第十三章 常用對數

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(1)

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13.1 ၆ᇴ

我們已經學過了指數,現在來學習與指數有緊密聯繫的對 數。 我們知道,2 的 4 次冪等於 16,可以記作 4 2 =16, 這裡 16 是 2 的 4 次冪,2 是底數,4 是指數。 在計算中,我們還會遇到相反的問題:2 的多少次冪等於 16? 為了表示 16 是 2 的多少次冪,我們採用一個新的式子: 2 log 16= , 4 這裡 4 叫做以 2 為底的 16 之對數,2 仍叫做底數,16 叫做真數。 一般地說,如果 a (a > 、0 a ≠ )的 b 次冪等於 N,就是1 b a = ,數 b 就叫做以 a 為底的 N 之對數,記作 logN a N =b1,其 中 a 叫做底數(簡稱底),N 叫做真數。 在實數範圍內,正數的任何次冪都是正數。在ab = 中,因N 為 a 是不等於 1 的正數,所以對於任意一個實數 b,N 總是正數, 也就是說零與負數沒有對數。 本章對數式中的字母,如不加特殊說明,底數都是不等於 1 的正數,真數都是正數。 指數式ab = N 中的底數、指數、冪與對數式 loga N = 中的b 底數、對數、真數的關係可表示如下: 1 「log」是拉丁文 logarithm (對數) 的縮寫。 loga N =b b a = N 指數 對數 冪 真數 底數

(3)

如果把ab = 中的 b 寫成 logN a N ,有 logaN a = N 。 例如在 4 2 =16 中,如果把 4 寫成log 16 ,就有 2 2 log 16 2 =16。 【例 1】 把下列指數式寫成對數式: (1) 54 = 625; (2) 3 2 1 9 − = 。

ś

ྋ !! (1) log 6255 = ; (2) 4 log3 1 2 9 = − 。 【例 2】 把下列對數式寫成指數式: (1) log 82 = ; (2) 3 log 1000010 = 。 4

ś

ྋ !! (1) 23 = ; 8 (2) 104 =10000。 【ּ 3】 已知log10 N = − ,求 N。 2

ś

ྋ !! 由log10 N = − ,得2 10−2 = 。所以 N 1 100 N = 。 【ּ 4】 求下列各式的值: (1) log 81; 9 (2) log3 1 27 。

ś

ྋ !! (1) 設log 819 = ,則9x x =81。 ∵ 92 =81 ∴ x = 2 即 9 log 81= 。 2 (2) 設log3 1 27 = ,則x 1 3 27 x = 。

(4)

∵ 3 3 1 27 − =x = − 3 即 3 1 log 3 27 = − 。 【ּ 5】 求下列各式的值: (1) log 4 ; 4 (2) log 1。 7

ś

ྋ !! (1) 設log 44 = ,則 4x x = 。 4 ∵ 41 = 4 ∴ x = 1 即 4 log 4 1= 。 (2) 設log 17 = ,則 7x x = 。 1 ∵ 70 = 1 ∴ x = 0 即 7 log 1= 。 0 例 5 可以推廣到一般情況,設 a 是不等於 1 的正數,則 = = log 1 log 1 0 a a a 根據對數的定義,同學們可以自己證明這兩個等式。

ቚ ௫!

1. 把下列指數式寫成對數式: (1) 25 =32; (2) 103 =1000; (3) 7 2 1 49 − = ; (4) 100 = ; (5) 1 2 3 8 = ; (6) 4 1 3 1 27 3 − = ;

(5)

ቚ ௫!

2. 把下列對數式寫成指數式: (1) log 93 = ; 2 (2) log2 1 2 4 = − ; (3) log 0.00110 = − ; 3 (4) log 28 1 3 = ; (5) log 5 15 = ; (6) log27 1 2 9 = − 。 3 3. 求下列各式的值: (1) log 25 ; 5 (2) log2 1 16; (3) log 0.01; 10 (4) loga a 。 5 4. 求下列各式中的 x: (1) log2 x =5; (2) 1 2 log x = −3; (3) log5 x =1; (4) log3 x =0。 5. 求下列各式的值: (1) log 15 ; (2) 15 log 1 ; 0.4 (3) log 1; (4) 9 log3.7 3.7 。 6. 求下列各式的值: (1) 5log 105 ; (2) 0.2log0.25。

13.2 ᎕ăથăጕă͞ॲ۞၆ᇴ

我們學過了指數的定義及運算,知道如果a >0,那麼 ( ) p q p q p q p q p n np p p n n a a a a a a a a a a + − = ÷ = = = i 根據這些等式與對數的定義,我們可以得到對數的運算性質。

(6)

1. 設 loga M = p 、 loga N = q 。

由對數的意義,得

= p

M a 、N = a 。 q

M i N = ap i aq = ap q+

∴ loga MN = + =p q loga M +loga N

這就是說,兩個正數的積之對數,等於同一底數的這兩個數 的對數之和,即

loga MN = loga M +loga N

當因數多於兩個時,上述性質仍然成立。例如 loga LMN = loga L+loga M +loga N 。

2. 設 loga M = p 、 loga N = q ,則 = p M a 、N = a 。 q ∴ = = − p p q q M a a N a

∴ loga M = − =p q loga M −loga N N

這就是說,兩個正數的商之對數,等於同一底數的被除數的 對數減去除數的對數之差,即

loga M loga M loga N

N = − 。 3. 設 loga M = p ,則 = p M a 。 Mn =(ap n) =a np ∴ loga Mn = np =nloga M 這就是說,一個正數的冪之對數,等於冪的底數之對數乘以 冪指數,即 loga Mn =nloga M

(7)

4. 一個正數的算術根之對數,等於被開方數的對數除以根指 數,即 1 loga n M loga M n = 。 同學們可以自己證明這個性質。

【ּ 1】 用 loga x 、 loga y 、 loga z 表示下列各式:

(1) loga xy z ; (2) 3 5 loga x y ; (3) loga x yz ; (4) 2 3 loga x y z

ś

ྋ !! (1) loga xy =loga xy−loga z z

log log log

= a x+ a ya z

(2) loga x y3 5 =loga x3 +loga y 5

3loga x 5loga y

= +

(3) loga x =loga x −loga yz yz

1

log (log log ) 2

1

log log log 2 = − + = − − a a a a a a x y z x y z (4) 2 2 3 3

loga x y =loga x y −loga z z

2 3

log log log

1 1

2 log log log

2 3 = + − = + − a a a a a a x y z x y z 【ּ 2】 計算: (1) 5 10 log 100 ; (2) log (42 7 i 2 )5 。

(8)

ś

(1) log10 5100 1log 10010 2

5 5

= = ;

(2) log (42 7 i 2 )5 = log 42 7 +log 22 5

2 2 7 log 4 5 log 2 7 2 5 1 19 = + = × + × =

ቚ ௫!

1. 用log10 x 、log10 y 、log10 z 、log (10 x + y)、log (10 xy)表示下 列各式:

(1) log xyz ; (2) 10 log (10 x+ y z) ; (3) log (10 x2 − y2); (4) 2 10 log xy z ; (5) log10 ( ) xy x+ y z ; (6) 2 10 log 100 xxy 。 2. 計算: (1) log (27 9 )3 × 2 ; (2) log 100 ; 10 2 (3) log 0.0001 ; 10 3 (4) log7 3 49 。 3. 計算:

(1) log 6 log 322 ; (2) log 5 log 210 + 10 ; (3) log 3 log5 5 1

3

+ ; (4) log 5 log 1533 。 4. 下面的式子對不對,為什麼?

(1) log (8 2)2 − =log 8 log 222

(2) 10 10 10 log 4 log (4 2) log 2 − = ; (3) 2 2 2 2 log 4 log 4 log 8 log 8 = − 。

(9)

௫ ᗟ ˘

! 1. 求下列各式中的 x。並指出計算 x 時是求冪,求對數,或是 求方根: (1) 34 = ; (2) x x3 =1000; (3) 10x =0.0001。 2. 用對數形式把下列各式中的 x 表示出來: (1) 4x =16; (2) 3x = ; 1 (3) 4x = ; 2 (4) 2x = 0.5。 3. 把下列對數式寫成指數式,並求出 x 的值: (1) log 322 = ; x (2) log 6255 = ; x (3) log 100010 = ; (4) x log 48 = ; x (5) log3 1 9 = ; x (6) log 33 = ; x (7) log10 1 1000 = ; (8) x 16 1 log 2 = 。 x

4. 用 loga x 、 loga y 、 loga z 、 log (a x + y) 、 log (a xy) 表示下 列各式: (1) loga 2x y z ; (2) 3 4 2 loga x z y ; (3) 2 1 3 2 loga xy z− ; (4) loga 2xy 2 xy ; (5) loga x y y x y + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ i ⎠; (6) 3 log ( ) a y x x y ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 。 5. 計算: (1) log 2 log 1 2 a + a ; (2) log 18 log 23 − 3 ; (3) log10 1 log 2510 4− ; (4) 2 log 10 log 0.255 + 5 。

(10)

6. (1) 用a =log 510 表示log 2 、10 log 20 ; 10

(2) 用 a = log 210b = log 310 表示log 4 、10 log 5 、10 log 6 、10

10 log 12 、log 15 。 10

13.3 ૱ϡ၆ᇴ

由於我們通常用的是十進制記數法,所以我們通常用的對數 是以 10 為底的對數,這種對數叫做常用對數。在表示常用對數 的時候,通常把底數 10 略去。如不作特殊說明,一般所說的對 數都是指常用對數。例如說 100 的對數是 2,就是說 100 的常用 對數是 2。 我們知道: 3 2 1 0 1 2 3 10 1000 log1000 3 10 100 log100 2 10 10 log10 1 10 1 log1 0 10 0.1 log 0.1 1 10 0.01 log 0.01 2 10 0.001 log 0.001 3 − − − = = = = = = = = = = − = = − = = − 可以看出,10 的整數次冪之對數是一個整數,並且真數較大 的時候,它的對數也較大。 一個正數,如果不是 10 的整數次冪,它的對數是一個小數。 例如 log 72 是一個 1 與 2 之間的一個小數,log 0.0072 是 3− 與 2− 之 間的一個小數。 一個正數的對數(具有一定精確度的近似值),從前可利用「對 數表」求得,現在則可利用工程計算器很方便地求得。

(11)

13.4 ၆ᇴ۞ࢵᇴᄃԍᇴ

我們知道,1 3.408 10< < ,所以 0 log 3.408 1< < ,就是說, log 3.408 是一個正的純小數。 如果知道了log 3.408= 0.5325,我們可以求 0.03408、340.8、 34080 的對數。 首先用科學記數法表示上面各數,再求出對數: 2 2 2 2 4 4 log 0.03408 log(3.408 10 ) log10 log 3.408 2 0.5325 log 340.8 log(3.408 10 ) log10 log 3.408 2 0.5325 log 34080 log(3.408 10 ) log10 log 3.408 4 0.5325 − − = × = + = − + = × = + = + = × = + = + 一般地,可以得到: 1. 所有正數的對數都可以寫成一個整數(正整數、零或負整數) 加上一個正的純小數(或者零)之形式。 整數部分叫做這個對數的首數,正的純小數(或者零)部分叫 做這個對數的尾數。例如: 在 log 0.03408= − +2 0.5325中,首數是 2− ,尾數是 0.5325; 在 log 340.8= +2 0.5325中,首數是 2,尾數是 0.5325; 在log 34080= +4 0.5325中,首數是 4,尾數是 0.5325。 從上例還可以得到: 2. 只有小數點位置不同的數,它們的對數之尾數都相同。 求一個正數的對數之首數時,用科學記數法把這個數寫成 10n a× 的形式,其中1≤ < 、n 是整數,n 就是這個正數的對數a 10 之首數。

(12)

對數的首數是正整數或者零的時候,可以把首數與尾數相 加,寫成小數的形式。例如 log 340.8 2.5325= 、log 3.408 0.5325= 。 而當對數的首數是負整數的時候,通常會把「-」號寫在這一個 整數的上面,並把首數與尾數之間的「+」號略去不寫。例如, log 0.03408= − +2 0.5325,通常寫成 log 0.03408 2.5325= 。這裡要 注意 2.5325 等於 2 0.5325− + (即 1.4675− ),不等於 2.5325− 。 【ּ 1】 用科學記數法表示下列各數,並求出各數的對數之首 數。 32.16、7.8302、0.0002076。

ś

ྋ !! 1 32.16=3.126 10× ,對數的首數是 1; 0 7.8302 =7.8302 10× ,對數的首數是 0; 4 0.0002076 = 2.076 10× − ,對數的首數是 4− 。 【ּ 2】 寫出下列各對數的首數與尾數: (1) loga = 0.2350; (2) logb =2.4087; (3) logc = −2.4087。

ś

ྋ !! (1) 首數是 0,尾數是 0.2350; (2) 首數是− ,尾數是 0.4087; 2 (3) logc = −2.4087 2 0.4087 ( 2 1) (1 0.4087) 3 0.5913 3.5913 = − − = − − + − = − + = 首數是 3− ,尾數是 0.5913。

ቚ ௫!

1. 用科學記數法表示下列各數,並求出它們的對數之首數。 2570000、354.7、40.8、5.06、 9、0.84、0.07563、0.00002129。

(13)

ቚ ௫!

2. (口答) 說出下列各數的對數之首數:

6720、3.1416、1

2 、80、0.6428、0.00495。 3. (口答) 下列各式的值是什麼?

(1) log10 ; (2) log10000 ; (3) log1; (4) log10 ; (5) 6 log10−5; (6) log 0.01; (7) log 0.1; (8) log 0.000001。 4. 寫出下列各對數的首數與尾數: (1) loga =3.0720; (2) logb =0.0129; (3) logc = 4.2157; (4) logd = −4.2157; (5) log 0.000432= 4.6355; (6) log 0.00574 = −2.2411。 5. 計算: (1) 1.5483 2.8712+ ; (2) 2.7125 1.9418− ; (3) 4.5082 3× ; (4) 3.6479 5× ; (5) 2.2418 2÷ ; (6) 1.1535 3÷ 。 6. 長方體的體積是 45.8 cm3,長是 3.5 cm,寬是 2.4 cm,求它的 高。 7. 已知圓的面積等於 0.6567 cm2,求它的周長。 8. 某種產品的產量平均每年比上一年增長 12.5%,求經過 6 年產 量比原來增長的百分數。

௫ ᗟ ˟

! 1. 寫出下列各對數的首數與尾數: (1) log 30 1.4771= ; (2) log 8.56= 0.9325; (3) log 0.74 1.8692= ; (4) log 0.08 = −1.0969。

(14)

2. 已知一個數的對數之首數是下列各數,問這個數是大於 1、等 於 1 還是小於 1?把它用科學記數法a×10n表示時,n 是多少? (1) 4; (2) 5− ; (3) 1; (4) 0; (5) 2− ; (6) 2。 3. 把下列負首數與正尾數的和改成一個負數之形式: (1) 3.2175 ; (2) 1.8998 。 4. 把下列各數改成負首數與正尾數的和之形式: (1) 2.3817− ; (2) −0.2329; (3) 4.1026− ; (4) −1.7830。 5. 已知 logx 的尾數與 log 7409 的尾數相同,它的首數是下列各 數,求 x。 (1) 5; (2) − ; (3) 2 0; (4) − ; 1 (5) 1; (6) 3; (7) 2; (8) − 。 3 6. 下列的式子對不對?為什麼?

(1) log(a b+ ) = loga+logb; (2) log( ) log log

a a b

b

− = ;

(3) (log 2)3 =3log 2; (4) log 2 1log 2 2 = 。 7. 根據球的體積公式 4 3 3 V = πr ,求半徑 r 等於 13.54 cm 的球之 體積。 8. 圓柱的體積公式是Vr h2 ,其中 r 是圓柱的底面半徑,h 是 圓柱的高。求直徑是 0.2 cm 的 2000 m 長之銅絲的重量(已知 銅的比重是 8.9 g/cm3)。 9. 在某種條件下繁殖一種細菌,一小時以後的數量是原來之 1.8 倍,計算在這樣的條件下 24 小時以後的數量是原來數量的多 少倍。

(15)

̈ ඕ!

一、本章主要內容是對數的概念、運算性質以及常用對數。 二、設 a (a > 、0 a ≠ )的 b 次冪等於 N,就是1 ab = ,數 bN 就叫做以 a 為底的 N 之對數,記作 loga N = ,其中 a 是對數的b 底數(簡稱底),N 叫做真數。 在對數式 loga N = 中,b a > 、0 a ≠ 、1 N > 。 0 三、積、商、冪、方根的對數是:

log ( ) log log

log log log

log log 1 log log a a a a a a n a a n a a MN M N M M N N M n M M M n = + = − = = 利用它們可以把乘、除運算化為加、減運算,把乘方、開方 運算轉化為乘、除運算。 四、我們通常用的對數是以 10 為底的對數,這種對數叫做 常用對數,N 的常用對數可以簡寫成 log N 。知道一個正數,可 以由「常用對數表」(或利用工程計算器)查出這個數的對數;知 道一個對數,可以由「反對數表」(或利用工程計算器)查出這個 數。利用「常用對數表」、「反對數表」及積、商、冪、方根的對 數之性質,可以比較簡潔地進行乘、除、乘方、開方的計算。

(16)

ኑ௫ણ҂ᗟȈˬ!

1. a 是什麼數時,下列各式成立? (1) | |a = ; a (2) | |a = − ; a (3) | | |a = − ; a| (4) a = − 。 a 2. (1) 設(x−3)2 +(y+1)2 = ,且 x、y 為實數,求 x、y; 0 (2) 設x2 +4y2 −2x+4y+ = ,且 x、y 為實數,求 x、y。 2 0 3. 計算: (1) (a b c a b c+ − )( − + )(− + +a b c a b c)( + + ; ) (2) (a b c d a b c+ − − )( − − +d); (3) (x+ y)(2x+ y x)( 2 + xy+ y2)(4x2 −2xy+ y2); (4) (x−1)(x−2)(x−3)(x− ; 4) (5) (a−2 ) (b 2 a+2 )b 2; (6) (a−2 )(b a+2 )(b a2 +2ab+4b2)(a2 −2ab+4b2)。 4. 分解因式: (1) a2 +b2 + +c2 2ab+2bc+2ac; (2) a b4 +a b3 2 −a b2 3 −ab4; (3) x4 −5x2 + ; 4 (4) 4mn+ −1 m2 −4n2; (5) m4 +m2 + ; 1 (6) a3 − +b3 a a( 2 −b2)+b a b( − )2 ; (7) 2(a2 +b2)(a b+ )2 −(a2 −b2 2) 。 5. (1) 已知 x+ + = 、 xy yz zx by z a + + = ,求x2 + y2 + ; z2 (2) 已知x 1 5 x + = ,求 2 2 1 x x + 。 6. 化簡: (1) 1 1 3 1 2 ( 1)( 2) x x x x x + − − + + + + ;

(17)

(2) 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a b a ab b a b a b ⎛ ⎞ ⎛÷ ⎞ − − ⎜ + + + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; (3) 1 1 1 1 1 a a a − + + + ; (4) 20 9 5 8 − 5 + 45 ; (5) 1 3 7 5 2 3 7 2 7 − − − + − ; (6) 3 3 2 3 2 1 5 5 ( 5 1) − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 。 7. 解方程: (1) 42x2 + −x 30 = ; (2) 0 2 3 4 1 9 0 x+ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (3) x2 − 3x+ 2x− 6 = ; 0 (4) 1 1 1 62 2 2 3 12 x x x x − − = − − − − ; (5) 4 2 3x −29x +18= ; 0 (6) x+ −1 x− =4 3x+ 。 1 8. 解方程組: (1) 2 1 2 cx y c x cy c + = + ⎧ ⎨ − = − ⎩ (c ≠ ),求 x、y; 0 (2) 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + = ⎧ ⎨ + = ⎩ (a b1 2 ≠ a b2 1),求 x、y; (3) 5 3 2 3 4 3 5 3 2 1 4 3 x y y x x y y x + + ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ + + = ⎪⎩ ; (4) 2 5 4 3 2 3 6 2 5 3 2 3 x y x y+ = − ⎪ − + ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ − + ⎩ ; (5) 5 7 10 9 4 1 3 8 4 x y y z x z − = − ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + = − ⎩ ; (6) 2 2 0 2 1 x xy x y ⎧ − + = ⎨ − = ⎩ ;

(18)

(7) 2 2 3 5 8 36 2 3 4 3 x x y x x y ⎧ + − = ⎨ − − = ⎩ 。 9. k 為什麼值時,方程(k −1)x2 −2x+ = 有兩個不相等的實數3 0 根?有兩個相等實數根?沒有實數根? 10. 求方程x2 + px+ = 之兩根的平方和及兩根的立方和。 q 0 11. 求下列各式中的 x: (1) 64 1 4 x = ; (2) 2x = 0.125。 12. 求下列各式中的 x: (1) log8 x = ; 1 (2) log2 2 = ; x (3) log 8 3 2 x = ; (4) log7 x = 。 0 13. 下面的式子對不對(其中a > 且0 a ≠ 、1 x > 、0 y > 、n 是大0 於 1 的整數)?如果不對,舉出例子。

(1) (loga x)2 = 2 loga x; (2) loga x loga 1

x − = ; (3) log log log a a a x x y = y ; (4) log log n a a x x n = 。 14. (1) log100N 比 log 100 N 大多少? (2) log 0.001N 比 log1000N 小多少?

15. 已知log 2 =0.3010、 log 3 0.4771= ,求 log 0.0015 、 log 750 。 16. 已知 a =35.72 、b = 28.17 、 c =30.45 、 1( )

2

s = a b c+ + ,求

( )( )( )

(19)

17. (1) 確定2100是幾位數,並且求出它的最高之兩位數碼; (2) 確定0.7100 在小數點後面連續有多少個零,並且求出它 的第一個不等於零之數碼。 18. 要使我國外貿的總金額經過 20 年成為 4 倍,平均每年的增長 率是百分之幾? 19. 一些機器設備,原來價值 7200 萬元,由於使用磨損,每年比 上一年價值降低 5.5%,求 5 年後這些機器設備的價值。

數據

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參考文獻

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