球面上的隨機漫步

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(1)國立交通大學統計學研究所碩士論文. 球面上的隨機漫步 Random Walk on The Surface of A Sphere. 研究生：黃鈺玲指導教授：彭南夫. 博士. 中華民國九十七年六月.

(2) 球面上的隨機漫步 Random Walk on The Surface of A Sphere 研究生：黃鈺玲指導教授：彭南夫. Student ： Yu-Ling Huang Advisor ： Dr. Nan-Fu Peng. 國立交通大學統計學研究所碩士論文. A Thesis Submitted to Institute of Statistics College of Science National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Statistics. June 2008 Hsinchu, Taiwan, Republic of China 中華民國九十七年六月.

(3) 球面上的隨機漫步研究生：黃鈺玲指導教授：彭南夫博士. 國立交通大學統計學研究所. 中文摘要摘要本篇論文目的在探討如何在球面上模擬出隨機漫步的方法。主要以賭徒破產理論為基礎，三維空間中的轉軸(rotation)公式和截面圓性質為輔助，模擬出球面上隨機漫步的進行。基本假設為自球面上(以北半球為例) 的任一點出發，觸及赤道或北極圈範圍(北緯 66 0 33′ )就停止漫步，且每一步所跨步伐等長(在球面上即指弧長等長)，但下一步的方向服從某分配 (ex: uniform distribution)。最後計算出成功抵達目的地的機率和平均花費時間，由數據觀察出其結果與賭徒破產理論的表現相似。. 關鍵字：隨機漫步、轉軸. i.

(4) Random Walk on The Surface of A Sphere Student：Yu-Ling Huang Advisor：Dr. Nan-Fu Peng. Institute of Statistic National Chiao Tung University. 英文摘要 ABSTRACT This thesis is to find an easy way to simulate the random walk on the surface of a sphere. We use the gambler’s ruin theory as the main idea, and the rotation formula and cross section property in three-dimension as a help to simulate the random walk process. Suppose the random walk will terminate when it reaches the area of equator or Arctic Circle. We set each step size in the random walk been fixed, and the direction of the next step is randomly chosen. Then we compute the probability of success to reach the goal and the expected step to terminate. The result shows that the behavior of the random walk on the surface of a sphere is similar to the gambler’s ruin formula.. Keyword: random walk、rotation ii.

(5) 誌謝在交大就讀兩年以來，因為得到很多人的幫助，如今才能順利畢業，希望能透過簡短的文字傳達內心由衷的感謝。首先要感謝的就是花費許多心力，指導我完成論文的彭南夫教授，感謝老師在我研究遭遇挫折時，不厭其煩地提供我新的想法和方向。同時也非常感謝當我對於未來方向有些困惑時，適時給予我意見的統計所教授們，因為有諸位老師的幫助，我才能更堅定的向前進。感謝同學們這兩年來的照顧，雖然與大家相處的時間不長，但仍感到非常愉快，留下了美好的回憶。此外，也非常感謝交大校園所提供的眾多資源和設備，讓我擁有完善的學習品質和健康的生活空間。最後，感謝父母無條件的支持，讓我無後顧之憂的完成學習。未來，我會更努力地向前邁進，相信總有一天，我也可以找到屬於自己的那片藍天。. 鈺玲謹誌于國立交通大學統計研究所中華民國九十七年六月. iii.

(6) 目錄中文摘要 .....................................................................................................i 英文摘要 ....................................................................................................ii 誌謝 .........................................................................................................iii 目錄 .........................................................................................................iv 圖、表目錄 ................................................................................................ v 第一章導論................................................. 1 1-1 研究動機........................................................................................... 1 1-2 相關研究........................................................................................... 2 1-3 模擬流程........................................................................................... 3 1-4 論文架構........................................................................................... 5 第二章理論部份............................................. 6 2-1 賭徒破產定理................................................................................... 6 2-2 轉軸公式........................................................................................... 7 2-3 模擬球面上隨機漫步演算法 .......................................................... 9 2-4 模擬圓周上隨機漫步演算法 ........................................................12 第三章模擬結果分析........................................ 16 3-1 模擬球面上的隨機漫步.................................................................16 3-1-1 模擬步驟 ...............................................................................16 3-1-2 模擬結果 ...............................................................................17 3-2 圓周上隨機漫步結果與理論值比較 ............................................19 3-2-1 模擬步驟 ...............................................................................19 3-2-2 模擬結果 ...............................................................................19 3-3 不同分配模擬結果比較.................................................................20 3-3-1 Beta分配簡介 .......................................................................20 3-3-2 模擬結果比較 .......................................................................22 第四章結論................................................ 27 參考文獻.................................................... 28 附錄一、................................................ 29 附錄二、................................................ 37 附錄三、................................................ 38 iv.

(7) 圖、表目錄圖1.1 fixed random walk (2-D and 3-D) ........................1 圖1.2 floating random walk (Walk on spheres method)...........2 圖2.1 直角座標系統 ...........................................7 圖2.2 弧長c與夾角θ的關係圖 ..................................9 圖2.3 截面圓示意圖 ..........................................10 圖2.4 二維座標表示法圖示 ....................................13 圖2.5 二維座標中向上移動圖示 ................................14 圖2.6 二維座標中向下移動圖示 ................................14 圖3.1 起始緯度對成功機率的散佈圖 ............................17 圖3.2 起始緯度對期望步數的散佈圖 ............................18 圖3.3 beta分配偏態圖示 ......................................21 圖3.4成功抵達目的地機率：Beta分配與Uniform分配趨勢比較圖.....23 圖3.5期望步數：Beta分配與Uniform分配趨勢比較圖 ..............24. 表3.5 不同beta分配對應的機率值 ..............................21 表3.1 緯度對映成功抵達北極圈機率模擬結果 ....................29 表3.2 緯度對期望步數模擬結果 ................................30 表3.3 緯度對成功機率值的理論值與模擬結果比較 ................31 表3.4 緯度對停止步數的期望值理論值與模擬結果比較.............32 表3.6 不同beta分配緯度對成功機率模擬結果 ....................33 表3.7 不同beta分配緯度對停止步數的期望值模擬結果.............35. v.

(8) 第一章. 導論. 1-1 研究動機關於隨機漫步的方法，主要可依下一步所跨方向和步伐長度的選擇加以分類，步伐長度可為固定或任意步長；方向亦可分為限定方向或者隨機方向。其中最簡單的方法就是固定步長和限定方向條件下的簡單隨機漫步 (simple random walk)。若建立在一維空間上，可將其視為一個粒子在水平直線上左右移動，每步的距離皆為一個單位長；向右的機率為p，向左的機率為=1-p，屬於布朗運動離散化的情形，常用於幫助了解布朗運動。若擴展到二維空間，同樣限制在固定步伐和限定方向條件下(fixed random walk﹝3﹞)，則可假定粒子在格子點上運動，方向可為上、下、左、右，機率各為1/4，且每步的距離皆為一個單位長；相同的方法亦可擴展到三維的空間中，方向則為上、下、前、後、左、右，機率各為1/6。. 圖1.1 fixed random walk (2-D and 3-D). 我們想進一步了解的是，隨機漫步在沒有限制方向和步長的情況下，是以什麼樣的情況進行，由相關研究可知，目前已有許多關於在多維空間. 1.

(9) 內隨機漫步的方法，但是我們發現大部分的研究都專注於在空間內部的隨機漫步，因此本篇論文希望能找出一個簡單的方法，模擬出三維空間中在球表面上的隨機漫步過程。. 1-2 相關研究關於不限制方向和步長(floating random walk﹝3﹞)，但存在停止範圍的隨機漫步，常用的模擬方法為Muller在1956年提出的Walk on spheres method﹝7﹞，在二維空間中，以起始位置 x 0 為圓心，自 x 0 到停止範圍最短的距離為半徑畫圓，再從圓上隨機選取一點作為下一個起始位置 x1 ，重複畫圓的步驟，直到所選取的下一個起始位置 x n 恰好位於停止範圍才結束，所得到的 x1 , L , x n 位置即為一組隨機漫步過程，如圖1.2。. 圖1.2 floating random walk (Walk on spheres method). 同樣的方法亦可拓展到三維空間。不過值得注意的是，由於WOS method中使用 ε − shell 以保證隨機漫步會在有限步數內停止，但因 ε − shell 的設定會使計算的結果產生誤差，因此Given等人於1997年提出了Green＇s function first-passage algorithm﹝5﹞，以改善 ε − shell 在誤差上的問題；近 2.

(10) 來有研究﹝6﹞指出在WOS與GFFP皆可使用的情況下，GFFP有較高的準確性。可想而知，若將前述資料的方法應用到三維空間的球上，皆可模擬出在球內部隨機漫步的過程，但我們較感興趣的是如何在球表面進行隨機漫步，關於球面上的隨機漫步Roberts & Ursell﹝8﹞在1960年曾計算出，球面上若已知起始位置的機率密度分配，當每一步跨出的步長為固定或服從某分配，且下一步方向為隨機選取條件下，t步後該移動點(moving point) 的機率密度函數。作為延伸，我們提出一個簡單的方法，模擬出三維空間中球面上的隨機漫步，同樣限定每一步所跨步伐相同且下一步的方向為隨機選取，在上述條件限制下，將使隨機漫步每次向目的地接近或遠離的距離皆不相同，而且越高緯度，每一步所能向北移動的最長垂直距離都越短，因而產生越往北越難向上爬升的情況。與Roberts & Ursell論文最大不同的地方在於其隨機漫步並沒有停止範圍且主要目的是求出各移動點的機率密度函數，但我們則是希望結合賭徒破產定理，利用電腦模擬出球面上隨機漫步的運行，並找出成功抵達目的地的機率和平均花費的時間，再和一維空間中的賭徒破產理論值比較，觀察兩者間的差異性和相關性。透過本篇論文所提出的模擬方法，我們將計算自球面(以地球的北半球為例) 上的非特定位置出發，以隨機漫步的方式行進，最後能抵達目的地(以北極圈為例)的機率和整個過程所花費的時間。. 1-3 模擬流程在此我們先約略介紹整個模擬的流程和結果，稍後於第三章再將完整的模擬過程和詳細結果呈現。本篇文章所提出的方法，主要是以賭徒破產理論為基礎，並以三維空間中的轉軸(rotation)公式和截面圓性質為輔 3.

(11) 助，模擬出球面上隨機漫步的進行。基本假設為自球面上(以北半球為例) 的任一點出發，觸及赤道或北極圈範圍(北緯 66 0 33′ )就停止漫步，並設定每一步所跨步伐等長(在球面上即指弧長等長)，但下一步的方向服從某分配 (ex: uniform distribution)，這將造成每次向目的地接近或遠離的距離皆不相同，且越往高緯度靠近，每一步所能向北靠近的最長距離越短。模擬的步驟是先將所在經緯度位置轉換為三維空間的直角座標表示法，並利用轉軸公式旋轉，使得該點落在直角座標上的xyz軸的某一軸上(本篇論文以y軸為例)，接著依固定弧長的條件下找出截面圓，再透過指定的分配產生0~2 π 範圍內的角度，作為下一步將跨到該截面圓上的位置；最後將所計算出的位置，旋轉回原座標系，並轉換為經緯度，以測定是否符合停止的條件。而一次球面上的完整隨機漫步過程，就是自球面上的任意點出發，重複上述步驟，直到符合停止條件，整個漫步過程才宣告結束。因此，為了計算自起始位置出發最後能抵達目的地(例如：北極圈)的機率和整個隨機漫步所花費的時間，我們重複模擬同一位置出發的隨機漫步過程10000次，並記錄這一10000次中，成功抵達北極圈的次數和所跨的總步數，以及先觸及赤道而停止所跨的步數。由10000次中成功抵達北極圈的次數，我們得到成功抵達目的地(北極圈)的機率；而將10000次中，成功抵達北極圈或先抵達赤道而停止的步數加以平均，就可以得到整個隨機漫步所花費的時間。為了確認此模擬方法是否正確可行，我們套用類似的方法於2維的圓上，並控制使每次跨的弧長恰等於一個緯度，且方向不是向上就是向下，在這樣的條件限制情況下，該圓周上的隨機漫步即等同於賭徒破產定理的過程。因此，我們可利用公式估計出成功到達的機率和停止的期望步數值，再將此理論值與模擬出的結果做比較，以確認此模擬方法的準確度， 4.

(12) 由相對誤差的結果顯示與理論值相去不遠，因此我們認定這個模擬方法可行。最後分析球面上隨機漫步模擬出的結果，我們發現當下一步的方向服從uniform distribution(可將其視為向上向下的機率相同的情況)，其數值表現近似於賭徒破產定理公式的結果，即：成功抵達目的地(北極圈)的機率與起始位置的緯度成正比關係；整個隨機漫步所花費的時間與起始位置的緯度成二次曲線關係，其中以位於目標緯度1/2的緯度為起始位置者所需花費的時間最多。而為了得到不同的向上和向下的機率的結果，我們藉由控制Beta分配的偏態來達到此目的，詳細的結果將於第三章的末節呈現。. 1-4 論文架構在本篇論文中，我們假設自球面上的任一點出發，每一步所跨出的步伐皆等長，但選擇的方向服從某分配(ex: uniform distribution)，透過結合座標軸旋轉及截面圓性質…等數學方法，利用電腦模擬方式，呈現出球面上隨機漫步的情況，並依此估計最後抵達目的地的機率和所花費的時間。在第二章我們將介紹模擬過程中所需用到的理論方法。在第三章則將詳述模擬的步驟並呈現模擬的結果，並在第四章做出結論。. 5.

(13) 第二章. 理論部份. 2-1 賭徒破產定理假設一賭徒每次賭博，不是輸就是贏，贏一元的機率為p，輸一元的機率為q=1-p，每次賭博彼此獨立，且當賭徒輸光自己所有的錢或贏光莊家的錢時，就不能再繼續賭博。在符合前述條件下，計算莊家現有（N-i）元，賭徒現有i元，最後能在輸光自己的i元(即：輸光所有的錢)之前擁有N 元（即：贏光莊家所有的錢）的機率，即為：賭徒破產定理﹝9﹞。令fi＝fiN：表賭徒現有i元，最後能擁有N元的機率。已知： ⎧ ⎛ q ⎞i ⎪ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ q ⎪ ⎝ p⎠ , if ≠1 N ⎪⎪ p ⎛ ⎞ q f i = ⎨1 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ p⎠ ⎪i ⎪ , if q = 1 ⎪⎩ N p. (2.1). 若進一步想知道賭徒輸光自己所有的錢或贏光莊家的錢所需賭博的期望次數：令Bi表賭徒現有i元，到停止賭博(即：不是擁有N元就是0元)所需賭 B. 博的次數，可推得: E (Bi ) =. N × fi − i q if ≠1 2 p −1 p. E (Bi ) = i × ( N − i ) if. 6. q =1 p. (2.2) (2.3).

(14) 2-2 轉軸公式已知球面上各點的直角座標系統表示法﹝1﹞：(x,y,z)表直角座標上的 π π. 任意點，r:球半徑， θ ∈ (0,2π ) :表經度， φ ∈ ⎛⎜ − , ⎞⎟ :表緯度，以y軸為經緯 ⎝. 2 2⎠. 度的起始點(0度)，則已知起始經緯度，可求得直角座標為：. 圖2.1 直角座標系統. x = r sin θ cos φ. (2.4). y = r cos θ cos φ. (2.5). z = r sin φ. (2.6). 相對地，若已知直角座標，亦可求所在經緯度： ⎛z⎞ ⎝r⎠. φ = sin −1 ⎜ ⎟. (2.7). ⎛. y ⎞ ⎟⎟ ⎝ r cos φ ⎠. θ = cos −1 ⎜⎜. (2.8). 因此在模擬球面上的隨機漫步時，我們可利用座標軸的旋轉﹝1﹞，來簡化計算的過程，方法是透過將三維直角座標的xyz軸，先繞x軸以逆時. 7.

(15) 針方式旋轉所在位置緯度的角度，再繞z軸以順時針方式旋轉所在位置經度的角度，使球面上的各點都能旋轉至y軸上，而方便在y軸上做運算。若令(x,y,z)表原直角座標上的點，則：繞x軸逆時針旋轉ψ角度後的直角座標為( x ′, y ′, z ′ )，則: 0 ⎡ x ′ ⎤ ⎡1 ⎢ y ′⎥ = ⎢0 cos φ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z& ⎥⎦ ⎢⎣0 − sin φ. 0 ⎤⎡ x⎤ sin φ ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ cos φ ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦. 再繞z軸順時針旋轉θ角度後直角座標為( x ′′, y ′′, z ′′ )，但因順時針旋轉θ等同於逆時針旋轉(-θ)，且 cos( −θ ) = cos θ , sin( −θ ) = − sin θ ，所以: ⎡ x ′′ ⎤ ⎡ cos(−θ ) sin(−θ ) 0⎤ ⎡ x ′ ⎤ ⎢ y ′′⎥ = ⎢− sin(−θ ) cos(−θ ) 0⎥ ⎢ y ′⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ′′ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ z ′ ⎥⎦. ⎡ x ′′ ⎤ ⎡ cos θ ⎢ y ′′⎥ = ⎢ sin θ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ′′ ⎥⎦ ⎢⎣ 0. − sin θ cos θ 0. 0⎤ ⎡ x′⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ y ′⎥⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ′ ⎥⎦. 合併前兩式可得先繞x軸以逆時針方式旋轉所在位置緯度角度，再繞z軸以順時針方式旋轉所在位置經度角度的公式為: ⎡ x′′ ⎤ ⎡cos θ ⎢ y ′′⎥ = ⎢ sin θ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ z ′′ ⎥⎦ ⎢⎣ 0. − sin θ cos θ 0. 0⎤ ⎡1 0 ⎢ ⎥ 0⎥ ⎢0 cos φ 1⎥⎦ ⎢⎣0 − sin φ. 0 ⎤⎡ x⎤ sin φ ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ cos φ ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦. (2.9). 值得注意的是，因轉軸後長度會隨之變化，將產生隨緯度越高，每一步所能朝上方（北）移動的垂直距離越短的性質。. 8.

(16) 2-3 模擬球面上隨機漫步演算法為模擬出球面上的隨機漫步，首先我們必須找出能使球面上任一點，符合下列兩條件： 1.每次跨出的步伐等長。 2.下一步所跨的方向服從特定分配(ex:Uniform(0, 2π ))。而產生下一步所在位置的計算方法。在本篇論文中，我們透過轉軸公式及截面圓性質，來達成此目標。在此先說明我們如何決定每次跨出的步伐長。由於在球面上點到點移動的距離並非兩點間的直線距離，而是球面上的圓弧長，所以弧長可為任意常數；但為了因應2-4節的分析需要，本篇論文中弧長決定的方式是:由赤道朝正北方向上移一緯度時的弧長。因此，我們利用弧長c與夾角θ的關係：. 圖2.2 弧長c與夾角θ的關係圖. c=. 2πrθ ，得到當θ=1，r=100，c=1.745329252，所代表的意思也就是當我 360. 們限定球半徑為100，則每一次所跨出的弧長長度皆為1.745329252。此時，往北移動的垂直距離=s= r sin(1) = 1.745240644 ；向內移動的水平距離 =r-d= r − r cos(1) = 0.01523047 。 9.

(17) 決定了每步所跨的步伐長後，接下來我們將說明如何使下一步所跨的方向服從特定分配。在已知起始位置( x 0 , y 0 , z 0 )情況下，我們先利用2-2節的轉軸公式，讓球面上的該點旋轉至y軸上的A點：( x0 ″ , y 0 ″ , z 0 ″ )；然後，依限定的步伐長，找到一個與y軸垂直的平面將球截切，如圖2.3所示：. 圖2.3 截面圓示意圖由示意圖我們可發現當球(球心0；半徑：r)被一個該平面截切﹝2﹞ 後，會形成一截面圓(圓心 0′ )。由圖2.2可知， 00′ = r cos(1) =d，此截面圓的半徑s= r sin(1) ；此時，自點A移動至截面圓上的任一點的弧長皆相等。另外，由示意圖也可看出：α是決定下一步方向的關鍵角色，當α介於0~180 度之間，將使下一步位置向上方(北)靠近；若α介於180~360度則會使下一步位置向下方(南)移動。因此，我們可藉由控制α角度的產生來達到使下一步所跨的方向服從特定分配的目的。在隨機選定下一步方向α後，我們可以得到由點 A⎛⎜ x0″ , y0″ , z0″ ⎞⎟ 移動至 ⎝. 點 A′⎛⎜ x1″ , y1″ , z1″ ⎞⎟ 的計算方法如下： ⎝. ⎠. 10. ⎠.

(18) ″ ″ x1 = x0 + s × cos α. (2.10). ″ ″ y1 = y 0 − (r − d ). (2.11). ″ ″ z1 = z 0 + s × sin α. (2.12). 但必須注意的是，此處的( x1″ , y1″ , z1″ )是在旋轉後的座標系表示法，因此為得到其在原始座標的位置，必須再將座標軸旋轉回原本的座標系，以得到下一步所在位置的座標( x1 , y1 , z1 )。根據上述方法，我們可寫出利用電腦模擬球面上隨機漫步的演算法： 1.起始位置經緯度( θ 0 , φ 0 )，利用式(2.4)、(2.5)、(2.6)可計算出其直角座標上的位置( x 0 , y 0 , z 0 )。 2.利用轉軸公式(2.9)，得到轉軸後的直角座標( x0 ″ , y 0 ″ , z 0 ″ )=(0，r，0)。 3.隨機選取下一步方向： α 角度， α ∈ 指定分配。 4.利用式(2.10)、(2.11)、(2.12)找出下一步所在位置( x1″ , y1″ , z1″ )。 5.再利用轉軸公式，旋轉反方向角度，將座標轉回原直角座標位置，得到轉軸後的直角座標( x1 , y1 , z1 )。 6.最後利用式(2.7)、(2.8)求出所在位置的經緯度( θ1 , φ1 )。 7.判斷所在緯度 φ1 是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈( 66 0 33′ )。 8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。 9.若未抵達停止範圍，則視( θ1 , φ1 )為起始位置重複前述步驟。. 11.

(19) 2-4 模擬圓周上隨機漫步演算法為確認此模擬方法是否正確可行，我們套用轉軸的方法於2維的圓上，並製造特殊情況，使模擬的過程符合賭徒破產定理的條件，並據此將模擬的結果與賭徒破產公式的理論值做比較。我們採用的方法是，將球投影到平面上(不考慮經度，只考慮緯度)，則此時球面上點的移動，等同於在球圓周上的移動；另外我們限制每步所跨出的長度恰等於跨越一緯度，即：當球半徑為100，則每一次所跨出的弧長長度皆為1.745329252。在此同時，依弧長所截切出的截面圓，將會因投影效果，而變成一直線，α角度也只會有90度和270度兩種選擇。在上述這些特殊情況成立下，將使每次皆跨行1緯度長度且下一步不是向上就是向下的假設成立，則由i緯度出發到達緯度66度時停止的情況，即等同於2.1的賭徒破產定理中，現有i元欲獲得66元的過程。此時，我們可利用式(2.1)及(2.2)估計出成功到達的機率和停止的期望步數值，並與模擬出的結果做比較，以確認此模擬方法的準確度。而為了控制下一步向上或向下的機率，我們透過隨機選取一值p，p 服從uniform(0,1)分配來加以控制。若p ≤ 0.7，則方向α=90，即：向上一緯度；若p>0.7，則方向α=270，即：向下一緯度，即：每次出發，增加1緯度的機率為0.7，減少1緯度的機率為0.3，N=66，則由式(2.1)及(2.2)可知理論值為： i ⎧ ⎛3⎞ − 1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝7⎠ fi = ⎨ 66 ⎪1 − ⎛ 3 ⎞ ⎪⎩ ⎜⎝ 7 ⎟⎠. 12.

(20) E ( Bi ) =. 66 × f i − i 66 × f i − i = 2 p −1 0.4. 現在，將我們將說明如何套用2-3模擬的方法到2維座標上(y-z軸)。已知將目前所在緯度ψ表示為2維座標的方法為：. 圖2.4 二維座標表示法圖示. y = r cos φ z = r sin φ. 若已知所在位置的直角座標，則可反推所在緯度： ⎛ y⎞ ⎝r⎠. ⎛z⎞ ⎝r⎠. φ = cos −1 ⎜ ⎟ 或 φ = sin −1 ⎜ ⎟. 同樣地，我們可利用轉軸公式將圓上的任一點( y, z )都旋轉到y軸上( y ′ , z ′ )： ⎡ y ′⎤ ⎡ cos φ ⎢ z ′ ⎥ = ⎢− sin φ ⎣ ⎦ ⎣. sin φ ⎤ ⎡ x ⎤ cos φ ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦. 但因為限制每次皆跨行1緯度長度(即：c=1.745329252)，所以下一步所在位置的表示法只有兩種可能:. 13.

(21) a. 若向上一緯度(由 A⎛⎜ y0′ , z0′ ⎞⎟ 移動至 A′⎛⎜ y1′ , z1′ ⎞⎟ ) ⎝. ⎠. ⎝. ⎠. 圖2.5 二維座標中向上移動圖示. ′ ′ ′ y1 = y0 − (r − r cos(1)) = y0 − r × 0.0001523 ′ ′ ′ z1 = z0 + r sin(1) = z0 + r × 0.01745. b. 同理，若向下一緯度. 圖2.6 二維座標中向下移動圖示. ′ ′ ′ y1 = y0 − (r − r cos(1)) = y0 − r × 0.0001523. 14.

(22) ′ ′ ′ z1 = z0 − r sin(1) = z0 − r × 0.01745. 接下來，只要再旋轉回原始座標系，則可得到下一步所在位置( y1 , z1 )及其緯度。根據上述方法，我們可寫出利用電腦模擬球面上隨機漫步的演算法： (前提假設:球半徑r=100，每步所跨弧長=1.745329252) 1.起始位置緯度( φ0 )，計算出其直角座標上的位置( y 0 , z 0 )。 2.利用轉軸公式，使點( y 0 , z 0 )能旋轉至y軸上做運算，並得到轉軸後的直角座標( y 0′ , z 0′ )=(r,0)。 3.決定下一步方向：隨機選取 ρ ∈ Uniform(0,1)，若 ρ ≤ 0.7 ，即緯度增加1度; 若 ρ > 0.7 ，即緯度減少1度。 4.找出下一步所在位置( y1′ , z1′ )。 5.再利用轉軸公式，旋轉反方向角度，將座標轉回原直角座標位置，得到轉軸後的直角座標( y1 , z1 )。 6.再利用直角座標( y1 , z1 )，逆推出所在位置的緯度( φ1 )。 7.判斷所在緯度 φ1 是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈( 66 0 33′ )。 8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。 9.若未抵達停止範圍，則視( φ1 )為起始位置重複前述步驟。. 15.

(23) 第三章. 模擬結果分析. 3-1 模擬球面上的隨機漫步首先，我們先呈現當決定下一步所跨方向的α角度為服從 Uniform(0, 2π )下的情況，模擬球面上隨機漫步的計算結果；值得注意的是，由於α角度定義的方式，此時下一步的方向屬於向上的機率或向下的機率相同。因此，我們期望觀察到近似於式(2.1)與式(2.3)的結果，即：成功抵達目的地(北極圈)的機率與起始位置的緯度成正比關係；整個隨機漫步所花費的時間與起始位置的緯度成二次曲線的關係，其中又以位於目標緯度1/2的緯度為起始位置者所需花費的時間最多。接著在3-3節，我們再利用不同的Beta分配來呈現不同的向上向下機率所模擬出的結果。. 3-1-1. 模擬步驟. 1.依起始位置經緯度( θ 0 , φ 0 )，計算出直角座標上位置( x 0 , y 0 , z 0 )。 2.利用轉軸公式，得到轉軸後的直角座標( x0 ″ , y 0 ″ , z 0 ″ )=(0，r，0)。 3.隨機選取下一步方向： α 角度， α ∈ Uniform(0, 2π )。 4.找出下一步所在位置( x1″ , y1″ , z1″ )。 5.再利用轉軸公式，旋轉反方向角度，將座標轉回原直角座標位置，得到轉軸後的直角座標( x1 , y1 , z1 )。 6.求出所在位置的經緯度( θ1 , φ1 )。 7.判斷所在緯度 φ1 是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈 ( 66 0 33′ )。. 16.

(24) 8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。 9.若未抵達停止範圍，則視( θ1 , φ1 )為起始位置重複1~7的步驟。. 3-1-2. 模擬結果首先，我們列出在各個起始緯度(0~65度)範圍，各模擬10000. 次，所得到成功抵達北極圈的機率數值於附錄一、表3.1，並繪出模擬結果與現有i元欲獲得66元的賭徒破產理論值的散佈圖如圖 3.1，其中「成功」代表先抵達北極圈而非赤道的機率：起始緯度對成功機率的散佈圖. 成功機率. 1 0.8 0.6 模擬(uniform). 0.4. 理論值(方向固定). 0.2 0 0. 10. 20. 30 40. 50. 60. 70. 起始緯度. 圖3.1 起始緯度對成功機率的散佈圖. 由圖3.1可以看到，起始緯度與成功抵達北極圈的機率成正比，由於此時下一步的方向屬於向上的機率或向下的機率相同，因此我們發現這樣的關係其實與賭徒破產公式(2.1)出現的情況相似，即：當. p =1， f i ∝ i ；圖3.1同時也顯示出電腦模擬的成功機率要比理論 q. 值的機率來得低，推論原因主要是因為將賭徒破產定理的情況套用在三維空間時，需建立在每一步都筆直地朝北或朝南跨相同的距離，但電腦模擬的情況則是朝任一方向跨相同距離，造成每一次朝北或朝南的垂直距離都不同，又因為轉軸的關係，使得緯度 17.

(25) 越高，每次向北所能夠移動的最長距離都越短，因此比較起來，電腦模擬的成功抵達北極圈機率會比公式估計的值要低應是可以接受的結果。接下來，我們列出模擬的期望步數結果於附錄一、表3.2，並繪出其散佈圖如圖3.2：. 期望步數. 起始緯度對期望步數的散佈圖 3000 2500 2000 1500 1000 500 0. 模擬(uniform) 理論值(方向固定). 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 起始緯度. 圖3.2 起始緯度對期望步數的散佈圖. 由圖3.2我們可以看出，起始緯度與停止的期望步數的散佈圖成二次曲線的關係，其中又以位於目標緯度1/2的緯度為起始位置者所需花費的時間最多，亦與賭徒破產理論的公式(2.3)出現的情況相似。然而，圖3.2也顯示出電腦模擬的期望步數要比理論值的數值來得高，推論原因同樣是電腦模擬造成每一次朝北或朝南的垂直距離不同，又緯度越高向北所能夠移動的最長距離都越短，再加上賭徒破產定理停止的位置是66度，而電腦模擬停止的位置則是 66 0 33′ 。因此綜合上述原因，電腦模擬的期望步數比公式估計的值. 要高且高出許多應是合理的結果。. 18.

(26) 3-2 圓周上隨機漫步結果與理論值比較為了確認模擬方法的可行與否，我們套用轉軸的方法於2維的圓上，使模擬的過程近似於賭徒破產定理的條件，並將模擬的結果與公式(2.1) 和(2.2)的理論值做比較。我們期望觀察到的結果是模擬出的數值，與公式解的理論值之間的差值越小越好。. 3-2-1. 模擬步驟. 1.起始位置緯度( φ0 )，計算其直角座標上的位置( y 0 , z 0 )。 2.利用轉軸公式，使點( y 0 , z 0 )旋轉至y軸上做運算，並得到轉軸後的直角座標( y 0′ , z 0′ )=(r,0)。 3.決定下一步方向：隨機選取 ρ ∈ Uniform(0,1)，若 ρ ≤ 0.7 ，緯度增加1度;若 ρ > 0.7 ，緯度減少1度。 4.找出下一步所在位置( y1′ , z1′ )。 5.將座標轉回原直角座標位置，得到轉軸後的直角座標( y1 , z1 )。 6.再利用直角座標( y1 , z1 )，逆推出所在位置的緯度( φ1 )。 7.判斷所在緯度 φ1 是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈 ( 66 0 33′ )。 8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。 9.若未抵達停止範圍，則視( φ1 )為起始位置重複1~7的步驟。. 3-2-2. 模擬結果我們利用上述演算法，將緯度(0~65度)範圍，各模擬100000. 次所得到的成功抵達北極圈機率數值與使用公式所估計出的理論. 19.

(27) 值列表比較於附錄一、表3.3。由表3.3可以看出，當我們套用此方法於2維的圓上，使模擬的過程近似於賭徒破產定理的條件時，所得到電腦模擬結果與理論值的結果相對誤差幾乎都小於0.01，屬於可接受範圍。同樣地，我們列出電腦模擬的期望步數與理論值的列表比較於附錄一、表3.4。由表3.4我們也可以看出，套用此方法於電腦模擬出的結果與理論值相對誤差的值也大多小於0.01，因此我們認定利用轉軸方式來模擬球面上隨機漫步的方法應該可行。. 3-3 不同分配模擬結果比較事實上，附錄一的表3.1及表3.2所顯示的結果，皆建立在下一步的方向來自於Uniform分配的假設下，因此由下一步方向的選取方式可知，該條件下任一點位置下一步往上(北)或往下(南)的機率相同。接下來，我們想嘗試讓下一步的方向服從Beta分配，看看與服從Uniform分配的結果有何不同，並透過控制Beta分配的偏態，來改變向上和向下的機率，並比較彼此的差異。. 3-3-1. Beta分配簡介. 已知Beta (α , β ) 的機率分配為﹝4﹞： f ( x) =. Γ(α + β ) α −1 β −1 x (1 − x ) ,0 < x < 1; α , β > 0 Γ(α )Γ(β ). Beta(1,3). Beta(3,1). Beta(2,3) Beta(3,3) Beta(3,2). 20.

(28) 圖3.3 beta分配偏態圖示. 由圖3.3，我們可以看出Beta分配的對稱與傾斜，可由α，β之間的關係來控制：. 1. α<β，為一右偏分配。 2. α=β，為一對稱分配。 3. α>β，為一左偏分配。因為Beta (α , β ) 的x值介於(0,1)，因此模擬下一步方向時，需再乘上 2π ，才能得到所需的角度範圍，以做為下一步方向。另外，由於. 當角度介於0~ π 範圍時，將導致下一步的方向往北移動；而 π ~2 π 範圍時，則會令下一步的方向往南移動，因此利用各個beta分的累積分配函數(F)，計算當x值 ≤ 0.5時的函數值，我們就可以得到對應的向上機率分別為：. 表3.5 不同beta分配對應的機率值分配. 期望值偏態. F (0.5). 向上機率P 向下機率(1-P). Beta(1,3). 0.25. 右偏. 0.875. 0.875. 0.125. Beta(2,3). 0.4. 右偏. 0.6875. 0.6875. 0.3125. Beta(3,3). 0.5. 對稱. 0.5. 0.5. 0.5. Beta(3,2). 0.6. 左偏. 0.3125. 0.3125. 0.6875. Beta(3,1). 0.75. 左偏. 0.125. 0.125. 0.875. 由表3.5我們可以看出，由於Beta(3,3)的向上機率=0.5，於uniform 分配的情況相同，因此我們期望看到α角度服從Beta(3,3)分配時， 21.

(29) 模擬出的結果近似於α角度服從uniform分配。此外由於Beta(1,3) 與Beta(2,3)分配，下一步向上的機率都大於0.5，因此模擬出的結果應會發現各緯度成功抵達北極圈的機率皆很高，而停止步數的期望值也不需太多；而且由於Beta(1,3)的向上機率大於Beta(2,3)，因此Beta(1,3)各緯度成功抵達北極圈的機率應會大於Beta(2,3)，而 Beta(1,3) 停止步數的期望值應會少於Beta(2,3)。同理可推測，因為Beta(3,2)與Beta(3,1)分配下一步向上的機率都小於0.5，因此模擬出的結果應會發現各緯度成功抵達北極圈的機率皆不高，相較之下返回赤道而停止步數的期望值也不會太多；而由於Beta(3,1)的向上機率小於Beta(3,2)，因此Beta(3,1)各緯度成功抵達北極圈的機率應會小於 Beta(3,2) ，且 Beta(3,1) 停止步數的期望值應會少於 Beta(3,2)。. 3-3-2. 模擬結果比較同樣地，利用前述的模擬方法，針對Beta分配不同的α、β值. ，在緯度(0~65度)範圍，各模擬10000次，模擬出的機率數值於附錄一表3.6，其中「成功」代表先抵達北極圈而非赤道的機率。由表3.6可看出，當Beta分配為一對稱分配(Beta(3,3))時，模擬出的機率與Uniform分配的結果相近，與原先所預期的結果相同，其散佈圖如圖3.4：. 22.

(30) 起始緯度對成功機率的散佈圖. 成功機率. 1 0.8 0.6 模擬(uniform) 模擬(beta(3,3)) 理論值(方向固定). 0.4 0.2 0 0. 10. 20. 30 40. 50. 60. 70. 起始緯度. 圖3.4成功抵達目的地機率：Beta分配與Uniform分配趨勢比較圖. 而由表3.6可看出，當α角度服從Beta(3,3)分配時，成功抵達目的地的機率要比服從 Beta(3,2) 、 Beta(3,1) 分配來得高，但比 Beta(3,1)、(Beta(3,2)分配要低許多。推論原因應是當Beta分配為一左偏分配：Beta(3,2)、Beta(3,1)時，期望值分別為0.75和0.6，乘以 2π 後換算成角度發現約為270度和216度，使平均而言下一步都朝. 所在緯度下方移動，因此向下移動的機率都大於0.5，不易向高緯度前進的情況，而產生0~60的起始緯度能成功抵達目標緯度的機率幾乎皆為零，即使能成功抵達，其機率值也都很小；而且在能抵達的前提下，Beta(3,2)成功抵達目標緯度的機率都比Beta(3,1)要高，符合原先預期的結果。相較之下，當Beta分配為一右偏分配： Beta(1,3)、Beta(2,3)時，期望值分別為0.25和0.4，乘以 2π 後換算成角度發現約為90度和144度，使下一步方向平均來說都朝所在緯度上方移動，因此向上移動的機率都大於0.5，而產生8~65的起始緯度能成功抵達目標緯度的機率幾乎皆為1，其餘未能成功抵達的機率值也都很小的結果；而且在未有百分之百成功機率抵達目的地. 23.

(31) 的情況下，Beta(1,3)成功抵達目標緯度的機率都比Beta(2,3)要高，符合原先期待的結果。此外，由3-1-1和3-1-2節的模擬結果分析，我們觀察到當下一步向上向下的機率相同時，球面上隨機漫步的模擬數值和起始緯度之間的關係，其實與賭徒破產定理公式的趨勢走向具有相似的結果。因此，為了確認這樣的情形是否在下一步向上向下的機率比值不同時，也可以得到相同的結論，我們嘗試計算依照賭徒破產定理對應本節不同Beta分配的向上向下機率時成功抵達目的地機率的理論值，與實際模擬的結果做比較(附錄二)，發現兩者間同樣具有相同的趨勢，也就是當向上機率大於0.5時，成功抵達目的地的機率都高，幾乎等於1；相對來說，當向上機率小於0.5時，成功抵達目的地的機率則非常小，幾乎為零。而針對Beta分配不同的α、β值，我們列出模擬的期望步數數值於附錄一表3.7。由表3.7可看出，當Beta分配為一對稱分配： Beta(3,3)時，模擬出的期望步數與Uniform分配的結果相近，與原先所預期的結果相同，其散佈圖如圖3.5:. 期望步數. 起始緯度對期望步數的散佈圖 3000 2500 2000 1500 1000 500 0. 模擬(uniform) 模擬(beta(3,3)) 理論值(方向固定). 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 起始緯度. 圖3.5期望步數：Beta分配與Uniform分配趨勢比較圖. 24.

(32) 另外，而由表3.7可看出，當α角度服從Beta(3,3)分配時，所要花費的時間（期望步數）普遍要比服從Beta(3,2)、Beta(3,1)分配要高許多，推論原因應是Beta(3,3)分配的期望值為0.5，乘以 2π 後換算成角度發現約為180度，容易朝水平方向移動，即使向上或向下，垂直移動的距離也不大，因此相較於左偏或右偏的Beta分配，到停止前所花的時間，自然要比較多。同時我們也發現，當Beta分配為一右偏分配：Beta(3,2)、Beta(3,1)時，起始緯度在0~47範圍所得到的期望步數值都不大，推論原因應是能成功抵達目標緯度的機率幾乎皆為零，換言之，即是很容易返回赤道而停止，導致很快就停止行動。相較之下，當Beta分配為一左偏分配：Beta(1,3)、Beta(2,3) 時，起始緯度在0~47範圍所得到的期望步數值也都不大，但此時原因則應是其未能成功抵達的機率值都很小，即很容易抵達目標而停止，導致很快就停止漫步。同樣地，我們計算賭徒破產定理對應本節不同Beta分配的向上向下機率時，期望步數的理論值，並與實際模擬的結果做比較(附錄三)，發現兩者之間也具有相同的趨勢。因此，我們可以說，當下一步向上向下的機率比值不等於1，球面上隨機漫步的模擬數值結果仍與賭徒破產定理公式具有類似的結論。另外不難發現，電腦模擬出的期望步數，在任意起始緯度都比賭徒破產公式定理得到的結果要多，而且在向上機率大於0.5時(即：下一步的方向有超過一半的機率都是向北移動)，起始緯度越低，兩者之間的差距越大，推論原因應該是因為由越低緯度出發，所需橫跨的緯度範圍就越長(ex:2~66)，雖然因為p>0.5，幾乎都能成功抵達目的地，但 25.

(33) 是仍存在返回赤道的風險，再加上電腦模擬的過程，每一步所能移動的垂直距離都小於等於賭徒破產理論所跨的步長，因此賭徒破產理論移動一步的距離，球面上都需要移動更多步來達成，因此橫跨的緯度範圍越大，來來往往的過程就需要更多的時間；反之，由較高緯度出發，因為p>0.5，成功抵達目的地幾乎為100%，縱使每一步向北移動的垂直距離皆不同，和賭徒破產公式定理得到的結果也都會越來越接近。相對來說，當向上機率小於0.5時 (即：下一步的方向有超過一半的機率都是向南移動)，則起始緯度越高的情況下，兩者之間的差距反而大，推論原因則是因為當 p<0.5，同樣存在些微成功抵達目的地的機會，又電腦模擬的過程使每一步所能移動的垂直距離都小於等於賭徒破產理論所跨的步長，因此由越高緯度出發所橫跨的緯度範圍越長(ex:63~0)，來來往往的過程需要更多的時間；反之，由較低緯度出發，成功抵達目的地幾乎為0%，和賭徒破產公式定理得到的結果自然會越來越接近。. 26.

(34) 第四章. 結論. 本篇論文主要的目的是希望能夠以賭徒破產理論為基礎，三維空間中的轉軸公式和截面圓性質為輔助，建立一個簡單的演算法，模擬出三維空間中在球表面上的隨機漫步過程，並藉此進一步了解隨機漫步在沒有限制方向但步長固定的情況下，在球的表面上會以什麼樣的情況進行。由本篇論文提供的演算法，我們可以得到隨機漫步過程各點在經、緯度或直角座標移動的情況，同時能夠計算出成功抵達目的地的機率和整個漫步過程所花費的時間，即：期望步數。由模擬出的數值我們發現，在固定步長以及下一步方向服從特定分配的球面上隨機漫步與賭徒破產定理公式具有相似的趨勢，即：當向上向下的機率比值等於1時，成功抵達目的地(北極圈)的機率與起始位置的緯度成正比關係，且整個隨機漫步所花費的時間與起始位置的緯度成二次曲線的關係，其中以位於目標緯度1/2的緯度為起始位置者所需花費的時間最多。而當向上向下的機率比值不等於1時，成功抵達目的地的機率和整個隨機漫步所花費時間的結果也與賭徒破產公式的結果有相同的趨勢。但球面上的隨機漫步因為每一步向上或向下移動的垂直距離都不同，因此花費的時間都更長，而且具有因橫跨緯度範圍不同而產生隨起始緯度遞增，與賭徒破產理論值的差異越大(當p<0.5)或越小(當p>0.5)的性質。由於本篇論文中所建立隨機漫步方式，具有緯度越高向北所能夠移動的最長距離越短的特性，意即：緯度越高越不容易向上爬升；近似於股票市場中，當指數越接近歷史高點，漲幅越小的情況，因此希望所提出的模擬方法，未來能夠在相關領域加以應用。. 27.

(35) 參考文獻［1］ Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, 3rd edition, Academic. Press, Orlando, FL, 1985. ［2］ Coxeter, H.S.M., Introduction to Geometry, 2nd ed, Wiley, New York,. 1969. ［3］ Dyutiman Das, "Quantum Monte Carlo With a Stochastic Potential. solver", University of Illinois, degree of Doctor, 2005 ［4］ Evans, M.; Hastings, N.; and Peacock, B., Statistical Distributions, 3rd. edition, Wiley, New York, 2000 ［5］ J.A. Given, J.B. Hubbard, J.F. Douglas, "A first-passage algorithm for. the hydrodynamic friction and diffusion-limited reaction rate of macromolecules", J.Chem. Phys. 106, , 3721–3771, 1997. ［6］ Mascagni M. and C.-O. Hwang. " ε -shell error analysis in “Walk On. Spheres” algorithms", Math. Comput. Simulation, in press, 2002. ［7］ Muller M. E., "Some Continuous Monte Carlo Methods for the Dirichlet. Problem", Annals of Mathematical Statistics, 27, 567-589 ,1956. ［8］ Roberts, P.H. and Ursell, H.D., "Random walk on a sphere and on a. Riemannian manifold", PhUos. Trans. A ,Mathematical .and Physical Sciences ,252, 317-356, 1960. ［9］ Sheldon M. Ross, Stochastic Process, 2nd edition, WILEY, 1980. ［10］ Thisted, R. A., Elements of Statistical Computing, Chapman and Hall,. New York, 1988.. 28.

(36) 附. 錄. 一、. 表3.1 緯度對映成功抵達北極圈機率模擬結果緯度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22. 成功機率 0.0144 0.0247 0.0391 0.0517 0.0621 0.072 0.0801 0.0932 0.0998 0.1126 0.124 0.1307 0.1497 0.1623 0.1784 0.1799 0.1884 0.2088 0.2158 0.2328 0.2388 0.2431. 緯度 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44. 成功機率 0.2626 0.2756 0.2845 0.3018 0.3146 0.3292 0.3315 0.3504 0.3702 0.3836 0.3892 0.3988 0.4195 0.4247 0.4321 0.4482 0.4725 0.4852 0.5034 0.5223 0.5376 0.545. 29. 緯度 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65. 成功機率 0.5537 0.5833 0.5894 0.6012 0.6143 0.6364 0.6574 0.6824 0.6972 0.7138 0.7344 0.7547 0.779 0.7928 0.8177 0.8286 0.8537 0.8826 0.9091 0.9252 0.9561.

(37) 表3.2 緯度對期望步數模擬結果緯度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22. 期望步數 185.7869 317.0791 430.5564 552.4942 670.5594 798.1686 902.2981 1012.038 1071.853 1199.587 1270.092 1355.005 1486.08 1568.415 1623.881 1664.632 1787.097 1850.396 1905.596 2002.244 2023.779 2087.072. 緯度 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44. 期望步數 2132.031 2143.494 2202.633 2244.336 2280.125 2347.84 2387.121 2381.418 2391.437 2412.104 2454.929 2450.352 2449.169 2459.602 2426.542 2417.266 2432.37 2403.899 2358.658 2332.806 2314.562 2273.538. 30. 緯度 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65. 期望步數 2248.373 2187.003 2178.715 2093.866 2084.278 2017.356 1927.679 1847.946 1759.81 1711.938 1609.169 1502.505 1386.755 1298.695 1167.023 1081.353 940.4222 768.4553 610.9491 513.36 310.1307.

(38) 表3.3 緯度對成功機率值的理論值與模擬結果比較模擬相對誤差模擬相對誤差 ~ 緯度理論機率 ( pˆ ) 緯度理論機率 ( pˆ ) pˆ − ~ p pˆ − p ~ ( ) p) p 機率 ( ~ 機率 pˆ pˆ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. 0 0.571429 0.816327 0.921283 0.966264 0.985542 0.993804 0.997344 0.998862 0.999512 0.999791 0.99991 0.999962 0.999984 0.999993 0.999997 0.999999 0.999999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 0 0.57105 0.81733 0.92074 0.96551 0.985 0.99408 0.99697 0.999 0.99955 0.99981 0.99989 0.99989 0.99999 0.99998 0.99999 1 0.99999 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 0 0.000663 0.001229 0.000589 0.00078 0.00055 0.000278 0.000375 0.000138 3.78E-05 1.9E-05 2.04E-05 7.16E-05 6.46E-06 1.29E-05 6.98E-06 1.3E-06 9.44E-06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31. 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.

(39) 表3.4 緯度對停止步數的期望值理論值與模擬結果比較緯度. 理論值 (μˆ ). 模擬停止步數 (μ~ ). 相對誤差 μˆ − μ~ 緯度 μˆ. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32. 0 91.78571 129.6939 144.5117 149.4336 150.1144 148.9776 147.0618 144.8122 142.4195 139.9655 137.4852 134.9937 132.4973 129.9988 127.4995 124.9998 122.4999 120 117.5 115 112.5 110 107.5 105 102.5 100 97.5 95 92.5 90 87.5 85. 0 91.69662 129.7817 144.311 149.3787 150.0829 149.238 147.0515 144.8428 142.3525 139.9507 137.4368 135.1055 132.5052 129.954 127.4178 125.0077 122.4856 119.8916 117.6291 114.9007 112.578 110.0418 107.4801 105.0422 102.4697 100.1001 97.60414 94.9919 92.40544 90.0864 87.55426 84.91768. 0 0.000971 0.000677 0.001388 0.000367 0.000209 0.001748 6.99E-05 0.000211 0.000471 0.000106 0.000352 0.000828 5.96E-05 0.000345 0.000641 6.3E-05 0.000117 0.000903 0.001099 0.000863 0.000693 0.00038 0.000185 0.000402 0.000296 0.001001 0.001068 8.53E-05 0.001022 0.00096 0.00062 0.000968. 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65. 32. 理論值模擬停止步數 (μˆ ) (μ~ ). 82.5 80 77.5 75 72.5 70 67.5 65 62.5 60 57.5 55 52.5 50 47.5 45 42.5 40 37.5 35 32.5 30 27.5 25 22.5 20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5. 82.52696 79.9395 77.50962 74.97604 72.56172 70.05252 67.574 65.01852 62.48858 59.95134 57.4767 54.98498 52.49672 49.96878 47.56354 45.0165 42.5962 40.0061 37.48846 35.04942 32.47774 30.00688 27.46874 24.9664 22.48946 20.01906 17.52362 15.04154 12.4802 10.01566 7.48448 5.015 2.38083. 相對誤差 μˆ − μ~ μˆ. 0.000327 0.000756 0.000124 0.000319 0.000851 0.00075 0.001096 0.000285 0.000183 0.000811 0.000405 0.000273 6.25E-05 0.000624 0.001338 0.000367 0.002264 0.000153 0.000308 0.001412 0.000685 0.000229 0.001137 0.001344 0.000468 0.000953 0.00135 0.002769 0.001584 0.001566 0.002069 0.003 0.047668.

(40) 表3.6 不同beta分配緯度對成功機率模擬結果緯度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36. Beta(3,1) Beta(3,2) Beta(3,3) Beta(2,3) Beta(1,3) uniform 0 0 0.0155 0.8081 0.9786 0.0144 0 0 0.0262 0.9374 0.9981 0.0247 0 0 0.0361 0.9792 0.9998 0.0391 0 0 0.0469 0.9927 1 0.0517 0 0 0.0594 0.9977 1 0.0621 0 0 0.0706 0.9991 1 0.072 0 0 0.0849 0.9999 1 0.0801 0 0 0.0897 1 1 0.0932 0 0 0.1055 1 1 0.0998 0 0 0.119 1 1 0.1126 0 0 0.1312 1 1 0.124 0 0 0.1385 1 1 0.1307 0 0 0.1543 1 1 0.1497 0 0 0.1601 1 1 0.1623 0 0 0.1789 1 1 0.1784 0 0 0.1891 1 1 0.1799 0 0 0.1968 1 1 0.1884 0 0 0.2084 1 1 0.2088 0 0 0.2217 1 1 0.2158 0 0 0.2271 1 1 0.2328 0 0 0.253 1 1 0.2388 0 0 0.2613 1 1 0.2431 0 0 0.2614 1 1 0.2626 0 0 0.283 1 1 0.2756 0 0 0.2833 1 1 0.2845 0 0 0.3082 1 1 0.3018 0 0 0.3194 1 1 0.3146 0 0 0.325 1 1 0.3292 0 0 0.3518 1 1 0.3315 0 0 0.3571 1 1 0.3504 0 0 0.3703 1 1 0.3702 0 0 0.3888 1 1 0.3836 0 0 0.3945 1 1 0.3892 0 0 0.4088 1 1 0.3988 0 0 0.4183 1 1 0.4195 0 0 0.4327 1 1 0.4247 33.

(41) 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0002 0.0008 0.0105. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0007 0.003 0.0125 0.0397 0.13. 0.4523 0.4577 0.4813 0.4987 0.5113 0.524 0.5355 0.5578 0.5686 0.5888 0.5967 0.618 0.6341 0.6537 0.6655 0.6784 0.7045 0.7142 0.7323 0.763 0.7761 0.8001 0.8164 0.8479 0.864 0.8871 0.9052 0.9322 0.9574. 34. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 0.4321 0.4482 0.4725 0.4852 0.5034 0.5223 0.5376 0.545 0.5537 0.5833 0.5894 0.6012 0.6143 0.6364 0.6574 0.6824 0.6972 0.7138 0.7344 0.7547 0.779 0.7928 0.8177 0.8286 0.8537 0.8826 0.9091 0.9252 0.9561.

(42) 表3.7 不同beta分配緯度對停止步數的期望值模擬結果緯度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36. Beta(3,1) 3.0107 5.0573 7.0851 9.1766 11.2345 13.3317 15.4696 17.5481 19.6669 21.6731 23.8364 25.8858 27.9707 30.0505 32.1885 34.23 36.2197 38.3903 40.6409 42.4517 44.7391 46.8565 48.7689 50.9784 53.1118 55.0976 57.238 59.4122 61.4157 63.4214 65.6423 67.6498 69.827 71.7706 73.7005 76.1081. Beta(3,2) 5.0035 8.2842 11.5375 15.2498 18.4776 21.8515 25.5045 28.7266 32.1537 35.6823 39.1877 42.4798 46.0516 49.0233 52.8233 56.3425 59.7091 63.2145 66.6959 70.0618 73.1979 76.5753 79.9759 83.8929 86.8056 90.5261 93.8755 96.9957 101.1855 103.8144 107.9886 111.2967 114.4198 117.7441 121.2781 124.7699. Beta(3,3) 180.3125 319.8471 411.3669 526.7513 637.5655 759.7591 886.9566 972.8154 1060.774 1172.046 1280.919 1363.118 1439.68 1483.542 1603.091 1641.862 1707.947 1794.412 1860.014 1873.479 1967.313 2014.199 2061.144 2123.897 2157.574 2207.049 2234.421 2216.109 2301.971 2315.958 2332.606 2331.292 2366.955 2333.543 2396.634 2394.805 35. Beta(2,3) 184.3015 211.2709 217.0764 216.8748 214.7779 211.4438 208.3564 204.6057 201.2125 197.6118 195.088 190.2699 187.5566 183.2318 180.1565 177.3172 173.5929 170.2867 166.7295 163.1231 159.7736 156.3728 152.7598 149.3525 146.1692 142.6508 138.785 136.1427 131.8018 128.2073 125.0758 121.6061 118.4889 114.7886 110.9406 107.725. Beta(1,3) 135.593 136.3318 134.4115 132.3252 130.2504 128.1467 126.3201 124.0601 122.0637 119.795 117.8662 115.6743 113.6164 111.5113 109.1784 107.2223 105.1063 102.9212 100.7224 98.7095 96.5861 94.5989 92.4471 90.4005 88.3166 86.3128 84.1359 82.0358 79.8468 77.6822 75.8923 73.5955 71.3944 69.4419 67.1696 65.1306. uniform 185.7869 317.0791 430.5564 552.4942 670.5594 798.1686 902.2981 1012.038 1071.853 1199.587 1270.092 1355.005 1486.08 1568.415 1623.881 1664.632 1787.097 1850.396 1905.596 2002.244 2023.779 2087.072 2132.031 2143.494 2202.633 2244.336 2280.125 2347.84 2387.121 2381.418 2391.437 2412.104 2454.929 2450.352 2449.169 2459.602.

(43) 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65. 78.1078 80.0623 82.1415 84.2802 86.4155 88.4069 90.3704 92.6086 94.5109 96.8082 98.9383 100.6985 102.9291 104.9258 107.0889 109.1558 111.2604 113.4775 115.2988 117.5313 119.5189 121.6093 123.4326 125.7872 127.8702 129.8617 131.8182 133.7293 134.5276. 128.3355 131.4538 135.3498 138.3091 141.8152 145.0424 148.3557 151.919 155.7997 158.6885 162.0521 165.6327 169.1571 172.1504 175.2372 179.0327 182.352 185.9548 189.3317 192.9857 195.6791 198.8116 203.2406 205.8612 209.4816 211.337 213.5076 210.7151 193.0658. 2358.249 104.4098 2351.234 100.6605 2306.715 97.5422 2288.097 93.6528 2317.528 90.6306 2257.72 87.0748 2267.53 83.3361 2218.134 80.2903 2172.059 76.2367 2133.831 72.7141 2117.097 69.2155 2023.482 65.8812 1978.133 62.3041 1920.154 58.929 1846.762 55.2657 1820.404 51.9124 1704.808 48.2845 1652.615 45.0079 1546.27 41.3603 1468.109 37.8668 1368.416 34.0731 1219.535 31.0518 1151.206 27.3145 1019.12 23.945 888.3129 20.1534 738.9128 16.608 620.4948 13.1995 446.6872 9.603 294.8881 6.1457. 36. 63.0472 60.9171 58.6251 56.7282 54.5682 52.5097 50.331 48.3238 46.0043 44.1103 41.8842 39.7505 37.7662 35.5115 33.5173 31.2601 29.1893 27.053 24.9659 22.7669 20.6828 18.5684 16.4353 14.2769 12.1765 10.1191 7.9119 5.7467 3.6641. 2426.542 2417.266 2432.37 2403.899 2358.658 2332.806 2314.562 2273.538 2248.373 2187.003 2178.715 2093.866 2084.278 2017.356 1927.679 1847.946 1759.81 1711.938 1609.169 1502.505 1386.755 1298.695 1167.023 1081.353 940.4222 768.4553 610.9491 513.36 310.1307.

(44) 附. 錄. 二、. (成功抵達目的地機率之模擬結果與賭徒破產理論值趨勢比較圖) ⎧ ⎛ q ⎞i ⎪ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ q ⎪ ⎝ p⎠ , if ≠1 N ⎪⎪ p ⎛ ⎞ q 賭突破產理論值： f i = ⎨1 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ p⎠ ⎪i ⎪ , if q = 1 ⎪⎩ N p 1. 1. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6 p=0.6875. p=0.875 0.4. 0.4. beta(1,3). 0.2. 0.2. 0. 0. 1. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. , N=66. 70. beta(2,3). 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 50. 60. 70. 1. p=0.3125 0.8. 0.8. beta(3,2). p=0.125. 0.6. 0.6. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. beta(3,1). 0. 10. 20. 30. 40. (註：其中實線代表步長固定且向上機率=p 的賭徒破產公式理論值。). 37.

(45) 附. 錄. 三、. (期望步數之模擬結果與賭徒破產理論值趨勢比較圖) 賭突破產理論值： E (Bi ) =. N × fi − i 2 p −1. ,N=66. 250. 250. 200. 200. beta(2,3). 150. beta(1,3). 150. 100. 100. 50. 50. 0. 0. 250. p=0.6875. p=0.875. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 0. 10. 40. 50. 60. 70. 40. 50. 60. 70. p=0.125. 200. beta(3,2). 30. 250. p=0.3125 200. 20. beta(3,1). 150. 150. 100. 100. 50. 50. 0. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 0. 10. 20. 30. (註：其中實線代表步長固定且向上機率=p 的賭徒破產公式理論值。). 38.

(46)