1-1 研究動機
關於隨機漫步的方法，主要可依下一步所跨方向和步伐長度的選擇加
以分類，步伐長度可為固定或任意步長；方向亦可分為限定方向或者隨機 方向。其中最簡單的方法就是固定步長和限定方向條件下的簡單隨機漫步 (simple random walk)。若建立在一維空間上，可將其視為一個粒子在水平 直線上左右移動，每步的距離皆為一個單位長；向右的機率為p，向左的 機率為=1-p，屬於布朗運動離散化的情形，常用於幫助了解布朗運動。若 擴展到二維空間，同樣限制在固定步伐和限定方向條件下(fixed random walk﹝3﹞)，則可假定粒子在格子點上運動，方向可為上、下、左、右，
機率各為1/4，且每步的距離皆為一個單位長；相同的方法亦可擴展到三維 的空間中，方向則為上、下、前、後、左、右，機率各為1/6。
圖1.1 fixed random walk (2-D and 3-D)
我們想進一步了解的是，隨機漫步在沒有限制方向和步長的情況下，
是以什麼樣的情況進行，由相關研究可知，目前已有許多關於在多維空間
內隨機漫步的方法，但是我們發現大部分的研究都專注於在空間內部的隨 機漫步，因此本篇論文希望能找出一個簡單的方法，模擬出三維空間中在 球表面上的隨機漫步過程。
1-2 相關研究
關於不限制方向和步長(floating random walk﹝3﹞)，但存在停止範圍 的隨機漫步，常用的模擬方法為Muller在1956年提出的Walk on spheres method﹝7﹞，在二維空間中，以起始位置 為圓心，自 到停止範圍最 短的距離為半徑畫圓，再從圓上隨機選取一點作為下一個起始位置 ，重 複畫圓的步驟，直到所選取的下一個起始位置 恰好位於停止範圍才結 束，所得到的 位置即為一組隨機漫步過程，如圖1.2。
x0 x0
x1
xn
xn
x1,L,
圖1.2 floating random walk (Walk on spheres method)
同樣的方法亦可拓展到三維空間。不過值得注意的是，由於WOS method中使用ε −shell以保證隨機漫步會在有限步數內停止，但因ε −shell 的設定會使計算的結果產生誤差，因此Given等人於1997年提出了Green＇s function first-passage algorithm﹝5﹞，以改善ε −shell在誤差上的問題；近
來有研究﹝6﹞指出在WOS與GFFP皆可使用的情況下，GFFP有較高的準 確性。
可想而知，若將前述資料的方法應用到三維空間的球上，皆可模擬出 在球內部隨機漫步的過程，但我們較感興趣的是如何在球表面進行隨機漫 步，關於球面上的隨機漫步Roberts & Ursell﹝8﹞在1960年曾計算出，
球面上若已知起始位置的機率密度分配，當每一步跨出的步長為固定或服 從某分配，且下一步方向為隨機選取條件下，t步後該移動點(moving point) 的機率密度函數。作為延伸，我們提出一個簡單的方法，模擬出三維空間 中球面上的隨機漫步，同樣限定每一步所跨步伐相同且下一步的方向為隨 機選取，在上述條件限制下，將使隨機漫步每次向目的地接近或遠離的距 離皆不相同，而且越高緯度，每一步所能向北移動的最長垂直距離都越 短，因而產生越往北越難向上爬升的情況。與Roberts & Ursell論文最大 不同的地方在於其隨機漫步並沒有停止範圍且主要目的是求出各移動點 的機率密度函數，但我們則是希望結合賭徒破產定理，利用電腦模擬出球 面上隨機漫步的運行，並找出成功抵達目的地的機率和平均花費的時間，
再和一維空間中的賭徒破產理論值比較，觀察兩者間的差異性和相關性。
透過本篇論文所提出的模擬方法，我們將計算自球面(以地球的北半球為例) 上的非特定位置出發，以隨機漫步的方式行進，最後能抵達目的地(以北極 圈為例)的機率和整個過程所花費的時間。
1-3 模擬流程
在此我們先約略介紹整個模擬的流程和結果，稍後於第三章再將完整 的模擬過程和詳細結果呈現。本篇文章所提出的方法，主要是以賭徒破產 理論為基礎，並以三維空間中的轉軸(rotation)公式和截面圓性質為輔
助，模擬出球面上隨機漫步的進行。基本假設為自球面上(以北半球為例) 的任一點出發，觸及赤道或北極圈範圍(北緯66033′)就停止漫步，並設定每 一步所跨步伐等長(在球面上即指弧長等長)，但下一步的方向服從某分配 (ex: uniform distribution)，這將造成每次向目的地接近或遠離的距離皆不相 同，且越往高緯度靠近，每一步所能向北靠近的最長距離越短。
模擬的步驟是先將所在經緯度位置轉換為三維空間的直角座標表示 法，並利用轉軸公式旋轉，使得該點落在直角座標上的xyz軸的某一軸上(本 篇論文以y軸為例)，接著依固定弧長的條件下找出截面圓，再透過指定的 分配產生0~2π範圍內的角度，作為下一步將跨到該截面圓上的位置；最後 將所計算出的位置，旋轉回原座標系，並轉換為經緯度，以測定是否符合 停止的條件。而一次球面上的完整隨機漫步過程，就是自球面上的任意點 出發，重複上述步驟，直到符合停止條件，整個漫步過程才宣告結束。
因此，為了計算自起始位置出發最後能抵達目的地(例如：北極圈)的 機率和整個隨機漫步所花費的時間，我們重複模擬同一位置出發的隨機漫 步過程10000次，並記錄這一10000次中，成功抵達北極圈的次數和所跨的 總步數，以及先觸及赤道而停止所跨的步數。由10000次中成功抵達北極 圈的次數，我們得到成功抵達目的地(北極圈)的機率；而將10000次中，成 功抵達北極圈或先抵達赤道而停止的步數加以平均，就可以得到整個隨機 漫步所花費的時間。
為了確認此模擬方法是否正確可行，我們套用類似的方法於2維的圓 上，並控制使每次跨的弧長恰等於一個緯度，且方向不是向上就是向下，
在這樣的條件限制情況下，該圓周上的隨機漫步即等同於賭徒破產定理的 過程。因此，我們可利用公式估計出成功到達的機率和停止的期望步數 值，再將此理論值與模擬出的結果做比較，以確認此模擬方法的準確度，
由相對誤差的結果顯示與理論值相去不遠，因此我們認定這個模擬方法可 行。
最後分析球面上隨機漫步模擬出的結果，我們發現當下一步的方向服 從uniform distribution(可將其視為向上向下的機率相同的情況)，其數值表 現近似於賭徒破產定理公式的結果，即：成功抵達目的地(北極圈)的機率 與起始位置的緯度成正比關係；整個隨機漫步所花費的時間與起始位置的 緯度成二次曲線關係，其中以位於目標緯度1/2的緯度為起始位置者所需花 費的時間最多。而為了得到不同的向上和向下的機率的結果，我們藉由控 制Beta分配的偏態來達到此目的，詳細的結果將於第三章的末節呈現。
1-4 論文架構
在本篇論文中，我們假設自球面上的任一點出發，每一步所跨出的步 伐皆等長，但選擇的方向服從某分配(ex: uniform distribution)，透過結合座 標軸旋轉及截面圓性質…等數學方法，利用電腦模擬方式，呈現出球面上 隨機漫步的情況，並依此估計最後抵達目的地的機率和所花費的時間。在 第二章我們將介紹模擬過程中所需用到的理論方法。在第三章則將詳述模 擬的步驟並呈現模擬的結果，並在第四章做出結論。