中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

曲齒聯軸器幾何設計與成形磨輪選用之探 討

An Investigation on the Geometric Design of Curvic Couplings and Their Formate Grinding

Wheel Selection

系 所 別： 機 械 工 程 學 系 碩 士 班 學號姓名： M09808006 邱 晨 熙 指導教授： 黃 國 饒 博 士

中 華 民 國 100 年 7 月

摘要

本文主要在進行曲齒聯軸器幾何設計與其適當成形磨輪選用之研究，並探討 磨輪幾何精度對於曲齒聯軸器嚙合特性的影響，以 SolidWorks (SW)二次開發功 能，完成曲齒聯軸器設計之電腦輔助軟體開發。

首先依據磨輪與齒盤工件的幾何方程式關係，應用座標轉換分別進行曲齒聯 軸器規範標準直線、凹齒與凸齒三種齒形輪廓的幾何方程式推導，而 3D 實體建 模過程是將前述三種齒形輪廓方程式以 Visual C++完成程式的撰寫來進行齒面 的點位置計算，並完成各個磨輪與曲齒齒盤之實體模型建構，以參數輸入對話框 的製作使其能達到參數化設計。最後在應用 SW 組合件功能，將所建立之凹、凸 齒齒盤模型進行嚙合，利用干涉檢查探討磨輪幾何精度對於研磨成形齒盤之影 響，加入各項設計製造的限制條件考慮，並根據所分析的結果來決定磨輪的幾何 與種類，以建立高精度曲齒聯軸器的設計與製造技術。

關鍵字：曲齒聯軸器、磨輪、參數化建模、嚙合分析

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to investigate the geometric design of curvic couplings and their formate grinding wheel selection, and discuss the geometric precision of grinding wheel for curvic coupling when two gears are in mesh to complete the curvic coupling design by using SolidWorks as a tool to develop.

According to the relation between grinding wheel and curvic coupling and by using coordinate transformation, three kinds of Curvic Couplings which are standard model、concave teeth and convex teeth are derived firstly. The 3D modeling process is that by using the equation of gear, tooth surface positions are used to calculate the above three models by adding a dialog box to reach parametric design in Visual C++.

Finally, an interference check by SolidWorks with assembly function is used to discuss the influence of geometric precision of grinding wheel which forms the Curvic Coupling. By these above results, the geometry of grinding wheel can be decided to build high accurateness of design and Technique of manufacture of Curvic Coupling.

Keyworks：Curvic coupling, Grinding wheel, Mesh, Parametric modeling

誌謝

感謝指導教授 黃國饒博士在研究主題與論文寫作上細心指導，在專業領域 部份使學生受益良多，因此由衷的感謝老師對學生的栽培與照顧。

此外，也感謝中華大學機械系 徐永源老師與中央大學機械系 蔡錫錚老師在 擔任學生口試委員中，所給予的指正與建議，提供寶貴意見使本論文趨於完善。

兩年的研究生活中，還要感謝學長慶亞、景輝、冠瑋與同學頌文，能夠在研究過 程中適時給予幫助與建議，也感謝學弟家有，康晏給於協助。

最後，僅以此論文獻給我親愛的家人與朋友，由於有你們精神上的支持、鼓 勵與幫助，使的我得以順利完成學業。

目錄

中文摘要...i

英文摘要………ii

誌謝………... iii

目錄..……….iv

表目錄………...………..……. vi

圖目錄………...vi

符號表……….………..…ix

第一章 序論………1

1.1 前言……….………1

1.2 研就動機與目的……….………3

1.3 文獻回顧……….………...……...……4

1.4 內容大綱……….………5

第二章 曲齒聯軸器基本介紹………7

2.1 曲齒聯軸器之基本介紹……….………7

2.1.1 磨輪加工誤差的影響………..……..………7

2.1.2 曲齒聯軸器設計參數………..……..………8

2.2 磨輪種類以及齒盤之研磨……….…………...….11

2.2.1 磨輪的斷面形式………....………..…....…11

2.2.2 雙凹/雙凸形齒寬與磨輪形式…..…………..……..…….……..……12

2.3 直線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導……….…………...….13

2.4 曲線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導……….…………..12

2.4.1 凹齒型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導…..…………..…………..……19

2.4.2 凸齒型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導…..…………..…………..……24

第三章 曲齒聯軸器之齒面方程式推導………..28

3.1 齒面方程式推導………..……….…………29

3.2 包含機構誤差之齒面方程式推導……….…..32

3.3 嚙合齒面方程式與法線向量推導………...………34

3.3.1 直齒形輪面方程式與法線向量………..34

3.3.2 凹齒形輪面方程式與法線向量………..36

3.3.3 凸齒形輪面方程式與法線向量………..37

第四章 嚙合特性與程式開發………39

4.1 曲齒聯軸器的嚙合特性與分析…………..………….………39

4.1.1 理想齒印………..39

4.1.2 局部齒印………..40

4.2 曲齒嚙合分析……….………41

4.3 以 SW-API 之開發流程…………..………..……….………….……44

第五章 曲齒聯軸器實體建模與嚙合分析……..………..………46

5.1 曲齒之實體建模………...………46

5.1.1 直線齒形之齒盤實體建模……..………47

5.1.2 曲線齒形之凹齒齒盤實體建模…..………..……..………49

5.1.3 曲線齒形之凸齒齒盤實體建模………..………50

5.2 幾何設計與實體建模………...52

5.2.1 齒數………..………52

5.2.2 壓力角………..…53

5.2.3 模數………..…54

5.2.4 跨齒數………..…55

5.3 磨輪誤差與嚙合分析………...……56

5.3.1 理想齒盤之嚙合……….………..………...57

5.3.2 改變磨輪半徑………...………...58

5.3.2 改變磨輪輪廓半徑………...………...60

5.4 工作台機構誤差與嚙合特性………...……61

5.4.1 旋轉誤差.……….….………..…61

6.2 未來展望………...63

參考文獻………..64

表目錄

表 2.1 曲齒聯軸器設計參數..………..8

表 2.2 齒盤與磨輪參數關係………..………..………..10

圖目錄

圖 1-1 曲齒聯軸器與磨輪示意圖………..………..…2

圖 1-1 以磨輪內、外側進行雙凸齒形與雙凹齒形齒盤之研磨之描述…………..…3

圖 1-2 磨輪研磨示意圖………..…………..2

圖 1-3 研究流程圖………..………..6

圖 2-1 曲齒聯軸器之齒形斷面圖………..…………..9

圖 2-2 齒盤半徑描述………..…………..9

圖 2-3 齒盤幾何形狀與磨輪關係圖………...………..……...…9

圖 2-4 磨輪幾何形狀.……….……….…...………11

圖 2-5 磨輪研磨面形式之描述……..………...……..……...…12

圖 2-6 模型設計開發步驟流程圖…..………...……..……...…13

圖 2-7 直線型式之輪齒. ………14

圖 2-8 曲線型式之凹齒輪齒. ………..…..20

圖 2-9 曲線型式之凸齒輪齒. ………..…..25

圖 3-1 齒盤與磨輪座標位置關係圖……….…...…..28

圖 3-2 磨輪與齒盤之座標系統描述.………...29

圖 3-3 包含磨輪與工作台軸心之座標系統誤差描述………...32

圖 3-4 磨輪之位移與旋轉機構誤差表示………...…..……...33

圖 3-5 工作台之位移與旋轉機構誤差表示………..………..…………...34

圖 4-1 曲齒聯軸器單一齒盤呈現良好全齒接觸之嚙合齒印圖示.……….39

圖 4-2 曲齒聯軸器單一齒盤接觸面積過小之局部齒印圖示. ………40

圖 4-3 曲齒聯軸器嚙合情況描述. ………41

圖 4-4 凹、凸齒嚙合之相對位置關係……….………..43

圖 4-5 應用 Visual C++之 SW- API 之開發流程圖………...………..…...44

圖 4-6 二次開發程式介面………..………45

圖 4-7 應用 Visual C++於 SW 介面建立曲齒盤之齒形種類選單………....45

圖 5-1 以 SW-API 之參數化齒盤模型建立流程……….…..46

圖 5-2 以 SW-API 建立直凹、凸齒用之磨輪………..……….47

圖 5-3 以 SW-API 建立直線齒形之齒盤……….……….…..48

圖 5-4 直線齒形之凹、凸齒嚙合………..………..48

圖 5-5 以 SW-API 建立曲線齒形凹凹、凹凸之磨輪……….…..……49

圖 5-6 以 SW-API 建立曲線凹齒之齒盤…………...………….…..………..…50

圖 5-7 以 SW-API 建立曲線凹齒齒形之磨輪………...………...………51

圖 5-8 以 SW-API 建立曲線凸齒之齒盤……….……….…..……52

圖 5-9 設定不同齒數所執行出來之直齒盤、凹凹齒盤、凸凸齒盤之結果………53

圖 5-10 設定不同壓力角所執行出來之直齒盤、凹凹齒盤、凸凸齒盤之結果….54 圖 5-11 設定不同模數所執行出來之直齒盤、凹凹齒盤、凸凸齒盤之結果...…….55

圖 5-12 設定不同跨齒數所執行出來之直齒盤、凹凹齒盤、凸凸齒盤之結果……56

圖 5-13 曲線齒形之凹凹形、凸凸形齒盤搭配與組合模型……….……..…….…..58

圖 5-14 改變G 之曲齒聯軸器的組合模式…...………59

圖 5-17 包含工作台平移誤差之干涉情形………...………..…...62

符號表

下列符號代表本論文所定義之參數，下標 n代表參數個數順序。

m ：齒盤模數 h：齒頂導角高 z ：齒盤齒數 w ：齒頂導角寬

α

^{：嚙合壓力角}

θ

n^{：角度參數}

f ：齒冠高係數 a C ：齒面同心圓心與直線交點 ₁ f ：間隙係數 c I_p：齒頂導角同心圓心與直線交點

a ：齒冠高度 r A_p：齒底圓角同心圓心與直線交點 a ：齒根高度 a r ：齒頂圓角半徑 _a

h ：全齒高度 t r ：齒底圓角半徑 _c n ：跨齒數 x r ：齒面半徑 _b r ：齒胚外側半徑 0

β

^{：齒頂導角角度} r ：齒胚內側半徑 i

ϕ

：角度參數 A：齒盤基圓半徑

γ

_n^{：角度參數}

G ：磨輪半徑 r C_og：中心距 l ：距離參數 n

δ

：齒盤旋轉角度

c ：齒底隙

b：齒空的一半

ρ

：圓角半徑

α

2：齒頂與對稱軸之角度

第一章 序論

1.1 研究背景

當前對於設備性能的要求幾已接近人力操作的極限，因此對於各項自動化設 備與精密機械的需求更趨重要，其中分度定位機構之發展對於自動化與精密設備 領域之發展至為關鍵。分度定位機構是藉著使工作台旋轉某一固定的角度造成工 作台產生角度上的位移，來達到傳送機件及定位，所以在精密自動化機械各領域 裡被廣泛的應用，其中曲齒聯軸器是應用二片或三片相同齒數如冠齒輪之雙凸齒 線與雙凹齒線的曲齒齒盤相嚙合來達成兩傳動軸之連接，因為其幾何齒形具備有 自動對心、無背隙、高確動性、高傳遞動力、高剛性與高定位精度的優良特性，

在工業界已成為不可或缺的元件，圖 1-1 是二片曲齒聯軸器組合與其單個雙凸齒 線曲齒的齒盤實體。

曲齒聯軸器的製造過程為運用如圖 1-2(a)之成形磨輪，以內側或外側研磨面 對圓盤形齒胚工件加以研磨產生雙凸形齒線或雙凹形齒線的曲齒聯軸器的齒 盤，當以外研磨面行成形研磨加工時，所加工出來為雙凹齒齒盤，如圖 1-2(c)所 示，相反的若以內研磨面來對齒胚加以研磨，加工出來的則為雙凸齒齒盤，如圖 1-2(d)所示。由上可知，曲齒齒盤的加工需依賴研磨形狀與尺寸精度來達到所要 的曲齒齒形輪廓與齒線精度品質。由於高等級曲齒聯軸器可達成極嚴格精度要 求，因此常用於航太工業、工具機以及各種高精密量測與產業設備等。曲齒聯軸 器的製造設備的機械等級高，價格極其高昂，其中以美國格里森公司所發展的 Gleason No.120 型專用磨床機最為著名[1]。曲齒聯軸器單一個齒盤可看作一種特 別的冠齒輪，並需進行細部齒形與形線修整以達成所需嚙合特性，因此複雜的加 工機參數設定對於成品影響大，進行曲齒聯軸器設計時應整理考量來達成，包括 曲齒設計與磨輪選擇。

近來電腦輔助設計(CAD)已成為機械設計重要工具，SolidWorks (SW)軟體擁 有強大的零組件設計建模功能，SolidWorks API (Automatic Program Interface)，

以下簡稱 SW-API，是 SW 所提供了高彈性二次開發的自動程式介面，讓使用者 開發各種專業功能模組，所以本研究希望進行曲齒聯軸器設計的電腦輔助軟體開 發，達成曲齒幾何設計與成形磨輪選用的分析探討，先推導曲齒聯軸器的標準與 非標準曲線齒形輪廓，將齒廓方程式應用座標轉換方法已分別獲得磨輪與齒盤齒 面方程式。然後運用 SW-API 之二次開發技術進行磨輪與齒盤實體建模，並製作 參數輸入對話框以達到參數化的設計，然後利用 SW 的組合件模組完成曲齒聯軸 器組合，並進行針對凹、凸兩種修整齒廓斷面形式齒盤的嚙合特性分析，討論曲 齒聯軸器齒對的干涉現象，最後則進行磨輪選擇與加工機誤差之影分析響，以達 成高精度曲齒聯軸器的設計與成形磨輪選用之研究。

(a) 兩片式曲齒聯軸器組合 (b)單一齒盤(雙凸齒線) 圖 1-1 曲齒聯軸器與磨輪示意圖 (資料來源：Gleason works)

1.2 研究動機與目的

本研究希望進行曲齒聯軸器幾何設計與成形磨輪的選用分析探討，先推導磨 輪的齒形輪廓，並經座標轉換分別獲得磨輪與齒盤齒面方程式，再運用二次開發 技術進行磨輪與齒盤實體建模，最後利用 SW 組合件模組完成曲齒聯軸器組合，

並進行嚙合干涉分析以建立高精度曲齒聯軸器的設計與製造技術。本研究先應用 所推導之針對曲齒聯軸器的幾何外形而得出磨輪的幾何外形方程式，並利用開發 軟體 Visual C++來計算曲齒聯軸器齒面點的位置，最後透過 SW 所提供的二次開 發之自動程式介面，運用 SW 軟體的繪圖指令來產生各個磨輪與齒盤，提供使用 者曲齒聯軸器專用的功能模組，期待本研究的曲齒聯軸器開發設計對於國內曲齒 聯軸器設計與製造，能夠有些許的幫助。

(a) 磨輪研磨示意圖 (b) 以外側面研磨雙凸齒線齒盤

(c) 雙凸齒線齒盤之研磨 (d) 雙凹齒線齒盤之研磨 圖 1-2 以磨輪內、外側進行雙凸齒形與雙凹齒形齒盤之研磨

1.3 文獻回顧

曲齒聯軸器是格里森公司(Gleason Works)所提出之設計發明，而且自 1964 年起發表各種關於曲齒聯軸器的幾何外形定義、設計規範、與注意事項之技術資 料[1]，使得曲齒聯軸器的應用更為普及。關於曲齒聯軸器之學術研發表極少 Bannister[2]提出對於曲齒聯軸器強度設計，所用之方法為運用有限元素的程式計 算中心線斜率所得之結果。國內則僅見於中山大學蔡穎堅教授所指導研究生有關 於此領域之研究，如其中林政達[3]針對曲齒聯軸器加工誤差及定位精度，除了 探討目前標準之曲齒聯軸器齒形外，藉著共軛曲面原理推導出新型曲線型曲齒聯 軸器之齒形，並對其誤差進行分析。由於曲齒聯軸器的幾何外形與冠齒輪和蝸旋 傘齒輪的幾何外形相似，因此曲齒聯軸器的齒形也可以藉由齒輪理論來描述定義 之。關於齒輪幾何學理論名著為 Litvin[5]提出齒輪幾何外形的定義及設計方法，

此書將他研究生涯於二維與三維各類型齒輪幾何理論與齒輪製造的探討與分 析，做大部分整理提出。黃佳凰[4]即應用座標轉換之齒輪創成幾何學推導出曲 齒聯軸器的齒形創成，並進行其特性研究。在螺旋傘齒輪設計與製造生產能力的 領域，德國 Klingelnberg [6]是當今世界技術的佼佼者，在齒輪量測與齒輪切削刀 具，都有極佳的表現。近年 Yi-Pei Shih、Zhang-Hua Fong 則對於蝸旋傘齒輪與戢 齒輪之幾何理論、設備與加工方法、機械誤差之影響、以及修整予補償方法進行 完整研究與結果發表[7-9]。

當前主要的電腦輔助設計軟體，如 Pro-Engineer, UG, SW 都提供了功能強大 且方便的二次開發之自動程式介面，讓其軟體使用者可以應用所提供函式可自行 開發出所需的專用功能模組，使得其軟體具有更良好的開發性與相容性，其優點 可以大幅縮短模具設計開發時間，並提高設計效率[10-12]。為了解決蝸旋傘齒輪

計附加程式，以參數自動產生方式讓齒輪設計者可以來完成蝸旋傘齒輪零件的實 體建模。至於 SW 二次開發方面，王文波等人[14]有編著“SolidWorks 2008 二次 開發基礎與實例(VC++)”，介紹一些關於二次開發的基礎與概念，提供開發實 例讓使用者以供參考。曹岩、方舟等人[15]也有關於在 SW 環境下使用 Visual C++

開發，並且述說一些主要的開發功能與對話框製作。由於本論文研究方向是對於 曲齒聯軸器幾何設計與成形磨輪選用之探討，因此在曲齒聯軸器最佳化設計方 面，劉洛瑩[16]有探討曲齒聯軸器齒形最佳化之研究，針對設計磨輪與曲齒聯軸 器兩者之間的一些相關變數，並運用 Visual Basic 程式撰寫最佳化程式來做其分 析。

1.4 內容大綱

本研究將應用 Visual C++程式對 SW 進行二次開發以建立曲齒聯軸器，研究 過程如圖 1-3 之流程圖。本文內容包括：第一章說明研究背景、研究動機與目的 及其相關參考文獻；第二章為曲齒聯軸器特性描述以及設計參數的關係，；第三 章則進行磨輪與曲齒聯軸器齒形斷面的推導，並加入誤差因素；第四章為利用兩 齒盤嚙合特性推導其嚙合位置，先進行嚙合位置與法線向量的推導，然後進行曲 齒聯軸器二次開發；第五章為應用開發程式開發曲齒聯軸器各種齒形模組，運用 軟體的繪圖指令來產生各個磨輪與曲齒齒盤並利用對話框達成參數化並顯示所 建立出來的模型結果，並對兩齒盤嚙合進行干涉檢查；第六章為結論與未來展望。

推導三種曲齒聯軸器齒形斷面方程式

干涉檢查 直線齒形推導

參數對話框製作

曲線齒形推導

斷面凸齒齒形 斷面凹齒齒形

模型建立

完成

調用二次開發指令函式並進行程式撰寫 (1) 建立磨輪草圖

(2) 建立齒胚

(3) 選轉除料產生齒形 (4) 環狀複製齒數

SW 組合件模組功能

第二章 曲齒與磨輪斷面幾何

2.1 曲齒聯軸器之基本介紹

曲齒聯軸器一般被應用於高精度定位、高負載之高等級機械零組件，於精密 機械方面的應用甚廣，其齒盤加工需要求高精度尺寸公差與幾何公差，尤其對於 齒形方向與齒線方向之輪廓精度之要求也更為嚴格，以達成其高精度定位與高負 載傳動要求，在精密機械傳動與定位最為重要，其中標準直線齒形斷面是最常用 與基本的曲齒聯軸器齒形樣式。而在接觸曲面的研究上，如齒輪面用兩共軛嚙合 曲面之互相接合，與傳統直線齒形相比具有更高的誤差容許度，因使可達成較高 傳動精度，承載能力相對的也較好，以更廣泛討論加工誤差與曲齒聯軸器齒形的 修整設計之關係。因此本論文除了探討基本的標準直線齒形外，並進行針對斷面 為曲線之凹齒形與凸齒形斷面之曲齒聯軸器齒盤進行齒面方程式推導與其誤差 因素之嚙合特性討論。

2.1.1 磨輪加工誤差的影響

由於曲齒聯軸器齒形的產生是藉著磨輪的外形輪廓為研磨刀具使其加工而 成，可視為一種成型磨的加工方法，所以對於生成曲齒聯軸器的齒形，磨輪外形 的幾何與尺寸精度的影響勢必重要考慮，因此具備良好的齒形幾何與尺寸精度是 曲齒聯軸器產生良好嚙合關係的重要基礎。而誤差產生的原因，可以從磨輪的幾 何形狀與尺寸以及加工機之機構誤差來探討，如齒形之加工是由齒胚以磨輪外型 研磨而成，因此磨輪在齒形上若有幾何與尺寸誤差，會導致兩齒盤嚙合不完整，

磨輪半徑、磨輪輪廓形狀等皆是造成嚙合上有誤差產生之因素。討論各種齒形曲 齒聯軸器之研磨加工誤差與嚙合特性與之關係，必是重要之課題

2.1.2 曲齒聯軸器設計參數

應用與傳統傘齒輪相似之標準齒條規範，表 2.1 為曲齒聯軸器的輪齒標準與 基本幾何參數的設計關係。圖 2-1 為曲齒聯軸器之齒盤於大徑處斷面表示，包含 齒腹、齒頂、間隙、導角高、山形角等，與一般齒輪的設計規範類似，其設計標 準包括齒腹尺寸與輪齒高度的限制關係，基本參數包括模數、齒數、模數、壓力 角、齒頂高、齒底高。為了滿足設計與製造的需要，在齒頂以及齒底部分則由齒 頂曲線與齒底曲線所構成。另外再考慮嚙合的要求，跨齒數、定位精度、齒印、

誤差容忍度、強度、剛性、壽命對於曲齒聯軸器皆需要被考慮且也成為重要的性 能指標。

表 2.1 曲齒聯軸器設計參數 模數(mm) m

=

d₀/z

齒數 z

壓力角(degree)

α =

30^o 齒冠高係數 f_a

=

0.39

間隙係數 f_c =0.18

齒冠高度(mm) _{a a} 0.39d⁰ 0.78r⁰ a f m

z z

= = =

齒根高度(mm) _r ( _{a c}) 0.49d⁰ 0.98r⁰

a f f m

z z

= + = =

全齒高度(mm) _{t a r} 1.76r⁰ h a a

= + =

z

齒冠

導角高 山形角

齒根

齒厚

齒根圓弧半徑

山形高 全齒高 壓力角

間隙

圖 2-1 曲齒聯軸器之齒形斷面圖

圖 2-2 齒盤半徑描述

圖 2-3 齒盤幾何形狀與磨輪關係圖

表 2.2 齒盤與磨輪參數關係

曲齒聯軸器的齒盤精密加工常是以成型磨加工完成，因此磨輪型式的選擇，

磨輪外形幾何、尺寸精度、加工件與磨輪的機構幾何精度與運動切削關係，都為 曲齒聯軸器影響加工品質的重要決定因素，圖 2-2 為齒盤半徑參數描述，圖 2-3 則為齒盤幾何形狀與磨輪參數幾何關係。每當磨輪運轉時會一次研磨兩個輪齒的 單一面齒形，再齒盤胚料在旋轉一個齒之角度，以進行下一組兩個齒面之加工，

因此一次研磨循環裡，即齒盤胚料旋轉一圈，即完成一個曲齒齒盤所有輪齒之加 工。表 2.2 為齒盤與磨輪是各種參數之幾何關係。

n x 磨輪研磨所涵蓋的齒數(跨齒數) r (mm) 0 齒胚外側半徑

r (mm) i 齒胚內側半徑 (一般為 0.8d ) ₀ A (mm) 齒盤基圓半徑

(

^r0+ri

)

²

β

=⁹⁰ n^x

β

^oz^× 磨輪半徑(mm) Atan

β

2.2 磨輪種類以及齒盤之研磨

曲齒聯軸器的標準齒形為直線齒形 [1]，本研究為進一步探討各種齒形修 整、設計參數與製造誤差之影響，以深入討論曲齒聯軸器性能，以能夠獲得更好 嚙合性能與傳動精度等特性，因此除了標準直線齒形外，也將分別對於斷面為凹 齒與凸齒輪廓之兩種修整齒形輪廓曲齒聯軸器之幾何進行討論。

2.2.1 磨輪的斷面形式

由於齒盤齒形產生一般是藉著磨輪的外形輪廓當成研磨刀具使其加工而 成，所以決定磨輪外形對於齒盤齒形的生成影響勢必重要。圖 2-4 列出三種磨輪 斷面形狀範例示意，分別用以產生直線齒形、凹齒形、凸齒形輪廓之齒盤。

(a) 直線齒形磨輪 (b) 凹齒齒形磨輪 (c)凸齒齒形磨輪 圖 2-4 磨輪幾何形狀

2.2.2 雙凹/雙凸線齒寬與磨輪形式

如第 1.1 節所述及關於曲齒聯軸器的製程加工方式，可知道齒盤齒形是由與 磨輪輪廓所決定。首先若所製造齒盤之齒形為凸齒輪廓時，所用磨輪輪廓為凹齒 進行研磨，而當曲齒齒盤之齒形為凹齒形狀時，則是使用輪廓為凸齒之磨輪進行 研磨，研磨各種形式曲齒齒盤之磨輪形式如圖 2-5 所示。

(a) 研磨雙凹齒線之直齒磨輪 (b) 研磨雙凸齒線之直齒磨輪

(c) 研磨雙凹齒線之凸齒磨輪 (d) 研磨雙凸齒線之凸齒磨輪

(e) 研磨雙凸齒線之凹齒磨輪 (f) 研磨雙凹齒線之凹齒磨輪 圖 2-5 磨輪研磨面形式之描述

得知其齒形形式後，本研究將完成曲齒聯軸器的參數化 3D 實體建模與嚙合 特性分析，因此以下各節，針對前述三種形狀來進行磨輪的外廓方程式推導，並 且將齒形方程式以 Visual C++完成程式編寫，並匯入 SW 軟體進行曲齒聯軸器設 計程式開發，以建立磨輪設計程式來產生磨輪零件圖，並利用圖 2-5 之磨輪來分 別產生個別齒形所研磨而成的齒盤，此外再利用 SW 組合件功能進行干涉計算，

改變磨輪參數直對兩齒盤嚙合之影響，其模型整體設計開發步驟如下圖 2-6 所示。

圖 2-6 模型設計開發步驟流程圖

2.3 直線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導

圖 2-7 是具有直線形齒頂導角與齒底圓角之直線型式曲齒聯軸器齒形斷面圖 示，其左右輪廓呈對稱，單側輪廓形狀由直線 2、直線 1、齒底圓角 3、直線 4、

曲線 5、曲線 6 與直線 7 等七種線段所構成，其中直線 1 為構成曲齒接觸之嚙合 作用面。為了描述出各直/曲線的方程式，先定義座標系 S_p( , , )x y_{i i} z_i ，其中x_p軸

是左右輪廓的對稱軸，y_p軸為齒形節線，方程式中之正負號符號，上部符號用 以表示右側齒形方程式，下部符號則表示左側齒形方程式，而各直/曲線方程式 分述於下。

磨輪方程

式推導 直線齒形

Visual C++

程式撰寫

模型 建立 曲線齒形

SolidWorks API 指令

b

α

2

w

α

l

¹

x

^p

y

_p

a

r

c

l

²

h

M1

M²

M7

直線 2

直線 1

a

a

直線 7

整體齒形(a)

M

3

M

4

M

5

M

6

θ ρ

l

4

θ

5

ρ

5

齒底圓角3 曲線

5

曲線

6

直線

4

ρ

6

l

⁷

局部放大(b) 圖 2-7 直線型式之輪齒

(i) 作用面之直線 1 方程式

直線1是曲齒齒盤嚙合作用區域，點M 與點₃ M 為輪廓直線1的起終點，參₂

數l 表示1 M M 之距離，M為直線1上任意一點，因此表示於座標系_{3 2} S_p中直線1 的方程式可寫成

1 1 1

1 1

cos

( sin ) 0

p

p

p

x

y b

z

α α

=

= ± +

=

l

l (2.1)

距離參數l 之範圍為 1

cos 1 cos

a

r a h

a c

α α

− + ≤ ≤l −

其中a 為齒盤齒底高、r a 為齒盤齒頂高、_a c 為直線1距離齒底之距離、 b為齒空 的一半，分別為

a a

a

=

f m、a_r

=

(f_a

+

f m_c) 、c

= ρ

(1 cos )

− α

、_b=_0.25

π

_m。而

ρ

為圓角半徑，與齒底隙的關係為

1 sin

ρ

c

=

α

−

(2.2)

又齒底隙

( _{a c}) _r

c

=

f

−

f m a

−

(2.3)

參數 f 為齒頂高係數，a f 為齒頂間隙係數，標準齒盤設定為 _c f_a

=

0.39、f_c

=

0.18。

(ii) 齒頂導角之直線2方程式

直線2為直線齒形齒頂導角部分，點M 與點₁ M 為輪廓直線2的起終點。如₂ 圖2-7所示，參數l 表示距離₂ M M ，因此表示於座標系_{2 1} S_p中之直線2方程式如下

2

2 2 2

2

2 2 2

2

cos sin 0

p

p

p

x X y Y z

α α

= +

= ± ±

=

l

l (2.4)

上式中 _{0 2}

cos

r a

a f m h

α

+ −

≤l ≤ ，

X2Y 是直線2起點₂ M 的座標可表示為 ₂

2

2 2

tan 0

a

a

X a h

Y b a w

Z

α

= −

= − −

=

(2.5)

其中_h與 w 齒頂導角量，其值為h

=

f m_h 與

w

=

f mw ，

f 與h f 是齒頂導角系數。 _w

(iii) 齒底圓角之曲線3方程式

曲線3為齒形之齒底導圓部分，如圖3-4所示，點M 與點₃ M 為輪廓曲線3的起₄ 終點，參數

θ

表示角度，齒底曲線3方程式為

ρ θ

= + −

上式中，齒底圓角的圓心 (X_oc,Y_oc)為

sin

( tan cos ) 0

oc r

oc r

oc

X a Y b a

Z

ρ θ

α ρ θ

= − +

= ± − −

=

(2.7)

而

θ

角度範圍

0 2

θ π α

≤ ≤ −

(iv) 齒底面之直線4方程式

4

4

4 4

cos ( sin ) 0

p oc

p oc

p

x X

y Y l

z

ρ ρ θ ρ θ

= − −

= ± + −

=

(2.8)

其中l 距離範圍為 4

sin 4

oc oc

Y −

ρ θ

≤l ≤Y

(v) 齒底面導角之曲線5方程式

5 4

5 5 5

5 4

5 5

5

( sin ) ( sin ) 0

p p

p p

p

x X y Y z

ρ ρ θ

ρ θ

= + −

= ± −

=

(2.9)

其中

θ

5角度範圍

_{0 5} 2

θ π

≤ ≤

(vi) 齒底面突脊導角之曲線6方程式

6 5

5 5 5 6

6 5

5 5

6

( sin ) ( sin ) 0

p p

p p

p

x X y Y z

ρ ρ θ ρ

ρ θ

= + − −

= ± −

=

(2.10)

(vii) 齒底面之直線7方程式

7 6

7 6

7 7

( ) 0

p p

p p

p

x X y Y z

=

= ± −

=

l

(2.11)

其中距離參數

l 之範圍 7

_{0≤l7 ≤Yp}⁶

2.4 曲線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導

2.4.1 凹齒型式之磨輪斷面輪廓推導

圖 2-8 為曲線型式之凹齒齒形的斷面圖示，其輪廓斷面呈左右對稱，單側輪 廓形狀由曲線 1、曲線 2、直線 3、曲線 4、直線 5、曲線 6 與直線 7 七種線段所 組成，其中曲線 3 構成曲齒齒盤接觸之嚙合面。推導方式與直線型式相同，一樣 為了描述出各直/曲線的方程式，先定義座標系S_p(x_p, y_p, z_p)，其中x_p軸是左右

輪廓的對稱軸，y 軸為齒形節線，齒底曲線 6 與直線 7 齒型輪廓方程式則同直_p 線型方程式(2.10)、(2.11)，方程式中之正負號符號，上部符號用以表示右側齒形 方程式，下部符號則表示左側齒形方程式，而其他直/曲線方程式則分述於下。

x

^p

y

^p

a

r

w

r

_a

r

b

a

r

b β

h C

¹

I

^p

M3

M2

M1

γ

γ

1

r

_f

φ

2

曲線 1

曲線 2 直線 3

M7

直線 7

曲線 6

α

整體齒形(a)

M ⁴ M ⁵

r

_f

曲線 4 M ⁶

直線 5

l A

^p

局部放大(b)

圖2-8 曲線型式之凹齒輪齒

(i) 作用面之曲線1方程式

先利用三角關係，可求得圓弧曲線1之圓心C 為 ₁

1

1

sin

( cos )

x b

y b

C r

C b r

γ γ

=

= ± − (2.12)

因此曲線1的輪廓方程式為

1 1

1 1

1 1

1 1

1

sin sin sin

( cos ) ( cos cos )

0

p x b b b

p y b b b

p

x C r r r

y C r b r r

z

γ γ γ

γ γ γ

= − = −

= ± + = ± − +

=

(2.13)

其中

γ γ π

1

≤ ≤

/ 2

− φ

。利用圖之幾何關係可知

1

1 tan ( ^bx )

by

r x y r

γ

= ^{− −}

− (2.14)

(ii) 齒頂導圓角之曲線2方程式

其導圓角首先先利用同心圓與直線相交的關係，求得其交點 _{( , , )} Ip X Y Z 為

g+ g2 4

Y ( )

2 0 X my f

ed e Z

= +

= ± −

=

(2.15)

其中

2

2 2 2 2

tan , 1, 2 2 2 ,

2

( cos ) ( tan sin ) tan

by bx

by bx bx

r a r a

m e m g r mf mr

d r f r f r r

f a r b a w r

β

β α β β

= = + = − +

= + − + −

= − − + + +

(2.16)

角度

β

^藉由與

α

₂的關係求得為

1 2

90 90 tan (htan w) h

β = − α = −

⁻

α ⁺

(2.17)

由於齒頂導圓角之曲線2是由點M 與點₂ M 所構成，所以藉由方程式(2.13)來求₃ 得其輪廓方程式，所求得的曲線2為

2

2

2

cos

( sin )

0

p a

p a

p

x X r

y Y r

z

β β

= +

= ± −

=

(2.18)

(iii) 齒頂導角之直線3方程式

由點M 與點1 M 所構成的直線3，其輪廓方程可以寫成 ₂

3

3

3

( tan )

0

p r

p r

p

x a

y b a w

z

α

=

= ± + +

=

(2.19)

標準齒盤之 f_c

=

0.18, f_a

=

0.39，其中_h與 w 齒頂導角量，其值為h

=

f m_h 與

w

=

f mw ，

f 與h f 是齒頂導角系數。 _w

(iv) 齒底導圓角之曲線4方程式

利用的方法與方程式(2.12)相同來求得同心圓與直線交點_Ap，先求得圓心為

0

2

0

0

2 4 4

Y ( )

2 0

r f

by by

X a r

r r i

Z

= − +

+ −

= ±

=

(2.20)

其中

因此可得齒底導圓角之曲線4為

4 0

4 1

4

- cos ( sin ) 0

p f

p y b

p

x X r y C r z

ϕ ϕ

=

= ± +

=

(2.22)

且角度

ϕ

^等於

1

cos (1 ^{r x})

b

a C

ϕ =

⁻ r

⁺

(2.23)

(v) 齒底面之直線5方程式

點M 與點5 M 為齒底面之直線5的起終點，參數₆ l則為其

5 6

M M 之距離，因 此可以將直線5方程式表示成

6 5

6 5

6

( - ) 0

p p

p p

p

x X

y Y

z

=

= ±

=

l (2.24)

其中

5

5 0

5 0

p r

p

p

X a

Y Y

Z

= −

= ±

=

(2.25)

且_l範圍

0 _f sin 0

Y −r

φ

≤ ≤l Y

2.4.2 凸齒型式之磨輪斷面輪廓推導

圖2-9為曲線型式之凸齒齒形斷面圖示，其左右輪廓呈對稱，單側輪廓形狀 由曲線1、曲線2、曲線3、直線4、曲線5、直線6與直線7七種線段所組成，其中 曲線2構成曲齒齒盤接觸之嚙合面。求法與凹齒同理一樣為了描述出各直/曲線 的方程式，先定義座標系 _{( , , )}

p p p p

S x y z ，其中

xp軸 是左右輪廓的對稱軸，

yp

軸為齒形節線，方程式中之正負號符號，上部符號用以表示右側齒形方程式，

下部符號則表示左側齒形方程式，而各直/曲線方程式分述於下。

x

^p

y

p

b

B

^p

M1

M2

M3

M4

C

^p

β r

^f

α

₂

M8

a

r

a

r

γ

r

^a

r

_f

φ

γ

¹

曲線 3

曲線 1 I

^p

r

_b

A

^p

M ⁵ 直線7 M ⁶

M ⁷

曲線 5 ^直線 6 直線 4

ρ θ

l

⁶

l

⁷

局部放大(b)

圖2-9 曲線型式之凸齒輪齒

其中需求得同心圓與直線相交的交點 Ip與

Ap，所求得的交點分別為方程式 (2.15)與方程式(2.20)，而同心圓心C 則為方程式(2.12)，利用上述方程式進而推₁ 導出曲線2、曲線1與曲線3方程式，其所推導出的結果如同凹齒齒形，分別為方 程式(2.22)、(2.13)、(2.18)。

(i) 齒頂導角之直線4方程式 須藉由同心圓心與直線交點

Bp來求得，其中同心圓心

Bp等於

_{Y (} ^r ₎

0

a

p r f

a f p

a p

X a r

a r f m Z

= −

= ± − −

=

(2.26)

並且將其參數定義成

tan

( cos ) ( sin ) tan

cos

f

a a

m

f x r r y r

β

β β β

β

=

= + − − − (2.27)

其中

β

^角度與

α

2^的關係為

1 2

90 90 tan (htan w) h

β = − α = −

⁻

α ⁺

所以最後可得齒頂導角之直線4為

4

4

4

cos ( sin ) 0

a

p p a

a

p p a

p

x X r y Y r z

β β

= +

= ± −

=

(2.28)

(ii) 齒頂導角之曲線5方程式

曲線5由點M 與點₅ M 所構成，並利用與交點₆ B_p之關係來推導，因此可得 此方程式為

5

5

5

cos ( sin ) 0

a

p p f

a

p p f

p

x X r y Y r z

β β

= +

= ± −

=

(2.29)

6 6 6

6 6

6

( )

0

p

p

p

x X

y Y

z

=

= ± +

=

l (2.30)

其中

6

6

6 0

r a p

X a

Y Y

Z

=

= ±

=

(2.31)

且_l範圍為

7 6 a

p p

Y ≤l ≤ y

(iv) 齒底面之直線7方程式

7 6

7 6

7 7

( )

0

p p

p p

p

x X

y Y

z

ρ

= −

= ± +

=

l (2.32)

其中l 範圍為 7

7 7

yp ≤l

第三章 曲齒聯軸器之齒面方程式推導

因為曲齒聯軸器單一齒盤的齒形是經由磨輪研磨加工而來的，又每當磨輪 運轉時會研磨兩完整齒形的各一個面，所以在加工時，齒盤共需要利用兩個磨 輪才能完成，而其加工運作模式與彼此間的位置關係如圖3-1所示。圖3-1(a)為磨 輪利用外邊緣研磨後，所產生出的凹齒齒盤，而圖3-1(b)則為磨輪利用內邊緣研 磨後，所產生出的凸齒齒盤。由於磨輪與曲齒齒盤兩者間具有座標上的相對關 係，因此可以利用座標轉換關係將上兩節已求得的磨輪外廓齒面點位置經由轉 換之後，便可以進一步推導出斷面分別為直線、凹曲線與凸曲線之齒形，其中，

磨輪與曲齒聯軸器彼此間的參數關係可以參照第二章之表2.2。

齒盤加工時，除了磨床的操作以及磨輪的幾何形狀皆會使得誤差產生，在 機構上磨輪機構與工作台機構也是造成誤差的原因之一，所以本論文也針對磨 輪與工作台所造成誤差的部份進行方程式的推導與探討。

(a) 左側研磨 (b) 右側研磨 圖3-1 齒盤與磨輪座標位置關係圖

3.1 齒面方程式推導

曲齒聯軸器單一齒盤之輪齒精製一般皆以成形磨輪加工而成，磨輪尺寸或 幾何精度以及磨輪與齒盤間之機構精度對於曲齒聯軸器精度的影響勢必重要。

圖3-2表示齒形對面、磨輪與齒盤之座標系統關係表示，以下利用座標轉換推導 出齒盤齒面方程式，由於直齒、曲線凹齒與曲線凸齒之齒形推導方式相同，因 此本文所推導之齒面方程式適用於各齒形。

A

z^p y^p

x^p

z^g y^g

x^g

z^o y^o

x^o C^og

G^r _θ ^H

δ 磨輪

曲齒聯軸器

圖3-2 磨輪與齒盤之座標系統描述

先應用上節之齒形斷面定義 ^s

rp，獲得磨輪面的方程式，再經由磨輪與齒盤 之座標系統關係，即可得到理想齒盤之齒面方程式 ^s

rc，其關係描述如下，首先 磨輪面的方程式 ^s

rg為

^{s s}

g

=

gp p

r M r

(3.1)

其中Mgp為由 Sp至

Sg之齊次座標轉換矩陣為

1 0 0 0

0 cos sin cos 0 sin cos sin

0 0 0 1

r gp

r

G G

θ θ θ

θ θ θ

 

 − 

 

=  − 

 

 

M

(3.2)

然後，齒盤齒面方程式 ^s rc

^{s s}

c

=

cg g

r M r

(3.3)

其中轉換矩陣為

1 0 0 0 0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

co

δ δ

δ δ

 

 

 

=  − 

 

 

M

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

og og

H C

 

 

 

=  

 

 

M

上述描述座標系之關係為將磨輪齒形之座標系

Sp選轉平移至磨輪中心位置

Sg， 再平 移至齒盤之中心位置

S ，最後可得到在齒盤座標系o S 之齒形輪廓方程式，其中中心_c 距定義參照圖2-3，因此可得參數_Cog為

因此可以得

cos sin cos sin cos sin

1 1

op p

op p p r og

op p p r

x x H

y y z G C

z y z G

θ θ θ

θ θ θ

   + 

   + − + 

   = 

   − + + 

   

   

(3.5)

最後所得的齒盤輪廓方程式為

cos sin sin cos

1

op

op op

s c

op op

x

y z

y z

δ δ

δ δ

 

 + 

 

=  − + 

 

 

r

(3.6)

其中

s

r ：磨輪齒形輪廓方程式。

p

s

rc：齒盤座標系之齒形輪廓方程式。

G ：磨輪半徑。r

Cog：磨輪中心與齒盤中心之距離。

3.2 包含機構誤差之齒面方程式推導

前節以完美成形磨推導不考慮機器幾何誤差之理想齒盤的齒面方程式，以下 考慮磨輪與齒盤間有誤差之推導，如圖 3-3 所示，包含磨輪與工作台皆有位置與 指向機構誤差。應用與 3.1 節推導理想齒盤的同樣過程，先利用座標轉換關係，

將磨輪外廓方程式經由轉換之後來得到齒盤之齒面方程式，座標系之關係為將磨 輪齒形之座標系S_p選轉平移至磨輪中心位置S_g，再平移至齒盤之中心位置S ，_o

最後可得在齒盤座標系S 之齒形輪廓方程式。由於磨輪中心_c S_g在作旋轉平移時 產生誤差，因此針對此產生的誤差來作其探討。考慮製造誤差之齒盤齒面方程 式，利用座標關係轉換可描述如下

s s

c

=

cb bo oa ag gp p

r M E M E M r

(3.7)

z^a y^a

xa

y^b x^b z^b

工作台機構誤差

A

z^p y^p

xp

z^g y^g

x^g

z^o y^o

x^o C^og

G^r

θ H

δ

磨輪 曲齒聯軸器

磨輪機構誤差

上式中E_ag與

E 分別為磨輪旋轉軸心與工作台旋轉軸的位置與指向機構誤差矩

_bo

陣，座標系之關係為將磨輪齒形之座標系S_p選轉平移至磨輪中心位置S_g時，由 於其磨輪機構產生誤差，因此可以用齊次轉換矩陣來描述任兩座標系間彼此的各 種變化關係。而磨輪機構座標系所產生的誤差E_ag描述為

1 1

1 0 0 0 1

gz gy gx

gz gx gy

ag

gy gx gz

ε ε δ

ε ε δ

ε ε δ

 − 

 − 

 

=  − 

 

 

E

(3.8)

其中

δ

_gx、

δ

_gy、

δ

_gz為X Y Z 三個軸方向的磨輪軸心位置偏移量，, ,

ε

_gx、

ε

_gy、

ε

_gz則 分別為磨輪軸心之俯仰、偏擺及滾動誤差量，其座標示意圖如圖 3-4 所示。

z

^g

y

^g

g

z

^a

y

^a

x

^a

δ

^gx

δ

gz

δ

^gy

ε

^gz

ε

^gx

ε

^gy

圖 3-4 磨輪之位移與旋轉機構誤差表示

而工作台軸心誤差描述座標系之關係為將磨輪齒形之座標系S_p選轉平移至磨輪

中心位置S_g，再平移至齒盤之中心位置S ，由於其工作台機構產生誤差，因此_o 可以用齊次轉換矩陣來描述任兩座標系間彼此的各種變化關係。而工作台機構座 標系所產生的誤差

1 1

1 0 0 0 1

cz cy cx

cz cx cy

bo

cy cx cz

ε ε δ

ε ε δ

ε ε δ

 − 

 − 

 

=  − 

 

 

E

(3.9)

其中

δ

_cx^、

δ

cy、

δ

_cz^為X Y Z 三個軸方向的工作台軸心位置偏移量，^{, ,}

ε

_cx^、

ε

cy、

ε

_cz 則分別為工作台軸心之俯仰、偏擺及滾動誤差量，其座標示意圖如圖 3-15 所示。

z

^o

y

^o

x

^o

z

^b

y

^b

x

^b

δ

^cx

ε

^cz

ε

^cy

δ

^cy

δ

_cz

ε

^cx

圖 3-5 工作台之位移與旋轉機構誤差表示

3.3 嚙合面方程式與法線向量推導

3.3.1 直齒形輪面方程式與法線向量

將方程式(2.1)式帶入(3.2)式可以用以產生直齒形齒盤的嚙合部份之磨輪面 方程式為

1

1 1

1 1

1

cos

( sin ) cos cos

( sin ) sin sin

1 1

g

r

s g

g g r

x

b G

y

b G

z

α

α θ θ

α θ θ

   

  ± + − 

   

= =

   + + 

   

 

  r

l l

m l (3.10)

分別對參數

l 、1

θ

行偏微分得到其切線向量如下

1

cos sin cos sin sin

1

s g

α

α θ

α θ

 

 

∂ =  ± 

 

∂  

 

r

m

l (3.11)

1 1

0

( sin ) sin sin ( sin ) cos cos

1

s

g r

r

b G

b G

α θ θ

α θ θ

θ

 

 

∂ ∂ =   + + + +  

 

 

r

m l

m l (3.12)

可得直齒磨輪面之法線向量 ^s Νg為

(

^{11 2}

)

1

1

sin sin sin

cos ( sin cos cos cos ) cos ( sin sin sin sin )

s s

g g

s g

s

r g

s

r g

s

r g

b G

b G

b G

θ

α α α

α α θ θ θ

α α θ θ θ

∂ ∂

Ν = ×

∂ ∂

= − − +

− ⋅ − − +

+ − − +

r r

i

j k l

l

l l

(3.13)

因此，直齒磨輪面之單位法線向量為

s s g

g s

g

= N n N

(3.14)