理論部份

2-2 轉軸公式

針方式旋轉所在位置緯度的角度，再繞z軸以順時針方式旋轉所在位置經

2-3 模擬球面上隨機漫步演算法

為模擬出球面上的隨機漫步，首先我們必須找出能使球面上任一點，

符合下列兩條件：

1.每次跨出的步伐等長。

2.下一步所跨的方向服從特定分配(ex:Uniform(0,2π ))。

而產生下一步所在位置的計算方法。在本篇論文中，我們透過轉軸公式及 截面圓性質，來達成此目標。

在此先說明我們如何決定每次跨出的步伐長。由於在球面上點到點移 動的距離並非兩點間的直線距離，而是球面上的圓弧長，所以弧長可為任 意常數；但為了因應2-4節的分析需要，本篇論文中弧長決定的方式是:由 赤道朝正北方向上移一緯度時的弧長。因此，我們利用弧長c與夾角θ的 關係：

圖2.2 弧長c與夾角θ的關係圖

360 2πrθ

c= ，得到當θ=1，r=100，c=1.745329252，所代表的意思也就是當我 們限定球半徑為100，則每一次所跨出的弧長長度皆為1.745329252。此 時，往北移動的垂直距離=s=rsin(1)=1.745240644 ；向內移動的水平距離

=r-d=r− rcos(1)=0.01523047。

決定了每步所跨的步伐長後，接下來我們將說明如何使下一步所跨的

α

0 cos

1″ = ″ + ×

s x

x (2.10) )

0 (

1 y r d

y″ = ″ − −

(2.11) α

0 sin

1″ = ″ + ×

s z

z (2.12) 但必須注意的是，此處的(x₁^″,y₁^″,z₁^″)是在旋轉後的座標系表示法，因此為 得到其在原始座標的位置，必須再將座標軸旋轉回原本的座標系，以得到 下一步所在位置的座標(x₁,y₁,z₁)。

根據上述方法，我們可寫出利用電腦模擬球面上隨機漫步的演算法：

1.起始位置經緯度(θ₀,φ₀)，利用式(2.4)、(2.5)、(2.6)可計算出其直角座標 上的位置(x₀,y₀,z₀)。

2.利用轉軸公式(2.9)，得到轉軸後的直角座標(x₀^″,y₀^″,z₀^″)=(0，r，0)。

3.隨機選取下一步方向：α角度，α∈指定分配。

4.利用式(2.10)、(2.11)、(2.12)找出下一步所在位置(x₁^″,y₁^″,z₁^″)。

5.再利用轉軸公式，旋轉反方向角度，將座標轉回原直角座標位置，得到 轉軸後的直角座標(x₁,y₁,z₁)。

6.最後利用式(2.7)、(2.8)求出所在位置的經緯度(θ₁,φ₁)。

7.判斷所在緯度φ₁是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈(66⁰33′)。

8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。

9.若未抵達停止範圍，則視(θ₁^,φ₁)為起始位置重複前述步驟。

2-4 模擬圓周上隨機漫步演算法

為確認此模擬方法是否正確可行，我們套用轉軸的方法於2維的圓 上，並製造特殊情況，使模擬的過程符合賭徒破產定理的條件，並據此將 模擬的結果與賭徒破產公式的理論值做比較。

我們採用的方法是，將球投影到平面上(不考慮經度，只考慮緯度)，

則此時球面上點的移動，等同於在球圓周上的移動；另外我們限制每步所 跨出的長度恰等於跨越一緯度，即：當球半徑為100，則每一次所跨出的 弧長長度皆為1.745329252。在此同時，依弧長所截切出的截面圓，將會 因投影效果，而變成一直線，α角度也只會有90度和270度兩種選擇。在 上述這些特殊情況成立下，將使每次皆跨行1緯度長度且下一步不是向上 就是向下的假設成立，則由i緯度出發到達緯度66度時停止的情況，即等 同於2.1的賭徒破產定理中，現有i元欲獲得66元的過程。此時，我們可利 用式(2.1)及(2.2)估計出成功到達的機率和停止的期望步數值，並與模擬出 的結果做比較，以確認此模擬方法的準確度。

而為了控制下一步向上或向下的機率，我們透過隨機選取一值p，p 服從uniform(0,1)分配來加以控制。若p≤0.7，則方向α=90，即：向上一緯 度；若p>0.7，則方向α=270，即：向下一緯度，即：每次出發，增加1緯 度的機率為0.7，減少1緯度的機率為0.3，N=66，則由式(2.1)及(2.2)可知理 論值為：

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

= ₆₆

7 1 3

7 1 3

i

fi

( )

0.4

a. 若向上一緯度(由 ⎜⎝⎛ ′ ′⎟⎠⎞

0 0 , z y

A 移動至A′⎜⎝⎛y₁′, z₁′⎟⎠⎞)

圖2.5 二維座標中向上移動圖示

( )

1) 0.0001523 cos

( ₀

0

1′ = ′− − = ′− ×

r y r

r y y

( )

^{1 0.01745}

sin ₀

0

1′ = ′+ = ′+ ×

r z r

z z

b. 同理，若向下一緯度

圖2.6 二維座標中向下移動圖示

( )

1) 0.0001523 cos

( ₀

0

1′ = ′− − = ′− ×

r y r

r y y

( )

1 0.01745 sin ₀

0

1′ = ′− = ′− ×

r z r

z z

接下來，只要再旋轉回原始座標系，則可得到下一步所在位置( )及其 緯度。

1 1, z y

根據上述方法，我們可寫出利用電腦模擬球面上隨機漫步的演算法：

(前提假設:球半徑r=100，每步所跨弧長=1.745329252) 1.起始位置緯度(φ0)，計算出其直角座標上的位置(y0, z0)。

2.利用轉軸公式，使點(y₀, z₀)能旋轉至y軸上做運算，並得到轉軸後的直角 座標(y₀^′, z₀^′)=(r,0)。

3.決定下一步方向：隨機選取ρ∈Uniform(0,1)，若ρ ≤0.7，即緯度增加1度;

若ρ >0.7，即緯度減少1度。

4.找出下一步所在位置(y₁^′, z₁^′)。

5.再利用轉軸公式，旋轉反方向角度，將座標轉回原直角座標位置，得到 轉軸後的直角座標(y₁, z₁)。

6.再利用直角座標(y₁, z₁)，逆推出所在位置的緯度(φ₁)。

7.判斷所在緯度φ₁是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈(66⁰33′)。

8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。

9.若未抵達停止範圍，則視(φ₁)為起始位置重複前述步驟。

在文檔中 球面上的隨機漫步 (頁 13-23)