2015IMAS國中組第一輪檢測中文試題詳解

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2015 初中組第一輪檢測試題詳解

1. 請問代數式 8 2 2015 0 ( 2)− + + + + +(1 2 2 _⋯ 2 ) + −16 的值是什麼？ （A）0 （B）32 （C）33 （D） 2016 2 −1 （E）22016 +31 【參考解法】 原式= + + =16 1 16 33，故選(C)。 答：（C） 2. 某人午睡時將鬧鐘定在下午 1 時 30 分，並在 12時 35 分睡著，請問當鬧鐘 響時，他總共睡著了多長時間？ （A）1 小時5 分 （B）55分 （C）95分 （D）105分 （E）11小時 5分 【參考解法】 可知12時 35分到下午1 時共25分鐘、下午 1 時到下午1時 30分共30 分鐘， 所以他總共睡著了 25 30 55+ = 分，故選(B)。 答：（B） 3. 在 四 邊 形 ABCD 中 。 已 知 AB DC 、// // BC ED、AD= AE、∠ =C 110°，如右 圖所示，請問∠A等於多少度？ （A）20° （B）35° （C）40° （D）55° （E）70° 【參考解法】

由於BCDE為平行四邊形，可知∠DEB= ∠ =C 110°，因此∠DEA= °70 ，故

180 2 180 2 70 40 A DEA ∠ = ° − ∠ = ° − × ° = °，故選(C)。 答：（C） 4. 某服裝店舉行優惠活動，購買衣服一件減價51%，一次購買衣服兩件則減價 55%。小莉花費 90 元一次購買兩件衣服，如果她分為兩次購買，請問會多 花費多少元？ （A）10 （B）8 （C）6 （D）4 （E）3.6 【參考解法】 兩件衣服的原價為90 45% 200÷ = 元，如果分為兩次購買需要 200 49% 98× = 元， 所以多費花了8 元，故選(B)。 答：（B） 5. 從3 cm × 3 cm的 16個格點中移除4 個，剩下的12 個格點 之排列方式如右圖所示。連接其中 3 個點構成一個三角形， 請問這個三角形的面積的最大可能值為多少cm2？ （A）9 （B）9 2 （C）3 （D）2 （E） 3 2 E D C B A

【參考解法】 因為三角形的面積為 1 2 S = ×底×高，要使面積最大，則底乘高的值必須最大。從 圖中可知，兩個格點在水平方向之最大距離為 3 cm，在垂直方向之最大距離為 3 cm，所以，三角形面積的最大可能值為1 3 3=9 2× × 2cm 2_{。任意選取在最外層正} 方形的四個頂點中的三個格點，所構成的三角形的面積即是最大的。故選(B)。 答案：（B） 6. A 班的學生比 B 班多 17 人、B 班的學生比 C 班少 15 人。請問下列哪一個 選項可能是這三個班級的學生總人數？ （A）150 （B）151 （C）152 （D）153 （E）154 【參考解法】 可先假設 B 班沒有學生，則此時學生總數為17 15+ =32人。接著可以每次都同 時將每一班都增加1 人而不會影響到各班之間的人數差異，因此將學生總數除 以3 之後所得的餘數必為2，選項中只有152符合，故選(C)。 答：（C） 7. 從 0、1、2、3、4、5 中選出兩個相異的數 x、y，請問 2 2 2(x+ y) + −(x y) 的 最大可能值是什麼？ （A）75 （B）163 （C）175 （D）187 （E）200 【參考解法】 由於 2 2 2 2 2(x+ y) + −(x y) =3x +3y +2xy，所以要取x、y 盡可能地大，所以原式 之最大值為 2 2 3 5× + × + × × =3 4 2 4 5 163，故選(B)。 答：（B） 8. 將矩形 ABCD 分割為四個等腰直角三角形與 一個正方形，如圖所示。已知正方形 EFGH 的面積為 100 cm2，請問矩形ABCD的面積為 多少cm2？ （A）750 （B）1000 （C）1100 （D）1200 （E）1600 【參考解法】 由於正方形EFGH的面積為 100 cm2，它的邊長為 EH = GH = 10 cm，可知四個等腰直角三角形的腰 長分別為10 cm、20 cm、30 cm、 20 2 cm，即矩形ABCD的面積為 1 100 (100 400 900 800) 1200 2 + × + + + = cm2，故選(D)。 答：（D） 9. 有一群學生到旅館住宿，若 5 個人同住一間房間，則有 6 個人沒房間住；若 6 個人同住一間房間，則房間剛好足夠但只有其中一間房間沒住滿 6 個人。 請問下列哪一個選項不可能是這群學生的總人數？ （A）46 （B）51 （C）56 （D）61 （E）66 E D C B A H G F

【參考解法】 設旅館總共有 x 間房間，則學生總人數為5x+6，依題意得5x+ =6 6(x− +1) y， 其中 y =1、2、3、4、5，化簡得12 x− = y，故對應的 x 可取值 11、10、9、8、7， 學生總人數5x+6可能為 61、56、51、46、41，因此不可能為 66，故選(E)。 答：（E） 10. 已知五邊形的其中一個內角為48°，第二個內角是它的 3 倍，第三個內角比 第二個內角小30°，第四個內角比第五個內角小10°。請問第四個內角是多 少度？ （A）112 （B）122 （C）132 （D）142 （E）152 【參考解法】 可知第二個內角為144°，第三個內角為114°，設第四個內角為x°，則第五個內 角為x+ °10 ，因此 48 144 114+ + + + +x (x 10)=540，解得x=112，故選(A)。 答：（A） 11. 有衣服三件、褲子三件、鞋子三雙，每樣都有紅、白、黑色各一。現在要從 中選出一件衣服、一條褲子與一雙鞋子，請問有多少種不同的選擇方式使得 至少有一樣是白色的？ （A）8 （B）9 （C）18 （D）19 （E）27 【參考解法】 所有的選擇方式共3 3 3 27× × = 種，其中沒有任何一樣是白色的有 2 2 2 8× × = 種 選擇方式，故至少有一樣是白色的有 27 8 19− = 種不同的選擇方式，故選(D)。 答：（D）

12. 在△ABC中，已知 AB⊥ BC、∠BAD= ∠DAE= ∠EAC、 56

ADC C

∠ − ∠ = °，如右圖所示，請問∠BAC為多少度？ （A）42° （B）45° （C）51° （D）60° （E）84°

【參考解法】

設∠BAD、∠DAE、∠EAC的度數為x°，則∠ = ° − °C 90 3x ，

56 146 3 ADC C x ∠ = ∠ + ° = ° − °。 在△ADC中，(146 3 )− x +(90 3 )− x +2x=180，解得x=14， 因此∠BAC為42°，故選(A)。 答：（A） 13. 已知a a 1 b = + 、 1 b a a = − ，請問 2 2 ( 1) b a− 的值為多少？ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）5 【參考解法】 兩式相乘可得 2 1 a b (a 1)(a 1) a 1 b a = × = + − = − ，因此 2 2 a = ，又由b a 1 a = − 可得 1 b a a− = ，因此 2 2 2 2 ( 1) b a a− = = ，故選(B)。 答：（B） E D C B A

14. 以線段 AB 為直徑畫一個大半圓，並且在線 段 AB 上取兩點 C、D，使得 AC：CD：DB = 1：2：3，分別以 AC、CD、DB 為直徑在大 半圓內部畫三個小半圓，如圖所示。請問三 個小半圓的面積總和佔大半圓面積的幾分之 幾？ （A）1 4 （B） 1 3 （C） 13 36 （D） 7 12 （E） 7 18 【參考解法】 令 AB 的長度為12 單位，則 AC、CD、DB 的長度分別為2、4、6 單位，可知三 個小半圓面積總和與大半圓面積之比為 2 2 2 2 1 (1 2 3 ) 7 2 1 ₁₈ 6 2 π π × + + = × ，故選(E)。 答：（E） 15. 有1 元、5元與 10元的硬幣總值60元，這些硬幣恰好可分別分為等值的三 堆、四堆、五堆，請問這些硬幣總共最少有多少枚？ （A）6 （B）11 （C）15 （D）16 （E）20 【參考解法】 因可將這些硬幣分為五堆，每堆12元，故知至少有 10枚1 元硬幣，即這些硬 幣總共最少有15枚。若恰為15 枚，則必有5 枚10 元硬幣，此時可知無法將這 15枚硬幣分為四堆，每堆 15元，因此這些硬幣總共最少有16枚，而 10枚1 元、 2 枚5 元、4 枚10元即恰為16枚的情況且可滿足題意，故選(D)。 答：（D） 16. 有一個立體模型是將一個邊長為 10 cm 的正立方體 金屬，在正中央挖除一個直徑為6 cm、高為8 cm的 圓柱體，如右圖所示，請問這個立體模型的體積為多 少 cm3？（π取 3.14） （A）426.08 （B）517.46 （C）573.94 （D）717.46 （E）773.92 【參考解法】 這個立體模型的體積為 3 2 10 − × × =π 3 8 1000 72− π =773.92 cm3，故選(E)。 答：（E） 17. 已知 a、b、c 都是正整數，請問(a+ +b c a)( + −b c a)( − +b c)(− + +a b c)可能 取下面哪一個選項的值？ （A）24 （B）54 （C）48 （D）60 （E）100 【參考解法】 由於a+ +b c、a+ −b c、a− +b c、− + +a b c的奇偶性相同，故取值為偶數時必 定為 4 2 =16的倍數，而當a = b = c = 2時，可取值為 48。故選(C)。 答：（C） D C B A 8 cm 10 cm 10 cm 10 cm 6 cm

18. 一個三層的立體模型是由 14 個單位正立方體構造成的，底層 由 9 個正立方體排成 3×3 的形狀，中間層由 4 個正立方體排 成 2×2 的形狀，頂層則只有 1 個正立方體，如右圖所示。現 將這塊積木的表面部分(包括底部)全部塗上紅色，請問這 14 個正立方體中未被塗色部分的表面積總和為多少單位？ （A）20 （B）31 （C）42 （D）53 （E）64 【參考解法】 從這個立體模型的上方與下方可各看到 9 個單位正立方體，而從這個立體模型 的每個側面可各看到 6 個單位正立方體，因此有9 2× + × =6 4 42單位的表面積曝 露在外而被塗上紅色，從這14 個正立方體的總表面積扣除這些即為所求，即未 被塗色部分的面積總和為14 6 42× − =42單位，故選(C)。 答：（C） 19. 某次選舉共有四位候選人，當開完前50張票時，他們的得票數分別為 11、 12、13、14 張票，且尚有六張投給這四位候選人的有效票。請問這四位候 選人總共有多少種不同的得票情況可使得目前得到 13 張票的候選人之得票 數贏過其他三人？ （A）16 （B）17 （C）18 （D）19 （E）20 【參考解法】 為了使目前得到13 張票的候選人保證贏過其他三人，他至少要從剩下的6 票中 獲得2 票。令這四位候選人最終的得票數分別為15+x、14+ y、12+ z、11 t+ 票， 其中 x、y、z、t≥0，則有x+ + + =y z t 4。故有以下情況： 當x=4時，y= = =z t 0，只有1 種可能； 當x=3時，(y, z, t) = (1, 0, 0)及其輪換，有3 種可能； 當x=2時，(y, z, t) = (1, 1, 0)、(2, 0, 0)及其輪換，有 6種可能； 當x=1時，若y=0時，則(z, t) = (3, 0)、(2, 1)、(1, 2)、(0, 3)； 若y=1時，則(z, t) = (1, 1)、(2, 0)、(0, 2)。 此情況共有7 種可能； 當x=0、y=0時，(z, t) = (1, 3)、(2, 2)，有2 種可能。 因此總共有1 3 6 7 2 19+ + + + = 種可能的得票情況，故選(D)。 答：（D） 20. 已知 x、y、z 是三個相異的正質數，且 x+ +y z與 2 2 2 x + y +z 也都是質數， 請問 x+ +y z的最小可能值是多少？ （A）17 （B）19 （C）23 （D）29 （E）31 【參考解法】 不妨假設 x< <y z。可知 x 不可能為2，否則x+ +y z為偶數，不符合題意； 若x>3，則x2 ≡ y2 ≡ z2 ≡1 (mod 3)，因此x2 + y2 + z2為3 的倍數，不符合題意； 故可推知x=3。此時可得知x+ +y z不可能為17，否則x= =y 3或y= =z 7，不 符合題意；若x+ + =y z 19，則(x, y, z) = (3, 5, 11)，但 2 2 2 x + y + z 的個位數碼為 5， 不符合題意；因此知x+ +y z的最小值為 23，此時(x, y, z) = (3, 7, 13)。故選(C)。 答：（C）

21. 在正六邊形 ABCDEF 中，點 G 為邊 AB 的中點，點 H 為邊 AH 上的一點使得FH =2HA，已知△AHG 的 面 積 為 1 cm2_{， 如 右 圖 所 示 。 請 問 正 六 邊 形} ABCDEF 的面積為多少 cm2？ 【參考解法】 設 O 為正六邊形 ABCDEF 的中心，由 AG = GB 可知 △ABH 的面積等於 2 倍△AHG 的面積，故△ABH 的面

積為 2 cm2_，由 2 FH = HA，可知△ABF 的面積等於 3 倍△ABH 的面積，即等於 2×3 = 6 cm2_{。顯然 ABOF 為} 平行四邊形，故△ABO 的面積等於△ABF 的面積，因此 六邊形 ABCDEF 的面積是6 6× =36cm2。 答：036 22. 設三個正實數 a、b、c 滿足a b( + =c) 48、b c( + =a) 70、c a( + =b) 88，請問 abc的值是多少？ 【參考解法】 將三式相加可得 48 70 88 103 2 ab bc ac+ + = + + = ，因此ab=15、bc=55、ac=33， 故 2 2 (abc) = × × =15 55 33 165 ，由a、b、c為正實數可得abc=165。 答：165 23. 已知a、b為實數且b= a2 −6a+ + − +b b 9 9，請問 a b 的值為多少？ 【參考解法】 由 2 9 6 9 9 b− = a − a+ + − ≥ −b b b 可得b≥9，因此 2 6 0 a − a+ =b 且b≥9，當 9 b> 時， 2 2 6 ( 3) ( 9) 0 a − a+ = −b a + − >b ，矛盾，所以b=9、 2 6 9 0 a − a+ = ， 解得b=9、a =3，故ba = =93 729。 答：729 24. 正整數a 滿足 2 | (10 11 12 19) a × × × ×_⋯ ，請問a 的最大值是多少？ 【參考解法】 分解質因數可得 8 4 2 10 11 12× × × × = × × × × × ×_⋯ 19 2 3 5 11 13 17 19，因此a 的最大值 是 4 2 1 2 × × =3 5 720。 答：720 25. 對於 1、2、3、4、5、6、7、8 的任意排列作以下的運算：將第一個數加上 第二個數，所得的結果再乘以第三個數，所得的結果再加上第四個數，所得 的結果再乘以第五個數，依此類推。請問可能得到的最小結果是多少？ 【參考解法】 因為只有進行加法與乘法運算，所得結果是遞增的，為使得到的結果最小必須 將數1、2、3 安排在乘法運算的位置，且要依照3、2、1 的順序。而其它五個 數則安排在加法運算的位置，且要依照漸大的順序。所以可能得到的最小結果 為(((4+ × + × + × + =5) 3 6) 2 7) 1 8 81。 答：081 E D C B A H _G F O