5-2-1矩陣-矩陣的運算

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(1)選修數學(I)2-1 矩陣-矩陣的運算【思考】 1. 矩陣的意義：在解一次方程組的過程中最主要的是係數及常數而非未知數，若我們把它的增廣矩陣列出，即可利用矩陣列運算求出解。 ⎧x + 2 y = 5 ⎡1 2 ⎤ ⎡1 2 5⎤ 例如： ⎨ 之係數矩陣為 ⎢ ，增廣矩陣為 ⎢ ⎥ ⎥。 ⎩3x − y = 1 ⎣3 −1⎦ ⎣3 − 1 1⎦ 日常生活中很多數據都是以表格型式呈現，這些資料可以視為一個矩陣【定義】 1. 矩陣：將一些數排成矩形陣列稱為矩陣。各個矩陣常以英文大寫字母 A, B, C , L 等表示。設矩陣 A 中有 m 列(橫向)， n 行(縱向)，則稱矩陣 A 為 m× n 階矩陣。其中 m× n 個數的每一個數都稱為矩陣 A 的元，而在第 i 列第 j 行位置的元稱為矩. ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢a a22 L a2 n ⎥⎥ 21 ⎢ 陣 A 的 (i, j ) 元，常記為 aij 。此時 A = ，簡記為 ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣am1 am 2 L amn ⎦ A = [ a ij ] m×n (當 m, n 都清楚時，也可記為 [ aij ] )。 2.. 矩陣的相等：設 A, B 同為 m × n 階矩陣，且 A = [ a ij ] m×n , B = [bij ]m× n ，則 A = B 的意義就是 aij = bij ，對 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 恆成立，也就是行數相同、列數相同，且每一. 對應位置的元都相等，即 [a ij ] m×n = [bij ] p×q ⇔ m = p, n = q，且每一個 a ij = bij 。 3.. 零矩陣：每個元都是 0 的矩陣稱為零矩陣，常以 O 表示。零矩陣(加法單位元素，不 ⎡0 0 L 0 ⎤ ⎢0 0 L 0 ⎥ ⎥ ( m 行 n 列)。一定要方陣)。 O = Om×n = ⎢ ⎢M M M⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 0 ⎦ 4. 方陣：當 m = n 時，稱 A 是一個正方形的矩陣，簡稱為 n 階方陣。 5. 同階方陣：階數相同的方陣，稱為同階方陣。註：當 A, B 是同階方陣時，AB 與 BA 都是方陣且仍與 A, B 同階。但一般而言，AB 與 BA 未必相等。 6. 次方：當 A 是一方陣時， n 個 A 連乘，可寫為 A n 。例如： A 2 = AA, A 3 = AAA 。. 1.

(2) 7.. n 階單位矩陣(乘法單位元素)： ⎡1 0 L 0 ⎤ ⎢0 1 L 0 ⎥ ⎥ ，即 aij = ⎧⎨0, 當i ≠ j 且 I n k = I n , ∀k ∈ Z + 。 In = ⎢ ⎢M M M⎥ ⎩ 1, 當i = j ⎢ ⎥ ⎣0 0 L 1 ⎦ 註：當不致混淆時， I n 可簡寫為 I ，並簡稱為單位方陣。 8. 反方陣：設 A 是一個方陣，若存在一個同階方陣 B ，使 AB = BA = I ，則稱 B 是 A 的反方陣。當 A 有反方陣時，反方陣是唯一的，以 A−1 表之。註： (1)事實上， B 只要滿足 AB = I ，必滿足 BA = I 。 (因 A( BA) = ( AB ) A = IA = A ) (2)若 B 與 B ' 都是 A 的反方陣，則 B = BI = B ( AB ' ) = ( BA) B ' = IB ' = B ' 。 (3)可利用二元一次二式方程組有為一解之條件說明二階方陣有反方陣的充要條件是它的行列式不等於零。 (4)設 A 為一方陣，若方陣 B 使 AB = I ，則 B 為 A 的反方陣。 (5)反方陣亦可稱為乘法反矩陣(乘法反元素)。 9. 轉置矩陣：若將矩陣的行與列對調，稱之為轉置矩陣。 ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎡ a11 a21 L am1 ⎤ ⎢a ⎢a ⎥ a 22 L a 2 n ⎥ a22 L am 2 ⎥⎥ 21 12 ，則 A 的轉置矩陣為 AT = ⎢ 。設A=⎢ ⎢ M ⎢ M M M ⎥ M M ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣a m1 a m 2 L a mn ⎦ ⎣a1n a2 n L amn ⎦. 2.

(3) 【運算】 1. 矩陣的加法：設 A, B 同為 m× n 階矩陣， A = [ a ij ] m×n , B = [bij ]m×n ，若 A + B = C = [cij ] m×n ，則每一個 cij = aij + bij ，換言之 [aij ]m× n + [bij ]m× n = [ aij + bij ]m×n 。 2.. 加法反矩陣：設 A 是 m× n 階矩陣，且 A = [ aij ]m× n ，則 − A = [ − aij ]m× n ，. ⎡ a11 ⎢a 21 即A=⎢ ⎢ M ⎢ ⎣am1 3.. a12 L a1n ⎤ ⎡ − a11 ⎢− a ⎥ a22 L a2 n ⎥ 21 的加法反元素為 − A = ⎢ ⎢ ⎥ M M M ⎢ ⎥ am 2 L amn ⎦ ⎣− am1. − a12 L − a1n ⎤ − a22 L − a2 n ⎥⎥ 。 M M ⎥ ⎥ − am 2 L − amn ⎦. 矩陣減法：設 A, B 都是 m× n 階矩陣，且 A = [ aij ]m× n , B = [bij ]m× n ，若 C = A − B ，且 C = [cij ] m×n ，則 C = A + ( − B ) ，即 cij = a ij − bij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。. ⎡ a11 ⎢a 21 即A=⎢ ⎢ M ⎢ ⎣am1. a12 L a1n ⎤ ⎡ b11 b12 L b1n ⎤ ⎢b ⎥ a22 L a2 n ⎥ b22 L b2 n ⎥⎥ 21 ⎢ ，B = ， ⎢ M M M ⎥ M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ am 2 L amn ⎦ ⎣bm1 bm 2 L bmn ⎦ ⎡ a11 − b11 a12 − b12 L a1n − b1n ⎤ ⎢a −b a 22 − b22 L a 2 n − b2 n ⎥⎥ 21 21 ，其中 cij = a ij − bij , ∀i, j ，則C = A − B = ⎢ ⎢ ⎥ M M O M ⎢ ⎥ ⎣a m1 − bm1 a m 2 − bm 2 L a mn − bmn ⎦ 或表成 C = [cij ] m×n = [ a ij ] m×n − [bij ] m×n = A − B 。 4.. 矩陣係數積運算：設 A 是 m× n 階矩陣，且 A = [ aij ]m× n ，若 rA = [bij ] m×n ，則 bij = ra ij , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n 。. ⎡ a11 ⎢a 21 即A=⎢ ⎢ M ⎢ ⎣am1. a12 L a1n ⎤ a22 L a2 n ⎥⎥ ， M M ⎥ ⎥ am 2 L amn ⎦ ⎡ ra11 ra12 L ra1n ⎤ ⎢ ra ra22 L ra2 n ⎥⎥ 21 。則 rA = ⎢ ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ram1 ram 2 L ramn ⎦ 3.

(4) 5.. 矩陣乘法運算：設 A = [ a ij ] m×n , B = [bij ] n× p , C = AB = [cij ]m× p ， n. 其中 cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ain bnj = ∑ aik bkj , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ p ， k =1. a11 L a1n ⎤ ⎡b11 ⎢b ⎥ a 22 L a 2 n ⎥ 21 ,B=⎢ ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ a m 2 L a mn ⎦ ⎣⎢bn1 ⎡ c11 L L c1 p ⎤ ⎢L L L L ⎥ ⎥，則 C = AB = ⎢ ⎢ M M cij M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣c m1 L L c mp ⎥⎦. b12 L b1 p ⎤ b22 L b2 p ⎥⎥ ， M M ⎥ ⎥ bn 2 L bnp ⎦⎥. ⎡ a11 ⎢a 21 即A=⎢ ⎢ M ⎢ ⎣a m1. n. 其中 cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ain bnj = ∑ aik bkj , ∀1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ p 。 k =1. 易記符號： A. B AB. 4.

(5) 【性質】 1. 加法交換律： A + B = B + A 。 2. 加法結合律： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 。 3. A + O = O + A = A 。 4. A + ( − A) = ( − A) + A = O 。 5. 加法消去律：若 A + B = A + C ，則 B = C 。 6. − (− A) = A 。 7. 係數積對矩陣加法的分配律： α ( A + B ) = αA + αB 。 8. (α + β ) A = αA + β A 。 9. (αβ ) A = α ( β A) 。 10. 矩陣係數積： r ( AB ) = ( rA) B = A( rB ) 證明：設 A = [ aij ]m×n ， B = [bij ]n× p ， n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 則 r ∑ aik bkj = ∑ r (aik bkj ) = ∑ (raik )bkj = ∑ aik (rbkj ) 。 11. 零矩陣的性質： AO = OA = O 。 12. (αA)( β B ) = (αβ )( AB ) 。 13. 乘法結合律： ( AB )C = A( BC ) 。證明：設 A = [ a ij ] m×n , B = [bij ] n× p , C = [cij ] p×q p p n n p ⎛⎛ n ⎞ ⎞ 則 ∑ ⎜⎜ ⎜ ∑ aik bkl ⎟clj ⎟⎟ = ∑∑ (aik bkl )clj = ∑∑ (aik bkl )clj l =1 ⎝ ⎝ k =1 ⎠ ⎠ l =1 k =1 k =1 l =1 n p n ⎛ ⎞⎞ ⎛ p = ∑∑ aik (bkl clj ) = ∑ ⎜⎜ aik ⎜⎜ ∑ bkl clj ⎟⎟ ⎟⎟ 。 k =1 ⎝ ⎠⎠ ⎝ l =1 k =1 l =1 註：幾個矩陣連乘時，無須以刮號限制其運算的先後(但不能調換矩陣之次序)。 14. 矩陣乘法對加法分配律：(1) A( B + C ) = AB + AC 。(2) ( B + C ) A = BA + CA 。證明：設 A = [ a ij ] m×n , B = [bij ] n× p , C = [cij ]n× p n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. 則 ∑ aik (bkj +ckj ) = ∑ (aik bkj +aik ckj ) = ∑ aik bkj + ∑ aik ckj 。 15. 矩陣的平方和公式：設 A, B 為同階方陣，則 ( A + B) 2 = A2 + AB + BA + B 2 。註： ( A + B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 不恆成立。 16. 矩陣乘法與實數乘法運算性質的不同： (1)在矩陣乘法運算中，交換律不成立。 (2)即使 A, B 都不是零矩陣，其乘積卻可能是零矩陣。 17. 方程式的解： a, b 為兩實數且 a ≠ 0 ，則方程式 ax = b 恰有一解，但 A, B 為兩矩陣， A ≠ O 時，方程式 AX = B 不一定有解。. 5.

(6) 【問題】 1. (1)若 AB 存在，則 BA 存在？ (解：否。反例：取 A2×3 , B3× 4 ) (2)若 AB, BA 都存在，則 A, B 都是方陣？ (解：否。反例：取 A2×3 , B3× 2 ) (3)若 AB, BA 都存在，則 AB = BA ？ (解：否。反例：取 A2×3 , B3× 2 。 A 乘以 B 時，必須 A 的行數等於 B 的列數，而 AB 的列數與行數，分別是 A 的列數與 B 的行數) (4)若 AB, BA 都存在，且階數相同，則 AB = BA ？ ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥) ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ (5)矩陣相乘是否滿足交換律？證明或舉反例。(解：否) 2. (1)給矩陣 B, C ，若 AB = AC ，則 B = C ？ ⎡0 0 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡0 1 ⎤ ,B = ⎢ ,C = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥) ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ (2)給矩陣 B, C ，若 AB = AC ， A ≠ O ，則 B = C ？ ⎡0 1 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ 2 0⎤ ,B = ⎢ ,C = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥) ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 0⎦ (3)給矩陣 B, C ，若 AB = AC ， det A ≠ 0 ，則 B = C ？ (解：是) (4)矩陣相乘是否滿足消去律？證明或舉反例。 (解：否) 3. (1)給矩陣 A ，若 AO = O ，則 A = O ？ ⎡1 0⎤ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎣0 0 ⎦ (2)若 AB = O ，則 BA = O ？ ⎡1 1⎤ ⎡ 1 0⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥) ⎣1 1⎦ ⎣ − 1 0⎦ (3)若 AB = O ，則 A = O 或 B = O ？ ⎡1 0⎤ ⎡0 0 ⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥) ⎣0 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ (4)若 A2 = O ，則 A = O ？. ⎡0 1 ⎤ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎣0 0 ⎦ (5)若 A2 = I ，則 A = I 或 A = − I ？ ⎡− 1 0⎤ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥) ⎣ 0 1⎦ (6)若 A2 = B 2 ，則 A = B 或 A = − B ？ ⎡− 1 0 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ,B = ⎢ (解：否。反例：取 A = ⎢ ⎥ ⎥) ⎣ 0 − 1⎦ ⎣1 0⎦ 6.

(7) (1)給矩陣 A, B ，則 ( A + B) 2 = A2 + 2 AB + B 2 ？證明或舉反例。 (解：否。因 AB 不一定等於 BA ) (2)給矩陣 A, B ，則 ( A + B)3 = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3 ？證明或舉反例。 (解：否。因 AB 不一定等於 BA ) (3)當 A 與 I 是同階方陣且 I 是單位方陣，則 ( A + I ) 2 = A 2 + 2 A + I 2 ？證明或舉反例。 (解：是。 ( A + I ) 2 = ( A + I )( A + I ) = AA + AI + IA + I 2 = A2 + 2 A + I 2 。) (4)給矩陣 A ，則 ( A + I )3 = A3 + 3 A2 + 3 A + I 3 ？證明或舉反例。 (解：正確) (5)設 A, B, C , D 是矩陣，且 ( A + B )(C + D ) 是可以運算的，試證： ( A + B )(C + D ) = AC + AD + BC + BD 。 5. (1)設 A = [ aij ]m×n ，則下列何者正確？. 4.. I m A = A ？ I n A = A ？ AI m = A ？ AI n = A ？ (解：正確，錯誤，錯誤，正確) (2)若 A = [ aij ]m× n , m ≠ n ，是否可以考慮反矩陣？ (解：否) (3)乘法反矩陣若存在是否唯一？ (解：是) (4)是否每個方陣的乘法反矩陣都存在？ (解：否) (5)乘法反矩陣若存在且唯一的條件為何？ (解： det A ≠ 0 ⇒ A−1 存在). 7.

(8)