非彈性階段
P-
∆
效應對高層鋼構架耐震能力之影響
李文海
童士恒
國立高雄大學土木與環境工程學系
關鍵詞：非彈性、
P-∆效應、耐震能力、容量震譜摘
要
傳統鋼柱於承受地震側力作用下之穩定性分析，係依據彈性穩定分析理論所推導之挫屈載重 公式，配合非彈性穩定分析及試驗結果所得之鋼柱強度理論或經驗公式進行檢核。然而於強烈地 震作用下，鋼結構之樑柱端點可能已經受力產生塑性鉸，即整體構架已進入非彈性階段，此時由 彈性分析推導所得之穩定分析挫屈載重公式可能已不再適用，且構件端點產生塑性鉸後，即構架 進入非彈性階段後之穩定行為宜另行加以考慮。本文將鋼結構在非彈性階段常見之塑性鉸分布狀 況歸納為五種主要子結構穩定分析型式，並再細分為二十二種子結構穩定分析模式，透過合理之 基本假設加以簡化後，利用撓曲曲線微分方程式配合邊界條件之討論，推導前十三不同子結構之 鋼柱於非彈性階段之穩定分析特徵方程式，計算鋼柱於非彈性階段之有效長度係數及臨界載重 值，並藉以探討結構系統非彈性階段之穩定分析對高層鋼結構耐震能力之影響。研究結果顯示， 鋼柱在端點產生塑性鉸後之臨界載重值將可能較彈性階段之挫屈載重值低，亦即鋼柱可能在結構 產生塑性鉸後即較預期提前發生不穩定，故高層鋼構架耐震能力將較預期降低。因此，傳統僅考 慮鋼柱彈性穩定分析之高層鋼構架將可能不完全保守，為確保高層鋼結構架於強烈地震作用時之 穩定性，以維持足夠之耐震能力，鋼柱之非彈性階段穩定分析宜同時被考慮並重視。二、非彈性階段穩定分析模式及基本假設
本節針對鋼結構系統進入非彈性階段後，由單一鋼柱或由鋼梁及鋼柱組成之多種子結構其穩 定分析模式進行一系列之探討，首先針對鋼結構在利用非線性側推（Pushover）分析計算耐震能 力過程中常見之塑性鉸分布狀況歸納五種鋼柱之穩定分析子結構模式，即單層單柱穩定分析模式 (Mode1 Series)、單層邊柱及邊梁穩定分析模式(Mode2 Series)、單層內柱及內梁穩定分析模式 (Mode3 Series)、雙層邊柱及邊梁穩定分析模式(Mode4 Series)與雙層內柱及內梁穩定分析模式 (Mode5 Series)（如圖 2.1），再依據塑性鉸之分布狀況將前述五種子結構模式細分為二十二種穩 定分析模式，本文針對前十三種穩定分析模式進行分析探討。Mode1 Series Mode2 Series Mode5 Series Mode4 Series Mode3 Series Mode7 Series Mode6 Series Lc1 Lc2 Lc2 Lc2 Lc2 Lc3 Lc3 Lc3 Lc3 Lc3 Lc3 Lc3 Lb2 Lb2 Lb2 Lb1 Lb1 Lb1 Lb1 Lb2 Lb2 Lb2 圖2.1 非彈性階段各種穩定模式示意圖 在分析前先透過2.1 節所述之基本假設以簡化問題，再利用鋼柱在承受軸力與撓曲作用下之 撓曲曲線微分方程式，即Euler-Bernoulli 梁柱理論公式，配合柱頂與柱底等位置之變形諧合及應 力平衡等邊界條件進行穩定分析。本文將分別針對前十三種模式推導其撓曲曲線控制微分方程 式，配合變形諧合及應力平衡等邊界條件進行分析並推導各種穩定分析模式之鋼柱臨界之特徵方 程式，其後以數值方法解出特徵值並計算鋼柱在結構進入非彈性階段後之有效長度係數K及臨 界載重Pcr值。在分析單層鋼柱穩定模式時特別針對五種不同之柱長及五種不同之鋼柱斷面撓曲 勁度EI值進行各別比較分析以求得一般化之結果，並藉以瞭解前揭參數對鋼柱在構架非彈性階 段臨界載重值與有效長度係數值之影響情形。
2.1 非彈性穩定分析基本假設
就整體結構系統而言，構架中塑性鉸之發生先後順序與位置分佈假設滿足下列原則[3]： (1)除部份因結構配置原因而循弱軸彎曲之鋼柱外，其餘構件因採行強柱弱梁原則設計，故梁端 之塑性鉸將先於柱端之塑性鉸發生，已發生塑性鉸之斷面其彎矩維持M 。 p (2)一般情形下，柱底由垂直力與地震側向力等外力共同作用時所引致之彎矩將大於柱頂所承受 之彎矩，故假設柱底之塑性鉸將先於柱頂之塑性鉸發生。 (3)較低樓層之鋼柱底部或柱尺寸改變之樓層其柱底將較其他樓層之鋼柱先產生塑性鉸。 本文假設塑性鉸發生前斷面為全部彈性，塑性鉸發生後成為完全塑性。另塑性鉸之長度集中於端 點，主要依據相當塑鉸長度A 之建議p [3]：( )
− − − = 2 z 2 3 z 0 2 0 0 p A A A A (2.1) 其中A0為柱之反曲點至塑性鉸端之長度，z 為塑性鉸已進入塑性之區域，經由計算，可得(
0.32~0.66)
d = A (2.2)δi L A B B' EI Mode 1-04 δi L A B B' EI Mode 1-03 δi L A B B' 1 EI Mode 1-02 2 2 1 1 2 δi L A B B' 1 EI Mode 1-01 δi Lc A B B' 2 (EI)c Mode 2-01 3 (EI)b C1 Lb δi Lc A B B' 2 (EI)c Mode 2-02 3 (EI)b C Lb 1 δi Lc A B B' (EI)c Mode 2-03 3 (EI)b C Lb 1 2 δi Lc A B B' (EI)c Mode 2-04 C (EI)b Lb 1 2 3 因Ap遠小於柱長，故簡化為集中塑性鉸。
2.2 非彈性階段穩定分析子結構模式
本文歸納鋼結構系統進入非彈性階段後，由單一鋼柱或由鋼梁及鋼柱組成之十三種鋼柱之 穩定分析子結構進行分析探討。在分析時，單層鋼柱穩定模式依所分析之柱位不同區分為單層 單柱穩定分析模式（如圖2.2）、單層邊柱邊梁穩定分析模式（如圖 2.3）及單層內柱內梁穩定分 析模式（如圖2.4）等三種主要子結構系統， 圖2.2 單層單柱穩定分析模式示意圖 再考慮鋼梁及鋼柱端點塑性鉸及破壞鉸發生之各種可能性與先後順序歸納組成十三種可能 之穩定分析模式。 圖2.3 單層邊柱邊梁穩定分析模式示意圖δi Lc A B B' 3 (EI)c Mode 3-02 4 (EI)b1C Lb1 2 Lb2 (EI)b2 D 1 δi Lc A B B' 3 (EI)c Mode 3-03 4 (EI)b1C Lb1 Lb2 (EI)b2 D 1 2 δi Lc A B B' (EI)c Mode 3-04 4 (EI)b1C Lb1 Lb2 (EI)b2 D 1 2 3 δi Lc A B B' 3 (EI)c Mode 3-01 4 (EI)b1C1 Lb1 2 Lb2 (EI)b2 D δi L A B B' 1 EI L A EI P Mp V x y δi B P Mba B' V A EI P Mp V x y B P M= -EIy'' V 圖2.4 單層內柱內梁穩定分析模式示意圖 本文分別針對前揭十三種可能之穩定分析模式推導其撓曲曲線控制微分方程式，配合變形 諧合及應力平衡等邊界條件推導各種穩定分析模式之鋼柱臨界之特徵方程式，其後以數值方法 解出特徵值並計算鋼柱在結構進入非彈性階段後之有效長度係數K 及臨界載重P 值。 cr
三、鋼結構梁柱非彈性階段之穩定分析
3.1 單層單柱穩定分析模式
由於鋼構架於垂直力及地震側力聯合作用下，其最大軸力及彎矩多半發生於第一樓層之梁柱 構件，因此，初始降伏大多因為第一樓層之梁柱產生塑性鉸開始，故本文先探討第一樓層之單柱 穩定模式。依2.1 節之假設，就單柱而言，柱底之斷面將首先產生塑性鉸，此時柱頂及其他斷面 仍保持線性彈性，形成Mode 1-01 之穩定模式。其次載重持續增加，柱底之彎矩維持M ，經由p 彎矩重分配，則柱頂之彎矩逐漸增加，直至柱頂亦產生塑性鉸，形成Mode 1-02 之穩定分析模式。 由於地震側力之持續放大，使得整體結構之側向位移持續增加，基層柱之側移亦隨之增加，當柱 底之轉角超過塑性轉角容量θ ，則形成破壞鉸，單柱下端形成破壞鉸而上端保持塑性鉸之模式p 定義為Mode 1-03，當側移繼續增加，柱頂之轉角亦超過塑性轉角容量θ 時，則柱頂亦形成破壞p 鉸，此時柱頂及柱底皆為破壞鉸，定義為Mode 1-04，以下逐一詳細探討： 圖3.1 Mode 1-01 分析模式示意圖由撓曲曲線控制方程式： M y EI ′′=− (3.3) 則 Vx M py y EI ′′+ = p − (3.4) 由靜力平衡，得 L p M M V= p− ba− δ (3.5) 其中M 為柱頂之彈性彎矩 ba 取 EI p k2 =
(3.6) 解得
( )
x EIL k p x EIL k M x EIL k M EI k M kx sin C kx cos C x y 2 2 ba 2 p 2 p 2 1 δ + + − + + = (3.7) 由柱底之位移為0 之邊界條件，即( )
0 0 y = (3.8) 解得 EI k M C1 =− 2 p 另由柱底剪力邊界條件，即( )
0 V y EI ′′′ =− (3.9) 解得 EIL k p M M C p 3 ba 2 δ − − = 則( )
sinkx EIL k p M M kx cos k EI M x y p 3 ba 2 p − − δ + − = x EIL k p x EIL k M x EIL k M EI k M 2 2 ba 2 p 2 p − + + δ + (3.10) 由柱頂變形之邊界條件，即( )
L =δ y (3.11) 導得 + − coskL EIk M 2 p kL sin L EIk p M M 3 ba p − − δ 0 EI k M 2 ba = + (3.12) 針對鋼柱仍維持彈性之部分導入傾角變位公式，即 2 M L 5 . 1 L EI 2 Mba + p − δ = (3.13) 將(3.13)式代入(3.12)式，得+ − coskL EIk M 2 p kL sin kL L k 3 L EIk 2 M 3 3 3 p δ − δ + 0 EI k 2 M L k 3 2 p 2 2 + = δ − (3.14) 此為Mode 1-01 之臨界穩定控制方程式，其中 k 為 L , EI ,Mp,δ 之函數，可將此方程式視為 k 之 特徵方程式，將L, EI ,M 及p δ 代入相關數據後可利用數值分析方法解出 k 值，並進一步計算鋼 柱在Mode 1-01 狀態下之有效長度係數 K 值及臨界載重P 值。依類似程序可推導前述十三種穩cr 定模式之特徵方程式一覽表詳如表3.1。
四、非彈性階段穩定分析模式數值計算與結果分析
4.1 單層單柱穩定模式
（1）Mode 1-01 穩定模式分析 就單柱而言，當柱底之斷面首先產生塑性鉸，且柱頂斷面仍保持線性彈性以形成Mode 1-01 之穩定模式，其特徵值k 之特徵方程式經由推導如(3.14)式所示，其中 k 為 L , EI ,Mp,δ 之函數， 設定前揭參數值如表4.1，並代入(3.14)式後利用數值分析方法可解得k
值，則鋼柱在結構系統進 入非彈性階段後之臨界載重Pcr= k2EI。而鋼柱之非彈性階段有效長度係數 K 值可依下式計算： kL P P K cr e = π = (4.1) 其次計算Mode 1-01 在彈性階段之有效長度係數 K 值，採用下列公式： (4.2) 則該模式在彈性階段之臨界載重可依下式計算： 2 2 cr ) KL ( EI P = π 為探討各參數對於非彈性階段有效長度係數K 值及臨界載重P 值之影響情形，特別針對五cr 種不同之柱長及五種不同之鋼柱斷面進行各別分析並比較以求得一般化之結果，並藉以瞭解前揭 參數對鋼柱在構架非彈性階段臨界載重之影響情形。設定柱長為5m、6m、7m、8m、9m 等五種 不同之柱長進行分析，柱斷面設定為 H700×
300×
13×
24，至於樑長則固定為 8m，斷面設定為 H488×
300×
11×
18，以計算探討在固定柱斷面設定下，鋼柱長度對於非彈性階段有效長度係數 K 值及臨界載重P 值之影響情形。其計算結果如 k 值、K 值及cr P 值等詳如表cr 4.3 所示。另取柱斷 面為 H600×
200×
11×
17、H588×
300×
12×
20、H700×
300×
13×
24、H800×
300×
14×
26 及 H900×
300×
16×
28 等五種常用斷面，柱長設定為 5m 進行分析，以計算探討在固定柱長設定下， 鋼柱斷面對於非彈性階段有效長度係數K 值及臨界載重P 值之影響情形，其計算結果如cr K 值及 cr P 值等詳如表4.4 所示。 2 for 1 9 . 0 K 2 for 1 20 20 K m m m m m > ϕ ϕ + = ≤ ϕ ϕ + ϕ − =mode1-01彈性與非彈性Pcr值比較 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 4 5 6 7 8 9 10 柱長(m) Pcr (t f) This study Euler Inelastic mode1-01彈性與非彈性Pcr值比較 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 H600 H588 H700 H800 H900 Section Type Pcr (tf) This study Euler Inelastic 圖4.1Mode1-01 彈性與非彈性 Pcr比較 分析結果顯示如圖4.1，Mode 1-01 在柱斷面設定為 H700
×
300×
13×
24 之前題下，其弱軸非 彈性階段鋼柱之臨界強度較彈性挫屈載重低，在柱長6m 至 9m 之範圍內，非彈性階段鋼柱之臨 界強度亦較傳統非彈性挫屈載重值為低。另柱長愈長，其弱軸非彈性階段鋼柱之臨界強度愈低， 此與彈性挫屈載重隨柱長增加而降低之現象一致。其次，如圖 4.2，柱斷面尺寸愈大，其弱軸非 彈性階段鋼柱之臨界強度愈高。就非彈性階段有效長度係數K 值而言，非彈性階段鋼柱之有效 長度係數K 值均較彈性階段之有效長度係數 K 值為高，且柱長愈長， K 值愈低。最後，柱斷面 尺寸對非彈性階段有效長度係數K 值之影響程度不大，亦即柱斷面尺寸之改變，鋼柱非彈性階 段有效長度係數K 值變化不大。 圖4.2 Mode1-01 不同斷面之 Pcr值比較五、非彈性階段穩定耐震能力評估實例分析
本文為探討高層鋼結構於非彈性階段之穩定性對耐震能力之影響，分別考慮傳統穩定分析與 同時考慮非彈性階段穩定分析之耐震能力進行分析比較，耐震能力評估之方法主要採用容量震譜 法[4][5]進行比較。十八層具偏心斜撐構架為6 跨之偏心斜撐鋼構架，其立面詳如圖 5.1 所示，其 樓層高度共90 公尺，各層樓高均設定為 5 公尺。梁跨度於邊跨為 5 公尺，內跨為 8 公尺，除最 外跨之鋼柱因配置需要為循弱軸抗彎外，餘皆為強軸抗彎，基礎則簡化模擬為固接。 於進行容量震譜耐震能力評估時，採用第二類地盤，C 設定為a 0.33g，C 為v 0.495g，重要 因子I 值取為 1.0，於構架進入非彈性階段後，檢核各鋼柱於側推分析過程之軸力是否到達極限2F 3F 4F 5F 6F 7F 8F 9F 10F 11F 12F 13F 14F 15F 16F 17F 18F BASE R F A B C D E F G Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc1 Lc2 Lb1 Lb2 Lb2 Lb2 Lb2 Lb1 With-brace 18stories 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Displacement(m) Bas e Sh ear(kN ) Elastic Inelastic 軸力強度，其極限軸力強度計算之依據則考慮傳統之彈性與非彈性強度與本文所討論之各種非彈 性穩定子結構模式。 圖5.1 十八層具斜撐構架立面圖 十八層具偏心斜撐構架未考慮非彈性穩定子結構模式時之分析結果，其構架首次降伏之基底 剪力為3318.54 kN，頂層側向位移為 0.1498 m，極限基底剪力為 11502.26 kN，頂層側向位移為 0.5927 m，容量曲線如圖 5.2 所示，容量震譜與需求震譜分析結果如圖 5.3 所示，功能績效點為 （0.241g，0.156 m）。 圖5.2 十八層具斜撐鋼構架容量曲線圖 （考慮與未考慮非彈性階段穩定比較） 十八層具偏心斜撐構架考慮非彈性穩定子結構模式時之分析結果，其構架首次降伏之基底剪力 為 3318.54 kN，頂層側向位移為 0.1498m，極限基底剪力為 10042.26 kN，頂層側向位移為 0.4852m，容量曲線如圖 5.2 所示。
圖5.3 十八層鋼構架容量震譜曲線圖
六、結論及建議
6.1 結論
依據本文所擬定之假設條件，經詳細研究而分析推導十三種鋼柱穩定模式配置於多層鋼構 架非彈性階段穩定子結構，進而應用於鋼構架耐震能力評估之結果，可獲致下列初步結論： 一、經研究分析十三種鋼柱於多層鋼構架非彈性階段穩定子結構模式之結果，鋼柱於非彈性階段 之臨界載重Pcr理論值，大多較相同鋼柱於構架彈性階段之挫屈載重Pcr理論值為低。 二、鋼柱於多層鋼構架非彈性階段之有效長度係數 K 值，大多較相同鋼柱於該鋼構架彈性階段 之有效長度係數K 值為高。 三、就本研究所探討之十八層具偏心斜撐構架而論，其容量曲線於考慮非彈性階段穩定行為時， 其極限基底剪力與極限頂層側移數值明顯較僅考慮彈性穩定降低。就容量震譜評估結果而 言，考慮非彈性階段穩定行為與僅考慮彈性穩定行為二者之功能績效點未有顯著差異。 四、為確保高層鋼構架於非彈性階段之穩定性，以確保能達到預期之耐震能力，鋼柱於構架非彈 性階段之穩定分析宜同時受重視並予以考慮。參考文獻
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