2015IMAS國小高年級組第二輪檢測中文試題詳解

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2015/2016 小學高年級組第二輪檢測試題詳解

───────────────────────────────────────────────── 1. 請問算式666+669+699+999的值為多少? (A)2433 (B)2970 (C)2973 (D)3030 (E)3033 【參考解法1】 直接計算可得666+669+699+999=3033。 【參考解法2】 666+669+699+999=666+670+700 1000 3+ − =3036 3− =3033。 答案:(E) 2. 正整數 a、b、c、d 滿足 1 1 1 1 2013 2014 2015 2016 a− = b+ = c− = d + ,請問下列 哪一項關於 a、b、c、d 的大小順序是正確的? (A) b< < <d a c (B) d < < <b a c (C) d < < <a b c (D)d < < <b c a (E) b< < <d c a 【參考解法】 由題目條件可知a−2013= +b 2014= −c 2015= +d 2016,故 d < < <b a c。 答案:(B) 3. 下列圖形中的數表示相對應線段的長度,請問下列哪一個圖形內陰影部分與 空白部分的面積相等? (A) (B) (C) (D) (E) 【參考解法】 可將選項(A)中的圖形依右圖所示之方式畫分成數個邊長為 1 的 小正三角形。可知陰影部份共有7 個小三角形、空白部份共有9 個小三角形,因此其面積不相等; 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 4 1 2 2

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選項(B)中,最大的平行四邊形對邊中點連線將此大平行四邊形分成四個相等的 小平行四邊形。可知位於右上角的小平行四邊形內的陰影部份佔其面積的一 半,而位於左邊二個小平行四邊形內的陰影部份也都佔其面積的一半,故陰影 部份的總面積佔大平行四邊形的3 1 1 3 4 2 8 × × = ,因此陰影部分與空白部分的面積 不相等; 選項(C)中,陰影部份共有5 個1 2× 的小矩形、空白部分共有4 個1 2× 的小矩形, 因此其面積不相等; 選項(D)中,陰影部份的面積為2 (1 2 4 1 2 2 1 1) 12 2 4 × × × + × × + × = 、空白部分的面 積為 (2 2) (4 1 1) 12 12+ × + + − = ,因此其面積相等; 選項(E)中,可知最右邊一行的四個1 2× 的小矩形內陰影部分與空白部分的面積 相等,但中間與最左邊這兩行內陰影部分的面積顯然小於空白部分的面積,因 此整個圖形內陰影部分與空白部分的面積不相等。 答案:(D) 4. 在正方形 ABCD 的 BC 邊上取一動點 E,以 DE 為邊作矩形 DEFG,且 FG

邊通過點 A,請問當點 E 從點 B 移動到點 C 的過程中矩形 DEFG 的面積是 如何變化的? (A)保持不變 (B)一直變大 (C)一直變小 (D)先變大後變小 (E)先變小後變大 【參考解法】 如圖,連接 AE,可知在正方形 ABCD 中, 1 1 2 2 AED ABCD S△ = ×AB× AD= S 、在長 方形 DEFG 中, 1 1 2 2 AED DEFG S = ×DE×EF = S ▭ △ ,而點E 從 B 移動到點 C 的過 程中,三角形 AED 的面積保持不變,故知矩形 DEFG 的面積一直保持不變。 答案:(A) 5. 小傑和小喬沿著公園的環形步道跑步,小傑差 400 m 就跑完 2 圈,小喬還差 500 m 就跑完 3 圈,兩人路程合起來總共跑了 4 圈還多 100 m,請問這條環 形步道一圈為多少 m? (A)1000 (B)900 (C)800 (D)750 (E)700 A D E C B G F EG′ F′

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【參考解法 1】 小傑與小喬所跑的路程總共為 4 圈還多 100 m,且若兩人要共跑2 3+ =5圈,則 還差400 500+ =900m,故環形步道一圈為100 900 1000+ = m。 【參考解法2】 設環形步道一圈為 x m,則2x−400+3x−500=4x+100,可得解x=1000。 答案:(A) 6. 某工人本月份收到基本工資與加班費共6000元,已知他的加班費是基本工 資的三分之二,請問本月份他的基本工資為多少元? 【參考解法】 該工人本月份的基本工資為6000 (1 2) 6000 3 3600 3 5 ÷ + = × = 元。 答案:3600元 7. 甲、乙兩人沿著以正方形四條邊為直徑的半圓步道散步,每個半圓的弧長為 100 m,如圖所示。甲從A點、乙從B點同時以逆時鐘方向出發。甲每分鐘 走120 m,乙每分鐘走150 m,但每次經過圖中的 A、B、C、D點時都各要 多花費1 秒鐘,請問在出發多少秒後乙第一次超越甲? 【參考解法】 由圖可知,若乙超越甲,那麼乙要比甲多轉一個彎,或者說,花在實際前進的 時間方面,甲可多走 1秒。即甲多走120 1 2 60 × = m。所以乙實際第一次超越甲的 路程為100+ =2 102m。乙追上 102 m要用(102 (150 120)) 32 5 ÷ − = 分,即 3分 24 秒(不包括轉彎的時間)。乙在這段時間內走了150 32 510 5 × = m,在整個追及的 過程中,乙轉彎5次,共花去 5 秒。所以當乙第一次超越甲時共花了3 分29秒, 即209秒。 答案:209秒 A D C B 甲 乙

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8. 有容量分別為 0.4 L、0.6 L 與 1 L 的三種瓶子,用這些瓶子每種至少一個, 都裝滿水後的總容量為 18 L,請問容量為 0.6 L 的瓶數有多少種可能值? 【參考解法 1】 設容量為 0.4 L、0.6 L 與 1 L 的瓶子分別有 x、y、z 個(x、y、z ≥1),由題意得: 0.4x+0.6y+ =z 18,化簡可得2x+3y+5z=90,即 30 2 5 3 3 y= − xz。 因為每種容量的瓶子都用到,所以 30 2 5 272 3 3 3 y≤ − − = 。當x=2,z =1時,y 可 以取得最大值為 27。當x=1,z=2時,y=26。由於兩瓶 0.6 L的水可以用3 瓶0.4 L的水代替,所以y 可以取到1 至27的所有正整數。 【參考解法2】 若將可完成題目所要求的情況中,每一種瓶子都恰移走一瓶,則剩餘的瓶子所 裝的水量總計為16 L。若容量為 0.4 L與0.6 L的瓶子數相等,則0.6 L 的瓶子 數可為0~16瓶。接著因三瓶0.4 L 的水可以用兩瓶0.6L的水代替,且至多可 有16 瓶0.4 L的瓶子,故可以判斷出 0.6L的瓶子最多可以增加至16+ × =5 2 26 瓶,即0.6 L 的瓶數有27種可能值。 答案:27 種 9. 小明每次取出三個互不相同的非零數碼,然後把這三個數碼組成所有不同的 三位數。用m 表示所有可能組成的三位數之和,用n 表示所有可能組成的 三位數各位數碼之總和,請問m n 為多少? 【參考解法】

設小明取出的三個數碼為abc,則所有可能組成的三位數為:abcacbbacbcacabcba。這六個三位數之和為222(a+ +b c),而這六個三位數的所有各 位數碼之總和為6(a+ +b c),它們的比值222( ) 37 6( ) a b c a+ ++ + =b c 是個定值,也就是任 何取出的三個數碼都有這個性質,所以m 37 n = 。 答案:37 10. 從100至999的三位數中,有多少個數的百位數碼與個位數碼之和恰等於十 位數碼? 【參考解法】 若設三位數個位數碼為a、百位數碼為b (b≥1),則十位數碼為a+ ≥b 1。

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所以當十位上的數碼為 n 時,個位與百位數碼共有 n 種選擇。 因此,所求的結果為:1 2+ + + + + + + + =3 4 5 6 7 8 9 45。 答案:45 11. 在6 6× 的方格表中,正方形 EFGH 的位置如圖所示,請問圖中總共有多少 個小三角形的三邊都落在格線或正方形 EFGH 的邊上且與塗上陰影的小三 角形對應內角相等? (圖中塗上陰影的小三角形也算其中一個) 【參考解法】 由圖可知,與塗上陰影的小三角形對應內角相等的直角三角形有兩類: (1) 斜邊在正方形 EFGH 的邊上。若斜邊在 EF 上,則共有如下圖所示的12個 相似三角形: 根據對稱性,這樣的三角形有12 4× =48個。 (2) 斜邊在小方格線上,三角形直角邊只能與正方形 EFGH 的邊重合。若直角較 短的股在 EF 上,則共有如下所示的 2個相似三角形: 根據對稱性,這樣的三角形有2 4× =8個。 綜上所述,與陰影小三角形相似的直角三角形共有48 8+ =56個。 答案:56個 E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E G F H

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12. 五個紙箱內分別裝有 a、b、c、d、e 個玩具,每個紙箱內都至少裝 1 個玩具a+ + + + =b c d e 26。依照下圖所示每次兩箱的組合,已知除了組合

2 箱 中玩具的總數量不超過 11個外,其它的組合箱中玩具的總數量則都超過 11 個。請問各紙箱內玩具數量分佈情況有幾種不同的可能? 【參考解法】 由題意可得a+ + + + =b c d e 26,1≤abcde≤22,且 12 11 12 12 a e a c b c c d + ≥   + ≤   + ≥   + ≥  經觀察,圖

1 、

3 、

4 剛好包含所有紙箱,其中紙箱c算了兩次。 所以a+ + + + + ≥b c d e c 36,即26+ ≥c 36,從而c≥10。由圖

2 可知a =1、 10 c = 。經驗證只有a=1、b=2、c=10、d =2、e=11滿足要求。 答案:1 種 13. 如圖所示,一張6 6× 方格表左上角的小方格中有一隻 螞蟻,它想爬到右下角的小方格 A 中。它每次只能沿 著水平向右或鉛直向下的方向爬到相鄰的小方格,並 且表格中有三塊隔板(圖中加粗的線條)不能從中穿 過。請問這隻螞蟻總共有多少條不同的路徑到達A? 【參考解法1】 如下圖所示,設螞蟻開始所在的小方格為B,現在把螞蟻的路徑分為兩類,第一 類是由 B途經 C到達A,第二類是由B途經 D到達Ad c c b a c e a

1

2

3

4 A A B D C

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第一類路徑: 由 B 到 C,共有 3 條路徑: 由 C 到 A,共有 6 條路徑: 所以這一類路徑共有3 6 18× = 條。 第二類路徑: 由 B 到 D,共有7 條路徑: 由 D 到 A,共有10條路徑。 所以這一類路徑共有7 10× =70條。 綜上所述,這隻螞蟻總共有18+70=88條不同的路徑到達 A。 【參考解法2】 畫出螞蟻可能通過的小方格之中心,如圖所示,圖中各點 上方的數即為螞蟻從起點到該點的不同路徑數: 故可得知共有88條不同的路徑到達 A。 答案:88條 1 1 2 1 3 3 3 1 4 7 10 7 17 27 37 7 24 51 88 10 10

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14. 已知 n、k 為正整數使得n2 4k n2 20162 n < < + 。請問 n的最大可能值是多少? 【參考解法】 因為 2 n 除以 4的餘數只能為 0或 1,存在有正整數k使得n2 4k n2 20162 n < < + ,若 2 n 除以 4餘 0,則20162 n 必須大於 4 (5 分);若 2 n 除以4 餘1,則20162 n 必須大於3。 (5 分) 由此得20162 3 n > ,此即為 2 2016 672 3 n < = ,故可知n≤25。(5 分) 當n=25時,n2 =625且 2 20162 628141 625 n n + = , 而 2 2 2 2016 141 625 4 157 628 628 625 n n n = < × = < + = ,符合要求。故n 的最大值是25。 (5 分) 答案:25 15. 在一張4 4× 表格的每個小方格內不重複地填入正整數 1~16,每個小方格內 各填一個數,接著計算每兩個有公共邊的小方格內兩個數之和,然後記下所 有和數中的最小值。請問記下的數之最大可能值為多少? 【參考解法】 考慮以下三種情況: (1) 若1 在中間的小方格,則它與相鄰的小方格內的數之四個和數中,一定 有一個和數小於或等於1 13 14+ = 。(5 分) (2) 若1 在邊上而非角落的小方格,則它與相鄰的小方格內的數之三個和數 中,一定有一個和數小於或等於1 14 15+ = 。(5 分) (3) 若1 在角落的小方格,如果2與它相鄰則和數為 3,故2 不能緊挨著它, 則與1 或2 相鄰的小方格至少有四個,一定有一個和數小於或等於 2 13 15+ = 。(5 分) 無論如何,記下的和數之最小值都不會超過15,而可讓1 在角落的小方格,依 下圖所示之方式填數而得到最大的可能值為15:(5 分) 1 16 6 9 15 2 13 7 3 14 5 10 12 4 11 8 答案:15

數據

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參考文獻

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