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# 中 華 大 學

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## 中 華 大 學 碩 士 論 文

(2)

(3)

### ABSTRACT

The purpose of this thesis is to investigate the geometric design of curvic couplings and their formate grinding wheel selection, and discuss the geometric precision of grinding wheel for curvic coupling when two gears are in mesh to complete the curvic coupling design by using SolidWorks as a tool to develop.

According to the relation between grinding wheel and curvic coupling and by using coordinate transformation, three kinds of Curvic Couplings which are standard model、concave teeth and convex teeth are derived firstly. The 3D modeling process is that by using the equation of gear, tooth surface positions are used to calculate the above three models by adding a dialog box to reach parametric design in Visual C++.

Finally, an interference check by SolidWorks with assembly function is used to discuss the influence of geometric precision of grinding wheel which forms the Curvic Coupling. By these above results, the geometry of grinding wheel can be decided to build high accurateness of design and Technique of manufacture of Curvic Coupling.

(4)

(5)

### 目錄

1.1 前言……….………1

1.2 研就動機與目的……….………3

1.3 文獻回顧……….………...……...……4

1.4 內容大綱……….………5

2.1 曲齒聯軸器之基本介紹……….………7

2.1.1 磨輪加工誤差的影響………..……..………7

2.1.2 曲齒聯軸器設計參數………..……..………8

2.2 磨輪種類以及齒盤之研磨……….…………...….11

2.2.1 磨輪的斷面形式………....………..…....…11

2.2.2 雙凹/雙凸形齒寬與磨輪形式…..…………..……..…….……..……12

2.3 直線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導……….…………...….13

2.4 曲線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導……….…………..12

2.4.1 凹齒型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導…..…………..…………..……19

2.4.2 凸齒型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導…..…………..…………..……24

3.1 齒面方程式推導………..……….…………29

3.2 包含機構誤差之齒面方程式推導……….…..32

(6)

3.3 嚙合齒面方程式與法線向量推導………...………34

3.3.1 直齒形輪面方程式與法線向量………..34

3.3.2 凹齒形輪面方程式與法線向量………..36

3.3.3 凸齒形輪面方程式與法線向量………..37

4.1 曲齒聯軸器的嚙合特性與分析…………..………….………39

4.1.1 理想齒印………..39

4.1.2 局部齒印………..40

4.2 曲齒嚙合分析……….………41

4.3 以 SW-API 之開發流程…………..………..……….………….……44

5.1 曲齒之實體建模………...………46

5.1.1 直線齒形之齒盤實體建模……..………47

5.1.2 曲線齒形之凹齒齒盤實體建模…..………..……..………49

5.1.3 曲線齒形之凸齒齒盤實體建模………..………50

5.2 幾何設計與實體建模………...52

5.2.1 齒數………..………52

5.2.2 壓力角………..…53

5.2.3 模數………..…54

5.2.4 跨齒數………..…55

5.3 磨輪誤差與嚙合分析………...……56

5.3.1 理想齒盤之嚙合……….………..………...57

5.3.2 改變磨輪半徑………...………...58

5.3.2 改變磨輪輪廓半徑………...………...60

5.4 工作台機構誤差與嚙合特性………...……61

5.4.1 旋轉誤差.……….….………..…61

(7)

6.2 未來展望………...63

(8)

(9)

(10)

### 符號表

m ：齒盤模數 h：齒頂導角高 z ：齒盤齒數 w ：齒頂導角寬

：嚙合壓力角

### θ

n：角度參數

f ：齒冠高係數 a C ：齒面同心圓心與直線交點 1 f ：間隙係數 c Ip：齒頂導角同心圓心與直線交點

a ：齒冠高度 r Ap：齒底圓角同心圓心與直線交點 a ：齒根高度 a r ：齒頂圓角半徑 a

h ：全齒高度 t r ：齒底圓角半徑 c n ：跨齒數 x r ：齒面半徑 b r ：齒胚外側半徑 0

### β

：齒頂導角角度 r ：齒胚內側半徑 i

：角度參數 A：齒盤基圓半徑

### γ

n：角度參數

G ：磨輪半徑 r Cog：中心距 l ：距離參數 n

：齒盤旋轉角度

c ：齒底隙

b：齒空的一半

：圓角半徑

2：齒頂與對稱軸之角度

(11)

### 1.1 研究背景

(12)

(a) 兩片式曲齒聯軸器組合 (b)單一齒盤(雙凸齒線) 圖 1-1 曲齒聯軸器與磨輪示意圖 (資料來源：Gleason works)

(13)

### 1.2 研究動機與目的

(a) 磨輪研磨示意圖 (b) 以外側面研磨雙凸齒線齒盤

(c) 雙凸齒線齒盤之研磨 (d) 雙凹齒線齒盤之研磨 圖 1-2 以磨輪內、外側進行雙凸齒形與雙凹齒形齒盤之研磨

(14)

(15)

### 1.4 內容大綱

(16)

(2) 建立齒胚

(3) 選轉除料產生齒形 (4) 環狀複製齒數

SW 組合件模組功能

(17)

(18)

d0/z

30o 齒冠高係數 fa

0.39

z z

= = =

a f f m

z z

= + = =

z

(19)

### 間隙

(20)

n x 磨輪研磨所涵蓋的齒數(跨齒數) r (mm) 0 齒胚外側半徑

r (mm) i 齒胚內側半徑 (一般為 0.8d ) 0 A (mm) 齒盤基圓半徑

r0+ri

2

=90 nx

### β

oz× 磨輪半徑(mm) Atan

(21)

### 2.2.1 磨輪的斷面形式

(a) 直線齒形磨輪 (b) 凹齒齒形磨輪 (c)凸齒齒形磨輪 圖 2-4 磨輪幾何形狀

(22)

### 2.2.2 雙凹/雙凸線齒寬與磨輪形式

(a) 研磨雙凹齒線之直齒磨輪 (b) 研磨雙凸齒線之直齒磨輪

(c) 研磨雙凹齒線之凸齒磨輪 (d) 研磨雙凸齒線之凸齒磨輪

(e) 研磨雙凸齒線之凹齒磨輪 (f) 研磨雙凹齒線之凹齒磨輪 圖 2-5 磨輪研磨面形式之描述

(23)

### 2.3 直線型式之曲齒磨輪斷面輪廓推導

Visual C++

SolidWorks API 指令

(24)

2

1

p

p

r

2

M1

M2

M7

a

3

4

5

6

4

5

5

6

7

(25)

(i) 作用面之直線 1 方程式

1 1 1

1 1

cos

( sin ) 0

p

p

p

x

y b

z

l

l (2.1)

cos 1 cos

a

r a h

a c

− + ≤ ≤l −

a a

a

f mar

(fa

f mc) 、c

(1 cos )

b=0.25

m。而

1 sin

c

=

(2.2)

( a c) r

c

f

f m a

(2.3)

(26)

0.39、fc

0.18。

(ii) 齒頂導角之直線2方程式

2

2 2 2

2

2 2 2

2

cos sin 0

p

p

p

x X y Y z

l

l (2.4)

cos

r a

a f m h

### α

+ −

≤l ≤ ，

X2Y 是直線2起點2 M 的座標可表示為 2

2

2 2

tan 0

a

a

X a h

Y b a w

Z

(2.5)

f mh

w

### =

f mw

f 與h f 是齒頂導角系數。 w

(iii) 齒底圓角之曲線3方程式

(27)

sin

( tan cos ) 0

oc r

oc r

oc

X a Y b a

Z

(2.7)

0 2

≤ ≤ −

(iv) 齒底面之直線4方程式

4

4

4 4

cos ( sin ) 0

p oc

p oc

p

x X

y Y l

z

(2.8)

sin 4

oc oc

Y

### ρ θ

≤l ≤Y

(v) 齒底面導角之曲線5方程式

5 4

5 5 5

5 4

5 5

5

( sin ) ( sin ) 0

p p

p p

p

x X y Y z

(2.9)

(28)

5角度範圍

0 5 2

### θ π

≤ ≤

(vi) 齒底面突脊導角之曲線6方程式

6 5

5 5 5 6

6 5

5 5

6

( sin ) ( sin ) 0

p p

p p

p

x X y Y z

(2.10)

(vii) 齒底面之直線7方程式

7 6

7 6

7 7

( ) 0

p p

p p

p

x X y Y z

l

(2.11)

l 之範圍 7

0l7 Yp6

(29)

p

p

r

a

b

r

1

p

M3

M2

M1

1

f

2

M7

(30)

f

p

(i) 作用面之曲線1方程式

1

1

sin

( cos )

x b

y b

C r

C b r

### γ γ

=

= ± − (2.12)

1 1

1 1

1 1

1 1

1

sin sin sin

( cos ) ( cos cos )

0

p x b b b

p y b b b

p

x C r r r

y C r b r r

z

= − = −

= ± + = ± − +

=

(2.13)

(31)

1

/ 2

。利用圖之幾何關係可知

1

1 tan ( bx )

by

r x y r

### γ

=

− (2.14)

(ii) 齒頂導圓角之曲線2方程式

g+ g2 4

Y ( )

2 0 X my f

ed e Z

= +

= ± −

=

(2.15)

2

2 2 2 2

tan , 1, 2 2 2 ,

2

( cos ) ( tan sin ) tan

by bx

by bx bx

r a r a

m e m g r mf mr

d r f r f r r

f a r b a w r

(2.16)

### α

2的關係求得為

1 2

90 90 tan (htan w) h

(2.17)

(32)

2

2

2

cos

( sin )

0

p a

p a

p

x X r

y Y r

z

### β β

= +

= ± −

=

(2.18)

(iii) 齒頂導角之直線3方程式

3

3

3

( tan )

0

p r

p r

p

x a

y b a w

z

=

= ± + +

=

(2.19)

0.18, fa

### =

0.39，其中h與 w 齒頂導角量，其值為h

f mh

w

### =

f mw

f 與h f 是齒頂導角系數。 w

(iv) 齒底導圓角之曲線4方程式

0

2

0

0

2 4 4

Y ( )

2 0

r f

by by

X a r

r r i

Z

= − +

+ −

= ±

=

(2.20)

(33)

4 0

4 1

4

- cos ( sin ) 0

p f

p y b

p

x X r y C r z

(2.22)

1

cos (1 r x)

b

a C

r

### +

(2.23)

(v) 齒底面之直線5方程式

M 與點5 M 為齒底面之直線5的起終點，參數6 l則為其

5 6

M M 之距離，因 此可以將直線5方程式表示成

6 5

6 5

6

( - ) 0

p p

p p

p

x X

y Y

z

=

= ±

=

l (2.24)

5

5 0

5 0

p r

p

p

X a

Y Y

Z

= −

= ±

=

(2.25)

(34)

l範圍

0 f sin 0

Yr

≤ ≤l Y

p p p p

S x y z ，其中

xp軸 是左右輪廓的對稱軸，

yp

p

p

p

M1

M2

M3

M4

p

f

2

M8

r

r

a

f

1

p

b

p

(35)

6

### l

7

Ap，所求得的交點分別為方程式 (2.15)與方程式(2.20)，而同心圓心C 則為方程式(2.12)，利用上述方程式進而推1 導出曲線2、曲線1與曲線3方程式，其所推導出的結果如同凹齒齒形，分別為方 程式(2.22)、(2.13)、(2.18)。

(i) 齒頂導角之直線4方程式 須藉由同心圓心與直線交點

Bp來求得，其中同心圓心

Bp等於

Y ( r )

0

a

p r f

a f p

a p

X a r

a r f m Z

= −

= ± − −

=

(2.26)

(36)

tan

( cos ) ( sin ) tan

cos

f

a a

m

f x r r y r

=

= + − − − (2.27)

### α

2的關係為

1 2

90 90 tan (htan w) h

4

4

4

cos ( sin ) 0

a

p p a

a

p p a

p

x X r y Y r z

(2.28)

(ii) 齒頂導角之曲線5方程式

5

5

5

cos ( sin ) 0

a

p p f

a

p p f

p

x X r y Y r z

(2.29)

(37)

6 6 6

6 6

6

( )

0

p

p

p

x X

y Y

z

=

= ± +

=

l (2.30)

6

6

6 0

r a p

X a

Y Y

Z

=

= ±

=

(2.31)

l範圍為

7 6 a

p p

Y ≤l ≤ y

(iv) 齒底面之直線7方程式

7 6

7 6

7 7

( )

0

p p

p p

p

x X

y Y

z

= −

= ± +

=

l (2.32)

7 7

yp ≤l

(38)

### 第三章 曲齒聯軸器之齒面方程式推導

(a) 左側研磨 (b) 右側研磨 圖3-1 齒盤與磨輪座標位置關係圖

(39)

### 3.1 齒面方程式推導

A

zp yp

xp

zg yg

xg

zo yo

xo Cog

Gr θ H

δ 磨輪

rp，獲得磨輪面的方程式，再經由磨輪與齒盤 之座標系統關係，即可得到理想齒盤之齒面方程式 s

rc，其關係描述如下，首先 磨輪面的方程式 s

rg

(40)

s s

g

gp p

### rM r

(3.1)

Sg之齊次座標轉換矩陣為

1 0 0 0

0 cos sin cos 0 sin cos sin

0 0 0 1

r gp

r

G G

(3.2)

s s

c

cg g

### rM r

(3.3)

1 0 0 0 0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

co

### M

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

og og

H C

### M

Sp選轉平移至磨輪中心位置

Sg， 再平 移至齒盤之中心位置

S ，最後可得到在齒盤座標系o S 之齒形輪廓方程式，其中中心c 距定義參照圖2-3，因此可得參數Cog

(41)

cos sin cos sin cos sin

1 1

op p

op p p r og

op p p r

x x H

y y z G C

z y z G

(3.5)

cos sin sin cos

1

op

op op

s c

op op

x

y z

y z

(3.6)

s

### r ：磨輪齒形輪廓方程式。

p

s

rc：齒盤座標系之齒形輪廓方程式。

G ：磨輪半徑。r

Cog：磨輪中心與齒盤中心之距離。

(42)

s s

c

cb bo oa ag gp p

(3.7)

za ya

xa

yb xb zb

A

zp yp

xp

zg yg

xg

zo yo

xo Cog

Gr

θ H

δ

(43)

bo

1 1

1 0 0 0 1

gz gy gx

gz gx gy

ag

gy gx gz

(3.8)

gx

gy

### δ

gzX Y Z 三個軸方向的磨輪軸心位置偏移量，, ,

gx

gy

### ε

gz則 分別為磨輪軸心之俯仰、偏擺及滾動誤差量，其座標示意圖如圖 3-4 所示。

g

g

g

a

a

a

gx

gz

gy

gz

gx

gy

(44)

1 1

1 0 0 0 1

cz cy cx

cz cx cy

bo

cy cx cz

(3.9)

cx

cy

### δ

czX Y Z 三個軸方向的工作台軸心位置偏移量，, ,

cx

cy

### ε

cz 則分別為工作台軸心之俯仰、偏擺及滾動誤差量，其座標示意圖如圖 3-15 所示。

o

o

o

b

b

b

cx

cz

cy

cy

cz

cx

(45)

1

1 1

1 1

1

cos

( sin ) cos cos

( sin ) sin sin

1 1

g

r

s g

g g r

x

b G

y

b G

z

   

  ± + − 

   

= =

   + + 

   

 

  r

l l

m l (3.10)

l 、1

### θ

1

cos sin cos sin sin

1

s g

### r

m

l (3.11)

1 1

0

( sin ) sin sin ( sin ) cos cos

1

s

g r

r

b G

b G

m l

m l (3.12)

11 2

1

1

s s

g g

s g

s

r g

s

r g

s

r g

(3.13)

s s g

g s

g

### = NnN

(3.14)

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