2016 中學中級卷 參考解法

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中 級 卷

1-10 3 1. 20× 16 (A) 320 (B) 140 (C) 2016 (D) 32 (E) 800 20× 16 = 320 : (A). 2. 中 (A) 1 20 (B) 1 10 (C) 1 2 (D) 1 60 (E) 1 40 1 2 1 4 1 5 1 2+ 1 4+ 1 5 = 10 + 5 + 4 20 = 19 20 1− 19 20 = 1 20 : (A). 3. 11 15 2 09 (A) 135 (B) 174 (C) 164 (D) 294 (E) 186 11 15 2 09 45 + 120 + 9 = 174 : (B). 4. ( 初級卷 10 ) 720163 2016 (A) 0 1 (B) 1 10 (C) 10 100 (D) 100 1000 (E) 1000 720163 2016 ≈ 720000 2000 = 720 2 = 360 100 < 720163 2016 < 1000

201600 < 720163 < 2016000 100 < 720163 2016 < 1000 : (D). 5. (1÷ 2) ÷ (3 ÷ 4) (A) 2 3 (B) 3 2 (C) 3 8 (D) 1 6 (E) 1 24 1 2 ÷ 3 4 = 1 2 × 4 3 = 4 6 = 2 3 : (A). 6. 0.75% 6 (A) 800 (B) 300 (C) 1200 (D) 400 (E) 100 1 x 3 4 × 1 100× x = 6 x 400 = 2 x = 800 : (A). 2 0.25% 6 2 1% 8 100% 800 : (A). 7. ( 初級卷 16 ) 中 A B C D E 1 2 3 4 5 A× B + C × D + E. (A) 24 (B) 27 (C) 26 (D) 51 (E) 25 X≥ 2 Y ≥ 2 X× Y + 1 1× X + Y = X + Y A× B + C × D + E 中 E = 1 • 2 × 3 + 4 × 5 + 1 = 27 • 2 × 4 + 3 × 5 + 1 = 24 • 2 × 5 + 3 × 4 + 1 = 23 27 : (B).

8. ( 高級卷 4 ) 中 1 P. 1 Q. 1 R. 1 S. 1 (A) P (B) Q (C) R (D) S (E) P Q R S 4√2 8 2√2 4 Q : (B). 9. 9 3 12 8 (A) 45◦ (B) 60◦ (C) 50◦ (D) 30◦ (E) 22.5◦ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 10 2 9 3 2 6 12 8 6 10 60◦ : (B). 2 1 7 12 8 9 3 1 7 9 3 2 12 × 360 ◦ _{= 60}◦ : (B). 10. 3 4 5 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12 4 + 5 = 9 4 5 10 : (C).

11-20 4 11. ( 高級卷 7 ) 中 x (A) 120 (B) 108 (C) 105 (D) 135 (E) 112.5 x◦ x◦ x◦ x◦ 1 360 = 90 + 4× (180 − x) 180− x = 270₄ = 67.5 x = 180− 67.5 = 112.5 : (E). 2 3× 180 = 90 + 4x x = 450 4 = 112.5 : (E). 12. ( 高級卷 8 ) 中 AB (A) 20 (B) 28 (C) 10 + 9√2 (D) 8 + 9√2 (E) 16 4 3 4 4 5 5 3 A B C A B ABC 16 12 x x2 _{= 16}2_{+ 12}2 _{= 400 x = 20} : (A). 13. 1 m 小 2 m 小 m2 (A) 2π (B) π− 1 (C) 2 (D) 2π− 1 (E) π 1 2 1 2π× 2 2 _{= 2π} 小 π 2π− π = π

: (E). 14. 4n+1_{= 2}10 _n (A) 9 (B) 8 (C) 4 (D) 10 (E) 2 210_{= (2}2₎5 _{= 4}5 ₄n+1 _{= 4}5 _{n + 1 = 5 n = 4} : (C). 15. ( 初級卷 15 ) A B C 3 2 1 A 8 B 11 C 5 A (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 6 8 + 11 + 5 = 24 4 B 11 B 3 1 C 5 C 中 6 C 1 A 2 : (C). 16. 2016 N 小 N (A) 14 (B) 2 (C) 56 (D) 12 (E) 7 N 小 2016 N 2016 2016 = 25 × 32× 7 = 2 × 7 × (22× 3)2 122 2016 N = 14 : (A). 17. 中 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 T L L T L T L T T L L

T L T L L 3 2 : (C). 18. 6 cm 高 11 cm 45◦ (A) 48π mL (B) 45π mL (C) 66π mL (D) 72π mL (E) 63π mL 5 6 3 高 5 cm 高 6 cm V = π× 32 × 5 + 1 2 × π × 3 2_{× 6 = 45π + 27π = 72π} 1 cm3 = 1 mL 72π mL : (D). 19. ( 高級卷 15 ) 20 中 8 9 10 (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 m 20 10 10≤ m ≤ 20 8 + 8 + 9 + 7m 10 = 25 + 7m 10 25 + 7m 10 m 5 m 15 25 + 7× 15 10 = 13 : (D).

20. 30 15 15 32 40 100 (A) 160 (B) 250 (C) 107 (D) 93 (E) 371 2 30 32 15 40 100 100× 30 = 3000 15 3000÷ 15 = 200 32 200 200× 32 = 6400 6400÷ 40 = 160 : (A). 21-25 5 21. 6 m 8 m m (A) 2√2− 1 (B) 2 (C) 4 (D) 3 (E) 2√2 1 a + b = 8 a + c = 6 b + c = √62_{+ 8}2 _{= 10} 2a + 2b + 2c = 24 a + b + c = 12 a a b b c c a = 2 b = 6 c = 4 a = 2 : (B).

2 6 8 10 1 2 × 6 × 8 = 24 m 2 4r 3r 5r r r r 8 10 6 12r = 24 r = 2 : (B). 22. 10 • P Q R • Q R S • R S T • S T P • T P Q Q (A) 63 (B) 39 (C) 32 (D) 45 (E) 36 1 P Q R S T 0 1 2 3 4 5 m m + 1 m + 2 5 (a1, a2, . . . , a10) (d1, d2, . . . , d9) = (a2 − a1, a3− a2, . . . , a10− a9) (mod 5). 1 2 Q d1 + d2 + d3 5 d4+ d5+ d6+ d7+ d8+ d9 5 d1 d2 d3 中 2 1 3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 中 2 1 (6 4 ) = 15 (d1, d2, . . . , d9) 3× 15 = 45 (a1, a2, . . . , a10) : (D).

2 Q Q Q P > >> Q > > > R > > > S > >> T > >> > >> 中 中 +1 +2 5 中 Q Q 3 1 + 2 + 2 2 + 1 + 2 2 + 2 + 1 QRT QST QSP 中 Q Q 6 12 10 112222 121222 122122 122212 122221 211222 212122 212212 212221 221122 221212 221221 222112 222121 222211 15 (6 2 ) = 15 3× 15 = 45 : (D). 23. 小 5 30 小 5 00 小 小 中 5 30 中 小 10 小 小 (A) 20 (B) 30 (C) 25 (D) 10 (E) 15 10 小 10÷ 2 = 5 小 5 25 小 5 30 小 5 00 25 : (C).

24. ( 國小高年級卷 29 初級卷 27 ) 中 (A) 35 (B) 5 (C) 20 (D) 56 (E) 10 (i) 5 (ii) 5× 4 = 20 (iii) 5× 4 × 3 6 = 10 5 + 20 + 10 = 35 : (A). : (iii) 中 5 4 3 5× 4 × 3 = 60

xyz 6 xyz xzy yxz yzx zxy zyx

60÷ 6 = 10 ₍ n 中 m n m ) 25. 級 1 4 5 10 · · · 1 級 中 2016 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9 級 1 x 1 x (1 + x) 2(1 + x) 4(1 + x) 8(1 + x) · · · 中 2 2k_{(1 + x) 中 k≥ 0 2016 = 2}5_{× 63 中 k} 6 k = 5 4 3 2 1 0 x 6 x = 62 125 251 503 1007 2015 x = 2016 7 級 : (D). 26-30 000-999

26 6 27 7 28 8 29 9 30 10 26. ABC 2016 cm2 _AI IF IE EH HD DG 7 小 BIE BG cm B C A I F E H D G 小 2016 7 = 288 cm 2 _{= 2× 12}2 BIE 8× 122 ₌ 1 2 × 48 2 _{BE = BI = 48 cm} BHD BHE 2 3 BD = 2 3BE BH = 32 cm BDG 1 2 × BG × BD = 1 2 × BG × 32 = 288 cm 2 _{BG =} 288 16 = 18 cm : (018). 27. 2016 cm2 cm 小 cm 小 x 小 y x y = x2− 4y2 = (x + 2y)(x− 2y) = 2016 = 4x − 2y

小 x 小 y 小 2016 42 48 y 36 56 y = 56−36₄ = 5 x + 2y = 56 x− 2y = 36 2x = 92 小 184 : (184). 28. 小 82 83 85 89 90 92 95 97 98 小 小 小 中 0.5 小 10 0.5 5 小 5 小 89 92 92 中 小 85 91 ( 85 91 ) 中 中 85 90 89.5 90 86, 87, 88, 89 91, 92, 93, 94 89.5 90 90 95 90 91 91 96 90.5 91 中 0.5 小 90 + 96 = 186 : (186). 29. ( 高級卷 26 ) 高中 3 5 小 小 r c rc 3r 5c 3r + 5c rc− 3r − 5c = 0 (r− 5)(c − 3) = 15 (r− 5, c − 3) (1, 15) (3, 5) (5, 3) (15, 1) 15 r≤ 0 c≤ 0 (r, c) (6, 18) (8, 8) (10, 6) (20, 4) rc 108 64 60 80

r = 6 c = 18 r = 8 c = 8 r = 10 c = 6 r = 20 c = 4 小 108 + 64 + 60 + 80 = 312 : (312). 30. ( 高級卷 29 ) 64 64× 63 ÷ 2 = 2016 中 中 1 64 中 31 64 31 64 + 30 + 2× 31 = 156 n 中 n Mn Mn ≥ n + n₂ − 2 + 2 × (n₂ − 1) = 5₂n− 4 n Mn = 5 2n− 4 n = 4 Mn = 6 = 5₂ × 4 − 4 P Q (i) P Q R P R QR (ii) P Q R S P R P S QR QS RS.

P Q

P R Q (i) (ii) P S R Q

(ii) 4 (i) (ii)

(ii) (ii) 6 + 5× 1 2(n− 4) = 5 2 n− 4 (i) (ii) n = 4 n n 中 n (i) (ii) X V Y U P P 5 中 XY U V XY P XU Y V XY U V XU Y V 中 ( ) _P 5 XU Y V ̸= P XU Y V P XU XU P P 4 4 (i) (ii) n (ii) Mn= 5 2n− 4 M64 = 160− 4 = 156 : (156). 2 1 64 + 30 + 2× 31 = 156 64 A B C D X 中 AC BD X AC BD ABCD AB BC CD DA ABCD f + v = e + 2 中 64 64 q t • v = 64 + q 64

• f = 1 + t + 4q 64 t • e 中 2e = 64 + 3 (t + 4q) • c = e− 2q = 32 + 3 2t + 4q f + v = e + 2 0 = (f + v)− (e + 2) = (65 + t + 5q) − (34 +3 2t + 6q) = 31− 1 2t− q c = 32 + 3 2t + 4(31− 1 2t) = 156− 1 2t 156 q = 31 t = 0 : (156). 3 1 64 + 30 + 2× 31 = 156 中 中 64 64 中 64 64 中 4 4 P P P P 中 中 A B C X P P BC AX 中 A B C P X P P ABC AB AC 中 P AB AB P AB AB BC BC AX AB 中 中 64 64 62 64 + 61 = 125 中 31 125 + 31 = 156 64 62 31 156 : (156).