模擬結果分析

3-1 模擬球面上的隨機漫步

首 先 ， 我 們 先 呈 現 當 決 定 下 一 步 所 跨 方 向 的 α 角 度 為 服 從 Uniform(0,2π )下的情況，模擬球面上隨機漫步的計算結果；值得注意的 是，由於α角度定義的方式，此時下一步的方向屬於向上的機率或向下的 機率相同。因此，我們期望觀察到近似於式(2.1)與式(2.3)的結果，即：成 功抵達目的地(北極圈)的機率與起始位置的緯度成正比關係；整個隨機漫 步所花費的時間與起始位置的緯度成二次曲線的關係，其中又以位於目標 緯度1/2的緯度為起始位置者所需花費的時間最多。接著在3-3節，我們再 利用不同的Beta分配來呈現不同的向上向下機率所模擬出的結果。

3-1-1 模擬步驟

1.依起始位置經緯度(θ₀,φ₀)，計算出直角座標上位置(x₀,y₀,z₀)。

2.利用轉軸公式，得到轉軸後的直角座標(x₀^″,y₀^″,z₀^″)=(0，r，0)。

3.隨機選取下一步方向：α角度，α∈Uniform(0,2π )。

4.找出下一步所在位置(x1^″,y1^″,z1^″)。

5.再利用轉軸公式，旋轉反方向角度，將座標轉回原直角座標位 置，得到轉軸後的直角座標(x₁,y₁,z₁)。

6.求出所在位置的經緯度(θ₁,φ₁)。

7.判斷所在緯度φ₁是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈 (66⁰33′)。

8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。

9.若未抵達停止範圍，則視(θ₁,φ₁)為起始位置重複1~7的步驟。

3-1-2 模擬結果

首先，我們列出在各個起始緯度(0~65度)範圍，各模擬10000 次，所得到成功抵達北極圈的機率數值於附錄一、表3.1，並繪出 模擬結果與現有i元欲獲得66元的賭徒破產理論值的散佈圖如圖 3.1，其中「成功」代表先抵達北極圈而非赤道的機率：

起始緯度對成功機率的散佈圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30 40 50 60 70 起始緯度

成功機率

模擬(uniform) 理論值(方向固定)

圖3.1 起始緯度對成功機率的散佈圖

由圖3.1可以看到，起始緯度與成功抵達北極圈的機率成正比，由 於此時下一步的方向屬於向上的機率或向下的機率相同，因此我 們發現這樣的關係其實與賭徒破產公式(2.1)出現的情況相似，即：

當q

p =1， ；圖3.1同時也顯示出電腦模擬的成功機率要比理論 值的機率來得低，推論原因主要是因為將賭徒破產定理的情況套 用在三維空間時，需建立在每一步都筆直地朝北或朝南跨相同的 距離，但電腦模擬的情況則是朝任一方向跨相同距離，造成每一 次朝北或朝南的垂直距離都不同，又因為轉軸的關係，使得緯度

i f_i ∝

越高，每次向北所能夠移動的最長距離都越短，因此比較起來，

電腦模擬的成功抵達北極圈機率會比公式估計的值要低應是可以 接受的結果。接下來，我們列出模擬的期望步數結果於附錄一、

表3.2，並繪出其散佈圖如圖3.2：

起始緯度對期望步數的散佈圖

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 10 20 30 40 50 60 70 起始緯度

期望步數

模擬(uniform) 理論值(方向固定)

圖3.2 起始緯度對期望步數的散佈圖

由圖3.2我們可以看出，起始緯度與停止的期望步數的散佈圖成二 次曲線的關係，其中又以位於目標緯度1/2的緯度為起始位置者所 需花費的時間最多，亦與賭徒破產理論的公式(2.3)出現的情況相 似。然而，圖3.2也顯示出電腦模擬的期望步數要比理論值的數值 來得高，推論原因同樣是電腦模擬造成每一次朝北或朝南的垂直 距離不同，又緯度越高向北所能夠移動的最長距離都越短，再加 上賭徒破產定理停止的位置是66度，而電腦模擬停止的位置則是

3 3

66⁰ ′。因此綜合上述原因，電腦模擬的期望步數比公式估計的值 要高且高出許多應是合理的結果。

3-2 圓周上隨機漫步結果與理論值比較

為了確認模擬方法的可行與否，我們套用轉軸的方法於2維的圓上，

使模擬的過程近似於賭徒破產定理的條件，並將模擬的結果與公式(2.1) 和(2.2)的理論值做比較。我們期望觀察到的結果是模擬出的數值，與公 式解的理論值之間的差值越小越好。

3-2-1 模擬步驟

1.起始位置緯度(φ₀)，計算其直角座標上的位置(y₀, z₀)。

2.利用轉軸公式，使點(y₀, z₀)旋轉至y軸上做運算，並得到轉軸後 的直角座標(y₀^′, z₀^′)=(r,0)。

3.決定下一步方向：隨機選取ρ∈Uniform(0,1)，若ρ ≤0.7，緯度增 加1度;若ρ >0.7，緯度減少1度。

4.找出下一步所在位置(y₁^′, z₁^′)。

5.將座標轉回原直角座標位置，得到轉軸後的直角座標(y₁, z₁)。

6.再利用直角座標(y₁, z₁)，逆推出所在位置的緯度(φ₁)。

7.判斷所在緯度φ₁是否已觸及停止的範圍：赤道(0)或北極圈 (66⁰33′)。

8.若已抵達停止範圍，則計算至停止為止的總步數。

9.若未抵達停止範圍，則視(φ₁)為起始位置重複1~7的步驟。

3-2-2 模擬結果

我們利用上述演算法，將緯度(0~65度)範圍，各模擬100000 次所得到的成功抵達北極圈機率數值與使用公式所估計出的理論

值列表比較於附錄一、表3.3。由表3.3可以看出，當我們套用此方 法於2維的圓上，使模擬的過程近似於賭徒破產定理的條件時，所 得到電腦模擬結果與理論值的結果相對誤差幾乎都小於0.01，屬於 可接受範圍。同樣地，我們列出電腦模擬的期望步數與理論值的 列表比較於附錄一、表3.4。由表3.4我們也可以看出，套用此方法 於電腦模擬出的結果與理論值相對誤差的值也大多小於0.01，因此 我們認定利用轉軸方式來模擬球面上隨機漫步的方法應該可行。

3-3 不同分配模擬結果比較

事實上，附錄一的表3.1及表3.2所顯示的結果，皆建立在下一步的方 向來自於Uniform分配的假設下，因此由下一步方向的選取方式可知，該條件 下任一點位置下一步往上(北)或往下(南)的機率相同。接下來，我們想嘗試讓 下一步的方向服從Beta分配，看看與服從Uniform分配的結果有何不同，並透 過控制Beta分配的偏態，來改變向上和向下的機率，並比較彼此的差異。

3-3-1 Beta分配簡介

已知Beta

(

α,β

)

的機率分配為﹝4﹞：

( )

( ) ( ) (

1

)

,0 1; , 0 )

( ¹ − ¹ < < >

Γ Γ

+

= Γ ^{− −} α β

β α

β

α α β

x x

x x

f

Beta(3,1) Beta(3,2) Beta(3,3)

Beta(2,3) Beta(1,3)

圖3.3 beta分配偏態圖示

由圖3.3，我們可以看出Beta分配的對稱與傾斜，可由α，β之間 的關係來控制：

1. α<β，為一右偏分配。

2. α=β，為一對稱分配。

3. α>β，為一左偏分配。

因為Beta

(

α,β

)

的x值介於(0,1)，因此模擬下一步方向時，需再乘上 π

2 ，才能得到所需的角度範圍，以做為下一步方向。另外，由於 當角度介於0~π範圍時，將導致下一步的方向往北移動；而π~2π 範圍時，則會令下一步的方向往南移動，因此利用各個beta分的累 積分配函數(F)，計算當x值≤0.5時的函數值，我們就可以得到對應 的向上機率分別為：

表3.5 不同beta分配對應的機率值

分配 期望值 偏態 F(0.5) 向上機率P 向下機率(1-P)

Beta(1,3) 0.25 右偏 0.875 0.875 0.125

Beta(2,3) 0.4 右偏 0.6875 0.6875 0.3125

Beta(3,3) 0.5 對稱 0.5 0.5 0.5

Beta(3,2) 0.6 左偏 0.3125 0.3125 0.6875

Beta(3,1) 0.75 左偏 0.125 0.125 0.875

由表3.5我們可以看出，由於Beta(3,3)的向上機率=0.5，於uniform 分配的情況相同，因此我們期望看到α角度服從Beta(3,3)分配時，

模擬出的結果近似於α角度服從uniform分配。此外由於Beta(1,3) 與Beta(2,3)分配，下一步向上的機率都大於0.5，因此模擬出的結 果應會發現各緯度成功抵達北極圈的機率皆很高，而停止步數的 期望值也不需太多；而且由於Beta(1,3)的向上機率大於Beta(2,3)，

因此Beta(1,3)各緯度成功抵達北極圈的機率應會大於Beta(2,3)，而 Beta(1,3) 停止步數的期望值應會少於Beta(2,3)。同理可推測，因 為Beta(3,2)與Beta(3,1)分配下一步向上的機率都小於0.5，因此模擬 出的結果應會發現各緯度成功抵達北極圈的機率皆不高，相較之 下返回赤道而停止步數的期望值也不會太多；而由於Beta(3,1)的向 上機率小於Beta(3,2)，因此Beta(3,1)各緯度成功抵達北極圈的機率 應 會 小 於 Beta(3,2) ， 且 Beta(3,1) 停 止 步 數 的 期 望 值 應 會 少 於 Beta(3,2)。

3-3-2 模擬結果比較

同樣地，利用前述的模擬方法，針對Beta分配不同的α、β值

，在緯度(0~65度)範圍，各模擬10000次，模擬出的機率數值於附 錄一表3.6，其中「成功」代表先抵達北極圈而非赤道的機率。由 表3.6可看出，當Beta分配為一對稱分配(Beta(3,3))時，模擬出的機 率與Uniform分配的結果相近，與原先所預期的結果相同，其散佈 圖如圖3.4：

起始緯度對成功機率的散佈圖

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30 40 50 60 70 起始緯度

成功機率

模擬(uniform) 模擬(beta(3,3)) 理論值(方向固定)

圖3.4成功抵達目的地機率：Beta分配與Uniform分配趨勢比較圖

而由表3.6可看出，當α角度服從Beta(3,3)分配時，成功抵達目的 地 的 機 率 要 比 服 從 Beta(3,2) 、 Beta(3,1) 分 配 來 得 高 ， 但 比 Beta(3,1)、(Beta(3,2)分配要低許多。推論原因應是當Beta分配為一 左偏分配：Beta(3,2)、Beta(3,1)時，期望值分別為0.75和0.6，乘以

π

2 後換算成角度發現約為270度和216度，使平均而言下一步都朝 所在緯度下方移動，因此向下移動的機率都大於0.5，不易向高緯 度前進的情況，而產生0~60的起始緯度能成功抵達目標緯度的機 率幾乎皆為零，即使能成功抵達，其機率值也都很小；而且在能 抵達的前提下，Beta(3,2)成功抵達目標緯度的機率都比Beta(3,1)要 高，符合原先預期的結果。相較之下，當Beta分配為一右偏分配：

Beta(1,3)、Beta(2,3)時，期望值分別為0.25和0.4，乘以2π 後換算成 角度發現約為90度和144度，使下一步方向平均來說都朝所在緯度 上方移動，因此向上移動的機率都大於0.5，而產生8~65的起始緯 度能成功抵達目標緯度的機率幾乎皆為1，其餘未能成功抵達的機 率值也都很小的結果；而且在未有百分之百成功機率抵達目的地

的情況下，Beta(1,3)成功抵達目標緯度的機率都比Beta(2,3)要高，

符合原先期待的結果。

此外，由3-1-1和3-1-2節的模擬結果分析，我們觀察到當下一 步向上向下的機率相同時，球面上隨機漫步的模擬數值和起始緯 度之間的關係，其實與賭徒破產定理公式的趨勢走向具有相似的 結果。因此，為了確認這樣的情形是否在下一步向上向下的機率 比值不同時，也可以得到相同的結論，我們嘗試計算依照賭徒破 產定理對應本節不同Beta分配的向上向下機率時成功抵達目的地 機率的理論值，與實際模擬的結果做比較(附錄二)，發現兩者間同 樣具有相同的趨勢，也就是當向上機率大於0.5時，成功抵達目的 地的機率都高，幾乎等於1；相對來說，當向上機率小於0.5時，成 功抵達目的地的機率則非常小，幾乎為零。

而針對Beta分配不同的α、β值，我們列出模擬的期望步數數 值於附錄一表3.7。由表3.7可看出，當Beta分配為一對稱分配：

Beta(3,3)時，模擬出的期望步數與Uniform分配的結果相近，與原 先所預期的結果相同，其散佈圖如圖3.5:

起始緯度對期望步數的散佈圖

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0 10 20 30 40 50 60 70

起始緯度

期望步數

模擬(uniform) 模擬(beta(3,3)) 理論值(方向固定)

圖3.5期望步數：Beta分配與Uniform分配趨勢比較圖

在文檔中 球面上的隨機漫步 (頁 23-34)