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1 高級卷 考解答
1. 請問下列哪一項表達式與 9x−3 同義？ (A) −9 x3 (B) 3 x (C) 1 9x3 (D) 3 x3 (E) 9 x3 9x−3 = 9× 1 x3 = 9 x3, 答: (E). 2. (同初級卷第 5 題) 分數 1 0.04 之值等於 (A) 15 (B) 20 (C) 25 (D) 40 (E) 60 1 0.04 = 1× 100 0.04× 100 = 100 4 = 25, 答: (C). 3. (同中級卷第 3 題) 已知 p = 9， q = −3，請問 p2− q2 等於什麼？ (A) 64 (B) 72 (C) 84 (D) 90 (E) 96 p2 = 81 且 q2 = 9，故知 p2− q2 = 81− 9 = 72。 答: (B). 4. 一個圓的圓周長為 π 單位，請問它的面積為多少平方單位？ (A) π 4 (B) π 2 (C) π (D) 2π (E) 4π 因圓周長為 2πr = π，故可得 r = 1 2。所以圓面積 A = πr 2 = π 4。 答: (A). 5. 若 K = L + 6 R 、L = 4 且 K = 7，則 R 等於 (A) −18 (B) 1 (C) 12 (D) 8 (E) 2 7 = 4 + 6 R 故 6 R = 3 ，即 R = 2, 答: (E).6. 已知 x、x2、x3 在數線上之位置如下圖所示，請問下列哪一項可能是 x 之值？ .. x3 . x2 . x (A) −2 (B) −1 2 (C) 3 4 (D) 1 (E) 3 2 由 0 < x2 < x 可知 x 為正數且 x < 1。故選項中可能的解為 x = 3 4， 此時 x3 = 27 64、x 2 = 9 16 = 36 64 及 x = 3 4 = 48 64 答: (C). 7. 一支 2 m 長的掃帚靠在一座牆上，掃帚底部與地面之夾角為 45◦ 。將 掃帚緩慢地往下滑動，直至掃帚與地面之夾角為 30◦ 為止。請問掃帚 的頂部向下滑動多少 m ？ . . 2 m . 45◦ (A) √2− 1 (B) 2−√3 (C) √3− 1 (D) √3−√2 (E) 2−√2 .. 2 . 45◦ . x . 2 . 30◦ . y 在滑動前，可知 x 2 = sin 45 ◦ = 1 √ 2 ，因此 x = √ 2。在滑動後，可知 y 2 = sin 30 ◦ = 1 2 ，因此 y = 1。故 x − y = √ 2− 1。 答: (A). 8. 將一個三角形的底增大 25%、將它的高增大 50%，請問它的面積將增 大多少？ (A) 25% (B) 50% (C) 66. ˙6% (D) 75% (E) 87.5%
利用三角形的面積公式 A = 1 2bh。將三角形如題意增大後，底的長度 b 之值會乘以 5 4 而高的長度 h 之值會乘以 3 2。故整體來看，A 之值會 乘以 5 4 × 3 2 = 15 8 = 1.875，此即增大了 87.5%。 答: (E). 9. 在數線上畫出五個如圖所示的區間。已知數 x 落在區間 A 上，數 y 落 在區間 D 上。請問數 1 2(x + y + 1) 必定會落在哪一個區間上？ .. 0 . 2 . 4 . 6 . 1 . 3 . 5 .z }| { . A . z }| { . C . z }| { . E . | {z } . B . | {z } . D (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 可知 x + y + 1 大於 0 + 3 + 1 = 4 且小於 2 + 5 + 1 = 8，故 1 2(x + y + 1) 介於 2 與 4 之間。 答: (C). 10. 已知 p p− 2q = 3 ，請問 p q 等於什麼？ (A) −3 (B) 3 (C) 1 3 (D) 2 3 (E) 2 因 p = 3(p− 2q)，所以 6q = 2p 且 p = 3q。因此 p q = 3。 答: (B). 11. 在某個停車場內有 3 輛 F 廠牌、4 輛 G 廠牌、2 輛 H 廠牌的汽車。若 一位停車場管理員隨機從中選 2 輛汽車，請問選中的汽車都是 G 廠牌 的機率是什麼？ (A) 1 4 (B) 4 27 (C) 1 6 (D) 4 9 (E) 16 81 可知第一輛車挑中 G 廠牌的機率為 4 9，接著挑選第二輛車挑中 G 廠牌 的機率為 3 8。因此選中的兩輛汽車都是 G 廠牌的機率是 4 9 × 3 8 = 1 6。 答: (C).
12. 已知圓 P 與圓 Q 之圓心分別為點 P 與點 Q， 且每個圓之面積都是 10 m2，每個圓都與矩形 的其中三條邊相切，如右圖所示。請問這個矩 形的面積為多少 10 m2？ (A) 20 (B) 20− 10 π (C) 40 π (D) 50 π (E) 60 π .. P . Q 若兩個圓的半徑都是 r 時，則有 πr2 = 10 ，此即 r2 = 10 π 。故矩形的 面積為 3r× 2r = 6r2 = 60 π 。 答: (E). 13. 請問 √1 + 2 + 3 + 4 +· · · + 99 + 100 之值介於下列哪一項的兩個數 之間？ (A) 14 與 15 (B) 25 與 26 (C) 30 與 31 (D) 71 與 72 (E) 100 與 101 令所求之值為 x，則有 x2 = 1 + 2 + 3 +· · ·+99+100 = 50×(1+100) = 5050 ，因此 x = √5050。現因 √4900 = 70 且 √6400 = 80，故可判斷 出 x 之值較為靠近 70。經驗算可知 712 = 5041 及 722 = 5184。 答: (D). 14. 已知 x− a x− b = x− b x− a 且 a̸= b，請問 x 之值是什麼？ (A) a− b 2 (B) a2+ b2 a + b (C) a2+ b2 2(a + b) (D) a + b (E) a + b 2 解法 1 將等式作交叉相乘後，可得一個等價的等式，解此等式可得: (x− a)2 = (x− b)2 −2ax + a2 = −2bx + b2 x = a 2− b2 2(a− b) = a + b 2 其中因已知 a ̸= b，故上述最後一步運算可作約分的運算。 答: (E).
解法 2 令 u = x− a x− b 且因 a ̸= b，故有 u ̸= 1 且 u = 1 u。所以 u 2 = 1 ，即 有 u = −1。因此可得知 x − a = −(x − b) ，此即 2x = a + b，故 x = a + b 2 。 答: (E). 15. 已知 P S = 5、P Q = 3、∠QSR = 30◦ 且 QR = RS、△P QS 為直角三角形， 其中 ∠P QS 為直角，如右圖所示。請 問 RS 之長是什麼？ (A) √ 3 2 (B) √ 3 (C) 2 (D) 4 √ 3 3 (E) 4 .. R . S . P . 5 . Q . 3 . 30 ◦ . || . || 在直角三角形 △P QS 中，由勾股定理可以得知 QS = 4。因 △QRS 為等腰三角形，故可再推知底邊上的高 RT 平分 QS。 .. R . S . x . P . 5 . Q . 3 . T . 2 . 2 . 30 ◦ . 60◦ . || . || 此時可知 △SRT 是一個三個內角為 30◦、60◦、90◦ 的三角形，所以邊 長比 RT : RS : ST = 1 : 2 : √3 ，因此 x = RS = √2 3ST = 4 √ 3 = 4√3 3 。 答: (D). 另一個得到此結論的方法為利用三角函數: x = 2 cos 30◦ = 4 √ 3 .
16. 小柏在第一天採集了若干桶的櫻桃，之後的每一天，他都比前一天多 採集 2 桶。從第一天到第 50 天他總共採集了 3250 桶。請問小柏在第 50 天採集了多少桶的櫻桃？ (A) 66 (B) 110 (C) 114 (D) 116 (E) 120 解法 1 令小柏在第一天採集了 n 桶的櫻桃。則知他第二天採集了 n + 2 桶的 櫻桃，第三天採集了 n + 4 桶的櫻桃，餘此類推，可得知他第 50 天採 集了 n + 98 桶的櫻桃。將這些代數式相加，可得知 3250 = 50 2 (n + (n + 98)) = 50n + 2450 故知 n = (3250− 2450) ÷ 50 = 16 且有 n + 98 = 114。 答: (C). 解法 2 可知小柏平均每天採集了 3250÷ 50 = 65 桶的櫻桃。而他從第 1 天到 第 50 天穩定地增加採集數量，直到第 50 天比第 1 天多採集了 98 桶 的櫻桃。故可得知他在第 1 天採集了 65 − 49 = 16 桶的櫻桃而第 50 天採集了 65 + 49 = 114 桶的櫻桃。 答: (C). 17. 一位農夫在他的牧場裡向東行走了 1 km 後再向東北方向行走 1 km， 最後再向東行走 1 km。請問這位農夫最後的位置與原出發點之距離為 多少 km？ (A) √5 + 2√2 (B) √10 (C) √5 (D) 2 +√2 (E) √11 2 + 2 √ 10 令這位農夫最後的位置與原出發點之距離為 d km。則由圖示可得 .. 1 . 1 . 1 . 2 + √1 2 . 1 √ 2 . d d2 = (2 + √1 2 )2 +(√1 2 )2 = 4 + √4 2 + 1 2 + 1 2 = 5 + 2√2 d = √5 + 2√2 答: (A).
18. 兩輛小汽車從同一點出發以勻速繞著一個圓周長為 600 cm 的圓移動。 如果它們以同方向移動，則它們將在 20 秒後相遇，但如果它們以反方 向移動，則它們將在 5 秒後相遇。請問速度較快的小汽車之移動速度 為每秒多少 cm ？ (A) 60 (B) 65 (C) 70 (D) 75 (E) 85 令速度較快的小汽車之移動速度為每秒 v cm，另一輛小汽車為每秒 w cm。則由題意可知 5v + 5w = 600 且 20v− 20w = 600. 因此 v + w = 120 且 v− w = 30, 故有 2v = 150 ，此即 v = 75。 答: (D). 19. 方程 x2− kx + 374 = 0 有二個整數根。請問 k 有多少個可能的值？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 令這兩個整數根分別為 α 與 β，則利用根與係數的關係知 αβ = 374 及 α + β = k，因此 α 與 β 同時為正或同時為負。因 374 的質因數分 解式為 374 = 2× 11 × 17 且 α 與 β 都是整數，故可得以下的解: α, β k 1, 374 375 2, 187 189 11, 34 45 17, 22 39 −1, −374 −375 −2, −187 −189 −11, −34 −45 −17, −22 −39 故知 k 有 8 個可能的值。 答: (D). 20. 給定 f1(x) = x x + 1 且 fn+1(x) = f1(fn(x))， 則 f2014(x) 等於 (A) x 2014x + 1 (B) 2014x 2014x + 1 (C) x x + 2014 (D) 2014x x + 1 (E) x 2014(x + 1)
解法 1 f2(x) = f ( x x + 1 ) = x x+1 x x+1 + 1 = x x + x + 1 = x 2x + 1 f3(x) = x 2x+1 x 2x+1 + 1 = x x + 2x + 1 = x 3x + 1 故利用數學歸納法，可得知 fn(x) = x nx + 1 =⇒ fn+1(x) = x nx+1 x nx+1 + 1 = x x + nx + 1 = x (n + 1)x + 1, 因此 f2014(x) = x 2014x + 1。 答: (A). 解法 2 觀察 1 fn(x) 。 1 f1(x) = 1 + 1 x =⇒ 1 fn+1(x) = f1(fn(x)) = 1 + 1 fn(x) =⇒ 1 f2014(x) = 1 + 1 f2013(x) = 2 + 1 f2012(x) = · · · · · · = 2013 + 1 f1(x) = 2014 + 1 x = 2014x + 1 x 因此 f2014(x) = x 2014x + 1。 答: (A). 21. (同中級卷第 23 題) 我計畫從 S 市開車到 550 km 遠的 C 市，出發時我的車子有 2 3 桶的汽 油。途中，當我抵達離開 S 市 165 km 的 M 市時，我還剩下 1 2 桶的 汽油。如果我以相同的油耗量繼續行駛且不再添加油料。請問下列哪 一項敘述為真？ (A) 當我抵達 C 市時還剩下1 9 桶的汽油。 (B) 當我抵達 C 市時還剩下 1 20 桶的汽油。 (C) 當我抵達 C 市時正好用完汽油。 (D) 當我用完汽油時尚離 C 市 110 km。 (E) 當我用完汽油時尚離 C 市 220 km。
可知行駛 165 km 會用去 2 3 − 1 2 = 1 6 桶的汽油，因此若加滿油時，總 共可以行駛 6× 165 = 990 km，即抵達 C 市時共使用了 550 ÷ 990 = 5 9 桶的汽油。但實際上我出發時僅有 2 3 = 6 9 桶的汽油，故當我抵達 C 市 時還剩下1 9 桶的汽油。 答: (A). 22. (同中級卷第 25 題) 小貞有一捲紙，紙非常地薄且緊緊纏繞著一 個圓柱體軸心捲成一捲，它的整體外貌如右 圖所示。初始時，整捲紙的直徑為 12 cm， 軸的直徑為 4 cm。當小貞用掉一半的紙後， 請問剩下的這捲紙的直徑最接近於什麼？ (A) 6 cm (B) 8 cm (C) 8.5 cm (D) 9 cm (E) 9.5 cm . 在本題的討論中都以 cm 作為長度單位。令 在小貞用掉一半的紙後，剩下的這捲紙的半徑 為 r。可知初始時，紙的部分之底面的面積為 π(62− 22) = 32π，故用掉一半的紙後，剩下紙 的部分之底面的面積為 16π，連同圓柱體軸心 的底面面積一起來看，此時的紙捲底面的面積 為 20π = πr2。 故 r2 = 20，但 4.52 = 20.25 而 4.42 = 19.36， 所以 4.4 < r < 4.5，而直徑即為半徑的兩倍， 故知所求捲紙的直徑最接近於 9 cm。 .. 4π. 16π . 16π . r . 2 . 6 答: (D). 23. 在 B 鎮的每 100 位居民中，有 50 位住在每戶兩人的家庭，有 30 位住 在每戶三人的家庭，有 20 位住在每戶四人的家庭。請問每戶家庭平均 有多少人？ (A) 2.0 (B) 2.5 (C) 2.7 (D) 2.8 (E) 3.0 解法 1 假設 B 鎮中共有 N 位居民。則知
(i) 0.5N 位居民住在每戶兩人的家庭，即此情況有 2 = 0.25N 戶家庭。 (ii) 0.3N 位居民住在每戶三人的家庭，即此情況有 0.3N 3 = 0.1N 戶家庭。 (iii) 0.2N 位居民住在每戶四人的家庭，即此情況有 0.2N 4 = 0.05N 戶家庭。 合計在 B 鎮有 0.4N 戶家庭，故平均每戶家庭有 N ÷ 0.4N = 2.5 人。 答: (B). 解法 2 可知對於每 100 位居民來說，共有 50 2 + 30 3 + 20 4 = 40 戶家庭，因此 平均每戶家庭有 100÷ 40 = 2.5 人。 答: (B). 24. 在右圖中，已知 QS、RT 、SV 都與圓相切，且∠RST = 90◦、 ∠SRT = 60◦ ，又知 RS 之長 度為 1 m。請問此圓的直徑為 多少 m？ (A) 3 +√3 (B) 4 (C) 2√3 + 2 (D) 3√3 (E) 9 2 .. Q . R .. S .. T . V . 1 m . 60◦ 解法 1 令圓的半徑為 r m，並如圖所示之方式標示各點: .. R .60 ◦ . S . T . O . Q . r
可知 RO 平分 ∠QRT = 120◦，因此 ∠QRO = 60◦ 且 r = QO = √ 3RQ。所以 SQ = SR + RQ r = 1 + √1 3 r (√3− 1)r = √3 2r = √3(√3 + 1) = 3 +√3 , 答: (A). 解法 2 .. O . Q . S . V . R . T . U . x . r . x . y . y 在圖中，可知點 T 至經過點 T 的兩條切 線上的切點之距離皆為 x ，而點 R 至經 過點 R 的兩條切線上的切點之距離皆為 y。而 △RST 的周長為 3 +√3 ，可判斷 出此即為 QS + SV = 2r，也就是所求之 圓的直徑。 答: (A). 解法 3 如圖所示之方式，畫出兩個以此圓為內切圓的正方形: . 此時可得 8 個邊長分別為 1、√3 與 2 的三角形。因此可以得知正方 形的邊長為 1 +√3 + 2，此即為圓的直徑。 答: (A). 25. 數列 2 , 22 , 222 , 2222 , . . . 之定義為對於所有正整數 n，a1 = 2 且 an+1 = 2an。請問下列哪一項 是數值大於 10001000 的第一個項？ (A) a4 = 22 22 (B) a5 = 22 222 (C) a6 = 22 2222 (D) a7 = 22 2222 2 (E) a8 = 22 2222 22
所求即為 an > 10001000 = 103000。已知 a1 = 2、a2 = 22 = 4、a3 = 24 = 16 與 a4 = 216 = 65536，皆小於 103000。而因 210 = 1024 > 103， 故可估計 a5: a5 = 265536 = (210)6553 26 > (103)6553 26 = 64× 1019659 此數即大於 103000。 答: (B). 26. (同初級卷第 30 題) 有一個三位數，它等於個位數碼的立方、十位數碼的平方與百位數碼 之總和。請問滿足此性質的最大三位數是什麼？ 解法 1 令這一個三位數為 abc。則 100a + 10b + c = a + b2+ c3 99a + 10b− b2 = c(c2− 1) 99a + b(10− b) = (c − 1)c(c + 1) 現考慮所有的可能，如表所示: 99a b(10− b) (c− 1)c(c + 1) 99 × 1 = 99 1 × 9 = 9 1 × 2 × 3 = 6 99 × 2 = 198 2 × 8 = 16 2 × 3 × 4 = 24 99 × 3 = 297 3 × 7 = 21 3 × 4 × 5 = 60 99 × 4 = 396 4 × 6 = 24 4 × 5 × 6 = 120 99 × 5 = 495 5 × 5 = 25 5 × 6 × 7 = 210 99 × 6 = 594 6 × 4 = 24 6 × 7 × 8 = 336 99 × 7 = 693 7 × 3 = 21 7 × 8 × 9 = 504 99 × 8 = 792 8 × 2 = 16 8 × 9 × 10 = 720 99 × 9 = 891 9 × 1 = 9 觀察 99a + b(10− b) = (c − 1)c(c + 1) 所有可能的情況，我們可得兩個 滿足題意的情況： 99 + 21 = 120 =⇒ a = 1, b = 3 or 7, c = 5 =⇒ n = 135 or n = 175. 495 + 9 = 504 =⇒ a = 5, b = 1 or 9, c = 8 =⇒ n = 518 or n = 598.
故可得知共有四個三位數滿足題意，其中最大的數為 598。 答: 598. 解法 2 可知 abc 等於 a + b2+ c3，而 b2 與 c3 的可能值為: 數碼 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 平方 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 接著我們將 c 值由大到小代入加式中逐一檢驗，並再代入 a 值與 b 值，可得以下樹狀圖：
. . a : a b2 : c3 : + a b c . a 7 2 9 a b 9 . c = 9 . 8 7 2 9 8 b 9 . a = 8 . 8 2 7 2 9 8 b 9 . 8 + 2 + 9 . = 19 . (不存在 b2) . 7 7 2 9 7 b 9 . a = 7 . 8 3 7 2 9 8 b 9 . 7 + 3 + 9 . = 19 . (不存在 b2) . a 5 1 2 a b 8 . c = 8 . 6 5 1 2 6 b 8 . a = 6 . 6 0 0 5 1 2 6 0 8 . b = 0 . 6 + 0 + 2 = 8 . 5 5 1 2 5 b 8 . a = 5 . X 5 8 1 5 1 2 5 9 8 . b = 9 . X 5 0 1 5 1 2 5 1 8 . b = 1 . 5 + 1 + 2 = 8 . a 3 4 3 a b 7 . c = 7 . abc < 598 同樣地，當 c = 6, 5, . . . 此時可發現最大值為 598 ，而 c = 7、c = 6、…、c = 1 時所得到的值 皆小於此數。 答: 598.
27. 小尹打算造一個五個字母的密碼。為了使它們易讀，他根據以下兩條 規則： (i) 不可以有超過兩個子音或超過兩個母音相連在一起。 (ii) 字的開頭或結尾都不可以是兩個子音。 由於 ‘Q’ 太難念，所以棄之不用。因此他有 20 個子音與 5 個母音可供 選擇。若他共可造出 N 個可能的密碼，請問 N 的首三位數是什麼？ 解法 1 首先觀察子音 (C) 與母音 (V) 有多少種滿足條件的排列方式: 若為三個子音與二個母音時 (3C2V): CVCCV, CVCVC, VCCVC. 若為二個子音與三個母音時 (2C3V): CVCVV, CVVCV, VCCVV, VCVCV, VCVVC, VVCCV, VVCVC. 若為一個子音與四個母音時 (1C4V): VVCVV. 對於 3C2V 的情況來說，每一個排列方式都有 203× 52 個密碼；對於 2C3V 的情況來說，每一個排列方式都有 202× 53 個密碼；對於 4C1V 的情況來說，每一個排列方式都有 20× 54 個密碼。因此共可造出的密 碼總數為 3× 203× 52+ 7× 202× 53+ 20× 54 = 3× 20 × 1002+ 7× 5 × 1002+ 125× 100 = 962500 即 N 的首三位數是 962。 答: 962. 解法 2 以下的樹狀圖表示在一個密碼字母後接續的字母是子音 (C) 或母音 (V) 的組合，下面的數目代表該組合的總數
. . V . CVCCV . C . CVCVC . V . CVCVV . V . CVVCV . C . VCCVC . V . VCCVV . V . VCVCV . C . VCVVC . V . VVCCV . C . VVCVC . V . VVCVV . C . V . C . V . C . V . C . V . C . V . C . V . C . V . C . V . C . V . 20 . 5 . 100 . 100 . 25 . 2000 . 500 . 2000 . 2000 . 500 . 40 000 . 10 000 . 10 000 . 10 000 . 10 000 . 2500 . 10 000 . 2500 . 200 000 . 200 000 . 50 000 . 50 000 . 200 000 . 50 000 . 50 000 . 50 000 . 50 000 . 50 000 . 1250 由此可得知共可造出的密碼總數為 3× 200 000 + 7 × 50 000 + 12500 = 962500 即 N 的首三位數是 962。 答: 962. 28. (同中級卷第 30 題)
考慮數列 a1、a2、a3、a4、. . . 使得 a1 = 2 且對於每一個正整數 n， an+1 = an + pn� 其中 pn 為 an 的最大質因數。 這個數列的前幾項為 2, 4, 6, 9, 12, 15, 20。請問使得 an 是一個四位數的 n 之最大值是什麼？ 解法 1 列出此數列的前幾項來觀察，如下表所示: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 an 2 4 6 9 12 15 20 25 30 35 42 49 pn 2 2 3 3 3 5 5 5 5 7 7 7 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 an 56 63 70 77 88 99 110 121 132 143 156 169 pn 7 7 7 11 11 11 11 11 11 13 13 13 可觀察出當 p 為質數時，a2p−2 = p2。若此觀察為真，則可得 a192 = 972。此時便可得到接下來的數為: n 192 193 194 195 an 972 97× 98 97 × 99 97 × 100 pn 97 97 97 97
n 196 197 198 199 an 97× 101 98 × 101 99 × 101 100 × 101 pn 101 101 101 101 因 a198 = 99× 101 = 9999 及 a199 = 100× 101 = 10100，故知所求為 198。 現驗證所觀察出的規則為真。假設對於質數 p，有 a2p−2 = p2。若 q 為 p 之後下一個質數，則 a2p−2 = p2 之後的 q− p 項為 p(p + 1), p(p + 2), p(p + 3), . . . , pq 注意到其中連續兩項之間的差為 p 且 p 整除每一項。事實上，從最後 一項可以得知不會有比 p 更大的質數來整除其中任何一項，這是因為 每一項都可寫成 pk 的形式，其中 p < k < q。因 k 介於連續的質數 p 與 q 之間，故它無法被比 p 更大的質數所整除。 而再接下來的 q − p 項為 (p + 1)q, (p + 2)q, (p + 3)q, . . . , q2 注意到其中連續兩項之間的差為 q 且 q 整除每一項。事實上，不會有 比 q 更大的質數來整除其中任何一項，這是因為每一項都可寫成 kq 的形式，其中 p < k ≤ q。因 k 至多為 q ，故它無法被比 q 更大的質 數所整除。 現在我們已驗證了對於質數 p，若 a2p−2 = p2 成立，則接下來的第 2q − 2p 項為 q2。換言之，a2q−2 = q2，其中 q 為 p 之後下一個質數。 故對質數利用數學歸納法可以得知對於所有的質數 p，a2p−2 = p2 成 立。 答: 198. 解法 2 令 q1, q2, . . . 依序為遞增的質數。可題意所述之數列，其中連續兩項之 差恆為質數。接著可由檢驗前幾項發現當連續兩項之差改變時，該項 恰為兩個連續的質數之乘積。因此若將數列中連續兩項的差當成另一 個數列時，此數列為 qm 的項數是 qm+1 − qm−1。 (注意到由原數列中連續兩項之差為 qm 所組成的各項恰是介於 qm−1qm 與 qmqm+1 之間的 qm 的倍數，因此不會被更大的質數所整除。) 將連續兩項的差構成的數列裡，差相同的項數相加，可得:
差 項數 累計 q1 q2− 1 1 q2 q3− q1 q3+ q2− q1− 1 q3 q4− q2 q4+ q3− q1− 1 q4 q5− q3 q5+ q4− q1− 1 q5 q6− q4 q6+ q5− q1− 1 故可歸納出會在由連續兩項的差構成的數列中會在第 qm+ qm+1− 2 項 改變 qm 之值，故有 aqm+qm+1−2 = qm × qm−1。 現在只要找出最大的連續兩個質數之乘積小於 10000。可知 97× 101 = 9797 而 101× 103 > 10000，可推得 a97+101−2 = a196 = 9797。因此知 a197 = 9898、a198 = 9999。 答: 198. 29. 在平面座標上兩個座標都是整數的點稱之為格子點。考慮一個三角形 它的三個頂點座標為 (0, 0)、(a, 0)、(0, b) 的格子點，其中 a ≥ b > 0。 假設這個三角形的內部恰好有 74 個格子點 (不包含在三角形邊上的格 子點)。請問所有這樣的三角形之面積總和是什麼？ 在頂點都是格子點的 a× b 的矩形上，其內部共有 (a − 1)(b − 1) 個格 子點，且其對角線會經過其中 g− 1 個格子點，其中 g = gcd(a, b)。因 此可得知這樣的三角形內部的格子點數為 (a− 1)(b − 1) − g + 1 2 = 74 此即 (a− 1)(b − 1) = 147 + g 若令 a = cg、b = dg，則有 cdg2− (c + d)g = 146 + g 故可得知 g 146 = 2× 73 的因數，即 g ∈ {1, 2, 73, 146}. 但因 a ≥ b ≥ g，故有 (g− 1)2 ≤ (a − 1)(b − 1) = 147 + g 所以 g = 73 與 g = 146 是不合的，因此 g = 1 或 g = 2。
換言之，147 + g = 148 或 149，且需分解成 (a− 1)(b − 1) 的形式。因 148 = 22× 37 且 149 為質數，故只有以下四種可能: g 147 + g a− 1 b − 1 a b g = gcd(a, b)? A = 12ab 1 148 148 1 149 2 X 149 1 148 74 2 75 3 × 1 148 37 4 38 5 X 95 2 149 149 1 150 2 X 150 394 故可得知只有三個三角形滿足題意，其面積總和為 394。 答: 394. 30. 一個多項式 p(x) 若具有整係數且 p(100) = 100，則稱之為自我中心 的。已知 p(x) 為一個自我中心的多項式，請問方程 p(k) = k3 的整數 解最多有幾個？ 令 q(x) = p(x)− x3 且 a 1, . . . , an 為 q(x) 相異的根。此時可知對於每 一個 k，(x− ak) 都是 q(x) 的一個因式。故對 (x− ak)，輪流利用長除 法來計算可以得知其每一個商式的係數都是整數，故可得因式分解式 q(x) = (x− a1) . . . (x− an)q0(x) ，其中 q0(x) 是個整係數多項式。因此 q(100) = 100− 1003 = −999900 = −99 · 100 · 101 = −22· 32· 52· 11 · 101 但 另 一 方 面，也 有 q(100) = (100 − a1) . . . (100 − an)q0(100)，其 中 (100− ak) 是 q(100) 的不同因數。 因此可得知 q(100) 在寫成不同的整數乘積時，最多個整數的表示法為 q(100) = −1 · 1 · 2 · (−2) · 3 · (−3) · 5 · (−5) · (−11) · 101 所以知 n ≤ 10. 而另一方面，利用上述的 −999900 的分解式可將 q(x) 分解為 q(x) = (x− 101)(x − 99)(x − 102)(x − 98)(x − 103)(x − 97) (x− 105)(x − 95)(x − 111)(x − 101) 此時可得 10 個整數根且 q(100) = −999900，因此當 p(x) = q(x) + x3 時，則有 p(100) = 100 且 p(x) = x3 共有 10 個整數根，此即為最多的 整數解個數。 答: 10.
