 2】 計算 3 2 2 (2x +9x +3x+ ÷5) (x +4x− 。 3)

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ྋ !! ∴ 商式 = 2x+1 , 餘式=5x+8 我們知道,整數相除,有時不能整除,帶有餘數,例如, 在數的帶餘除法中,有下面的關係: 與數的帶餘除法類似,在上面的例 2 中,也有下面的關係: 一般地,被除式、除式、商式及餘式之間有下面的關係: 被除式 = 除式 × 商式 + 餘式 2 3 2 3 2 2 2 2 1 4 3 2 9 3 5 2 8 6 9 5 4 3 5 8 x x x x x x x x x x x x x x + + − + + + + − + + + − + 37 21 785 63 155 147 8 785 = 21 × 37 + 8 除數 商數 被除數 餘數 除式 餘式 被除式 商式 3 2 2 (2x +9x +3x+ =5) (x +4x−3)(2x+ +1) (5x+8)

(40)

ቚ ௫!

1. 計算: (1) (3x2 +14x− ÷ + ; (2) 5) (x 5) (6x2 +14x+ ÷4) (3x+ ; 1) (3) (8x2 +52x−21) (÷ + ; (4) x 7) (1+ x2 +x4) (÷ x2 + − ; 1 x) (5) (x3 −3x+ x2 − ÷ − ; 8) (x 2) (6) (3x3 −4x−5x2 + ÷3) (x2 − + 。 x 5) 2. 已知除式、商式及餘式,求被除式: (1) 除式=3x− ,商式 25 = x+ ,餘式 107 = ; (2) 除式= x2 −2x+ ,商式1 = x2 +2x− ,餘式 4x1 = 。

௫ ᗟ ̣

! 1. 計算: (1) a7 ÷ ; a4 (2) x10 ÷ ; x6 (3) y8 ÷ ; y8 (4) ( 5)− 6 ÷ −( 5)3; (5) (ax)5 ÷(ax)3; (6) 4 1 1 2 y 2 y÷ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; (7) a3n ÷ ; (8) an x2n+1 ÷xn+1; (9) (a2)m ÷am; (10) t6 ÷(t4 ÷t3) ; (11) a3 i(a2 3) ÷a4 ; (12) (a b+ )3 ÷ +(a b)2 i(a b+ )4。 2. 計算: (1) −12a b c5 3 ÷ −( 3a b2 ) ; (2) 42x y6 8 ÷ −( 3x y2 )3; (3) 24x y2 5 ÷ −( 6x y2 3) ; (4) −25t k8 ÷ −( 5t k5 ); (5) ( 5− r c2 )2 ÷5r c4 ; (6) 7m2(4m p3 ) 7÷ m5; (7) −45(u v3 4 2) ÷5u v5 4; (8) 2 4 3 3 1 2 3 12( ) 2 s ts t ⎞ − ÷ ⎜ ⎝ ⎠ ; (9) ( 5− r st2 3 2) ( 2− rs t2 )3; (10) 5 2 3 1 3 2 (2 ) 2 a bc ⎛⎜ ab c ⎞⎟ ⎝ ⎠ ;

(41)

(11) ( 38 4 5 ) 19 5 3 3 2 4 x y z xyx y ⎞ − ÷ ⎝ ⎠ i ; (12) (2 )2 2 4 3 3 1 5 2 5 2 ax ⎛⎜− a x y ⎞ ⎛⎟÷⎜− a xy ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i 。 3. 一顆人造衛星的速度是2.88 10× 7 m/小時,一架噴氣式飛機的 速度是 6 1.8 10× m/小時,這顆人造衛星的速度是這架噴氣式飛 機速度的多少倍?。 4. 計算: (1) (6x4 −8x3) ( 2÷ − x2) ; (2) (8a b3 −5a b2 2) 4÷ ab; (3) (12x3 −8x2 +16 ) 4x ÷ x; (4) 2 3 2 2 5 2 2 7 3 5 y xy 3 y y + ⎞ ÷ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (5) (9a x3 5 −6a x2 4 +15a x4 3) ( 3÷ − a x2 3); (6) [28x y7 3 −21x y5 5 +2 (7y x y3 3 2) ] 7÷ x y5 3; (7) 0.25 3 2 1 4 5 1 5 3 ( 0.5 3 2) 2 6 a b a b a b a b ⎞ ÷ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (8) (3an+1 +6an+2 −9an) 3÷ an−1。 5. 化簡: (1) [(2x+ y)2 − y y( +4 )] 2x ÷ x; (2) [(3x+2 )(3y x−2 ) (y − +x 2 )(5y x−2 )] 4y ÷ x; (3) 2 2 1 8 4 4 16 2 y x y x x y ⎤ ÷ + − − ⎢⎜⎥ ⎣ ⎦ ; (4) ( 3 )2 3 2 2 (3 2 3) 1 9 4 2 2 x y xy x x xy y ⎤ ÷ ⎢ ⎥ ⎣ i i i ⎦ 。 6. 計算: (1) (2x2 +23x+56) (2÷ x+ ; 7) (2) (2x3 +27x−12x2 −27) (÷ − ; x 3)

(42)

(3) (2x3 +9x2 +10x+ ÷5) (x2 + + ; x 1) (4) (2y4 − y3 + − ÷ −y 3) (3 2y+ y2) 。 7. 長方形的面積是a2 −3ab+2b2,它的一條邊長是 a b− ,求它 的周長。 8. 已知除式、商式及餘式,求被除式: (1) 除式= 6x2 +3x− ,商式 45 = x− ,餘式5 = − ; 8 (2) 除式= −2x2 − + ,商式x 1 = x2 − ,餘式 32 = x+ 。 7

̈ ඕ!

一、本章主要內容是整式乘除法,其中包括冪的運算性質、 單項式乘以(或除以)單項式、多項式乘以(或除以)單項式、多項式 乘以(或除以)多項式等。 二、本章學過冪的運算性質有: ( ) ( ) ( 0 ) m n m n m n mn n n n m n m n a a a a a ab a b a a a a m n + − = = = ÷ = ≠ > i , 三、整式乘除法法則是以單項式乘以(或除以)單項式、多項 式乘以(或除以)單項式、多項式乘以(或除以)多項式分別給出的。 其中以單項式乘以(或除以)單項式法則為基礎。 四、有些特殊形式的多項式乘法,應用很廣,把它們寫成公 式,可以直接使用。本章學過的乘法公式有 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ( )( ) ( ) 2 ( )( ) a b a b a b a b a ab b a b a ab b a b + − = − ± = ± + ± ∓ + = ± 五、整式相乘的結果還是整式。

(43)

ኑ௫ણ҂ᗟ̱!

1. 計算: (1) x i(x2 2) i(x3 3) ; (2) 2m4 i(−m2 2) ; (3) (ab)2 i(−a)2 i(−b)3; (4) 2a b3 i( 3− ab)3; (5) ( 0.4− xy z3 ) ( 0.5i − x z2 ); (6) (−x y2 n)2 i(xy)3; (7) 2 7 5 3 5 5 3a b 2a b ⎞ ⎛÷ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (8) 3 4 3 2 (2 )a ib ÷12a b ; (9) [( 2− a b3 ) ]3 2 ÷ −( 3a b2 )2 ; (10) (4xn+1yn)2 ÷ −[( xy) ]2 n。 2. 臺灣面積約是3.6 10× 4km2。平均每 km2 的土地上,一年內從 太陽得到的能量相當於燃燒 5 1.5 10× T 煤所產生的能量。求臺 灣一年內從太陽得到的能量約相當於燃燒多少 T 煤所產生的 能量(保留兩個有效數字)。 3. 衛 星 脫 離 地 球 進 入 太 陽 系 的 速 度 ( 即 第 二 宇 宙 速 度 ) 是 4 1.12 10× m/秒。計算3.6 10× 3秒衛星行走多少 m(保留兩個有效 數字)。 4. 計算: (1) 2a b ab c3 (3 2 −2bc); (2) (0.3a2 −0.2a+0.1) 0.2× ; (3) 2 1 2 1 1 3a 2a 6a 4 ⎛ ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (4) (4πr h2 −2πrh) 6÷ πrh; (5) 6 3 4 0.9 3 3 3 5 5a x ax ax ⎞ ÷ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (6) (3an+4 +2an+1) ( 3÷ − an−1); (7) 6xy i[x2(5x+ −3) 3x2( 4 )]− y ; (8) [5xy x2( 2 −3xy) ( 3− − x y2 ) ] 23 ÷ x y2 2; (9) 2a b2 − −( 3 )a 2 i(2 ) (4b + a b3 2 2) ÷4a b4 3; (10) (3xy) (2 x2 − y2) (4− x y2 2 2) ÷8y2 +9x y2 4 。

(44)

5. 任意想一個正整數 n,按下列程序計算下去,把答案填寫在表 中空格內。然後看看有什麼規律,想想這是為什麼? n → 平方 → +n → ÷n → − → 答案n 輸 入 n 3 輸 出 答 案 1 6. 計算: (1) (2a+3 )(2b a−4 )b ; (2) (5a b− )(− −a 4 )b ; (3) (9u−2 )(v u + ; (4) v) (x2 +3)(x2 − ; 2) (5) (3t2 +2 )(3r t +5 )r ; (6) ( 3− a b2 −4ab)(− +a2 5ab2); (7) (0.3a b2 −0.4ab2)(0.5ab2 −0.1a b2 ); (8) 3 3 2 2 5 2 2 6 5xy 3 x y 4 x y 5 xy ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (9) (3x−5)(x2 −7x+ ; 3) (10) (5a+2 )(b ab−4a2 +3 )b2 ; (11) 3(2x−1)(x+ −6) 5(x−3)(x+ ; 6) (12) (x3 +2xy2 −3y3)(2xy) 8− xy x( 2 − y2)。 7. 計算: (1) 1 2 1 1 1 2 3a 4b 4b 3a ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (2) 2 5x x( +3)(x− ; 3) (3) 1 1 2 1 2 2 4 2 2 4 x x x+ ⎞⎛ ⎞⎛ + ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠;(4) 2 7 3 3 x 2 y+ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (5) 2 2 2 2 0.6 3c d ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (6) 4 (x x−1)2 − x(2x+5)(2x− ; 5) (7) 3(2 1)(2 1) 4 3 3 3 3 2 2 x+ x− − ⎛⎜ x− ⎞⎛⎟⎜ x+ ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

(45)

(8) 5(2x+5)2 +(3x−4)( 3− − ; x 4) (9) (x+3 )(y x2 −3xy +9y2) ; (10) (3a−2 )(9b a2 +6ab+4b2); (11) (xy) (2 x+ y)2 ; (12) (2x+ −y z)2; (13) (x+ y) (2 x2 −xy + y2 2) ; (14) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 x y 2 x y x y ⎤ ⎛ − − − + ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎝ ⎣ ⎦ ; (15) (2x+ − +y z 5)(2x− + + ; y z 5) (16) (x+ −y z x)( − + − + +y z) (x y z x)( − − 。 y z) 8. 計算: (1) (a b+ )2 + −(a b)2 + − −( 2a b a)( +2 )b ; (2) 5(m+n m n)( − −) 2(m+n)2 −3(m n− )2; (3) (xy)[(x+ y)2 −xy] (+ +x y)[(xy)2 + xy]; (4) (a b c+ + )2 + −(a b)2 + −(b c)2 + −(c a)2。 9. 先化簡,再求值: (1) (25y2 −5y +1)(5y + −1) 5(1 4− y2) ,其中 2 5 y = ; (2) 8 2 5 ( 3 ) 4 4 5 2 mm − +m n + m⎛⎜− mn⎞⎟ ⎝ ⎠,其中m = 、2 n = − ; 1 (3) x y( − −z) y z( − +x) z x( − ,其中y) 1 2 x = 、y = 、1 1 2 z = − 。 10. 一條水渠,其橫斷面為梯形, 尺寸如圖所示,求橫斷面面積 的代數式,並計算當a = 、2 0.8 b = 時的面積。 a a b b ab (第 10 題)

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參考文獻

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