行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
總體衝擊下的流動性供給：一個動態金融中介模型
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC94-2415-H-004-010- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 國立政治大學金融系 計畫主持人： 江永裕 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 95 年 10 月 31 日
總體衝擊、 跨世代金融中介與流動性供給
江永裕
·葉又菁
∗ 2006.10.31 本文以具有總體衝擊的疊代經濟體系為架構,引入跨世代營運的金融中介,研 究中介流動性供給的角色。 當投資報酬面臨無法透過分散投資計畫規避產出 波動的風險時,經濟體系的資源規劃者必須保留部分資源從事安全性投資技 術;並且利用新世代的資源建立資源共享機制、 促進流動性供給。 而若資源 的配置由具有投資機會的新世代各自進行,跨世代金融中介可利用股權形式 的金融契約,依產出高低配置股利,吸引新存款加入,進而改善既存中年世代 的風險配置效率。 新世代年輕個體參與跨世代金融中介可與中年世代共享經 濟繁榮的好處,提升事前期望效用;並且延續中介既有的經營策略,繼續從事 跨世代金融中介業務。 關鍵詞:總體衝擊,金融中介,流動性供給 JEL分類代號: G2 1前言
金融中介流動性提供的角色,以同世代三期模型為架構的研究已相當豐富,而不同世代多期模型的討論,則由Qi (1994) 首先延伸 Diamond and Dybvig (1983), 探
討中介在疊代經濟體系所提供的個人流動性風險保障功能。Qi (1994)認為金融中
介可建立一個跨世代的資源共享機制– 吸收當期新生代的資源(new deposit) 進
行充分投資(full investment)、 並以當期產出移轉給當期中老年世代
(intergenera-tional transfer)。 參與者不需受限於個人消費型態不確定的因素(個人流動性衝擊, idiosyncratic liquidity shocks), 在年輕時期減少高報酬卻缺乏流動性的投資計畫;
而是由中介進行同一時點不同世代之間的消費投資配置。 經濟個體可獲得最大的 消費配置與充分的保障(complete insurance against the random liquidity shocks)。
∗國立政治大學金融學系教授與國立政治大學金融學系博士班學生。 聯繫作者:葉又菁,國立政治
大學金融學系,台北市116文山區指南路二段64號。 電話: (02) 2939-3091分機81001; E-mail: [email protected]。
與單一世代的風險分攤機制所不同的是,在疊代架構且投資報酬為確定已知的情況 下,經營跨世代資源配置的中介機構必須以年輕世代的新資源來支應部分既存中老 年世代的提款。 新存款是金融中介處理不同世代資源共享、 流動性提供的重要支柱。 然而若投 資計畫的產出存有不確定性、 且無法藉由分散投資計畫規避產出波動的風險時,中 介面對具有投資機會的新世代參與者,是否仍能提供足夠誘因吸引新生代經濟個體 的參與,以獲取新資源的挹注,維持流動性供給的能力?我們知道,經濟體系的產出 狀態受總體環境的影響而波動,在天然災變或景氣蕭條時期,所有投資計畫無可避 免地受到負面衝擊而呈現低產出狀態;而在景氣繁榮或政治安定時期,所有投資案 則均可獲得高產出的報酬。 此種產出變動的總體衝擊,不僅無法透過多樣化投資的 手段規避風險,更使得經濟個體的福利在產出高低變化之間遭受損失。 為消彌總體
風險的負面效果, Allen and Gale (1997) 建構 「跨時消費平滑機制(intertemporal
smoothing scheme)」 使各世代平均期望效用達到最大。 但是若每個世代皆各自有 投資機會進行資源配置,對於每期的年輕世代而言,不必然願意減少自己的投資,將 資源提供給同時點的中老年世代;而每期的中老年世代,也不必然願意將產出與年 輕世代分享。 因此, 不論是 「跨代資源共享機制」 或是 「跨時消費平滑機制」 的運 作,都必須面對新世代存款挹注與中介流動性供給的問題。 本文的目的即在探討– 當經濟體系面臨投資產出不確定的總體衝擊時,中介機制如何扮演流動性提供的角 色。 對於金融中介流動性提供的討論,多數為假設投資產出固定、 著眼於同世代三
期模型的研究,如 Diamond and Dybvig (1983), Jacklin (1987), Diamond (1997)
等。Gorton and Pennacchi (1990) 與Allen and Gale (1998)是少數此類研究中假
設投資報酬具有不確定性,處理同世代的流動性問題。Qi (1994)首先展開多期疊
代模型的討論, 認為跨代銀行, 與同代銀行、 自給自足的經濟環境相比較, 更有助
於經濟個體獲得流動性衝擊的保障。Fulghieri and Rovelli (1998)在Qi (1994)的
環境下,建構跨代資本市場,發現跨代銀行所提供的存款契約都將優於跨代資本市
場。 Bhattacharya and Padilla (1996) 認為最適的資源配置可由跨代銀行提供(跨
代銀行必須具有區分存款戶年齡的能力)存款契約達成;而 Fulghieri and Rovelli
(1998)提出的跨代資本市場,若以稅賦補貼的政策(對同一時點的老年人的產出課
稅,以補貼當期新生代與中年人的投資)予以干預,亦能達成最適的資源配置。 唯此
一政府干預的條件是政府必須能握有充分訊息,亦即必須要能區分市場參與者的年
齡。 Qian et al. (2004)納入Diamond (1997)市場交易限制,認為具有期初資本的
若跨代金融市場存在交易限制,則跨代銀行不論是否具有期初資本,都能提供更高 的流動性。 上述以多期疊代模型為架構的研究,共同特色是金融中介在 「面臨個別的流動 性風險,且伴隨著長期投資產出固定卻缺乏流動性」 的情況下,扮演流動性提供的 角色,以達到消費與投資的最適配置。 跨代銀行的最適資源配置係以當期產出支應 當期存款、 當期新存款全數投入長期投資;因此充分投資使每期產出達到最高、 亦 使經濟個體獲得最高(且穩定)的消費配置。 具有流動性而報酬較低的短期投資,在 長期投資產出固定的情況下,顯然不具有任何吸引力。 值得注意的是,正由於長期 投資產出水準固定, 中介在參與者期望效用最大化的目標下, 規劃 「同一時點 (不 同世代)的中、 老年消費配置」 即等同規劃 「代表性經濟個體(不同時點)的中、 老 年消費」。 但若長期投資的產出水準每期波動,上述資源配置方式將可能造成經濟 個體的中、 老年消費水準因產出波動而有改變、 終生消費產生不確定性。Allen and Gale (1997)認為一個永續經營的金融中介能夠以跨代移轉支付(intergenerational transfer)與資產累積(asset accumulation) 的手段,處理上述總體經濟波動對經濟
個體終生消費的影響。 然而,其文中所設定的總體衝擊是來自風險性資產每期產出
的變動,風險性資產的數目為固定,並不涉及投資決策的分析。
本文利用Allen and Gale (1998)設定總體經濟領先指標的概念,假設風險性技
術的投資單位可在生產中期進行產出預測,藉由經濟領先指標掌握產出水準,進行 資源規劃。 我們認為,當經濟體系面臨總體系統性風險時,規劃者(central planner) 以每一期新世代的秉賦配置投資組合,其中將會保留部分資源從事安全性投資,而 不會將資源全數投入風險性投資技術;而此一安全性投資亦可用於跨代資源共享機 制,促進當期中年世代的流動性供給。 其次,我們考慮資源配置由新世代各自規劃 的情況。 新存款可促進金融中介的流動性提供,跨代銀行可改善同代銀行的資源配 置。 為了獲取新存款的挹注,中介必須提供年輕世代滿足存款誘因的金融契約。 因 此當每個世代皆各自擁有投資機會時,既存的中老年世代並不會以 「經濟繁榮時期
累積資源、 蕭條時期釋放資源」 的方式(如Allen and Gale, 1997)建構跨時消費平
滑機制,吸引新世代參與金融中介;而是以 「經濟繁榮時期釋放高產出的好處、 蕭條 時期保留原有投資產出」 的方式處理新存款誘因問題。 一旦年輕的新世代自中老年 世代獲得利益,亦將對本身的投資組合配置產生影響。 所以我們同時關心此種存款 誘因的解決方式否能夠促進同世代與跨世代的流動性提供、 進而減緩產出波動的 衝擊。 本文認為,跨世代金融中介可利用股權形式的金融契約,依產出高低配置股 利,吸引新存款的加入,進而改善既存中年世代的風險配置效率。 新世代經濟個體 參與跨世代營運的金融中介可與既存中年世代共享經濟繁榮的好處,一方面股利配
置使新世代可將資源投入期望報酬較高的風險性投資技術;一方面也將延續中介既 有的經營策略,繼續從事跨世代金融中介業務。 本文共分五節,第二節描述經濟環境,第三節討論最適資源配置,第四節分析中 介機制,第五節為本文結論。 2
經濟環境
考慮一個無限期疊代經濟體系, t= 0, 1, 2, . . . ,∞。 每個新世代在t期期初誕生,歷 經年輕、 中年、 與老年三個時間點的生命。 每一世代人口以標準化為1的連續集合 體表示。 經濟體系內有一種消費財,每個世代的經濟個體僅在青年獲得秉賦ω 單 位消費財,可作為消費、 投資使用。 每個世代的經濟個體在年輕時期完全相同,但是面臨未來消費時點不確定的個 人流動性風險。 當經濟個體邁入中年,可獲知個人的流動性需求屬於中年消費型態(中年消費者, early consumer)或老年消費型態(老年消費者, late consumer),此為
私人訊息,經濟個體無法獲知他人的消費型態;消費型態為中年或老年的機率各為 .5 ,屬於公開訊息。 誕生於第t期的經濟個體稱之為t世代,其代表性經濟個體的 偏好為 U(c1, c2) = ( u(c1,t+1) 發生機率.5, u(c2,t+2) 發生機率.5。 其中, c1,t+1 表示經濟個體在第t+ 1 期進行中年消費; c2,t+2 表示經濟個體在第 t+ 2期進行老年消費。 效用函數u(·)為連續可二次微分、 嚴格遞增、 嚴格凹函數; 滿足Inada條件, u′(0) =∞, u′(∞) = 0。 透過安全性投資技術的生產過程, 1單位第t期消費財可轉換為1單位第t+ 1 期消費財,此為儲存技術;若從事風險性投資技術,則必須歷經兩期生產過程,在第 t+ 2期獲得Rt+2 單位消費財;若於第t+ 1期清算,則產出為0。 Rt 為非負、 獨立 且具有相同分配之隨機變數,是經濟體系的總體衝擊來源;其中,關於Rt 的公開訊 息包含:機率分配為 f(R); Rt具有有限的變異數與期望值;風險性投資技術的期望 報酬E(Rt)大於1。 亦即,安全性投資的報酬低於缺乏流動性的風險性投資。 第t期的風險性投資計畫進入第t+ 1期(生產中期)後,透過經濟領先指標可 得知於第t+ 2期實現的最終產出Rt+2。 第t+ 1期的經濟領先指標訊息僅為第t 期風險性技術的投資單位所擁有。 本文假設經濟個體僅能個別將資源投入安全性投資技術或存入金融中介。 中介 是經濟個體組合而成的集合(coalition),為存入資源的經濟個體所共同持有。 中介
以追求經濟個體期望效用最大為目標,可同時利用安全性與風險性投資技術從事生 產活動,進行投資與消費的配置。 以t世代經濟個體所組成的金融中介為例,若將資 源投入風險性投資技術,則可在生產中期預測最終產出水準。 亦即在第t期投資風 險性技術的金融中介可於第t+ 1期由經濟領先指標完全掌握未來產出水準Rt+2 的訊息,第t+ 1期的經濟領先指標訊息僅為第t期風險性技術的投資單位所擁有。 假設同一金融中介的參與者,彼此共享訊息,中介可區別經濟個體的年齡與其實現 後的消費型態。 3
最適資源配置
觀察任意時點t≥ 2,經濟體系共有t− 2, t − 1, t三個世代的經濟個體;其中, t− 2 世代老年消費者與t− 1 世代中年消費者進行消費,而t 世代個體從事投資。 同時 間,第t− 1期從事的安全性投資Lt−1 與第t− 2期投入的風險性投資Xt−2 所實 現的產出分別為Lt−1 與Xt−2Rt。 因此第t期可用以投資與消費的資源包含t世代 的秉賦ω 以及上述產出。而第t− 1期從事的風險性投資Xt−1同時進入生產中期, 投資單位可根據領先指標獲知最終的產出水準Rt+2。 最適資源配置極大化任意t世代代表性經濟個體的終生期望效用.5u(c1,t+1) + .5u(c2,t+2)。 將秉賦ω 分別投入Lt、Xt 單位資源於安全性與風險性投資技術;並利 用各期投資產出支應各期消費配置: 第t+ 1期實現的安全性投資產出(Lt) 支應 第t+ 1期中年消費規劃(c1,t+1);第t+ 2期實現的風險性投資產出(Rt+2Xt)與前 期保留的資源(Lt− .5c1,t+1)之和提供第t+ 2 期老年消費規劃(c2,t+2)。 此外,由 第t+ 1期新世代的秉賦所建立的資源平滑機制S(R),亦可提供t世代消費所需。 S(R) = (RXt− Lt)/2是新世代的秉賦,根據領先指標R來決定提撥的資源。 由於風 險性投資報酬Rt+2為隨機變數,可在第t+ 1期透過領先指標R獲得產出訊息,因 此如果在第t+ 1期以S(R) ≥ 0平滑第t+ 1與t+ 2期實現的產出,使Lt+ S(R) 等於RXt− S(R), t世代經濟個體的中、 老年消費配置將不會因為產出而波動,使終 生期望效用達到最大。 對於t+ 1世代而言,上述資源平滑處理過程(提供S(R)單位第t+ 1期消費 財,可獲得S(R)單位第t+ 2期消費財),相當於利用其秉賦投入S(R)於儲存技術, 亦即安全性投資。 當我們關心的是各個世代的終生期望效用而非單一世代的終生 期望效用時,必須將 「滿足t+ 1世代終生期望效用最大的安全性投資Lt+1」納入 考慮。 用於建立資源平滑機制的新世代資源S(R)存在一個上限Lt+1,無法任意增 加提撥的額度。 在定態資源配置之下(stationary allocation), 各世代的投資組合均 相同,故代入S(R) ≤ Lt。最適投資組合與消費配置求解t世代代表性經濟個體的終生期望效用極大化問 題
max .5u(c1,t+1) + .5u(c2,t+2) (1)
s.t. .5c1,t+1≤ Lt+ S(R), (2) .5c2,t+2≤ [Lt+ S(R) − .5c1,t+1] + RXt− S(R), (3) Lt+ Xt≤ω, (4) 0≤ S(R) ≤ Lt, S(R) = RXt− Lt 2 。 (5) 其中,第t+ 1期的中年消費規劃必須小於或等於當期實現的安全性投資產出與新 資源之和;第t+ 2 期的老年消費規劃必須小於或等於當期可支配資源(風險性投 資產出與前期保留的資源之和, 扣除前期所獲得的新資源); 第 t 期所從事的安全 性、 風險性投資之和小於或等於資源ω。 附錄1說明,給定投資組合{Lt, Xt}與領先指標R,最適消費配置必須滿足 c1,t+1= c2,t+2= Lt+ RXt 若R≤ 3Lt/Xt, (6) c1,t+1= 4Lt, c2,t+2= 2(RXt− Lt) 若R≥ 3Lt/Xt。 (7) 若R≤ 3Lt/Xt, t 世代經濟個體的消費型態不論為中年或老年消費,消費配置皆為 Lt+ RXt;若R≥ 3Lt/Xt,則中年消費型態的消費配置為4Lt,老年消費型態的消費 配置為2(RXt− Lt)。 由此可將效用極大化問題簡化為(8)式。 max Lt,Xt Z 3Lt Xt l u(Lt+ RXt) f (R)dR (8) + .5 Z h 3Lt Xt u(4Lt) f (R)dR + .5 Z h 3Lt Xt u(2(RXt− Lt)) f (R)dR, s.t. Lt+ Xt≤ω。 l與 h分別為隨機報酬R 之機率分配的下界與上界。 最適安全性與風險性投資滿 足(8)式的一階條件。 {Lo, Xo}表示以t 世代秉賦所進行的最適投資決策,消費配置根據第t+ 1期 的領先指標R進行規劃。 當未來產出水準小於3Lo/Xo時, t 世代經濟個體的消費 不因 「消費型態與產出波動」 而有不同,亦即c1,t+1(R) = c2,t+2(R), ∀R ≤ 3Lo/Xo; 若未來產出水準高於3Lo/Xo,則中年消費者至多獲得t 與t+ 1兩個世代的安全
性投資資源,而老年消費者則獲得風險性投資產出扣除t+ 1世代的安全性投資資 源。 事實上由附錄1可發現,資源平滑機制在領先指標R高於Lo/Xo 時, 即已啟 動,除第t+ 1期所實現的安全性投資產出可全數作為該期的消費配置外,新世代 的資源S(R) 亦逐步被導入既存世代的消費規劃。1利用新世代資源所進行的資源 平滑處理,至多可達新世代的安全性投資水準,使既存世代的中、老年年消費配置 分別為4Lo與2(RXo− Lo)。
在 「無總體衝擊」 的動態金融中介研究中(如Bhattacharya and Padilla, 1996),
最適投資、 消費係根據每期總和資源限制式進行配置;由於投資產出固定,因此每 期新世代的秉賦將全數投入較具生產力的生產技術,而無安全性投資。2 不同於這 一類文獻對於資源配置的看法, 本文認為在面臨總體衝擊的情況下, 最適投資組 合 {Lo, Xo} 與消費配置 ((6), (7) 式) 使各個世代終生期望效用達到最大, 其中 {Lo, Xo} 皆必須大於0。 而接下來我們將進一步討論, 若經濟體系的資源並非由 規劃者統籌運用,而是由各個世代獨立配置資源時,相鄰世代之間的資源融通機制 是否仍可運作;並且分析中介機制如何在面臨總體衝擊的疊代經濟體系中,扮演流 動性提供的角色。 4
中介機制
我們延續第2節所描述的疊代經濟環境;現在考慮不同世代互相區別、 獨立進行投 資消費決策的情況。 本節首先說明新世代的資源可促進流動性供給,跨代銀行可改 善同代銀行的資源配置效率; 其次討論中介機制如何提供金融契約吸引新世代的 資源;最後,分析此金融契約對新世代投資決策的影響。 4.1 同代銀行 若疊代經濟體系內各個世代彼此互相區別、 各自配置資源,任意t世代的資源規劃問題可簡化為三期模型,本文採用Allen and Gale (1998) 說明同世代金融中介的
流動性提供。t 世代經濟個體面臨個人消費型態不確定與產出變動的總體風險,在 年輕時期參與中介機制,由金融中介配置資源。 由同為t世代經濟個體參與組成的 (同代)金融中介,本文以下簡稱‘同代銀行t ’,在第t期以秉賦ω分別投入L、X單 1若第t+ 1期領先指標R低於Lo/Xo,則必須保留部分第t+ 1期所實現的安全性投資產出,作 為提供老年消費者在第t+ 2期所需的資源。 2無總體衝擊的定態最適資源配置{c 1, c2, X, L},在資源限制條件.5c1+ .5c2+ L + X ≤ω+ RX + L與L+ X ≤ω之下,使各世代的終生期望效用.5u(c1) + .5u(c2)達到最大。 我們可以發現,無總體 衝擊的最適投資是將所有秉賦投入高報酬(且缺乏流動性)的生產技術,而不會投入儲存技術。
位資源於安全性與風險性投資技術,並且利用各期投資產出支應各期消費所需,而
此消費規劃必須是可行的(feasible)。 同代銀行t的最適資源配置{L, X }與消費配
置{c1, c2}求解代表性個人期望效用極大化問題
max .5u(c1) + .5u(c2) (9)
s.t. .5c1≤ L,
.5c2≤ L − .5c1+ RX ,
L+ X ≤ω。
其中, 前兩項限制式表示: 第t+ 1期的年輕消費必須小於或等於當期實現的安全
性投資產出(L);第t+ 2期的老年消費配置必須小於或等於當期實現的風險性投
資產出(RX )與前期保留的資源(L− .5c1) 之和。3根據 Allen and Gale (1998)定
理1,最適化問題(9)式的解{L, X , c1, c2}必須滿足: c1(R) = c2(R) = L + RX 若R≤ L/X , (10) c1(R) = 2L, c2(R) = 2RX 若R≥ L/X , L+ X =ω, L > 0, X > 0, 與最適問題的一階條件E[u′(c 1(R))] = E[u′(c2(R))R]。 以 {L∗, X∗} 表示同代銀行 t 的最適投資組合, 定義 L∗/X∗ 為 R∗。 在風險性 投資技術可於生產中期獲知產出水準的訊息結構下, 同代銀行t 根據經濟領先指 標R規劃t世代參與者的消費。 若未來產出水準高於R∗,則所有安全性投資技術 產出作為中年消費者所需、 而所有風險性投資技術產出則支應老年消費者所需。 若 R< R∗,則同代銀行t必須保留部分安全性投資產出,以提供老年消費型態參與者 所需的資源;所以中年消費配置將小於安全性投資產出。 t 世代經濟個體參與金融中介,可使部分資源投入期望報酬較高的風險性投資 技術,並且獲得流動性衝擊的保障。R∗是同代銀行t的流動性提供臨界點。 當領先 指標顯示未來產出低於R∗時,中介機制提供c1= c2的配置, t 世代中年、老年消 費者獲得相同的消費配置。 而未來產出高於同代銀行t的流動性提供臨界點R∗時, 則由於風險性投資技術期中清算的產出為零,同代銀行t可支配的資源僅有安全性 投資技術產出,至多能夠配置L∗單位消費財作為中年消費者的流動性提供。 在同 代銀行的業務運作下, t 世代中年消費者無法與其他參與者共享經濟繁榮R> R∗ 3由於我們隨後將討論既存中年世代與新世代的消費投資決策,因此不同於第3節的敘述方式,本 節省略消費、 投資等變數的時間下標t,簡化說明使文章容易閱讀。
的好處。 對於同為t世代的經濟個體而言,若中介在第t+ 1 期個人消費型態實現 前,根據領先指標R事前調整契約安排:若R> R∗,則減少老年消費配置Z(R)單 位、 增加中年消費配置Z(R)單位。 換言之,若未來景氣繁榮,則老年消費者必須移 轉Z(R)單位消費財給同世代的中年消費者。 以事前的角度而言,若移轉支付流量 Z(R)設計得當,便能使中年消費者分享景氣繁榮的好處,進一步減緩 「消費型態與 產出波動」 兩項不確定因素對t 世代參與者的衝擊,使其事前期望效用獲得改善。 然而在風險性投資期中清算產出為零的限制下,同代銀行t在第t+ 1期可支配的 資源僅有安全性投資產出L, 若欲進行 「同世代、 不同消費型態」 參與者間的移轉 支付,所需的資源將必須來自其他世代。 在第t+ 1期,經濟體系尚有來自t− 1世代的年老經濟個體與t+ 1世代的年 輕經濟個體;其中,僅t+ 1世代年輕經濟個體握有資源可作為投資與消費使用,是 新存款的來源。 為改善同代銀行t的效率而進行的資源移轉,所涉及的業務範圍實 則涵蓋t與t+ 1兩個世代的跨代資源配置。 因此這個由t世代經濟個體組合成立、 而業務範圍涵蓋其他世代的金融中介,以下簡稱為‘跨代銀行t ’。 本文將在各世代 獨立進行消費投資的情況,引入跨代資源;說明既存中年世代如何以金融契約吸引 新世代的參與;以及新世代在此金融契約下所採取的投資決策。 4.2 中年世代組成跨代銀行 由前述分析可知,若跨代銀行t 在第t+ 1期利用來自年輕世代的資源促成 「t 世 代、 不同消費型態」 參與者間的資源移轉,則可提升所有t世代經濟個體的事前期 望效用,改善原同代銀行的效率。 對於t+ 1世代的經濟個體而言,跨代銀行t所提 供的中介機制是否值得參與取決於 「參與跨代銀行 t 的事前期望效用是否優於自 行籌組同代銀行」;對於t世代經濟個體所組成的跨代銀行而言,由於新存款能促進 資源配置的效率,故跨代銀行間將互相競爭新存款,以改善本身(t 世代參與者)的 福利水準。 因此跨代銀行t將以滿足 「新存款誘因」 的金融契約尋求新存款的挹注, 經由以下策略,提供滿足新存款誘因的金融契約:首先以適當的跨代移轉安排,保 證新世代經濟個體參與既存跨代銀行無異於自組同世代金融中介; 進而以經濟繁 榮的好處為誘因,承諾新世代參與者可共同分享高產出的利益。 既存跨代銀行利用領先指標R規劃資源移轉所需的新存款N(R)。若第t+ 1期 領先指標顯示第t+ 2期實現的產出大於R∗,跨代銀行t將利用t+ 1世代(新世代) 所挹注的N(R)移轉入t世代(既存中年世代)的中年消費配置;在第t+ 2期產出 Rt+2實現後,自t世代的老年消費配置移轉等量N(R)給予t+ 1世代的消費配置。 若領先指標顯示第t+ 2期的產出Rt+2 低於R∗,則不會進行資源移轉,亦即N(R)
為0。 以N(R)表示跨代銀行t的t+ 1世代參與者必須依約投入的新存款,是R的 函數。 必須注意的是, t+ 1世代經濟個體在年輕時期可選擇 「組成t+ 1世代同代 銀行」 或 「參與跨代銀行t」。若自組同代銀行,在每個世代的秉賦皆相同的資源限 制條件下, t+ 1世代的最適投資決策即為同代銀行的最適投資組合{L∗, X∗}。 這 表示新世代參與既存銀行的報酬不可低於{L∗, X∗}的產出。 也就是說,為了確保 投資組合的期望報酬及期望效用不會低於組成t+ 1世代的同代銀行, t+ 1世代至 多願意挹注L∗作為資源移轉。N(R) ≤ L∗是t+ 1世代經濟個體的參與條件。 本節 稍後將進一步說明N(R)的規劃。 跨代銀行t對新世代提出的金融契約,除N(R)外,亦同時宣告B(R),目的在於 使新世代參與既存跨代銀行的事前期望效用進一步高於自組同代銀行,而願意參與 既有的中介機制。 跨代銀行t保留風險性投資技術產出的α 比例作為既存世代消 費配置資源,以(1 −α)比例作為B(R)是爭取新存款的誘因,表示如下: B(R) = max{0, (1 −α)(RX∗− L∗)}, 0≤α≤ 1。 (11) 當領先指標R≥ R∗時,中介機制才會將新世代的存款移轉N(R)給予既存世代,並 且根據(11)式提撥 B(R)。 跨代銀行 t以 B(R) > 0吸收新生代的參與,進行跨代 資源移轉;若B(R)為0,則表示未來產出不佳(R≤ R∗),僅會以既存中年世代原有 投資產出進行消費配置,而不會將新資源移轉給t 世代參與者,亦不會在未來提撥 B(R)給予t+ 1世代的參與者。 給定領先指標R的訊息, t+ 1世代經濟個體在第t+ 1期挹注跨代銀行t的新 資源,共N(R)單位消費財;並且依契約安排,在第t+ 2期獲得產出共N(R) + B(R) 單位消費財;其中, B(R)為參與既存跨代銀行與t世代共享的利益。 跨代銀行t從 事風險性投資技術的產出R愈高, B(R)亦愈高;因此本文將{N(R), B(R)}稱之為 銀行股權形式的金融契約, B(R)為跨代銀行t所配置的股利。 根據契約{N(R), B(R)}的安排,當領先指標大於R∗時,跨代銀行t利用t+ 1 世代的存款進行 「t世代、 不同消費型態」 經濟個體間的資源移轉:將Z(R)單位消 費財由t世代的老年消費移轉至中年消費,使老年消費資源較同代銀行的配置減少 Z(R)、 中年消費資源則增加Z(R)。 由於跨代銀行t在第t+ 1期與第t+ 2期的可 支配資源分別為安全性投資技術產出 L∗ 與扣除股利提撥的風險性投資技術產出 αRX∗+ (1 −α)L∗;因此規劃Z(R) =α(RX∗− L∗)將使t 世代中、老年消費者獲 得相同的消費配置。 當消費配置達到c1= c2時,不僅保障既存中年世代免於個人 流動性需求的衝擊,亦使經濟個體的消費配置不因總體經濟衝擊而波動。
第t + 1期期末 第t + 2期期初 第t + 1期期初 跨代銀行 t 宣告金融契約 t+ 1 世代經濟個體參與跨代銀行 t 領先指標 R 與 t 世代經濟個體之消費型態實現 {ct,1, ct,2} 與 B(R) 已知 t+ 1 世代利用剩餘資源進行投資 圖1:第t+ 1期期初至期末時間過程 必須注意的是, t 世代參與者屬於中年或老年消費型態的機率各為 .5, 跨代銀 行t 透過大數法則按其比例(.5) 規劃消費資源;因此金融契約要求新世代投入的 新資源N(R)實際為.5Z(R), 亦即N(R) = .5α(RX∗− L∗)。 此外,在t+ 1世代參 與條件N(R) ≤ L∗的限制下,跨代銀行t至多僅能獲得跨代資源N( ˆR) = L∗,其中 ˆ R=XL∗∗+α2X∗L∗ 且Rˆ≥ R∗。 換言之,跨代銀行t利用新資源所進行的資源移轉至 多可達Z( ˆR) = 2L∗。 我們以圖1表示第t+ 1期期初至期末依序發生的事件經過。 跨代銀行t在第 t+ 1期期初,提供具有參與誘因的金融契約{N(R), B(R)}吸引t+ 1世代經濟個 體參與;而隨後根據獲知的經濟領先指標R與t世代消費型態,進行跨代資源移轉 N(R)、 以及股利B(R)與消費{ct,1, ct,2}的配置,其中股利於第t+ 2期實現;最後, t+ 1世代成為此既存銀行的經營階層,在第t+ 1期期末利用剩餘資源ω− N(R) 進行投資配置。 根據跨代銀行t在第t期從事的最適投資配置{L∗, X∗}、 以及在第t+ 1期提 出的金融契約{N(R), B(R)},經過資源移轉, t 世代參與者的消費配置調整如後。 c1= c2= L∗+ RX∗ 若R≤ R∗, (12) c1= c2= 2L∗+α(RX∗− L∗) 若R∗≤ R ≤ ˆR, (13) c1= 2L∗+ Z( ˆR), c2=α2RX∗+ (1 −α)2L∗− Z( ˆR) 若R≥ ˆR。 (14) 圖2描繪上述消費配置與風險性投資產出的關係。 給定第t期最適投資組合{L∗, X∗}, 若t世代金融中介從事同代銀行業務,則第t+ 1期可支配資源至多為安全性投資 技術產出 L∗; 當未來產出看好時(R≥ R∗), 中年消費配置為2L∗、老年消費配置 為 2RX∗, 如圖 2 虛線段 2RX∗ 與 2L∗ 所標示。 若t 世代金融中介, 進一步根據
R c(R) 2RX∗ 2L∗+ Z( ˆR) 2L∗ L∗ R∗ Rˆ c1(R) 2L∗ c2(R) 圖2: t世代經濟個體參與跨代銀行t的消費配置 {L∗, X∗}與領先指標R在第t+ 1期從事跨代銀行業務、 進行資源移轉,則使風險 性投資產出水準R位於(R∗, ˆR)區間的消費配置調整為c1= c2= 2L∗+α(RX∗− L∗),如圖2對應(R∗, ˆR)區間的實線段。 受限於t+ 1世代的參與條件N(R) ≤ L∗, 當風險性投資產出水準高於Rˆ 時,資源移轉僅止於上限Z( ˆR), 因此t 世代參與者 的消費配置為(14)式,如圖2產出水準大於Rˆ的實線段。 命題1. 跨代銀行改善既存中年世代參與者的福利水準。 第t 期從事的投資{L∗, X∗}經由第t+ 1期新存款的挹注,使得金融中介的流 動性提供臨界點由R∗ 提高至R, tˆ 世代參與者,不論為中年或老年消費型態,可皆 共享經濟繁榮(R≥ R∗)的好處。 跨代銀行t不僅促進t世代中年與老年消費者的 風險分攤; 另一方面也使得 t 世代經濟個體的個別流動性風險不因總體風險而加 劇,亦即當R≤ ˆR時, c1(R) = c2(R)。 附錄2說明: 當跨代銀行t保有全部風險性 投資技術產出,設定α 為1時,跨代銀行機制帶給經濟個體的事前期望效用高於同 代銀行機制。 由於新世代的存款有助於提升既存中年世代的期望效用水準,既存跨 代銀行會競相提撥部分風險性投資技術產出作為股利,藉以吸收新存款。若跨代銀 行的市場結構非常競爭,既存跨代銀行會增加B(R)提撥的比例,直到從事跨代銀 行機制的事前期望效用等於同代銀行機制。 以αt 表示 跨代銀行t保留風險性投資 技術產出的下限,αt 由t世代經濟個體的參與條件:參與同代銀行t的事前期望效
用EUinter,t 等於參與跨代銀行t的事前期望效用EUintra,t 所決定, 0≤αt ≤ 1。 若Rˆ≤ h, EUinter,t = Z R∗ l u(L∗+ RX∗) f (R)dR + Z Rˆ R∗u(2L ∗+α(RX∗− L∗)) f (R)dR + .5 Z h ˆ R u(2L∗+ Z( ˆR)) f (R)dR + .5 Z h ˆ R u(α2RX∗+ (1 −α)2L∗− Z( ˆR)) f (R)dR; 若Rˆ> h, EUinter,t = Z R∗ l u(L∗+ RX∗) f (R)dR + Z Rˆ R∗u(2L ∗+α(RX∗− L∗)) f (R)dR。 為進一步討論此種股權形式的金融契約對新世代投資決策的影響,本文以下假設跨 代銀行彼此的競爭程度很高,跨代銀行t以風險性投資產出的(1 −αt)比例作為新 存款誘因。 在本節分析中發現,即便是每個世代各自配置資源的情況,由中年世代營運的 中介機構仍可透過提供銀行股權形式的金融契約{N(R), B(R)}, 吸引新世代的存 款。 新存款不僅提升中介的流動性供給能力、 促進既存世代中、 老年消費者的風險 分攤,也舒緩個別流動性風險與總體系統性風險對既存中年世代的衝擊,進而改善 中年世代的福利水準。 若令αt= 1,根據(12) – (14)式,當領先指標R≤ 3L∗/X∗時, t世代中年、老年消費配置皆為L∗+ RX∗;而領先指標R≤ 3L∗/X∗時,其消費配置 分別為4L∗與2(RX∗− L∗)。 與第3節規劃者統籌執行的最適資源配置 {Lo, Xo} 做比較,本節風險性投資產出即使全數用於既存中年世代的消費配置, t 世代事前 期望效用仍低於第3 節最適資源配置的福利水準。4 這是由於規劃者統籌運用資 源、進行投資消費;而跨代銀行t則受限於每個世代各自具有投資機會,無法在第t 期確保未來可取得新世代的存款挹注、 以(8)式規劃投資組合所致。 再者,由於導 入新資源能夠提升中年世代的福利,跨代銀行t願意提撥部分產出作為誘因來取得 此一利益,因此既存跨代銀行保留風險性投資技術產出的比例將小於1。 4以t世代秉賦所進行的最適投資決策{Lo, Xo}係根據(8)式所決定。
根據第2節經濟環境的描述,我們以下列模型進行數值模擬。 U(c1, c2) = ln(ct,1) + ln(ct,2), (15) ω= 2, f(R) = ( 1/3 若0≤ R ≤ 3, 0 其他。 由(15)式,最適投資決策{Lo, Xo}為{.984199, 1.0158}; 3Lo/Xo為2.906672; t 世代期望效用值為.849568。 當每個新世代皆各自擁有投資機會時,同代銀行的最適投資組合 {L∗, X∗} 則 為 {1.188640, .811359}; 因此流動性提供臨界點 R∗ 為 1.46499; 而期望效用值 EUintra,t 則為.818656。 金融中介若從事跨代銀行業務,則流動性提供臨界點可由 R∗延伸至Rˆ。 當既存的中年世代保留全部風險性投資技術產出α= 1時,期望效 用值為.831430,較同代銀行為高,但仍低於最適資源配置之下的福利水準。 由t世 代參與條件決定.874529 ≤α ≤ 1,跨代銀行至少需保留87.4529%的風險性投資 產出比例。 在跨代銀行的市場競爭程度非常激烈(近乎完全競爭)時, 跨代銀行將 提供總風險性投資產出的12.5471%作為吸引新世代的存款誘因。 既存金融中介 從事跨代銀行業務,根據領先指標R使用新世代的資源,因此t世代經濟個體不論 屬於何種消費型態,皆可共享經濟繁榮的好處。 4.3 新世代投資決策 當股權形式的金融契約{N(R), B(R)}滿足新世代經濟個體的參與條件及誘因條件 時,新資源將會進入跨代銀行,進一步改善既存中年世代的事前期望效用。 當未來 產出訊息R與t世代消費型態實現後, B(R)同時可由股利政策(11)式獲知;根據 圖1,新世代經濟個體成為此既存銀行的經營者,利用秉賦扣除投入銀行股權N(R) 之剩餘資源進行投資決策。 若股利為零,新世代的投資決策即為4.1節的分析;本 節討論在股利大於零之下的新世代投資決策。 在第t期期末,既存跨代銀行的參與者由當期中年經濟個體與年輕經濟個體所 組成; 其中, 年輕人取得經營權, 利用剩餘資源 ω− N 分別投入 λ、 X 於安全性 與風險性投資技術。 由於年輕個體已根據契約安排與領先指標 R, 投入銀行股權 N(R)、 且即將於下期實現的股利B(R)為已知,因此分別以N、B表示。 最適資源
配置{λ, X , c1, c2}求解代表性年輕經濟個體終生期望效用極大化問題(16)式。5
max .5u(c1) + .5u(c2) (16)
s.t. .5c1≤λ+ N + B, .5c2≤λ+ N + B − .5c1+ RX , λ+ N + X ≤ω。 當領先指標顯示新世代在下一期可獲得股利B大於零時,表示可行的消費配置 區域被擴大,因此期望效用高於無股利的情況(同代銀行t即為無股利配置);另一 方面,在相同的資源ω 限制條件之下,新世代的投資決策{λ, X }將有所調整。 命題2. 若新世代參與者獲得銀行股權契約所配置的股利,將使其風險性投資總和 維持不變或增加,而安全性投資總和至多維持不變或減少。 由於新世代以剩餘資源ω− N分別投入安全性投資技術λ 與風險性投資技術 X ,經過一期的營運後,可支配的產出為λ+ N + B單位消費財。 其中, B為決策後 所獲得額外資源;而λ+ N則可視為新世代從事安全性投資技術的總和。 附錄3針 對股利配置與否的最適投資組合進行比較。{L∗, X∗}是無股利配置情況下的最適 投資組合;當股利配置大於零時,新世代投入安全性投資技術的總和λ+ N將小於 等於L∗、而風險性投資技術的總和X則大於或等於X∗。 應用命題1, t+ 1世代將延續既存的跨代銀行業務模式,在第t+ 2期(對當期 新世代, t+ 2世代經濟個體)提出新的股權形式契約: 若經濟指標顯示R≥ (λ+ N+ B)/X ,則要求投入股權N(R) =α(RX −λ− N − B)/2 ≤ L∗,其中未來分配股 利B(R) = max{0, (1 −α)(RX −λ− N − B)}。 經由上述分析我們發現,新世代經濟個體在年輕時期參與既存跨代銀行,並且 延續既有經營策略、 從事跨代銀行業務;若未來獲得股利配置,將使期望效用水準 獲得改善。 另一方面股利也使得新世代風險性投資總和至少維持不變或增加、 安全 性投資總和至多維持不變或減少。 由(15) 式參數設定,若跨代銀行提供新世代經 5N、B已知大於零,最適消費投資配置必須滿足 c1= c2=λ+ N + B + XR 若R≤ (λ+ N + B)/X, c1= 2(λ+ N + B), c2= 2RX 若R≥ (λ+ N + B)/X, λ+ N + X =ω, λ≥ 0, X > 0, 以及最適化問題的一階條件式。
濟個體的金融契約屬於銀行股權形式,則可表示為 若領先指標R≥ R∗, ( N(R) = .437265(RX∗− L∗), B(R) = max{0, .125471(RX∗− L∗)}。 當第t+ 1期領先指標R顯示未來產出(Rt+2)高於R∗時,新世代可於第t+ 2期獲 得股利B(R)。第t+ 1期期末, t+ 1世代的參與者取得既存銀行經營權,利用剩餘 資源配置各項投資。 根據(16)式,新世代的風險性投資總和X′可表示為X∗+ξB、 安全性投資(λ, N)總和L′ 可表示為L∗−ξB,其中ξ = .405679。 假設第t+ 1期 領先指標R顯示未來產出水準為2,其所對應的股權投入N為.189807,於第t+ 2 期實現的股利B為.054464。 若既存銀行提供股權形式的金融契約,則新世代的最 適資源配置{λ, X }為{.976737, .833454}, 安全性投資總和為1.166545, 風險分 攤臨界點1.464997,期望效用值為.845524。 5
結論
本文利用具有總體衝擊的疊代模型,討論跨代金融中介的流動性供給角色。 新存款 是金融中介處理不同世代資源共享以及流動性提供的重要支柱。 當長期投資的產 出存有不確定性、 且無法透過分散投資計畫規避產出波動的風險時,經濟體系的資 源規劃者(一個永續經營的中介機構或政府)必須保留部分資源投入安全性投資技 術;同時利用新世代的資源建立資源共享機制、 促進流動性供給。 若資源的配置不 再由規劃者統籌執行,金融中介在面對同樣擁有投資機會的新世代參與者時,必須 更著力於提供滿足存款誘因的金融契約,以獲取新資源的挹注,提升流動性供給的能力。 本文採用Allen and Gale (1998)設定總體經濟領先指標的概念,假設風險性
技術的投資單位可在生產中期進行產出預測,由經濟領先指標掌握產出水準,進行 資源規劃。 跨世代金融中介利用股權形式的金融契約,依產出高低配置股利,吸引 新存款的加入,進而改善既存中年世代的風險配置效率。 而新世代年輕個體參與跨 世代金融中介, 一方面可與中年世代共享經濟繁榮的好處,提升事前期望效用;一 方面也將延續中介既有的經營策略,繼續從事跨世代金融中介業務。 在股權形式的 金融契約安排下,當新世代獲得股權契約所配置的股利時,將使其風險性投資的總 和維持不變或增加,而安全性投資的總和則維持不變或減少。
附錄
1本文以兩階段方式處理最適化問題(1) – (5)式。 首先,給定一投資組合{L, X },在
任意產出水準R之下, 最適消費配置求解t世代代表性經濟個體的終生期望效用
極大化問題:
max .5u(c1,t+1) + .5u(c2,t+2) (17)
s.t. .5c1,t+1≤ L + S(R), .5c2,t+2≤ [L + S(R) − .5c1,t+1] + RX − S(R)。 其中, S(R) = (RX − L)/2, 0 ≤ S(R) ≤ L,來自新世代的秉賦,是領先指標R的函 數,目的使第t+ 1期與第t+ 2期可供消費的資源平滑。 當 R< L/X 時, S(R) = 0, c1,t+1 = c2,t+2= L + RX。6 當 L/X ≤ R ≤ 3L/X 時, S(R) = (RX − L)/2,使得第t+ 1 期可供中年消費的資源與第t+ 2期可供老 年消費相同, c1,t+1= c2,t+2 = L + RX。 當 R> 3L/X 時, 資源平滑機制至多提供 S(R) = L,消費配置必須滿足c1,t+1= 2L與c2,t+2= 2(RX − L)。7 總和上述分析,在任意投資組合{L, X }與產出水準R之下,最適消費配置必須 滿足下列條件: c1,t+1= c2,t+2= L + RX 若R≤ 3L/X , c1,t+1= 4L, c2,t+2= 2(RX − L) 若R≥ 3L/X。 最適化問題(1) – (5)式可改寫為(8)式。 max Lt,Xt Z 3Lt Xt l u(Lt+ RXt) f (R)dR + .5 Z h 3Lt Xt u(4Lt) f (R)dR + .5 Z h 3Lt Xt u(2(RXt− Lt)) f (R)dR, s.t. Lt+ Xt≤ω。 6利用 Kuhn-Tucker Theorem, 由 (17) 式最適解的必要條件: 若 u′(c 1,t+1) = u′(c2,t+2), 則 c1,t+1= c2,t+2= L + RX,此時R< L/X;若u′(c1,t+1) > u′(c2,t+2),則c1,t+1= 2L, c2,t+2= 2RX, 此時R≥ L/X,與S(R) = 0矛盾。 7將 S(R) = L 代入 (17) 式的限制條件, 同樣利用 Kuhn-Tucker Theorem: 若 u′(c 1,t+1) > u′(c2,t+2),則c1,t+1= 2L, c2,t+2= 2RX,此時R> 3L/X; 若u′(c1,t+1) = u′(c2,t+2),則c1,t+1= c2,t+2= L + RX,此時R< 3L/X,與S(R) = L矛盾。
最適安全性與風險性投資大於零,並且滿足資源限制式與一階條件式。 Z 3Lt Xt l ∂ ∂X[u(L + RX ) f (R)]dR + Z h 3Lt Xt ∂ ∂X[u(2RX ) f (R)]dR = Z 3Lt Xt l ∂ ∂L[u(L + RX ) f (R)]dR + Z h 3Lt Xt ∂ ∂L[u(2L) f (R)]dR。
附錄
2 本附錄說明,在最適投資組合{L∗, X∗}與流動性提供的臨界點R∗之下,金融中介 若從事跨代銀行業務(跨代銀行t )則可較原同代銀行業務(同代銀行t )進一步提 升既存參與者(t 世代經濟個體)的事前期望效用。 假設隨機報酬 R的機率分配上 界大於臨界點Rˆ。 定義經濟個體參與同代銀行t與 跨代銀行t之事前期望效用分 別為EUintra,t 與EUinter,t。 EUintra,t = Z R∗ l u(L∗+ RX∗) f (R)dR + .5 Z h R∗u(2L ∗) f (R)dR + .5 Z h R∗u(2RX ∗) f (R)dR, EUinter,t = Z R∗ l u(L∗+ RX∗) f (R)dR + Z Rˆ R∗u(2L ∗+α(RX∗− L∗)) f (R)dR + .5 Z h ˆ R u(2L∗+ Z( ˆR)) f (R)dR + .5 Z h ˆ R u(α2RX∗+ (1 −α)2L∗− Z( ˆR)) f (R)dR。 若跨代銀行t保有全部風險性投資技術產出α= 1,且u(·)為嚴格凹效用函數, .5 Z Rˆ R∗u(2L ∗) f (R)dR + .5Z Rˆ R∗u(2RX ∗) f (R)dR <Z Rˆ R∗u(L ∗+ RX∗) f (R)dR, .5 Z h ˆ R u(2L∗) f (R)dR + .5 Z h bRˆu(2RX∗) f (R)dR < +.5 Z h ˆ R u(2L∗+ Z( ˆR)) f (R)dR + .5 Z h ˆ R u(2RX∗− Z( ˆR)) f (R)dR。 則EUintra,t< EUinter,t|α=1,跨代銀行改善既存世代參與者的福利水準。8 8若隨機報酬R之機率分配上界h小於臨界點R, EUˆ intra,t< EUinter,t|α=1結果不受影響。附錄
3 本附錄說明既存銀行所配置的股利,將使新世代的安全性與風險性投資配置產生改 變。 首先考慮一個同代銀行資源配置問題(如4.1節)且此同代銀行將於下期獲得 額外資源B,其中B> 0為已知。 因此最適化問題可表示如下: max L,X Z L+B X l u(L + B + RX ) f (R)dR + .5 Z h L+B X u(2(L + B)) f (R)dR + .5 Z h L+B X u(2RX ) f (R)dR, s.t. L+ X ≤ω。 以{L′, X′}表示上述最適化問題之解、R′= (L′+ B)/X′, G(·)表示一階條件式: G(·) = Z L+B X l ∂ ∂X[u(L + B + RX ) f (R)]dR + Z h L+B X ∂ ∂X[u(2RX ) f (R)]dR − Z L+B X l ∂ ∂L[u(L + B + RX ) f (R)]dR − Z h L+B X ∂ ∂L[u(2(L + B))) f (R)]dR。 此最適投資組合必須滿足資源限制式與一階條件G(·) = 0。 在資源限制條件下,資源B對投資組合{L′, X′}的影響為安全性與風險性投資 之同幅度互為增減。若安全性與風險性投資技術的投入同時增加,則此投資組合不 可行;若同時減少,則有閒置資源的無效率現象。 因此令投資組合Ω1= {L′ 1, X1′}, Ω2= {L′ 2, X2′};其中L′1= L∗+ξ1B, X1′= X∗−ξ1B, L′2= L∗−ξ2B, X2′= X∗+ξ2B。 ξ1與ξ2大於或等於零,表示與無股利配置(B= 0,亦即同代銀行的最適投資組合) 比較之下,股利B> 0對投資組合的影響。 若B= 0,則Ω1=Ω2,最適投資組合等 同{L∗, X∗}且滿足一階條件G(·)| {L∗,X∗}= 0。 由於u(ct,1) = u(ct,2)、E(R) > 1,以 及u′(·) > 0、u′′(·) < 0,我們發現隨著股利增加(B> 0), G(·)|Ω1 > 0隨之愈大,不 滿足一階條件;而隨著股利增加(B> 0),Ω2可滿足G(·)| Ω2 = 0, {L′2, X2′}為上述 問題的最適投資組合。 因此經濟個體中年時期的所獲得的額外資源B,與B= 0的 情況相比較,會使得安全性投資較為減少L′≤ L∗、風險性投資較為提高X′≥ X∗。 回到新世代成為既存跨代銀行經營者的投資決策問題。 由於B 為決策後所獲 得的額外資源;而λ+ N 可視為新世代的從事安全性投資技術的總和L′,令 L′= λ+ N,λ≥ 0。 若新世代投入股權N達L∗,則λ= 0、L′= L∗;若新世代投入股權 N< L∗,則λ ≥ 0、L′≤ L∗。參考文獻
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