第五章 面積、勾股定理

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一、面積

5.1 面積概念與公理

在小學裡我們學習過一些面積的計算。在日常生活與生產 中,會經常遇到面積的問題,例如,計算土地的面積、住房的面 積、各種物體的表面積等。這些問題都與各種多邊形的面積有 關,因此,我們須要進一步研究多邊形的面積。 多邊形的面積,就是它所圍的平面部分之大小。大小是用數 來表示的,要表示一個多邊形的面積,與度量線段時一樣,必須 取一個單位,然後看這個多邊形所圍平面部分是單位的多少倍, 這個倍數就是面積的數值。面積的單 位,通常是取邊長為單位長度的正方 形。例如,邊長為 1 cm、1 m 的正方 形,圖 5-1 表示一個直角梯形所圍平 面部分是單位的 24 倍,因而這個梯 形的面積就是 24 個面積單位。 很明顯,圖形的面積有下面之性質: (1) 兩個圖形全等,它們的面積相等; (2) 一個圖形的面積,等於它的各部分面積之總和。 我們必須注意,兩個面積相等的圖形,它們不一定全等。例 如圖 5-2 中的矩形與平行四邊形,都是由兩個全等的直角三角形 組成的,顯然它們的面積相等,但它們並不全等。 圖形的面積用 S 表示,例如圖形 F 的面積,記作S圖形F 。 圖 5-1 1 1 C B D A 圖 5-3 E P H G F 圖 5-2

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【例】 已知: 如圖 5-3,

ABCD中,EF // AD 、GH // AB , EF 與 GH 交 BD 上一點 P。 求證: SAEPG = SPHCF 證明: ∵ BD 是

ABCD的對角線 ∴ △ABD ≅△CDB 同理△EBP ≅△HPB、△GPD ≅ △FDPSABD = SCDBSEBP = SHPBSGPD = SFDP

又 ∵ SAEPG = SABDSEBPSGPD SPHCF = SCDBSHPBSFDPSAEPG = SPHCF 多邊形面積的計算,都是以矩形的面積為基礎的。為了計算 各種多邊形的面積,我們先觀察矩形的面積。 當矩形的長與寬都是整數時,容易看出,它的面積等於長與 寬之積。例如圖 5-4 中的矩形,它的長、寬分別是 5 單位、3 單 位,面積等於 5 3 15× = 平方單位。 當矩形的長與寬是分數時,它的面積也等於長與寬之積。例 如,圖 5-5 中的矩形(陰影部分),它的長、寬分別是 2 3 單位、 3 4 單 位,面積等於2 3 6 3× =4 12平方單位,即單位面積的 1 2 。 5 圖 5-4 圖 5-5 3 1 1 2 3 3 4

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對於長與寬為任意實數的矩形,也有長、寬相乘等於面積這 樣的事實,我們把這個事實當作公理。 公理 矩形的面積等於它的長 a 與寬 b 之積。 從這個公理可以直接得出下面的推論: 推論 正方形的面積等於它的邊長 a 之平方。

練 習

1. 正方形的對角線長是 10 cm,求連結這個正方形各邊中點所 成正方形的面積。 2. 如圖,用邊長為 20 cm、10 cm 的兩 種 正 方 形 磁 磚 與 長 寬 分 別 為 20 cm、10 cm 的矩形磁磚鑲嵌地板,鑲 嵌 1 m2各需多少塊磁磚? 3. 矩形的長寬分別是 10 cm 與 6 cm, 求連結這個矩形各邊中點所成菱形 的面積。

5.2 平行四邊形、三角形、梯形的面積

1. 平行四邊形的面積 已知

ABCD ,從一個頂點 B 作邊 CD 的垂線 BE,垂足為 E,以 AB、BE 為鄰邊作矩形 ABEF (圖 5-6)。 = i S矩形 a b = 2 S正方形 a (第 2 題) 圖 5-6 A D C B E F

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∵ △ADF ≅△BCE (為什麼?) ∴ SABCD = S矩形ABEFSABCD = AB BE i 我們把平行四邊形的一條邊叫做它的底,這條邊與對邊的距 離叫做它這個底上的高。於是得到下面的定理: 定理 平行四邊形的面積等於它的底 a 與高 h 之積。 推論 等底等高的平行四邊形之面積相等。 例如,在圖 5-7 中,SABCD = SABEF 2. 三角形的面積

已知△ABC,CH 是高。以 AB、AC 為鄰邊作

ABCD,BC

是對角線(圖 5-8)。 ∵ △ABC ≅△DCB ∴ 1 2 = ABC ABCD S S ∵ △ABC 與

ABCD的底與高相同,由平行四邊形面積定 理,得 1 1 2 2 = = i ABC ABCD S S AB CH 由此我們得到下面定理: 定理 三角形的面積等於它的底 a 與高 h 之積的一半。 S平行四邊形 = a hi 圖 5-7 A D C B E F 圖 5-10 A D C B H 1 2 S三角形 = a hi

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推論 1 等底等高的三角形之面積相等。

例如,在圖 5-9 中, AB//EC ,有SABC = SABD = SABE

如圖 5-10,菱形 ABCD 被對角線 AC、BD 分成四個全等的直 角三角形。它們的底與高都分別是兩條對角線之一半,利用三角 形的面積可得: 推論 2 菱形的面積等於它的兩條對角線之積的一半。 3. 梯形的面積 已知梯形 ABCD,高為 DH(圖 5-11)。 作 對 角 線 BD 把 梯 形 分 為 兩 個 三 角 形 ABD、BCD。顯然,這兩個三角形的高都 等於 DH。於是由三角形面積定理得 定理 梯形的面積等於它的兩底 a、b 的和與高 h 之積的一半。 推論 梯形面積等於它的中位線長與高之積。 由於任意多邊形都可以看作是若干個平行四邊形、三角形、 梯形組成的,而平行四邊形、三角形、梯形的面積都可以計算, 所以任何多邊形的面積,都可以變為這些圖形的面積和或差來計 算。 圖 5-9 A D C B E 圖 5-10 A D C B O 圖 5-11 A D C B H 1 ( ) 2 S梯形 = a+b h

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【例 1】如圖 5-12,有一塊土地 ABCD,頂點 B、C 到一條長邊 AD 的垂線段為 BN、CQ,已測得 BN、CQ、AQ、ND 的長。將這塊土地的面積用這些條件表示出來。

在多邊形 ABCD 中,垂線段 BN、CQ 將多邊形 ABCD 分為三角形與梯形,所以 1 1 1 ( ) 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 ( ) 2 = + + = + + + = + + + = + i i i i i i i ABN BCQN CDQ ABCD S S S S AN BN BN CQ NQ QD CQ BN AN NQ CQ NQ QD BN AQ CQ ND △ 梯形 △ 多邊形 【例 2】 將四邊形 ABCD 變為面積相等的三角形。 已知: 四邊形 ABCD (圖 5-13)。 求作: 一個三角形與四邊形 ABCD 面積相等。 分析: 從點 D 引對角線把四邊形分成兩個三角形,如 果能把其中一個三角形變為與它面積相等的三角形,並 且有一邊在另一個三角形的一邊之延長線上,問題就解 決了。 作法: 1. 連結對角線 DB。 2. 過頂點 C 作CC 平行於 DB,與 AB 的延 ′ 長線交於點C 。 ′ 3. 連結DC 。 ′ △ADC′就是所求的三角形。 圖 5-12 A D C B Q N 圖 5-13 A D C B C

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證明: 根據等底等高的三角形面積相等,按作法

CC′//BD SBDC = SBDC

(等底等高的三角形之面積相等)

S四邊形ABCD = SABD +SBDC

S四邊形ABCD = SABD +SBDC = SADC

練 習

1. 求證:平行四邊形的兩條對角線把它分成四個面積相等的三

角形。

2. △ABE 與矩形 ABCD 有公共邊 AB,頂點 E 在矩形的邊 CD

或其延長線上。求證: 1 2 = ABE ABCD S S矩形 。 3. 一個等腰梯形的下底長 18 cm、高 4 3 cm、腰長 8 cm,腰與 下底成 60°角,求它的面積。 4. 連結三角形各邊中點所成的三角形之面積,是原三角形面積 的幾分之幾?

習 題 十 七

1. 一塊地的面積是 10 公頃,分別用下列面積單位表示出這塊地 的面積。(註:1 公頃 = 100 公畝 = 10000 m2 (1) m2; (2) km2。 2. 有長為 5.4 m、寬為 4.2 m 的一間房子。窗戶長為 1.2 m、寬 為 1.6 m。如果照明標準是進光面積為室內地面面積的 20%, 問窗戶是否合乎標準? 3. 平行四邊形的底增為原來之 2 倍,高變為原來的 1 2 ,它的面 積有何變化?為什麼?

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4. 正方形的邊長為 12 cm,與它面積相等的矩形之其中一邊長 為 18 cm,求矩形的另一邊長。 5. 一條路穿過矩形地面 ABCD,已知 AB = 125 m、BC = 72.5 m、AL = CK = 114.6 m,計算這塊地內路面 BKDL 的面積。 6. 順次連結任意四邊形各邊中點所成 的四邊形之面積,是原四邊形面積 的幾分之幾? 7. 平行四邊形內任意一點與它的各頂點連線,將四邊形分成四 個三角形。求證:相對兩個三角形面積的和等於另兩個三角 形面積的和。 8. 一個菱形的兩條對角線長之比是 2:3,面積是 12 cm2,求對 角線長。

9. E、F 分別是

ABCD的邊 AD、AB

上的點。求證:△EBC 與△FCD 的 面積相等。 10. 在梯形 ABCD 中,已知 AD//BC , AC 與 BD 交於點 O。求證:△OAB 與△OCD 的面積相等。 11. 把一個梯形變為一個與它等高、等面積的三角形,並使三角 形的一條邊與梯形之底在同一直線上。 12. 河流的一個橫斷面如圖,根據下表中的測量數據計算它的面 積。 離 河 一 岸 的距離(m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 水深(m) 0.00 0.65 0.90 1.50 1.85 2.40 2.35 1.75 1.25 0.60 0.00 (第 5 題) A D C B K L (第 9 題) A D C B E F

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13. 學校的平面圖如圖,計算教室與禮堂佔地約各佔總面積的幾 分之幾 (圖中長度是原長的 1 10000)。

二、勾股定理

5.3 勾股定理

如圖 5-14,我們把兩個全等的正方形,用對角線分成四個全 等的等腰直角三角形,然後把它們拼成一個正方形。這個正方形 的邊,恰好是以前兩個正方形的邊為腰之等腰直角三角形的斜 邊。因此,等腰直角三角形兩腰上的正方形面積之和,等於斜邊 上正方形的面積。我們可以證明,對於一般的直角三角形也有這 種關係(圖 5-15)。由於正方形的面積等於它的一邊之平方,這種 關係可寫成下面定理: (第 12 題) 0 10 m (第 13 題) 教 室 禮堂

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定理 直角三角形兩直角邊 a、b 的平方和,等於斜邊 c 的平方。 已知: Rt△ABC 中,AB = c 、BC = a 、CA=b(圖 5-16 甲) 求證: 2 + 2 = 2 a b c 證明: 如圖 5-16 乙那樣,取四個與 Rt△ABC 全等的三角 形,放在邊長為a+b 的正方形內,得到邊長分別為 a、b 的正方形 I、II。 再將同樣的四個直角三角形,如圖 5-16 丙那樣放在 邊長為a+b 的正方形內,這時,得到的四邊形 III 也是正方形,並且邊長等於△ABC 的斜邊。 圖 5-14 a c C b 圖 5-15 A B 2 2 2 a +b =c A a C B b c a b c a b a b a b 甲 乙 丙 I II III

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比較乙、丙兩個圖形,正方形 I、II 的面積之和a2 +b2 與正方形 III 的面積c 都是同一正方形面積與2 4 倍 △ABC 面積的差,所以 2 + 2 = 2 a b c 。 這個定理的逆命題也成立: 逆定理 如果三角形的三邊長 a、b、c 有下面關係: 2 2 2 a +b = c 那麼這個三角形是直角三角形。 已知: 在△ABC 中, AB = c 、BC = a 、CA=b ,並且 a2 +b2 = c (圖 5-17) 2 求證: ∠ = ∠C Rt 證明: 作△A B C′ ′ ′,使∠ = ∠CRtB C′ ′ = a 、C A′ ′ =b , 那麼 A B′ ′ = +2 a2 b 。 2 ∵ a2 +b2 = c 2 ∴ A B′ ′ =2 c 2 ∵ 邊長是正值 ∴ A B′ ′ =c 在△ABC 與A B C′ ′ ′中 ∵ BC = =a B C 、′ ′ CA= =b C A 、′ ′ AB = =c A B ′ ′ ∴ △ABC ≅ △A B C′ ′ ′ ∴ ∠ = ∠ = ∠C CRt C a B A b c 圖 5-17 a b c CBA

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例如,32 +42 =52、52 +122 =132、…,所以,邊長分別是 3、 4、5;5、12、13;…的三角形都是直角三角形。 在我國古代,一部數學書《周髀算經》中有用邊長為 3、4、 5 的直角三角形來進行測量的記載,並把直角三角形的兩直角邊 分別叫做勾與股,斜邊叫做弦。因此,我們把上面兩個定理分別 叫做勾股定理與它的逆定理。勾股定理是數學中最常用的定理之 一。在外國是古希臘人畢達哥拉斯首先發現這個定理的,所以外 國把它叫做畢達哥拉斯定理。

練 習

1. 在 Rt△ABC 中,∠ = ∠C Rt 。 (1) 已知a = 6、b=8,求 c; (2) 已知a =40、c = 41,求 b。 2. 在邊長為 (1) a =8、b=15、c =17;(2) a = 7 、b = 24 、 25 = c 的三角形是不是直角三角形?若是直角三角形,那個 角是直角? 3. 正三角形的邊長為 10 cm,求這個三角形的面積。

5.4 勾股定理的例題

【例 1】 求圖 5-18 所示矩形零件上兩孔中心 A 與 B 的距離(精確 到 0.1 mm)。 21mm A C B 21 mm 40 mm 60 mm

(14)

∵ △ABC 是直角三角形,根據勾股定理,得 2 = 2 + 2 AB AC BC ∴ = 2 + 2 AB AC BC AC = 40 21 19− = 、 BC = 60 21− =39 ∴ AB = 192 +392 = 1882 ≈ 43.4mm 答:兩孔中心的距離約為 43.4 mm。 【例 2】 從直角三角形的直角頂點到斜邊上之垂線,將斜邊上的 正方形分成兩個矩形。求證:這兩個矩形的面積分別等 於兩個直角邊上的正方形之面積。 已知: 如圖 5-19,Rt△ABC 中,∠ = °C 90 ,四邊形 ADEB、BKJC、CGFA 分別是△ABC 三邊上的 正方形。CIAB ,垂足為 H,交 DE 於 I。

求證: S正方形CGFA = S矩形ADIHS正方形BKJC = S矩形HIEB

證明: 連結 BF、CD。

∵ △ABF ≅△ADC (SAS) SABF = SADC 圖 5-19 E A D C B J I H G F K

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又 ∵ S正方形CGFA = 2SABF S正方形ADIH = 2SADC (等底等高) ∴ S正方形CGFA = S矩形ADIH 同理可得,S正方形BKJC = S矩形HIEB 。 古代希臘數學家歐幾里得曾把畢達哥拉斯定理編寫在他所 著的《幾何原本》一書中,用上面的方法證明了這個定理。 【例 3】 作長為 2 、 3 、…、 7 的各線段。 分析: 由勾股定理,直角邊長為 1 的直角三角形,斜邊長就等於 2 直角邊長為 2、1 的直角三角形之 斜邊長就是 3。以此類推,由此得 到作法。 作法: 1. 作直角邊長為 1 的等 腰 直 角三 角 形 ACB1 (圖 5-20)。 2. 以斜邊 AB 為一直角1 邊,作另一直角邊長 為 1 的直角三角形 AB B 。 1 2 3. 順次這樣作下去,最後作到直角三角形 AB B 。這時斜邊5 6 AB 、1 AB 、…、2 AB 的6 長度就是 2 、 3 、…、 7 。 證明: 根據勾股定理,在RtACB1中, AB12 = AC2 +B C1 2 = + =12 12 2 ∵ AB1 >0 ∴ AB1 = 2 其他同理可證。 圖 5-20 1 A 1 C 1 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B

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練 習

1. 已知 CD 是 Rt△ABC 斜邊 AB 上的高,BD =1、∠ = °A 30 。 求△ABC 的面積。 2. 證明:在四邊形 ABCD 中,如果對角線 ACBD ,那麼 2 + 2 = 2 + 2 AB CD AD BC 。

習 題 十 八

1. (1) 直角三角形 ABC 中,∠ = ∠C Rtb = 2.5、c =6.5, 求 a; (2) △ABC 中,a =n2 −1(n>1)、b = 2n 、c = n2 +1。 求證:∠ = ∠C Rt 2. 隔湖有兩點 A、B,從與 BA 方向成直角的 BC 方向上的點 C, 測得CA=50m、CB = 40m,求 AB。 3. 在地面上確定直角,可以用如圖所示的方法:取一條長 12 m 的測繩,在地面上距離為 4 m 的兩點 A、C 打兩個木樁,把 測繩套在木樁上,把剩下的 8 m 測繩分成 5 m 與 3 m 兩段, 拉緊分點就可以在地面上確定點 B,這時ACB 就是直角。 說明這種確定直角方法的根據。 4. 如圖,車床齒輪箱殼要鑽兩個圓孔,兩孔中心的距離 AB 是 134 mm,兩孔中心的水平距離 BC 是 77 mm,計算兩孔中心 的垂直距離 AC (精確到 0.1 mm)。 (第 2 題) A B C A C B 3 m 4 m 5 m (第 3 題)

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5. 某人修建一個育苗棚(如圖),棚寬a =3m、高b=1.5m、長 10 = d m。求覆蓋在頂面上的塑料薄膜需要多少 m2 (精確到 0.1 m2)? 6. (1) 正方形的邊長是 a,求對角線長; (2) 正方形的對角線長是 b,求一邊長。 7. 求高等於 h 的等邊三角形之邊長。 8. 在△ABC 中,∠ = °C 90 、 AC =2.1cm、BC = 2.8cm。 求 (1) △ABC 的面積; (2) 斜邊 AB; (3) 高 CD。 9. 一艘輪船以每小時 16 km 的速度離開港口向東南方向航行。 另一艘輪船在同時同地以每小時 12 km 的速度向西南方向航 行。它們離開港口一個半小時後相距多遠? 10. 在△ABC 中,∠ = °C 90 、∠ = °A 30 、 AB =10,求 AC。 11. 在一個銳角等於 30°的直角三角形中,30°角所對的直角邊之 長是 a,求斜邊的長與另一條直角邊的長。 12. 如圖,在邊長為 c 的正方形中,有四個斜邊為 c 的全等直角 三角形,已知它們的直角邊長為 a、b。利用這個圖證明勾股 (第 12 題) a c c b D A (第 14 題) n m E B F C a b (第 4 題) A B x C 77 134 (第 5 題) a d b

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定理。(這個圖叫做勾股方圓圖,我國古代數學家趙爽在他所 著的《勾股方圓圖注》中,用這個圖證明了勾股定理。) 13. 已知: △ABC 中,CD 是高。 求證: 2 2 2 2 ( ) − = − = − CA CB DA DB AB DA DB 。 14. 已知: 如圖,平行四邊形的鄰邊長為 a、b,對角線長為 m、n。 求證: 2 2 2 2 2( ) + = + m n a b 。 15. 一個等腰三角形的周長是 16 cm,底邊上的高是 4 cm,求這 個三角形各邊的長。

小 結

一、本章主要內容是研究多邊形的面積與直角三角形的勾股 定理之理論與應用等問題。面積與勾股定理是平面幾何中的兩個 重要內容。 二、面積是日常生活與科學記數中最常用的概念,我們從多 邊形的面積概念出發,以矩形的面積等於它的長與寬之積為基 礎,推算出平行四邊形、三角形、梯形的面積公式: 1 2 1 ( ) 2 S ah S ah S a b h = = = + ▱ △ 梯形 有了這些面積公式,就可以求任意多邊形的面積。 三、勾股定理是數學中最有用的定理之一,我們在多邊形面 積的基礎上,證明了勾股定理與它的逆定理: 2 2 2 RtABCa +b = c 這個定理在我們將要學習的三角函數、立體幾何、解析幾何 中,都有廣泛的應用。

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複習參考題五

1. 已知: △ABC 的中線 AD、BE 交於點 G。 求證: SABG = S四邊形CEGD。 2. 求證:梯形面積等於一腰與另一腰中點到這個腰的距離之積 3. 把一個已知梯形改成與它面積相等的 等腰梯形,使它兩底的大小不變。 4. 圖 中 兩 塊 土 地 之 間 有 一 條 小 路 CFG,用作圖方法把它改成經過點 C 的直路。使路兩旁的土地面積不變。 5. 三邊長為2n2 +2n、 2n+1、2n2 +2n+1(n> 0)的三角形是不 是直角三角形?為什麼? 6. 一個直角三角形的三邊為三個連續整數,求它各邊的長。 7. 一個等腰三角形底邊與腰的長分別為 12 cm 與 10 cm。有一矩 形,它的周長與面積與這個等腰三角形的周長與面積分別相 等。求矩形的長與寬。 8. (1) 已知: △ABC 的 A: B: C∠ =1:2:3。 求證: 2 2 3 b = a 。 (2) 已知: △ABC 的 A: B: C∠ =1:1:2 求證: 2 2 2 c = a 。 9. 已知: 在△ABC 中, C∠ = ∠Rt ,CD 是高。 求證: 2 2 2 2 2CD + AD +BD = AB

10.已知: 在△ABC 中, AB > AC ,AD 是中線,AE 是高。

求證: 2 2 2 ABAC = BC DEi 。 11.已知菱形的周長是 52 cm,一條對角線長是 24 cm,求其面積。 12.求證:菱形的對角線之平方和等於一邊平方的 4 倍。 13.用一條 36 cm 長的鐵絲彎成一個直角三角形的模型,要使它 的一條直角邊比另一條直角邊短 3 cm。應該怎樣彎? (第 4 題) A B D C F E G

數據

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參考文獻

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