区间时间序列预测准确度探讨
徐惠莉
1吴柏林
1江韶珊
2( 1 中国台湾政治大学应用数学研究所; 2 中国台湾龙华科技大学电机系)
摘要 区间时间序列在决策过程中提供重要的信息, 特别是在经济发展、人 口政策、规划管理或金融监管等方面, 因此如何计算出预测区间的精确度成为一个 重要议题。本文提出两种区间预测准确度分析的方法, 通过估计预测结果的平均区 间误差平方和及平均相对区间误差和, 比较不同预测方法的优劣。并由预测区间与 实际区间的重叠位置, 充分说明预测方法所具有的有效性。这些分析预测区间准确 度的方法, 将为管理者提供更客观的决策空间。 关键词 区间时间序列 随机区间 平均区间误差平方和 平均相对区间误差和 中图分类号 F 224 0 文献标识码 AOn Forecasting Efficiency Evaluation
for Interval Time Series
Abstract: Int er val t ime series for ecast ing gives import ant info rmat io n during
decisio n- making pr ocesses, especially on economic dev el opm ent s, po pulatio n pol-i
cies, m anagement planning or financial contr ols A nd how to est imate t he accuracy
of f orecast ing data is an import ant issue We pr esent ed sev eral methods of the eff -i
ciency analy sis f or int er val f orecasting F rom t he o ver lapping par ts and t he non- o-v er lapping part s of t he actual int ero-vals and t he f orecast int er o-vals, it should be de-f ined a criterion w hich is more sude-f de-f icient t o evaluate de-f orecasting perde-f ormance de-f or in-t erval dain-t a T he f orecasin-t resulin-t s are co mpar ed by in-the mean squared err or of inin-t erval
and mean relat ive interval er ror T hose ef f iciency analy sis t echniques can pr ovide
more object ive decision space in int erval f orecast ing t o policymaker s
Key words: Int erval T ime Ser ies; St ochast ic Int er val; M ean Squared Erro r of Int erval; M ean R elat ive Interv al Error
引 言
在时间序列分析与预测中, 区间数据的走势形态愈来愈受到重视。区间时间序列如: 每 日的气温变化、汇率的起伏、石油价格的高低等。传统时间序列分析是根据所观测数据的特 性, 由先验的模式族中挑选出最佳的配适模式, 如: ARIMA 模式族、ARCH 模式族或门槛 模式族等 ( Wu, 1995) 。因为对预测点的不确定, 故以区间作为预测值估计。M ontgom er y
和 Johnson ( 1976) 、Abraham ( 1983) 、Chatfied ( 1989) 曾经提出预测区间 ( prediction in-t erival) , 主要是由点的时间序列来进行预测。基于不同的因素及数据的形态, 而有许多形 式的预测方法, 例如 Box- Jenkins 预测方法、H olt- W inter 预测方法等。Grang er、Whitec 和 K am st ra 对预测区间的架构有详尽的描述; Chat f ield ( 1993) 针对各种不同的方法做了比 较。而预测方法常因为时 间序列是否为 趋势平稳或振 荡而互有优 劣, Diebo ld 和 M ariano ( 1995) 探讨了这方 面的问题。Chr ist of fersen ( 1998) 则对风 险测度 ( risk measurement ) 提供区间预测的计算方法。尽管因为研究背景及目的各异, 而有许多预测区间的方法, 但资 料的收集大多以单实数值变量为基本形式。 传统的社会和经济研究中, 投入了许多有关人类的互动关系及模式分析。以往在典型的 模式构建中, 经常会面对一些不确定性的因素。例如: 每年的学生注册人数是以年初、年 中、抑或是年尾为准, 期间所得数值往往各有不同。又如新台币对美元的汇率, 是以开盘、 收盘还是最高价与最低价之平均为准, 结果亦有相当差距。Wu 与 Chen ( 1999) 曾对此领 域的文献做了广泛的回顾。在社会科学及有关经济领域的研究中, 问题的答案极少是确切的 真或伪。如果我们尝试去分析人类的信念, 将会发现必须面对许多行为的不确定性。现今科 学研究的对象之结构复杂性日益增加, 资料的搜集不是单一数值的数据, 在许多因素的影响 下, 呈现出来的是一个 范围 , 而区间值具有表达动态事件的能力, 若应用区间值的连续 特性来做分析, 将可使研究者有能力处理有关因素的不确定性。因此, 在实际的运用上, 需 要比较符合实际状况的一种测量工具。 本文提出区间预测 ( interval forecasting) 的方法, 试图将传统区间的表示法改为以中 心点和区间半径来表示, 并依循 Young 和 Ro salind Cecily ( 1931) 对区间运算建立的规则, 保留 Dw y er 和 P aul ( 1951) 区间算法的性质。当区间计算方法应用于探讨区间时间序列的 预测时, 由预 测值与实 际数据的 误差估计 来确认预 测方法的 有效性 是必要 的。Chatfield ( 1996) 强调不恰当的预测方法产生不佳的预测区间, 所造成的错误比只是单纯的点预测要 更为严重。因此为了检验区间预测的效率, 我们参考了传统测量效率方法, 定义几个作为预 测效率评估的指标, 将区间预测的效率性分为区间位置和区间长度两方面: 平均区间位置误 差平方和、平均区间长度误差平方和; 并尝试对预测区间的中心点与长度做整合性的效率分 析: 平均区间误差平方和、平均相对区间误差和。在区间序列分析与预测中, 如何估计区间 数据预测的准确度, 是一个重要课题。在研究过程中发现有四种预测情况: 预测区间过宽、 预测区间过窄、预测区间偏右及预测区间偏左。本文根据不同的预测结果, 将平均区间误差 平方和及平均相对区间误差之数值做对照性的比较。并根据区间资料提供数种计算预测结果 准确度的方法, 这有助于区间预测模型的判断选择及其研究。 一、区间时间序列分析 1 区间数据的运算 当我们考虑以区间形式来呈现数据时, 就必须将不同的区间运算问题及其实际意义加以 说明。Dw y er ( 1951) 称区间为 值域数 ( rang e numbers) , 并定义了其相关性质。其后 对区间运算的研究大都引用此定义。尽管如此, 在计算机平台上仍无法给出区间运算的标准规 则。H ay es( 2003) 指出区间运算规则看似简单, 往往在实际的运算时出现错误计算的陷阱。 而当我们在以区间来描述一组动态数据时, 常会面临某些现实上的困境。例如, 从区间 [ 2, 8] 到区间 [ 3, 5] 是增加还是减少呢? 若就区间下界来看, 2 到 3 是增加; 但区间上
界却是从 8 到 5 减少了。不论是考虑区间位置上的变化还是其边际值作为讨论主题, 都会使 问题更为复杂。因此本文提出以区间中点及区间长度的二维参数区间表示法, 用来说明区间 变动的状况。如同上述例子, 区间中点是从 5 下降到 4, 而区间长度也是从 6 减少到 2 的。 这样一个可以同时展示出区间位置的移动及其长度变化的区间表示法, 在计算机程序的协助 下, 能轻易地解决困难而复杂的计算问题, 使我们得以做出适当的区间时间序列的预测。 2 区间时间序列的定义 定义 1 随机区间 ( Ng uy en 与 Wu, 2006) 令 X = [ a, b] 。若 a 和 b 为随机变数, 则区间 [ a, b] 称为随机区间。 定义 2 随机区间的另一种表示法, X = ( c, r) 若 X= [ a, b] 为属于实数集 的一随 机区间, c= ( a+ b) / 2 为区 间中点, 且 r = ( b- a) / 2 为区间半径, 则区间 X 可表示为 X = ( c, r ) 。 定义 3 区间长度 令 X = [ a, b] = ( c, r ) 为随机区 间, 定义 2r 为区 间长度。以 X 表示 之, 即 X = 2r。 定义 4 区间加法运算 令 X1= [ a1, b1] = ( c1, r1) , X2= [ a2, b2] = ( c2, r2) 为随机区间, 定义区间加 法运算如下: X1+ X2= ( c1, r1) + ( c2, r2) = ( c1+ c2, r1+ r2) 定义 5 区间纯量乘法 若 X = [ a, b] = ( c, r) 为一随机区间且 k 为一纯量, 则 k 倍 X 为 kX = k ( c, r ) = ( kc, | k | r ) 。 由定义 4 及定义 5 得知, 区间 X1= [ a1, b1] = ( c1, r1) 和区间 X2= [ a2, b2] = ( c2, r2) 的减法运算为: X1- X2= X1+ ( - X2) = ( c1, r1) + ( - c2, r2) = ( c1- c2, r1+ r2) 。 定义 6 区间时间序列 令 { Xt= [ at, bt] = ( ct, rt) , t= 1, 2, , n} , 则称 { Xt} 为一个区间时间序列。 例 1: 令区间 A = [ 1, 3] = ( 2, 1) , B = [ 2, 6] = ( 4, 2) 则: 区间相加: ( 2, 1) + ( 4, 2) = ( 2+ 4, 1+ 2) = ( 6, 3) ; 区间相减: ( 2, 1) - ( 4, 2) = ( 2- 4, 1+ 2) = ( - 2, 3) ; 常数倍乘区间: 3 ( 2, 1) = ( 6, 3) 。 二、区间时间序列预测效率分析 预测结果的好坏是预测者最关心的问题。传统的时间序列预测是针对实际值与预测值的 距离做比较, 只是利用点对点的差距来评估预测效率。但对于区间预测, 除了预测区间的宽 度外, 我们还关心预测区间的位置与实际值区间的位置的差距。因此无法用传统的时间序列 预测效率的方法来作分析, 需要重新定义区间预测效率的方法。 1 平均区间误差平方和 设区间时间序列为 { Xt= ( ct; rt) } , { X^t= ( ct; rt) } 为预测区间时间序列, 则平均 区间误差平方和定义如下:
定义 7 平均区间位置误差平方 ( M ean Squared Er ror of Interval Position, M SEP) 令 ct= ct- c^t为 X^t 与 Xt的位置误差, 则定义平均区间位置误差平方和为: MSEP = s t = 1 2 cn+ t s = s t= 1 ( cn+ t- c^n+ t)2 s 其中 n 代表当期时间, s 代表往前预测期数。
定义 8 平均区间长度误差平方和 ( Mean Squared Erro r of Inter val L eng th, MSEL )
令 rT= rt- r ^ t为 X^t 的长度与 Xt 的长度之误差, 则定义平均区间长度误差平方和为: M SEL = s t= 1 2 rn+ t s = s t= 1 ( rn+ t- r^n+ t)2 s 其中 n 代表当期时间, s 代表往前预测期数。
定义 9 平均区间误差平方和 ( Mean Squar ed Erro r of Inter val, M SEI)
区间时间序列 { Xt= ( ct; rt) } 与预测区间 X^ t= ( ^ct; ^rt) 之误差包含两部分: 位置误 差 ( ct) 及长度误差 ( rt) , 定义平均区间误差平方和为: MSEI = s t= 1 ( cn+ t- ^cn+ t)2 s + s t= 1 ( rn+ t- ^rn+ t)2 s = MSEP + MSEL 其中 n 代表当期时间, s 代表往前预测期数。 例 2: 令区间时间序列 X1= [ 4, 6] = ( 5, 1) , X2= [ 5, 8] = ( 6 5, 1 5) , 预测 区间 X^1= [ 2 8, 5 4] = ( 4 1, 1 3) , X^2= [ 3 8, 7 8] = ( 5 8, 2) 。则 平均区间位置误差平方和为: M SEP= ( 5- 4 1) 2 + ( 6 5- 5 8)2 2 = 0 65 平均区间长度误差平方和为: M SEL= ( 1- 1 3) 2 + ( 1 5- 2)2 2 = 0 17 平均区间误差平方和为:
MSEI= M SEP+ M SEL= 0 65+ 0 17= 0 82 2 平均区间相对误差和
假设区间 X^1= [ 1, 8] = ( 4 5, 3 5) 及 X^2= [ 6, 8] = ( 7, 1) 是由不同预测方法
所求得的预 测 值, 而 实际 区 间 为 X = [ 4, 7] = ( 5 5, 1 5) 。 则 X^1 的 M SEI ( 记 作
MSEI1) 是 5; X^ 2 的 M SEI ( 记作 M SEI2) 是 2 5。在比较 MSEI1和 MSEI2之后会认为 X^2
是比 X^1 较佳的预测区间。但这并非事实, 虽然 X^1 的区间半径较 X^2 的大, 但因其中点较接
近 X 的中点, 且其区间范围涵盖了实际区间 X 的范围, 而 X^2 的区间范围则完全没有涵盖
了实际区间 X 的范围, 所以我们认为 X^1 是较好的预测区间。
区间的中心 ( ^c) 越接近真实区间的中心 c, 且与真实区间重叠的部分越多越好。而结合区 间中心与半径两项因素可得知: 当 | c- ^c | r+ ^r < 1 时, 预测区间与真实区间会有部分的重叠, 这样的区间预测是较佳的; 且当| c- ^c | r+ ^r 1 时, 显示预测 区间与真实区间重迭的部分更 多, 区间预测更佳; 而当| c- ^c |r + ^r > 1 时, 预测区间与真实区间是完全分离的, 此时的区间 预测是不良的。又因为 Xt- X^t = 2 ( r+ ^r) , 故可将2 | c t- ^ct | Xt- X^t 当作是预测评估的标准, 因此我们提出了以下的定义做为整合区间预测效率性的另一种参考依据。 定义 10 平均相对区间误差和 ( M ean Relative Interval Error, MRIE)
令 t= 2 | c t- ^ct | Xt- X^ t 为预测区间 X^ t与实际区间Xt之区间相对误差, 则定义平均区间相对 误差和为: MRIE = 1 s s t= 1 [ n+ t] = 1 s s t = 1 2 | cn+ t- ^cn+ t | Xn+ t- X^n+ t , n 代表当期时间, s 代表往前预测 期数。 例 3: 假设同例 2, 则平均区间相对误差和为: MR IE= 1 2 ( 2 | 5- 4 1 | 2 ( 1+ 1 3) + 2 | 6 5- 5 8 | 2 ( 1 5+ 2) ) = 0 34 例 4: 令区间 X = [ 4, 7] = ( 5 5, 1 5) , 且预测区间 X^1= [ 1, 8] = ( 4 5, 3 5) 及 X^2= [ 6, 8] = ( 7, 1) 是由不同预测方法所求得的预测结果。
令 X^1的 M RIE 记作 M RIE1, X^ 2的 MRIE 记作 MRIE2, 则 MR IE1= 0 2, M RIE2= 0 6。
因为 M RIE1< M R IE2, 所以 X^ 1是较佳的预测结果。 三、实证分析 我们将举例说明预测方法的有效性。表 1 列出由 3 种预测方法所求得的预测区间及其实 际的区间资料; 图 1 是实际区间和方法 1 所获得的预测数据之分布图, 实线表示实际资料区 间, 虚线表示预测区间, 其显示预测区间过宽, 也就是预测范围涵盖所有实际数据。而由图 2 可观察出预测资料的上界大于实际区间的上界, 预测数据的下界亦高于实际区间的下界, 表示方法 2 的预测区间偏右。图 3 则显示预测区间过窄, 这意味着方法 3 的预测区间完全地 落入实际区间内。表 2 列出了 3 种预测方法的 M SEI 和 MRIE。
图 3 预测区 间过窄 表 1 实际 区间资料和三组预测区间资料 实际区间 方法 1 方法 2 方法 3 [ at, bt] [ ct, rt] [ ^at 1, ^bt1] [ ^ct 1, ^rt 1] [ ^at2, ^bt2] [ ^ct 2, ^rt2] [ ^at3, ^bt 3] ( ^ct 3, ^rt 3) [ 3, 4] ( 3 5, 0 5) [ 2 4, 5] ( 3 7, 1 3) [ 3 6, 5 4] ( 4 5, 0 9) [ 3, 3 6] ( 3 3, 0 3) [ 5, 5 6] ( 5 3, 0 3) [ 2 2, 6] ( 4 1, 1 9) [ 5, 6] ( 5 5, 0 5) [ 4, 5 2] ( 4 6, 0 6) [ 4, 6] ( 5, 1) [ 3, 8] ( 5 5, 2 5) [ 5 2, 7] ( 6 1, 0 9) [ 4 3, 5 1] ( 4 7, 0 4) [ 6, 10] ( 8, 2) [ 4 6, 11] ( 7 8, 3 2) [ 6 8, 11 6] ( 9 2, 2 4) [ 6 1, 7 3] ( 6 7, 0 6) [ 6 6, 8 8] ( 7 7, 1 1) [ 6, 12 4] ( 9 2, 3 2) [ 8, 9 6] ( 8 8, 0 8) [ 7, 8] ( 7 5, 0 5) [ 9, 11] ( 10, 1) [ 7, 15] ( 11, 4) [ 9 6, 12] ( 10 8, 1 2) [ 9 1, 9 9] ( 9 5, 0 4) 表 2 三种预测方法的 MSEI 和 MRIE 之比较 M SEI M RIE 方法 1 4 22 0 23* 方法 2 0 91* 0 42 方法 3 0 96 0 37 如表 2 所示, 预测方法 1 有最小的 M RIE, 但它的 M SEI 是最大的。方法 1 的预测区间 过大是最主要的因素, 虽然过大的预测范围可以覆盖所有的实际数据, 却也意味着它夹带着 更多的 噪声 ( noisier messenger) 。而方法 2 的预测半径最接近实际长度, 所以它有较佳 的 MSEI; 又因为方法 2 的预测数据较实际数据大, 造成预测中点严重偏离实际中点, 故有 较大的 MRIE。虽然方法 3 的预测区间较窄, 但它的预测中点很接近实际中点, 故其计算出 的 MSEI 几乎和方法 2 计算出来的 M SEI 一样好; 又方法 3 所求得的预测区间和实际区间重 迭的部份多于方法 2 和实际区间重迭的部份, 因此它的 MRIE 优于方法 2 的 MRIE。在比较 三种预测方法的 MSEI 和 M RIE 后, 不难发现方法 3 预测出来的区间数据同时具有较小的 MSEI 及 M RIE, 所以方法 3 应该是个不错的预测方法。
四、结 论 在科学研究与分析的过程中, 统计数值资料本身的不确定性, 可以说是传统数值模型不 易建构的困难所在。M anski ( 1990) 曾指出, 数值资料有过度需求及解释的危险。倘若我 们利用此假性的精确值来做因果分析或计量度量, 可能造成因果判定偏差、决策模式误导或 扩大预测结果和实际状态之间的差异。本文尝试应用区间的数值数据, 来避免这样的危险发 生。事实上, 利用区间数据来建构模式作为预测, 我们可以发现每一期皆以区间预测, 进而 增加结果的客观性。从一般的角度看来, 这种区间化似乎也是很正常的现象。 而区间预测的好坏决定于预测区间的位置及其长度, 因此本文利用计算预测区间与实际 区间的 MSEI 和 M RIE 来讨论预测方法的优劣。M SEI 是沿续传统点对点的平均误差平方和 的概念, 整合区间中点的误差 ( 位置误差) 及区间半径的误差( 长度误差) , 其优点是简单易操 作; 缺点则是将位置误差及长度误差加总后, 很难分辨预测方法是对位置预测还是长度预测较 为有效。M RIE 主要考虑预测区间与实际区间交集的相对比例, 同时考虑预测区间的位置及长 度, 确为一有效的方法, 但在预测区间过宽的情形下, 过小的 M RIE 未必是最佳的预测结果。 虽然 M SEI 和 M RIE 各有其 优缺点, 但若能同时利用这 两种分析区间预测准确度的工 具, 找出最好的预测方法, 这对于决策者而言可以获得较有弹性的预测结果, 使得决策者在 正确的信息下, 做出更客观的判断。在本文中尚有待解决的问题, 及未来值得研究的方向, 包括如下方面: 第一, 影响区间数据的因素众多, 本文中所建构的区间时间序列模式, 我们 仅以考虑区间半径及其中点视为区间变量。若欲使其结果更为准确, 可再考虑找出影响区间 范围的其他变量。第二, 当预测区间过宽的情况下, MRIE 在分析区间预测准确度上并不理 想, 因此可以再针对此种预测结果提出更客观的预测有效性分析的方法。第三, 什么是好的 预测结果? 当两个具有相同预测情形 ( 如预测区间过长、过短、偏左或偏右) 的预测结果 时, 利用 M SEI 和 MRIE 很容易分辨出来哪一个才是最佳预测区间。但当预测结果是属于 不同的预测情形时, 除了计算 M SEI 和 M RIE, 有时决策者所希望的预测结果更是最主要的 考虑, 因此如何在各个不同预测区间找出最适当的区间预测的方法, 是一个值得进一步深入 探讨的议题。 参 考 文 献
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