具細長探針的微懸臂梁力學分析
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(2) 謝誌 在高雄大學念研究所的這兩年學習到了很多，不論是念英文的文獻 以及撰寫程式都是大學時期從沒接觸過的，開始的時候難免遇到很多挫 折，隨著時間的流逝卻也順利的一一克服直到完成論文，當然這並非全 都靠我一個人的能力所達成的，要感謝施老師細心的指導與培養，施老 師的訓練對於學生未來從事土木相關業務時，能以更細心、更耐心的態 度面對所有的問題。也要感謝我的兩位口試委員，陳晴玉老師與徐文信 老師。陳老師對於 matlab 的協助使學生能夠在程式方面精進不少，對於 論文中繁雜的數學式與英文摘要的部分也都提出了很多建議，這讓學生 受益良多。徐老師也對論文中的數學符號與敘述方式提出建議，這使得 學生的論文能更加完善與便於閱讀。感謝所有老師對於學生的鼎力相助， 有你們的指導與糾正使學生這兩年來學習到很多重要的事物。 而碩士班的夥伴們也幫了我不少忙。感謝承翰電腦軟體的提供與使 用上的鼎力相助；感謝郁智在學校行政與制度上的支援與諮詢；感謝威 豪承擔碩士班班代一職幫助我們處理各項學校事宜；感謝峻維對於研究 上提出的意見使我的論文更加完善。 在此也要感謝實驗室的學弟們，感謝華儒對於研究與其它瑣事上的 幫助；感謝逸仁在報帳上的付出使實驗室的金錢流向明確以及實驗上的 輔助，因為有你們的幫助學長才能專心於論文的撰寫與實驗的分析。 最後要感謝我摯愛的家人們，在人生的道路上有你們的陪伴是我一 生中最大的福分與驕傲。.
(3) 目錄 目錄.................................................................................................................Ⅰ 表目錄.............................................................................................................Ⅳ 圖目錄.............................................................................................................Ⅴ 摘要.................................................................................................................Ⅶ ABSTRACT....................................................................................................Ⅷ 第一章 緒論.....................................................................................................1 1.1 前言............................................................................................................1 1.2 微懸臂梁簡介與應用................................................................................2 1.3 原子力顯微鏡與具奈米碳管探針簡介....................................................3 1.3.1 原子力顯微鏡簡介.................................................................................3 1.3.2 原子力顯微鏡工作原理.........................................................................4 1.3.3 原子力顯工作模式.................................................................................6 1.3.3.1 接觸模式..............................................................................................6 1.3.3.2 非接觸模式..........................................................................................7 1.3.3.3 輕敲模式..............................................................................................7 1.3.4 具奈米碳管探針之微懸臂梁簡介.........................................................8 1.4 本文架構....................................................................................................9 第二章 靜態奈米碳管受力分析...................................................................11 2.1 實驗上的挫屈問題..................................................................................11 2.2 挫屈與塑性力學塑鉸理論......................................................................13 2.2.1 .Euler 柱挫屈公式推導..........................................................................13. I.
(4) 2.2.2 .Timoshenko 薄壁挫屈與推導..............................................................16 2.2.3 梁的彎曲應力關係式...........................................................................19 2.2.4 斷面塑性彎矩與塑鉸...........................................................................20 2.3 具奈米碳管探針挫屈應力分析..............................................................22 2.3.1 彎曲變形微分方程式推導...................................................................22 2.3.2 具奈米碳管探針挫屈應力模型...........................................................24 2.3.3 碳管未達挫屈應力之受力變形分析...................................................26 2.3.4 碳管達挫屈應力之受力變形分析.......................................................30 2.4 碳管挫屈應力分析結果與文獻的比較討論..........................................32 第三章 靜態奈米碳管變形分析...................................................................36 3.1 前言..........................................................................................................36 3.2 垂直和傾斜奈米碳管變形曲線推導......................................................36 3.2.1 .AB 段奈米碳管變形分析.....................................................................37 3.2.2 .BC 段奈米碳管變形分析.....................................................................42 3.2.3 .AB 與 BC 段的組合..............................................................................46 3.2.4 藉由奈米碳管側向變形推估碳管慣性矩...........................................49 3.3 垂直和傾斜奈米碳管受壓變形實驗......................................................51 3.3.1 實驗架構...............................................................................................51 3.3.2 實驗結果與討論...................................................................................53 第四章 動態奈米碳管探針振動分析...........................................................67 4.1 前言..........................................................................................................67 4.2 特徵值分析方法......................................................................................67. II.
(5) 4.2.1 矩陣的特徵值與特徵向量...................................................................67 4.3 具奈米碳管探針微懸臂梁座標軸與振動方向定義..............................68 4.3.1 基本彈性伯努利─尤拉方程式推導...................................................70 4.3.2 承受軸力之彈性伯努利─尤拉方程式推導........................................72 4.3.3 具奈米碳管探針微懸臂梁振動分析...................................................74 4.4 分析結果與討論......................................................................................78 第五章 結論...................................................................................................83. III.
(6) 表目錄 2.1 奈米碳管挫屈應力分析參數...................................................................32 3.1 垂直和傾斜細長材料受壓實驗參數.......................................................53 3.2 量測實驗材料慣性矩與變位反推之慣性矩比較...................................66 4.1 具奈米碳管探針的幾何材料參數...........................................................70. IV.
(7) 圖目錄 1.1 .AFM 工作流程示意圖...............................................................................5 1.2 具奈米碳管探針........................................................................................9 2.1 碳管挫屈對表面形貌之誤判..................................................................12 2.2 .AFM 回饋系統對表面形貌之誤判示意圖.............................................13 2.3 簡支理想柱挫屈公式推導模型..............................................................16 2.4 薄壁管挫屈公式推導模型......................................................................18 2.5 梁斷面彎曲應力關係式推導示意圖......................................................20 2.6 梁斷面達塑性彎矩後之應力圖..............................................................21 2.7 懸臂梁彎曲變形圖..................................................................................24 2.8 具奈米碳管探針受力分析模型..............................................................25 2.9 奈米碳管各階段受力變形過程..............................................................25 2.10 接觸力分力對碳管自由端造成之旋轉角分析模型............................26 2.11 奈米碳管受壓變形分析模型................................................................27 2.12 具奈米碳管探針應力分析模型與斷面彎曲應力圖............................30 2.13 奈米碳管挫屈後之受力變形分析模型................................................31 2.14 各種傾角之奈米碳管受力與懸臂高度曲線........................................35 2.15 計算奈米碳管受力與文獻疊圖比較....................................................35 3.1 奈米碳管探針下針後之奈米碳管變形圖..............................................37 3.2 奈米碳管 AB 段變形分析模型................................................................41 3.3 奈米碳管受力分離體圖..........................................................................41 3.4 物體摩擦力計算分離體圖......................................................................42. V.
(8) 3.5 奈米碳管 BC 段變形分析模型................................................................46 3.6 f (u) / u 與 u 值關係圖.............................................................................51 3.7 奈米碳管受壓模擬實驗架設..................................................................52 3.8 垂直 PP 塑膠毛受壓實驗........................................................................55 3.9 傾斜 PP 塑膠毛受壓實驗........................................................................57 3.10 垂直鋼刷受壓實驗................................................................................59 3.11 傾斜鋼刷受壓實驗................................................................................61 3.12 垂直鋼線受壓實驗................................................................................63 3.13 傾斜鋼線受壓實驗................................................................................65 4.1 原子力顯微鏡微懸臂梁分析模型..........................................................69 4.2 承受動力荷載簡支梁..............................................................................72 4.3 承受軸力與動力荷載簡支梁..................................................................74 4.4 奈米碳管和碳試體間的凡德瓦力作用力曲線......................................77 4.5 懸臂與碳管之前三振動模態..................................................................79 4.6 整體具奈米碳管探針的前三模態特徵值分布圖..................................80 4.7 不同碳針接合傾角下的特徵值變化分佈..............................................81. VI.
(9) 具細長探針的微懸臂梁力學分析 （標楷體 18 號字.置中.粗體） 指導教授：施博仁 博士 國立高雄大學土木與環境工程學系 （標楷體 12 號字，置中，如有兩個以上則如上面格式順序書列） 學生：蔡尚豪 國立高雄大學土木與環境工程學系 （標楷體 12 號字，置中） 摘要 （以下皆為標楷體 12 號字，左右對齊） 本論文研究具奈米碳管探針之微懸臂梁在原子力顯微鏡(AFM)中的力學分析，以 了解微觀結構物的力學行為。主要內容可分為靜態與動態兩大部分。靜態部分，本研 究首先對奈米碳管的挫屈進行分析，並發展一套能計算奈米碳管挫屈應力的方法以防 止奈米碳管挫屈造成的掃描誤差。結果顯示本研究之分析方法確能用以計算奈米碳管 的挫屈應力。此外利用細長材料的受壓實驗以模擬奈米碳管的受壓變形關係，並利用 實驗之側向變形反推材料之慣性矩，以期發展利用奈米碳管受壓變形計算奈米碳管慣 性矩之方法。結果顯示，利用細長材料的受壓側向變形確能用以評估材料之慣性矩。 動態部分，本研究利用特徵值分析方法分析動態原子力顯微鏡下具奈米碳管探針之微 懸臂梁系統之動態力學模型，並以分析結果探討在不同初始傾角下探針的穩定性。結 果顯示，在碳管與樣品表面夾角愈小時，整體系統的穩定性相對提高。因此在動態原 子力顯微鏡輕敲模式下，避免奈米碳管與樣品表面垂直能有效降低系統產生的不穩定 現象。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－ 關鍵字：原子力顯微鏡、奈米碳管、振動、挫屈○○○○○○○○○○ ○、○○○、○○ (關鍵字為粗體，注意縮排) VII.
(10) Mechanical analysis of microcantilevers with tube probes Advisor: Dr. Po-Jen Shih Department of Civil and Environmental Engineering National University of Kaohsiung Student: Shang-Hao Tsai Department of Civil and Environmental Engineering National University of Kaohsiung （Times New Roman 體 12 號字，置中） ABSTRACT （以下皆為 Times New Roman 體 12 號字，左右對齊） In this thesis, a mechanical analysis of micro-cantilever beam with carbon nanotube (CNT) probes in atomic force microscopy (AFM) is carried out to provide insights into the mechanical behavior of microscopic structures. The main contents are divided into two parts, static and dynamic. In the static part, we analyze the buckling of CNTs, developing a method for the evaluation of CNT buckling stress to prevent scanning errors caused by the buckling of CNTs. The results show that the analysis of the current study is capable of predicting the CNT buckling stress. In addition, we use a slender material compression experiment to simulate the relationship between compression and deformation of CNTs with the lateral deformation of slender materials being performed to calculate the moment of inertia of the slender material. The results show that the lateral deformation under pressure of thin materials can be used to assess the moment of inertia of the slender materials. In the dynamic part, we use eigenvalue analysis methods to analyze the dynamic AFM microcantilever beam with a CNT probe, enabling us to understand the dynamic mechanical model of the system. The results of the analysis is used to explore the stability under different initial inclination of the probe. The results show that the smaller the angle between the tube and the sample surface, the more the stability of the overall system is increased. Therefore, in the tapping mode atomic force microscope, the instability generated by the system is reduced if the carbon nanotube is not perpendicular to the sample surface. Keywords: Atomic Force Microscopy (AFM), Carbon Nanotube (CNT), Vibration, Buckling. VIII.
(11) 第一章 緒論 1.1 前言 自 1991 年 1 月日本筑波 NEC 實驗室的物理學家飯島澄男使用高分 辨透射電子顯微鏡從電弧法生產的碳纖維中發現了新的碳分子結構─奈 米碳管(Iijima, 1991)，科學上對奈米碳管的研究便快速的發展。奈米碳管 最大的特性包含其極大的長細比以及表面化學反應性低、韌性高、疏水 性、極大的比表面積等在科學上的應用與淺力十分優越。目前科學上奈 米碳管的應用極多，如應用其管狀的特性來製作奈米尺度的導線。利用 其比表面積甚大的特性作為奈米吸附材。利用其硬度大、韌性高的特性 製作特殊複合材料，以及近年來利用其極大之長細比作為原子力顯微鏡 （atomic force microscope，簡稱 AFM）的探針以提高橫向掃描分辨率等。 由於奈米碳管的應用甚廣，因此須了解其物理性質才能增進科學家 對奈米碳管的了解。學術研究上對於奈米碳管的力學性質、電學性質的 研究日漸增多。尤其將奈米碳管作為 AFM 的探針時，奈米碳管本身極高 之長細比很容易造成探針發生不穩定的現象進而影響掃描樣品表面的精 準度。但奈米碳管其化學反應性低又具備疏水特性，對於未來發展液體 中 AFM 的掃描、表面凹凸不平且具有多組細小孔隙之樣品，以及生醫研 究細胞內部組成上具有相當大的潛力。為了克服奈米碳管在 AFM 應用下 造成之不穩定情形，必須了解奈米碳管的力學行為與機械性質，方能避 免奈米碳管因本身材料特性所造成的探針不穩定現象。 本研究主要以材料力學、塑性力學、結構學等基本理論，以及材料 之大變位理論、材料挫屈理論與特徵值分析方法，分析具奈米碳管探針. 1.
(12) 之微懸臂梁的受力變形行為與振動之力學行為。結合鋼毛之壓力實驗， 並利用分析的結果比對真正 AFM 下，具奈米碳管探針的受力變形行為， 以發展出用以預測奈米碳管挫屈或不穩定現象之理論依據。此研究利用 MATLAB 程式軟體，協助分析用上述理論所建構之具奈米碳管探針微懸 臂梁的變形函數。藉以了解具奈米碳管微懸臂梁之針尖樣品間距與挫屈 應力之間的相關性、整體微懸臂梁之振動模態，以及在不同角度與承受 軸力下對奈米碳管的振動模態之影響。. 1.2 微懸臂梁簡介與應用 懸臂梁在土木及工程界中是一種一端為固定端、一端為自由端的梁 構件。固定端的一處被定義為不可產生位移且不可產生轉角，即是在此 端點上的所有質點被完全束制，此時在斷面上會產生之反作用力有軸向 力、剪力、以及彎矩。而自由端則相反於固定端，自由端被定義為在其 斷面上可以產生位移與轉角，即在自由端處的所有質點完全無束制，可 因承受外力或是自重而產生位移與轉角。一般工程界之懸臂梁尺度大約 有數公尺，然微懸臂梁顧名思義是一種尺度甚小的懸臂梁。其對端點固 定端與自由端之定義同於一般的懸臂梁。唯一不同之處在於它的尺度只 有數十至數百微米。微懸臂梁在微機電系統的機械上應用甚廣，最常應 用於 AFM 的掃描以及生醫的感測計上。 微懸臂梁常應用於微型的感測器中(周等, 2007)，利用微懸臂梁中設 置會因自身變形而改變其電阻的壓電材料作為量測的原理。當微懸臂梁 受外力作用而使斷面產生彎矩時，設置於其上的壓電材料電阻值會相應. 2.
(13) 改變，此時再透過計算將改變之電阻值換算為電壓變化量，藉此得知微 懸臂梁的彎曲程度與待測物之間的物理關係。此量測方法之優點在於訊 號的傳輸與讀取相當便利，且不必在架設其他量測儀器，又因其微小的 特性使得微懸臂梁朝著可攜帶式系統作為發展的方向。 以醫療檢測中常作為心血管疾病的 C 反應蛋白作為例子(黎, 2004)， C 反應蛋白是一種由肝臟生成的特殊蛋白質，由於它會對肺炎球菌的 C 多醣體產生反應，因而稱之為 C 反應蛋白。C 反應蛋白常作為發炎的指 標，當人體內有急性發炎、細菌感染、組織破壞或惡性腫瘍時它便會出 現在人體之中，而當身體痊癒後又會立刻消失，因此很適合作為人體發 炎的指標。臨床上 C 反應蛋白之檢驗已發展到應用於預測心臟病和腦中 風的危險上。此種蛋白質有其專一的抗體，即此抗體只會與特定的蛋白 質發生反應。將 C 反應蛋白的抗體鏈結在微懸臂梁之表面，再將所採集 的人體血液樣本經由微流道系統流過微懸臂梁進行檢測。若血液中存在 C 反應蛋白，則 C 反應蛋白便會被鏈結於微懸臂梁上的抗體抓住，此時微 懸臂梁會因 C 反應蛋白與抗體和抗原之間的作用結合而產生分子間的作 用力，此作用力會使微懸臂梁上產生彎曲應力而使微懸臂梁彎曲。最後 再將微懸臂梁的彎曲程度計算出來並判讀就可以了解人體中 C 反應蛋白 的含量等資訊。. 1.3 原子力顯微鏡與具奈米碳管探針簡介 1.3.1. 原子力顯微鏡簡介. 原子力顯微鏡，也稱為掃描力顯微鏡（scanning force microscopy，. 3.
(14) SFM)）是一種擁有奈米級分辨率的掃描式探針顯微鏡。傳統的光學顯微 鏡解析度因為受到光波波長的限制，一般不超過 0.3 微米，其放大倍率可 達 2500 倍。而原子力顯微鏡不同於以往的光學顯微鏡，如同瞎子摸象般， 它主要是由一針尖端為奈米級尺度的微懸臂梁探針掃描樣品的表面形 貌，因此原子力顯微鏡的放大倍率比傳統光學顯微鏡高過 1000 倍。掃描 式隧道顯微鏡是原子力顯微鏡的前身，是在 1980 年代由 IBM 蘇黎世研 究實驗室發明的，在 1986 年獲得了諾貝爾物理學獎的殊榮(Ruska, 1986)。 AFM 為在奈米尺度操作材料以及成像和測量的最重要工具，通過將 雷射打在微懸臂梁上，當懸臂因針尖與樣品表面之間的凡德瓦力或接觸 力作用時產生的偏轉，使雷射反射在感光二極體上的能量或位置有所改 變，最後經由回饋系統計算出針尖與樣品表面之間的相對位置關係，AFM 之工作原理參考圖 1.1。. 1.3.2. 原子力顯微鏡工作原理. AFM 中最重要的組成構件為一針尖端具有奈米級尺度的微懸臂梁， 利用此微懸臂梁針尖之奈米級尺度的探針掃描樣品表面。微懸臂梁的尺 度在數十至數百微米，其組成的材料通常是矽或是氮化矽構成，懸臂之 端點上載有探針，探針的曲率半徑尺度在奈米等級，利用此探針掃描樣 品的表面可達到奈米等級的解析度。當探針與樣品表面的距離夠近而受 到凡德瓦力、接觸力、化學鍵、黏滯力、取向力、靜電力、磁力以及毛 吸力等作用時，微懸臂梁便會產生相對應的偏轉。而偏轉的大小會經由 打在懸臂上的雷射反射至一感光二極體上，藉由感光二極體產生的電流. 4.
(15) 訊號計算探針與樣品的間距、受力大小等物理量。在定高程的掃描模式 下，若樣品表面起伏過大，探針很有可能接觸樣品表面造成刮傷並損壞 樣品，若是硬度較大的樣品則可能造成探針磨損，甚至是整支懸臂梁的 斷裂。因此在定高的掃描模式下通常會經由回饋系統計算並維持樣品與 探針間的作用力，使探針與樣品的高度維持一定值。樣品的底座一般放 置於一壓電管上並可在 Z 軸方向(上下)移動以保持樣品與探針的距離。而 探針在掃描時則是在 X、Y 方向上移動進行掃描。AFM 因掃描方式不同 又可分為接觸式、非接觸式、輕敲模式等三種。. 圖 1.1、AFM 工作流程示意圖. 5.
(16) 1.3.3. 原子力顯工作模式. 原子力顯微鏡的工作模式分為靜態與動態兩種。在靜態模式下微懸 臂梁沿樣品表面掃描，由懸臂的偏轉可直接獲得樣品表面的高程圖。而 在動態模式下，藉由向微懸臂梁輸入一共振頻率使懸臂梁產生共振，共 振的振幅、相位與樣品跟探針的作用力相關，利用這些參數與外部懸臂 振動改變量可得出樣品的表面性質。. 1.3.3.1 接觸模式 原子力顯微鏡在靜態模式下，其主要是利用微懸臂梁的偏轉作為反 饋訊號。當探針在噪音稍大的環境下工作時，微懸臂梁之偏轉會與噪音 大小成正比關係。此現象是由於微懸臂梁的尺度是在奈米等級，此種微 結構機械裝置對於噪音造成的空氣振動非常敏感，因此在微懸臂梁的選 擇上會使用低硬度或低勁度的材料以增加反饋訊號的強度。然而，在靜 態模式下探針在掃描樣品時必須非常接近樣品表面， 但當探針尖端與樣 品表面上的原子接近到凡德瓦力的最小作用間距時，探針會因凡德瓦力 的吸引使得探針瞬間被吸往樣品表面。是故在靜態的原子力顯微鏡工作 模式下，通常會將探針尖端與樣品表面的凡德瓦力控制在排斥力的狀況 下。而這種掃描的方式即被稱為「接觸模式」 。在接觸模式的工作下，掃 描的過程中回饋系統會讓微懸臂梁保持不發生偏轉的狀況下來控制探針 與樣品表面間的作用力。. 6.
(17) 1.3.3.2 非接觸模式 原子力顯微鏡在非接觸的工作模式下，微懸臂梁上的探針並不直接 與樣品表面接觸，而是對微懸臂梁輸入一比共振頻率略低的頻率使其振 動，其振幅通常小於幾奈米。凡德瓦力在探針距離樣品表面約 1~3 奈米 時最強，這會導致微懸臂梁的振動幅度略微降低。因此通過回饋系統量 測微懸臂梁的振幅，並將探針與樣品表面的距離適度調整，可讓懸臂的 振幅維持在定值，使掃描的品質不會受到振動頻率與振幅的干擾。此時， 回饋系統為保持懸臂固定的振幅所移動的探針高度即為樣品的表面形 貌。不同於接觸模式，原子力顯微鏡於非接觸模式工作下由於探針不直 接與樣品表面接觸，因此可以避免對樣品表面的刮傷與探針的磨損。利 用非接觸模式的這個特點可應用於掃描較柔軟的樣品，如生物的細胞或 有機薄膜。對於較堅硬的樣品而言， 「接觸」與「非接觸」模式掃描出來 的成果幾乎相同。但當樣品表面有一層薄膜或是有吸附的流體時，兩者 的掃描成果便會有極大的差別。 「接觸」模式下探針會穿過液體層，所掃 描的成像是液面下樣品的表面； 「非接觸」模式下探針則是在液體層上方 振動，所掃描的成像是樣品表面與液面的總和。. 1.3.3.3 輕敲模式 一般情形下，由於空氣中的水分，大多數的樣品表面會附著一層薄 薄的水層。在非接觸模式下必須使探針足夠靠近樣品方能掃描出真實的 樣品表面。但為了靠近樣品往往探針容易受液體的黏著力作用黏貼到樣 品的表面，這是原子力顯微鏡於非接觸模式下經常碰到的大問題。為解. 7.
(18) 決此問題，「輕敲模式」便因應而生。輕敲模式又稱為「間歇接觸模式」 （intermittent contact） 。在輕敲工作模式下與「非接觸模式」類似，藉由輸 入一共振頻率附近的頻率使微懸臂梁產生振動，但與「非接觸模式」最 大的不同點在於「輕敲模式」的振幅遠大於 10 奈米，一般大約在 100~200 奈米之間。當探針愈靠近樣品表面後，探針和樣品表面間的凡德瓦力以 及其他的分子間作用力會導致微懸臂梁的振幅愈來愈小。此時回饋系統 會透過設置於微懸臂梁上的壓電材料來控制探針和樣品表面的距離以保 持預設的微懸臂梁振幅，而由回饋系統控制的探針移動距離即為原子力 顯微鏡在「輕敲模式」下的樣品表面形貌。. 1.3.4. 具奈米碳管探針之微懸臂梁簡介. 一般的微懸臂梁探針上的尺度約為幾十奈米到幾百奈米之間，然而 隨著探針持續的使用會導致探針磨損，因此探針在反覆使用過後其掃描 的精準度會隨之降低。再者，若樣品表面的孔洞尺度小於探針的尺度時， 會導致探針無法深入樣品表面而使原子力顯微鏡掃描的結果產生誤差。 為解決這些問題，近年來發展出一種具奈米碳管的探針。奈米碳管分為 單壁與多壁兩種，單壁的奈米碳管一般直徑約小於 10 奈米；多壁奈米碳 管的直徑則可到幾十奈米。 奈米碳管分為單壁與多壁兩種，由於單壁的奈米碳管直徑比多壁奈 米碳管小的多，一般約小於 10 奈米，因此相對於多壁的奈米碳管，它可 深入樣品表面的微小孔隙以利增加掃描的橫向分辨率。但由於單壁的奈 米碳管，管壁只有一層碳原子所組成且管壁甚薄，因此以單壁奈米碳管. 8.
(19) 製成的具奈米碳管探針很容易發生碳管軸向挫屈的情況，這會導致在掃 描的過程中回饋系統對樣品表面的掃描造成誤判，所以單壁的具奈米碳 管探針在掃描時必須調整微懸臂梁與樣品表面的高度以避免奈米碳管產 生挫屈。而多壁的奈米碳管管厚比單壁奈米碳管大上許多，因此多壁探 米碳管對於挫屈的承受力比單壁奈米碳管來的高，但是多壁奈米碳管管 徑卻比單壁奈米碳管大，若遇到尺度較小的孔隙，多壁奈米碳管則無法 深入孔隙而會導致掃瞄的誤差。綜合上述，不論是單壁還是多壁的奈米 碳管都有其優缺點，因此考慮樣品的特性與所需的掃瞄品質，再配合相 應的奈米碳管探針即能使原子力顯微鏡的掃瞄效率達到最佳化。. 圖 1.2、具奈米碳管探針(Strus and Raman, 2009). 1.4 本文架構 前述說明了具奈米碳管探針在掃瞄時會發生挫屈現象以導致原子力 顯微鏡的掃瞄誤差，因此了解具奈米碳管探針微懸臂梁的整體力學行 為，以及分析奈米碳管在原子力顯微鏡靜態與動態時的挫屈應力將有助. 9.
(20) 於未來碳管針使用上避免挫屈的發生。本文首先將推導薄壁管的挫屈應 力，並以塑性力學的塑鉸理論探討奈米碳管在挫屈後的力學行為以建立 分析奈米碳管應力的基礎公式，並利用分析的結果比對文獻上所得到的 實際具奈米碳管探針的針尖樣品間距與受力關係。而後再以大變位理論 推導奈米碳管的受力變形關係，並使用鋼刷、鋼線與塑膠毛進行奈米碳 管的模擬受壓實驗，最後將實驗的結果與推導所得的理論進行比對以了 解奈米碳管在受力時的變形行為。本文最後則以彈性伯努利-歐拉方程式 分析整體具奈米碳管探針微懸臂梁的振動行為與其間發生的不穩定性以 了解在動態的模式下具奈米碳管探針的力學行為。. 10.
(21) 第二章 靜態奈米碳管受力分析 2.1 實驗上的挫屈問題 奈米碳管因其微小管徑與極佳的韌性、彈性，以及疏水性和極低的 化學反應性等優點，近年來被應用於原子力顯微鏡的探針上以增加橫向 掃描分辨率。前述說明了單壁奈米碳管管徑一般小於 10 奈米，然而其長 度卻可達數百微米，這樣的特性導致奈米碳管本身的長細比極高，因此 奈米碳管在受力的時候非常容易有挫屈現象的產生。一般具奈米碳管的 探針所使用的工作模式為輕敲模式，在碳管與樣品表面過於接近時，由 於瞬間受到較大的原子斥力會導致奈米碳管產生瞬間的管身挫屈，這直 接的影響碳管與樣品表面有效原子對的作用面積。當碳管與樣品表面的 有效原子對作用面積改變的瞬間，自然會影響到回饋系統對樣品表面的 判斷。因此在原子力顯微鏡掃描的過程中，探針上的碳管發生挫屈後， 回饋系統勢必會對樣品表面的表面形貌造成誤判。 (Lee et al., 2005)對於在輕敲模式下，具奈米碳管的探針產生挫屈 時，對具奈米碳管探針，於原子力顯微鏡的橫向掃描分辨率影響進行了 研究。結果顯示，當奈米碳管於輕敲模式下進行掃描的途中產生挫屈現 象時，回饋系統會對樣品的表面形貌產生高於原樣品表面的誤判，其實 驗的結果包含平面與立體圖如圖 2.1。由於在輕敲模式下微懸臂梁的振幅 是回饋系統主要控制的因素，會產生對樣品表面形貌的誤判，即代表此 時碳管與樣品間的凡德瓦力產生了變化，並導致懸臂的振幅產生改變。 圖 2.2 說明了為何碳管挫屈後會使回饋系統對樣品表面誤判為較原樣品 表面高。在碳管挫屈之前，碳管尖端與樣品表面間的凡德瓦力較小，此. 11.
(22) 時原子力顯微鏡的掃描在正常工作情況；碳管挫屈瞬間，回饋系統維持 在定高的狀態下掃描，但由於碳管挫屈，碳管尖端與樣品表面間距變小， 導致碳管尖端與樣品表面間凡德瓦力變大。為維持微懸臂梁的振幅，回 饋系統需讓懸臂升高以維持碳管尖端與樣品表面間的凡德瓦力，因此便 造成了對樣品表面形貌的誤判。. 圖 2.1、碳管挫屈對表面形貌之誤判，(a)樣品表面平面圖 (b)樣品表面立 體圖，白色刮痕部分為表面形貌之誤判( Lee et al., 2005)。. 12.
(23) 3. 1 樣品表面. 碳管挫屈前 之凡德瓦力. 2. 拉高懸臂梁以 控制凡德瓦力. 碳管挫屈後碳管 自由端與樣品表 面的間距縮小導 致凡德瓦力變大. 圖 2.2、AFM 回饋系統對表面形貌之誤判示意圖. 2.2 挫屈與塑性力學塑鉸理論 在推導奈米碳管挫屈理論之前，必須了解何為挫屈。1744 年瑞士數 學家 Euler 在研究懸臂柱問題時發現，受壓的桿件在軸壓力上升到某一臨 界值時，受到微小的擾動因素影響，會突然產生彎曲變形，且無法恢復 至原本筆直的受力形式，這說明純受壓柱會在某一臨界值下彎曲，後來 將此稱為柱的挫屈現象。. 2.2.1. Euler 柱挫屈公式推導. Euler 在推導柱的挫屈(buckling)公式時首先做了三個基本假設─(1). 13.
(24) 柱為完美筆直之等斷面細長直桿，且為微小變形。(2)柱為均質材料且具 線彈性力學行為。(3)柱僅承受通過斷面形心的軸向力，且無任何橫向載 重與殘留應力。 考慮圖 2.3 之簡支理想挫屈柱模型，定義圖 2.3(b)標示之 x 軸與 y 軸 方向為正 x、y 軸方向，並取圖 2.1(c)之 C 點力矩平衡可得： M ( x) P ( x) 0. (2.1). M ( x) P ( x). (2.2). 將上式移項可得：. 上式中 為 C 點之橫向位移。依據材料力學彎矩─曲率關係式： M ( x) P ( x) EI EI P 令 並代入彎矩彎矩─曲率關係式得： EI. 2 0. (2.3). (2.4). 上式為 Euler 柱挫屈微分方程式，方程式解為：. C1 sin x C2 cos x. (2.5). 其中 C1 、 C2 稱為積分常數，由柱之邊界條件所決定。若以圖 2.3 柱之邊 界條件而言，A 點為鉸支承，邊界條件為：. (0) 0. (2.6). 同理 B 點為滾支承，邊界條件為：. ( L) 0. (2.7). 將邊界條件代入求得： C2 0 和 C1 sin( L) 0. 14. (2.8).
(25) 式(2.8)中 C1 sin( L) 0 ，此方程式有兩種情況： C1 0 或 sin( L) 0. (2.9). 若 C1 0 則 ( x) 0，亦即此 Euler 柱能然保持筆直且無挫屈發生，這個結 果顯然不合理，因此勢必 sin( L) 0。sin( L) 0 稱為挫屈方程式，sin( x) 函數在 x n ，n 為正整數時為零，故可將上述寫為：. L . P L n ， n 1,2,3... EI. (2.10). 上式移項得： P n EI L. P Pcr . n 2 2 EI L2. 上式之 Pcr 即為臨界載重。若將挫屈微分方程式寫成： n n C1 sin( x) L. (2.11). (2.12). 式(2.12)為挫屈形狀函數，為滿足微小變形條件 C1 常被限定為微小之不定 量， n 1 為最常見之柱挫屈模式。考慮 n 2 即為 Euler 柱挫屈的第二模 態，整體柱的變形為雙曲變形。由式(2.11)可知，產生第二模態所需之臨 界載重為第一模態的 4 倍。一般情況下， n 1 時 Pcr 最小，故無橫向束 制的細長柱在挫屈破壞時，皆為第一模態。當柱有橫向束制條件時，將 橫向束制點作為新的柱長起算點。以橫向束制點在柱身中間為例，柱長 變為原長的一半。式(2.11)說明了當柱長為原來之一半時， Pcr 會增加為原 來的四倍，滿足第二模態所需的挫屈載重。橫向束制會改變柱的邊界條 件，因此增加了柱的抗挫屈強度。伴隨柱的臨界挫屈載重 Pcr 增加，柱的 挫屈形狀函數也會改變。若增加的挫屈強度恰為原強度的 n 2 倍，則對應 的挫屈形狀函數即稱為第 n 模態。. 15.
(26) (a). (b) P. (c). x P. B. B x P M. L. x A. P. y. A. A. y P. P. 圖 2.3、簡支理想柱挫屈公式推導模型. 2.2.2. Timoshenko 薄壁挫屈與推導. 前述說明了實心柱的挫屈現象，若考慮薄壁柱的挫屈現象則與前述 的柱挫屈現象有所不同。不同於實心柱，薄壁柱在發生挫屈時並非整根 桿件產生彎曲的受力行為，而是在薄壁柱上產生薄壁的局部挫屈。因此 薄壁柱的挫屈力學行為不同於實心柱。由紙捲成的薄壁圓管受壓挫屈 時，圓管壁局部會出現多個產生多個凹折，這便是薄壁管的局部挫屈現 象。由於薄壁管的挫屈現象不同於實心柱，因此前述之 Euler 柱挫屈公式 並不適用於薄壁管，故薄壁管的挫屈力學行為必須另外考慮。 在 Timoshenko 與 Gere 兩人合寫的彈性穩定學中即提到薄壁管的挫. 16.
(27) 屈理論。首先考慮一個長度為 L、管徑為 2a、薄壁厚為 h，並承受軸向 單位長度均布臨界挫屈載重 N cr 作用的薄壁管如圖 2.4，在能量守恆的前 提下，管壁產生變形之應變能等於外加載重所作之功。如同式(2.12)的挫 屈形狀函數，在此假設薄壁管挫屈後的變形形狀函數為： m x w A sin( ) L. (2.13). 其中 A 與 m 為常數，並定義 x、y、z 三個軸向的應變各為 0 、 1 、 2 。 根據材料力學應力應變關係可求得： N 0 cr Eh. (2.14). 再根據材料力學應變轉換關係可得：. 1 2 (1 2 ) 0. (2.15). 上式中 為薄壁管材料柏松比。觀察圖 2.4 可得薄壁管 z 軸方向之應變為： w A m x (2.16) 2 0 0 sin ( ) a a L 將式(2.16)帶回式(2.15)得：. 1 0 . A m x sin ( ) a L. 沿薄壁管軸向的管壁曲率變化為： 2w m2 2 m x X x 2 A 2 sin x L L. (2.17). (2.18). 在此考慮薄壁管之挫屈發生為軸向對稱挫屈，故：. X y X xy 0 將式(2.16) ~ (2.18)代入薄壁管應變能公式得： 4 4 L A2 EhL m x 2 m U 2 hE 0 A sin A aLD dx 0 L 2a 2 L4. 17. (2.19). (2.20).
(28) 上式中 D . Eh3 為平版的抗彎曲剛度。薄壁管發生挫屈時外力所作 12(1 2 ). 之功為： T 2 N cr ( . L. 0. m x a 2 m2 2 A sin dx A ) L 4 L. (2.21). 依據能量守恆定律應變能等於外力所作之功並將外力以應力表示： N cr m2 2 E L2 m (2.22) cr D( 2 2 ) h hL a D m2 2 L m 假設在挫屈發生時薄壁管沿管壁上會產生多個波峰，考慮 cr 為一 的 L 連續函數，因此可在式(2.22)中找到一個最小的值為： 2 Eh (2.23) cr EDh ah a 3(1 2 ) 式(2.23)即為薄壁管的臨界挫屈應力方程式。 2a Ncr. L. x. z. y 圖 2.4、薄壁管挫屈公式推導模型 18.
(29) 2.2.3. 梁的彎曲應力關係式：. 考慮一均質等剖面具線彈性材料且受純彎曲 M z 作用之梁，其彈性模 數為 E、慣性矩為 I z 、曲率為 、曲率半徑為 、斷面積為 A 如圖 2.5， 依據圖 2.5(b)與(c)之變形幾何關係可得：. d ds dx. (2.24). 上式移項可得： d . dx. (2.25). . 依據變形幾何關係，距梁斷面中性軸 y 處伸縮量 d 為： y d ( y )d dx yd dx . (2.26). 上式以應變方式表達得： d y (2.27) y dx 1 其中曲率 與曲率半徑 的關係為 ，並依據虎克定律，材料之應力. x . . 應變關係為：. x E x E y. (2.28). 依據軸力等效行為，斷面受純彎矩作用，則斷面軸力 N 之關係式為： (2.29) N x dA E ydA 0 A. A. 依據彎矩等效行為： M z x ydA E y 2dA E I z A. A. (2.30). 上式移項可得：. . Mz EI z. (2.31). 19.
(30) 將式(2.31)代入式(2.28)得：. x . Mzy Iz. (2.32). 上式說明了某梁斷面在承受彎矩 M z 的情況下，距此梁斷面中性軸某一距 離 y 處相對於彎矩 M z 所產生的應力 x 。. (a). (b). (c). (d). y. y z. y. Mz. 中性軸. dx. 圖 2.5、梁斷面彎曲應力關係式推導示意圖(a)梁剖面圖 (b)梁撓曲變形圖 (c)梁斷面應變圖 (d)梁斷面應力圖. 2.2.4. 斷面塑性彎矩與塑鉸. 前述說明了梁承受彎矩的情況下，梁斷面會相對應產生彎曲應力。 由圖 2.5(d)的梁斷面應力圖可看出，離梁斷面中性軸最遠處的上下兩端是 整個梁斷面承受應力最大之處。當梁斷面之最大應力達材料的降伏應力 時，稱此時造成梁斷面邊緣降伏的彎矩為降伏彎矩 Mp。雖然斷面邊緣已 20.
(31) 達降伏應力無法再承受更大的應力，但梁斷面的其他部分尚未達到降伏 應力。因此梁斷面雖然已達降伏彎矩，然而梁本身還是可以繼續承受更 大的彎矩。當整個梁斷面的應力皆達降伏應力如圖 2.6 時，斷面整體皆無 法再承受更大的應力，此時稱此梁斷面已達塑性彎矩 Mp，這也是該梁所 能承受的極限彎矩。 當斷面達塑性彎矩後，如同前述鋼筋降伏時的情況，斷面之彎矩保 持定值 Mp。但不同於鋼筋會持續伸長，由於斷面是承受彎矩，因此達塑 性彎矩的斷面會在斷面彎矩保持定值 Mp 下轉動。即在梁斷面達塑性彎矩 時，梁斷面本身已失去了抵抗彎矩的能力，將此情況下的梁斷面視為鉸 接。只是不同於土木工程上真正意義的鉸接，梁斷面達塑性彎矩後產生 的塑鉸鉸接會有一個塑性彎矩作為反力。. Mp 中性軸. 圖 2.6、梁斷面達塑性彎矩後之應力圖. 21.
(32) 2.3 具奈米碳管探針挫屈應力分析 2.3.1. 彎曲變形微分方程式推導. 由圖 2.7 之彎曲變形圖，依變位諧合關係可得： d tan dx. (2.33). 上式對 x 作微分得：. . d 2 d (1 tan 2 ) dx dx. (2.34). 上式移項得： d dx 1 ( ) 2. (2.35). 依據圖 2.7(b)之幾何關係可得： ds dx 2 d 2 dx 1 ( )2. (2.36). 上式移項得： dx 1 ds [1 ( )2 ]1/2. (2.37). 依據圖 2.7(a)之幾何關係可得：. d ds. (2.38). 依據曲率與曲率半徑之關係可得： 1 d d dx ds dx ds. (2.39). 將式(2.35)與式(2.37)代入式(2.39)得： [1 ( ) 2 ]3/2. (2.40). 當變形為微小變形時，由式(2.33)與式(2.40)可得：. . .. . (2.41) (2.42). 22.
(33) 依據前述式(2.31)推導之梁斷面彎曲應力公式得： M EI M EI 依據材料力學彎矩、剪力之關係式可得： dM V dx 將式(2.44)代入式(2.45)得： 1 dM V ( ) EI dx EI 依據荷重、剪力之關係式可得： dV W dx. (2.43) (2.44). (2.45). (2.46). (2.47). 將式(2.46)代入式(2.47)得： 1 dV W ( ) EI dx EI. (2.48). 由式(2.41)、(2.44)、(2.46)和(2.48)可將各種載重下，梁的彎曲變形微分方 程式推導出來，再依據各種形式之梁的邊界條件帶入，即可將整根梁的 變形方程式列出來，最後再將欲求變位點之 x 座標代入便可求得於各種 載重下，任意點的撓曲變形量。. 23.
(34) (a) O. y. x x. d x. (b). 圖 2.7、懸臂梁彎曲變形圖，(a)懸臂受力變形示意圖、(b)微長度變形. 2.3.2. 具奈米碳管探針挫屈應力模型. 奈米碳管為管狀的薄壁結構，在分析奈米碳管挫屈行為時需以薄壁 挫屈現像進行分析。圖 2.8 為本研究參考(Kutana et al., 2006)研究單壁奈 米碳管於非接觸模式下之挫屈應力與振幅時所建構之具奈米碳管探針分 析模型，圖 2.9 為具奈米碳管探針的各階段受力過程。圖 2.9(a)為碳管尚 未受力時的狀態、(b)為碳管已受力作用，但受力尚未達挫屈應力，整體 奈米碳管尚處於受力微小變形階段、(c)為碳管之受力已達挫屈應力，此 24.
(35) 時碳管不再處於受力微小變形階段、(d)為碳管達挫屈應力後，其受力變 形不屬微小變形階段，碳管挫屈後之受力已屬大變形階段，此時碳管的 受力變形分析需考慮塑鉸理論。. 圖 2.8、具奈米碳管探針受力分析模型，圖引用自(Kutana et al., 2006). (a). (b). (c). (d) 塑鉸 塑鉸. 圖 2.9、奈米碳管各階段受力變形過程，圖引用自(Kutana et al., 2006). 25.
(36) 2.3.3. 碳管未達挫屈應力之受力變形分析. 圖 2.10 為奈米碳管的受力計算分析模型。圖 2.11 為碳管受力尚未達 挫屈應力時，奈米碳管的受力變形分析模型，Lc、Ec、Ic 分別為碳管長度、 碳管彈性模數、以及碳管斷面慣性矩。(a)為碳管恰接觸樣品表面瞬間， 此時奈米碳管尚未受力，碳管管身尚未產生變形。(b)為奈米碳管接觸樣 品表面後，懸臂持續下降並使奈米碳管開始受接觸力作用而產生變形。 碳管與樣品表面之原接觸角度為 0 ，在碳管受接觸力作用後，可將奈米 碳管視作為圖 2.10 中之懸臂梁自由端受一集中力作用，並使自由端產生 轉角，而奈米碳管受力後之碳管與樣品表面的夾角為原角度減去受接觸 力作用後造成之碳管自由端旋轉角。此分析中忽略接觸力對碳管本身之 軸向分力與樣品表面摩擦力影響。依據懸臂梁自由端受集中力之梁基本 變位公式，接觸力垂直碳管方向之分力對碳管自由端造成之轉角 為： FL2 cos 0 (2.49) c 2 Ec I c 圖 2.11(b)中碳管受力後之碳管與樣品表面夾角 1 為： FL2c cos0 1 0 0 2 Ec I c 針尖 固定端 F. 圖 2.10、接觸力分力對碳管自由端造成之旋轉角分析模型 26. (2.50).
(37) (a) 原懸臂高. L c. 原懸臂高. (b). 懸臂下降. F. 圖 2.11、奈米碳管受壓變形分析模型，(a)碳管恰接觸樣品表面瞬間、 (b)碳管接觸樣品後懸臂持續下降，碳管開始受接觸力作用並產生變形. 以圖 2.11 的具奈米碳管探針應力分析模型為例，奈米碳管自由端由於與 樣品表面接觸而產生了接觸力(正向力) F，在忽略樣品施予碳管的摩擦力 的情況下，此時取圖 2.12 探針尖端與奈米碳管接觸的斷面 AB 對整根奈. 27.
(38) 米碳管長度為 Lc 作彎矩平衡可得： M AB F Lc cos1. (2.51). 又根據式(2.50)移項可得： F. 2 Ec I c ( 0 1 ). (2.52). Lc cos 0 2. 式(2.52)說明了碳管所受的正向力與碳管和樣品表面夾角的關係，其中 0 為碳管尚未受力時碳管與樣品表面的夾角(定值)、1 為碳管受力後碳管與 樣品表面的夾角，即碳管在受力且尚未挫屈的過程中，正向力與此時相 對應的碳管與樣品表面夾角的關係式已解出，依圖 2.12 的幾何關係，此 時對應的針尖樣品間距計算為： H Lc sin 1. (2.53). 將式(2.52)代回式(2.51)可得： 2 E I ( ) 2 E I ( )cos1 M AB c 2c 0 1 Lc cos1 c c 0 1 Lc cos 0. Lc cos 0. (2.54). 式(2.54)說明了針尖與碳管接觸斷面 AB 之斷面彎矩 M AB 與碳管受力後碳 管與樣品表面夾角1 之間的關係。前述式(2.32)說明了斷面有彎矩作用 時，斷面會產生相對應的彎曲應力，整體看來整根奈米碳管是承受軸壓 力，由圖 2.12 的 AB 斷面放大圖來看，斷面 AB 由於彎矩 M AB 的作用下 A 端承受彎曲壓應力，而 B 端承受彎曲拉應力，故對於斷面 A 端而言，彎 矩 M AB 對 A 端的斷面壓應力有增大作用，反觀 B 端由於一拉一壓的狀況 下反而對斷面的應力產生互相抵消的作用，因此當斷面達到挫屈應力的 情況下，A 端勢必會先行產生挫屈現象，這也說明了本研究中所採用的 碳米碳管挫屈模型的合理性。 依據前述式(2.32)得知，一物體的斷面上有彎矩作用時，其彎矩大小 28.
(39) 與彎矩造成斷面上的彎曲應力關係式，若將式(2.54)代入式(2.32)可得： M y 2 E I ( )cos1 (2.55) AB AB c c 0 1 y Ic Lc cos 0 I c 式(2.55)中的 AB 為碳管斷面上的應力大小、M AB 為斷面上的彎矩、Ec I c 為 碳管的旋轉勁度、y 取碳管半徑。式(2.55)中的斷面應力與彎矩方向如圖 2.12 所示。前述說明了碳管斷面上的最大壓應力會發生在圖 2.12 中的斷 面 A 處，而式(2.55)說明了碳管斷面上的應力與碳管樣品間夾角的關係。 至此已將分析中的變數減少至一個 1 。前述式(2.23)推導了薄壁管的挫屈 應力大小，若將式(2.23)推導的薄壁管挫屈應力式代入式(2.55)中可得： Eh M y 2 E I ( )cos1 (2.56) cr cr c c 0 1 y Ic Lc cos 0 I c a 3(1 2 ) 將奈米碳管的參數帶入式(2.23)中以簡化式(2.56)得： Ec h 2 E I ( )coscr cr c c 0 cr y Lc cos 0 I c y 3(1 2 ). (2.57). 由式(2.57)中可看出碳管的挫屈應力大小和碳管的材料參數有關，因此奈 米碳管的挫屈應力大小為定值，即當碳管斷面上的應力達到 cr 時，奈米 碳管就會產生挫屈現象。再由式(2.57)中得知，當奈米碳管挫屈發生後， 此時相對應的碳管與樣品間夾角 cr 也已解出。由圖 2.11(b)可得知，探針 在下壓的過程中碳管與樣品表面的夾角 1 會愈來愈小，再由式(2.55)可看 出當1 愈小，碳管斷面上的壓應力 AB 會愈大，而當 AB cr 時就表示奈 米碳管已產生挫屈現象。. 29.
(40) 針尖 A B. Lc. 斷面 H. F. 壓應力. M. A. 管壁. 管壁. B. 中性軸. 拉應力 圖 2.12、具奈米碳管探針應力分析模型與斷面彎曲應力圖. 2.3.4. 碳管達挫屈應力之受力變形分析. 前述奈米碳管尚未挫屈時，碳管的受力變形處於微小變形階段。然 而當碳管發生挫屈之後，碳管受力的變形已不再處於微小變形階段，且 碳管發生挫屈後伴隨而來的是塑鉸的產生。在 2.2 節已經介紹過何為塑 鉸，因此在奈米碳管挫屈之後，可將碳管的挫屈斷面視為一個塑鉸。圖 2.13 是奈米碳管挫屈後的受力變形分析模型，AB 斷面挫屈後斷面彎矩為. 30.
(41) M cr、碳管長度為 Lc、碳管自由端受接觸力 F、碳管與樣品表面夾角為1 。. 取 AB 斷面彎矩平衡可得： F Lc cos1 M cr. (2.58). 上式移項可得： F. M cr Lc cos1. (2.59). 由圖 2.11(b)可看出當探針持續下降，碳管與樣品表面夾角 1 會持續變 小，此時由於 AB 斷面已發生挫屈，因此 AB 斷面上的彎矩 M cr 為定值。 而碳管的長度 Lc 也是定值，因此式(2.59)隨著1 的減少，碳管自由端受到 的樣品表面接觸力 F 也隨之減少。式(2.55)已將一根具奈米碳管探針微懸 臂梁上，靜態奈米碳管下針時碳管斷面上的應力分析解出，此結果可作 為判斷碳管針在掃描時碳管是否挫屈的參考值。. 針尖. Lc. A. Mcr. B. F 圖 2.13、奈米碳管挫屈後之受力變形分析模型. 31.
(42) 2.4 碳管挫屈應力分析結果與文獻的比較討論 奈米碳管挫屈應力分析按照上述之分析方法進行計算，利用 Matlab 程式軟體將計算結果顯示出來。依據(Kutana et al., 2006)對單壁奈米碳管 應力分析的結果，其以原子力顯微鏡進行實驗，比對不同奈米碳管初始 角度的正向力與懸臂之 Z 軸高度的關係。本研究為與(Kutana et al., 2006) 的研究成果進行最大值比對，奈米碳管的材料參數完全比照該實驗，用 以了解本研究推導的奈米碳管挫屈應力分析式。 (Kutana et al., 2006)之奈 米碳管下壓實驗參數如表 2.1 所示。. 表 2.1、奈米碳管挫屈應力分析參數(Kutana et al., 2006) 奈米碳管(10,10) 角度. 20. 25. 30. 長度. Lc 13.7 [nm]. Lc 13.7 [nm]. Lc 13.7 [nm]. 半徑. r 0.8 [nm]. r 0.8 [nm]. r 0.8 [nm]. 管壁厚. h = 1.34Å. h = 1.34Å. h = 1.34Å. 楊氏係數. E = 1055 [GPa]. E = 1055 [GPa]. E = 1055 [GPa]. 慣性矩 柏松比. I 0.1672 [nm4 ] I 0.1672 [nm4 ]. 0.0543. 0.0543. I 0.1672 [nm4 ]. 0.0543. 除上述表外，因原文中之計算並未使用到柏松比，而本研究在分析碳米 碳管挫屈應力時必須使用到奈米碳管柏松比，奈米碳管的柏松比參考(劉, 2007)所研究之奈米碳管力學性質評估。原文中之計算並未使用到碳管壁. 32.
(43) 厚，單壁奈米碳管管壁僅由一層碳原子組合而成，故本研究之奈米碳管 壁厚是以碳原子直徑作為計算依據。原文中並未將碳管慣性矩計算出 來，本研究中之慣性矩是採用原文的奈米碳管參數加以計算出來的結 果，圓形薄壁斷面慣性矩計算式如下： I. [ r 4 ( r h) 4 ] 4. (2.60). 原文中碳管傾角的定義是樣品表面的垂直軸與奈米碳管的夾角，而本研 究中的角度1 定義是奈米碳管與樣品表面的夾角，因此原文中的分析角 度與本研究中的分析角度為互餘關係，即表 2.1 中的角度 30 相當於本研 究中的1 60 。 圖 2.14 是(Kutana et al., 2006)之研究成果。奈米碳管的傾角分別為 20 、 25 、 30 。圖 2.14 中 a 為奈米碳管與樣品表面的距離達到凡德瓦力. 的最小影響距離後，碳管因凡德瓦力的吸引使懸臂瞬間被吸下去，此時 探針上面的碳管相當於承受拉應力，故此階段的碳管受力之值為負。(b) 為奈米碳管自由端已與樣品表面接觸，此時的奈米碳管開始承受壓應力 故受力值的大小為正，隨著探針持續下降奈米碳管的受力也愈來愈大， 最終應力達到圖中箭頭 b 所指處後，碳管達到挫屈應力的臨界點並即將 產生挫屈。c 為碳管挫屈後整根奈米碳管受力瞬間變小，而應力大小由原 本箭頭 b 處瞬間縮小至箭頭 c 處，此時的懸臂由於奈米碳管結構突然的 進入塑性階段並產生塑鉸，導致懸臂也因此產生了一瞬間的位移，由圖 中可看出碳管挫屈瞬間懸臂的位移量大約為 0.5 [nm]。(d)為整根奈米碳 管已貼在樣品表面上，原本只有奈米碳管的自由端與樣品表面有接觸 力，而到(d)階段後可看出整根碳管不再只有碳管自由端與樣品表面接 33.
(44) 觸，碳管管身中間處由於已貼到樣品表面上因此也開始受接觸力，故在 此階段的奈米碳管受力極其複雜，且依據樣品表面的平整度不同其受力 的形式也會不同。最後由圖中可看出在懸臂約高度-8 [nm]處，曲線的斜 率有急遽改變的趨勢，而最終下降至 0。 (Kutana, et al., 2006)分別做了三種不同傾角的奈米碳管受壓實驗，本 研究依據其實驗參數個別進行三組計算，分析結果如圖 2.15。(Kutana et al., 2006)傾角 20 、 25 、30 之挫屈應力約分別為 2.25、1.75、1.48 (nN)； 本研究的計算結果，傾角 20 、 25 、 30 之挫屈應力分別為 2.26、1.73、 1.42 (nN)。兩者結果相當。 本研究挫屈後的分析曲線與文獻較不一致，其原因為碳管挫屈瞬 間，探針與碳管接合處會突然產生塑鉸，導致探針的突然下降。此下降 量難以估算，為兩者曲線不符原因之一。而曲線最後之量值也不同，其 原因為本研究之分析方法皆為碳管自由端與樣品表面接觸之模型，因此 分析結果最後碳管與樣表面接觸，故會有一接觸力值。但實際上，當探 針下降至某一臨界高度後，探針上的碳管可能早已斷裂，因此探針最後 是不受力的，此為兩者曲線不符的另一原因。. 34.
(45) 圖 2.14、各種傾角之奈米碳管受力與懸臂高度曲線(Kutana et al., 2006). 傾角 傾角 傾角. 圖 2.15、計算奈米碳管受力與文獻疊圖比較. 35.
(46) 第三章 靜態奈米碳管變形分析 3.1 前言 前述 1.3.4 節討論了具奈米碳管探針的主要組成結構與特性，一般具 奈米碳管探針原子力顯微鏡的文獻都是集中於討論碳管的受力，或是在 動態模式下碳管針的振幅與頻率的關係，較少有討論奈米碳管的變形分 析的文獻。然而碳管的受力變形在具奈米碳管探針的使用中，除了能增 加對奈米碳管的材料力學行為的認識，另外由碳管的受力變形也能從中 獲得奈米碳管的材料參數。而本章節要討論的即是奈米碳管探針在靜態 模式下受壓的變形分析，藉此了解靜態的奈米碳管在接觸樣品表面開始 受力後變形的情形，這有助於了解奈米碳管的材料特性，能提供未來具 奈米碳管探針的應用上作為參考的依據。奈米碳管是管徑極小，且高長 細比的材料，這樣的材料特性使奈米碳管受力作用而產生變形時，其變 形的幅度是相當大的，因此在分析奈米碳管管身的變形時，前述所推導 的材料力學變形公式已無法適用於奈米碳管的計算上，必須考慮在大變 形的情形下材料的受力變形以進行分析。. 3.2 垂直和傾斜奈米碳管變形曲線推導 材料力學與結構學是分析所有梁柱以及其他結構體應力應變關係的 理論基礎，這些巨觀的結構物在分析當中都可視為微小變形，而材料力 學與結構學的理論基礎也都是基於微小變形理論。然而，本研究中探討 的具奈米碳管探針是奈米尺度的極微小結構，在微觀的世界中的結構物 的受力變形都是極大的變形，再者奈米碳管本身的高長細比，只要受到. 36.
(47) 微小的力量作用就會產生極大的變形，因此在分析奈米碳管的變形時必 須考慮大變位理論才能作為分析奈米碳管變形的理論基礎。具奈米碳管 探針在下針後的奈米碳管變形圖參考圖 3.1。為了分析圖 3.1 的奈米碳管 變形圖，本研究採用的方法為分段分析法，即將整根奈米碳管的變形分 為 AB 段與 BC 段。 (a). (b) 原高程 A. A. B. B. C. C. 圖 3.1、奈米碳管探針下針後之奈米碳管變形圖，(a)碳管為垂直、(b)碳管 為傾斜. 3.2.1. AB 段奈米碳管變形分析. 在分析 AB 段的變形時首先考慮圖 3.2 的分析模型，此分析模型為一 端固定端、一端自由端的懸臂，且在自由端處承受軸力與側向力使懸臂 產生了一個側向變形 ，並將圖 3.2 的固定端視為圖 3.1 中奈米碳管變形 圖的 A 點；將圖 3.2 的自由端視為圖 3.1 中奈米碳管變形圖的 B 點。. 37.
(48) 圖 3.2 中懸臂上各點的彎矩為： d2y M EI 2 Sy M 0 P( L x) dx. (3.1). 式(3.1)中懸臂的側向變形函數的解為： y C1 cosh tx C2 sinh tx Ax B. (3.2). 將式(3.2)帶入式(3.1)可得： EIC1t 2 cosh tx EIC2t 2 sinh tx SC1 cosh tx SC2 sinh tx SAx SB Px M 0 PL. 式(3.3)中以比較係數法可得： P A , B ( PI M 0 ) / S , t S / EI S 將圖 3.2 的邊界條件帶入式(3.3)，邊界條件為： dy dy ( ) x0 0, ( ) x L 0 dx dx 將邊界條件代入後以求得 C1 、 C2 為： P 1 cosh tL P tL C1 ( ) tanh( ) S t sinh tL tS 2 A P C2 t tS. (3.3). (3.4). (3.5). (3.6). 為了解得 M 0 ，將固定端的邊界 yx L 0 以及 C1 、 C2 帶入式(3.2)得： P tL P M (3.7) tanh( )cosh tL sinh tL 0 0 tS 2 tS S 將式(3.7)移項得： P cosh tL 1 P tL M0 [ cosh tL sinh tL] tanh( ) t sinh tL t 2 最後將式(3.4)、(3.6)和(3.8)帶回式(3.2)得： P tL P y [sinh tx tanh( )(1 cosh tx)] ( L x) St 2 S. 38. (3.8). (3.9).
(49) 在自由端( x 0 )處之變形為最大值，並將 x 0 代入式(3.9)得： PL3 ymax (u ) 4 EI. (3.10). 上式中：. (u ) . u tanh u tL 、u 3 u 2. 將圖 3.2 中整體懸臂長度定義為 L1 ，則 L1 為： L dy L1 [1 ( ) 2 ]1/2 dx 0 dx. (3.11). (3.12). 式(3.9)為懸臂的側向變形函數，由圖 3.2 中可看出，整體懸臂的最大側向 變形發生在自由端的部分，其最大變形的值由式(3.10)可得到。圖 3.1 中， 奈米碳管的側向變形最大值 就相當於圖 3.2 中的自由端最大側向變 形，且式(3.10)中可經由量測得到軸力 S，而實際實驗中式(3.10)的 也可 經由量測得到，此時式(3.10)中的未知數就只剩下側向力 P，如此就可將 P 解出。 在此說明側向力 P，圖 3.3(a)是一垂直奈米碳管受軸壓力後產生側向 變形，就整體奈米碳管取力平衡，整個系統中雖然沒有承受側向力，然 隨著樣品表面粗糙度的不同，碳管自由端與樣品表面的接觸點在較粗糙 的表面下可視之為鉸接；若是在光滑的樣品表面下則碳管會隨著樣品表 面滑動，這時候碳管自由端並無承受側向力(摩擦力)。此外，在光滑的樣 品表面下有微小的孔隙存在時，當碳管自由端恰好插入孔隙中後，此時 的碳管自由端就會有側向力的產生，但此側向力並非摩擦力，這是由孔 隙中的孔壁作用給碳管自由端之反力所產生的側向力。故在本研究的分 析當中，若自圖 3.3(a)中 B 點取自由體圖來看，側向力 P 的產生傳遞到 碳管自由端後必須由樣品表面的摩擦力或是孔壁反力來抵消，因此 P 所 39.
(50) 代表的是微觀世界中物體間的摩擦力或是物體接觸時產生的側向阻力。 再從圖 3.3(b)的傾斜奈米碳管受壓來看，在此情況下，碳管的自由端與樣 品表面的接觸點是會有摩擦力產生的，因此在圖 3.3(b)的系統中 C 點會 有一側向力的產生。 在巨觀的世界中，計算摩擦力的方式是以接觸面承受的正向力乘上 兩種材料間的外摩擦係數，摩擦係數的計算模型如圖 3.4。不同於巨觀世 界中定義兩材料間的摩擦係數為定值，微觀世界中的摩擦力極其複雜且 難以掌握。隨著樣品表面的粗糙度不同，在相同的兩材料間，摩擦係數 會因樣品的表面形貌有所改變，其中還包含凡德瓦力的影響。因此微觀 世界的摩擦力，無法以巨觀世界的摩擦力計算方式計算。 本研究藉由分析圖 3.1 中 AB 段奈米碳管的受壓變形時可以計算出 B 點承受的側向力，再依據側向力 P 反推碳管自由端所受到的摩擦力或接 觸阻力，碳管受力的分離體圖參考圖 3.3。 在考慮奈米碳管 EI 值確定之情況下，圖 3.3(a)中，碳管自由端之正 向力可由量測得到，再量測碳管側向最大變形量後由式(3.10)計算側向力 P 值；圖 3.3(b)中碳管自由端之正向力一樣可由量測得到，同樣量測碳管 側向最大變形量後由式(3.10)計算 AB 段側向力，此時式(3.10)之未知數就 只剩下 P，最後經由移項便可解出碳管自由端之摩擦力 P 值。. 40.
(51) S 固定端. A. P M 0. y. L x. B. P. O. 自由端 S. 圖 3.2、奈米碳管 AB 段變形分析模型 (b). (a) 原高程 A. A. S. L B. P. B. P xc. S. L S. S P. P. C 合力 R. C. xc. 合力 R. 圖 3.3、奈米碳管受力分離體圖，(a)垂直情況、(b)傾斜情況. 41.
(52) 斜面. 斜面正向力 N. 物體重力 W 斜面摩擦力 F. 為摩擦係數 圖 3.4、物體摩擦力計算分離體圖. 3.2.2. BC 段奈米碳管變形分析. BC 段之變型分析參考圖 3.5，圖 3.5 是考慮一端為固定端、另一端為 自由端之懸臂梁，並且在自由端承受一斜向壓力使得整根懸臂梁產生彎 曲變形之模型，在圖 3.3 中正向力與摩擦力的合力即為圖 3.5 中的斜向力 P，圖 3.5 中之 B 點視為圖 3.1 中之 B 點; 圖 3.5 中之自由端視為圖 3.1 中 之自由端。為了分析圖 3.5 的結構之變形函數，首先取自由體圖並計算圖 3.5 中之 Q 點彎矩，Q 點彎矩為： d M EI P1 ( xc x) P2 ( yc y ) ds. (3.13). 上式中 P1 P sin 、 P2 P cos ，將 P1 、 P2 代入式(3.13)並對 s 微分得： d 2 (3.14) EI 2 P1 cos P2 sin ds. 42.
(53) 為求解式(3.14)，定義兩個變數： s v L2 . 由式(3.15)之兩變數微分關係可得： d d ds d d (vL2 ) d L2 dv ds dv ds dv ds 式(3.16)等號右邊再對 u 微分得： d d d d ds d 2 2 [ ]L2 [ ]L2 L2 dv ds ds ds dv ds 2. (3.15). (3.16). (3.17). 由式(3.16)與式(3.17)得： d 2 1 d 2 ds 2 L22 dv 2. 式(3.14)等式右邊以正弦函數式改寫得： P P P( 1 cos 2 sin ) P sin( ) P sin P P 將式(3.19)代入式(3.14)得： d 2 c sin 0 dv 2 L22 P P L22 k 2 、 k 上式中 c 。圖 3.5 結構中的邊界條件為： EI EI ( ) s 0 0 d d ( 0 ) ( ) s L2 0 0 dv ds 對式(3.20)等號兩邊同乘 2d 再積分得： d ( ) 2 2c[cos cos( 0 )] dv. (3.18). (3.19). (3.20). (3.21). (3.22). 式(3.22)中： dv . ds d L2 {2c[cos cos( 0 )]}1/2. 43. (3.23).
(54) 對式(3.23)中之 ds 作積分，且積分上下限為 0 、 0 ，此下限表示 limit 、上限表示 limit 0 + ，因此得： 0 L 0 d L2 ds 2 1/2 2c [cos cos( 0 )]. 將式(3.24)中之 L2 消掉並分段積分得： 0 1 d d 1 { } 1/2 0 0 [cos cos( 0 )] [cos cos( 0 )]1/2 2c 將上式中之 cos 以二倍角公式替換得： 1 d 1 { 2 0 {sin [( 0 ) / 2] sin 2 ( / 2)}1/2 2 c 0 d } 0 {sin 2 [( 0 ) / 2] sin 2 ( / 2)}1/2. (3.24). (3.25). (3.26). 令 p sin[( 0 ) / 2] 並定一 值為 p sin sin( / 2) 。將 p sin sin( / 2) 微分並移項可得： d . 2 p cos d (1 p 2 sin 2 )1/2. 將式(3.27)代入式(3.26)得： m 1 sin1[ sin[( 0p )/2] ] d d 1 { } 2 2 1/2 2 0 (1 p sin ) (1 p sin 2 )1/2 c 0 sin( / 2) ) 。再由式(3.20)的化簡得知： 上式中 m sin 1 ( p c L2 k. (3.27). (3.28). (3.29). m d d F ( p , m ) 、 ，則式(3.28)積 2 2 2 1/2 0 0 (1 p sin 2 )1/2 (1 p sin ) 分可化簡為：. 令 K ( p) . /2. L2 [ K ( p) F ( p, m)] / k. (3.30). 同理，懸臂梁固定端至梁上某點長度 s 為： s [ F ( p, n) F ( p, m)] / k. 44. (3.31).
(55) sin( / 2) ) ，再由式(3.24)可知： p L2 d d ds 2 2 1/2 2 c{sin 2 [( 0 ) / 2] sin 2 ( / 2)}1/2 k (1 p sin ). 上式中 n sin 1 (. 上式由圖 3.5 中的幾何關係得知： dx cos ds dx cos( 2 )2 d1/2 k (1 p sin ) . (3.32). (3.33). 式(3.33)中 cos 1 2sin 2 ( / 2) 1 2 p 2 sin 2 再以和角公式展開得： cos d 2 p 2 sin 2 d sin dx { } 2 p sin d (3.34) k (1 p 2 sin 2 )1/2 (1 p 2 sin 2 )1/2 k d E ( p , ) (1 p 2 sin 2 )1/2 d ，則上式積分 令 F ( p, ) 、 2 2 1/2 0 0 (1 p sin ) 可化簡為： 1 x {cos [ F ( p, m) F ( p, n) 2 E ( p, n) 2 E ( p, m)] (3.35) k 2 p sin (cos m cos n)} 同理由圖 3.5 中的幾何關係得知： dy ds sin ds sin( ). 上式中的 sin( ) 以和角公式展開並以 取代 得： cos sin d 2 p 2 sin 2 d dy 2 p sin d [ ] k k (1 p 2 sin 2 )1/2 (1 p 2 sin 2 )1/2 同式(3.35)，上式積分可化簡為： 1 y {2 p cos (cos m cos n) sin [ F ( p, m) F ( p, n) k 2 E ( p, n) 2 E ( p, m)]}. (3.36). (3.37). (3.38). 至此已將一端固定端、一端自由端，並在自由端承受斜向力的懸臂形狀 函數解出。在傾斜的具奈米碳管探針中，若將碳管自由端與樣品表面的 接觸點視為鉸接，碳管自由端會承受樣品作用給表面的摩擦力或接觸阻 45.
(56) 力。前述已說明摩擦力以及其它機制所造成的側向力在預估與量測上的 困難，但樣品表面作用給探針尖端的摩擦力是確實存在的，且會對微懸 臂梁的受力產生影響。. B. y. s Q(x,y). xc. L2 C. x. P. yc 圖 3.5、奈米碳管 BC 段變形分析模型. 3.2.3. AB 與 BC 段的組合. 本研究中將奈米碳管的受壓變形分為兩段分析，而分段的受力自由 體圖如圖 3.3 所示。圖 3.3 中 AB 段的分析在前述已討論過，由式(3.35) 和(3.38)已將圖 3.5 中結構的受力變形函數解出，在此將圖 3.3(a)中之 BC 段與圖 3.5 之受力變形分析作說明。將圖 3.3(a)中碳管自由端所受正向力 與摩擦力以合力作用表示，則正向力與摩擦力的合力 R 就相當於圖 3.5 中自由端所受之斜向力 P；而合力方向與碳管原軸向的夾角就相當於圖. 46.
(57) 3.5 中的夾角 ；再來說明圖 3.3(b)中之 BC 段與圖 3.5 之受力變形分析， 不同於垂直的情況，當奈米碳管探針本身具有一傾角如圖 3.3(b)所示時， 碳管自由端正向力與摩擦力的合力大小一樣等同圖 3.5 中的斜向力 P，然 而圖 3.5 中的夾角 亦為碳管自由端之正向力與摩擦力的合力方向與碳 管原軸向的夾角，其合力與角度關係如圖 3.3 所示。 綜合上述，將奈米碳管的受壓變形由頂點的部分分為上下兩段分析 計算，藉由量測碳管最大受壓側向變形，可由上部 AB 段的分析方法計算 奈米碳管自由端所受的側向力，這是在式(3.10)中只有一個未知數 P 的條 件下才成立的。考慮到奈米碳管受力不確定的情況下，將 AB 段的分析視 為有三個未知數，分別為側向力 P、正向力 S 以及變形後平行原軸向之 長度 L，此時必須有三條方程式才能求解。 在考慮 BC 段之變形諧和條件後，必須利用上述 BC 段之變形分析結 果，這會導致分析的未知數變多，因此在考慮 BC 段之影響的情況下，未 知數會增加為七個，將 P 與 S 以 R 和 表示，則未知數分別為 L、 xc 、R、. 、p 以及上下部碳管之各別總長度 L1 、 L2 ，其中 xc 為 BC 段變形後平行 原軸向之長度如圖 3.5 所示。要求解上述七個未知數必須有七條變形諧和 條件與方程式才能求解，七條方程式如下： (1) AB 段自由端側向變位方程式： PL3 (u ) 4 EI u tanh u tL 、u 。 上式中 (u ) 3 u 2 (2) BC 段側向變形諧和方程式：. 47. (3.39).
(58) 1 k +2 E ( p, n) 2 E ( p, m)]} sin( / 2) sin( / 2) ) 、 n sin 1 ( )。 上式中 m sin 1 ( p p. yc {2 p cos (cos m cos n) sin [ F ( p, m) F ( p, n). (3.40). (3) AB 段奈米碳管總長計算式：. L1 [1 ( L. 0. dy 2 1/2 ) ] dx dx. (3.41). (4) BC 段奈米碳管總長計算式：. L2 [ K ( p) F ( p, m)] / k (5).奈米碳管總長度等於上下段之各別總長度總和： L dy Lt L1 L2 [1 ( )2 ]1/2 dx [ K ( p) F ( p, m)] / k 0 dx. (3.42). (3.43). (6).懸臂下降量 與碳管變形後平行軸向長度總合關係式：. Lt L xc (7).BC 段變形後平行圓軸向長度計算式： 1 xc {cos [ F ( p, m) K ( p) 2 E ( p) 2 E ( p, m)] k 2 p sin cos m}. (3.44). (3.45). 由上述七條方程式可將 7 個未知數解出，而分析中所需的已知條件為碳 管總長度 Lt 、懸臂下降量 、碳管彎曲勁度 EI、以及最大側向變形量 。 總結而論，在奈米碳管受壓產生側向變形的過程中，藉由量測奈米碳管 的最大側向變形，以及奈米碳管總長度與彎曲勁度等物理量，便可將奈 米碳管自由端所承受的摩擦力與正向力解出。. 48.
(59) 3.2.4. 藉由奈米碳管側向變形推估碳管慣性矩. 慣性矩是結構中力學中的一個重要參數，如在前述計算奈米碳管挫 屈應力，以及奈米碳管受壓變形時皆會使用到奈米碳管之慣性矩。大多 數研究奈米碳管的文獻中，碳管的管壁厚度皆為假定值(一般假定單壁奈 米碳管管厚為 3.4Å )，這可能是以電子顯微鏡(SEM)取得之奈米碳管圖片 上估計的結果。再者，多數文獻中計算奈米碳管慣性矩的方式是採用圓 形斷面如式(2.60)計算，然而一般單壁奈米碳管管徑大約是 2 奈米。從微 觀的角度上看，單壁奈米碳管的斷面是由多個碳原子組成的多邊形結 構，並非圓形斷面。故使用式(2.60)去計算奈米碳管的慣性矩時，首先在 碳管管壁厚度上就會有一誤差存在，再加上碳管斷面微觀上並非圓形斷 面。因此在計算奈米碳管的慣性矩時會有一定的誤差。 首先根據前述式(3.10)，得知了一懸臂梁自由端承受軸力與側向力 時，其產生的最大側向變形值與外加軸力和側向力之間的關係。若將式 (3.4)之 t 定義帶入式(3.11)之 u 中可得：. u. S L EI 2. (3.46). 將上式等號兩邊取平方再經移項整理可得： SL2 I 4 Eu 2. (3.47). 將式(3.47)帶入式(3.10)中得：. ymax. PL3 (u ) SL2 4E 4 Eu 2. 49. (3.48).
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